GM(1,n)
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基于灰色GM(1,N)的生态旅游市场需求预测研究——以越南风雅-格邦国家公园为例
上 选 择 最合 适 的 因素 建 立 灰 色预 测 模 型 ， 从研 究结 果 中可以得到 ： 影 响 生 态旅 游 市场 需 求 的 因 素 之 间 ， 客 源地 的教 育 水平 最 具 有 相 关 性 ， 其次是性别 ， 收入 以 及 旅 游 资 源 状 况 等 ， 灰 色预 测 模 型 的 结果 表 明 ： ２ ０ １ ２ ～
态 环 境 与 旅 游 发 展 的 和 谐 性 。 另 一 方 面 生 态 旅 游
市场 目前处 于 部分 信息 已知 ， 部分信息未知的“ 小样 本 、
贫信 息 、 不 确定 ” 状态， 学 者 更 多 的 是 通 过 个 案 实 证 研 究， 定量 分 析 具 体 某 个 生 态 旅 游 景 点 的 生 态 旅 游 承 载 力， 例 如刘 会 平 （ ２ ０ ０ １ ） Ｊ ， 胡忠行 （ ２ ０ ０ ２ ） ］ ， 石 强（ ２ ０ ０ ７ ） 等【 基 于 此 分 别 研 究 了 武 汉 东 湖 、 天台 山、 武 夷 山等 中
２ ０ １ ３ 年１ 月
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇ ｒ ｅ ｅ ｎ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
绦 色科 技
第 ｌ期
基 于灰色 Ｇ Ｍ（ １ ， Ｎ） 的生态旅游市场需求 预测研究
以越 南风 雅 一格 邦 国 家公 园为例
国 风 景 名 胜 区 的旅 游 环 境 容 量 。张 晓 娜 等 （ ２ ０ ０ ８ ） 对 秦
皇 岛 市 南 戴 河 海 洋 乐 园景 区 的 承 载 力 状 态 进 行 了预 警 研究 ， 可以说 ， 很 少 有 研 究 预 测 生 态 旅 游 市 场 的 真 正 发 展＿ ７ ］ 。本 文 从 影 响 旅 游 需 求 的 人 口统 计 特 征 、 行 为 特
非线性优化GM(1,N)模型及其应用研究
工 程 与 电子 技 术
Ｓ ｓ ｅ ｓＥｎ ｉ ｅ ｒｎ ｎ ｅ ｔｏ ｉｓ ｙ ｔ ｍ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ ａ ｄ Ｅｌ ｃ ｒ ｎ ｃ
Ｖ ｏ１ ３ Ｎ Ｏ． ．２ ２
２１ ０ ０年 ２月
文 章 编 号 ：０ １５ ６ （ ０ ０ ０ ３ ７０ １ ０ —０ Ｘ ２ １ ） ２０ １－ ４
ｆ ｃｏ ｓ ａ ｔ ｒ ，ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ － ａ ｅ ｎ ｔ ｅ １ ＡＧ０ ｈ ｔｅ ｉ ｉ ａ ｅ ｅ ｔ ｉ ｒ ｙ ｃ ａ ａ ｔ ｒ ｔ ａ ｌ ｎ ｔ ｄ ｃ ｒ ａｎ ｇ ｅ ｈ ｒ ｃ ｅ ．Ｂｕ ｔ ａ ｏ ｂ ａ ｎ ｄ ｔ ｅ ａ ｔ ａ ｔｌ ａ ｉ ｎ ｍ ｔｉ ｈ ｓｎ ｔｏ ｔ ｉ ｅ ｈ ｃ ｕ ｌ ｉｉ ｔ ｕ ｚ ｏ ｆ ｒｔ ｅ ｃ ｍｐ ｌｏ ｙ ｌ ｅ ｒ ｈ ｐ ｔ ｅ ｉ ａ ｄ ｔ ｅ ｉ ｓ ｆｉ ｉｎ ｏ ｓ ｍ ｍａ ｉ ｎ ｓ ｌ ｔｏ ｔ ｏ ． Ｓ ｈ ｔ ｔ ｅ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｏ ｈ ｏ ｕ ｓ ｒ ｉ ａ ｙ ｏ ｈ ｓｓ ｎ ｈ ｎ ｕ ｆｃｅ ｔ ｃ ｎ ｕ ｎ ｔｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｔ ａ ｈ ｏ ｌ ａ ｎ ｏ ｔｍ ｉａ ｉ ｎ ＧＭ （ ， ） ｍｏ ｅ ｉ ｃ ｕ ｉ ｇ ＧＭ （ ， ， ｐ ｉ ｚ ｔｏ １Ｎ ｄ ｌ ｎ ｌ ｄｎ １Ｎ ） ａ ｄ ＧＭ （ ， ， ｎ １Ｎ ） ｍｏ ｅ ｒ ｕ ｕ ｏ ｈ ｓ ｅ — ｄ ｌａ ｅ ｐ ｔ Ｏ ｔ ｆ ｒ ｔ ｅ ｅ ｒ ａ
摘 要 ：ＧＭ（ ， ） 型 在 因 素 一 次 累 加 弱 化 系统 指 标 间 波 动 性 和 灰 性 的 基 础 上 ， 立 了各 因 素 线 性 关 系 的 １Ｎ 模 建 灰 色模 型 ， 其 强制 性 的 线 性 假 设 以及 不 够 完 善 的 求 解 方 法致 使 其 实 际 运 用较 少 。为 解 决 这 类 问题 ， 章 提 出 了 但 文 两 个 非 线 性 优 化 的 ＧＭ （ ， 模 型— — 非 线 性 ＧＭ（ ， ， １ Ｎ） １Ｎ ） ＧＭ（ ， 和 １ Ｎ， ） 型 ， 在 （Ｍ （ ， 白 化 方 程 的 模 即 １ Ｎ） 基 础 上 建 立 因素 间 非 线 性 关 系， 通 过 Ｂ 网 络 拟 合 ， 终 得 出 拟 合 结 果 和 预 测 值 。进 一 步 证 明 了 两 种 非 线 性 并 Ｐ 最 ＧＭ （ ， 模 型 均 属 于 ＧＭ （ ， 的 派 生 形 式 ， 提 出 了 运 用 非 线 性 优 化 ＧＭ （ ， 模 型 进 行 指 标 预 测 的 具 体 方 １ Ｎ） １ Ｎ 并 １ Ｎ） 法 。最后 通 过 一 个 实 例 进 一 步 表 明 该 模 型 的 可 行 性 与 优 化 性 。
Ｓ ｓ ｅ ｓＥｎ ｉ ｅ ｒｎ ｎ ｅ ｔｏ ｉｓ ｙ ｔ ｍ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ ａ ｄ Ｅｌ ｃ ｒ ｎ ｃ
Ｖ ｏ１ ３ Ｎ Ｏ． ．２ ２
２１ ０ ０年 ２月
文 章 编 号 ：０ １５ ６ （ ０ ０ ０ ３ ７０ １ ０ —０ Ｘ ２ １ ） ２０ １－ ４
ｆ ｃｏ ｓ ａ ｔ ｒ ，ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ － ａ ｅ ｎ ｔ ｅ １ ＡＧ０ ｈ ｔｅ ｉ ｉ ａ ｅ ｅ ｔ ｉ ｒ ｙ ｃ ａ ａ ｔ ｒ ｔ ａ ｌ ｎ ｔ ｄ ｃ ｒ ａｎ ｇ ｅ ｈ ｒ ｃ ｅ ．Ｂｕ ｔ ａ ｏ ｂ ａ ｎ ｄ ｔ ｅ ａ ｔ ａ ｔｌ ａ ｉ ｎ ｍ ｔｉ ｈ ｓｎ ｔｏ ｔ ｉ ｅ ｈ ｃ ｕ ｌ ｉｉ ｔ ｕ ｚ ｏ ｆ ｒｔ ｅ ｃ ｍｐ ｌｏ ｙ ｌ ｅ ｒ ｈ ｐ ｔ ｅ ｉ ａ ｄ ｔ ｅ ｉ ｓ ｆｉ ｉｎ ｏ ｓ ｍ ｍａ ｉ ｎ ｓ ｌ ｔｏ ｔ ｏ ． Ｓ ｈ ｔ ｔ ｅ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｏ ｈ ｏ ｕ ｓ ｒ ｉ ａ ｙ ｏ ｈ ｓｓ ｎ ｈ ｎ ｕ ｆｃｅ ｔ ｃ ｎ ｕ ｎ ｔｏ ｏ ｕ ｉ ｎ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｔ ａ ｈ ｏ ｌ ａ ｎ ｏ ｔｍ ｉａ ｉ ｎ ＧＭ （ ， ） ｍｏ ｅ ｉ ｃ ｕ ｉ ｇ ＧＭ （ ， ， ｐ ｉ ｚ ｔｏ １Ｎ ｄ ｌ ｎ ｌ ｄｎ １Ｎ ） ａ ｄ ＧＭ （ ， ， ｎ １Ｎ ） ｍｏ ｅ ｒ ｕ ｕ ｏ ｈ ｓ ｅ — ｄ ｌａ ｅ ｐ ｔ Ｏ ｔ ｆ ｒ ｔ ｅ ｅ ｒ ａ
摘 要 ：ＧＭ（ ， ） 型 在 因 素 一 次 累 加 弱 化 系统 指 标 间 波 动 性 和 灰 性 的 基 础 上 ， 立 了各 因 素 线 性 关 系 的 １Ｎ 模 建 灰 色模 型 ， 其 强制 性 的 线 性 假 设 以及 不 够 完 善 的 求 解 方 法致 使 其 实 际 运 用较 少 。为 解 决 这 类 问题 ， 章 提 出 了 但 文 两 个 非 线 性 优 化 的 ＧＭ （ ， 模 型— — 非 线 性 ＧＭ（ ， ， １ Ｎ） １Ｎ ） ＧＭ（ ， 和 １ Ｎ， ） 型 ， 在 （Ｍ （ ， 白 化 方 程 的 模 即 １ Ｎ） 基 础 上 建 立 因素 间 非 线 性 关 系， 通 过 Ｂ 网 络 拟 合 ， 终 得 出 拟 合 结 果 和 预 测 值 。进 一 步 证 明 了 两 种 非 线 性 并 Ｐ 最 ＧＭ （ ， 模 型 均 属 于 ＧＭ （ ， 的 派 生 形 式 ， 提 出 了 运 用 非 线 性 优 化 ＧＭ （ ， 模 型 进 行 指 标 预 测 的 具 体 方 １ Ｎ） １ Ｎ 并 １ Ｎ） 法 。最后 通 过 一 个 实 例 进 一 步 表 明 该 模 型 的 可 行 性 与 优 化 性 。
灰色GM(1,N)模型在广东海洋经济预测中的应用
。 。１ 。２ …， ） （ １， ） ） ＝ ’） ’ ） 。 ） ，…ｎ （， （ ， （ ２
对 ” 累加生成 ，形成ｎ 个生成数列 ”，有
（； （：１＿＋０）（ ， （ ． 兰 七 （ １ ） １…）１ ， ） ）） ） （ ． ， ２ ， ）
＋ ｏ一 １ ）薹 ） （ ｝） １
。 ｆ （）＝ Ｘ （） Ｘ （ 一 １ ｆ一 ｌ ｔ ） （
１ （ ） ） ｇ ～耄
（ ，＝ ２ ３ … ， ，， ｍ）（ ） ７
统理论预测模 型Ｇ （ １和 Ｇ （１， 这两个模 型均 为单序 列 Ｍ １ ） Ｍ２ ） 但 ， ，
ｙ ｛ｆ（） ｆ（）． ，ｆ（ ） ： 。２， 。３， 。ｍ ） ０ … ’ 一
将灰参数代人式（ ） ２ 可得Ｇ １ 模型为 ： Ｍ（， Ｎ）
） ） ）
（） ５
能对系统作 长期预测 ，尤其是在经 济数 据序列较短且具 有明显 上升趋势的数据时 ，预测精确度较 高。最简单 的是基 于灰色系
（） ２
公里 。广东海洋 国土面积差不多是陆地面积 的２５ ，海 洋经济 ． 倍
总量连续 １年居全 国首位 ，２ ０ 年全省海 洋产业总产值５ ６ 亿 ２ ０７ １２
（ ３）
元 ，海 洋 产 业 增 加 值 ３０ 亿 元 ， 占全 省 地 区 生 产 总 值 的 ３０
１．６ ０ ％，年均增长 ２ ％ ，增长速度高 于同期全省Ｇ Ｐ ７ ０ Ｄ 的增长速
按式（ ） ６ 计算的 ｆ必须累 减还原得ｘ。 模拟值 。 的 ｆ
二、广东海 洋经 济灰色ＧＭ（， ） １Ｎ 预测模 型的建立 １ 海洋经济产值影 响因素及其解释变量选择 ． 灰色Ｇ （，） Ｍ １ 模型是 描述 多变量 的动态模型 ，建模时既需要 Ｎ 被解释变量 ，即海洋经济产值 （ ） ；又需要若干解释变量 ，也 就是影响海洋经济产值 的主要 因素。从理论上讲 ，推动海洋 经 济快速发展的主要影响因素包括生产 和需 求两个方面 。需求拉 动因素主要有 国内生产总值 、净 出 口商品总值 、消费 品零售 总
3灰色模型GM(1,N)及其应用(最新整理)
ˆ M 1BT (BM 1BT )1YN
下表为某地区 1981—1985 年各项指标的统计数据。
年度
1981
1982
1983
工业总产值 X 1 发电量 X 2 未来受教育职工 X 3 物耗 X 4 技术水平 X 5 滞销积累量 X 6 待业人数 X 7
31013 17128 10748 17865 0.968 20865 15149
方程
dX
(1) 1
dt
aX
(1) 1
b1
X
(1) 2
b2
X
(1) 3
bN
1
X
(1) N
（1） 这个微分方程模型记为 GM（1,N）。
方程（1）的参数列记为
(a, b1, b2 ,bN 1 )T ，再设 YN
(
X (0) 1
(2),
X (0) 1
(3),,
X (0) 1
(n))T
，
将方程（1）按差分法离散，可得到线性方程组，形如
(2),,
X
(1) i
(n
1)
X
(0) i
(n))
i 1,2,, N
我们将数列
X
(1) i
的时刻
k
1,2,, n
看作连续的变量 t
，而将数列
X (1) i
转而看成时间 t 的函
数
X
(1) i
X
(1) i
(t
)
。如果数列
X
(1) 2
,
X
(1) 3
,,
X
(1) N
对
X
(1) 1
的变化率产生影响，则可建立白化式微分
GM_1_1_和GM_1_N_模型在GDP预测中的应用比较
１８４４．２７ ２１０１．６０）
建立生成数据序列模型 ｄｘ（１） － ０．０９９１ｘ（１）＝８９６．８７２４ ｄｔ
及时间响应式#ｘ（１）（ｋ＋１）＝（ ｘ（０）（１）－ ｂ ） ｅ－ａｋ＋ ｂ ＝９８６９．８ｅ０．０９９１ｋ－ ９０５３．３
ａ
ａ
表 ２ ＧＤＰ 模拟值与实际值对照
年份
实际值
模拟数据
残差
２００３ ２００４
２３９８．５８ ２８８３．５１
２２７０．４７６０ ２５０６．９２２２
１２８．１０４０ ３７６．５８７８
５．３４％ １３．０６％
（ １） 模 拟 时 间 序 列 与 原 始 时 间 序 列 的 广 义 绝 对 关 联 度 !＝０．９９８２
可知关联度 等 级 为 ： !＝０．９９８２＞０．９０， 精 度 为 一 级 ， （ ２） 计 算 平 均 相 对 误
精度为一级。预测结果为下表 ３：
４．灰色 ＧＭ（ １， Ｎ） 模型
当系统中包含多个相关的经济变量， 其时间序列的一阶差分都大
于零具有明显的上升趋势， 可以利用多变量灰色预测模型 ＧＭ（ １， Ｎ）
（０） （０）
（０）
（０）
（１）
来 建 模 分 析 。 设 Ｘ１ ＝（ｘ１ （１），ｘ１ （１），．．．，ｘ１ （ｎ））为 系 统 特 征 数 据 序 列 ， Ｘｉ
ｋ
# （ｋ）＝ ｘ（０）（ｔ）（ ｋ＝１， ２……ｎ） 对 Ｘ（０）与 Ｘ（１）分别进行准光滑性（ "（ｋ）＝ｘ（０）（１）／ｘ（１） ｔ＝１
（ｋ－ １）） 与 准 指 数 规 律 性 （ #（ｋ）＝ｘ（１）（ｋ）／ｘ（１）（ｋ－ １）） 检 验 。 确 定 数 据 矩 阵 Ｂ＝
$%－ ｚ（１）（２） １
较优GM(1,N)模型在大坝安全监控中的应用
（， Ｊ一 １ ２， ， ， … ；ｔ一 １， ， ， ） ２…
１ ３ 求 关 联 度 及 关 联 序 ．
尤其 是 用于 预测 时 ， 往往 得不 到合理 的结果 。 色 灰 模型 通过 数 据列 的多 次 累加 、 累减处 理 ， 使变 换后
的非 负 数 据 列 总可 以用 指数 曲线 拟 合 ， 有 较 强 具
第 ２ 卷第 ２ ０ 期
２００２年 ６月
水
电
能
源
科
学
Ｖ ｏ ．２ １ ０ Ｎｏ．２
Ｉｔ ｒ ａ ｉｎ ｌＪ ｕ ｎ ｌＨＹＤＲＯＥＬ ｎ ｅｎ ｔｏ ａ ｏ ｒ ａ ＥＣＴＲＩ ＥＮＥＲＧＹ Ｃ
Ｊ ｎ ２ ００ ２ ｕ ．
文 章 编 号 ：１ ０ — ７ ９ ２ Ｏ ） ２０ ４ — ３ ０ ０７ Ｏ （Ｏ ２ Ｏ —０ ５０
２ 较 优 ＧＭ（ ，／模 型 的建 模 原 理 １ ，） ＼
按 照被 影 响 因素 与影 响 因素 之 间 的关 联 度 ，
运用 灰 色关 联 度 来 选 择显 著 变 量 ， 利用 显 著 变 并 量 来建 立 ＧＭ （ ， 模 型 ， １ Ⅳ） 以期 提 高 模 型 的 拟 合
效果， 建立 较优 ＧＭ （ ， 模型 。 １ Ⅳ）
作 者 简 介 ：周 晓 贤 （９ ５）男 （ 族 ） 江 苏 常 熟 人 ， 海 大 学 硕 士 研 究 生 。 １７ 一 ， 汉 ， 河
・４ ・ ６
水
电
能
源
科
学
量 建 立 ＧＭ （ ， ） 型 ， 对 应 的 相 对 误 差 的极 １Ⅳ 模 其
） ） ● ）
¨
） ） ）
２ ３ 建 立 ＧＭ（ ， 时 间 响 应 函数 ． １ ～）
GM(1,N)模型在收益现值法中的运用
０ ４ ＋） 【。１ 兰 ＋ ： ３６ｅ． ３．３ ９ １ ） 】 兰 ６９４ ０１￣ ６ ０ ４ ： （一
． ．
ａ
ａ
运 用 （ ） 对 ｘ 预 测 得到 数据 如 下 （ ｋ ２． ．１ ） １式 ３ 取 ＝ … ４
＾
譬 岛 ＋ １Ⅳ其 ∞ ＋＝＋ ＋６ 中 ＝ ∞ 。 ．． 喜 …。 ＋
资未收年，年产益折鞠 即 南 产来益限每资收和现Ｏ ４０
７８ ． ８４ ．
９ ． ９ ． ９ ． ５Ｏ ５５ ６Ｏ
８７ ． ９０ ． ９６ ２
９ ． ７Ｏ
１ ０３
９ ． ９ ７Ｏ ＆Ｏ
ｌ ． Ｏ６ ｌ ． ０９
１１ ０． ２
到 多个 变量 的 影 响 ．本 文拟 将灰 色 系统 中 的 Ｇ １ Ｎ） 型 引入 到 Ｍ（ ， 模
此理 论 中 ，且 在此 基 础上 将精 度 较高 的残 差 Ｇ （ １ 模 型代 替 Ｍ １ ）
Ｇ １ ） 型嵌入 Ｇ １ ） Ｍ（ １模 Ｍ（ Ｎ 模型 对受 多 自变量 影响 的销售 收入 进行
上面 ｚ ＋） ＠ ＋） ㈣ １ ＝ １ ＋
估计 参 数列 为 ： ） ＢＹ 其 中 一 Ｎ，
对 建立Ｇ １１模型得 Ｍ（ ）
。Ａ
＋） 一． １咖撇＋２３１ （） １ ９３１ ＝ ４ ｅ １７１ ． ２
＋的 数 鑫１ （ 】 ：． ｅ １导 为。 ） 【１ ｅ 一２呐 ） ） ： ） ０４２ ＋一 一 ２ ５
后有口 （
＋） １＋ ）
＋）６ ＋）６ １ ｌ ＝ １ ＋
＋）… ｌ ＋） １ １ ＋
建立残差模型 。∞＝ ） ‘ ０ 一 （
＝
… １ 得到残差数列 ，５ ）
GM(1,N)模型在重庆市房地产价格预测中的实例分析
第 １期
）
其中 Ｂ ＝
）… ）…
； ！
…
） ）
）
确定 ， 分 因素不 可知 ， 于灰 色系统 ， 建立灰 色 部 属 可 系统模 型进行预测 ， 里利用 Ｇ １ Ｎ 对 重庆市房 这 Ｍ（ ， ） 地产价 格进行 预测 ， 取 房地 产价格 ， 市化水 平 ， 选 城 土地价 格 ， 经济适 用房投 资额 ， 地产 开发投资 额 ， 房 城 镇 居 民人 均 可支 配 收人 ５个 变 量 进 行 预 测 ． 始 数 原 据如表 １ ．
许 芳 邹 婧２
（ 重庆交 通大学 ， １ ． 重庆 ４ ０７ ； ． 交通建设 集 团有 限责任 公 司 ， ００ ４ ２重庆 重庆 ４０ １） ００ ０
摘 要 ： 以重庆 市为例 。 几年 重庆 先后 大面 积投 资 了经 济适 用房 、 租房 等保 障型住 房 ， 近 廉 以此调 控房 价增 长 ． 本 文应用 灰 色系统 理论 中的模 型 ， 分析 了保 障性 住房 对房价 的 影响 ， 而给 出 了合 理 化建议 ． 从
为 。城 市 化水 平 为 ， 地 价 格 为 ， 济 适 用 ， 土 经
２ （ ） ｆ ） ２… ’ ） ０ ） （ ） （ ２ ）
：１ ，
一
口
ｆ ） ２… ）
ｎ… ）
）
ｂ ２
２ ，， 为 ： 紧 均 生 序 ，称 （ ） ， Ｎ ： 的 邻 值 成 列 则 ）＋ … ｚ Ｄ 。 ０
收 稿 日期 ：０ ２ ０ — ０ ２ １— １ ２
Ｔ — Ｔ ｊ
数据来源 ： 重庆市统计年鉴
由于 上 述 指 标 的量 纲 不 一 致 ．为 了将 其 统 一 在
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1、灰色模型的建模优劣精度通常用后验差C和小误差概率P综合评定 预测等级精度 优 合格 P >0.95 >0.8 C <0.35 <0.5
勉强
不合格 2、残差检验 （1）绝对残差序列
>0.7
<0.7
<0.45
>0.65
(i) x (i) x (i)
( 0) ( 0)
( 0)
i 1,2,, n
能应用。
二、GM（1,n）模型的建模过程
注：GM（1，n）模型表示对n个变量用一阶微分方程建立的灰色模型。
考虑有 x1 , x2 ,, xn n个变量，即
xi(0) [ xi(0) (1), xi(0) (2),, xi(0) ( p)]
对 xi 作累加生成1—AGO，即
(0)
(i 1,2,, n)
(0) 1
（2）
记
x1(0) (2) (0) x1 (3) Y (0) x1 ( p)
则（2）式简记为
1 (1) (1) x ( 1 ) x ( 2) 1 1 2 1 (1) (1) x ( 2 ) x (3) 1 1 B 2 1 x (1) ( p 1) x (1) ( p) 1 1 2
Y B
上述方程组中，Y和B为已知量,β 为待定参数。因此我们可以用最小二 乘法得到最小二乘法近似解。 可解得：
a ( B T B ) 1 B T Y b1 b n 1 代回（1）式，有
dx1(1) (1) (1) (1) a x1 b1 x2 bn 1 xn dt
x [ x (1), x (2),, x ( p)]
(1) i (1) i (1) i (1) i
x
其中，
(1) i
(k )
( 0) x i ( m) m 1
k
k 1,2,, p
i 1,2,, n
xi(1) 序列满足下述一阶线性微分方程模型
dx1(1) (1) (1) (1) ax1(1) b1 x2 b2 x3 bn1 xn dt
1 (1) (1) 1.2547 x2 (k 1) 0.0665 x3 (k 1) 2.2822
(1) 1
2、根据检验结果
（1）关联度r=0.7803>0.7，满足检验准则，说明拟合程度好，可以选择预测模型 去进行数据预测。 （2）后验差比值C=0.2213<0.35,并且小残差概率P=1>0.95，说明该模型为一个 精度优的预测模型，可以选择模型去进行数据预测。
年份
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
总支出/元 总收入/元 人口/万人
4998
5309
6029.9
6510.9
7182.1
7942.9
8697.3
6316.8 45906
6868.9 48064
8177.4 50212
9061.2 52376
10128.8 54283
灰色预测技术
——GM（1,n）模型
张元磊 2014年4月10日
一、GM（1,n）模型的建模原理
灰色理论将无规律的历史数据列经累加生成后，使其变为具有指数增
长规律的上升形状数列，由于一阶微分方程解的形式是指数增长形式，
所以可以对生成后数列建立微分方程模型。即灰色模Hale Waihona Puke 实际上是对生 成数列建模。
GM模型所得数据必须经历过逆生成，即累减生成做还原后才
11320.8 56212
12719.1 57706
15000 60000
1、运用MATLAB软件计算得：
a 2.2822
故得预测模型
b1 1.25 47
b2 0.0665
1 (1) (1) x (k 1) x1(0) (1) 1.2547x2 (k 1) 0.0665x3 (k 1) e 2.2822 k 2.2822
（2）相对残差序列
( 0 ) (i ) i ( 0 ) x (i )
（3）平均相对残差
1 n i n i 1
预测等级精度 优 合格 勉强合格
<0.01 0.01~0.05 0.05~0.1
n
<0.01 0.01~0.05 0.05~0.1
3、关联度检测
当分辨系数
0.5时
( 0) x1 (k 1)
再在（1）式中 x
(1)
取时刻k和k+1的平均值，即
1 (1) [ x1 (k 1) x1(1) (k )] 2
则（1）式的离散形式为
1 (1) (1) (1) (1) x (k 1) a[ ( x1 (k 1) x1 (k ))] b1 x2 (k 1) bn1 xn (k 1) 2
根据导数定义，有
(1) (1) (1) dx1 x1 (t t ) x1 (t ) lim t 0 dt t
（1）
若以离散形式表示，微分项可写成
(1) (1) (1) x1 x1 (k 1) x1 (k ) t k 1 k
x1(1) (k 1) x1(1) (k )
（3）因为平均相对残差mPhi=0.0341<0.05并且Phi（7）=0.0027<0.05， 一说明这是一个精度优的模型，可以选择这个模型去预测。
拟合水平 优 合格 勉强合格 满意
关联度r >0.9 0.8~0.9 0.7~0.8 0.6~0.7
案列分析
城市居民消费支出预测
已知我国在2000~2006年的城市居民人均消费支出与收入，以及城市人 口规模的调查统计数据（见下表），试建立GM(1,n)预测模型，并预测 2007年城市居民人均收入和人口数量分别为15000元和6亿人时，城市 居民人均消费总支出。
将所求得的
解之可得其离散解为
1 n n 1 x (k 1) x1( 0) (1) bi 1 xi(1) (k 1)e a k bi 1 xi(1) (k 1) i 2 a a i 2 (1) 1
（3）
式（3）称为GM(1,n)模型的时间响应函数模型，它是GM(1,n)模型灰色预测的 (0) 具体计算公式，对此式再做累减还原，得原始数列 1 的灰色预测模型为
x
x k 1 x (k 1) x 1(1) (k )
( 0) 1
(1) 1
三、GM(1,n)模型的有效性检验
x ( 2) x ( 2) (1) (1) x2 (3) xn (3) (1) (1) x2 ( p ) xn ( p)
(1) 2 (1) n
a b 1 b2 bn 1
勉强
不合格 2、残差检验 （1）绝对残差序列
>0.7
<0.7
<0.45
>0.65
(i) x (i) x (i)
( 0) ( 0)
( 0)
i 1,2,, n
能应用。
二、GM（1,n）模型的建模过程
注：GM（1，n）模型表示对n个变量用一阶微分方程建立的灰色模型。
考虑有 x1 , x2 ,, xn n个变量，即
xi(0) [ xi(0) (1), xi(0) (2),, xi(0) ( p)]
对 xi 作累加生成1—AGO，即
(0)
(i 1,2,, n)
(0) 1
（2）
记
x1(0) (2) (0) x1 (3) Y (0) x1 ( p)
则（2）式简记为
1 (1) (1) x ( 1 ) x ( 2) 1 1 2 1 (1) (1) x ( 2 ) x (3) 1 1 B 2 1 x (1) ( p 1) x (1) ( p) 1 1 2
Y B
上述方程组中，Y和B为已知量,β 为待定参数。因此我们可以用最小二 乘法得到最小二乘法近似解。 可解得：
a ( B T B ) 1 B T Y b1 b n 1 代回（1）式，有
dx1(1) (1) (1) (1) a x1 b1 x2 bn 1 xn dt
x [ x (1), x (2),, x ( p)]
(1) i (1) i (1) i (1) i
x
其中，
(1) i
(k )
( 0) x i ( m) m 1
k
k 1,2,, p
i 1,2,, n
xi(1) 序列满足下述一阶线性微分方程模型
dx1(1) (1) (1) (1) ax1(1) b1 x2 b2 x3 bn1 xn dt
1 (1) (1) 1.2547 x2 (k 1) 0.0665 x3 (k 1) 2.2822
(1) 1
2、根据检验结果
（1）关联度r=0.7803>0.7，满足检验准则，说明拟合程度好，可以选择预测模型 去进行数据预测。 （2）后验差比值C=0.2213<0.35,并且小残差概率P=1>0.95，说明该模型为一个 精度优的预测模型，可以选择模型去进行数据预测。
年份
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
总支出/元 总收入/元 人口/万人
4998
5309
6029.9
6510.9
7182.1
7942.9
8697.3
6316.8 45906
6868.9 48064
8177.4 50212
9061.2 52376
10128.8 54283
灰色预测技术
——GM（1,n）模型
张元磊 2014年4月10日
一、GM（1,n）模型的建模原理
灰色理论将无规律的历史数据列经累加生成后，使其变为具有指数增
长规律的上升形状数列，由于一阶微分方程解的形式是指数增长形式，
所以可以对生成后数列建立微分方程模型。即灰色模Hale Waihona Puke 实际上是对生 成数列建模。
GM模型所得数据必须经历过逆生成，即累减生成做还原后才
11320.8 56212
12719.1 57706
15000 60000
1、运用MATLAB软件计算得：
a 2.2822
故得预测模型
b1 1.25 47
b2 0.0665
1 (1) (1) x (k 1) x1(0) (1) 1.2547x2 (k 1) 0.0665x3 (k 1) e 2.2822 k 2.2822
（2）相对残差序列
( 0 ) (i ) i ( 0 ) x (i )
（3）平均相对残差
1 n i n i 1
预测等级精度 优 合格 勉强合格
<0.01 0.01~0.05 0.05~0.1
n
<0.01 0.01~0.05 0.05~0.1
3、关联度检测
当分辨系数
0.5时
( 0) x1 (k 1)
再在（1）式中 x
(1)
取时刻k和k+1的平均值，即
1 (1) [ x1 (k 1) x1(1) (k )] 2
则（1）式的离散形式为
1 (1) (1) (1) (1) x (k 1) a[ ( x1 (k 1) x1 (k ))] b1 x2 (k 1) bn1 xn (k 1) 2
根据导数定义，有
(1) (1) (1) dx1 x1 (t t ) x1 (t ) lim t 0 dt t
（1）
若以离散形式表示，微分项可写成
(1) (1) (1) x1 x1 (k 1) x1 (k ) t k 1 k
x1(1) (k 1) x1(1) (k )
（3）因为平均相对残差mPhi=0.0341<0.05并且Phi（7）=0.0027<0.05， 一说明这是一个精度优的模型，可以选择这个模型去预测。
拟合水平 优 合格 勉强合格 满意
关联度r >0.9 0.8~0.9 0.7~0.8 0.6~0.7
案列分析
城市居民消费支出预测
已知我国在2000~2006年的城市居民人均消费支出与收入，以及城市人 口规模的调查统计数据（见下表），试建立GM(1,n)预测模型，并预测 2007年城市居民人均收入和人口数量分别为15000元和6亿人时，城市 居民人均消费总支出。
将所求得的
解之可得其离散解为
1 n n 1 x (k 1) x1( 0) (1) bi 1 xi(1) (k 1)e a k bi 1 xi(1) (k 1) i 2 a a i 2 (1) 1
（3）
式（3）称为GM(1,n)模型的时间响应函数模型，它是GM(1,n)模型灰色预测的 (0) 具体计算公式，对此式再做累减还原，得原始数列 1 的灰色预测模型为
x
x k 1 x (k 1) x 1(1) (k )
( 0) 1
(1) 1
三、GM(1,n)模型的有效性检验
x ( 2) x ( 2) (1) (1) x2 (3) xn (3) (1) (1) x2 ( p ) xn ( p)
(1) 2 (1) n
a b 1 b2 bn 1