45.线面、面面垂直的判定与性质_文科带解析

线面、面面垂直的判定与性质
【学习目标】
以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理． 【预习案】 1.直线与平面垂直
(1)定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直． (2)判定方法 ①用定义．
判定定理：
⎭⎪
⎬⎪
⎫
a ⊥b
a ⊥c
b ∩
c ＝A b ⊂αc ⊂α
⇒______. ③推论：
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⎪⎬⎪
⎫a ⊥α
⇒b ⊥α. ④
⎭
⎪⎬⎪
⎫α∥βa ⊥α⇒____. (3)性质 ①
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⎪⎬⎪
⎫a ⊥αb ⊂α⇒_______. ②
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⎪⎬⎪
⎫a ⊥αb ⊥α⇒_____. 2．两个平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)判定定理
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⎪⎬⎪
⎫a ⊂αa ⊥β⇒α⊥β. (3)性质
①性质定理 ②重要结论
⎭
⎪⎬⎪
⎫α⊥β
α∩β＝l a ⊂α
⇒a ⊥β.
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⎪⎬⎪⎫
α⊥β
α∩β＝l
P ∈α
P A ⊥β垂足为A ⇒A ∈__.
⎭
⎪⎬⎪
⎫
α⊥β
α∩β＝l P ∈αP A ⊥β⇒P A ⊂______. 3．线面角和二面角
(1)线面角：平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． 直线与平面所成角θ的范围是[0°，90°]． θ＝0°时，直线在平面内或与平面平行． θ＝90°时，直线与平面垂直．
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面内以O 为垂足作棱的垂线OA 与OB ，则∠AOB 叫做二面角的平面角．二面角的取值范围是[0°，180°)，θ＝0°时两个半平面共面；0°
<θ<90°时为锐二面角；θ＝90°时为直二面角；90°<θ<180°时为钝二面角． 【预习自测】
1．(2014·四川绵阳二诊)已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是( )
A ．l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥m
B ．l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥n
C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，且l ⊥m
D ．l ⊂α，l ∥m ，且m ⊥β [答案] D
2．(2014·黑龙江大庆检测)已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )
A ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n
B ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n
C ．若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β
D ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α [答案] B
3．(2014·山东济南期末考试)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；②若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β；③若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β；④若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，
则α∥β.
其中正确命题的序号是( )
A ．①④
B ．②③
C ．②④
D ．①③ [答案] B
4．(2013·山东泰安联考)设α，β，γ是三个互不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( )
A ．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ
B ．若m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n
C ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β
D ．若α∥β，m ⊄β，m ∥α，则m ∥β [答案] D
5．(2013·北京)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为对角线BD 1的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个 [答案] B 合作探究
题型一：线面位置关系命题的真假判断
例1(2013·浙江重点中学协作体摸底)已知m ，
n 分别是两条不重合的直线，a ，b 分别垂直于两
不重合的平面α，β，有以下四个命题：①若m ⊥a ，n ∥b ，且α⊥β，则m ∥n ；②若m ∥a ，n ∥b ，且α⊥β，
则m ⊥n ；③若m ∥a ，n ⊥b ，且α∥β，则m ⊥n ；④若
m ⊥a ，n ⊥b ，且α⊥β，则m ∥n .其中真命题的序号是
( )
A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②③ [答案] D 探究1.
(2013·广东理，6)设m ，n 是两条不
同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥ n
B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n
C ．若m ⊥ n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β
D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β [答案] D
题型二：线面垂直的判定与性质
例2. (2014·湖南四校第三次联考)如图所示，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，且2P A
＝AD ，E ，F ，G ，H 分别
是线段P A ，PD ，CD ，BC
的中点．
(1)求证：BC ∥平面EFG ； (2)求证：DH ⊥平面AEG ；
(3)求三棱锥E －AFG 与四棱锥P －ABCD 的体积比．
[解析] (1)证明：∵E ，F 分别为P A ，PD 的中点，
∴AD ∥EF .
∵BC ∥AD ，∴BC ∥EF .
∵BC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，∴BC ∥平面EFG . (2)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，DH ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥DH ，即AE ⊥DH .G ，H 分别为DC ，BC 中点，四边形ABCD 为正方形，∴△ADG ≌△DCH ，
∴∠HDC ＝∠DAG .∵∠AGD ＋∠DAG ＝90°，∴∠AGD ＋∠HDC ＝90°，∴DH ⊥AG .又∵AE ∩AG ＝A ，∴DH ⊥平面AEG .
(3)由P A ⊥平面ABCD ，得P A ⊥CD ． 又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ， ∴V E －AFG ＝V G －AEF ＝1
3S △AEF ·GD ．
又∵V P －ABCD ＝1
3S 正方形ABCD ·P A ，
∴V E －AFG V P －ABCD ＝13S △AEF
·GD 1
3S 正方形ABCD ·P A ＝12AE ·EF ·GD AB ·AD ·P A ＝116
.
题型三:面面垂直的判定与性质
例3.(2014·江苏)如图，在三棱锥P－ABC 中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC ＝8，DF＝5.
求证：(1)直线P A∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC．
[解析](1)由于D、E分别是棱PC、AC的中点，则有P A∥DE，
又P A⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
所以P A∥平面DEF.
(2)由(1)P A∥DE，又P A⊥AC，所以DE⊥AC，
又F是AB中点，所以DE＝1
2P A＝3，EF＝
1
2BC
＝4，
又DF＝5，所以DE2＋EF2＝DF2，所以DE⊥EF，
EF、AC是平面ABC内两条相交直线，所以DE⊥平面ABC，
又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．。