2.2.1椭圆的标准方程全解
课件7：2.2.1 椭圆的标准方程
在△PF1F2 中，∵∠F1PF2＝60°， 根据余弦定理可得： |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2＝28，② 由①②得|PF1|·|PF2|＝12， 所以 S＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝3 3.
名师点评
椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问 题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定 理、余弦定理等知识.
互动探究
3.本例中其他条件不变，∠F1PF2＝60°改为∠F1PF2＝ 90°，求△F1PF2的面积.
解：∵1x62 ＋y92＝1，∴a＝4，b＝3，c＝ 7，|F1F2|＝2 7. ∵点 P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝8. 在△PF1F2 中，∵∠F1PF2＝90°， ∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， ∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|， ∴28＝64－2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝18. ∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|＝9.
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0). 由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
∴aa4022＋＋bb0122＝＝11⇒ab22＝＝41，.
故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
名师点评
先确定焦点所在的坐标轴,然后再设相应的标准方程， 再根据题目中的其他条件，求出变量a与b即可. 若焦点位置不好确定，方程可设为mx2＋ny2＝1(m>0， n>0，m≠n)，只需求出待定系数m、n即可.
名师点评
定义法求轨迹方程非常简洁，但要注意2a>|F1F2|条件 的判断.另外，求出曲线的方程后，要检验一下曲线 上的点是否都符合方程，如果有不符合题意的点， 应在方程后注明.
2.2.1椭圆的标准方程(2)解析
定
相 同 点
讲 课 人 ： 邢 启 强
义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和 等于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 、 b、 c的 关系
焦点位置的 判断
a b c
2 2
2
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
14
课堂小结
求轨迹方程的方法有多种: 定义法、直译法、代入法、相关点坐标分析法等. 具体求轨迹方程时,我们既应严格按一般步骤去展 开过程,又应注意到思考方法的灵活性的尝试. 通过本课的学习我们还可以看到确定椭圆的几何 条件有多种,这些东西能让我们开拓眼见.
(0,4)
.
变1：已知方程 表示焦点在 y轴上的椭圆，则m的取值范围是 (1,2) .
变2：方程 下列条件的m的取值范围： ①表示一个圆； ②表示一个椭圆； ③表示焦点在x轴上的椭圆。
讲 课 人 ： 邢 启 强
x2 y2 ＋ ＝ 1 ，分别求方程满足 25－m 16＋m
4
例题讲评
例 2⑴已知动点 P 到点 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) 的距离 之和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
讲 课 人 ： 邢 启 强
2
2
注:①这样设不失为一种方法. ②可不可以直接求出 a .
7
巩固练习
已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程. 解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3,0), C (3,0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y)
讲 课 人 ： 邢 启 强
MF1 MF2 2a(2a 2c 0)
y y M M
F2 x
高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
2．请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部， 并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动，观察画出的轨迹是 什么曲线，并思考下面的问题：
(1)在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端的位置是固定 的还是运动的？
(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ (3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关 系？
A．7 倍
B．5 倍
C．4 倍
D．3 倍
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
解析：
(1)如图所示，由已知：a＝5， △AF1B的周长l＝|AF1|＋|AB|＋|BF1| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝20.
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
(2)不妨设 F1(－3,0)，F2(3,0)， 由条件知 P3，± 23， 即|PF2|＝ 23，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4 3， 即|PF1|＝7 23， 所以|PF1|＝7|PF2|.故选 A.
解析： 由已知 2a＝8,2c＝2 15， ∴a＝4，c＝ 15， ∴b2＝a2－c2＝16－15＝1， ∴椭圆标准方程为1y62 ＋x2＝1. 答案： 1y62 ＋x2＝1
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
4．已知椭圆88x12＋3y62 ＝1 上一点 M 的纵坐标为 2. (1)求 M 的横坐标； (2)求过 M 且与x92＋y42＝1 共焦点的椭圆的方程． 解析： (1)把 M 的纵坐标代入88x12＋3y62 ＝1 得88x12＋346＝1， 即 x2＝9. ∴x＝±3.即 M 的横坐标为 3 或－3.
2.2.1椭圆的标准方程
椭圆经过点(
2 ,
2)和点( 1 ,
3 ),
2
2
(
2 )2 a2
(
2 )2 2 b2
1 ，
(
3 )2 a2
( 1 )2 2 b2
1
解得
a2
b2
4 1
所求椭圆的标准方程 y2 x2 1. 4
求椭圆的标准方程
1、方法：①定义法：已知焦点和椭圆上一点; ②待定系数法：已知焦点和椭圆上一点， 或已知椭圆上两点.
变式2：设ABC的内角A、B、C所对的
y A
边分别为a、b、c，已知B(2,0)，C(2,0)， c
b
且sin B sinC 3 sin A，则点A的轨迹
方程为
x2 y2 2 ___________1_(_y___0_)
95
a
B(-2,0) O
C(2,0) x
定义
椭圆及其标准方程
2a ( 3 3)2 ( 1)2 ( 2
a 2， 又由焦点坐标可得：c
3
3,
3)2 ( 1)2 4 2
c 3, a2 b2 3
又
椭圆经过点P(
3
,
1 2
),
(
3 )2
(
1 2
)2
1
②
a2
b2
①
b2 a2 c2 4 3 1， 所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1
椭圆定义：
平面内与两个定点F1, F2 的距离的和等于常数 2a
(2a大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1 , F2叫做椭圆的焦点;
2.2.1椭圆及其标准方程
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P 是椭圆1x22 ＋y32＝1 上的一点，F1、F2为两个焦点，若∠F1PF2
＝60°，则△F1PF2 的面积为( )
Aபைடு நூலகம்2 3
B． 3
C．4
D．2
[答案] B
第二章 2.2 第1课时
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第二章 2.2 第1课时
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注意挖掘隐含条件 △ABC 的三边 a，b，c(a>b>c)成等差数列，A、
C 两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，求顶点 B 的轨迹． [错解] 设点 B 的坐标为(x，y)． ∵a、b、c 成等差数列，∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝2|AC|，
第二章 2.2 第1课时
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椭圆的标准方程
根据下列条件，写出椭圆的标准方程． (1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点 P 到 两焦点的距离和为 26，________. (2)经过点 P(1，32)，两焦点间的距离为 2，焦点在 x 轴上， ________. [答案] (1)1y629＋1x424＝1 (2)x42＋y32＝1
第二章 2.2 第1课时
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(2)设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1， ∵焦点在 x 轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1，
9 又椭圆经过点 P(1，32)，∴b2＋1 1＋b42＝1， 解之得 b2＝3，∴a2＝4. ∴椭圆的标准方程为x42＋y32＝1.
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
y2 b2
1
b2
a2
c2
焦点坐标：F1 -c,0,F2 c,0 F1 0,-c,F2 0,c
a a、b、c的关系： 2 b2 c2
[1] 椭圆的标准方程有几个？
答：两个。焦点分别在 x 轴、y 轴。 [2]给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上
答：在分母大的那个轴上。
[3] Ax 2 By 2 C 什么时候表示椭圆？
2.取过两个定点的直线做 x 轴，它的线段 垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，从 而保证方程是标准方程。
3.根据已知求出a、c，再推出a、b
写出椭圆的标准方程。
例1 平面内两个定点的距离是8，写出到这两 个定点的距离的和是10的点的轨迹方程
解：因为动点到两定点的距离的和为10且大于两定点 的距离，由椭圆定义知，动点的轨迹为椭圆。
和是常数12，且12 6 O1O2 ,
所以点P的轨迹是焦点为-3,0、3,0的椭圆，
且方程为标准方程：x2 + y2 = 1 a2 b2
2c 6,2a 12, c 3, a 6
b2 a2 c2 36 9 27,
∴动圆圆心的轨迹方程为：x2 + y2 = 1 36 27
x2
y2
1.
25 16
例2、已知F1、F2是椭圆
x2 4
+
y2 3
=1的两个焦点，P是椭圆上一点，
且F1PF2 =60，求PF1F2的面积。
解：由已知a=2,c=1, 设 PF1 = d1,PF2 = d2,
由椭圆的定义得d1 + d2 = 2a = 4,
在F1PF2中，由余弦定理得cos60°= d12
高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程
第35页
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
解 设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且 A≠B)，依题意可得31A2A＋＋4BB＝＝11，， ⇒AB＝＝11515. ，
故所求的椭圆方程为1x52 ＋y52＝1.
第36页
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第27页
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第二章 §2.2 2.2.1
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题型三 求经过两点的椭圆的标准方程 例3 求经过两点P1 13，13 ，P2 0，－12 的椭圆的标准方 程．
第28页
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第二章 §2.2 2.2.1
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第二章 §2.2 2.2.1
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题型四 用定义求椭圆的标准方程 例4 已知△ABC的一边BC长为8，周长为20，求顶点A 的轨迹方程． 分析 注意顶点A到B和C的距离之和为定值，故可考虑 利用椭圆的定义来求其方程．
第37页
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第二章 §2.2 2.2.1
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解法2 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞ 0，A≠B)．
依题意，得A132＋B132＝1， B－122＝1，
⇒AB＝ ＝54.，
故所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1.
第33页
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第二章 §2.2 2.2.1
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分析1 因为椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴 和y轴两种情况分别求解．
第29页
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第二章 §2.2 2.2.1
原创2：2.2.1 椭圆及其标准方程
2.椭圆 ＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，
25
则点P到另一个焦点的距离为( D )
A．5
B．6
C．7
D．8
定义
自主练习
椭圆类型
3.椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距
2a=8
离 和 为 8 ， 焦 距 为 2 15 ， 则 此 椭 圆 的 标 准 方 程 为
＋x2＝1
________．
2
2
∴所求椭圆的标准方程为 ＋
8
12
＝1.
典例导航
题型二：椭圆定义的应用
2
2
如图所示，已知F1，F2是椭圆 ＋
100
36
＝1的两个焦点．
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．
典例导航
【解析】
(1)由椭圆方程得a2＝100，b2＝36，
于是a＝10，c＝8，
15
5
＝1.
典例导航
(3)焦点在坐标轴上，且经过A( 3，－2)和B(－2 3，1)
思考：在上述的解题过程中，将方程组看作是关于
1
1
2 、 2 的方程组，解题过程还可以做怎样的优化？
【另解】设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)
3m+4n=1
1
1
则由已知
解得：m= ，n=
15
5
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16
③－②，得3PF1|·|PF2|＝12，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
1
∴S＝ |PF1|·|PF2|·sin
高中数学第2章2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程讲义(含解析)苏教版选修2_1
2．2.1 椭圆的标准方程[对应学生用书P20]在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)．问题1：若动点P 满足PA ＋PB ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足的关系式是什么？ 提示：由两点间距离公式得 (x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝6， 化简得x 29＋y 25＝1.问题2：若动点P 满足PC ＋PD ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x 、y 满足什么关系？ 提示：由两点间距离公式得x 2＋(y －2)2＋x 2＋(y ＋2)2＝6，化简得y 29＋x 25＝1.椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 焦点坐标(±c,0)(0，±c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 21．标准方程中的两个参数a 和b ，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a ，b ，c 三者之间a 最大，b ，c 大小不确定，且满足a 2＝b 2＋c 2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x 轴上时，含x 项的分母大；当椭圆焦点在y 轴上时，含y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a >b >0这个条件．[对应学生用书P20]待定系数法求椭圆标准方程[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－5)代入，即可求出a ，b ，则标准方程易得．[精解详析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以()－52a 2＋(3)2b2＝1，即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. [一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12. 解：(1)由已知得：c ＝4，a ＝5.b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1.(A >0，B >0，A ≠B ) 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧19A ＋19B ＝1，14B ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝4，A ＝5，故所求椭圆方程为y 214＋x 215＝1.2．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. 又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8， ∴b 2＝a 2－c 2＝36， ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.椭圆标准方程的讨论[例2] 已知方程x 2·sin α－y 2·c os α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围． (2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围．[思路点拨] (1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．[精解详析] 将椭圆方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为x 21sin α＋y 21－cos α＝1(0≤α≤2π)． (1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 则1sin α>－1cos α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α>－1，所以34π<α<π.即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，2π.(2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 则－1cos α>1sin α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α<－1，所以π2<α<3π4.即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.[一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0a >－6.解得a >3或－6<a <－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2) 4．已知方程x 2k －5＋y 23－k＝－1表示椭圆，求k 的取值范围．解：方程x 2k －5＋y 23－k＝－1可化为x 25－k＋y 2k －3＝1，由椭圆的标准方程可得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，得3<k <5，且k ≠4.所以满足条件的k 的取值范围是{k |3<k <5，且k ≠4}.椭圆的定义及标准方程的应用[例3] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2cos 120°，即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1.① 由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② ②代入①解得PF 1＝65.∴S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是3 35.[一点通] 在椭圆中，由三条线段PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2. ∵F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项， ∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2，即PF 1＋PF 2＝4，∴点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上， ∵2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3. ∴椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝16．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于________．解析：由x 29＋y 24＝1，得a ＝3，b ＝2，∴c 2＝a 2－b 2＝5.∴c ＝ 5.∴F 1F 2＝2 5. 由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝6，PF 1∶PF 2＝2∶1，得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝4，PF 2＝2.∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22. ∴△F 1PF 2为直角三角形． ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝4.答案：47．如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 236＝1的两个焦点．(1)若椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于15，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是多少？ (2)过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求△ABF 2的周长． 解：由椭圆的标准方程可知a 2＝100，所以a ＝10.(1)由椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，又PF 1＝15，所以PF 2＝20－15＝5，即点P 到焦点F 2的距离为5.(2)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋BF 1)＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)． 由椭圆的定义可知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，故AB ＋AF 2＋BF 2＝4a ＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．[对应课时跟踪训练(八)]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c2＝a 2－b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±320.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，±3203．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________． 解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1. 由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2－1>0，1k 2－1<13.解之得k >2或k <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．已知P 为椭圆x 225＋4y275＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．解析：在△F 1PF 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°，即25＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2.① 由椭圆的定义，得 10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝25 34.答案：25 346．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； (2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，6)． 解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5. ∴b 2＝a 2－c 2＝144. ∴所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1. (2)法一：由9x 2＋5y 2＝45， 得y 29＋x 25＝1，c 2＝9－5＝4， 所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由点M (2，6)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ，即2a ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2＝43， 所以a ＝23，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8， 所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1. 法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)，将M (2，6)代入，得6λ＋4＋4λ＝1(λ＞0)， 解得λ＝8或λ＝－2(舍去)． 所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.7．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y .∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25.即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ， 则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ， ∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8， ∴a ＝4，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.。
2.2.1椭圆及其标准方程
一切是从一个故事开始的： 1650年，斯德哥尔摩的街头，52岁 的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。 那时，落魄、一文不名的笛卡尔过着乞讨的生活，全部的财产只 有身上穿的破破烂烂的衣服和随身所带的几本数学书籍。生性清高的 笛卡尔从来不开口请求路人施舍，他只是默默地低头在纸上写写画画 ，潜心于他的数学世界。 一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，沐浴在阳光中研究数学 问题。他如此沉溺于数学世界，身边过往的人群，喧闹的车马队伍。 都无法对他造成干扰。 突然，有人来到他旁边，拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？” 扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的睑庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的 湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，期待着他的回应。她就是 瑞典的小公主，国王最宠爱的女儿克里斯汀。 她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。言谈 中，他发现，这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴趣。 和女孩道别后，笛卡尔渐渐忘却了这件事，依旧每天坐在街头写 写画画。 几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。 满心疑惑的笛卡尔跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，在会客厅等候 的时候，他听到了从远处传来的银铃般的笑声。转过身，他看到了前 儿天在街头偶遇的女孩子。慌忙中，他赶紧低头行礼。 从此，他当 上了公主的数学老师。
探究：你能从中找出表示的
a, c, a c
2
2
线段吗？
(x,y) 如图点P是椭圆与y轴正半轴的交点
| PF1 || PF2 | a, | OF1 || OF2 | c, | PO | a 2 c 2
令b | PO | a 2 c 2
x2 y2 于是得到方程： 2 2 1(a b 0) a b 美，真美！
公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进， 他们之间也开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新 领域——直角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，也 就是日后笛卡尔创立的解析几何学的雏形。在笛卡尔的带领下， 克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲 线着了迷。每天的形影不离也使他们彼此产生了爱慕之心。 在瑞典这个浪漫的国度里，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。 然而，没过多久，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒， 下令马上将 笛卡尔处死。在克里斯汀的苦苦哀求下，国王将他放逐回国， 公主被软禁在宫中。 当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后 不久，便染上重病。在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念的 还是街头偶遇的那张温暖的笑脸。他每天坚持给她写信，盼望着她 的回音。然而，这些信都被国王拦截下来，公主一直没有收到他 的任何消息。在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开 此时，被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里，思念着 远方的情人。这最后一封信上没有写一句话，只有一个方程：r=a(1-