2.2.1椭圆的标准方程全解
合集下载
课件7：2.2.1 椭圆的标准方程
在△PF1F2 中，∵∠F1PF2＝60°， 根据余弦定理可得： |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2＝28，② 由①②得|PF1|·|PF2|＝12， 所以 S＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝3 3.
名师点评
椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问 题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定 理、余弦定理等知识.
互动探究
3.本例中其他条件不变，∠F1PF2＝60°改为∠F1PF2＝ 90°，求△F1PF2的面积.
解：∵1x62 ＋y92＝1，∴a＝4，b＝3，c＝ 7，|F1F2|＝2 7. ∵点 P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝8. 在△PF1F2 中，∵∠F1PF2＝90°， ∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， ∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|， ∴28＝64－2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|＝18. ∴S△F1PF2＝12|PF1||PF2|＝9.
(2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a>b>0). 由于椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
∴aa4022＋＋bb0122＝＝11⇒ab22＝＝41，.
故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
名师点评
先确定焦点所在的坐标轴,然后再设相应的标准方程， 再根据题目中的其他条件，求出变量a与b即可. 若焦点位置不好确定，方程可设为mx2＋ny2＝1(m>0， n>0，m≠n)，只需求出待定系数m、n即可.
名师点评
定义法求轨迹方程非常简洁，但要注意2a>|F1F2|条件 的判断.另外，求出曲线的方程后，要检验一下曲线 上的点是否都符合方程，如果有不符合题意的点， 应在方程后注明.
2.2.1椭圆的标准方程(2)解析
定
相 同 点
讲 课 人 ： 邢 启 强
义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和 等于常数（大于F1F2）的点的轨迹
a 、 b、 c的 关系
焦点位置的 判断
a b c
2 2
2
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
14
课堂小结
求轨迹方程的方法有多种: 定义法、直译法、代入法、相关点坐标分析法等. 具体求轨迹方程时,我们既应严格按一般步骤去展 开过程,又应注意到思考方法的灵活性的尝试. 通过本课的学习我们还可以看到确定椭圆的几何 条件有多种,这些东西能让我们开拓眼见.
(0,4)
.
变1：已知方程 表示焦点在 y轴上的椭圆，则m的取值范围是 (1,2) .
变2：方程 下列条件的m的取值范围： ①表示一个圆； ②表示一个椭圆； ③表示焦点在x轴上的椭圆。
讲 课 人 ： 邢 启 强
x2 y2 ＋ ＝ 1 ，分别求方程满足 25－m 16＋m
4
例题讲评
例 2⑴已知动点 P 到点 F1 (0, 2) , F2 (0, 2) 的距离 之和为 12,求动点 P 的轨迹方程.
讲 课 人 ： 邢 启 强
2
2
注:①这样设不失为一种方法. ②可不可以直接求出 a .
7
巩固练习
已知 B、C 是两个定点， BC 6 ，且△ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方程. 解:如图,以直线 BC 为 x 轴,线段 BC 的中点为原点,建立 平面直角坐标系,则 B(3,0), C (3,0) . 设顶点 A 的坐标为 ( x, y)
讲 课 人 ： 邢 启 强
MF1 MF2 2a(2a 2c 0)
y y M M
F2 x
高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
2．请同学们将一根无弹性的细绳两端系在圆规两端下部， 并将两脚固定，用笔绷紧细绳在纸上移动，观察画出的轨迹是 什么曲线，并思考下面的问题：
(1)在画出一个椭圆的过程中，圆规两脚末端的位置是固定 的还是运动的？
(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ (3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关 系？
A．7 倍
B．5 倍
C．4 倍
D．3 倍
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
解析：
(1)如图所示，由已知：a＝5， △AF1B的周长l＝|AF1|＋|AB|＋|BF1| ＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝20.
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
(2)不妨设 F1(－3,0)，F2(3,0)， 由条件知 P3，± 23， 即|PF2|＝ 23，由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4 3， 即|PF1|＝7 23， 所以|PF1|＝7|PF2|.故选 A.
解析： 由已知 2a＝8,2c＝2 15， ∴a＝4，c＝ 15， ∴b2＝a2－c2＝16－15＝1， ∴椭圆标准方程为1y62 ＋x2＝1. 答案： 1y62 ＋x2＝1
工具
第二章 圆锥曲线与方程
栏目导引
4．已知椭圆88x12＋3y62 ＝1 上一点 M 的纵坐标为 2. (1)求 M 的横坐标； (2)求过 M 且与x92＋y42＝1 共焦点的椭圆的方程． 解析： (1)把 M 的纵坐标代入88x12＋3y62 ＝1 得88x12＋346＝1， 即 x2＝9. ∴x＝±3.即 M 的横坐标为 3 或－3.
2.2.1椭圆的标准方程
椭圆经过点(
2 ,
2)和点( 1 ,
3 ),
2
2
(
2 )2 a2
(
2 )2 2 b2
1 ，
(
3 )2 a2
( 1 )2 2 b2
1
解得
a2
b2
4 1
所求椭圆的标准方程 y2 x2 1. 4
求椭圆的标准方程
1、方法：①定义法：已知焦点和椭圆上一点; ②待定系数法：已知焦点和椭圆上一点， 或已知椭圆上两点.
变式2：设ABC的内角A、B、C所对的
y A
边分别为a、b、c，已知B(2,0)，C(2,0)， c
b
且sin B sinC 3 sin A，则点A的轨迹
方程为
x2 y2 2 ___________1_(_y___0_)
95
a
B(-2,0) O
C(2,0) x
定义
椭圆及其标准方程
2a ( 3 3)2 ( 1)2 ( 2
a 2， 又由焦点坐标可得：c
3
3,
3)2 ( 1)2 4 2
c 3, a2 b2 3
又
椭圆经过点P(
3
,
1 2
),
(
3 )2
(
1 2
)2
1
②
a2
b2
①
b2 a2 c2 4 3 1， 所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1
椭圆定义：
平面内与两个定点F1, F2 的距离的和等于常数 2a
(2a大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点F1 , F2叫做椭圆的焦点;
2.2.1椭圆及其标准方程
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
P 是椭圆1x22 ＋y32＝1 上的一点，F1、F2为两个焦点，若∠F1PF2
＝60°，则△F1PF2 的面积为( )
Aபைடு நூலகம்2 3
B． 3
C．4
D．2
[答案] B
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
注意挖掘隐含条件 △ABC 的三边 a，b，c(a>b>c)成等差数列，A、
C 两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，求顶点 B 的轨迹． [错解] 设点 B 的坐标为(x，y)． ∵a、b、c 成等差数列，∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝2|AC|，
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
椭圆的标准方程
根据下列条件，写出椭圆的标准方程． (1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点 P 到 两焦点的距离和为 26，________. (2)经过点 P(1，32)，两焦点间的距离为 2，焦点在 x 轴上， ________. [答案] (1)1y629＋1x424＝1 (2)x42＋y32＝1
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
(2)设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1， ∵焦点在 x 轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1，
9 又椭圆经过点 P(1，32)，∴b2＋1 1＋b42＝1， 解之得 b2＝3，∴a2＝4. ∴椭圆的标准方程为x42＋y32＝1.
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
P 是椭圆1x22 ＋y32＝1 上的一点，F1、F2为两个焦点，若∠F1PF2
＝60°，则△F1PF2 的面积为( )
Aபைடு நூலகம்2 3
B． 3
C．4
D．2
[答案] B
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
注意挖掘隐含条件 △ABC 的三边 a，b，c(a>b>c)成等差数列，A、
C 两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，求顶点 B 的轨迹． [错解] 设点 B 的坐标为(x，y)． ∵a、b、c 成等差数列，∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝2|AC|，
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
椭圆的标准方程
根据下列条件，写出椭圆的标准方程． (1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点 P 到 两焦点的距离和为 26，________. (2)经过点 P(1，32)，两焦点间的距离为 2，焦点在 x 轴上， ________. [答案] (1)1y629＋1x424＝1 (2)x42＋y32＝1
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
(2)设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1， ∵焦点在 x 轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1，
9 又椭圆经过点 P(1，32)，∴b2＋1 1＋b42＝1， 解之得 b2＝3，∴a2＝4. ∴椭圆的标准方程为x42＋y32＝1.
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
y2 b2
1
b2
a2
c2
焦点坐标：F1 -c,0,F2 c,0 F1 0,-c,F2 0,c
a a、b、c的关系： 2 b2 c2
[1] 椭圆的标准方程有几个？
答：两个。焦点分别在 x 轴、y 轴。 [2]给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上
答：在分母大的那个轴上。
[3] Ax 2 By 2 C 什么时候表示椭圆？
2.取过两个定点的直线做 x 轴，它的线段 垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，从 而保证方程是标准方程。
3.根据已知求出a、c，再推出a、b
写出椭圆的标准方程。
例1 平面内两个定点的距离是8，写出到这两 个定点的距离的和是10的点的轨迹方程
解：因为动点到两定点的距离的和为10且大于两定点 的距离，由椭圆定义知，动点的轨迹为椭圆。
和是常数12，且12 6 O1O2 ,
所以点P的轨迹是焦点为-3,0、3,0的椭圆，
且方程为标准方程：x2 + y2 = 1 a2 b2
2c 6,2a 12, c 3, a 6
b2 a2 c2 36 9 27,
∴动圆圆心的轨迹方程为：x2 + y2 = 1 36 27
x2
y2
1.
25 16
例2、已知F1、F2是椭圆
x2 4
+
y2 3
=1的两个焦点，P是椭圆上一点，
且F1PF2 =60，求PF1F2的面积。
解：由已知a=2,c=1, 设 PF1 = d1,PF2 = d2,
由椭圆的定义得d1 + d2 = 2a = 4,
在F1PF2中，由余弦定理得cos60°= d12
高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程
第35页
返回导航
第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
解 设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且 A≠B)，依题意可得31A2A＋＋4BB＝＝11，， ⇒AB＝＝11515. ，
故所求的椭圆方程为1x52 ＋y52＝1.
第36页
返回导航
第27页
返回导航
第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
题型三 求经过两点的椭圆的标准方程 例3 求经过两点P1 13，13 ，P2 0，－12 的椭圆的标准方 程．
第28页
返回导航
第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
题型四 用定义求椭圆的标准方程 例4 已知△ABC的一边BC长为8，周长为20，求顶点A 的轨迹方程． 分析 注意顶点A到B和C的距离之和为定值，故可考虑 利用椭圆的定义来求其方程．
第37页
返回导航
第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
解法2 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞ 0，A≠B)．
依题意，得A132＋B132＝1， B－122＝1，
⇒AB＝ ＝54.，
故所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1.
第33页
返回导航
第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
分析1 因为椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴 和y轴两种情况分别求解．
第29页
返回导航
第二章 §2.2 2.2.1
原创2：2.2.1 椭圆及其标准方程
2
2.椭圆 ＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，
25
则点P到另一个焦点的距离为( D )
A．5
B．6
C．7
D．8
定义
自主练习
椭圆类型
3.椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距
2a=8
离 和 为 8 ， 焦 距 为 2 15 ， 则 此 椭 圆 的 标 准 方 程 为
＋x2＝1
________．
2
2
∴所求椭圆的标准方程为 ＋
8
12
＝1.
典例导航
题型二：椭圆定义的应用
2
2
如图所示，已知F1，F2是椭圆 ＋
100
36
＝1的两个焦点．
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．
典例导航
【解析】
(1)由椭圆方程得a2＝100，b2＝36，
于是a＝10，c＝8，
15
5
＝1.
典例导航
(3)焦点在坐标轴上，且经过A( 3，－2)和B(－2 3，1)
思考：在上述的解题过程中，将方程组看作是关于
1
1
2 、 2 的方程组，解题过程还可以做怎样的优化？
【另解】设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)
3m+4n=1
1
1
则由已知
解得：m= ，n=
15
5
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16
③－②，得3PF1|·|PF2|＝12，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
1
∴S＝ |PF1|·|PF2|·sin
2.椭圆 ＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，
25
则点P到另一个焦点的距离为( D )
A．5
B．6
C．7
D．8
定义
自主练习
椭圆类型
3.椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距
2a=8
离 和 为 8 ， 焦 距 为 2 15 ， 则 此 椭 圆 的 标 准 方 程 为
＋x2＝1
________．
2
2
∴所求椭圆的标准方程为 ＋
8
12
＝1.
典例导航
题型二：椭圆定义的应用
2
2
如图所示，已知F1，F2是椭圆 ＋
100
36
＝1的两个焦点．
(1)求椭圆的焦点坐标；
(2)过F1作直线与椭圆交于A，B两点，试求△ABF2的周长．
典例导航
【解析】
(1)由椭圆方程得a2＝100，b2＝36，
于是a＝10，c＝8，
15
5
＝1.
典例导航
(3)焦点在坐标轴上，且经过A( 3，－2)和B(－2 3，1)
思考：在上述的解题过程中，将方程组看作是关于
1
1
2 、 2 的方程组，解题过程还可以做怎样的优化？
【另解】设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)
3m+4n=1
1
1
则由已知
解得：m= ，n=
15
5
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝16
③－②，得3PF1|·|PF2|＝12，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
1
∴S＝ |PF1|·|PF2|·sin