2011年高考试题(全国卷文)解析版

2011年高考题全国卷II数学试题·文科全解全析科目：数学试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(文科)UD）{}1，4【思路点拨】解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法，易求MU(0)x≥的反函数为)（B）2x y=b【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出第 1 页共 13 页第 2 页共 13 页第 3 页 共 13 页【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。

【精讲精析】选C . 由题2()3k k Z ππω=⋅∈,解得6k ω=，令1k =，即得min 6ω=. 40 (8) 已知直二面角l αβ--，点A ∈α，AC l ⊥,C 为垂足，点B ∈β，BD l ⊥,D 为垂足.若AB =2，AC =BD =1，则CD =（A ） 2 （B ）3 （C ）2 （D ）1【思路点拨】解决本题关键是找出此二面角的平面角，然后把要求的线段放在三角形中求解即可。

【精讲精析】选C. 在平面内过C 作//CM BD ，连接BM ，则四边形CMBD 是平行四边形，因为BD l ⊥，所以CM l ⊥，又AC l ⊥,ACM ∴∠就是二面角l αβ--的平面角。

90ACM ∴∠=.所以222222,AB AM MB AC BD CD =+=++代入后不难求出2CD =。

45 (9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【思路点拨】解本题分两步进行：第一步先选出2人选修课程甲，第二步再把剩余两人分别选乙、丙.【精讲精析】选A.第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有222A =种选法，根据分步计数原理，有6212⨯=种选法。

6 (10)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值。

【精讲精析】选A.先利用周期性，再利用奇偶性得:5111 ()()()2222 f f f-=-=-=-.42 (11)设两圆1C、2C都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C= (A)4 (B)42 (C)8 (D)82【思路点拨】本题根据条件确定出圆心在直线y=x上并且在第一象限是解决这个问题的关键。

【精讲精析】选 D.由题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限,设圆心坐标为(a,a)(a>0),则22(4)(1)a a a=-+-,求出a=1,a=9.所以C1(1,1),C2(9,9),所以由两点间的距离公式可求出1282C C=.42 (12)已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。

【精讲精析】选B.作示意图如，由圆M的面积为4π，易得222,23MA OM OA MA==-=，Rt OMN∆中，30OMN∠=。

故2cos303,39.MN OM Sππ=⨯==⨯=.45 (13)(1-x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意r n rn nC C-=.【精讲精析】0. 由20120()rrT C x+=-得x的系数为220C, x9的系数为1820C,而1822020C C=.17 (14)已知a∈(π，32π)，tanα=2，则cosα= .第 4 页共 13 页【思路点拨】本题考查到同角三角函数的基本关系式，再由正切值求余弦值时，要注意角的范围，进而确定值的符号。

【精讲精析】55-由a∈(π，32π)，tanα=2得15cos55α=-=-.39 （15）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .【思路点拨】找出异面直线AE与BC所成的角是解本题的关键。

只要在平面A1B1C1D1内过E作及B1C1的平行线即可。

【精讲精析】23取A1B1的中点M连接EM，AM，AE，则AEM∠就是异面直线AE与BC所成的角。

在AEM∆中，222352cos2233AEM+-∠==⨯⨯。

33 (15)已知F1、F2分别为双曲线C:29x-227y=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2| = .【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。

【精讲精析】6.由角平分线定理得：221211||||1,||||26||||2AF MFAF AF aAF MF==-==,故2||6AF=.12 (17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)设等比数列{}n a的前n项和为n S,已知26,a=13630,a a+=求na和nS.【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。

【精讲精析】设{}n a的公比为q,由题设得1116630a qa a q=⎧⎨+=⎩解得132aq=⎧⎨=⎩或123aq=⎧⎨=⎩，当13,2a q==时，132,3(21)n nn na S-=⨯=⨯-第 5 页共 13 页cos30sin456=645注意：在试题卷上作答无效第 6 页共 13 页第 7 页共 13 页连结SE ，则,3SE AB SE ⊥=又SD=1，故222ED SE SD =+所以DSE ∠为直角。

由,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥=，得 AB SDE ⊥平面,所以AB SD ⊥. SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。

所以SD SAB ⊥平面（II ）由AB SDE ⊥平面知，ABCD SDE ⊥平面平面作SF DE ⊥，垂足为F ，则SF ABCD ⊥平面,32SD SE SF DE ⨯== 作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。

连结SG ，则SG BC ⊥又FG BC ⊥，SG FG G =,故,BC SFG SBC SFG ⊥⊥平面平面平面， 作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH SBC ⊥平面.37SF FG FH SG ⨯== 即F 到平面SBC 的距离为217。

由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也为217。

设AB 与平面SBC 所成的角为α，则21sin 7d EB α==,21arcsin 7α=. 解法二： 以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系C-xyz,设D （1，0，0），则A（2，2，0），B （0，2，0）。

又设S （x,y,z ），则x>0,y>0,z>0.DC A S B E FG H第 9 页 共 13 页(I)(2,2,),(,2,),(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-由222222||||(2)(2)(2)AS BS x y z x y z =-+-+=+-+得 故x=1.由||1DS =得221y z +=，又由||2BS =得，222(2)4x y z +-+=即22410y z y +-+=，故13,22y z ==。

于是13333313(1,,),(1,,),(1,,),(0,,)22222222S AS BS DS =--=-=， 0,0DS AS DS BS ⋅=⋅=故,DS AS DS BS ⊥⊥，又ASBS S =所以SD SAB ⊥平面.（II ）设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =，则,,0,0,a BS a CB a BS a CB ⊥⊥⋅=⋅= 又33(1,,),(0,2,0)22BS CB =-= 故3302220m n p n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩取2p =得(3,0,2)a =-，又(2,0,0)AB =-21cos ,7||||AB a AB a AB a ⋅<>==⋅. 故AB 与平面SBC 所成的角为21arcsin7. 53（21）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 已知函数()32()3(36)+124f x x ax a x a a R =++--∈(Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若00()f x x x x =∈在处取得最小值，（1，3），求a 的取值范围。

【思路点拨】第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出直接方程。

(II)第（II ）问是含参问题，关键是抓住方程()0f x '=的判别式进行分类讨论.【精讲精析】解：（I ）2()3636f x x ax a '=++-.由(0)124,(0)36f a f a '=-=-得曲线()y f x =在x=0处的切线方程为(36)124y a x a =-+-由此知曲线()y f x =在x=0处的切线过点（2，2）。

（II ）由()0f x '=得22120x ax a +--=（i ）当2121a --≤≤-时，()f x 没有极小值； (ii)当21a >-或21a <--时，由()0f x '=得221221,21x a a a x a a a =--+-=-++-故02x x =。

由题设知21213a a a <-++-<，当21a >-时，不等式21213a a a <-++-<无解；当21a <--时，解不等式21213a a a <-++-<得5212a -<<-- 综合(i)(ii)得a 的取值范围是5(,21)2---。

35（21）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B两点，点P 满足0.OA OB OP ++=(Ⅰ)证明：点P 在C 上；（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四证明点P在C上。