2012天津市高考数学试卷及答案(理数)
高考数学试卷及解析答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. -3/5D. 无理数2. 函数y = 2x - 1的图象是（）A. 一次函数的图象，斜率为正，y轴截距为负B. 一次函数的图象，斜率为负，y轴截距为正C. 二次函数的图象，开口向上D. 二次函数的图象，开口向下3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 9，S6 = 27，则第10项a10的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 94. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°5. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则ac > bcC. 若a > b，则log2a > log2bD. 若a > b，则a + c > b + c6. 函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|的值域为（）A. [0, +∞)B. [-2, +∞)C. [-1, +∞)D. [0, 2]7. 已知复数z = a + bi（a, b ∈ R），若|z - 3i| = |z + i|，则实数a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 下列各点中，在直线3x - 4y + 5 = 0上的是（）A. (1, 1)B. (2, 2)C. (3, 3)D. (4, 4)9. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图象开口向上，且顶点坐标为(-1, 2)，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知函数y = log2(x - 1) + log2(x + 1)的定义域为D，则D的值为（）A. (-1, 1)B. (-1, +∞)C. (1, +∞)D. (-∞, -1)∪(1, +∞)11. 在等比数列{an}中，若a1 = 2，公比q = 3，则第n项an的值为（）A. 2^nB. 3^nC. 6^nD. 9^n12. 若直线y = kx + 1与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 函数y = 2x - 3的图象与x轴的交点坐标为______。
2012年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）（2012•天津）i是虚数单位.复数=（）2．（3分）（2012•天津）设φ∈R.则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”3．（3分）（2012•天津）阅读程序框图.运行相应的程序.当输入x的值为﹣25时.输出x 的值为（）.x=﹣x35．（3分）（2012•天津）在（2x2﹣）5的二项展开式中.x项的系数为（）=.）==6．（3分）（2012•天津）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别是a.b.c．已知8b=5c.C=2B.cosB=.B）．sinB==．nC=sin2B=2×.=．7．（3分）（2012•天津）已知△ABC为等边三角形.AB=2．设点P.Q满足..λ∈R．若=﹣.则λ=（）.再根据﹣..+λ﹣λ）﹣的三角形法则求出.AB=2.即可求解！8．（3分）（2012•天津）设m.n∈R.若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2﹣.1+∪[1+.2.2+2].=1.整理得：m+n+1=mn≤x+1≤=2+22）≥0或]∪[2+2二、填空题9．（3分）（2012•天津）某地区有小学150所.中学75所.大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查.应从小学中抽取18 所学校.中学中抽取9 所学校．=.应该选取小学选取中学×75=910．（3分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）.则该几何体的体积为18+9πm3．下部为两个半径均为的球体．分别求体积再相加即可．下部为两个半径均为的球体•（11．（3分）（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}.集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}.且A∩B=（﹣1.n）.则m= ﹣1 .n= 1 ．12．（3分）（2012•天津）已知抛物线的参数方程为（t为参数）.其中p＞0.焦点为F.准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线.垂足为E．若|EF|=|MF|.点M的横坐标是3.则p= 2 ．（﹣．再由解：抛物线的参数方程为（.0﹣（﹣．=+6p=9+13．（3分）（2012•天津）如图.已知AB和AC是圆的两条弦.过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E.与AB相交于点F.AF=3.FB=1.EF=.则线段CD的长为．3×1=×FCBD.BD=.（故答案为：14．（3分）（2012•天津）已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点.则实数k的取值范围是（0.1）∪（1.4）．==三、解答题15．（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1.x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．2x+）=2x+）[.cos sin cos sin）=π．[.]（﹣（=（上的最大值为=2x+16．（2012•天津）现有4个人去参加娱乐活动.该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏.掷出点数为1或2的人去参加甲游戏.掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X.Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数.记ξ=|X﹣Y|.求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．每个人去参加甲游戏的概率为.去参加乙游戏的人数的概率为.===17．（2012•天津）如图.在四棱锥P﹣ABCD中.PA⊥平面ABCD.AC⊥AD.AB⊥BC.∠BAC=45°.PA=AD=2.AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点.满足异面直线BE与CD所成的角为30°.求AE的长．通过得出＞=cos30°=..0）证明：易得.•=0.解：=的一个法向量为=即则以=的一个法向量为==．由此得﹣=＜==cos30°=.h=AH===．.CD=sin∠ADC=由.sin∠FAB=sin135°=BF=..EF==..BE==.cos30°=h=．18．（2012•天津）已知{a n}是等差数列.其前n项和为S n.{b n}是等比数列.且a1=b1=2.a4+b4=27.s4﹣b4=10．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）记T n=a n b1+a n﹣1b2+…+a1b n.n∈N*.证明：T n+12=﹣2a n+10b n（n∈N*）．得方程组..19．（2012•天津）设椭圆的左右顶点分别为A.B.点P在椭圆上且异于A.B两点.O为坐标原点．（1）若直线AP与BP的斜率之积为.求椭圆的离心率；（2）若|AP|=|OA|.证明直线OP的斜率k满足|k|＞．..则可求得.①的左右顶点分别为的斜率之积为∴∴椭圆的离心率为∴代入②得．20．（2012•天津）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0.其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0.+∞）.有f（x）≤kx2成立.求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．=0..k≥时.g时.对于.≤从而可得求导函数可得=0.k≥时时k≥时对任意的k=x∴＜﹣（。
高考全品数学试卷答案
一、选择题1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. -1/3D. 无理数答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数之比的数，而-1/3可以表示为-1除以3，是有理数。
2. 函数f(x) = 2x + 3在x=2时的函数值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10答案：A解析：将x=2代入函数f(x) = 2x + 3，得到f(2) = 22 + 3 = 7。
3. 在直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,4)的斜率是（）A. -1B. 1C. -2D. 2答案：A解析：斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)，代入点A(2,3)和点B(-1,4)，得到k = (4 - 3) / (-1 - 2) = -1/3。
4. 若a、b、c是等差数列的前三项，且a + b + c = 12，则该等差数列的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B解析：等差数列的前三项和为12，即a + b + c = 12，又因为a、b、c是等差数列，所以b = a + d，c = a + 2d，代入得a + (a + d) + (a + 2d) = 12，化简得3a + 3d = 12，即a + d = 4，因为a、b、c是等差数列，所以公差d = 4 - a。
5. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = e^x答案：B解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)，代入选项B中的函数y = x^3，得到f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)，满足奇函数的定义。
二、填空题6. 若log2(x + 1) + log2(x - 1) = 3，则x的值为______。
答案：8解析：利用对数的性质，将两个对数合并为一个对数，得到log2[(x + 1)(x - 1)] = 3，即log2(x^2 - 1) = 3，解得x^2 - 1 = 2^3，即x^2 = 8，解得x = ±√8，因为x + 1 > 0且x - 1 > 0，所以x = 8。
高考真题数学试卷及答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = （）A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^2 - 3D. x^2 + 3答案：A2. 下列各数中，不是无理数的是（）A. √2B. πC. 0.1010010001...D. √(9/16)答案：D3. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，2，3，则该数列的公差d = （）A. 1B. 2C. 3D. 0答案：B4. 已知复数z = 1 + 2i，则|z| = （）A. 1B. 2C. √5D. 3答案：C5. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则S3 = a1 + a2 + a3 = （）A. a1q^2B. a1(1 + q + q^2)C. a1(1 - q^3) / (1 - q)D. a1(1 - q^2)答案：B6. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^4答案：C7. 若直角三角形ABC中，∠C = 90°，a = 3，b = 4，则斜边c的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A8. 已知圆C：x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则圆心C的坐标为（）A. (2, 3)B. (2, -3)C. (-2, 3)D. (-2, -3)答案：A9. 若直线l的斜率为k，且直线l与x轴的交点为(1, 0)，则直线l的方程为（）A. y = kx + kB. y = kx - kC. y = -kx + kD. y = -kx - k答案：A10. 已知函数f(x) = e^x - x，则f'(x) = （）A. e^x - 1B. e^x + 1C. e^x - xD. e^x + x答案：A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2012年天津市高考数学试卷(理科)及解析
2012年天津市高考数学试卷(理科)及解析数学（理工类）名师简评该套试卷整体上来说与往年相比，比较平稳，试题中没有偏题和怪题，在考查了基础知识的基础上，还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力。
题目没有很多汉字的试题，都是比较简约型的。
但是不乏也有几道创新试题，像选择题的第8题，填空题的13题，解答题第20题，另外别的试题保持了往年的风格，入题简单，比较好下手，但是做出来并不是很容易。
整体上试题由梯度，由易到难，而且大部分试题适合同学们来解答体现了双基，考查了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷。
本试卷分为第I 卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟 第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数7=3i z i -+=（A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --１．B【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算.【解析】7=3i z i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i -（２）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 2．A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.【解析】∵=0ϕ⇒()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数，反之不成立，∴“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件.（３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（A ）1- （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）93．C【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算. 【解析】根据图给的算法程序可知：第一次=4x ，第二次=1x ，则输出=21+1=3x ⨯.（4）函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）34．B【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f --，3(1)=2+22=8f -，即(0)(1)<0f f ⋅且函1. B并借助于通项公式分【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r rC x -，∴103=1r -，即=3r ，∴x 的系数为40-.（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cosC=（A ）725 （Ｂ）725- （Ｃ）725±（Ｄ）24256．A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.【解析】∵8=5b c ，由正弦定理得8sin =5sin B C ，又∵=2C B ，∴8si n =5s i n 2B B ，所以8s i n=10B B B ，易知sin 0B ≠，∴4c o s=5B ，2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725.（7）已知△ABC 为等边三角形，=2AB ，设点P ，Q 满足=AP AB λ，=(1)AQ AC λ-，R λ∈，若3=2BQ CP ⋅-，则=λ（A ）12（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）7．A【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=BQ AQ AB -=(1)AC AB λ--，=CP AP AC -=AB AC λ-，又∵3=2B Q CP⋅-，且||=|A B A C，0<,>=60AB AC ，=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅，∴3[(1)]()=2A C AB A BA C λλ----，2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-，所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---，解得1=2λ.C（8）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是（A）[1-（Ｂ）(,1[1+3,+)-∞-∞（Ｃ）[2-（Ｄ）(,2[2+22,+)-∞-∞8．D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +，则21+14t t ≥，解得(,2[2+22,+)t ∈-∞-∞.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取所学校.9．18，9【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，所以应从小学中抽取15030=18250⨯，中学中抽取7530=9250⨯.（10）―个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为3m.10．18+9π【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：343=361+2()32Vπ⨯⨯⨯⨯=18+9π3m.（11）已知集合={||+2|<3}A x R x∈，集合={|()(2)B x R x m x∈--,且=(1,)A B n-，则=m,=n.11．1-，1【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.【解析】∵={||+2|<3}A x R x∈={||5<<1}x x-,又∵=(1,)A B n-，画数轴可知=1m-，=1n.（12）己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩（t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若||=||EF MF ，点M 的横坐标是3，则=p .12．2【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质.【解析】∵2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩可得抛物线的标准方程为2=2y px (>0)p ，∴焦点(,0)2p F ，∵点M 的横坐标是3，则(3)M ，所以点(,)2p E -，222=()+(06)22p p EF p -由抛物线得几何性质得=+32pMF ，∵=EF M F ，∴221+6=+3+94p p p p ，解得=2p .（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB 相交于点F ，=3AF ，=1FB ，3=2EF ，则线段CD 的长为.13．43【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质. 【解析】∵=3AF ，=1FB ，3=2EF ，由相交弦定理得=AF FB EF FC ⋅⋅，所以=2FC ，又∵BD ∥CE ，∴=AF FC AB BD ，4==23AB BD FC AF ⋅⨯=83，设=C D x ，则=4AD x ，再由切割线定理得2=BD CD AD ⋅，即284=()3x x ⋅，解得4=3x ，故4=3CD . （14）已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 . 14．(0,1)(1,4)【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围.【解析】∵函数=2y kx -的图像直线恒过定点B(0,2)-，且(1,2)A -，(1,0)C -，(1,2)D ，∴2+2==010AB k --，0+2==210BC k ---，2+2==410BD k -，由图像可知.2)=sin (2+)+sin(2)+2cos 133x x x ππ--，(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可. （16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： （Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=||X Y ξ-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，=45ABC ∠，==2PA AD ，=1AC .(Ⅰ)证明PC 丄AD ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为030，求AE 的长.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E 的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.（18）(本小题满分13分）已知{na }是等差数列，其前n 项和为nS ，{nb }是等比数列,且1a = 1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -.(Ⅰ)求数列{na }与{nb }的通项公式；(Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.（19）（本小题满分14分）设椭圆2222+=1x y ab (>>0)a b 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若||=||AP OA ，证明直线OP 的斜率k满足|k 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】（20）（本小题满分14分）已知函数()=ln(+)f x x x a-的最小值为0，其中>0a.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的[0,+)x∈∞,有2()f x kx≤成立，求实数k的最小值；（Ⅲ）证明=12ln(2+1)<2 21nin i--∑*()n N∈.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.。
2012年高考理科数学天津卷(含答案解析)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件A ，B 互斥 ，那么 如果事件A ，B 相互独立，那么 ()()()P AB P A P B =+()()()P AB P A P B =⋅棱柱的体积公式V Sh =球的体积公式34π3V R =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 其中R 表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 是虚数单位，复数7i3i-=+（ ）A. 2i +B. 2i -C. 2i -+D. 2i --2. 设ϕ∈R 则“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的 （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为 （ ） A. 1- B. 1 C. 3D. 94. 函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 35. 在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 （ ）A. 10B. 10-C. 40D. 40-6. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）A. 725B. 725-C. 725±D. 24257. 已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，λ∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A. 1B.C. D. 8. 设,m n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（ ）A. [1B. [,1[13,]-∞++∞ C. [2-+D. [,2[222,]-∞-++∞第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.2. 本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取_________所学校.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .11. 已知集合{|23}A x x =∈+<R ，集合{|()(2)3}B x x m x =∈--<R ，且(1,)A B n =-，则m =_________，n =_________.12. 已知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p =_________.13. 如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，3AF =，1FB =，32EF =，则线段CD 的长为_________.14. 已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程，或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]44-上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，AB BC ⊥，45BAC ∠=，2PA AD ==，1AC =.（Ⅰ）证明PC AD ⊥；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30，求AE 的长.18.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记1121n n n n T a b a b a b -=+++，*n ∈N ，证明*12210()n n n T a b n +=-+∈N .19.（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若||||AP OA =，证明直线OP 的斜率k满足||k >.20.（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a ＞. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明1*2ln(21)2()21ni n i n =-+-∈∑N ＜.2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）答案解析)(1)0f<，且函在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B1()2r rx--=【提示】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项A【解析】∵(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-，又∵32BQ CP=-，且2A B A C==，,60AB AC<>=，cos60AB AC AB AC︒==3[(1)]()2AC AB AB ACλλ---=-，2223(1)(1)2AB AB AC ACλλλλ+--+-=，2(1)4(1)2λλλ+--+-=，解得2λ=．(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-进而根据数量积的定义求出BQ CP再根据32BQ CP=-即可求出λ．2][222,+，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形．第Ⅱ卷(1,AB n =-213,34EF MF p p p ==++2．AF FB EF FC =，所以FC 又48//,,233AF FC AB BD CE BD FC AB BD AF ∴===⨯=，设CD x =，则4AD =再由切割线定理得2BD CD AD =，即2843x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得4x =42FC =，由相似比求出CD AD 求解．【考点】圆的性质的应用． (0,1)(1,4)2y kx =-的图像直线恒过定点010=-，10BC k --10-(0,1)(1,4)．2(4,)B p ⇒人中去(4)P X +=【考点】互斥事件与相对独立事件的相关性质，数学期望．（Ⅰ）以,,AD AC AP 为,x y 则(2,0,0),(0,1,0),(0,0,2)D C P(0,1,2),(2,0,0)PC AD PC AD PC AD=-=⇒⇔⊥（Ⅱ）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-的法向量(,,)n x y z =0200n PC x y n CD ⎧=⎪⇔⇔⎨⎨⎨-==⎩⎩⎪⎩(1,2,1)n ⇒=(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量630cos ,sin ,6AD n AD n AD n AD n<>==⇒<>=得：二面角A PC D --的正弦值为306． ；则(0,0,2)AE =，11,,,(2,1,0)BE h CD ⎛⎫==- ⎪3310,2101020BE CDBE CD h BE CD <>=⇔⇔=+，10=．为原点，建立空间直角坐标系，通过得出PC AD ，证出的一个法向量，利用两法向量夹角求解．3,BE CD <>=，得出关于h 的方程求解即可．。
高考数学函数题库（含答案）
2009————20122012年高考题1．（2012高考安徽文3）（2log 9）·（3log 4）= （A ）14（B ）12（C ）2 （D ）4 【答案】D 2.（2012高考新课标文11）当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) 【答案】B 3.（2012高考山东文3）函数21()4ln(1)f x xx =+-+的定义域为的定义域为(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]- 【答案】B 4.（2012高考山东文10）函数cos 622x x xy -=-的图象大致为的图象大致为【答案】D 5.（2012高考山东文12）设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是，则下列判断正确的是 (A)12120,0x x y y +>+> (B)12120,0x x y y +>+<(C)12120,0x x y y +<+> (D)12120,0x x y y +<+< 【答案】B 【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，要想满足条件，则有如图，做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ，故答案选B. 方法二：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x ¢=得0x =或23x b =.这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得3322b =.不妨设12x x <，则32223x b ==.所以231()()(2)F x x x x =--，比较系数得3141x-=，故31122x =-.3121202x x +=>，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故答案为B. 6.（2012高考重庆文7）已知22log 3log3a =+，22log 9log3b =-，3log 2c =则a,b,c 的大小关系是的大小关系是（A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （（D ）a b c >> 【答案】B 7.（2012高考全国文11）已知ln x p =，5log 2y =，12z e-=，则，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 【答案】D 8.（2012高考全国文2）函数1(1)y x x =+³-的反函数为的反函数为（A ）)0(12³-=x x y （B ）)1(12³-=x x y（C ）)0(12³+=x x y （D ）)1(12³+=x x y 【答案】B 9.（2012高考四川文4）函数(0,1)xy a a a a =->¹的图象可能是（的图象可能是（ ）【答案】Ｃ【答案】Ｃ10.（2012高考陕西文2）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. 1y x =+ B. 2y x =- C. 1y x= D. ||y x x =【答案】D. 11.（2012高考湖南文9）设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x ¢是f(x)的导函数，当[]0,x p Î时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2p时 ，()()02x f x p¢->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为上的零点个数为 A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ【答案】Ｂ12.（2012高考湖北文3）函数f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为上的零点个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】D 13.（2012高考江西文3）设函数211()21x x f x x x ì+£ï=í>ïî，则=))3((f f【答案】D 14.（2012高考江西文10）如右图，OA=2（单位：m ）,OB=1(,OB=1(单位：单位：m),OA 与OB 的夹角为6p，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧 B DC BDC与线段OA 延长线交与点C.甲。
2012年天津市高考数学试卷(理科)及解析
2012年天津市高考数学试卷(理科)及解析数学（理工类）名师简评该套试卷整体上来说与往年相比，比较平稳，试题中没有偏题和怪题，在考查了基础知识的基础上，还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力。
题目没有很多汉字的试题，都是比较简约型的。
但是不乏也有几道创新试题，像选择题的第8题，填空题的13题，解答题第20题，另外别的试题保持了往年的风格，入题简单，比较好下手，但是做出来并不是很容易。
整体上试题由梯度，由易到难，而且大部分试题适合同学们来解答体现了双基，考查了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷。
本试卷分为第I 卷（选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分,考试用时120分钟 第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数7=3i z i -+=（A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --１．B【命题意图】本试题主要考查了复数的概念以及复数的加、减、乘、除四则运算.【解析】7=3i z i -+=(7)(3)(3)(3)i i i i --+-=2173110i i ---=2i -（２）设R ϕ∈，则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件 2．A【命题意图】本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定.【解析】∵=0ϕ⇒()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数，反之不成立，∴“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的充分而不必要条件.（３）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（A ）1- （Ｂ）1 （Ｃ）3 （Ｄ）93．C【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算. 【解析】根据图给的算法程序可知：第一次=4x ，第二次=1x ，则输出=21+1=3x ⨯.（4）函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （Ｂ）1 （Ｃ）2 （Ｄ）34．B【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f --，3(1)=2+22=8f -，即(0)(1)<0f f ⋅且函1. B并借助于通项公式分【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r rC x -，∴103=1r -，即=3r ，∴x 的系数为40-.（6）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是,,a b c ，已知8=5b c ，=2C B ，则cosC=（A ）725 （Ｂ）725- （Ｃ）725±（Ｄ）24256．A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式. 考查学生分析、转化与计算等能力.【解析】∵8=5b c ，由正弦定理得8sin =5sin B C ，又∵=2C B ，∴8si n =5s i n 2B B ，所以8s i n=10B B B ，易知sin 0B ≠，∴4c o s=5B ，2cos =cos 2=2cos 1C B B -=725.（7）已知△ABC 为等边三角形，=2AB ，设点P ，Q 满足=AP AB λ，=(1)AQ AC λ-，R λ∈，若3=2BQ CP ⋅-，则=λ（A ）12（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）7．A【命题意图】本试题以等边三角形为载体，主要考查了向量加减法的几何意义，平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=BQ AQ AB -=(1)AC AB λ--，=CP AP AC -=AB AC λ-，又∵3=2B Q CP⋅-，且||=|A B A C，0<,>=60AB AC ，=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅，∴3[(1)]()=2A C AB A BA C λλ----，2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-，所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---，解得1=2λ.C（8）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是（A）[1-（Ｂ）(,1[1+3,+)-∞-∞（Ｃ）[2-（Ｄ）(,2[2+22,+)-∞-∞8．D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，∴圆心(1,1)到直线的距离为d ，所以21()2m n mn m n +=++≤，设=t m n +，则21+14t t ≥，解得(,2[2+22,+)t ∈-∞-∞.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取所学校.9．18，9【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所，所以应从小学中抽取15030=18250⨯，中学中抽取7530=9250⨯.（10）―个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为3m.10．18+9π【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：343=361+2()32Vπ⨯⨯⨯⨯=18+9π3m.（11）已知集合={||+2|<3}A x R x∈，集合={|()(2)B x R x m x∈--,且=(1,)A B n-，则=m,=n.11．1-，1【命题意图】本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.【解析】∵={||+2|<3}A x R x∈={||5<<1}x x-,又∵=(1,)A B n-，画数轴可知=1m-，=1n.（12）己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩（t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若||=||EF MF ，点M 的横坐标是3，则=p .12．2【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义，抛物线的定义及其几何性质.【解析】∵2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩可得抛物线的标准方程为2=2y px (>0)p ，∴焦点(,0)2p F ，∵点M 的横坐标是3，则(3)M ，所以点(,)2p E -，222=()+(06)22p p EF p -由抛物线得几何性质得=+32pMF ，∵=EF M F ，∴221+6=+3+94p p p p ，解得=2p .（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点Ｅ，与AB 相交于点F ，=3AF ，=1FB ，3=2EF ，则线段CD 的长为.13．43【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质. 【解析】∵=3AF ，=1FB ，3=2EF ，由相交弦定理得=AF FB EF FC ⋅⋅，所以=2FC ，又∵BD ∥CE ，∴=AF FC AB BD ，4==23AB BD FC AF ⋅⨯=83，设=C D x ，则=4AD x ，再由切割线定理得2=BD CD AD ⋅，即284=()3x x ⋅，解得4=3x ，故4=3CD . （14）已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 . 14．(0,1)(1,4)【命题意图】本试题主要考查了函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围.【解析】∵函数=2y kx -的图像直线恒过定点B(0,2)-，且(1,2)A -，(1,0)C -，(1,2)D ，∴2+2==010AB k --，0+2==210BC k ---，2+2==410BD k -，由图像可知.2)=sin (2+)+sin(2)+2cos 133x x x ππ--，(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可. （16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： （Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=||X Y ξ-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，AC 丄AD ，AB 丄BC ，=45ABC ∠，==2PA AD ，=1AC .(Ⅰ)证明PC 丄AD ；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为030，求AE 的长.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E 的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.（18）(本小题满分13分）已知{na }是等差数列，其前n 项和为nS ，{nb }是等比数列,且1a = 1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -.(Ⅰ)求数列{na }与{nb }的通项公式；(Ⅱ)记1121=+++n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】 【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.（19）（本小题满分14分）设椭圆2222+=1x y ab (>>0)a b 的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若||=||AP OA ，证明直线OP 的斜率k满足|k 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】【点评】（20）（本小题满分14分）已知函数()=ln(+)f x x x a-的最小值为0，其中>0a.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若对任意的[0,+)x∈∞,有2()f x kx≤成立，求实数k的最小值；（Ⅲ）证明=12ln(2+1)<2 21nin i--∑*()n N∈.【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.。
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2012年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第n (非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I卷1至2页，第n卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式：•如果事件A, B互斥，那么P(A B) =P(A) P(B) •如果事件A, B相互独立，那么P(AB)二P(A)P(B)•棱柱的体积公式V =Sh 其中S表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高。
4 3 -球的体积公式V R33其中R表示球的半径、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) i是虚数单位，复数=3+i(A) 2 + i (B) 2 -i(C) -2 + i ( D) -2 -i(2 )设R,则“ =0 ”是“ f(x) COS(x •「)(x • R)为偶函数”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分与不必要条件(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为-25时，输出x的值为(A) -1 (B) 1(C) 3 ( D) 9(4)函数f (x) = 2x x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是(A) 0 ( B) 1(C) 2 ( D) 32 1 5(5)在(2x --)的二项展开式中，x的系数为x(A) 10 ( B) -(C) 40 (D) -40(6)在ABC中，内角A，B, C所对的边分别是a,b,c，(B )仁'2(D )(8)设 m, n R ，若直线(m 1)x (n 1)y -2 = 0与圆(x - 1)2 (y -1)2 = 1 相切，则 m + n 的取值范围是(A ) [1 - .3,1、3](D )(-二,2 -2、. 2] [2 2 . 2,二)第口卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12小题，共110分。
、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.平行线与圆相交于点 E ，与AB 相交于点F ，AF=3,已知 8b=5c ，C=2B,则 cosC=7 (A )25 (C )7土——2524 (D)——25（7）已知 ABC 为等边三角形，AB=2,设点 P, Q 满足 AP h^.AB ，AQ = （1 _ • ）AC ，R ，若 BQ *CP 乜33，则， (B) (一",13] [1 .. 3,…)(C ) [2 -2、、2,2 2 .2] （9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 ____________ 所学校，中学中抽取 __________ 所学校.（10 ）一个几何体的三视图如图所示（单位： m ）， 则该几何体的体积为 ___________ m 3 （11 ） 已知集合 A 二B 二{x R| (x -m)(x -2) :: 0}, 且 A B =(—1, n),则 m = （12）已知抛物线的参数方程为__ ，n = _x=2p t ,（t 为参数），其中J =2ptp>0，焦点为F ，准线为I .过抛物线上一点 E.若|EF|=|MF|，点M 的横坐标是3， 贝 y p =_____________ .（13）如图，已知 AB 和AC 是圆的两条弦， 圆的切线与AC 的延长线相交于点 D.过M 作I 的垂线，垂足为过点 B 作C 作BD 的1集D3FB=1, EF=—，则线段CD的长为_____________ .2x2-1(14) -------------------------------- 已知函数y= 的图象与函数y = kx-2的图象恰有两个交点，则实数k的取x -1值范围是__________ .三•解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)已知函数f(x)=sin(2x =) 5(2r)28亠认R.(I)求函数f (x)的最小正周期；(n)求函数f (x)在区间［^ ,—］上的最大值和最小值.4 4(16) (本小题满分13分现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择•为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(I)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(n)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(川)用X, Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记© =|X-Y，求随机变量的分布列与数学期望 E .(17) (本小题满分13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD AC丄AD, AB丄BC, / BAC=45 , PA=AD=2 AC=1.(I) 证明PC丄AD(n)求二面角A-PC-D的正弦值；(川)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.(18) (本小题满分13分)已知｛a n｝是等差数列，其前n项和为S n , ｛b n｝是等比数列，且玄丄=d = 2, a4 b^ = 27 ,S4~'b4 -10.(I)求数列｛a n｝与｛b n｝的通项公式；(n )记T^a n b1 a n4b^ a1b n, n N*，证明T n 1^-2a n 10b n (n N*). PC3(19) (本小题满分14分)2 2两点，O为坐标原点1(I)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率;2(n)若AP =|OA，证明直线OP的斜率k满足k> <3(20) (本小题满分14分)已知函数f(x)=x_ln(x a)的最小值为0,其中a 0.(I)求a的值；(n)若对任意的x・[0,七)，有f (x) w kx2成立，求实数k的最小值;设椭圆= 1(a b .0)的左、右顶点分别为A, B，点P在椭圆上且异于A, Bn (川)证明7i =422i -1-ln(2n 1) ::: 2 ( n N *)学科网www. /xxk .com2012年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)参考解答•・选抒題：本题考査基本知识和呈本运算•毎小題5分・満分J0分.<1)B(2) A (3) C (4) B (5) D ».6) /\(7) A(8) D 二. 填空题：本返考査堆本处识和基本运算.毎小遁5分.済分30分.(9〉18 , 9(10) l8 + 9n(II) -I • I <12)2( 13> 土(14) (O.hUd.4)少3三. 解答零&(I 絕Qj 、迪L 牧和哂角和”的1E 弦公式、倍角的亍化、玄.二的曲故的址八止7周期、单调性零羞础mi.缶音基本运菲能力.满分13分.(I )解: /(x) = sin2x ・cos ；・cos2x sin ；+、inlr cos 牛-COS 2K ・sin ；.cos2*厂•=sinZr-t-cosZv = \25in<2x・听以./(X )的最小疋周期心¥+・■< II > IM 为 M4 8 ■‘讣、》• V 」.•，打;血为逅・■卜门力 _l.com.'.< ：•(16〉本小起主姿码杵占典槪住及nd*计斤公式.“乍忙；.节久的「m2住.A上圧血曲檢・釦“叫右中上址曲旳歆敢中环机变灿的分何仇9敘学助包£城辽刨泾r和山;1］出I辽门恫沱匸垃况勺钠”】二 www. /xxk .com解：依題总.这4个人中，每个人力参加屮游戏的槪辛为g.去参加乙游戏的槪率为扌.设“这4个人中恰有j 人左參加甲游戏"为下件4（/ = 0.1.2.3.4）.（I ） 这4个人中恰冇2人夫参加甲游戏的槪肓⑷=叫打耳卜务q 沖卩"（II ） 设“这4个人中去参加甲浙戏的人数大F 去参加乙淤戏的人数” 则〃・£U ・£・由丁•凡与•£互斥.故所以•这4个人中必卷加甲游戏的人数大门:芳加乙游戏的人数們槪军为丄.9XI/>«r （）< 02 1 48 P40 |727 81 «1前机变壯的数7駢卩心£小晋•喀討＞311 趣言.1^ •・宀.•• ・XI"「 '「 ” ・7・；•【哎与平面乖杵尊¥础如识.匕*用空仙向胡林决•?体儿何树电的"* © &空何想・■力• 辿算能力和推理论证能力•満分□仃为爭件8.4 4 C \| / 2 一J则 P （K ）=；I - 9 =（III ）£的所有可能収值为0. 2. 4.…宀豹沟：6攻点.4为匝点建立空间辽九坐标系，依題意匀 •4(000) • 02.0.0). C(0J,0).P(0,0.2).•-—< I )证明：^^rC = (0J.-2).而=(2・0.0)・(II) 解：PC = (0.1.-2) • CD = (2.-10)・ 设平面PCD 的法向帖“ =(KJ •二)• ”竺=0 •即 nCD = 0twI^I« = (h2J).可取平面/MC 的法向iitm = (1.0.0). f-Ji cost m. n -= -U a •从而 sin(, \m\-\n\ J6 6所以一血角J-PC-D 的正弦值为要•O(III) 解：设肿的坐标为(0.()•加.1C^//G |0.2|・由此订亦=丄■丄上)・；:：护* 2 2叫糾比0)・故HE (7)方法二C 丨〉证明：由PAL 平面ABCD .可射PA 丄AD •乂 I ： L 」(・/UP f( =J. 丄乍山几扛・Z PC c •F 而几K ••所 urci.w. ・0 兰/(II 》解:•• i* A "丄 PC r/A H ・ it 搖 ZW.L i t £ft] PC 丄 *D ・ PC L AH .可得/T 丄 T-lfa ADH .囚此DH 丄PC •从而Z-4//D 为二而何A-PC-DX) W 面角.T^PC AD-0 .所以 PC 1 AD .2x-vlo.不妨今—.V30” /! .• = -----6H学科网首发试程:WWW.Z• PA ^2. AC = I .山此(!) AH = Q5由〈I )知 M)丄・〃•故 Rt A DAH 中.DH = d4D ： TH ：5sinZJ/7D = ^ = ^2 .所以二曲角.4-PC ・D 的止弦他为互.DH 66(【II 〉解:如图，闵>jZ.4DC<45°.故过点〃作CD 的平行线必0线段初相交. 点为厂itR BE ・EF .故ZE 〃F 或心卜角为斤血直线处与CQ 所成的旳.sin ZE = si"35—牛 可得 BF 占.炉中•囚M EFv BE •从而ZEB"30 •由余弦电理符 心30 ■竺Pf 上竺•可轨m迈.2/IE10所以AE =—・10(18》厶小SS t 婴舟資故列与年比数列笛槪念・週项公式・前"项和公式・故列* 勺|等农础in 识・匕仟化门仃转化的思想方法.©许込“紀力•矗理论证能"•恳分13分.I ) 设：$ K «列｛y ｝的公咋为〃・竽比软孔仇｝的公比力'u = A = 2 -刃=2 + 1/.杠=2『・ ・»=8・6J ・由条件.自族V 讲囚此设交故sin 如零可得・〃• =在 RlFU 肿+ "2&.4AFB 中.ih-s\nZFAB sinZJFB由余弦定理.BE 2 = AB Z ^AF 2-2AB AF w£FAB . 由 T HF/^CD .故乙"〃二 ZJDC.在 R1Z16K •中.CD =、§・ sin Z-4DC =•护. ________BAE b . HE 二 H + AB 2 =所以叫二加“•力二丁• ne N$7而-2^ + ]0/）rt -I2 = -2（3W -I ） + I0X 2R -l2 = IOx2w -6n-IO.故T\ + 12 =-2% + 10" • * N*.（方法—：故学01纳法）（1）当〃 =1 时.7； + 12 = 4片+12"6・-2q+10/>：i6・故等式诚 L（2〉假W v \n^k 时等弍成立•即7；+12 = -2叫+10外•则肖几# + 1时弃：3訥I 林+…+也“ sq qft^iah + 叫-A +•••+“&.）+ 忆=代』、♦</（-2q +10杠一12） =2%1 ■ J （d ・i -3）* IOA 4., -24 =-2“”严10»| ・12 •即7；.： +12 = —2耳“十10对衬•因此几二殳“时爼式也咸<L.由（1 ）和（2）.可知对（£firt6N\ U = -2a.d0b •恥.（19小小眩上要考金橢圆的标准也和儿何性处"线的勺忙甲血内两小何的島离 公式筹 W 知识.匕fr 用代幣方乩斫说阿值曲找介‘川叽以七饕砒牛2的 W 巴恕fj法.弓件达#求解施力.诊合分析和斛决问总筠陡万 加令II ;存I 令wxvw /.:. UEW A U^U/^^4« dMU\（［〉解:设点尸的坐标为（备片）.由超盘• <1人=2q +2诂…+20" +…+ 2二• 27； =2:^ + + …+ 29： + 2"'吗・由②■①.衍7； =-2（3 刃・I ） + 3X 2'+3X 2"+・・，+ 3X 2・+2F由（I 〉紂22-6" + 2 = 10X 2* -6/1-10.歹学利网帕沁硏Z?（a.O ）・衍5 =亠.“亠U+Q %-E 白可得X ；=a ：-2y ：・代入①并整理得（a ：-步）允=0 .由p y 0 * 0 . 故a : = 2b :.干是『=空工=丄，所以橢圆的离心皐e =返.a' 22（II ）证明* （方法一）依題恿•£［线OP 的方用为y^kx.设点P 的坐标为（x 0f y 0）.由条件得消去几并整理得由\AP\^\OA\. A （-a.O ）及儿得整理衍 屮试皿严•而…•丁•是"諄•代入②•整理得 (1 + FF 二祁.由 a>h>0 .故a JF ・4. UP*2 ♦! >4 .（方法一〉依is 恿•兀线（〃》的力殍为〉=&•可设点卩的坐标为g.g ）・由CA /1 awwi.由|"|二|01|・」("0)・紂区2)'“疋・/・©?FM(IJ ・)VTai°£O ・r 怯①二壽.代入？•小I •小°沽・郴三号口 …胡（20）本小娶"丫敕的M ・利用&昨鈕曲硼叭穩测事U-、ft 、分公讨论思忠. "处分析^>ri4vr. （DM ：的定义域为（・嗅一）・闵此e>3.rf “十囚为小〉0・心0•所以計戸小即(>n加变化时•/・（x）./（力的变化情况如下表*X (_a 1 - u)1 — 0 (l ・a •*)/•（X ） — 0 + /（X ）\楼小值/囚此./(X )在x = l-u 处取紂皿小值.故由e,ft/(l-d) = l-a = O.所以a = l. (II )够：当0时・lRx = l. n/(l)-l-ln2>0.故上乓0不合題盘•M缈a-1 k >0时.>g(x)-/(x)-fcr :.即&(X)y•（I ） x i时.气2£wo.丈（*）＜0庄（0・y ）上恒成立.囚此&（x ）釘O.T ）上单调 2 2上谨减.从而对］任盘的x€（0t -Ke ）.总仃£（K ）W #（0） = 0 •即/（x ） Wfar ：金［O.y ）上恒成护“鼻£?彳合静•'2＞淞皿、£；时.＞0 •时丁 x w （ 0・掃土）・£ （I ）"0•故RT ）在（0,苛产） 内单调递聃.囚此半収心€（0 •再吕）时・K （q ）＞K （（”r •旧不成办■ K嫁上.&的M 小位为+ •（III ）证明,X 心时•不等式左边亠tn3＜2厶边•⑷以仁:L・x[2b-(l ・2切]I 一 ”令x (n=o ・ iUX)二o. x 2 = —- >-i.1-2*所以衣号右-血2”…0召5”荻右)<2 =述丽詁唱占-右严n 缶a 壬少•< 2 h综上•工矿 r-In(2w+ !)<?. ”w N*.z 2f ■丨那/(x )w 手(x^o ).从而心2).。