《创新设计》2017届高考数学(理)二轮复习(江苏专用)解答题综合练习 (28份打包)解答题 第四周 星期一
《创新设计》2017届高考数学(理)二轮复习(江苏专用)教师word文档 专题二
第1讲 三角函数的图象与性质高考定位 高考对本内容的考查主要有：三角函数的有关知识大部分是B 级要求，只有函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质是A 级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量综合考查，构成低档题.真 题 感 悟1.(2013·江苏卷)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________.解析 利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期公式求解.函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为T ＝2π2＝π. 答案 π2.(2011·江苏卷)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________. 解析 因为由图象可知振幅A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4， 所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，解得一个符合的φ＝π3，从而y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (0)＝62.答案 623.(2014·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________.解析 根据题意，将x ＝π3代入可得cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，∴2π3＋φ＝2k π＋π6或23π＋φ＝2k π＋56π(k ∈Z ). 又∵φ∈[0，π)，∴φ＝π6. 答案 π64.(2015·浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________. 解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ， ∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z . 答案 π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) 考 点 整 合1.常用三种函数的易误性质2.三角函数的常用结论(1)y＝A sin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得.(2)y＝A cos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.(3)y＝A tan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.3.三角函数的两种常见变换热点一三角函数的图象【例1】 (1)(2016·无锡高三期末)将函数f (x )＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位，得函数y ＝g (x )的图象，则g (x )＝________.(2)(2016·南京调研)如图，它是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈[0，2π))图象的一部分，则f (0)的值为________.解析 (1)将f (x )＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到g (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象.(2)由函数图象得A ＝3，2πω＝2[3－(－1)]＝8，解得ω＝π4，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ，又因为(3，0)为函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ的一个下降零点，所以π4×3＋φ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )，解得φ＝π4＋2k π(k ∈Z )，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝π4， 所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，则f (0)＝3sin π4＝322.答案 (1)2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 (2)322探究提高 (1)对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位和方向.(2)已知图象求函数y ＝A sin ()ωx ＋φ(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练1】 (1)(2015·苏北四市模拟)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为________.(2)(2015·苏、锡、常、镇调研)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________.解析 (1)由图象知T2＝6－(－2)＝8，∴T ＝16，A ＝4. ∴ω＝2πT ＝2π16＝π8. ∴y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ，把点(6，0)代入得： π8×6＋φ＝0， 得φ＝－3π4.∴y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4，又∵|φ|＜π2. ∴y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.(2)根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2. 又函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，所以有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，而0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1. 答案 (1)y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4 (2)1热点二 三角函数的性质[微题型1] 三角函数的性质及其应用【例2－1】 (1)(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.(2)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0).若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________.(3)(2016·苏北四市调研)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于________. 解析 (1)由⎩⎨⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx 得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4 (k ∈Z ). ∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω(k ∈Z ). 设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω. 又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－2×22＝22，且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23， ∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2.(2)由f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，得T 2≥π2－π6，即T ≥2π3；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.所以14T ＝7π12－π3＝π4，即T ＝π.(3)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π6后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ的图象，因为该函数是奇函数，且0＜φ＜π，所以φ＝π3.答案 (1)π2 (2)π (3)π3探究提高 此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解.或者，也可以取选项中的特殊值验证.[微题型2] 三角函数图象与性质的综合应用【例2－2】 (2016·苏、锡、常、镇调研)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域.解 (1)因为f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z ).又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴53x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2π3，∴函数f (x )的值域为[－1－2，2－2].探究提高 求三角函数最值的两条思路：(1)将问题化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sin x 或cos x 的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解.【训练2】 已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程； (2)设函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )，求g (x )的值域. 解 (1)f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.则f (x )的最小正周期为π， 由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z ).(2)g (x )＝[f (x )]2＋f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋122－14.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12时，g (x )取得最小值－14，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，g (x )取得最大值2，所以g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.1.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的图象求解析式 (1)A ＝y max －y min 2，B ＝y max ＋y min 2. (2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT . (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ. 2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解.(1)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程； (2)令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号. 3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (一角一函数)的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、填空题1.(2016·山东卷改编)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是________.解析 ∵f (x )＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝π. 答案 π2.(2016·南通月考)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.解析 由图可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，而|φ|＜π，所以φ＝－π6. 故f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1.答案 －13.(2016·北京卷改编)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则t ＝________，s 的最小值为________.解析 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ，故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6. 答案 12 π64.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到的图象的解析式为_______.解析 由图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π， ∴ω＝2，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，|φ|＜π2得π3＋φ＝π2⇒φ＝π6⇒f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则图象向右平移π6个单位后得到的图象的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π65.(2015·苏北四市调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为________.解析 因为函数f (x )的最大值为2，所以最小正周期T ＝2＝2π2ω，解得ω＝π2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π4，当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z 时，函数f (x )单调递增，所以函数f (x )在x ∈[－1，1]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，346.(2016·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为________.解析 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2. 此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0＜φ＜π，所以φ＝5π6. 答案5π67.已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________.解析 由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋32π，k ∈Z 且ω＞0， 得1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4≤x ≤1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋54π，k ∈Z . 取k ＝0，得π4ω≤x ≤5π4ω，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，∴π4ω≤π2，且π≤5π4ω，解之得12≤ω≤54. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，548.(2016·泰州模拟)若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________. 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4――→右平移φg (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ，关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k2π－π8(k ∈Z )， 显然，k ＝－1时，φ有最小正值π2－π8＝3π8. 答案 3π8 二、解答题9.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求函数y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π8＝－65，求f (x 0)的值.解 (1)T ＝2π2＝π，由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 得－38π＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，18π＋k π，k ∈Z . (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－π8＝－65，即sin 2x 0＝－35，∴cos 2x 0＝±45，∴f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π4＝2(sin 2x 0＋cos 2x 0)＝25或－725.10.(2016·苏州调研)已知函数f (x )＝4sin 3x cos x －2sin x cos x －12cos 4x . (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值.解 f (x )＝2sin x cos x ()2sin 2x －1－12cos 4x ＝－sin 2x cos 2x －12cos 4x ＝－12sin 4x －12cos 4x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4.(1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2. 令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z .(2)因为0≤x ≤π4，所以π4≤4x ＋π4≤5π4. 此时－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1，所以－22≤－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤12，即－22≤f (x )≤12.所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值分别为12，－22.11.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域.解 (1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33cos 2x ＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )， (2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝33sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝－33cos 2x 的图象，即g (x )＝－33cos 2x .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，可得cos 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以－33cos 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，36，即函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，36.第2讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C 级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B 级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用.试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题；(2)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B 级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.真 题 感 悟(2016·江苏卷)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4. (1)求AB 的长； (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值.解 (1)由cos B ＝45，得sin B ＝1－cos 2B ＝35. 又∵C ＝π4，AC ＝6，由正弦定理， 得AC sin B ＝AB sin π4，即635＝AB22⇒AB ＝5 2.(2)由(1)得：sin B ＝35，cos B ＝45，sin C ＝cos C ＝22，则sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝7210， cos A ＝－cos(B ＋C )＝－(cos B cos C －sin B sin C )＝－210， 则cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝72－620.考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.2.正、余弦定理、三角形面积公式(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径).变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ； 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ； 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A.热点一 三角恒等变换及应用【例1】 (1)(2015·重庆卷改编)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝________.(2)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.(3)(2016·苏北四市模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.则sin2α＝________.解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.(2)∵α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35＞0，∴α＋π6为锐角，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×45×35＝2425，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝2425.(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.答案 (1)3 (2)2425 (3)12探究提高 1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.【训练1】 (1)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.(2)(2016·南京、盐城模拟)sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝________.(3)(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________. 解析 (1)法一 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16.法二 cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22cos α－22sin α.所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16.(2)sin(π－α)＝sin α＝－53，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－532＝－23. 由cos α＝2cos 2α2－1，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，得cos α2＝－cos α＋12＝－66.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－66.(3)∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.答案 (1)16 (2)－66 (3)3 热点二 正、余弦定理的应用[微题型1] 三角形基本量的求解【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.(2)(2016·四川卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos Bb ＝sin Cc .①证明：sin A sin B ＝sin C ； ②若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)解析 在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 答案 2113(2)①证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin Cc 中，有 cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C .②解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35. 所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B . 故tan B ＝sin Bcos B＝4.探究提高 1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”. [微题型2] 求解三角形中的最值问题【例2－2】 (2016·苏、锡、常、镇调研)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 易知sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一 由(1)得B ＋C ＝2π3⇒C ＝2π3－B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜B ＜2π3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B＝c sin C ＝2sin π3＝43，所以b ＝43sin B ，c ＝43sin C . 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×43sin B ×43sin C ·sin π3＝433sin B ·sin C ＝433·sin B ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin B cos B ＋12sin 2B ＝sin 2B －33cos 2B ＋33＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋33. 易知－π6＜2B －π6＜7π6，故当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，S △ABC 取得最大值，最大值为233＋33＝ 3. 法二 由(1)知A ＝π3，又a ＝2，由余弦定理得22＝b 2＋c 2－2bc cos π3，即b 2＋c 2－bc ＝4⇒bc ＋4＝b 2＋c 2≥2bc ⇒bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立. 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×32bc ≤34×4＝3，即当b ＝c ＝2时，S △ABC 取得最大值，最大值为 3.探究提高 求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值. [微题型3] 求解三角形中的实际问题【例2－3】 (2016·无锡高三期末)在一个直角边长为10 m 的等腰直角三角形ABC 的草地上，铺设一个也是等腰直角三角形PQR 的花地，要求P ，Q ，R 三点分别在△ABC 的三条边上，且要使△PQR 的面积最小，现有两种设计方案： 方案一：直角顶点Q 在斜边AB 上，R ，P 分别在直角边AC ，BC 上； 方案二：直角顶点Q 在直角边BC 上，R ，P 分别在直角边AC ，斜边AB 上.请问应选用哪一种方案？并说明理由.方案一 方案二解 应选方案二，理由如下：方案一：过点Q 作QM ⊥AC 于点M ，作QN ⊥BC 于点N ， 因为△PQR 为等腰直角三角形，且QP ＝QR ， ∠MQR ＝∠NQP ，∠RMQ ＝∠PNQ ＝90°，所以△RMQ ≌△PNQ ，所以QM ＝QN ，所以Q 为AB 的中点，M ，N 分别为AC ，BC 的中点， 则QM ＝QN ＝5 m ， 设∠RQM ＝α，则RQ ＝5cos α，α∈[0°，45°]， 所以S △PQR ＝12×RQ 2＝252cos 2α.所以当cos 2α＝1，即α＝0°时，S △PQR 取得最小值252 m 2.方案二：设CQ ＝x ，∠RQC ＝β，β∈[0°，90°)， 在△RCQ 中，RQ ＝xcos β，在△BPQ 中，∠PQB ＝90°－β， 所以QP sin B ＝BQ sin ∠BPQ ，即x 22cos β＝10－xsin （45°＋β）.化简得xcos β＝10－x sin β＋cos β，解得x ＝10cos βsin β＋2cos β，所以S △PQR ＝12×RQ 2＝50（sin β＋2cos β）2，因为(sin β＋2cos β)2≤5，所以S △PQR 的最小值为10 m 2.综上，应选用方案二.探究提高 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.【训练2】 (2016·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小.(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24， 故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因sin B ≠0，得sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)， 所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2； 当C －B ＝π2时，A ＝π4. 综上，A ＝π2或A ＝π4.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S＝12ab sin C来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、填空题1.已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝________.解析∵sin α＋2cos α＝10 2，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝52.用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.答案－3 42.(2016·泰州调研)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，23cos2A ＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝________.解析化简23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，又角A为锐角，解得cos A ＝15，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b ＝5. 答案 53.(2016·全国Ⅲ卷改编)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝________.解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010.答案 －10104.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①. ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得 ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 答案3325.(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________.解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 答案172506.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________. 解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.答案 87.(2010·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B ＝________.解析 b a ＋a b ＝6cos C ⇒6ab cos C ＝a 2＋b 2，6ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2，a 2＋b 2＝3c 22.tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ·cos B sin A ＋sin B cos A sin A sin B＝sin C cos C ·sin （A ＋B ）sin A sin B ＝1cos C ·sin 2Csin A sin B ， 由正弦定理得：上式＝1cos C ·c 2ab ＝4.答案 48.(2014·江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C .由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b2， cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2即a b ＝23时等号成立.∴cos C 的最小值为6－24. 答案6－24二、解答题9.(2016·北京卷)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以 C ＝3π4－A ，0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4，∵0＜A＜3π4，∴π4＜A＋π4＜π，故当A＋π4＝π2，即A＝π4时，2cos A＋cos C取得最大值为1.10.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin B sin C的值.解(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝12或cos A＝－2(舍去)，因为0＜A＜π，所以A＝π3.(2)由S＝12bc sin A＝12bc·32＝34bc＝53，得bc＝20，又b＝5，知c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝25＋16－20＝21，故a＝21.又由正弦定理得sin B sin C＝ba sin A·ca sin A＝bca2sin 2A＝2021×34＝57.11.(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B 处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得 AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m).所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213 ＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8， 故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ， 得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m). 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内. 第3讲 平面向量高考定位 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B 级，只有平面向量的应用为A 级要求，平面向量的数量积为C 级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档； (2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.真 题 感 悟1.(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8， 解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.答案 －32.(2011·江苏卷)已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则k 的值为________.解析 因为e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，所以e 1·e 2＝||e 1||e 2cos 〈e 1，e 2〉＝cos 2π3＝－12，又a·b ＝0，所以(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0， 即k －12－2＋(－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，解得k ＝54. 答案 543.(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析 如图，DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝ －16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12. 答案 124.(2016·江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA→·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4. 又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点， 则AD→＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ， AF→＝23AD →＝13a ＋13b .AE→＝13AD →＝16a ＋16b ， BF→＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ， CF→＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF→·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b ＝ －29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE→＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b . CE→＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56a ＋16b ⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.答案 78考 点 整 合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1). (2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP→＝12(OA →＋OB →). (3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.热点一 平面向量的有关运算 [微题型1] 平面向量的线性运算【例1－1】 (1)(2016·南通调研)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________.(2)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE→·AF →＝1，则λ的值为________.解析 (1) 依题意，设BO→＝λBC →，其中1＜λ＜43，则有AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB→＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1＋x )AC →，且AB →、AC →不共线，于是有x ＝1－λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.(2)法一 如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF→＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE→·AF → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋1λAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13λ×2×2×cos120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知： A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)， D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－13， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－43·⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ，－1λ－1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1λ＋43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 (2)2探究提高 用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.[微题型2] 平面向量的坐标运算【例1－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝________.(2)(2016·全国Ⅲ卷改编)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝________.解析 (1)由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8. (2)|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，则∠ABC ＝30°. 答案 (1)8 (2)30°探究提高 若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷. [微题型3] 平面向量数量积的运算【例1－3】 (1)(2016·连云港调研)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________.(2)(2016·佛山二模)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF→的最小值为________.解析 (1)设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，则x 2＋y 2＝1，a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x ，1－y )，则(a －c )·(b －c )＝(1－x )(－x )＋(－y )(1－y )＝x 2＋y 2－x －y ＝1－x －y ≤0， 即x ＋y ≥1.又a ＋b －c ＝(1－x ，1－y )，∴|a ＋b －c |＝（1－x ）2＋（1－y ）2＝（x －1）2＋（y －1）2.①法一 如图.c ＝(x ，y )对应点在AB ︵上，而①式的几何意义为P 点到AB ︵上点的距离，其最大值为1. 法二 |a ＋b －c |＝（x －1）2＋（y －1）2 ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋2＝3＋2（－x －y ）＝3－2（x ＋y ），∵x ＋y ≥1，∴|a ＋b －c |≤3－2＝1，最大值为1.(2)法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB→＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →， ∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD→＋λBC →·19λDC→＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918. 法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号， 故AE→·AF →的最小值为2918. 答案 (1)1 (2)2918探究提高 (1)①数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；②可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；③在用|a |＝a 2求向量的。
创新设计(江苏专用)高考数学二轮复习 解答题 第二周 星期六 解答题综合练 理
星期六 (解答题综合练)2017年____月____日1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝2，C ＝60°.(1)求a ＋b sin A ＋sin B的值； (2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积.解 (1)由正弦定理可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin 60°＝232＝433， 所以a ＝433sin A ，b ＝433sin B ， 所以a ＋b sin A ＋sin B ＝433（sin A ＋sin B ）sin A ＋sin B ＝433. (2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，又a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0.解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去). 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3. 2.如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面ACC 1A 1是正方形，点O 是侧面ACC 1A 1的中心，∠ACB ＝π2，点M 是棱BC 的中点.(1)求证：OM ∥平面ABB 1A 1；(2)求证：平面ABC 1⊥平面A 1BC .证明 (1)在△A 1BC 中，因为点O 是A 1C 的中点，点M 是BC 的中点，所以OM ∥A 1B .又OM ⊄平面ABB 1A 1，A 1B ⊂平面ABB 1A 1，所以OM ∥平面ABB 1A 1.(2)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC .又∠ACB ＝π2， 即BC ⊥AC ，且CC 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.又AC 1⊂平面ACC 1A 1，所以BC ⊥AC 1.又在正方形ACC 1A 1中，A 1C ⊥AC 1，且BC ，A 1C ⊂平面A 1BC ，BC ∩A 1C ＝C ，所以AC 1⊥平面A 1BC .又AC 1⊂平面ABC 1，所以平面ABC 1⊥平面A 1BC .3.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是一个AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于底面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v ，为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小.(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子)；(2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？解 (1)在△BCD 中，∵∠BCD ＝θ，∠B ＝π3，BD ＝l ， ∴BC ＝l sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θsin θ，CD ＝3l 2sin θ， ∴AC ＝AB －BC ＝l －l sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θsin θ，则t ＝AC 3v ＋CD v ＝l 3v －l sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ3v sin θ＋3l 2v sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＜θ＜2π3. (2)t ＝l 6v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3cos θsin θ＋3l 2v sin θ＝l 6v ＋3l 6v·3－cos θsin θ. 令m (θ)＝3－cos θsin θ， 则m ′(θ)＝1－3cos θsin 2θ， 令m ′(θ)＝0得cos θ＝13. 设cos θ0＝13，θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3，则θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，θ0时，m ′(θ)＜0；θ∈⎝⎛⎭⎪⎫θ0，2π3时，m ′(θ)＞0， ∴当cos θ＝13时，m (θ)有最小值22， 此时BC ＝6＋48l . 答：当BC ＝6＋48l 时货物运行时间最短.4.如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 、B 是四条直线x ＝±2，y ＝±1所围成矩形的两个顶点.(1)设P 是椭圆C 上任意一点，若OP →＝mOA →＋nOB →，求证：动点Q (m ，n )在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M 、N 是椭圆C 上两个动点，且直线OM 、ON 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求△OMN 的面积是否为定值，说明理由.(1)证明 易求A (2，1)，B (－2，1).设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.由OP →＝mOA →＋nOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2（m －n ），y 0＝m ＋n ，所以4（m －n ）24＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12.故点Q (m ，n )在定圆x 2＋y 2＝12上.(2)解 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2＝k OA ·k OB ＝－14. 平方得x 21x 22＝16y 21y 22＝(4－x 21)(4－x 22)，即x 21＋x 22＝4.因为直线MN 的方程为(x 2－x 1)y －(y 2－y 1)x ＋x 1y 2－x 2y 1＝0，所以O 到直线MN 的距离为d ＝|x 1y 2－x 2y 1|（x 2－x 1）2＋[－（y 2－y 1）]2＝|x 1y 2－x 2y 1|（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2， 所以△OMN 的面积S ＝12MN ·d ＝12|x 1y 2－x 2y 1| ＝12x 21y 22＋x 22y 21－2x 1x 2y 1y 2 ＝12 x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 224＋x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＋12x 21x 22 ＝12x 21＋x 22＝1.故△OMN 的面积为定值1.5.已知函数f (x )＝axe x 在x ＝0处的切线方程为y ＝x . (1)求实数a 的值；(2)若对任意的x ∈(0，2)，都有f (x )＜1k ＋2x －x 2成立，求实数k 的取值范围； (3)若函数g (x )＝ln f (x )－b 的两个零点为x 1，x 2，试判断g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的正负，并说明理由.解 (1)由题意得f ′(x )＝a （1－x ）e x ，因为函数在x ＝0处的切线方程为y ＝x ，所以f ′(0)＝1，解得a ＝1.(2)由题知f (x )＝x e x ＜1k ＋2x －x 2对任意x ∈(0，2)都成立，所以k ＋2x －x 2＞0，即k ＞x 2－2x 对任意x ∈(0，2)都成立，从而k ≥0.不等式整理可得k ＜ex x ＋x 2－2x, 令g (x )＝e xx 2＋x 2－2x ，所以g ′(x )＝e x （x －1）x 2＋2(x －1)＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫exx 2＋2＝0，解得x ＝1，当x ∈(1，2)时，g ′(x )＞0，函数g (x )在(1，2)上单调递增，同理可得函数g (x )在(0，1)上单调递减，所以k ＜g (x )min ＝g (1)＝e －1，综上所述，实数k 的取值范围是[0，e －1).(3)结论是g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0，理由如下：由题意得函数g (x )＝ln f (x )－b ＝ln x －x －b ，所以g ′(x )＝1x －1＝1－x x ，易得函数g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以要证g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0，只需证明x 1＋x 22＞1即可.因为x 1，x 2是函数g (x )的两个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋b ＝ln x 1，x 2＋b ＝ln x 2，相减得x 2－x 1＝ln x 2x 1，不妨令x 2x 1＝t ＞1, 则x 2＝tx 1，则tx 1－x 1＝ln t ，所以x 1＝1t －1ln t ，x 2＝t t －1ln t ， 即证t ＋1t －1ln t ＞2，即证φ(t )＝ln t －2·t －1t ＋1＞0， 因为φ′(t )＝1t －4（t ＋1）2＝（t －1）2t （t ＋1）2＞0， 所以φ(t )在(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t )＞φ(1)＝0，综上所述，函数g (x )总满足g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜0成立. 6.已知a ，b 是不相等的正数，在a ，b 之间分别插入m 个正数a 1，a 2，…，a m 和m 个正数b 1，b 2，…，b m ，使a ，a 1，a 2，…，a m ，b 是等差数列，a ，b 1，b 2，…，b m ，b 是等比数列.(1)若m ＝5，a 3b 3＝54，求b a的值； (2)若b ＝λa (λ∈N *，λ≥2)，如果存在n (n ∈N *，6≤n ≤m )使得a n －5＝b n ，求λ的最小值及此时m 的值；(3)求证：a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m ).(1)解 设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则d ＝b －a 6，q ＝6b a. a 3＝a ＋3d ＝a ＋b 2，b 3＝aq 3＝ab . 因为a 3b 3＝54，所以2a －5ab ＋2b ＝0，解得b a ＝4或14. (2)解 因为λa ＝a ＋(m ＋1)d ，所以d ＝λ－1m ＋1a ， 从而得a n ＝a ＋λ－1m ＋1a ×n . 因为λa ＝a ×q m ＋1，所以q ＝λ1m ＋1，从而得b n ＝a ×λn m ＋1. 因为a n －5＝b n ，所以a ＋（λ－1）（n －5）m ＋1×a ＝a ×λn m ＋1. 因为a ＞0，所以1＋（λ－1）（n －5）m ＋1＝λn m ＋1(*). 因为λ，m ，n ∈N *，所以1＋（λ－1）（n －5）m ＋1为有理数. 要使(*)成立，则λnm ＋1必须为有理数.因为n ≤m ，所以n ＜m ＋1.若λ＝2，则λnm ＋1为无理数，不满足条件.同理，λ＝3不满足条件.当λ＝4时，4n m ＋1＝22n m ＋1. 要使22n m ＋1为有理数，则2n m ＋1必须为整数. 又因为n ≤m ，所以仅有2n ＝m ＋1满足条件.所以1＋3（n －5）m ＋1＝2，从而解得n ＝15，m ＝29. 综上，λ的最小值为4，此时m 为29.(3)证明 法一 设等比数列a ，b 1，b 2，…，b m ，b 设为{c n }，且c n ＞0，S n 为数列{c n }的前n 项的和.先证：若{c n }为递增数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递增数列. 证明：当n ∈N *时，S n n ＜nc n ＋1n＝c n ＋1. 因为S n ＋1＝S n ＋c n ＋1＞S n ＋S n n ＝n ＋1n S n ， 所以S n n ＜S n ＋1n ＋1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递增数列. 同理可证，若{c n }为递减数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递减数列.①当b ＞a 时，q ＞1.当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＞S n n. 即aq （q m ＋1－1）q －1m ＋1＞aq （q n －1）q －1n ，即aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －a n. 因为b ＝aqm ＋1，b n ＝aq n ，d ＝b －a m ＋1， 所以d ＞b n －a n，即a ＋nd ＞b n ，即a n ＞b n . ②当b ＜a 时，0＜q ＜1.当n ∈N *，n ≤m 时，S m ＋1m ＋1＜S n n. 即aq （q m ＋1－1）q －1m ＋1＜aq （q n －1）q －1n. 因为0＜q ＜1，所以aq m ＋1－a m ＋1＞aq n －a n.以下同①. 综上，a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m ).法二 设等差数列a ，a 1，a 2，…，a m ，b 的公差为d ，等比数列a ，b 1，b 2，…，b m ，b 的公比为q ，b ＝λa (λ＞0，λ≠1).由题意得d ＝λ－1m ＋1a ，q ＝a λ1m ＋1， 所以a n ＝a ＋nd ＝a ＋λ－1m ＋1an ，b n ＝a λn m ＋1. 要证a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m )，只要证1＋λ－1m ＋1n －λn m ＋1＞0(λ＞0，λ≠1，n ∈N *，n ≤m ). 构造函数f (x )＝1＋λ－1m ＋1x －λx m ＋1(λ＞0，λ≠1，0＜x ＜m ＋1)，则f ′(x )＝λ－1m ＋1－1m ＋1λx m ＋1ln λ. 令f ′(x )＝0，解得x 0＝(m ＋1)log λλ－1ln λ. 以下证明0＜log λλ－1ln λ＜1.不妨设λ＞1， 即证明1＜λ－1ln λ＜λ， 即证明ln λ－λ＋1＜0，λln λ－λ＋1＞0.设g (λ)＝ln λ－λ＋1，h (λ)＝λln λ－λ＋1(λ＞1)，则g ′(λ)＝1λ－1＜0，h ′(λ)＝ln λ＞0， 所以函数g (λ)＝ln λ－λ＋1(λ＞1)为减函数，函数h (λ)＝λln λ－λ＋1(λ＞1)为增函数.所以g (λ)＜g (1)＝0，h (λ)＞h (1)＝0.所以1＜λ－1ln λ＜λ， 从而0＜log λλ－1ln λ＜1， 所以0＜x 0＜m ＋1.因为在(0，x 0)上f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，x 0)上是增函数；因为在(x 0，m ＋1)上f ′(x )＜0，函数f (x )在(x 0，m ＋1)上是减函数；所以f (x )＞min{f (0)，f (m ＋1)}＝0.所以a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m ).同理，当0＜λ＜1时，a n ＞b n (n ∈N *，n ≤m ).。
《创新设计》2017届高考理科数学(江苏专用)二轮教师文档讲义：专题3.2数列的综合应用
第2讲 数列的综合应用高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题；(2)求数列的前n 项和的几种方法；(3)数列与函数、不等式、数论等知识结合的综合问题.题型一般为解答题，且为压轴题.真 题 感 悟(2016·江苏卷)记U ＝{1，2，…，100}.对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1，2，…，k }，求证：S T ＜a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D . (1)解 当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝a 2＋9a 2＝30， ∴a 2＝3，a 1＝a 23＝1， 故a n ＝a 1q n －1＝3n －1.(2)证明 对任意正整数k (1≤k ≤100). 由于T ⊆{1，2，…，k }，则S T ≤a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝1＋3＋32＋…＋3k －1＝3k －12＜3k ＝a k ＋1.因此，S T ＜a k ＋1.(3)证明 设A ＝∁C (C ∩D )，B ＝∁D (C ∩D )， 则A ∩B ＝∅，S C ＝S A ＋S C ∩D ，S D ＝S B ＋S C ∩D ，S C ＋S C ∩D －2S D ＝S A －2S B ， ∴S C ＋S C ∩D ≥2S D 等价于S A ≥2S B . 由条件S C ≥S D 可得S A ≥S B . ①若B ＝∅，则S B ＝0， 所以S A ≥2S B 成立，②若B ≠∅，由S A ≥S B 可知A ≠∅，设A 中的最大元素为I ，B 中的最大元素为m ， 若m ≥I ＋1，则由(2)得S A ＜S I ＋1≤a m ≤S B ，矛盾. 又∵A ∩B ＝∅，∴I ≠m ，∴I ≥m ＋1，∴S B ≤a 1＋a 2＋…＋a m ＝1＋3＋32＋…＋3m －1＜a m ＋12≤a I 2≤S A2，即S A ＞2S B 成立. 综上所述，S A ≥2S B .故S C ＋S C ∩D ≥2S D 成立.考 点 整 合1.数列求和常用方法(1)分组转化求和：把数列的每一项拆成两项(或多项)，再重新组合成两个(或多个)简单的数列，最后分别求和.(2)错位相减法：适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列.把S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 两边同乘以相应等比数列的公比q ，得到qS n ＝a 1q ＋a 2q ＋…＋a n q ，两式错位相减即可求出S n .(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.2.数列中的不等式问题主要有证明数列不等式、比较大小或恒成立问题，解决方法如下：(1)利用数列(或函数)的单调性；(2)放缩法：①先求和后放缩；②先放缩后求和，包括放缩后成等差(或等比)数列再求和，或者放缩后成等差比数列再求和，或者放缩后裂项相消法求和.热点一 数列求和与不等式的结合问题【例1】 (2016·泰州调研)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *).若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2. (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n－1b n(n ∈N *).记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n .解 (1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)， 所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *). 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n ＋1).故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *). (2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *).②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0； 当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2n －1，而n （n ＋1）2n －（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0，得n （n ＋1）2n ≤5·（5＋1）25<1，所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *，恒有S 4≥S n ，故k ＝4.探究提高 (1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性求解.(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，常利用放缩法或单调性法证明.(3)当已知数列关系式时，需要知道其范围时，可借助数列的单调性，即比较相邻两项的大小即可.【训练1】 (2016·洛阳二模)已知数列{a n }中，a 2＝2，S n 是其前n 项和，且S n ＝na n2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若正项数列{b n }满足a n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫b n 22，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和为T n ，求使得n ＋12－T n ＞30成立的正整数n 的最小值.解 (1)令n ＝1，得a 1＝0.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n 2－（n －1）a n －12.可得(n －2)a n ＝(n －1)a n －1， 当n ≥3时，a n a n －1＝n －1n －2， 所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 3a 2×a 2＝2(n －1)，显然当n ＝1，2时，满足上式.所以a n ＝2(n －1). (2)因为a n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫b n 22，所以2(n －1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫b n 22＝log 2b 2n －log 24 ＝2log 2b n －2，即2n ＝2log 2b n ，∴b n ＝2n ， a n b n ＝2（n －1）2n ＝n －12n －1，所以T n ＝020＋121＋222＋323＋…＋n －12n －1，12T n ＝021＋122＋223＋…＋n －22n －1＋n －12n ， 作差得12T n ＝12＋122＋…＋12n －1－n －12n ＝1－12n －1－n －12n ＝1－n ＋12n .∴T n ＝2－n ＋12n －1.所以n ＋12－T n＝2n －1＞30，当n ≥6时，不等式恒成立，所以正整数n 的最小值为6. 热点二 有关数列中计算的综合问题【例2】 (2016·镇江期末)已知数列{a n }的各项都为自然数，前n 项和为S n ，且存在整数λ，使得对任意正整数n 都有S n ＝(1＋λ)a n －λ恒成立. (1)求λ的值，使得数列{a n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }为等比数列，此时存在正整数k ，当1≤k ＜j 时，有∑i ＝kja i ＝2 016，求k .解 (1)法一 因为S n ＝(1＋λ)a n －λ，① 所以S n ＋1＝(1＋λ)a n ＋1－λ，② 由②－①得λa n ＋1＝(1＋λ)a n ，③当λ＝0时，a n ＝0，数列{a n }是等差数列.当λ≠0时，a 1＝(1＋λ)a 1－λ，a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝1λa n ，④ 要使数列{a n }是等差数列，则④式右边1λa n为常数，即a n ＋1－a n 为常数， ④式左边a n ＋1－a n ＝0，a n ＝0，与a 1＝1矛盾.综上可得，当λ＝0时，数列{a n }为等差数列，且a n ＝0. 法二 若数列{a n }是等差数列，必有2a 2＝a 1＋a 3， 当λ＝0时，a 1＝a 2＝a 3＝0，满足2a 2＝a 1＋a 3， 此时S n ＝a n ，则S n ＋1＝a n ＋1，故a n ＝0， 当λ≠0时，a 1＝1，a 2＝1＋1λ，a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ2，由2a 2＝a 1＋a 3，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1λ2，该方程无解，综上可得，当λ＝0时，数列{a n }为等差数列，其中a n ＝0. (2)由(1)可得，当λ＝0时，数列{a n }不是等比数列， 当λ＝－1时，由①得S n ＝1，则a 1＝S 1＝1， a n ＝S n －S n －1＝0(n ≥2)，不是等比数列.当λ≠0，且λ≠－1时，得a n ＋1a n ＝1＋1λ，{a n }为公比为1＋1λ的等比数列，又对任意n ，a n ∈N ，则q ＝1＋1λ∈N ， 故仅有λ＝1，q ＝2时，满足题意， 又由(1)得a 1＝1，故a n ＝2n －1.因为∑i ＝kja i ＝2k －1（2j －k ＋1－1）2－1＝2 016，所以2k －1(2j －k ＋1－1)＝2 016＝25×32×7，由题意j －k ＋1≥2，2j －k ＋1－1为大于1的奇数，所以2k －1＝25，k ＝6， 则2j －5－1＝32×7，2j －5＝64，j ＝11， 故仅存在k ＝6时，j ＝11，∑i ＝k ja i ＝2 016.探究提高 此类问题看似简单，实际复杂，思维量和计算量较大，难度较高. 【训练2】 (2011·江苏卷)设M 为部分正整数组成的集合，数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项的和为S n ，已知对任意的整数k ∈M ，当整数n ＞k 时，S n ＋k ＋S n －k ＝2(S n ＋S k )都成立.(1)设M ＝{1}，a 2＝2，求a 5的值； (2)设M ＝{3，4}，求数列{a n }的通项公式.解 (1)由题设知，当n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)，即(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1，从而a n ＋1－a n ＝2a 1＝2.又a 2＝2，故当n ≥2时，a n ＝a 2＋2(n －2)＝2n －2.所以a 5的值为8.(2)由题设知，当k ∈M ＝{3，4}且n ＞k 时，S n ＋k ＋S n －k ＝2S n ＋2S k 且S n ＋1＋k ＋S n ＋1－k＝2S n ＋1＋2S k ，两式相减得a n ＋1＋k ＋a n ＋1－k ＝2a n ＋1，即a n ＋1＋k －a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋1－k，所以当n ≥8时，a n －6，a n －3，a n ，a n ＋3，a n ＋6成等差数列，且a n －6，a n －2，a n ＋2，a n ＋6也成等差数列.从而当n ≥8时，2a n ＝a n ＋3＋a n －3＝a n ＋6＋a n －6，(*)且a n ＋6＋a n －6＝a n ＋2＋a n －2.所以当n ≥8时，2a n ＝a n ＋2＋a n －2，即a n ＋2－a n ＝a n －a n －2.于是当n ≥9时，a n －3，a n －1，a n ＋1，a n ＋3成等差数列，从而a n ＋3＋a n －3＝a n ＋1＋a n －1，故由(*)式知2a n ＝a n ＋1＋a n－1，即a n ＋1－a n ＝a n －a n －1.当n ≥9时，设d ＝a n －a n －1.当2≤m ≤8时，m ＋6≥8，从而由(*)式知2a m ＋6＝a m ＋a m ＋12，故2a m ＋7＝a m ＋1＋a m ＋13.从而2(a m ＋7－a m ＋6)＝a m ＋1－a m ＋(a m ＋13－a m ＋12)，于是a m ＋1－a m ＝2d －d ＝d . 因此，a n ＋1－a n ＝d 对任意n ≥2都成立.又由S n ＋k ＋S n －k －2S n ＝2S k (k ∈{3，4})可知，(S n ＋k －S n )－(S n －S n －k )＝2S k ，故9d ＝2S 3且16d ＝2S 4.解得a 4＝72d ，从而a 2＝32d ，a 3＝52d ，又由S 3＝92d ＝a 1＋a 2＋a 3，故a 1＝d2.因此，数列{a n }为等差数列，由a 1＝1知d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. 热点三 有关数列中证明的综合问题【例3】 (2016·南通、扬州、泰州调研)已知数列{a n }，{b n }均为各项都不相等的数列，S n 为{a n }的前n 项和，a n ＋1b n ＝S n ＋1(n ∈N *). (1)若a 1＝1，b n ＝n2，求a 4的值；(2)若{a n }是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{b n ＋λ}为等比数列； (3)若{a n }的各项都不为零，{b n }是公差为d 的等差数列，求证：a 2，a 3，…，a n ，…成等差数列的充要条件是d ＝12.(1)解 由a 1＝1，b n ＝n2知a 2＝4，a 3＝6，a 4＝8. (2)证明 因为a n ＋1b n ＝S n ＋1，① 所以当n ≥2时，a n b n －1＝S n －1＋1，②由①－②得，当n ≥2时，a n ＋1b n －a n b n －1＝a n ，③ 由③得，当n ≥2时，b n ＝a n a n ＋1b n －1＋a n a n ＋1＝1q b n －1＋1q ，所以b n ＋11－q ＝1q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －1＋11－q .又因为b n ＋11－q ≠0(否则{b n }为常数数列与题意不符)，所以存在实数λ＝11－q ，使得{b n ＋λ}为等比数列.(3)证明 因为{b n }为公差为d 的等差数列， 所以由③得，当n ≥2时，a n ＋1b n －a n (b n －d )＝a n ， 即(a n ＋1－a n )b n ＝(1－d )a n ，因为{a n }，{b n }各项均不相等，所以a n ＋1－a n ≠0，1－d ≠0， 所以当n ≥2时，b n 1－d ＝a na n ＋1－a n，④ 当n ≥3时，b n －11－d ＝a n －1a n －a n －1，⑤由④－⑤得，当n≥3时，a na n＋1－a n－a n－1a n－a n－1＝b n－b n－11－d＝d1－d，⑥先证充分性，即由d＝12证明a2，a3，…，a n，…成等差数列.因为d＝12，由⑥得a na n＋1－a n－a n－1a n－a n－1＝1，所以当n≥3时，a na n＋1－a n＝1＋a n－1a n－a n－1＝a na n－a n－1，又a n≠0，所以a n＋1－a n＝a n－a n－1，即a2，a3，…，a n，…成等差数列.再证必要性，即由a2，a3，…，a n，…成等差数列证明d＝1 2.因为a2，a3，…，a n，…成等差数列，所以当n≥3时，a n＋1－a n＝a n－a n－1，所以由⑥得a na n＋1－a n－a n－1a n－a n－1＝a na n－a n－1－a n－1a n－a n－1＝1＝d1－d，解得d＝1 2.所以a2，a3，…，a n，…成等差数列的充要条件是a＝1 2.探究提高分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)证明数列为等差或等比数列需要先证任意两项的差或比值为定值，证明充要条件需要证明充分性与必要性等，确定解题的逻辑次序.【训练3】(2014·江苏卷)设数列{a n}的前n项和为S n.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n＝a m，则称{a n}是“H数列”.(1)若数列{a n}的前n项和S n＝2n(n∈N*)，证明：{a n}是“H数列”；(2)设{a n}是等差数列，其首项a1＝1，公差d＜0.若{a n}是“H数列”，求d的值；(3)证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n＝b n＋c n(n∈N*)成立.(1)证明由已知，当n≥1时，a n＋1＝S n＋1－S n＝2n＋1－2n＝2n.于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m .所以{a n }是“H 数列”. (2)解 由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1. 因为d ＜0，所以m －2＜0，故m ＝1.从而d ＝－1.当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n （3－n ）2是小于2的整数，n ∈N *，于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n （3－n ）2，使得S n ＝2－m ＝a m ，所以{a n }是“H 数列”.因此d 的值为－1. (3)证明 设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *). 令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *). 下证{b n }是“H 数列”.设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n （n ＋1）2a 1(n ∈N *)，于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝n （n ＋1）2，使得T n ＝b m ，所以{b n }是“H 数列”. 同理可证{c n }也是“H 数列”.所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立. 热点四 数列中的探索性问题【例4】 设数列{a n }的前n 项积为T n ，已知对∀n ，m ∈N *，当n ＞m 时，总有T nT m＝T n －m ·q (n －m )m (q ＞0是常数). (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设正整数k ，m ，n (k ＜m ＜n )成等差数列，试比较T n ·T k 和(T m )2的大小，并说明理由；(3)探究：命题p ：“对∀n ，m ∈N *，当n ＞m 时，总有T nT m＝T n －m ·q (n －m )m (q ＞0是常数)”是命题t ：“数列{a n }是公比为q (q ＞0)的等比数列”的充要条件吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.(1)证明 设m ＝1，则有T n T 1＝T n －1·q n －1，因为T i ≠0(i ∈N *)，所以有T nT n －1＝a 1·q n－1，即a n ＝a 1·q n －1，所以当n ≥2时a na n －1＝q ， 所以数列{a n }是等比数列.(2)解 当q ＝1时，a n ＝a 1(n ∈N *)，所以T n ＝a n 1，所以T n ·T k ＝a n 1·a k 1＝a n ＋k 1＝a 2m1＝T 2m ，当q ≠1时，a n ＝a 1·qn －1，T n ＝a 1·a 2…a n ＝a n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝a n1·q n （n －1）2，所以T n ·T k ＝a n 1·qn （n －1）2·a k 1·q k （k －1）2＝a n ＋k 1·q n 2－n ＋k 2－k 2，T 2m ＝a 2m 1·q m (m －1).因为n ＋k ＝2m 且k ＜m ＜n ，所以a n ＋k 1＝a 2m 1，n 2＋k 2－n －k 2＝n 2＋k 22－m ＞⎝⎛⎭⎪⎫n ＋k 22－m ＝m 2－m ，所以若q ＞1，则T n ·T k ＞T 2m ；若q ＜1，则T n ·T k ＜T 2m .(3)解 由(1)知，充分性成立；必要性：若数列{a n }成等比数列，则a n ＝a 1·q n －1，所以当q ≠1时，T n ＝a n 1·qn （n －1）2，则T n T m＝a n 1·qn （n －1）2a m 1·q m （m －1）2＝a n －m1·q n 2－n －m 2＋m2＝a n －m 1·q（n －m ）（n ＋m －1）2，T n －m ·q(n －m )m＝a n －m1·q（n －m ）（n －m －1）2·q (n －m )·m＝a n －m1·q（n －m ）（n －m －1）＋2（n －m ）m2＝a n －m1·q（n －m ）（n ＋m －1）2.所以，“对∀n ，m ∈N *，当n＞m 时总有T nT m＝T n －m ·q (n －m )m 成立；同理可证当q ＝1时也成立.所以命题p 是命题t 的充要条件.探究提高 数列中的比较大小与其它比较大小的方法类似，也是差比法或商比法.另外探索充要条件要从充分性、必要性两个方面判断与寻找.【训练4】 (2016·南京调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑i ＝1n(－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (n ＞m ＞2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，请说明理由. 解 (1)设数列{a n }的公差为d . 因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎨⎧2（a 1＋4d ）－（a 1＋2d ）＝13，4a 1＋6d ＝16，解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k ， 代入不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1得λ·2k ＜4k，从而λ＜4k2k .设f (k )＝4k 2k ，则f (k ＋1)－f (k )＝4k ＋12（k ＋1）－4k 2k ＝4k（3k －1）2k （k ＋1）.因为k ∈N *，所以f (k＋1)－f (k )＞0，所以f (k )是递增的，所以f (k )min ＝2，所以λ＜2. ②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *， 则T 2k －1＝T 2k －(－1)2k a 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k ， 代入不等式λT n ＜[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1， 得λ·(1－2k )＜(2k －1)4k ，从而λ＞－4k .因为k ∈N *，所以－4k 的最大值为－4，所以λ＞－4. 综上所述，λ的取值范围为(－4，2).(3)假设存在正整数m ，n (n ＞m ＞2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列， 则(S m －S 2)2＝S 2·(S n －S m )，即(m 2－4)2＝4(n 2－m 2)， 所以4n 2＝(m 2－2)2＋12，即4n 2－(m 2－2)2＝12， 即(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12.因为n ＞m ＞2，所以n ≥4，m ≥3，所以2n ＋m 2－2≥15.因为2n －m 2＋2是整数，所以等式(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12不成立， 故不存在正整数m ，n (n ＞m ＞2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列.1.数列与不等式综合问题(1)如果是证明不等式，常转化为数列和的最值问题，同时要注意比较法、放缩法、基本不等式的应用；(2)如果是解不等式，注意因式分解的应用. 2.数列与函数的综合问题(1)函数条件的转化：直接利用函数与数列的对应关系，把函数解析式中的自变量x 换为n 即可.(2)数列向函数的转化：可将数列中的问题转化为函数问题，但要注意函数定义域.3.数列中的探索性问题处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理.若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用.还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解.一、填空题1.(2015·全国Ⅱ卷)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________.解析 由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以S n ≠0，所以S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得1S n＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n .答案 －1n2.(2012·江苏卷改编)各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 7＝4，a 6＝8，若函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10的导数为f ′(x )，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析 因为各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 7＝4，a 6＝8，所以a 4＝2，q ＝2，故a n ＝2n －3，又f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋10a 10x 9，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2＋2×2－2＋3×2－2＋…＋10×2－2＝2－2×10×112＝554. 答案 5543.已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝1，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，则{a n }的前n 项和S n ＝________.解析 ∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝2， ∴数列{a n ＋1－a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋1－a n ＝2n －1，∴a 2－a 1＝20，a 3－a 2＝21，a 4－a 3＝22，…，a n －a n －1＝2n －2，∴a n －a 1＝20＋21＋…＋2n －2＝1－2n －11－2＝2n －1－1，∴a n ＝2n －1－1，∴S n ＝(20＋21＋…＋2n －1)－n ＝1－2n 1－2－n ＝2n －n －1.答案 2n －n －14.(2015·南京、盐城模拟)已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________.解析 依题意得S n ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n，当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43； 当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫89，1.由函数y ＝x －1x 在(0，＋∞)上是增函数得S n －1S n的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1772，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，712，因此有A ≤－1772，B ≥712，B －A ≥712＋1772＝5972，即B －A 的最小值是5972.答案 59725.数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin 2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为________.解析 因为a n ＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin 2 n π3＝n 2cos 2n π3，由于cos2n π3以3为周期，且cos 2π3＝－12，cos 4π3＝－12，cos 6π3＝1，所以S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋222＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－42＋522＋62＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－282＋2922＋302 ＝∑k ＝110⎣⎢⎡⎦⎥⎤－（3k －2）2＋（3k －1）22＋（3k ）2 ＝∑k ＝110⎝ ⎛⎭⎪⎫9k －52＝470.答案 470 二、解答题6.数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27. (1)求a 1，a 2的值；(2)是否存在一个实数t ，使得b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，且数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1，∴a 2＝9，∵9＝2a 1＋22＋1，∴a 1＝2. (2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，(n ≥2且n ∈N *) ∴2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，∴4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，∴4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋1＋t ，∴t ＝1.即存在实数t ＝1，使得{b n }为等差数列. (3)由(1)，(2)得b 1＝32，b 2＝52，∴b n ＝n ＋12， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12·2n －1＝(2n ＋1)2n －1－1，S n ＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n ＋1)×2n －1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1－n ，① ∴2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n －2n ，②由①－②得－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n ＋n ＝1＋2×1－2n 1－2－(2n ＋1)×2n ＋n＝(1－2n )×2n ＋n －1， ∴S n ＝(2n －1)×2n －n ＋1.7.(2012·江苏卷)已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n，n ∈N *.(1)设b n ＋1＝1＋b n a n ，n ∈N *，求证：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2是等差数列；(2)设b n ＋1＝2·b na n，n ∈N *，且{a n }是等比数列，求a 1和b 1的值.(1)证明 由题设知a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n＝1＋b nan1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝b n ＋11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，所以b n ＋1a n ＋1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2，从而⎝⎛⎭⎪⎫b n ＋1a n ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2＝1(n ∈N *)，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a n 2是以1为公差的等差数列.(2)解 因为a n ＞0，b n ＞0，所以（a n ＋b n ）22≤a 2n ＋b 2n ＜(a n ＋b n )2， 从而1＜a n ＋1＝a n ＋b na 2n ＋b 2n≤ 2.(*) 设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0知q ＞0.下证q ＝1.若q ＞1，则a 1＝a 2q ＜a 2≤2，故当n ＞log q 2a 1时，a n ＋1＝a 1q n ＞2，与(*)矛盾；若0＜q ＜1，则a 1＝a 2q ＞a 2＞1，故当n ＞log q 1a 1时，a n ＋1＝a 1q n ＜1，与(*)矛盾.综上，q ＝1，故a n ＝a 1(n ∈N *)， 所以1＜a 1≤ 2.又b n ＋1＝2·b n a n＝2a 1·b n (n ∈N *)，所以{b n }是公比为2a 1的等比数列.若a 1≠2，则2a 1＞1，于是b 1＜b 2＜b 3.又由a 1＝a 1＋b n a 21＋b 2n得b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1(n ∈N *)，所以b 1，b 2，b 3中至少有两项相同，矛盾，所以a 1＝2，从而b n ＝a 1±a 212－a 21a 21－1＝ 2.所以a 1＝b 1＝ 2.8.(2013·江苏卷)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和.记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数.(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 证明 由题设，S n ＝na ＋n （n －1）2d . (1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k . (2)设数列{b n }的公差为d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋(b 1－d 1－a ＋12d )n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1).令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎨⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，①19A ＋5B ＋cd 1＝0，②21A ＋5B ＋cd 1＝0，③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0.即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又cd 1＝0，所以c ＝0.9.(2016·盐城模拟)已知数列{a n }满足a 1＝m ，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n ＝2k －1，a n ＋r ，n ＝2k (k ∈N *，r∈R )，其前n 项和为S n .(1)当m 与r 满足什么关系时，对任意的n ∈N *，数列{a n }都满足a n ＋2＝a n? (2)对任意实数m ，r ，是否存在实数p 与q ，使得{a 2n ＋1＋p }与{a 2n ＋q }是同一个等比数列.若存在，请求出p ，q 满足的条件；若不存在，请说明理由； (3)当m ＝r ＝1时，若对任意的n ∈N *，都有S n ≥λa n ，求实数λ的最大值. 解 (1)由题意得a 1＝m ，a 2＝2a 1＝2m ，a 3＝a 2＋r ＝2m ＋r ， 由a 3＝a 1，得m ＋r ＝0.当m ＋r ＝0时，因为a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n ＝2k －1，a n －m ，n ＝2k(k ∈N *)，所以a 1＝a 3＝…＝m ，a 2＝a 4＝…＝2m ，故对任意的n ∈N *，数列{a n }都满足a n ＋2＝a n .即当实数m ，r 满足m ＋r ＝0时，符合题意. (2)存在.依题意，a 2n ＋1＝a 2n ＋r ＝2a 2n －1＋r ， 则a 2n ＋1＋r ＝2(a 2n －1＋r )， 因为a 1＋r ＝m ＋r ，所以当m ＋r ≠0时，{a 2n ＋1＋r }是等比数列，且a 2n ＋1＋r ＝(a 1＋r )2n ＝(m ＋r )2n . 为使{a 2n ＋1＋p }是等比数列，则p ＝r .同理，当m ＋r ≠0时，a 2n ＋2r ＝(m ＋r )2n ，{a 2n ＋2r }是等比数列，欲使{a 2n ＋q }是等比数列，则q ＝2r . 综上所述，①若m ＋r ＝0，则不存在实数p ，q ，使得{a 2n ＋1＋p }与{a 2n ＋q }是等比数列； ②若m ＋r ≠0，则当p ，q 满足q ＝2p ＝2r 时，{a 2n ＋1＋p }与{a 2n ＋q }是同一个等比数列.(3)当m ＝r ＝1时，由(2)可得a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝2n ＋1－2， 当n ＝2k 时，a n ＝a 2k ＝2k ＋1－2，S n ＝S 2k ＝(21＋22＋…＋2k )＋(22＋23＋…＋2k ＋1)－3k ＝3(2k ＋1－k －2)，所以S n a n＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2k ＋1－2. 令c k ＝k 2k ＋1－2，则c k ＋1－c k ＝k ＋12k ＋2－2－k2k ＋1－2＝（1－k ）2k ＋1－2（2k ＋2－2）（2k ＋1－2）＜0，所以S n a n≥32，即λ≤32.当n ＝2k －1时，a n ＝a 2k －1＝2k －1，S n ＝S 2k －a 2k ＝3(2k ＋1－k －2)－(2k ＋1－2)＝2k ＋2－3k －4， 所以S n a n ＝4－3k 2k －1，同理可得S na n≥1，即λ≤1.综上所述，实数λ的最大值为1.。
《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)小题综合限时练(二)
限时练(二)(建议用时：40分钟)1.设集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则∁R (A ∩B )＝________.解析 由已知条件可得A ＝[－2，2]，B ＝[－4，0]，∴∁R (A ∩B )＝(－∞，－2)∪(0，＋∞).答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞)2.某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下图的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为________小时.解析 一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生的比，即 0×7＋0.5×14＋1.0×11＋1.5×11＋2.0×750＝0.97(小时). 答案 0.973.若复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝________.解析 ∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ，∴z ＝－3＋4i 1＋2i ＝（－3＋4i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝5＋10i 5＝1＋2i.答案 1＋2i4.下图是某算法的流程图，则算法运行后输出的结果是________.解析 由框图的顺序，s ＝0，n ＝1，s ＝(s ＋n )n ＝(0＋1)×1＝1，n ＝n ＋1＝2，依次循环s ＝(1＋2)×2＝6，n ＝3，注意此刻3＞3仍然否，所以还要循环一次s ＝(6＋3)×3＝27，n ＝4，此刻输出s ＝27.答案 275.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________.解析 从袋子中随机取2个小球共有10种不同的方法，其中取出的小球标注的数字之和为3或6的方法共有3种，因此所求的概率等于310.答案 3106.在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB→·AC →的最小值为________. 解析 依题意得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2＋bc ＝4≥3bc ，bc ≤43，AB →·AC →＝bc cos A＝－12bc ≥－23，当且仅当b ＝c ＝ 43时取等号，因此AB →·AC →的最小值是－23. 答案 －237.在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m ，1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝________.解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －4|5＝4，2m ＋1≥3，解得m ＝6. 答案 68.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α＝________. 解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝±154， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝±154. 答案 ±1549.已知四棱锥V -ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，VA ⊥平面ABCD ，且VA ＝4，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是________.解析 可证四个侧面都是直角三角形，其面积S ＝2×12×3×4＋2×12×3×5＝27.答案 2710.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________.解析 由焦距为10知，c ＝5，即a 2＋b 2＝25，根据双曲线方程可知，渐近线方程为y ＝±b ax ，代入点P 的坐标得，a ＝2b ，联立方程组可解得a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线方程x 220－y 25＝1.答案 x 220－y 25＝111.已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－3)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为________.解析 由导数的几何意义可知，f ′(x 0)＝(x 0－3)(x 0＋1)2≤0，解得x 0≤3，即该函数的单调递减区间是(－∞，3].答案 (－∞，3]12.在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________，a ＝________.解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，所以c ＝b sin C sin B ＝25×5522＝2 2.由c ＜b 得C ＜B ，故C 为锐角，所以cos C ＝255，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝31010，由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，所以a ＝b sin A sin B ＝25×3101022＝6.答案 22 613.已知函数f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)有且仅有一个零点x 0，若x 0＞0，则a 的取值范围是________.解析 已知f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)，则f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， ①若f ′(x )≥0恒成立，则a ＝0，这与a ＞0矛盾.②若f ′(x )≤0恒成立，显然不可能.③若f ′(x )＝0有两个根a ，－a ，而a ＞0，则f (x )在区间(－∞，－a )上单调递增，在区间(－a ，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增，故f (－a )＜0，即2a 2－6a ＋3＜0，解得3－32＜a ＜3＋32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，3＋32 14.已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________.解析 依题意得S n ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n .当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43； 当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫89，1. 由函数y ＝x －1x 在(0，＋∞)上是增函数得S n －1S n 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1772，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，712， 因此有A ≤－1772，B ≥712，B －A ≥712＋1772＝5972，即B －A 的最小值是5972.答案 5972。
创新设计(江苏专用)2017届高考数学二轮复习下篇考前增分指导一、二、三教书用书文
下篇 考前增分指导一、二、三教书用书 文技巧——巧解填空题的5大妙招解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫.填空题的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活；(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系.由于填空题缺少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断等.方法一 直接法对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法.它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.【例1】 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若PF 1＋PF 2＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________. 解析 设P 点在双曲线右支上，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝6a ，PF 1－PF 2＝2a ， 故PF 1＝4a ，PF 2＝2a ，则PF 2＜F 1F 2， 得∠PF 1F 2＝30°， 由2a sin 30°＝4asin ∠PF 2F 1，得sin ∠PF 2F 1＝1， ∴∠PF 2F 1＝90°，在Rt △PF 2F 1中，2c ＝（4a ）2－（2a ）2＝23a ， ∴e ＝c a＝ 3. 答案3探究提高 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.【训练1】 (1)设θ为第二象限角，若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________. (2)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点.若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于________. 解析 (1)∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1，又θ为第二象限角， 解得sin θ＝1010，cos θ＝－31010. ∴sin θ＋cos θ＝－105. (2)这是一道几何概型的概率问题，点Q 取自△ABE 内部的概率为12·|AB |·|AD ||AB |·|AD |＝12.答案 (1)－105 (2)12方法二 特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.【例2】 (1)若f (x )＝12 015x－1＋a 是奇函数，则a ＝________. (2)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.解析 (1)因为函数f (x )是奇函数，且1，－1是其定域内的值，所以f (－1)＝－f (1)，而f (1)＝12 014＋a ，f (－1)＝12 015－1－1＋a ＝a－2 0152 014.故a －2 0152 014＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12 014，解得a ＝12.(2)把平行四边形ABCD 看成正方形，则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18. 答案 (1)12(2)18探究提高 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.【训练2】 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M 的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q ，若AP →＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.解析 由题意可知，1λ＋1μ的值与点P 、Q 的位置无关，而当直线PQ 与直线BC 重合时，则有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2.答案 2方法三 图象分析法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，往往能迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果.韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.【例3】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |（0＜x ≤10），－12x ＋6（x ＞10），若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________.解析 (1)函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，作出h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x ＞0的图象，观察它与直线y ＝m 的交点，可知当m ≤0或m ＞1时有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点.(2)a ，b ，c 互不相等，不妨设a ＜b ＜c ，∵f (a )＝f (b )＝f (c )， 如图所示，由图象可知，0＜a ＜1， 1＜b ＜10，10＜c ＜12.∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |. 即lg a ＝lg 1b ，a ＝1b.则ab ＝1.所以abc ＝c ∈(10，12).答案 (1)(－∞，0]∪(1，＋∞) (2)(10，12)探究提高 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.【训练3】 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点个数为________.解析 由f (－4)＝f (0)，得16－4b ＋c ＝c . 由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2. 联立两方程解得b ＝4，c ＝2.于是，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x ＞0.在同一直角坐标系中，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝x 的图象，知它们有3个交点，即函数g (x )有3个零点. 答案 3 方法四 构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.【例4】 如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________.解析 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R ，所以R ＝62， 故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.答案6π探究提高 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.【训练4】 已知a ＝ln 12 013－12 013，b ＝ln 12 014－12 014，c ＝ln 12 015－12 015，则a ，b ，c 的大小关系为________.解析 令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx(x ＞0).当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0， 即函数f (x )在(0，1)上是增函数.∵1＞12 013＞12 014＞12 015＞0，∴a ＞b ＞c .答案 a ＞b ＞c 方法五 综合分析法对于开放性的填空题，应根据题设条件的特征综合运用所学知识进行观察、分析，从而得出正确的结论.【例5】 已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，有f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[0，1)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，给出下列命题：①f (2 013)＋f (－2 014)的值为0；②函数f (x )在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y ＝x 与函数f (x )的图象有1个交点；④函数f (x )的值域为(－1，1).其中正确的命题序号有________.解析 根据题意，可在同一坐标系中画出直线y ＝x 和函数f (x )的图象如下：根据图象可知①f(2 013)＋f(－2 014)＝0正确，②函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f(x)的值域是(－1，1)，正确.答案①③④探究提高对于规律总结类与综合型的填空题，应从题设条件出发，通过逐步计算、分析总结探究其规律，对于多选型的问题更要注重分析推导的过程，以防多选或漏选.做好此类题目要深刻理解题意，捕捉题目中的隐含信息，通过联想、归纳、概括、抽象等多种手段获得结论.【训练5】定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)＝f(2－x)，在区间[1，2]上是减函数.关于函数f(x)有下列结论：①图象关于直线x＝1对称；②最小正周期是2；③在区间[－2，－1]上是减函数；④在区间[－1，0]上是增函数.其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上).解析由f(x)＝f(2－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故①正确；又函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，而图象又关于直线x＝1对称，故函数f(x)必是一个周期函数，其最小正周期为4×(1－0)＝4，故②不正确；因为奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的，且f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以其在区间[－2，－1]上也是减函数，故③正确；④因为函数f(x)关于直线x＝1对称，在区间[1，2]上是减函数，而函数在关于对称轴对称的两个区间上的单调性是相反的，故函数在区间[0，1]上为增函数，又由奇函数的性质，可得函数f(x)在区间[－1，0]上是增函数，故④正确.所以正确的结论有①③④.故填①③④.答案①③④1.解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果.2.解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；(3)要重视对所求结果的检验.规范——解答题的6个解题模板及得分说明1.阅卷速度以秒计，规范答题少丢分高考阅卷评分标准非常细，按步骤、得分点给分，评阅分步骤、采“点”给分.关键步骤，有则给分，无则没分.所以考场答题应尽量按得分点、步骤规范书写.2.不求巧妙用通法，通性通法要强化高考评分细则只对主要解题方法，也是最基本的方法，给出详细得分标准，所以用常规方法往往与参考答案一致，比较容易抓住得分点.3.干净整洁保得分，简明扼要是关键若书写整洁，表达清楚，一定会得到合理或偏高的分数，若不规范可能就会吃亏.若写错需改正，只需划去，不要乱涂乱划，否则易丢分.4.狠抓基础保成绩，分步解决克难题(1)基础题争取得满分.涉及的定理、公式要准确，数学语言要规范，仔细计算，争取前3个解答题及选考不丢分.(2)压轴题争取多得分.第(Ⅰ)问一般难度不大，要保证得分，第(Ⅱ)问若不会，也要根据条件或第(Ⅰ)问的结论推出一些结论，可能就是得分点.模板1 三角问题＝3sin A sin B . (1)求角C ；(2)若S △ABC ＝3，求边c .解 (1)∵2sin 2C ＝3sin A sin B ，∴sin 2C ＝32sin A sin B ，由正弦定理得c 2＝32ab ，∵a ＋b ＝3c ，∴a 2＋b 2＋2ab ＝3c 2， 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2－2ab 2ab ＝3ab －2ab 2ab ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵S △ABC ＝3，∴S △ABC ＝12ab sin C ，∵C ＝π3，∴ab ＝4，又c 2＝32ab ＝6，∴c ＝ 6.模板2 立体几何问题解题模板ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，知F ，P 分别是AD ，DD 1(2分) 第一步 找线线：通过中位线、等腰三角形的中线或线面、面面关系【训练2】 如图，在三棱锥V －ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点. (1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V －ABC 的体积.(1)证明 因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB ，又因为MO ⊂平面MOC ，VB ⊄平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .(2)证明 因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB . 又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB .又OC ⊂平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面VAB . (3)解 在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1， 所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3.又因为OC ⊥平面VAB .所以三棱锥C －VAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33，又因为三棱锥V －ABC 的体积与三棱锥C－VAB 的体积相等，所以三棱锥V －ABC 的体积为33. 模板3 实际应用问题最小，并指明此时BC应为多长解题模板【训练3】如图，在C城周边已有两条公路l1，l2在点O处交汇.已知OC＝(2＋6)km，∠AOB ＝75°，∠AOC ＝45°，现规划在公路l 1，l 2上分别选择A ，B 两处为交汇点(异于点O )直接修建一条公路通过C 城.设OA ＝x km ，OB ＝y km.(1)求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； (2)试确定点A ，B 的位置，使△OAB 的面积最小.解 (1)因为△AOC 的面积与△BOC 的面积之和等于△AOB 的面积，所以12x (2＋6)sin 45°＋12y (2＋6)·sin 30°＝12xy sin 75 °， 即22x (2＋6)＋12y (2＋6) ＝6＋24xy ，所以y ＝22xx －2(x ＞2). (2)△AOB 的面积S ＝12xy sin 75°＝6＋28xy＝3＋12×x 2x －2＝3＋12(x －2＋4x －2＋4)≥3＋12×8＝4(3＋1). 当且仅当x ＝4时取等号，此时y ＝4 2.故OA ＝4 km ，OB ＝4 2 km 时，△OAB 面积的最小值为4(3＋1) km 2.模板4 解析几何问题(Ⅰ)证明 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ).将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，解此方程后易得：x 1＋x 2＝－2kbk 2＋9，(3分) 故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9.(5分) 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的积是定值.(7分)①将直线方程与椭圆方程联立，化为一元二次方程形式得3分； ②利用求根公式表示出中点坐标得2分； ③求出斜率乘积为定值，得出结论得2分；第一步 先假定：假设结论成立. 第二步 再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解. 第三步 下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设.【训练4】 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为2，点P 为上顶点，圆O ：x 2＋y 2＝b 2将椭圆C 的长轴三等分，直线l ：y ＝mx －45(m ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，PA ，PB 与圆O 交于M ，N 两点. (1)求椭圆C 的方程； (2)求证△APB 为直角三角形；(3)设直线MN 的斜率为n ，求证mn为定值.(1)解 由已知⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝2，2a ＝6b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，所求椭圆方程为x 29＋y 2＝1.(2)证明 将y ＝mx －45代入椭圆方程整理得(9m 2＋1)x 2－725mx －8125＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用求根公式求解上述一元二次方程的根，则x 1＋x 2＝72m5（9m 2＋1），x 1x 2＝－8125（9m 2＋1）. 又P (0，1)，∴PA →·PB →＝(x 1，y 1－1)·(x 2，y 2－1) ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(mx 1－95)(mx 2－95)＝(m 2＋1)x 1x 2－95m (x 1＋x 2)＋8125＝－81（m 2＋1）25（9m 2＋1）－648m 225（9m 2＋1）＋8125＝0， 因此PA ⊥PB ，则△APB 为直角三角形.(3)证明 由(2)知直线MN 方程为y ＝nx ，代入x 2＋y 2＝1，得(n 2＋1)x 2－1＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 4＝0，x 3x 4＝－1n 2＋1，y 1－1x 1＝y 3－1x 3，① y 2－1x 2＝y 4－1x 4.② 两式相加整理得2m －95·x 1＋x 2x 1x 2＝2n ，可求得m n ＝15.模板5 函数与导数问题【训练5】 (2016·苏、锡、常、镇调研)设函数f (x )＝ln x ＋x，m ∈R . (1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数；(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，求m 的取值范围.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x，则f ′(x )＝x －ex2(x ＞0)， ∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).设φ(x )＝－13x 3＋x (x ＞0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减.∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点. ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)， 可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点. 综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.(3)对任意的b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）b －a＜1恒成立，等价于f (b )－b ＜f (a )－a 恒成立.(*) 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x－x (x ＞0)， ∴(*)等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减. 由h ′(x )＝1x －mx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14(x ＞0)恒成立，∴m ≥14(对m ＝14，h ′(x )＝0仅在x ＝12时成立)，∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. 模板6 数列问题【训练6】 已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·2a n }的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以数列a n 的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. (2)由(1)可知a n ·2a n ＝(2n －1)·22n －1，所以S n ＝1×21＋3×23＋5×25＋…＋(2n －3)×22n －3＋(2n －1)×22n －1，①4S n ＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1，②①－②得：－3S n ＝2＋2×(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1.∴S n ＝2＋2×（23＋25＋…＋22n －1）－（2n －1）×22n ＋1－3＝2＋2×8（1－4n －1）1－4－（2n －1）×22n ＋1－3＝－6＋2×8（1－4n －1）＋（6n －3）×22n ＋19＝109＋（6n －5）·22n ＋19.回扣——回归教材，查缺补漏，清除得分障碍1.集合与常用逻辑用语1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.[回扣问题1] 集合A ＝{a ，b ，c }中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是________.(填等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形) 答案 等腰三角形2.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集. [回扣问题2] 集合A ＝{x |x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝1}，则A ∩B ＝________. 答案 ∅3.遇到A ∩B ＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A ＝∅或B ＝∅；同样在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，不要忽略A ＝∅的情况.[回扣问题3] 集合A ＝{x |ax －1＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，且A ∪B ＝B ，则实数a ＝________. 答案 0，1，124.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n ，2n －1，2n －1，2n－2. [回扣问题4] 满足{1，2}M ⊆{1，2，3，4，5}的集合M 有________个.答案 75.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值.[回扣问题5] 已知全集I ＝R ，集合A ＝{x |y ＝1－x }，集合B ＝{x |0≤x ≤2}，则(∁I A )∪B 等于________. 答案 [0，＋∞)6.“否命题”是对原命题“若p ，则q ”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p 的否定”即：非p ，只是否定命题p 的结论.[回扣问题6] 已知实数a 、b ，若|a |＋|b |＝0，则a ＝b .该命题的否命题和命题的否定分别是____________________________________________________________. 答案 否命题：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |≠0，则a ≠b ； 命题的否定：已知实数a 、b ，若|a |＋|b |＝0，则a ≠b7.在否定条件或结论时，应把“且”改成“或”、“或”改成“且”. [回扣问题7] 若“x 2－3x －4＞0，则x ＞4或x ＜－1”的否命题是_________. 答案 若x 2－3x －4≤0，则－1≤x ≤48.要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[回扣问题8] 设集合M ＝{1，2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的________条件. 答案 充分不必要9.要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题.如对“a ，b 都是偶数”的否定应该是“a ，b 不都是偶数”，而不应该是“a ，b 都是奇数”.求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.[回扣问题9] 若存在a ∈[1，3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是________________________________________________________.解析 原不等式即(x 2＋x )a －2x －2＞0，设f (a )＝(x 2＋x )a －2x －2.研究“任意a ∈[1，3]，恒有f (a )≤0”.则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2≤0，3x 2＋x －2≤0， 解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23，则符合题设条件的实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ 10.复合命题真假的判断.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”. [回扣问题10] 在下列说法中：(1)“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件； (2)“p 且q 为假”是“p 或q 为真”的充分不必要条件； (3)“p 或q 为真”是“非p 为假”的必要不充分条件； (4)“非p 为真”是“p 且q 为假”的必要不充分条件. 其中正确的是________(填序号). 答案 (1)(3)2.函数与导数1. 函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条件，“每元有象，且象唯一”只能一对一或者多对一，不能一对多.[回扣问题1] 若A ＝{1，2，3}，B ＝{4，1}，则从A 到B 的函数共有________个；其中以B 为值域的函数共有______个. 答案 8 62.求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.若f (x )定义域为[a ，b ]，复合函数f [g (x )]定义域由a ≤g (x )≤b 解出；若f [g (x )]定义域为[a ，b ]，则f (x )定义域相当于x ∈[a ，b ]时g (x )的值域.[回扣问题2] 已知f (x )＝－x 2＋10x －9，g (x )＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为________. 答案 [1，3]3.求函数解析式的主要方法：(1)代入法；(2)待定系数法；(3)换元(配凑)法；(4)解方程法等. [回扣问题3] 已知f (x )－4f (1x)＝－15x ，则f (x )＝________.答案 x ＋4x4.分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数.[回扣问题4] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ＜0－tan x ，0≤x ＜π2，则f (f (π4))＝________.答案 －2 5.函数的奇偶性f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |); f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x )；定义域含0的奇函数满足f (0)＝0；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分的条件；判断函数的奇偶性，先求定义域，再找f (x )与f (－x )的关系.[回扣问题5] 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x (1＋x )＋1，求f (x )的解析式.答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1＋x ）＋1，x ＞00，x ＝0－x 2＋x －1，x ＜06.函数的周期性由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a ＞0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得：①函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则f (x )是周期为2a 的周期函数； ②若f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)成立，则T ＝2a ； ③若f (x ＋a )＝－1f （x ）(a ≠0)恒成立，则T ＝2a . [回扣问题6] 设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (47.5)等于______. 答案 －0.5 7.函数的单调性①定义法：设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2那么 (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数；②导数法：注意f ′(x )＞0能推出f (x )为增函数，但反之不一定.如函数f (x )＝x 3在 (－∞，＋∞)上单调递增，但f ′(x )≥0；∴f ′(x )＞0是f (x )为增函数的充分不必要条件. ③复合函数由同增异减的判定法则来判定.④求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替. [回扣问题7] 函数f (x )＝x 3－3x 的单调递增区间是________.答案 (－∞，－1)，(1，＋∞) 8.求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数； (2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数； (3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数； (4)导数法：适合于可导函数； (5)换元法(特别注意新元的范围)； (6)分离常数法：适合于一次分式；(7)有界函数法：适用于含有指、对数函数或正、余弦函数的式子.无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域. [回扣问题8] 函数y ＝2x2x ＋1(x ≥0)的值域为________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 9.常见的图象变换 (1)平移变换①函数y ＝f (x ＋a )的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左(a ＞0)或向右(a ＜0)平移|a |个单位得到的.②函数y ＝f (x )＋a 的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿y 轴向上(a ＞0)或向下(a ＜0)平移|a |个单位得到的. (2)伸缩变换①函数y ＝f (ax )(a ＞0)的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴伸缩为原来的1a得到的.②函数y ＝af (x )(a ＞0)的图象是把函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的. (3)对称变换①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上； ②函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0(y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称. [回扣问题9] 要得到y ＝lgx ＋310的图象，只需将y ＝lg x 的图象________.答案 向左平移3个单位，再向下平移1个单位 10.二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合，二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系.(2)二次函数解析式的三种形式： ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).(3)一元二次方程实根分布：先观察二次项系数、Δ与0的关系、对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图.尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形.[回扣问题10] 若关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0至少有一个正根，则a 的范围为________. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1411.指、对数函数 (1)对数运算性质已知a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0，m ，n ∈R . 则log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M N＝log a M －log a N ，log a M n＝n log a M ， 对数换底公式：log a N ＝log b Nlog b a.推论：log am N n＝n m log a N ；log a b ＝1log b a.(2)指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数y ＝a x的图象恒过定点(0，1)，对数函数y ＝log a x 的图象恒过定点(1，0).[回扣问题11] 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则a ，b ，c 的大小关系是________. 答案 a ＞b ＞c 12.幂函数形如y ＝x α(α∈R )的函数为幂函数. (1)①若α＝1，则y ＝x ，图象是直线.②当α＝0时，y ＝x 0＝1(x ≠0)图象是除点(0，1)外的直线.③当0＜α＜1时，图象过(0，0)与(1，1)两点，在第一象限内是上凸的. ④当α＞1时，在第一象限内，图象是下凸的.(2)增减性：①当α＞0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是增函数，②当α＜0时，在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x α是减函数.[回扣问题12] 函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为________.答案 1 13.函数与方程(1)函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标.(2)y ＝f (x )在[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，且f (a )f (b )＜0，那么f (x )在(a ，b )内至少有一个零点，即至少存在一个x 0∈(a ，b )使f (x 0)＝0.这个x 0也就是方程f (x )＝0的根.(3)用二分法求函数零点[回扣问题13] (判断题)函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是(－1，0).( ) 答案 √14.导数的几何意义和物理意义(1)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数是曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率f ′(x 0)，相应的切线方程是y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). (2)v ＝s ′(t )表示t 时刻即时速度，a ＝v ′(t )表示t 时刻加速度. 注意：过某点的切线不一定只有一条.[回扣问题14] 已知函数f (x )＝x 3－3x ，过点P (2，－6)作曲线y ＝f (x )的切线，则此切线的方程是________.答案 3x ＋y ＝0或24x －y －54＝015.利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f (x )在某个区间内可导，如果f ′(x )＞0，那么f (x )在该区间内为增函数；如果f ′(x )＜0，那么f (x )在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f ′(x )＝0，那么f (x )在该区间内为常数.注意：如果已知f (x )为减函数求参数取值范围，那么不等式f ′(x )≤0恒成立，但要验证f ′(x )是否恒等于0.增函数亦如此.[回扣问题15] 函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是________. 解析 f (x )＝ax 3－x 2＋x －5的导数f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1.由f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13.a ＝13时，f ′(x )＝(x －1)2≥0，且只有x ＝1时，f ′(x )＝0，∴a ＝13符合题意.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞16.导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f (x )＝x 3，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点.[回扣问题16] 函数f (x )＝14x 4－13x 3的极值点是________.答案 x ＝13.三角函数与平面向量1.α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2＞0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r，tan α＝y x，(x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关. [回扣问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为______. 答案 －152.同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[回扣问题2] cos 4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6＋sin 21π的值为______. 答案22－333.三角函数的图象与性质(1)五点法作图(一个最高点，一个最低点，三个平衡位置点)；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，y ＝tan x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )，减区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )； y ＝cos x 的增区间：[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )，减区间：[2k π，π＋2k π](k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z ).(4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数.[回扣问题3] 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的递减区间是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2 tan α 1－tan 2α. [回扣问题4] cos(π4＋x )＝35，17π12＜x ＜7π4，则sin 2x －2sin 2x1－tan x ＝________.答案7255.在三角恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4， α＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4.。
《创新设计》2017届高考理科数学(江苏专用)二轮教师文档讲义：专题1.1函数、函数与方程及函数的应用
第1讲 函数、函数与方程及函数的应用高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)函数的概念和函数的基本性质是B 级要求，是重要考点；(2)指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点，要求都是B 级；(3)函数与方程是B 级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；(4)函数模型及其应用是考查热点，要求是B 级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查.真 题 感 悟1.(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________.解析 要使函数有意义，需且仅需3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1.故函数定义域为[－3，1].答案 [－3，1]2.(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________. 解析 由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92， 则－12＋a ＝110，a ＝35，∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案 －253.(2014·江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________.解析 作出函数y ＝f (x )在[－3，4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0＜a ＜12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 4.(2015·江苏卷)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎨⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________.解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎨⎧－lnx ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x 2x ＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示.由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.答案 4考 点 整 合1.函数的性质(1)单调性(ⅰ)用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性.(ⅱ)常见判定方法：①定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；②图象法；③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；④导数法.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )；②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性；(3)周期性：常见结论有①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x －2a )＝f (x )(a ＞0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数；②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数；③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数；④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数. 2.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.3.求函数值域有以下几种常用方法：(1)直接法；(2)配方法；(3)基本不等式法；(4)单调性法；(5)求导法；(6)分离变量法.除了以上方法外，还有数形结合法、判别式法等.4.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.5.应用函数模型解决实际问题的一般程序读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.热点一 函数性质的应用【例1】 (1)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为________(从小到大排序).(2)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝________.解析 (1)由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .(2)由题设得12(f (x )＋f (－x ))＝1，点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))关于点(0，1)对称，则y ＝f (x )的图象关于点(0，1)对称.又y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，x ≠0的图象也关于点(0，1)对称.则交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对关于点(0，1)对称.则∑i ＝1m ()i i x y +＝∑i ＝1m i x +∑i ＝1mi y =0＋m 2×2＝m . 答案 (1)c ＜a ＜b (2)m探究提高 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对称轴).【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.(2)(2016·四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________. 解析 (1)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.(2)因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (1)＝f (－1)＝－f (1)，即f (1)＝0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝2， 从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案 (1)1 (2)－2热点二 函数图象的应用【例2】 (1)(2016·苏北四市调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是________.(2)(2015·全国Ⅰ卷改编)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图.y ＝ax 为过原点的一条直线，当a ＞0时，与y ＝|f (x )|在y 轴右侧总有交点，不合题意；当a ＝0时成立；当a ＜0时，找与y ＝|－x 2＋2x |(x ≤0)相切的情况，即y ′＝2x －2，切线方程为y ＝(2x 0－2)(x －x 0)，由分析可知x 0＝0，所以a ＝－2，综上，a ∈[－2，0].(2)设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)＜ax 0－a ，因为g ′(x )＝e x(2x ＋1)，可知g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，故⎩⎨⎧h （0）＞g （0），h （－1）≤g （－1），即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，－2a ≤－3e ，所以32e ≤a <1. 答案 (1)[－2，0] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 探究提高 (1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】 (2016·苏、锡、常、镇调研)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x<0的解集为________.解析 由奇函数的定义和f (2)＝0得出函数在(－∞，0)上也为增函数.画出函数草图(如图)，可得在(－2，0)和(2，＋∞)上f (x )>0，在(－∞，－2)和(0，2)上f (x )<0.当x >0时，由f （x ）－f （－x ）x<0，可得f (x )－f (－x )＝2f (x )<0，结合图象可知(0，2)符合；当x <0时，由f （x ）－f （－x ）x<0，可得f (x )－f (－x )＝2f (x )>0，结合图象可知(－2，0)符合.答案 (－2，0)∪(0，2)热点三 函数与方程问题[微题型1] 函数零点个数的求解【例3－1】 (2016·南京、盐城模拟)函数f (x )＝4cos 2x 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________.解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝ sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点.答案 2探究提高 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.[微题型2] 由函数的零点(或方程的根)求参数【例3－2】 (1)(2016·南京三模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1e x ，x ≥a ，－x －1，x ＜a ，g (x )＝f (x )－b .若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是________.解析 (1)当f (x )＝x －1e x 时，f ′(x )＝2－x e x ，由f ′(x )＝0得x ＝2，且当x ＜2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ＞2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，则当x ＝2时，f (x )有极大值f (2)＝1e 2.当－x －1＝1e 2时，x ＝－1－1e 2.结合图象可得当存在实数b 使得g (x )＝f (x )－b 恰有3个零点时，－1－1e 2＜a ＜2.(2)函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同实数根，即直线y ＝b 与函数y＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ＋2，x ＜0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x ＞2，作出该函数的图象如图所示，由图可知，当74＜b ＜2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2. 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1e 2，2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【训练3】 (2016·泰州调研)设函数f (x )＝x 2＋3x ＋3－a ·e x (a 为非零实数)，若f (x )有且仅有一个零点，则a 的取值范围为________.解析 令f (x )＝0，可得x 2＋3x ＋3e x＝a ， 令g (x )＝x 2＋3x ＋3e x，则g ′(x )＝ （2x ＋3）·e x －e x ·（x 2＋3x ＋3）（e x ）2＝－x （x ＋1）e x ，令g ′(x )＞0，可得x ∈(－1，0)，令g ′(x )＜0，可得x ∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以g (x )在(－1，0)上单调递增，在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递减.由题意知函数y ＝g (x )的图象与直线y ＝a 有且仅有一个交点，结合y ＝g (x )及y ＝a 的图象可得a ∈(0，e)∪(3，＋∞). 答案 (0，e)∪(3，＋∞)热点四 函数的实际应用问题【例4】 (2016·江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部分的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO 1是正四棱锥的高PO 1的4倍.(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)V＝13×62×2＋62×2×4＝312(m3).(2)设PO1＝x，则O1B1＝62－x2，B1C1＝2·62－x2，∴S正方形A1B1C1D1＝2(62－x2).又由题意可得下面正四棱柱的高为4x，则仓库容积V＝13x·2(62－x2)＋2(62－x2)·4x＝263x(36－x2).由V′＝0得x＝23或x＝－23(舍去).由实际意义知V在x＝23(m)时取到最大值，故当PO1＝23(m)时，仓库容积最大.探究提高(1)关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去. (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】(2016·南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n＝ax＋5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比.若新建的标段数是原有标段数的20%，且k≥3.问：P能否大于120，说明理由.解(1)依题意得y＝mkn＝mk(ax＋5)，x∈N*.(2)法一依题意x＝0.2a，所以P＝mxy＝xk（ax＋5）＝0.2ak（0.2a2＋5）＝ak（a2＋25）≤a 3（a 2＋25）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋25a ≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ×25a ＝130＜120.P 不可能大于120. 法二 依题意x ＝0.2a ，所以P ＝mx y ＝x k （ax ＋5）＝0.2a k （0.2a 2＋5）＝ak （a 2＋25）. 假设P ＞120，则ka 2－20a ＋25k ＜0.因为k ≥3，所以Δ＝100(4－k 2)＜0，不等式ka 2－20a ＋25k ＜0无解，假设不成立.P 不可能大于120.1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x 的定义域时，只考虑x ＞0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.一、填空题1.(2016·南通调研)函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为________.解析 要使函数f (x )＝ln x ＋1－x 有意义，则⎩⎨⎧x ＞0，1－x ≥0，解得0＜x ≤1，即函数定义域是(0，1]. 答案 (0，1]2.(2011·江苏卷)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________.解析 函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1(t ＞0).因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞3.(2016·苏州调研)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为________.解析 当x ≤0时，y ＝2x ∈(0，1]； 当x ＞0时，y ＝－x 2＋1∈(－∞，1). 综上， 该函数的值域为(－∞，1]. 答案 (－∞，1]4.(2016·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________.解析 在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点. 答案 75.(2012·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________.解析 因为函数f (x )是周期为2的函数，所以f (－1)＝f (1)⇒－a ＋1＝b ＋22，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⇒12b ＋232＝－12a ＋1，联立列成方程组解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝2－12＝－10. 答案 －106.已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )在R 上为增函数.又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知，f (mx －2)<f (－x ).∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2，2]知g (m )<0恒成立，可得⎩⎨⎧g （－2）＝－x －2<0，g （2）＝3x －2<0，∴－2<x <23. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23 7.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －[x ]，x ≥0，f （x ＋1），x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.若直线y＝k (x ＋1)(k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是________.解析 根据[x ]表示的意义可知，当0≤x ＜1时，f (x )＝x ，当1≤x ＜2时，f (x )＝x －1，当2≤x ＜3时，f (x )＝x －2，以此类推，当k ≤x ＜k ＋1时，f (x )＝x －k ，k ∈Z ，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1，作出函数f (x )的图象如图，直线y ＝k (x ＋1)过点(－1，0)，当直线经过点(3，1)时恰有三个交点，当直线经过点(2，1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，13.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，138.(2016·北京海淀区二模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.当x <1时，f (x )＝2x －1∈(－1，1)，当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14≥－1，∴f (x )min ＝－1.(2)由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x －a ，x <1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点. 因此a ≥2满足题意.当f (x )＝2x －a ，x <1有一个零点时， 0<a <2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a <1, 2a ≥1，因此12≤a <1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |12≤a <1或a ≥2.答案 (1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)二、解答题9.已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2x ＝0，得x ＝1. 当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x ＞0)， 所以k ′(x )＝1－2x ，令k ′(x )＞0，得x ＞2，所以k (x )在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x ＝2时，函数k (x )取得最小值，k (2)＝2－2ln 2－a ，因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点.即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎨⎧k （1）≥0，k （2）＜0，k （3）≥0，即有⎩⎨⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a ＜0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2＜a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].10.(2012·江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0， 由实际意义和题设条件知x >0，k >0， 故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ≤202＝10， 当且仅当k ＝1时取等号. 所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6. 所以当a 不超过6千米时，可击中目标.11.(2016·苏北四市调研)如图，OA 是南北方向的一条公路，OB 是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C .为方便游客观光，拟过曲线C 上某点P 分别修建与公路OA ，OB 垂直的两条道路PM ，PN ，且PM ，PN 的造价分别为5万元/百米、40万元/百米.建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，则曲线C 符合函数模型y ＝x ＋42x 2(1≤x ≤9)，设PM ＝x ，修建两条道路PM ，PN 的总造价为f (x )万元.题中所涉及长度单位均为百米.(1)求f (x )的解析式；(2)当x 为多少时，总造价f (x )最低？并求出最低造价.解 (1)在如题图所示的直角坐标系中，因为曲线C 的方程为y ＝x ＋42x 2(1≤x ≤9)，PM ＝x ，所以点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋42x 2，直线OB 的方程为x －y ＝0，则点P 到直线x －y ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －⎝⎛⎭⎪⎫x ＋42x 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪42x 22＝4x 2，又PM 的造价为5万元/百米，PN 的造价为40万元/百米. 则两条道路总造价为f (x )＝5x ＋40·4x 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2(1≤x ≤9). (2)因为f (x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2，所以f ′(x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1－64x 3＝5（x 3－64）x 3，令f ′(x )＝0，解得x ＝4，列表如下：所以当x ＝4时，函数f (x )有最小值，且最小值为f (4)＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3242＝30，即当x ＝4时，总造价最低，最低造价为30万元. (注：利用三次均值不等式得f (x )＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32x 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋32x 2≥5×338＝30，当且仅当x ＝4时，等号成立，同样正确.)。
《创新设计》2017届高考数学(理)二轮复习(江苏专用)解答题 第三周 星期三
星期三 (实际应用问题) 2017年____月____日
某校为了落实“每天阳光运动一小时”活动，决定将原来的矩
形操场ABCD (其中AB ＝60米，AD ＝40米)扩建成一个更大的
矩形操场AMPN (如图)，要求：B 在AM 上，D 在AN 上，对角
线MN 过C 点，且矩形AMPN 的面积小于15 000平方米.
(1)设AN 长为x 米，矩形AMPN 的面积为S 平方米，试将S 表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；
(2)当AN 的长为多少米时，矩形AMPN 的面积最小，并求最小面积.
解 (1)由△NDC ∽△NAM ，可得DN NA ＝DC AM ，
∴x －40x ＝60AM ，即AM ＝60x x －40，故S ＝AN ·AM ＝60x 2x －40，由S ＝60x 2x －40＜15 000且x ＞40，
可得x 2－250x ＋10 000＜0，解得50＜x ＜200，
故所求函数解析式为S ＝60x 2
x －40
，定义域为(50，200).
(2)令x －40＝t ，则由x ∈(50，200)，
可得t ∈(10，160)，
故S ＝60x 2x －40
＝60（t ＋40）2t ＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1 600t ＋80≥ 60⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ·1 600t ＋80＝9 600， 当且仅当t ＝1 600t ，
即t ＝40时S ＝9 600.
又40∈(10，160)，
故当t ＝40时，S 取最小值9 600.
所以当AN 的长为80米时，矩形AMPN 的面积最小，
最小面积为9 600平方米.。
《创新设计》2017届高考数学(理)二轮复习(江苏专用)解答题 第三周 星期六
星期六 (解答题综合练) 2017年____月____日1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＋c ＝2b .(1)求证：B ≤π2；(2)当AB→·BC →＝－2，b ＝23时，求△ABC 的面积. (1)证明 ∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－12（a ＋c ）22ac ＝12（a －c ）22ac≥0，且0＜B ＜π. ∴B ≤π2(当且仅当a ＝c 时取得等号).(2)解 ∵AB→·BC →＝－2，∴ac cos B ＝2， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12，∴a 2＋c 2＝16，又a ＋c ＝2b ＝26，∴ac ＝4，∴cos B ＝12，由(1)知0＜B ≤π2，∴sin B ＝32.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝ 3.2.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，E 是PD 的中点，F 为ED 的中点.(1)求证：平面P AC ⊥平面PCD ；(2)求证：CF ∥平面BAE .证明 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥CD ， 又AC ⊥CD ，且AC ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AC ，又CD ⊂平面PCD ，所以平面P AC ⊥平面PCD .(2)取AE 中点G ，连接FG ，BG .因为F 为ED 的中点，所以FG ∥AD 且FG ＝12AD .在△ACD 中，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°，所以AC ＝12AD ，所以BC ＝12AD .在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，所以∠ACB ＝60°，从而∠ACB ＝∠DAC ，所以AD ∥BC .综上，FG ∥BC ，FG ＝BC ，四边形FGBC 为平行四边形，所以CF ∥BG . 又BG ⊂平面BAE ，CF ⊄平面BAE ，所以CF ∥平面BAE .3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任一点P 到两个焦点的距离的和为23，P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－23.设直线l 过椭圆C 的右焦点F ，交椭圆C 于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(1)若OA →·OB →＝4tan ∠AOB(O 为坐标原点)，求|y 1－y 2|的值； (2)当直线l 与两坐标轴都不垂直时，在x 轴上是否总存在点Q ，使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)由椭圆的定义知a ＝3，设P (x ，y )， 则有y x ＋3·y x －3＝－23，则y 2x 2－3＝－23， 又点P 在椭圆上，则（3－x 2）b 23（x 2－3）＝－b 23＝－23， ∴b 2＝2，∴椭圆C 的方程是x 23＋y 22＝1. ∵OA →·OB →＝4tan ∠AOB， ∴|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝4tan ∠AOB ， ∴|OA→|·|OB →|sin ∠AOB ＝4， ∴S △AOB ＝12|OA →|·|OB→|sin ∠AOB ＝2，又c ＝a 2－b 2＝1，又S △AOB ＝12|y 1－y 2|×1，故|y 1－y 2|＝4.(2)假设存在一点Q (m ，0)，使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角， 依题意可知直线l 斜率存在且不为零，直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 23＋y 22＝1消去y 得 (3k 2＋2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋2，x 1·x 2＝3k 2－63k 2＋2. ∵直线QA ，QB 的倾斜角互为补角，∴k QA ＋k QB ＝0，即y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝0， 又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入上式可得2x 1x 2＋2m －(m ＋1)(x 1＋x 2)＝0，∴2×3k 2－63k 2＋2＋2m －(m ＋1)×6k 23k 2＋2＝0，即2m －6＝0， ∴m ＝3，∴存在Q (3，0)使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角.4.如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4米，最低点B 离地面2米，观察者从距离墙x (x ＞1)米，离地面高a (1≤a ≤2)米的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1)若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？(2)若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围.解 (1)当a ＝1.5时，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，则BD ＝0.5，且θ＝∠ACD －∠BCD ，由已知知观察者离墙x 米，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x ，所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x 1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255， 当且仅当x ＝52＞1时，等号成立. 又因为tan θ在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增， 所以当观察者离墙52米时，视角θ最大.(2)由题意得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan ()∠ACD －∠BCD ＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎨⎧x 2－4x ≤0，x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4， 又因为x ＞1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3，4].5.设数列{b n }满足b n ＋2＝－b n ＋1－b n (n ∈N *)，b 2＝2b 1.(1)若b 3＝3，求b 1的值；(2)求证数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列；(3)设数列{T n }满足：T n ＋1＝T n b n ＋1(n ∈N *)，且T 1＝b 1＝－12，若存在实数p ，q ，对任意n ∈N *都有p ≤T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ＜q 成立，试求q －p 的最小值.(1)解 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ，∴b 3＝－b 2－b 1＝－3b 1＝3，∴b 1＝－1.(2)证明 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ①，∴b n ＋3＝－b n ＋2－b n ＋1②，②－①得b n ＋3＝b n ，∴(b n ＋1b n ＋2b n ＋3＋n ＋1)－(b n b n ＋1b n ＋2＋n )＝b n ＋1b n ＋2(b n ＋3－b n )＋1＝1为常数， ∴数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列.(3)解 ∵T n ＋1＝T n ·b n ＋1＝T n －1b n b n ＋1＝T n －2b n －1b n b n ＋1＝…＝b 1b 2b 3…b n ＋1 当n ≥2时T n ＝b 1b 2b 3…b n (*)，当n ＝1时，T 1＝b 1适合(*)式∴T n ＝b 1b 2b 3…b n (n ∈N *).∵b 1＝－12，b 2＝2b 1＝－1，b 3＝－3b 1＝32，b n ＋3＝b n ，∴T 1＝b 1＝－12，T 2＝T 1b 2＝12，T 3＝T 2b 3＝34，T 4＝T 3b 4＝T 3b 1＝34T 1，T 5＝T 4b 5＝T 2b 3b 4b 5＝T 2b 1b 2b 3＝34T 2，T 6＝T 5b 6＝T 3b 4b 5b 6＝T 3b 1b 2b 3＝34T 3，……T 3n ＋1＋T 3n ＋2＋T 3n ＋3＝T 3n －2b 3n －1b 3n b 3n ＋1＋T 3n －1b 3n b 3n ＋1b 3n ＋2＋T 3n b 3n ＋1b 3n ＋2b 3n ＋3＝T 3n －2b 1b 2b 3＋T 3n －1b 1b 2b 3＋T 3n b 1b 2b 3＝34(T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n )，∴数列{T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n }(n ∈N *)是等比数列，首项T 1＋T 2＋T 3＝34且公比q ＝34，记S n ＝T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ，①当n ＝3k (k ∈N *)时，S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k 1－34＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ， ∴34≤S n ＜3；②当n ＝3k －1(k ∈N *)时S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －(b 1b 2b 3)k ＝3－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ∴0≤S n ＜3；③当n ＝3k －2(k ∈N *)时S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k －1－T 3k ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －(b 1b 2b 3)k －1b 1b 2－(b 1b 2b 3)k ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －12⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ＝3－143·⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ， ∴－12≤S n ＜3.综上得－12≤S n ＜3，故p ≤－12且q ≥3，∴q －p 的最小值为72.6.已知函数f (x )＝x 2－(1＋2a )x ＋a ln x (a 为常数).(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的方程；(2)当a ＞0时，讨论函数y ＝f (x )在区间(0，1)上的单调性，并写出相应的单调区间.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋x －ln x ，则f ′(x )＝2x ＋1－1x ，所以f (1)＝2，且f ′(1)＝2.所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的方程为：y －2＝2(x －1)，即：y ＝2x .(2)由题意得f ′(x )＝2x －(1＋2a )＋a x＝2x 2－（1＋2a ）x ＋a x＝（2x －1）（x －a ）x(x ＞0)， 由f ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝a ，①当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜a 或12＜x ＜1由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得a ＜x ＜12，所以函数f (x )的单调增区间是(0，a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12， ②当a ＝12时，f ′(x )＝（2x －1）22x ≥0，且仅当x ＝12时，f ′(x )＝0，所以函数f (x )在区间(0，1)上是单调增函数.③当12＜a ＜1时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12或a ＜x ＜1，由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜a ，所以函数f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(a ，1)，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a ， ④当a ≥1时，由f ′(x )＞0，又知x ＞0得0＜x ＜12，由f ′(x )＜0，又知x ＞0，得12＜x ＜1，所以函数f (x )的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.。
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星期一(三角与立体几何问题)2017年____月____日1.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝(sin B－sin C，sin C－sin A)，b＝(sin B＋sin C，sin A)，且a⊥b.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.
解(1)因为a⊥b，所以sin2B－sin2C＋sin A(sin C－sin A)＝0，即sin A sin C＝sin2A＋sin2C－sin2B，
由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2，
所以cos B＝a2＋c2－b2
2ac＝
1
2，
因为B∈(0，π)，所以B＝π3.
(2)因为c·cos A＝b，
所以b
c＝cos A＝
b2＋c2－a2
2bc，即b
2＝c2－a2，
又ac＝a2＋c2－b2，b＝2R sin B＝3，解得a＝1，c＝2.
所以S
△ABC ＝
1
2ac sin B＝
3
2.
2.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点.求证：
(1)P A⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面P AD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明(1)因为平面P AD∩平面ABCD＝AD.
又平面P AD⊥平面ABCD，且P A⊥AD，
P A⊂平面P AD，
所以P A⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，
E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以ABED为平行四边形.
所以BE∥AD.
又因为BE⊄平面P AD，
AD⊂平面P AD，
所以BE∥平面P AD.
(3)因为AB⊥AD，
且四边形ABED为平行四边形.
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以P A⊥CD.又因为P A∩AD＝A，
所以CD⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，
从而CD⊥PD，
又E，F分别是CD和CP的中点，
所以EF∥PD，故CD⊥EF.
由EF，BE在平面BEF内，
且EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.。