2003年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]
2000年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]
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2000年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至9页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷(选择题 60分)注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3、考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f:A →B 把集合A 中的元素n映射到集合B 中的元素2n +n ，则在映射f 下，象20的原象是(A)2 (B)3 (C)4 (D)5i 3对应的向量按顺时针方向旋转3π，i 33+2，3， 6，(4)已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是(A)若α、β是第一象限角，则cos α>cos β(B)若α、β是第二象限角，则tg α>tg β(C)若α、β是第三象限角，则cos α>cos β(D)若α、β是第四象限角，则tg α>tg β(5)函数y=-x cos x 的部分图象是(6)《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。
此项税 款按下表分段累进计算：<div align="center"> 全月应纳税所得额 税率不超过500元的部分 5%超过500元至2000元的部分 10%超过2000元至5000元的部分 15%… …</div>某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于800~900元 (B)900~1200元(C)1200~1500元 (D)1500~2800元(7)若a >b >1，)2lg(),lg (lg 21,lg lg ba R Q P +=+=⋅=βαβα,则(A)R<P<Q (B)P<Q< R(C)Q< P<R (D)P< R<Q(8)以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是(A))4cos(2πθ-=p (B))4sin(2πθ-=p (C))1sin(2-=θp (D))1sin(2-=θp(9)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比 是(A) (B) (C) (D)(10)过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直 线的方程是(A) (B) (C) (D)(11)过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线 段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于(A)2a(B)(C)4a(D)(12)如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)第II卷(非选择题90分)注意事项：第II卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的外表积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i2、集合A ＝{1.3.m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 那么m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，那么该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =14 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，那么直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B3 C 2 D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，那么数列的前100项和为(A)100101 (B)99101 (C)99100 (D)101100〔6〕△ABC 中，AB 边的高为CD ，假设a ·b=0，|a|=1，|b|=2，那么(A)〔B 〕 (C) (D)〔7〕α为第二象限角，sinα＋sinβ=33，那么cos2α=(A)5-3〔B〕5-9(C)59(D)53〔8〕F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，那么cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35(C)34(D)45〔9〕x=lnπ，y=log52，12z=e，那么(A)x＜y＜z 〔B〕z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，那么c＝〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，那么不同的排列方法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
2003年高考真题——数学(理科)真题及答案[全国卷I]
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2003年高考真题——数学(理科)真题及答案[全国卷I]2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知$x\in (-\pi/2,0)$，$cosx=4$，则$tan2x=$text{(A)}\frac{7}{24}\quad\text{(B)}-\frac{7}{24}\quad\text{(C)}\frac{24}{7}\quad\text{(D)}-\frac{247}{25}2.圆锥曲线$\rho=2cos\theta$的准线方程是text{(A)}\rho cos\theta=-2\quad\text{(B)}\rhocos\theta=2\quad\text{(C)}\rho sin\theta=2\quad\text{(D)}\rho sin\theta=-23.设函数$f(x)=\begin{cases}1,&x1$，则$x$的取值范围是text{(A)}(-1,1)\quad\text{(B)}(-1,+\infty)\quad\text{(C)}(-\infty,-2)\cup[0,+\infty)\quad\text{(D)}(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)4.函数$y=2sinx(sinx+cosx)$的最大值为text{(A)}1+2\sqrt{2}\quad\text{(B)}2-\sqrt{2}\quad\text{(C)}2\quad\text{(D)}2\sqrt{2}5.已知圆$C:(x-a)^2+(y-2)^2=4(a>0)$及直线$l:x-y+3=0$，当直线$l$被$C$截得的弦长为23时，则$a=$text{(A)}2\quad\text{(B)}2-\sqrt{2}\quad\text{(C)}2^{-1}\quad\text{(D)}2+\sqrt{2}6.已知圆锥的底面半径为$R$，高为$3R$，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是text{(A)}2\pi R\quad\text{(B)}\pi R^2\quad\text{(C)}\piR\sqrt{2}\quad\text{(D)}\pi R\sqrt{3}7.已知方程$(x^2-2x+m)(x^2-2x+n)=0$的四个根组成一个首项为1的等差数列，则$|m-n|=$text{(A)}1\quad\text{(B)}3\quad\text{(C)}\frac{1}{2}\quad\t ext{(D)}\frac{4}{3}8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为$F(7,0)$，直线$y=x-1$与其相交于$M$、$N$两点，$MN$中点的横坐标为$-\frac{1}{2}$，则此双曲线的方程是text{(A)}\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{8}=1\quad\text{(B)}\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{8}=1\quad\text{(C)}\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{9}=1\quad\text{(D)}\frac{y^2}{8}-\frac{x^2}{9}=19.函数$f(x)=\sin x$，$x\in[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$的反函数$f^{-1}(x)$是text{(A)}-\arcsin x,\ x\in[-1,1]\quad\text{(B)}-\pi-\arcsin x,\ x\in[-1,1]\quad\text{(C)}\pi+\arcsin x,\ x\in[-1,1]\quad\text{(D)}\pi-\arcsin x,\ x\in[-1,1]10.已知长方形的四个顶点$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,1)$和$D(0,1)$，一质点从$AB$的中点$P$沿与$AB$的夹角$\theta$的方向射到$BC$上的点$Q$，则$\theta$的取值范围是text{(A)}\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\quad\text{(B)}\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\quad\text{(C)}\left[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right]\quad\text{(D)}\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right]2.将文章进行修正和改写：2、P3和P4是点P在CD、DA和AB上的反射点，入射角等于反射角。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的外表积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、集合A ＝{1.3.m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 那么m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，那么该椭圆的程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =14 正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，那么直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B3 C 2 D 1〔5〕等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，那么数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100〔6〕△ABC 中，AB 边的高为CD ，假设a ·b=0，|a|=1，|b|=2，那么(A)〔B〕(C)(D)〔7〕α为第二象限角，sinα＋sinβ=33，那么cos2α=(A)5-3〔B〕5-9(C)59(D)53〔8〕F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，那么cos∠F1PF2=(A)14〔B〕35(C)34(D)45〔9〕x=lnπ，y=log52，12z=e，那么(A)x＜y＜z 〔B〕z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，那么c＝〔A〕-2或2 〔B〕-9或3 〔C〕-1或1 〔D〕-3或1〔11〕将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不一样，梅列的字母也互不一样，那么不同的排列法共有〔A〕12种〔B〕18种〔C〕24种〔D〕36种〔12〕正形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。
2003年高考理综试题(北京卷)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科综合能力测试一、在下列各题的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。
1．取适量干重相等的4份种子进行不同处理：（甲）风干，（乙）消毒后浸水萌发，（丙）浸水后萌发，（丁）浸水萌发后煮着冷却，消毒。
然后分别放入4个保温瓶中。
一段时间后，种子堆内温度最高的是 （ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2．植物叶片从幼到老的整个生命活动过程中 （ ）A ．有机物输出也输入，矿质元素只输入B ．有机物只输出，矿质元素只输入C ．有机物只输出，矿质元素输入也输出D ．有机物与矿质元素都既输入，又输出3．下列关于叶绿素合成和功能的叙述。
错误的是 （ ）A ．光是叶绿素合成的必要条件B ．低温抑制叶绿素的合成C ．矿质元素影响叶绿素的合成D ．提取的叶绿素溶液，给予适宜的温度、光照和CO 2，可进行光合作用4．一只成年雄狗仍然保持幼年的体态，且精神萎靡、反应迟钝、行动呆笨，无求偶行为， 其原因是 （ ）A ．睾丸发育不全B ．甲状腺功能低下C ．生长激素分泌不足D ．生长激素分泌不足、睾丸发育不全5．据图判断，下列叙述不．符合生态学原理的是 （ ）A ．物质经过了多级利用，实现了良性循环B ．每一级生产环节都获得产品，提高了生态经济效益C ．由于食物链延长，能量逐级损耗，系统总能量利用效率降低D ．由于各级产物都可以利用，减少了废物和污染6．人类探测月球发现，在月球的土壤中含有较丰富的质量数为3的氦，它可以作为未来核聚变的重要原料之一。
氦的该种同位素应表示为 （ ）A ．He 43B ．He 32C ．He 42D ．He 337．在两个容积相同的容器中，一个盛有HCl 气体，另一个盛有H 2和Cl 2的混合气体。
在同 温同压下，两容器内的气体一定具有相同的 （ ）A ．原子数B ．密度C ．质量D ．质子数8．某无色混合气体可能由CH 4、NH 3、H 2、CO 、CO 2和HCl 中的某几种气体组成。
2003年高考试题——数学(辽宁卷)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A+B ）=P （A ）+P （B ） S=4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P.334R V π=其中R 表示球的半径那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．与曲线11-=x y 关于原点对称的曲线为 （ ）A ．x y +=11B ．x y +-=11C ．x y -=11D ．xy --=112． 已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247B ．－247C ．724D ．－724 3．=+-2)3(31i i（ ）A ．i 4341+ B ．i 4341--C ．i 2321+ D ．i 2321--4．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则=AP （ ）A ．)1,0(),(∈+λλAD ABB ．)22,0(),(∈+λλBC ABC ．)1,0(),(∈-λλD ．)22,0(),(∈-λλ 5．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪（0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞） 6．等差数列}{n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，则n 为 （ ）A ．48B ．49C ．50D ．517．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 8．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a9．设c bx ax x f a ++=>2)(,0，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为]4,0[π，则P到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ）A ．]1,0[aB ．]21,0[aC ．|]2|,0[ab D ．|]21|,0[ab - 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，MN 中点的横坐标为,32-则此双曲线的方程是（ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2，P 3和P 4（入射角等于反射角）. 设P 4的坐标为（x 4，0），若214<<x ，则θtan 的取值范围是（ ）A ．（31，1） B ．）32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ．π33D ．6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 . 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分 （如图）.现要栽种种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 （以数字作答）16．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点. （1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离.AA18．（本小题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图像关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值. 19．（本小题满分12分）设0>a ，求函数)),0(()ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.20．（本小题满分12分）A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是B 1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η（1）求ξ、η的概率分布； （2）求E ξ，E η.21．（本小题满分14分） 设0a 为常数，且)(2311+--∈-=N n a a n n n （1）证明对任意012)1(]2)1(3[51,1a a n n n n n nn ⋅-+⋅-+=≥-； （2）假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围.22．（本小题满分14分） 已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学试题参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分1.A2.D3.B4.A5.D6.C7.B8.C9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13．221-14．6，30，10 15．120 16．①④ 三、解答题17．本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识,考查空间想象能力和推理能力.满分12分.AA（I ）证法一：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D 又EC=21CC 1，且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 …………3分 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. 证法二：建立如图的坐标系，得)(OB （0，1，0），D 1（1，0，2），F )1,21,21( C 1（0，0，2），E （0，0，1）.…………2分)2,0,0(),0,21,21(1==∴CC EF)2,1,1(1-=BD ……………………4分 0,011=⋅=⋅∴EF BD CC EF即EF ⊥CC 1，EF ⊥BD 1故EF 是CC 1与BD 1的公垂线.……6分 （II ）解：连结ED 1，有D BE D D BD E V V --=11由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的 距离为d ，则S △DBC ·d=S △DBD 1·EF.………………9分 ∵AA 1=2·AB=1.22,2====∴EF ED BE BD 23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S 33223222=⨯=∴d故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18． 本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力.满分12分.解：由)(x f 是偶函数，得)()(x f x f =-，即)sin()sin(ϕωϕω+=+-x x ， 所以x x ωϕωϕsin cos sin cos =-对任意x 都成立，且0>ω，所以得0cos =ϕ， 依题设πϕ≤≤0，所以解得2πϕ=.……………………4分由)(x f 的图象关于点M 对称，得)43()43(x f x f +-=-ππ， 取,0=x 得),43()43(ππf f -=所以,0)43(=πf43cos )243sin()43(ωππωππ=+=f ，2,1,0,243,0,043cos =+=>=∴k k ππωπωωπ得又…， ………………8分,2,1,0),12(32=+=∴k k ω….当k =0时，]2,0[)232sin()(,32ππω在+==x x f 上是减函数； 当k =1时，]2,0[)22sin()(,2ππω在+==x x f 上是减函数；当2≥k 时，]2,0[)2sin()(,310ππωω在+=≥x x f 上不是单调函数. 所以，综合得232==ωω或. ………………12分19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分.解：)0(121)(>+-='x ax xx f . ………………2分 当0,0>>x a 时 0)42(0)(22>+-+⇔>'a x a x x f .0)42)0)(22<+-+⇔<'a x a x x f（i ）当1>a 时，对所有0>x ，有0)42(22>+-+a a x . 即0)(>'x f ，此时)(x f 在),0(+∞内单调递增. …………5分 （ii ）当1=a 时，对1≠x ，有0)42(22>+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在（0，+∞）内单调递增，在),1(+∞内单调递增又知函数)(x f 在x=1处连续，因此，函数)(x f 在（0，+∞）内单调递增…………7分 （iii ）当10<<a 时，令0)(>'x f ，即0)42(22>+-+a x a x . 解得a a x a a x -+->---<122,122或.因此，函数)(x f 在区间)122,0(a a ---内单调递增，在区间),122(+∞-+-a a 内也单调递增. ………………10分 令0)42(,0)(22<+-+<'a x a x x f 即， 解得a a x a a -+-<<---122122.因此，函数)(x f 在区间)122,12-2a a a a -+---（内单调递减. ………………12分 20．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分 12分. 解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.758525232)3(=⨯⨯==ξP 7528525332525231535232)2(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP52525331535231535332)1(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP ， 253535331)0(=⨯⨯==ξP …………4分根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=758, P(η=1)=P(ξ=2)= 7528P(η=2)=P(ξ=1)= 52, P(η=3)=P(ξ=0)= 253. …………8分（2）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ； 因为ξ+η=3，所以 .15233=-=ξηE E …………12分21．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分. （1）证法一：（i ）当n=1时，由已知a 1=1－2a 0，等式成立； （ii ）假设当n=k （k ≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5101a a k k k k kk ---+=- 那么01112)1(]2)1(3[52323a a a k k k k kkk kk +-+---+-=-= .2)1(]2)1(3[5101111a k k k k k ++++-+-+=也就是说，当n=k+1时，等式也成立.根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N +，成立. …………6分证法二：如果设),3(233111-----=-n n n n n a a αα 用1123---=n n n a a 代入，可解出51=α. 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-53n n a 是公比为－2，首项为531-a 的等比数列. ).()2)(5321(5310+-∈---=-∴N n a a n n n即.2)1(52)1(301a a n n n n n n -+-+=- ………………6分（2）解法一：由n a 通项公式 .23)1(523)1(32011111a a a n n n n n n n -----⨯-+⨯-+⨯=-)(1N n a a n n ∈>∴-等价于 ).()23()15()1(201+--∈<--N n a n n ……① …………8分（i ）当n=2k －1，k=1，2，…时，①式即为 32022)23()15()1(--<--k k a即为 .51)23(51320+<-k a ……②②式对k=1，2，…都成立，有 .3151)23(5110=+⨯<-a ………………10分（ii ）当n=2k ，k=1，2，…时，①式即为 .)23()15()1(22012--<--k k a即为 .51)23(51220+⨯->-k a ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有.051)23(512120=+⨯->-⨯a …………12分综上，①式对任意n ∈N *，成立，有.3100<<a故a 0的取值范围为).31,0( …………14分解法二：如果1->n n a a （n ∈N *）成立，特别取n=1，2有 .031001>-=-a a a.06012>=-a a a 因此 .3100<<a …………9分下面证明当.3100<<a 时，对任意n ∈N *，.01>--n n a a 由a n 的通项公式 .235)1(23)1(32)(5011111a a a n n n n n n n -----⨯⨯-+⨯-+⨯=-（i ）当n=2k －1，k=1，2…时， 011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯-⨯+⨯=->025*******=⨯-⨯+⨯---n n n ……12分（ii ）当n=2k ，k=1，2…时，011112352332)(5a a a n n n n n ----⨯⨯+⨯-⨯=->.0233211≥⨯-⨯--n n 故a 0的取值范围为).31,0( …………14分22．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分.解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值. ∵i =（1，0），c=（0，a ）， ∴c+λi =（λ，a ），i －2λc=（1，－2λa ）. …………2分 因此，直线OP 和AP 的方程分别为 ax y =λ 和 ax a y λ2-=-. …………4分消去参数λ，得点),(y x P 的坐标满足方程222)(x a a y y -=-.整理得 .1)2()2(81222=-+aa y x ……① …………7分 因为,0>a 所以得：（i ）当22=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （ii ）当220<<a 时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121(2a a E -和)2,2121(2a a F --为合乎题意的两个定点； （iii ）当22>a 时，方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0(2-+a a E 和))21(21,0(2--a a F 为合乎题意的两个定点. …………12分。
2003年上海高考数学真题试卷及答案解析(理科)
绝密★启用前 2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.第Ⅰ卷 （共110分）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1．函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期T= . 2．若=∈=+=απααπ则其中的解是方程),2,0(,1)cos(23x x .3．在等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10= 4．在极坐标系中，定点A ),2,1(π点B 在直线0sin cos =+θρθρ上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是5．在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示） 6．设集合A={x ||x |<4},B={x |x 2－4x +3>0}, 则集合{x |x ∈A 且}B A x ∉= . 7．在△ABC 中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表示） 8．若首项为a 1，公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a 1，公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）= .9．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成.现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分数表示）10．方程x 3+lg x =18的根x ≈ .（结果精确到0.1） 11．已知点),0,24(),2,0(),2,0(nC n B n A +-其中n 的为正整数.设S n 表示△ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim = .12．给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由 ||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.二、选择题（本大题满分16分）本大题共4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. 13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是 （ ） A ．y=tg|x |. B ．y=cos(－x ).C ．).2sin(π-=x y D ．|2|xctgy =. 14．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）A ．α、β都垂直于平面r .B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β.15．a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的 （ ）A ．充分非必要条件.B ．必要非充分条件.C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件.16．f (x )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g （x ）=af （x ）+b ，则下列关于函数g （x ）的叙述正确的是（ ）A ．若a <0,则函数g （x ）的图象关于原点对称.B ．若a =－1，－2<b<0,则方程g （x ）=0有大于2的实根.C ．若a ≠0,b=2,则方程g （x ）=0有两个实根.D ．若a ≥1,b<2,则方程g （x ）=0有三个实根.三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．（本题满分12分）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值.18．（本题满分12分）已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D 与平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分. 已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. （1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱 宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设 计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最最小？ （半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1米）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B 的纵坐标大于零.（1）求向量AB 的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值范围.22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.（1）函数f(x)= x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f(x)=a x（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=a x∈M；（3）若函数f(x)=sin kx∈M ,求实数k的取值范围.2003年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理工农医类）答案一、（第1题至第12题）1．π. 2．π34. 3．－49 . 4．)43,22(π. 5．arctg2. 6．[1,3]. 7．.611arccos8．10,0)(21,1(1<<>q a 的一组数）. 9．19011910．2.6 . 11．4π 12．|PF 2|=17.二、（第13题至第16题）题 号 13 14 15 16 代 号CDDB三、（第17题至第22题） 17．[解].2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(|)sin (cos cos sin 1|||2222221θθθθθθθθθθθ+=+=-++=-++=⋅i z z故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2.18．[解]连结BD ，因为B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以BC ⊥BD.在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以BD=32.又因为直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，所以 ∠B 1DB=30°，于是BB 1=31BD=2.故平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为S ABCD ·BB 1=38. 19．[解]（1）.)1(33,)1(231312111334233132031212111223122021q a q a q a q a a C a C a C a C a q a q a q a a C a C a C a -=-+-=-+--=+-=+-（2）归纳概括的结论为：若数列}{n a 是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则nnn n n n n n n n nnn nnnn n nn n n n n n n n n n n n n n n q a C q C q C q qC C a C q a C q a C q a qC a C a C a C a C a C a C a n q a C a C a C a C a C a )1(])1([)1()1(:.,)1()1(133********122111011342312011134231201-=-++-+-=-++-+-=-++-+--=-++-+-++ 证明为正整数20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P （11，4.5）， 椭圆方程为12222=+by a x .将b=h =6与点P 坐标代入椭圆方程，得3.3377882,7744≈===a l a 此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.（2）[解一]由椭圆方程12222=+by a x ，得.15.4112222=+b a4.6,1.312222229,211,215.411,.29924,,2,995.41125.41122222222≈=≈======≥====≥⨯⨯≥+b h a l b a b a S ab lh S b h a l ab ab b a 此时得有取最小值时当所以且即因为πππ故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.[解二]由椭圆方程12222=+b y a x ，得.15.4112222=+b a 于是,121481222-⋅=a a b ,121121121,,99,12181)2421212(481)242121121121(481222222222-=-≥⨯=+≥+-+-=a a S ab a a b a 有取最小值时当即得.229,211==b a 以下同解一.21．[解]（1）设⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==,034100,0||||||2||},,{22v u v u v u AB 即则由得},3,4{.86,86-+=+=⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==v u v u v u 因为或所以v －3>0,得v =8,故={6，8}.（2）由OB ={10，5}，得B （10，5），于是直线OB 方程：.21x y =由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10.设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则,31,231021223⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=-⋅-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则.23,022544,02252,,2252,202222222212212121212121>>-⋅-=∆=-++⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+a a a a aa x a x x x a a x x a x x x x y y y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得 故当23>a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点. 22．[解]（1）对于非零常数T ，f (x +T)=x +T, T f (x )=T x . 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ∉（2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，所以方程组：⎩⎨⎧==xy a y x有解，消去y 得a x =x ,显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T.于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =⋅=⋅==++ 故f (x )=a x ∈M.（3）当k=0时，f (x )=0，显然f (x )=0∈M.当k ≠0时，因为f (x )=sin kx ∈M ，所以存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x +T)=T f (x )成立，即sin(kx +k T)=Tsin kx .因为k ≠0，且x ∈R ，所以kx ∈R ，kx +k T ∈R ，于是sin kx ∈[－1，1]，sin(kx +k T) ∈[－1，1]，故要使sin(kx +k T)=Tsin kx .成立，只有T=1±，当T=1时，sin(kx +k )=sin kx 成立，则k =2m π, m ∈Z .当T=－1时，sin(kx－k)=－sin kx成立，即sin(kx－k+π)= sin kx成立，则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1)π, m∈Z . 综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}。
2003年高考数学试题(全国文)及答案
2003年普通高等学校招生全国统一测试（全国卷）数学（文史类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、测试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 测试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页测试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．直线2y x x =关于对称的直线方程为 （ ） （A ）12y x =- （B ）12y x = （C ）2y x =- （D ）2y x =2．已知,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-3．抛物线2y ax =的准线方程是2,y a =则的值为 （ ）（A ）18 （B ）18- （C ）8 （D ）8- 4．等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）515．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1212,,120F F F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ） （A 3 （B 6 （C 6 （D 36．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 7．已知5()lg ,(2)f x x f ==则（ ）（A ）lg 2 （B ）lg32 （C ）1lg32 （D ）1lg 258．函数sin()(0)y x R ϕϕπϕ=+≤≤=是上的偶函数，则（ ） （A ）0 （B ）4π （C ）2π（D ）π 9．已知(,2)(0):-30a a l x y a >+==点到直线的距离为1，则（ ） （A 2 （B ）22 （C 21 （D 21 10．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的内接圆柱的底面半径为34R ，该圆柱的全面积为（ ） （A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）252R π11．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿和AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）若40P P 与重合，则tg θ= （ ） （A ）31 （B ）52 （C ）21（D ）1 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一测试数 学（文史类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 1324x x x -<的解集是____________________.14．92)21(xx -的展开式中9x 系数是 ________ .15．在平面几何里，有勾股定理：“设222,,ABC AB AC AB AC BC +=的两边互相垂直则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积和底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A BCD -的三个侧面ABC ACD ADB 、、两两互相垂直，则______________________________________________.” 16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种_______________________（以数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知正四棱柱111111112ABCD A B C D AB AA E CC F BD -==，，，点为中点，点为点中点 （Ⅰ）证明11EF BD CC 为与的公垂线 （Ⅱ）求点1D BDE 到面的距离 18．（本小题满分12分）已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z .19．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足1111,3(2).n n n a a a n --==+≥（Ⅰ）求23,a a ；（Ⅱ）证明312n n a -=20．（本小题满分12分）已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； ()y f x =在（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象21．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风2(cos θθ=中心位于城市O （如图）的东偏南度向西偏北︒45方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 22．（本小题满分14分）215 34 θO北东Oy线岸O xPr(t)P45︒ 海 E DBACBD CAFMyO 2π2π-x已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DA DC CD CF BC BE ==，P 为GE 和OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由2003年普通高等学校招生全国统一测试数学试题（文）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法和本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．]4,2( 14．221-15．2222BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++ 16．72 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（I ）证明：取BD 中点M ，连结MC ，FM ，∵F 为BD 1中点， ∴FM ∥D 1D 且FM=21D 1D 又EC=21CC 1，且EC ⊥MC ， ∴四边形EFMC 是矩形 ∴EF ⊥CC 1 又CM ⊥面DBD 1 ∴EF ⊥面DBD 1 ∵BD 1⊂面DBD 1，∴EF ⊥BD 1 故EF 为BD 1和CC 1的公垂线 （II ）解：连结ED 1，有V由（I ）知EF ⊥面DBD 1，设点D 1到面BDE 的距离为d ，则S △DBC ·d=S △DCD 1·EF. ∵AA 1=2·AB=1.22,2====∴EF ED BE BD 23)2(2321,2222121=⋅⋅==⋅⋅=∴∆∆DBC DBD S S OPAG D FEC By故点D 1到平面BDE 的距离为332. 18．解：设z=2),60sin 60(cos r z i r 的实邻为则复数+ 2,r z z r z z ==+∴由题设|2||||1|2-⋅=-z z z即)2)(2(||)1)(1(--=--z z z z z 42122+-=+-r r r r r12120122--=-==-+r r r r 解得（舍去） 即|z|=12-19．（I ）解∵1343,413,12321=+==+=∴=a a a（II ）证明：由已知故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.213133321-=++++--n n n所以213-=n n a20．解（I ）x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+= )42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x所以函数)(x f 的最小正周期为π，最大值为21+.（Ⅱ）由（Ⅰ）知x83π-8π-8π 83π 85π y121-121+1故函数)(x f y =在区 间]2,2[ππ-上的图象是 21．解：如图建立坐标系：以O 为原点，正东方向为x 轴正向.心),(y x P 的坐标为在时刻：t （h ）台风中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是222)]([)()(t r y y x x ≤-+-，其中10)(=t r t+60，若在t 时，该城市O 受到台风的侵袭，则有,)6010()0()0(222+≤-+-t y x即,)6010()22201027300()2220102300(222+≤⨯+⨯-+⨯-⨯t t t 即0288362≤+-t t ， 解得2412≤≤t .答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭22．解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到定点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤===k k DADCCD CF BC BE ， 由此有E （2，4ak ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）. 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ， ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a . ②从①，②消去参数k ，得点P （x ，y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a ，整理得1)(21222=-+a a y x . 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长.当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点),21(),,21(22a a a a ---的距离之和为定值2.当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点)21021,0(22-+--a a a a ，），（的距离之和为定值a 2.。
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2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ） （A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）（A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π6二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
把答案填在题中横线上。
13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种。
（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ） 求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ） 求点1A 到平面AED 的距离19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径D E KBC 1A 1B 1AFC G东O为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分） 已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且DA DC CD CF BC BE ==，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。
22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts+ t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试x数 学(理工农医类)答案一、选择题1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题： 17． 解：设)60sin 60cos r r z+=，则复数.2rz 的实部为2,r z z r z z ==-由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin .323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED=⋂⊥⊥又.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19． 解：函数x c y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|+∞⋃≥≤<>⇔>⇔>-+∴-+=∴⎩⎨⎧<≥-=-+的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数c c Q P c Q P c c R c x x c R c x x y c x c c x c x c x x20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+- 其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值.按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设)10(≤≤==k DADCCD CF BC BE 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ）直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ①直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x ka ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当212≠a时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长。