2015-2016学年宁夏银川市西夏区育才中学高三(上)第二次月考数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年宁夏银川市西夏区育才中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A={3，2a}，B={a，b}，则A∩B={4}，则A∪B等于（）A．{2，3，4}B．{1，3，4}C．{0，1，2，3} D．{1，2，3，4}2．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q3．（5分）已知向量=，=（0，﹣1），=，若﹣2与共线，则t的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．14．（5分）已知，且，则=（）A．B．﹣7 C．D．75．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．256．（5分）设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意t∈R，都有f（t）=f（2﹣t），且x∈（0，1]时，f（x）=﹣x2+4x，则f（3）的值等于（）A．﹣3 B．﹣55 C．3 D．557．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．8．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（α﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5分）下列函数中，与函数y=的奇偶性相同，且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（）A．B．y=x2+2 C．y=x3﹣3 D．10．（5分）已知函数f（x）=cos（2x+），则下列说法正确的是（）A．函数f（x）=cos（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到y=sin2x的图象B．x=是函数f（x）的一个对称轴C．（，0）是函数f（x）的一个对称中心D．函数f（x）=cos（2x+）在[0，]上的最小值为﹣11．（5分）若函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=kx，g（x）=，若关于x的方程f（x）=g（x）在区间[，e]内有两个实数解，则实数k的取值范围是（）A．[，）B．（，]C．（0，）D．（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）dx=．14．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是．15．（5分）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，图象的一部分，则f（x）的解析式为．16．（5分）下列命题①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“＜0”；④设有四个函数y=x﹣1，y=，y=x2，y=x3其中在（0，+∞）上是增函数的函数有3个．真命题的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）如图，在△ABC中，B=，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，（1）若△BCD的面积为，求CD的长；（2）若ED=，求角A的大小．18．（12分）已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处切线斜率为﹣3（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极大值与极小值的差．19．（12分）已知函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx﹣（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值，并求函数f（x）在[，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（）=sinA，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB=2，求AC和BC的长．20．（12分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足cos2A﹣cos2B=cos（﹣A）cos（+A）（1）求角B的值（2）若b=1，求a+c的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣ax+m在[，e]上有两个零点，求实数m的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F．（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．2015-2016学年宁夏银川市西夏区育才中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014秋•泰安期末）集合A={3，2a}，B={a，b}，则A∩B={4}，则A∪B等于（）A．{2，3，4}B．{1，3，4}C．{0，1，2，3} D．{1，2，3，4}【分析】先根据A∩B={4}，求出a，b，然后根据并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可．【解答】解：A={3，2a}，B={a，b}，则A∩B={4}，∴2a=b=4，∴a=2，b=4，∴A∪B={2，3，4}故选：A．【点评】本题主要考查了集合的并集，是求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型，理解集合A是解决本题的关键．2．（5分）（2013•湖北）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．故选A．【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．3．（5分）（2015秋•张家口校级期中）已知向量=，=（0，﹣1），=，若﹣2与共线，则t的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【分析】求出向量﹣2，利用向量共线，列出方程求解即可．【解答】解：向量=，=（0，﹣1），=，﹣2=（，3）．﹣2与共线，可得：．解得t=1．故选：D．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．4．（5分）（2015•商丘一模）已知，且，则=（）A．B．﹣7 C．D．7【分析】所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．【解答】∵cos，且∴sin=即tan∴tan（）==7故答案选：D【点评】考查了两角和公式的应用，属于基础题．5．（5分）（2009•全国卷Ⅱ）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B． C．5 D．25【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．6．（5分）（2015秋•西夏区校级月考）设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意t∈R，都有f（t）=f （2﹣t），且x∈（0，1]时，f（x）=﹣x2+4x，则f（3）的值等于（）A．﹣3 B．﹣55 C．3 D．55【分析】由f（t）=f（2﹣t），且f（x）为奇函数，可得f（3）=f（2﹣3）=f（﹣1）=﹣f（1），再由x∈（0，1]时，f（x）=﹣x2+4x，求出f（1），从而可求f（3）．【解答】解：∵对任意t∈R，都有f（t）=f（2﹣t），且f（x）为奇函数，∴f（3）=f（2﹣3）=f（﹣1）=﹣f（1），∵x∈（0，1]时，f（x）=﹣x2+4x，则f（1）=﹣1+41=3，∴f（3）=﹣f（1）=﹣3，故选：A【点评】本题主要考查函数的性质，对于抽象函数的问题，要反复运用所给的条件来代换，属于基础题．7．（5分）（2015秋•阳江期末）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==故选D【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．8．（5分）（2015秋•西夏区校级月考）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（α﹣）=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据题意求得cos（α+）=，再根据cos（α+）=sin[（α+）﹣]，再利用两角差的正弦公式计算求得结果．【解答】解：∵α为锐角，cos（α+）=为正数，∴α+是锐角，sin（α+）=，∴sin（α﹣）=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos ﹣cos（α+）sin =×﹣×=﹣，故选：B．【点评】本题着重考查了两角和与差的正弦公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．9．（5分）（2015•临沂模拟）下列函数中，与函数y=的奇偶性相同，且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（）A．B．y=x2+2 C．y=x3﹣3 D．【分析】运用奇偶性的定义判断已知函数为偶函数，在x＜0上递减，再由常见函数的奇偶性和单调性及定义，即可得到满足条件的函数．【解答】解：函数y=，当x=0时，f（0）=1；当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=（）﹣x=e x=f（x），当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=e﹣x=f（x），则有在R上，f（﹣x）=f（x）．则f（x）为偶函数，且在x＜0上递减．对于A．f（﹣x）=﹣f（x），则为奇函数，则A不满足；对于B．则函数为偶函数，在x＜0上递减，则B满足；对于C．f（﹣x）=（﹣x）3﹣3=﹣x3﹣3≠f（x），则不为偶函数，则C不满足；对于D．f（﹣x）=f（x），则为偶函数，当x＜0时，y=递增，则D不满足．故选B．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查常见函数的奇偶性和单调性及定义的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题．10．（5分）（2015秋•西夏区校级月考）已知函数f（x）=cos（2x+），则下列说法正确的是（）A．函数f（x）=cos（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到y=sin2x的图象B．x=是函数f（x）的一个对称轴C．（，0）是函数f（x）的一个对称中心D．函数f（x）=cos（2x+）在[0，]上的最小值为﹣【分析】利用函数y=cos（ωx+φ）的图象变换规律、以及余弦函数的最值以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=cos（2x+），把它的图象向右平移个单位长度可得到y=cos[2（x﹣）+]=cos（2x﹣）的图象，故排除A；令x=，求得f（）=﹣，不是函数的最值，故x=不是函数f（x）的一个对称轴，故排除B；令x=，求得f（）=0，故（，0）是函数f（x）的一个对称中心，故C正确；在[0，]上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=时，f（x）取得最小值为﹣，故排除D，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=cos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的最值以及它的图象的对称性，属于基础题．11．（5分）（2015秋•荆州校级期末）若函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[﹣1，+∞）C．[0，3]D．[3，+∞）【分析】求出函数f（x）的导函数，由导函数在（，+∞）大于等于0恒成立解答案【解答】解：由f（x）=x2+ax+，得f′（x）=2x+a﹣=，令g（x）=2x3+ax2﹣1，要使函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）是增函数，则g（x）=2x3+ax2﹣1在x∈（，+∞）大于等于0恒成立，g′（x）=6x2+2ax=2x（3x+a），当a=0时，g′（x）≥0，g（x）在R上为增函数，则有g（）≥0，解得+﹣1≥0，a≥3（舍）；当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（）≥0，解得+﹣1≥0，a≥3；当a＜0时，同理分析可知，满足函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）是增函数的a的取值范围是a≥3（舍）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，考查了导函数在求解含有参数问题中的应用，是中档题．12．（5分）（2015•德宏州校级三模）已知函数f（x）=kx，g（x）=，若关于x的方程f（x）=g（x）在区间[，e]内有两个实数解，则实数k的取值范围是（）A．[，）B．（，]C．（0，）D．（，+∞）【分析】方程f（x）=g（x）可化为=kx，故k=；从而转化为函数的取值范围，从而求解．【解答】解：方程f（x）=g（x）可化为=kx，故k=；令F（x）=，则F′（x）=；故F（x）在[，]上是增函数，在[，e]上是减函数，且F（）=﹣e2；F（）=，F（e）=；故实数k的取值范围是[，）；故选A．【点评】本题考查了函数与方程的关系应用，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2015•安康三模）dx=6．【分析】直接利用定积分的运算法则求解即可．【解答】解：dx=3lnx=6．故答案为：6．【点评】本题考查定积分的求法，注意求解原函数是解题的关键．14．（5分）（2015•宁夏校级四模）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是{x|x≥3或x≤1} ．【分析】根据题意，分析可得不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），进而可以将其转化为|x﹣2|≥1，解可得答案．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，∴不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），即|x﹣2|≥1，即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，即x≥3或x≤1，故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，故答案为：{x|x≥3或x≤1}．【点评】本题主要抽象函数的应用，涉及利用函数的奇偶性和单调性的运用以及绝对值不等式的解法，解题的关键是依据函数的性质将原不等式转化为|x﹣2|≥1．15．（5分）（2011•鼓楼区校级模拟）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，图象的一部分，则f（x）的解析式为．【分析】根据图象可知，函数最大值和最小值为3和﹣1进而求出A和B；把A和B代入f（x）根据f（0）=2可求得φ；把A，B和φ代入f（x）根据f（﹣π）=﹣1可求得ω，最后可得f（x）的解析式．【解答】解：如图可知函数最大值为3，A+B=3①函数最小值为﹣1，﹣A+B=﹣1②通过①②解得A=2，B=1如图可知f（0）=2sinφ+1=2，即sinφ=，又∵∴φ=∵f（﹣π）=2sin（﹣πω+）+1=﹣1∴ω=故f（x）的解析式故答案为：【点评】本题主要考查同过三角函数的部分图象求三角函数的解析式的问题．要利用图象中的几个特殊值，如函数最大值和最小值，f（0）等．16．（5分）（2015秋•西夏区校级月考）下列命题①命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“＜0”；④设有四个函数y=x﹣1，y=，y=x2，y=x3其中在（0，+∞）上是增函数的函数有3个．真命题的序号是①②④．【分析】对于①，根据含有量词的命题的否定即可判断；对于②，先利用二倍角公式将f（x）化简，然后根据T=求出a的值，再判断充分必要性；对于③，根据向量数量积的定义以及两向量夹角的取值范围进行判断；对于④，根据幂函数的性质分别判断四个函数在（0，+∞）上的单调性即可．【解答】解：对于①：全称命题的否定是存在性命题（也叫特称命题），所以命题“∃x0∈R，x02+1＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故①正确；对于②：由二倍角公式可知，f（x）=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，由T=，得a=±1，因为“a=±1“是“a=1”的必要不充分条件，故②正确；对于③：记与的夹角为θ．若平面向量与的夹角是钝角，则=＜0；若＜0，则cosθ＜0，即与的夹角θ是钝角或平角（即180°）．所以“＜0”是“平面向量与的夹角是钝角”的必要不充分条件，故③不正确；对于④：根据幂函数的性质，y=x﹣1在（0，+∞）上是减函数，y=，y=x2，y=x3其中在（0，+∞）上是增函数，故④正确．故答案为：①②④【点评】本题主要考查了命题的真假判断，同时也考查了含有量词的命题的否定，三角函数，向量以及幂函数的性质等知识点，对学生要求较高，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）（2016•福安市校级模拟）如图，在△ABC中，B=，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，（1）若△BCD的面积为，求CD的长；（2）若ED=，求角A的大小．【分析】（1）利用三角形的面积公式，求出BD，再用余弦定理求CD；（2）先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得，结合∠BDC=2∠A，即可得结论．【解答】解：（1）∵△BCD的面积为，，∴∴BD=在△BCD中，由余弦定理可得==；（2）∵，∴CD=AD==在△BCD中，由正弦定理可得∵∠BDC=2∠A∴∴cosA=，∴A=．【点评】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（12分）（2015秋•西夏区校级月考）已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，且其图象在x=1处切线斜率为﹣3（1）求函数的单调区间；（2）求函数的极大值与极小值的差．【分析】（1）求出y'=3x2+6ax+3b，由题意得12+12a+3b=0，且k=y′|x=1=3+6a+3b=﹣3，由此能求出a=﹣1，b=0，从而y=x3﹣3x2+c，则y'=3x2﹣6x，由此利用导数性质能求出函数的单调区间．（2）由y'=3x2﹣6x=0，解得x=0，x=2，推导出函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c﹣4，从而能求出函数的极大值与极小值的差．【解答】解：（1）∵函数y=x3+3ax2+3bx+c，∴y'=3x2+6ax+3b，∵函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，∴当x=2时，y′=0，即12+12a+3b=0，①∵函数图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，∴k=y′|x=1=3+6a+3b=﹣3，②联立①②，解得a=﹣1，b=0，∴y=x3﹣3x2+c，则y'=3x2﹣6x，令y'=3x2﹣6x＞0，解得x＜0或x＞2，令y'=3x2﹣6x＜0，解得0＜x＜2，∴函数的单调递增区间是（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间是（0，2）；（2）由（1）可知，y'=3x2﹣6x，令y′=0，即3x2﹣6x=0，解得x=0，x=2，∵函数在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴函数在x=0时取得极大值c，在x=2时取得极小值c﹣4，∴函数的极大值与极小值的差为c﹣（c﹣4）=4．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的极大值与极小值的差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质及导数的几何意义的合理运用．19．（12分）（2015秋•西夏区校级月考）已知函数f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx﹣（ω＞0），直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．（Ⅰ）求ω的值，并求函数f（x）在[，]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f（）=sinA，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB=2，求AC和BC的长．【分析】（I）利用二倍角公式即辅助角公式，化简函数，利用直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为．可得函数的最小正周期为，根据周期公式，可求ω的值；（II）根据f（）=sinA得出A，根据三角形的面积得出AC，利用余弦定理求出BC．【解答】解：（I）∵f（x）=sinωxcosωx+cos2ωx﹣=（sin2ωx+cos2ωx）=sin（2ωx+）∵直线x=x1，x=x2是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x1﹣x2|的最小值为，∴函数的最小正周期为，∴=，∴ω=2．则f（x）=sin（4x+）．∵x∈[，]，∴4x+∈[π，]，∴当4x+=π即x=时，f（x）的最小值是0；当4x+=即x=时，f（x）的最大值是﹣1；（II）∵f（）=sin（4×+）=sinA，∴inA=．∵A是锐角，∴A=．∵S△ABC=AB•AC•sinA=，∴AC=3．∴BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=7，∴BC=．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，解三角形，属于基础题．20．（12分）（2015秋•西夏区校级月考）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足cos2A﹣cos2B=cos（﹣A）cos（+A）（1）求角B的值（2）若b=1，求a+c的取值范围．【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简可求得cos2B 的值，进而可得cosB的值，从而求得B的值．（2）使用正弦定理用sinA，sinC表示出a，c，得出a+c关于A的三角函数，根据A的范围和正弦函数的性质得出a+c的最值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵在锐角三角形ABC中，cos2A﹣cos2B=cos（﹣A）cos（+A），∴cos2A﹣cos2B=（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=cos2A﹣sin2A，可得：sin2A+cos2A==cos2B，∴B为锐角，可得：cosB=，B=．…（6分）（2）由正弦定理得，∴a=sinA，c=sinC=sin（﹣A）．∴a+c=sinA+sin（﹣A）=2sin（A+）．∵0＜A＜，∴＜A+＜．∴＜sin（A+）≤1．∴1＜2sin（A+）≤2．∴a+c的取值范围是（1，2]．…（12分）【点评】本题主要考查正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象与性质，考查了函数思想和转化思想，属于中档题．21．（12分）（2014•河南一模）已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣ax+m在[，e]上有两个零点，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）利用导数求出函数的在[，e]上的极值和最值，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2lnx﹣x2+2x，则f′（x）=﹣2x+2，切点坐标为（1，1），切线斜率k=f′（1）=2，则函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣ax+m=2lnx﹣x2+m，则g′（x）=﹣2x=，∵x∈[，e]，∴由g′（x）=0，得x=1，当＜x＜1时，g′（x）＞0，此时函数单调递增，当1＜x＜e时，g′（x）＜0，此时函数单调递减，故当x=1时，函数g（x）取得极大值g（1）=m﹣1，g（）=m﹣2﹣，g（e）=m+2﹣e2，g（e）﹣g（）=4﹣e2+＜0，则g（e）＜g（），∴g（x）=f（x）﹣ax+m在[，e]上最小值为g（e），要使g（x）=f（x）﹣ax+m在[，e]上有两个零点，则满足，解得1＜m≤2+，故实数m的取值范围是（1，2+]【点评】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值和最值问题，考查学生的计算能力．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2015•锦州一模）如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F．（Ⅰ）求证：A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．【分析】（I）依题意，可证得△BAD≌△CBE，从而得到∠ADB=∠BEC⇒∠ADF+∠AEF=π，即可证得A，E，F，D四点共圆；（Ⅱ）取AE的中点G，连接GD，可证得△AGD为正三角形，GA=GE=GD=，即点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．【解答】（Ⅰ）证明：∵AE=AB，∴BE=AB，∵在正△ABC中，AD=AC，∴AD=BE，又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，∴△BAD≌△CBE，∴∠ADB=∠BEC，即∠ADF+∠AEF=π，所以A，E，F，D四点共圆．…（5分）（Ⅱ）解：如图，取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE，∵AE=AB，∴AG=GE=AB=，∵AD=AC=，∠DAE=60°，∴△AGD为正三角形，∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为．由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为．…（10分）【点评】本题考查利用综合法进行证明，着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能力的考查，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2015•绥化校级二模）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（﹣2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．【分析】（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．【解答】解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ﹣3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x﹣y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）【点评】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．[选修4-5：不等式选讲]24．（2015•江西校级二模）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6 即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，∴①，或②，或③．解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．故由不等式可得，即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解．体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。