一条定长绳子,围成面积谁大？
四年级奥数之最值问题
【课前小练习】
本讲主线 1. 最值中的三个常用方法 2. 两数和一定，差小积大
数字和是6的无重复数字 的多位数中，最大的是 多少？
1. 整体思想：比如，比较大小先看位数，再由高到底比较位置. 2. 局部调整思想 3. 平均分配思想 【例1】(★★) 电视台要播放一部30集的电视连续剧，如果要求每天播放的集数互不 相等 该电视剧最多可以播放几天？ 相等，该电视剧最多可以播放几天？
1
4. 两数和一定，差越小乘积越大. 例如，a＋b＝10，那么，a×b最大等于____. 例如，一根绳子长度是20米，那么这根绳子围城的 ， ，那 长方形，长和宽分别是多少的时候，长方形的面积 最大？
知识要点屋
a b
【例5】(★★★★) 如图，一个长方形被分成 4 个小长方形，其中长方形A、B、大 是___平方厘米．
【例4】(★★★) 牧羊人用15段，每段长2米的篱笆，一面靠墙围成一个长方形羊圈，则 羊圈 最 羊圈的最大面积是多少平方米？ 多少平 米
最值问题 1. 整体方法，局部调整方法，平均数方法. 2. 两数和一定，差越小乘积越大. (1) 固定长度的绳子，围成正方形面积最大； (2) ( ) 当和不确定时，凑算式，使和变为一个定值. 和 确 时， 算式，使和变 个 值 【今日讲题】 例2 例3 例4 例2，例3，例4 【讲题心得】
知识大总结
a b
答案
墙
【课前小练习】①531, 47 ② 222 【例1】 7 【例2】 19， 517 【例3】 55， 15， 1， 5 【例4】 112 【例5】16
_____________________________________________________________。
《周长固定三角形面积的最大值》
《周长固定三角形面积的最大值》——数学建模一例谈到，周长固定围成面积的问题，许多人会想到正方形和二次函数。
好吧，就从矩形开始吧！问题是这样的，说有一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个矩形，问：什么样的矩形面积才是最大的？首先，我们要建立数学模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性质呢？初等几何说：有一个角位直角（90°或者π/2）的平行四边形，叫做矩形。
那么什么是平行四边形呢？它有些什么性质呢？几何又说：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
其中，平行四边形有一条重要的性质：平行四边形的对边相等。
好了，现在我们对矩形也有一个印象了。
简单来说是一个，四条互相垂直的线段组成的东西。
而且我们知道它的面积公式：s=a*b，由平行四边形的性质：平行四边形的对边相等。
可知它的周长公式：L=2*(a + b)。
有了这些，就可以建模分析了：首先，我们分析L=2*(a + b)，经过简单的变形处理（+、-、*、/）有：b=L/2-a 要注意条件，a是不为0的，即（a>0）。
现在，把b=L/2-a 代入s=a*b 就有：s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a （a>0）；这是关于a的一个二次函数，并且A=-1<0，函数s有最大值。
微积分的解法：因为：s= -a^2+ (L/2) *a （a>0），所以s`=-2a+L/2 （a>0）令s`=0有：2a= L/2 所以a= L/4。
所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max：最大值 b=a= L/4 (此时，矩形为正方形) 也可以用不等式：因为 (a - b)^2≥0，又因(a - b)^2=(a + b)^2-4ab，所以有：(a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤(a + b)^2/4 当a=b，去“=”，s有最大值因为： a + b= L/2，s=a*b 所以：s≤（L/2）^2/4= L^2/16 。
图形的面积比较——面积对比的推理方法
图形的面积比较——面积对比的推理方法面积是几何学中一个重要的概念，它描述了一个图形所占据的平面空间的大小。
在日常生活中，我们经常需要比较不同图形的面积大小，这涉及到面积对比的推理方法。
本文将探讨一些常见的面积对比推理方法，并通过实例来说明。
首先，最简单的面积对比推理方法是直接比较两个图形的面积大小。
例如，我们有两个矩形，一个长为5厘米，宽为3厘米，另一个长为4厘米，宽为6厘米。
我们可以直接计算出第一个矩形的面积为15平方厘米，第二个矩形的面积为24平方厘米。
由此可见，第二个矩形的面积大于第一个矩形的面积。
这种方法适用于简单的图形，但对于复杂的图形可能并不适用。
其次，对于复杂的图形，我们可以通过分解成简单的几何形状来进行面积对比。
例如，我们有一个不规则图形，它可以分解成两个矩形和一个三角形。
我们可以分别计算出这两个矩形和三角形的面积，然后将它们相加得到整个图形的面积。
通过比较这个图形的面积和另一个图形的面积，我们就可以判断它们的相对大小。
这种方法需要一定的几何知识和计算能力，但可以应用于各种复杂的图形。
此外，还有一种常见的面积对比推理方法是利用相似图形的性质。
如果两个图形是相似的，那么它们对应的边长之比的平方等于它们对应的面积之比。
例如，我们有两个三角形，它们的边长之比为2:3，那么它们的面积之比就是4:9。
通过这种方法，我们可以推理出一个图形的面积相对于另一个图形的面积的比例关系。
这种方法适用于相似的图形，但需要知道它们的边长之比。
除了以上方法，还有一种更复杂的面积对比推理方法是利用面积公式和代数运算。
对于一些特殊的图形，我们可以通过建立方程来解决面积对比问题。
例如，我们有一个矩形，它的长是x+2，宽是2x-1，面积是15。
我们可以建立方程(x+2)(2x-1)=15，通过解方程求得x的值，进而计算出矩形的长和宽，最后得到矩形的面积。
通过类似的方法，我们可以比较两个复杂图形的面积大小。
总之，面积对比的推理方法有很多种，选择合适的方法取决于图形的特点和问题的要求。
三年级数学下册周长和面积问题小结
长方形正方形的周长和面积【知识点总结】一、公式：长方形：周长=（长+宽）×2 正方形：周长=边长×4面积= 长×宽面积=边长×边长引申：知道周长求长方形的长=周长÷2-宽引申：知道周长求边长正方形边长=周长÷4 长方形的宽=周长÷2-长知道面积求长方形的长=面积÷宽长方形的宽=面积÷长二、单位换算：1㎡=100d ㎡=10000c ㎡1d ㎡=100c ㎡1k ㎡=100公顷1公顷=10000 ㎡大单位换小单位×它们之间的进率，如5㎡换成d ㎡乘以100，得500d ㎡小单位换大单位 ÷它们之间的进率，如500d ㎡换成㎡除以100，的1 ㎡常见的面积单位：㎡ d ㎡ c ㎡公顷平方千米常见的长度单位：m dm cm km1c ㎡跟人的指甲盖大小差不多1d ㎡跟人的手掌大小差不多 1 ㎡相当于你们学校窗户一半大小从一个长方形中剪下一个最大的正方形，那么这个正方形的边长就是长方形的宽面积扩大问题：长方形面积扩大倍数=长的扩大倍数×宽的扩大倍数，如一个长方形长扩大3倍，宽扩大2倍，则这个长方形面积就扩大3×2=6倍正方形面积扩大倍数=边长扩大的倍数相乘，如一个正方形边长扩大3倍，则这个正方形面积就扩大3×3=9倍【典型题精讲】1、用一根铁丝正好围成长是6厘米，宽是4厘米的长方形，如果用这根铁丝围成正方形，正方形的面积是多少？解析：一根铁丝不管变成什么图形它的长度没有改变，所以本题中长方形的周长就等于正方形的周长，得到正方形的周长可以求出正方形的边长，得到边长就可以求出面积。
（6+4）×2=20（cm）20÷4=5(cm)5×5=25(c㎡)2、小红每天坚持锻炼身体，她绕着小区里的正方形荷花池跑步，跑一圈正好是240米，这个正方形荷花池的面积是多少？解析：这道题为知道正方形周长求面积，知道周长可以用公式：正方形边长=周长÷4，求出边长，进而用公式面积=边长×边长，求出荷花池面积3、莉莉家的客厅宽4m，长比宽的2倍少1m.，瓷砖的边长是2dm，如果莉莉家用这种瓷砖铺客厅的话，至少需要多少块？解析：这是一道典型的铺砖问题，所需砖的数量=地的面积÷每块砖的面积，注意单位之间的统一。
(三下)用一定长度的篱笆围绿地,长、宽和面积的关系(第五单元长方形和正方形的面积)
三年级数学下册 第五单元 长方形和正方形的面积
授课教师：寇向伟
2020-3-27
（1）用一定长度的篱笆4面围长方形绿地，长、宽和面积之间的关系。 （2）用一定长度的篱笆3面围长方形绿地，长、宽和面积之间的关系。
例1.用24米长的篱笆围一块长方Байду номын сангаас或正方形的绿地，怎样围面积最大？
长方形的面积=长×宽
答：当宽是6米，长是12米时围成的长方形绿地的面积最大。
面 积 越 来 越 大 面积最大
面 积 越 来 越 小
规律：用篱笆靠墙从3面围一块长 方形或正方形的绿地，当
时，围成的绿地的面积最大。
1.当周长一定时，长方形的长和宽越接近，长方形的面积就越大， 当长方形的长和宽相等（即正方形）时，面积最大。
长方形的周长=（长+宽）×2
长+宽=长方形的周长÷2
长+宽：24÷2=12（米）
列表法
方案 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
长/m 11 10 9 8
宽/m 12-11=1 12-10=2 12-9=3 12-8=4
面积/m² 长与宽的差/m
11×1=11
11-1=10
10×2=20 9×3=27
10-2=8 9-3=6
24-5×2=14 24-6×2=12 24-7×2=10
24-8×2=8 24-9×2=6 24-10×2=4 24-11×2=2
面积/m²
1×22=22 2×20=40 3×18=54 4×16=64
5×14=70 6×12=72 7×10=70 8×8=64
9×6=54 10×4=40 11×2=22
(word版)浙教版数学九年级上《圆》精品教案3
3.1圆课题 3.1圆教学目的知识点1．理解圆、弧、弦等有关概念．2．学会圆、弧、弦等的表示方法．3．掌握点和圆的位置关系及其判定方法．能力点进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．德育点用生活和生产中的实例激发学生学习兴趣从而唤起学生尊重知识尊重科学，更加热爱生活重点弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系．难点点和圆的位置关系及判定．教法操作、讨论、归纳、巩固学法通过日常生活在生产中的实例引导学生对学习圆的兴趣教具画圆工具教学设计进程教师活动学生活动设计意图达到效果一复习引入二新课讲述1．展示幻灯片，教师指出，日常生活和生产中的许多问题都与圆有关．如（1）一个破残的轮片(课本P62图)，怎样测出它的直径?如何补全？（2）圆弧形拱桥(课本P63图)，设计时桥拱圈(AB)的半径该怎样计算?（3）如何躲避圆弧形暗礁区(课本P60、P74图)，不使船触礁？（4）自行车轮胎为什么做成圆的而不做成方的？2．上述这些问题都与圆的问题有关，在小学我们已经认识过圆，回会用圆规画圆，问：圆上的点有什么特性吗？圆、圆心、圆的半径、圆的直径各是怎样定义的？这节课我们用另一种方法来定义圆的有关概念。
(板书)3．1 圆1．师生一起用圆规画圆：取一根绳子，把一端固定在画板上，另一端缚在粉笔上，然后拉紧绳子，并使它绕固定的一端旋转一周，即得一个圆(课本图3—1、3－2)．归纳：在同一平面内，一条线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆．定点O就是圆心，线段OP就是圆的半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．如图所示．2圆的有关概念（如图3－3）（1）连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图BC．经过圆心的弦是直径，图中的AB。
直径等于半径的2倍．（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用学生观察讨论回答定圆心半径三点确定一个圆垂径定理利用圆周角半径定长重心稳定学生口答学生观察并比较熟记圆的有关概念通过设问，目的是唤起对学习圆的兴趣通过比较回答，引起对圆的有关概念的认识。
人教版初三数学上册分别用定长为L的线段围成矩形和圆,那种图形的面积大？为什么？
分别用定长为L的线段围成矩形和圆，那种图形的面积大？为什么？说题设计稿姓名：梁春艳题目：九年级上册课本第52页拓广探索第9题一、审题分析：（一）题目背景：1.题材背景：本题出自人教版九年级下册二次函数习题26.3第27页拓广探索第10题2.知识背景：涉及的知识点有：二次函数最值问题，矩形面积，圆的面积，二次函数的配方法或公式法求顶点，列代数式，两个同分子分数比较方法。
3.方法背景：根据已有经验，知识间的内在联系，使生经历动手操作---大胆猜想---计算验证，从二次函数的最值出发学生建立起函数的模型，用函数的知识分析问题和解决问题，进一步提高对函数的认识和运用能力，拉近与函数的距离，加强应用数学的意识，也为以后更高层次的求学打下基础。
4.思想背景：用字母表示数的思想、函数思想、归纳类比思想、转化归纳思想、从特殊到一般思想.（二）学情分析：1.学生特点：本题的教学对象是毕业班学生，作为第一轮基本复习后的函数练习，他们的观察能力有所发展，抽象逻辑思维占优势，能把实际问题转化为数学问题并解决的能力，具有了从一定问题中抽象概括出一般规律的能力.2.估计学生会出现的困难：（1）无法正确构建二次函数数学模型，无法对函数图象顶点与最值关系的理解与应用。
（2）但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题。
（3）两个含字母的同分子分数不懂如何比较。
（4）归纳概括出一般规律。
3.教学策略：学生已掌握了二次函数的配方法或公式法求最值问题，本题的教学应从分析教材的编写意图出发，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
（三）重、难点：重点：1.理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。
2.会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。
难点：1.含有字母L的函数配方成顶点式等计算。
面积单位和长度单位的比较最新版
4、正方形的周长大于面积。…（ ）
米 厘米
分米
平方厘米 平方分米 平方米
周长：10厘米 10厘米 8厘米 10厘米
面积：4平方 4平方
厘米 厘米
4平方 4平方 厘米 厘米
面积相等你的发图现形什，么周？长有时不相等。
再见!
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
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an 所确定的递归数列的通项公式为 an (c1 c2n ck n k 1 ) n ，其中 c1 ， c2 ， ， ck 是待定系数，由 an 的
一类绝对值函数的最小值问题
曹 斌 浙江省丽水中学（323000）
1 将函数 f ( x) | 2x 1| + | x 2 | 改写成 f ( x) | x | 2 1 | x | | x 2|． 2 1 1 首先考查函数 g ( x) | x ( d ) | | x ( 2d ) | 2 2 | x 2 | （其中 d 0 ）的最小值问题．
l p ( p a )( p b)( p c) ，其中 p ． 2
4 由均值不等式， 得 SABC
p[ p ( p a )( p b)( p c) ( p a ) ( p b) ( p c ) 3 ] 3
福建中学数学
2015 年第 8 期
2015 年第 8 期
福建中学数学
3
1 所以 Sn n(n 1)(n 2) ． 3 点评 此种解法利用二项式定理，通过累加法得 到其前 n 项和，方法巧妙，且此种方法也可以推广． （5）我们所求的的数列 n(n 1) 的通项可以看
另外，除了上述几种初等解法之外，我们还可 以用下面的两个定理解决． 定理 1 若 an 是 m 阶等差数列，它的前 n 项和
记p
由均值不等式， 得 S ( p a)( p b)( p c)( p d )
[ ( p a ) ( p b) ( p c ) ( p d ) 4 ] 4
即 ABC 为正三角形面积大． 问题 2 一条定长绳子围成四边形，围成什么样 四边形面积大？ 解析 易知四边形面积最大时，一定是凸多边 形．如图1，凸四边形 ABCD 的四边长依次为 a ， b ， c ，d ，则 l a b c d ．设一组对角分别为 ， ， 1 连接 BD ， 四边形 ABCD 面积 S SABD SBCD ad 2 1 ． sin bc sin ，所以 2 S ad sin bc sin …（1） 2 在 ABD 与 BCD 中，由余弦定理得， a 2 d 2 所以 2ad cos b 2 c 2 2bc cos ， ． ad cos bc cos …（2） 由（1）和（2）平分相加， 得 4S 2 [
解法 6 基于定理 1， 对于二阶等差数列 n(n 1) ， an n(n 1) ， 有 a1 2 ， a2 6 ， a3 12 ，
a1 a2 a1 4 ， a2 a3 2a2 a1 2 ，
由定理 1 可得数列 n(n 1) 的前 n 项和
1 2 解方程组得 a ， b 1 ， c ， d 0 ， 3 3 1 2 1 即 Sn n3 n 2 n n(n 1)(n 2) ． 3 3 3 然后我们用数学归纳法证明结论是成立的（证 法略） ． 点评 此种解法是我们先猜想结果的形式，再利 用待定系数法确定其系数，最后用数学归纳法证明 猜想的结论．虽然这种解法不是很简洁，但归纳、 猜想、类比是处理数学问题的重要方法，对于高中 生提高研究数学问题的能力是很有益的．实际上， 解法 5 猜想的结论是差分数列中的一个重要定理： an 是 m 阶等差数列的充要条件是 an 是 n 的 m 次多
4 [2(ad bc) (a 2 d 2 ) (b 2 c 2 )]
[2(ad bc) (a 2 d 2 ) (b 2 c 2 )] 4 [(a d ) 2 (b c) 2 ] [(b c) 2 (a d ) 2 ] 4 (a d b c)(a d c d a) ， 4
(a 2 d 2 ) (b 2 c 2 ) 2 ] 2 a 2 d 2 b 2 c 2 2abcd cos( ) ， (a 2 d 2 ) (b 2 c 2 ) 2 ] 2 a 2 d 2 b 2 c 2 2abcd cos( ) ． (a 2 d 2 ) (b 2 c 2 ) 2
2 为 Sn ， 则 Sn 是 m 1 阶等差数列， 且 Sn C1 n a1 C n a1 1 m Cm n a1 ．
成是等差数列 2n 的前 n 项和． 我们知道， 等差数列 的前 n 项和为关于 n 的二次函数，那么我们猜想：数 列 n(n 1) 的前 n 项和是否是一个关于 n 的三次函 数呢？若是，我们就只需待定系数继而求出对应项 系数即可，然后我们可以用数学归纳法证明猜想的 正确性． 解法 5 待定系数法 设数列的前 n 项和 Sn an3 bn 2 cn d ． a b c d 2 ， 8a 4b 2c d 8 ， 分别令 n 1， 2， 3， 4 ，得 27 a 9b 3c d 20 ， 64a 16b 4c d 40 ，
2015 年第 8 期
福建中学数学
5
lim
l2 l2 x l2 x x cot x lim cos x lim lim cos x x 0 4π 4π x 0 sin x 4π x 0 sin x x 0 l2 l2 ，所以 S (n) ． 4π 4π 问题4 一条定长绳子围成圆，圆面积多大？
1 问题背景 在高考、竞赛和自主招生考试中，经常会涉及 到求绝对值函数的最小值问题．2014 高考重庆理科 第 16 题就是一道与绝对值最小值有关的问题，原题 如下： 1 若不等式 |2x 1 | |x 2| a 2 a 2 对任意实数 2 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是__________． 解析 本题最关键点就是求函数 f ( x) | 2x 1| + | x 利用函数 f ( x) | 2x 1| + | x 2 | 的图象 2 | 的最小值．
项式．
一条定长绳子，围成面积谁大？
林志森 叶希纯 福建省南安市侨光中学（362314） 一条绳子围成平面图形有很多种情形，现在从 围成三角形、四边形、正 n 边形及圆进行探究． 问题 1 一条定长绳子围成三角形，围成什么样 三角形面积大？ 解析 设绳子定长为 l ， 且围成 ABC 的三边长分 b， c ，则 l a b c ． 别为 a ， 由海伦公式， 得 SABC
x x 0
所以 4S 2 [
当 cos( ) 1 时，四边形面积取最大， 又 0 2π ， 故 π 时， 即四边形为圆的内接四边形时面积有最大值，
2 4Smax
[(a2 d 2 ) (b2 c2 )]2 a2 d 2 b2 c2 2abcd 4 2 2(ad bc) [(a 2 d 2 ) (b2 c 2 )]2
π l2 ，所以一条定长绳子围成三角形面积 四 n 4π 边形面积 正 n 边形面积 圆面积．故一条定长绳子 cot
解析 设绳子定长为 l ， 且围成圆的半径为 r ， 则
l 2πr ．圆面积 S πr 2 ，又 r l l2 ，所以 S ．因 2π 4π
围成圆面积最大．于是可得，一条定长绳子围成平 面图形越圆，面积就越大．
前 k 项决定． 解法 7 基于定理 2， 对于 n(n 1) ， Sn 1 Sn n(n 1) ， 有 Sn 4 4Sn 3 6Sn 2 4Sn 1 Sn ， 特征方程为 x 4 4 x 3 6 x 2 4 x 1 0 ， 即 ( x 1) 4 0 ，所以特征根为 x 1 ， 所以 Sn (c1 c2 n c4 n 4 ) 1n ，
c1 c2 c3 c4 2 ， c 2c2 4c3 8c4 8 ， 由 1 c1 3c2 9c3 27c4 20 ， c1 4c2 16c3 64c4 40 ， 2 1 得 c1 0 ， c2 ， c3 1 ， c4 ， 3 3 2 1 1 即 Sn n n 2 n3 n(n 1)(n 2) ． 3 3 3
p p2 l 2 ( )4 ， 2 4 16 当且仅当 a b c d 时，即四边形 ABCD 为正
四边形面积大． 由问题 1、2可得：一条定长绳子围成三角形、 四边形的面积要最大，此时三角形、四边形分别为 正三角形、正四边形．于是一条定长绳子围成多边 形面积要最大， 可直接考虑围成的正 n 边形的面积多 大？
参考文献 [1]林群．微积分与概率论的初步设想[J]．数学教育学报，2014（1） ：1-8 [2]王兵权．边长确定的四边形面积最大值定理[J]．福建中学数学，2010 （9） ：17-18
为 ( SABC ) max
3l 2 l2 na 2 ( S四边形ABCD ) max S ( n) 36 16 4
d Dc A C a Bb 图1 O AHB 图2
问题3 一条定长绳子围成正 n (n 5) 多边形， 围 成的正 n 边形面积多大？ 解析 设绳子定长为 l ，且围正 n 边形的边长为 a 则 l na ． 如图2， a， AHO 为直角三角形，AH ， 2 π π a π AOH ，所以 OH AH cot cot ，那么正 n n 2 n na 2 π l2 π π n 边形的面积 S (n) cot cot ．下面探 4 n 4π n n 2 l π π π π cot 的单调性：设 x (0 ， ) ，则 究 S ( n) 4π n n n 5 2 2 l l l2 所以 S ( x) (cot x x csc2 x) S ( x) x cot x ， 4π 4π 4π 1 sin 2 x x cos x x l2 2 1 ． 设 m( x) sin 2 x x ， ( 2 ) sin x sin x 4π 2 sin 2 x π 则 m( x) cos 2 x 1 0 ，所以函数 m( x) 在区间 (0 ， ) 5 上是减函数，故 m( x) m(0) 0 ．于是 S ( x) 0 ，所以 π 函数 S ( x) 在区间 (0 ， ) 上是减函数， 从而函数 S (n) 在 5 区间 [5， 又因为 lim S (n) lim S ( x) ) 上是增减函数．