简单的三角恒等变换(二)
高中数学 3.2简单的三角恒等变换（二）
简单的三角恒等变换(二)（45分钟 100分）一、选择题(每题6分，共30分)15°+cos15°sin15°的值为 ( ) B.2 2.(2021·济宁高一检测)f(x)=cos 2x −sin 2x 2的一条对称轴为 ( )=π2=π4 =π3 =π6 3.已知tan α2=3，那么cos α= ( )A.45 45 35 D.35 4.(2021·湖北高考)将函数y=√3cosx+sinx(x ∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所取得的图象关于y 轴对称，那么m 的最小值是 ( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 5.假设cos 2θ+cos θ=0，那么sin 2θ+sin θ的值等于 ( )B.±√3 或√3或√3或-√3 二、填空题(每题8分，共24分)6.设α为第四象限角，且sin3αsinα=135，那么tan 2α= .7.(2021·梅州高一检测)函数f(x)=sin 2x+√3sinxcosx 在区间[π4,π2]上的最大值是 .8.已知cos 2x=13，x ∈(π2,π)，那么sin 4x= . 三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.化简：(1+sinx +cosx )(sin x 2−cos x 2)√2+2cosx (180°<x<360°).10.如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称，邻边相互垂直的十字形，其中y>x>0.(1)将十字形面积表示为θ的函数.(2)当tanθ取何值时，十字形的面积S最大？最大面积是多少？11.(能力挑战题)已知函数f(x)=4cosxsin(x+π6)-1.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间[−π6,π4]上的最大值与最小值.答案解析1.【解析】选C.原式=sin15°cos15°+cos15°sin15° =sin 215°+cos 215°sin15°cos15° =1sin15°cos15°=22sin15°cos15°=2sin30°=4.2.【解析】选(x)=cos 2x −sin 2x 2=12cos 2x ，其对称轴为x=kπ2，k ∈Z ，当k=1时，即为x=π2. 3.【解析】选α2=3，故tan 2α2=sin 2α2cos 2α2=9，因此1−cosα1+cosα=9，cos α=-45. 4.【解析】选=2(√32cosx +12sinx )=2sin (x +π3)， 当m=π6时，y=2sin (x +π2)=2cosx ，符合题意.5.【解析】选D.由cos 2θ+cos θ=0得2cos 2θ-1+cos θ=0，因此cos θ=-1或12.当cos θ=-1时，有sin θ=0；当cos θ=12时，有sin θ=±√32.于是sin 2θ+sin θ=sin θ(2cos θ+1)=0或√3或-√3.【误区警示】此题要紧考查三角函数的大体运算、同角三角函数关系式和倍角公式.解题关键是熟练把握公式，并注意不能显现丢解错误.6.【解析】sin3αsinα=sin (2α+α)sinα=(1−2sin 2α)sinα+2cos 2αsinαsinα =2cos 2α+1=135，因此cos 2α=45，又α是第四象限角，因此sin 2α=-35，tan 2α=-34. 答案：-34 7.【解题指南】利用倍角公式降幂，转化成f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式，由x ∈[π4,π2]，确信出2x-π6的范围，进而求最值.【解析】f(x)=1−cos2x 2+√32sin 2x =12+sin (2x −π6)，当x ∈[π4,π2]时，2x-π6∈[π3,5π6]， sin (2x −π6)∈[12,1]，故f(x)的最大值为32. 答案：328.【解析】因为x ∈(π2,π)， 那么2x ∈(π，2π)，又cos 2x=13，因此sin 2x=-2√23，sin 4x=2sin 2xcos 2x=2×(−2√23)×13=-4√29. 答案：-4√299.【解析】原式=(1+2sin x 2cos x 2+2cos 2x 2−1)(sin x 2−cos x 2)√2+2(2cos 2x 2−1) =(2sin x 2cos x 2+2cos 2x 2)(sin x 2−cos x 2)√4cos 2x 2=2cos x2(sin x 2+cos x 2)(sin x 2−cos x 2)2|cos x 2| =cos x 2(sin 2x 2−cos 2x 2)|cos x 2| =−cos x 2cosx |cos x 2|，因为180°<x<360°，cos x2<0， 因此原式=−cos x 2cosx−cos x2=cosx.10.【解析】(1)由题意，x=cos θ，y=sin θ，面积S=2xy-x 2=2sin θcos θ-cos 2θ，θ∈(π4,π2). (2)由(1)知，S=2sin θcos θ-cos 2θ=2sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ =2tanθ−1tan 2θ+1，设2tan θ-1=t ，θ∈(π4,π2)，那么S=4t t 2+2t +5=4t +2+5t ≤42√5+2=√5−12，t=√5 即tan θ=√5+12时，面积S 取最大值√5−12.【变式备选】有一块扇形铁板，半径为R ，圆心角为60°，从那个扇形中切割下一个内接矩形，如图，求那个内接矩形的最大面积.【解析】设∠FOA=θ，那么FG=Rsin θ，OG=Rcos θ，在△EOH 中，tan 60°=EH OH ， 又EH=FG ，因此OH=√3，HG=Rcos θ-√3，又设矩形EFGH 的面积为S ，那么S=HG ·FG=(Rcosθ√3)·Rsin θ =2√3(√3sin θcos θ-sin 2θ) =2√3sin (2θ+30°)−12]， 又因为0°<θ<60°，故当θ=30°时，S 取得最大值√36R 2.11.【解析】(1)f(x)=4cosxsin (x +π6)-1 =4cosx ·(√32sinx +12cosx )-1=√3sin 2x+2cos 2x-1=√3sin 2x+cos 2x=2sin (2x +π6)，因此f(x)的最小正周期为π.(2)因为-π6≤x ≤π4，因此-π6≤2x+π6≤2π3， 因此当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)有最大值2， 当2x+π6=-π6，即x=-π6时，f(x)有最小值-1.【拓展提升】三角函数求值域的方式(1)利用单调性，结合函数图象求值域，如转化为y=Asin(ωx+φ)+b 型的值域问题.(2)将所给的三角函数转化为二次函数，通过配方式求值域，如转化为y=asin 2x+bsinx+c 型的值域问题.(3)利用sinx ，c osx 的有界性求值域，通常在概念域为R 的情形下应用.有时在隐含条件中产生一些限制条件，阻碍值域.(4)分离常数法，经常使用于分式形式的函数.(5)换元法，显现sinx+cosx ，sinx-cosx ，sinxcosx 时，常令t=sinx+cosx ，转化为二次函数值域的问题.换元前后要注意等价.(6)数形结合法，利用斜率公式等构造图形求最值.。
32简单的三角恒等变换(二)
例３: 求函数 y sin x 3 cos x 的周期，最大值和
最小值．
解：y sin x 3 cos x 这种形式我们在前面见过，
y sin x
3
cos
x
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
2sin
x
3
所以，所求的周期 T 2 2 , 最大值为２，最小
Q
详解 书本 P141
D
C
α
O
A
BP
有例3、例4可以看到，通过三角变换，我们把形如y a sin x b cos x
的函数转化为形如y Asin( wx )的函数，从而使问题得到简化。
这个过程蕴含了化归思想。
练习
某城市的电视发射塔建在市郊的一座山上,如图所示,山
BC高约为30米,在地平面上有一点A,测得A、C两点距离约
值为-2．
点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使 三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变 换在化简三角函数式中的作用．
练习 P 142 4
例4 :如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,C是扇形
弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP= , 求
当角 取何时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大值.
为67米,从A点观测电视发射塔的视角(∠CAD )约为45 °.
这座电视发射塔的高度.
D
x
67 C
45°
A
B
新教材高中数学第二章简单的三角恒等变换第2课时和差化积与积化和差公式pptx课件湘教版必修第二册
例2 把下列各式化成和或差的形式．
(1)2sin 64°cos 10°；
(2)sin 80°cos 132°；
(3)cos
π6பைடு நூலகம்os
π；
4
(4)sin 2sin 1.
方法归纳 积化和差公式可以把某些三角函数的积化为和或差的形式．需要注 意三角函数名称的变化规律．
跟踪训练2 (1)sin 15°cos 165°的值是( )
6°.
(3)sin
15°＋sin
35°＝2sin
15°+235°cos
15°−35° 2
＝2sin 25°cos (－10°)＝2sin 25°cos 10°.
(4)sin
6x－sin
2x＝2cos
6x+22xsin
6x−2x 2
＝2cos 4x sin 2x.
方法归纳 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，有时函数不同名，要 先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．
A．14
B．12
C．－14
D．－12
答案：C
解析：sin 15°cos 165°＝12[sin (15°＋165°)＋sin (15°－165°)]＝12sin 180°－12sin 150°＝－14.
(2)sin
π+α
4
cos
π+β
4
化成和差的形式为(
)
A．12sin (α＋β)＋12cos (α－β)
B．12cos (α＋β)＋12sin (α－β)
C．12sin (α＋β)＋12sin (α－β)
D．12cos (α＋β)＋12cos (α－β)
答案：B
第二节简单的三角恒等变换(第二课时)示范教
的三角函数表达式化简为基本的三角函数形式。
学生自我评价报告
1 2
知识掌握程度
大部分学生表示能够理解和掌握本节课所学的三 角恒等变换公式，并能够运用它们解决一些实际 问题。
学习方法
学生认为通过推导公式、举例验证以及大量练习 的方式，有助于加深对知识点的理解和记忆。
3
学习态度
学生表示在学习过程中保持积极的学习态度，认 真听讲、思考并积极参与课堂讨论。
02
实例2
证明$tanalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$。该恒等式可通过三角函
数的定义和商数关系式进行证明，也可通过几何意义进行解释。
03
实例3
证明$sin(alpha + beta) = sinalphacosbeta + cosalphasinbeta$。
该恒等式是三角函数和差化积公式的基础，可通过向量的数量积或复数
方法三
利用三角恒等式。通过已知的三角恒等式，如正弦、余弦定理等，推导出三角形内角和定 理。
三角形外角定理证明
方法一
利用平行线的性质。通过延长三角形的一条边，并在延长线上取一点，连接该点与三角形的另外两个顶点，形成新的 三角形。根据平行线的性质，可以证明原三角形的外角等于新三角形的两个内角之和。
方法二
分析法
从已知条件出发，逐步推导出结论 ，证明过程中需注意逻辑严密性。
综合法
将归纳法和分析法相结合，既考虑 特殊情况，又考虑一般情况，从而 证明恒等式的正确性。
实例分析与讨论
01
实例1
证明$sin^2alpha + cos^2alpha = 1$。该恒等式是三角函数的基本
恒等式之一，可通过勾股定理或三角函数定义进行证明。
数学人教A版4课前引导3.2简单的三角恒等变换(二)含解析
3。
2 简单的三角恒等变换（二）课前导引问题导入某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径长为1 m,求割出的长方形桌面的最大面积（如右图）思路分析：如右图连OC ，设∠COB=θ，则0°＜θ＜45°，OC=1, ∵AB=OB—OA=cosθ—AD=cosθ-sinθ, ∴S 矩形ABCD =AB·BC=（cosθ—sinθ）·sinθ =-sin 2θ+sinθcosθ=—21（1—cos2θ）+21sin2θ=21(sin2θ+cos2θ）—21=22cos （2θ—4π）—21。
当2θ—4π=0，即θ=8π时,S max =212-（m 2). ∴割出的长方形桌面的最大面积为212-（m 2）。
知识预览1。
两角和（差)的余弦：cos(α±β)=cosαcosβ sinαsinβ. 2.两角和(差）的正弦：sin （α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ. 3。
两角和（差）的正切：tan(α±β)=βαβαtan tan 1tan tan ±±。
4.二倍角余弦公式:cos2α=cos 2α—sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α。
常见变形：cos 2α=22cos 1α+，sin 2α=22cos 1α-。
5.二倍角正弦公式:sin2α=2sinαcosα.常见变形:sinα=ααcos 22sin ，cosα=ααsin 22sin 。
6.二倍角正切公式：tan2α=αα2tan 1tan 2-。
7.半角正弦公式：sin 2α=±2cos 1α-。
常见变形：sin 22α=2cos 1α-.前者用于求半角的正弦值，后者用于降幂使用. 半角余弦公式:cos 2α=±2cos 1α+. 常见变形：cos 22α=2cos 1α+.半角正切公式:tan 2α=±ααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 1-=+=+-。
人教版高中数学必修4-3.2《简单的三角恒等变换(第2课时)》教学设计
3.2.3简单的三角恒等变换（第2课时）杨峻峰一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，了解化简三角函数式及证明三角恒等式的要求，掌握化简三角函数式及证明三角恒等式的常规技巧和方法．从中体会、学习换元思想、方程思想及化归思想．（二）学习目标能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明．（三）学习重点有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．（四）学习难点认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，有从整体上把握变换过程的能力.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务读一读：（1）化简三角函数式：化简三角函数式的要求：①能求值的应求值；②使式子次数尽量低、项数尽量少；③使三角函数的种类尽量少；④尽量使分母及被开方数不含三角函数；⑤将高级运算表为低级运算.化简三角函数式的方法：一些常规技巧：“1”的代换，切割化弦，和积互化，化非特殊角为特殊角，异角化同角，异名函数化为同名三角函数，异次化为同次，切割化弦等．（2）三角恒等式的证明：三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等.三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．2.预习自测（1）化简：cos104sin 80sin10︒︒-=︒__________. 【知识点】两角差的正、余弦公式．【解题过程】cos104cos10sin10cos102sin 20cos104sin 80sin10sin10sin10︒︒︒-︒︒-︒︒-==︒︒︒()2sin 20cos 3020sin10︒-︒-︒====︒． 【思路点拨】将所求式子通分后化简，再逆用两角差的正、余弦公式．【答案】（2）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=__________. 【知识点】两角和与差的余弦函数公式． 【解题过程】cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 4cos 2ααα+=， 两边平方，得()22cos sin 16cos 2ααα+=，即()21sin 2161sin 2αα+=-， 解得： 15sin 216α=或sin 21α=-， 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()20,απ∈，所以15sin 216α=． 【思路点拨】将已知式子左边利用两角和与差的余弦函数公式进行化简，右边利用同角三角函数基本关系进行变形．【答案】1516． （3）已知02πα<<，4sin 5α=，则cos 2sin 2παα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为__________.。
3.2简单的三角恒等变换(二)
例3.求函数 的最大值。
【达标检测】
A组
1.函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
2.函数 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
3.使函数 是奇函数，且在 上是减函数的 的一个值是（ ）
A. B. C. D.
4.下列命题：①存在实数 ，使 成立；②存在实数 ，使 成立；
章节
3.2
课题
简单的三角恒等变换（二）
教
学
目
标
1.了解辅助角公式的产生过程，明确辅助角公式的实质 和差角公式的逆用；
3.进一步提高“变角、变名、变式”这三个变换的熟练程度，提高解决问题的能力。
教学重点
辅助角公式的灵活应用
教学难点
灵活进行变角、变名、变式
【新知探究】
一、辅助角公式的推导
1．你能将式子 化简为 或 的形式吗，怎样的关系？是否有上述类似的结论？
二、降幂扩角公式
3．根据二倍角的正余弦公式，请你用 ， 表示二次式 ， ， 。
4.利用上述降幂扩角公式，将下列各式化简为 或 的形式。
（1） （2）
【预习自测】
化简下列各式
（1） （2）
【典型例题】
例1.化简函数 的解析式，并判断它的奇偶性。
③若 ，则 ；④函数 是偶函数其中正确命题的序号为
5．已知 的最大值为 。
<1>求常数 的值； <2>求使 成立的 的取值集合。
B组
6.已知函数 且 ，求 的最大值为 时 的值
8.已知函数
<1>说明函数 的图像可由 的图像经过怎样的变换得到；
<2>当 时，求函数 的最大值和最小值。
最新3.2--简单的三角恒等变换(二)教学讲义ppt
a ysiA xnsibn c x(o x)s
1.通过三角恒等变形，形如 asinxbcosx的函数转
化为的 yAsin(x)函数；
2.灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最 值、周期、单调性等问题；
3.灵活运用三角公式解决一些实际问题．
复习巩固
c o sc o s sin sin = cos( ) c o sc o s sin sin = cos( ) sin c o s c o ssin = sin( ) sin c o s c o ssin = sin( )
在 RtOAD中 ， DAtan60 3. OA
OA 3DA 3BC 3sin,
3
3
3
ABOBOAcos 3sin.
3 设矩形ABCD的面积为S,则
S AB BC (cos 3 sin)sin
3
sin cos 3 sin2
3
1 sin 2 3 (1 co s 2 )
2
6
1 ( 3 sin 2 1 cos 2 ) 3
白细胞增高、食欲不振、周身不适； ▪
2.局部表现为发红、肿胀、皮温高、疼痛，涉及 咀嚼肌的间隙感染，有张口受限，位于舌、口底、 咽旁者则出现进食、吞咽或呼吸困难。 ▪ 3.区域性淋巴结肿大、压痛； ▪ 4.腐败坏死性感染者，全身中毒症状严重；局部 为弥散性肿胀、皮肤紧张发亮，呈暗红色，有捻 发音；
▪ 诊断 ▪ 1 .根据病史、临床症状和体征，结合局部解剖知
分析：连结OP,设POS , Q
用角 表示面积.
R
P
OS
解:连结OP,设POS ,
则OS OPcos cos,
PS OAsin sin,
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2
B.
C.2
D.4
解析：f ( x) 3 sin 2 x cos 2 x 2sin(2 x ). 6 2 T . 2
Page
14
2.求函数y sin 2 x 2 3 sin x cos xBiblioteka 3cos 2 x 2 在区间(
, )上的值域. 6 3
Page 5
,sin
b
例1.求函数 y sin x 3cos x 的周期，最大值和最小值. 分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简， 再求相应的值.
解：y sin x 3 cos x 1 3 2( sin x cos x) 2 2
2(sin x cos
cos x sin ) 3 3
(3)a sin x b cos x
Page 4
2 sin( ); 4
a sin x b cos x的变形及应用
(3)a sin x b cos x能化成一个角的三角函数值吗？
令 cos a
2 2
a b a 2 b2 a sin x b cos x a b a 2 b2 ( sin x cos x) a 2 b2 a 2 b2 a 2 b 2 cos sin x sin cos x a 2 b 2 sin x cos cos x sin a 2 b 2 sin x . （或 a 2 b2 cos x ）
1 cos 2 x 1 cos 2 x 解：y = 3 sin 2 x 3 2 2 2 3 sin 2 x cos 2 x 4 2sin(2 x ) 4. 6 5 x , 2 x . 6 3 6 6 6 1 2 x 1. 3 y 6. 2 6 值域为 3， 6 .
全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）
3.2 简单的三角恒等变换（二）
y sin A x a xsin( b cos x)
1.通过三角恒等变形，形如 a sin x b cos x 的函数转
化为的 y A sin( x ) 函数；
2.灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最 值、周期、单调性等问题； 3.灵活运用三角公式解决一些实际问题．
Q
C
O
Page 11
A
B P
解：在Rt OBC中，OB cos , BC sin . DA 在Rt OAD中， tan 60 3. OA
3 3 3 DA BC sin , 3 3 3 3 AB OB OA cos sin . 3 设矩形ABCD的面积为S , 则 OA
三角变换在实际问题中的应用
的扇形，C是扇 3 形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记 COP ，
例4.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 问当角 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最
大面积. 分析：（1）找出 S 与 之间的函数关系； （2）由得出的函数关系求最大值. D
1 3 sin10 cos10 2 2 2 sin 50 sin(10 60 ) sin( 50 ) 2 2 2 . sin 50 sin 50
Page
9
常见的三角变形技巧有 ① 切割化弦；
② “1”的变用；
③ 统一角度，统一函数， 统一形式等等．
Page
10
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8
三角变换在化简，证明中的应用.
例3 cos10 化简 tan10 3 . sin 50
sin10 cos10 解：原式 3 cos10 sin 50 sin10 3 cos10 cos10 cos10 sin 50
由0 当2 + S最大 =
3
,得
6
2
6
5 . 6
= ，即 = 时， 6 2 6
1 3 3 . 6 6 3
3 因此, = 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 . 6 6
Page 13
1.函数f ( x) cos 2 x 2 3 sin x cos x sin 2 x的最小正周期 是（ B ）. A.
S AB BC (cos sin cos 3 sin )sin 3
3 2 sin 3
Page
12
1 3 sin 2 (1 cos 2 ) 2 6 1 3 1 3 ( sin 2 cos 2 ) 2 6 3 2 1 3 sin(2 ) . 6 6 3
解：f ( x) cos 2 x+ 1 cos 2 x 3 1 cos 2 x . 2 2 2
当2k 2 x 2k , k Z时，f ( x)为增函数， 即k
2
x k , k Z .
函数f ( x)的单调增区间为 k , k (k Z ). 2
Page
2
你能把下列各式化为一个角的三角函数形式吗? 3 1 (1) sin cos ; 2 2
cos
6
sin sin
cos sin( ); 6 6
(2)sin cos ;
2 2 2( sin cos ) 2(cos sin sin cos ) 2 2 4 4
2sin( x ). 3 周期T 2，最大值为2，最小值为-2.
Page 6
通过三角变换，我们把形如
的函数
转化为形如
简化y . a sin x b cos x
的函数，从而使问题得到
y A sin( x )
Page
7
例2 已知函数f ( x) cos 2 x sin 2 x, 求f ( x)的单调 增区间.