八年级下册十字相乘法因式分解教案

十字相乘法分解因式（1）
一、教学目标：
1、进一步理解因式分解的定义；
2、会用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解；
3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。

二、教学的重点、难点
1、教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解。

2、教学难点：在q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使p ab =，q b a =+。

三、导学过程：
（一）创设情境，导入新课：
1、什么叫分解因式？分解因式的方法有那些？
2、你知道652++x x 怎样分解因式吗？
（二）自主学习
我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2，3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到
（三）合作探索
这就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项q 分解成两个因数a 、b 的积，并且a+b 等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即
()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。

可以用交叉线来表示：
十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相
乘法。

（四）、展示交流：
例1 把232x x ++分解因式。

分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的
两个因数必是同号，而2=1×2=(－1)( －2)，要
使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。

例2 把276x x -+分解因式。

例3 把2421x x --分解因式。

x x +a +b
例4 把2215x x +-分解因式。

（后三个例题鼓励学生独立完成）
（五）点拨升华
通过例1︿4可以看出，怎样对2x px q ++分解因式？
如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。

如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同。

对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p 。

（六）拓展提高
例5 把下列各式分解因式：
(1) 4268x x ++ (2) ()()2
43a b a b +-++ （3）2232x xy y -+ （4）864+-x x
四、当堂检测：
1、把下列各式用十字相乘法因式分解：
（1）62--x x （2）652++x x （3）62-+x x （4）432-+x x （5）432--x x
2、把下列各式因式分解：
（1）652+-x x （2）652--x x （3）652-+x x （4）652++x x
3、把下列各式因式分解：
（1）1272+-x x （2）1242--x x （3）1282+-x x （4）1282++x x
2、（1）若多项式m x x +-82可分解为)6)(2(--x x ，则m 的值为 .
（2）若多项式122--kx x 可分解为)6)(2(+-x x ，则k 的值为 .
选作：若多项式m x x +-22可分解为))(3(n x x -+，求m 、n 的值.
十字相乘法分解因式（2）
一、教学目标：
1、进一步理解因式分解的定义；
2、会用十字相乘法进行二次三项式，2ax bx c ++的因式分解；
3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。

二、教学的重点、难点
教学重点、难点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式2ax bx c ++的因式分解。

三、导学过程：
（一）创设情境，导入新课：
1、分解因式
（1）62--x x （2）652++x x （3）62-+x x （4）432-+x x （5）432--x x
2、分解因式 231110x x ++
（二）自主学习
()()223531110x x x x ++=++。

反过来就得到： ()()231110235x x x x ++=++。

想一想231110x x ++怎样因式分解的，有什么规律？
总结规律：二次项的系数3分解成1,3两个因数的积；常数项10分解成2,5两个因数的积；当我们把1,3，2,5写成 1 2
3 5 后发现1×5+2×3正好等于一次项的系数11。

（三）合作探索
由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解？
我们知道，
()()
()1122212122112212122112
a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++
反过来，就得到
()()()212122112
1122 a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++
（四）点拨升华
二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c 排列如下：
1a 1c
2a 2c
这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1a 2c +2a 1c ，如果它们正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成()()1122a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于上图的上一行，
2a ，2c 位于下一行。

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。

对于二次项系数不是1的二次三项式
它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
四、当堂检测：
1、把下列各式分解因式：
(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y --
2、把下列各式分解因式：
（1）3522--x x （2）31032+-a a （3）3832-+b b （4）3842++m m
3、把下列各式分解因式：
（1）121752--b b (2) 2252310a b ab +- (3) 222231710a b abxy x y -+
(4) 22712x xy y -+ (5) 42718x x +- (6) 22483m mn n ++
(7) 1023522-+mn n m （8）53251520x x y xy -- (9) 9102244+-n m n m。