全等三角形的判定SAS典型例题
全等三角形的判定精选练习题(分SSS、SAS、AAS、ASA、HL分专题)
全等三角形的判定（SSS ）1、如图1，AB=AD ，CB=CD ，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD 的度数是()A.120°B.125°C.127°D.104°2、如图2，线段AD 与BC 交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ， 则下面的结论中不正确的是( ) A.△ABC ≌△BAD B.∠CAB=∠DBA C.OB=OC D.∠C=∠D3、在△ABC 和△A 1B 1C 1中，已知AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，则补充条件____________，可得到△ABC ≌△A 1B 1C 1．4、如图3，AB=CD ，BF=DE ，E 、F 是AC 上两点，且AE=CF ．欲证∠B=∠D ，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS ”证明______≌_______得到结论．5、如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D ．6、如图，AC 与BD 交于点O ，AD=CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE=CF ，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B ；⑵AE ∥CF ．7、已知如图，A 、E 、F 、C 四点共线，BF=DE ，AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△DEC ≌△BFA ；⑵在⑴的基础上，求证：DE ∥BF.全等三角形的判定(SAS)1、如图1，AB ∥CD ，AB=CD ，BE=DF ，则图中有多少对全等三角形( )A.3B.4C.5D.6C BAA.∠1=∠2B.∠B=∠CC.∠D=∠ED.∠BAE=∠CAD3、如图3，AD=BC ，要得到△ABD 和△CDB 全等，可以添加的条件是( ) A.AB ∥CD B.AD ∥BC C.∠A=∠C D.∠ABC=∠CDA4、如图4，AB 与CD 交于点O ，OA=OC ，OD=OB ，∠AOD=________， 根据_________可得到△AOD ≌△COB ，从而可以得到AD=_________．5、如图5，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠________=∠_________(角平分线的定义). 在△ABD 和△ACD 中，∵____________________________， ∴△ABD ≌△ACD （ ）6、如图6，已知AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证∠ADE=∠B.7、如图，已知AB=AD ，若AC 平分∠BAD ，问AC 是否平分∠BCD ？为什么？8、如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、F 、C ，在同一直线上，下面有4个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE ； ②AC=DF ； ③∠ABC=∠DEF ； ④BE=CF.9、如图⑴，AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，点C 是BD 上一点，且BC=DE ，CD=AB ．⑴试判断AC 与CE 的位置关系，并说明理由．⑵如图⑵，若把△CDE 沿直线BD 向左平移，使△CDE 的顶点C 与B 重合，此时第⑴问中AC 与BE 的位置关系还成立吗？(注意字母的变化)全等三角形（三）AAS 和ASA【知识要点】1．角边角定理（ASA ）：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.【典型例题】例1．如图，AB∥CD，AE=CF ，求证：AB=CD例2．如图，已知：AD=AE ，ABE ACD ∠=∠，求证：BD=CE.例3．如图，已知：ABD BAC D C ∠=∠∠=∠.，求证：OC=OD.例4．如图已知：AB=CD ，AD=BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 和BC 的延长线于E ，F.求证：AE=CF.例5．如图，已知321∠=∠=∠，AB=AD.求证：BC=DE.例6．如图，已知四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，点F 在AD 上，点E 在BC 上，AF=CE ，EF 的对角线BD 交于O ，请问O 点有何特征？A BDCE O 123AFDOBEC【经典练习】1.△ABC 和△C B A '''中，C B C B A A ''='∠=∠,'，CC '∠=∠则△ABC 与△C B A ''' .2．如图，点C ，F 在BE 上，,,21EF BC =∠=∠请补充一个条件，使△ABC≌DFE,补充的条件是 .3．在△ABC 和△C B A '''中，下列条件能判断△ABC 和△C B A '''全等的个数有（ ）①A A '∠=∠B B '∠=∠，C B BC ''= ②A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A C A ''='③A A '∠=∠B B '∠=∠，C B AC ''= ④A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A B A ''=' A ． 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个4．如图，已知MB=ND ，NDC MBA ∠=∠，下列条件不能判定是△ABM≌△CDN 的是（ ）A ． NM ∠=∠B. AB=CD C ． AM=CN D. AM∥CN5．如图2所示， ∠E =∠F =90°，∠B =∠C ，AE =AF ，给出下列结论：①∠1=∠2 ②BE=CF ③△ACN≌△ABM ④CD=DN其中正确的结论是_________ _________。
初中12.2三角形全等的判定(SAS)
有三边对应相等的两个三角形全等. 可以简写成 “边边边” 或“ SSS ”
用 数学语言表述： 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF
A
B D
C
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
E F
探究新知⑴
这是一个 三角形全等的判定方法： 公理。 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么 这两个三角形全等．简记为SAS（或边角边）．
课堂小结
今天你学到了什么? 1、今天我们学习了哪种方法判定两个三角形全等？
答：SAS(边角边)
（角夹在两条边的中间，形成两边夹一角）
通过证明三角形全等可以证明两条线段相等 等、两个角相等。
2、 “边边角”能不能判定两个三角形全等？
答：不能
几何语言：
在△ABC与△DEF中 ∵ AB=DE ∠B=∠E BC=EF ∴△究新知⑵
M D
C
A B
结论：两边及其一边所对的角相等，两
个三角形不一定全等.
例题讲解
例 1 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， AD 平 分 ∠BAC，求证：△ABD≌△ACD． A 证明: ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠BAD＝∠CAD 在△ABD与△ACD中 ∵ AB＝AC B C D ∠BAD＝∠CAD AD＝AD ∴△ABD≌△ACD（SAS） 由△ABD≌△ACD ，还能证得∠B＝∠C， 即证得等腰三角形的两个底角相等这条定 理．
例题推广
2 、 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， AD 平 分 BD=CD ⊥BC ． ∠BAC，求证： AD A 证明: ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠BAD＝∠CAD 在△ABD与△ACD中 ∵ AB＝AC
12.2 三角形全等的判定(SAS)
①先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，
②连结AC并延长至D点，使AC=DC
③连结BC并延长至E点，使BC=EC
④连结DE，测出DE的长，这 个长度就等于A，B两点的距离
A
1
B
C
隐含条件：对顶角相等
E
2
D
典型例题
例2 如图， AB=CB ，∠ABD= ∠CBD ， 求证：△ABD≌△CBD 变式1： 求证AD=CD 变式2：求证∠ADB=∠CDB
A
O
D
C
在△ ABO 和△ ADO中， AB = AD (已知），∠BAO = ∠DAO (已证）， AO= AO (公共边） ∴ △ ABO ≌ △ ADO（SAS）， ∴ ∠AOB = ∠AOD (全等三角形的对应角相等） 又∵∠AOB + ∠AOD =180°(邻补角定义） ∴ ∠AOB = ∠AOD= 90°. ∴AC⊥BD(垂直定义）.
A
∠B=∠E BC=EF
B
C D
∴△ABC≌△DEF（SAS） 3、证明线段或角相等 转化为证明线段或角所在的两个三角形全等。
E
F
练 习 二
如右图， 已知：AB=AD，CB=CD. 求证：AC⊥BD. B 分析：欲证AC⊥BD，只需证∠AOB= ∠AOD， 证明： 在△ABC 和△ADC中，
练习2。 （1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否 全等？试说明理由。 A D 解： △ABC≌△DCB 理由如下： B C AB = CD AC = BD BC = BC △ABD ≌△DCB （ SSS ） E A （2）如图，D、F是线段BC上的两点， AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ， 还需要条件 BF=DC或 BD=FC B D F C
全等三角形的判定证明题sss、sas
全等三角形的判定训练题(SSS、SAS)判定定理1:简单的表示为：SSS数学语言：在△ABC和△A'B'C'中AC=A'C'（已知）BC=B'C'（已知）AB=A'B'（已知）∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）1、若AB=CD,AC=DB，可以判定哪两个三角形全等？请证明。
2、△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠B与∠C有什么关系？请证明。
3、点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，则AB和DE有怎样的位置关系？请证明。
C4、已知AB=CD，BE=DF，AF=CE，则AB与CD有怎样的位置关系？5、如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=80o，∠F=60o，求∠ABC6、如图，AC=AD，BC=BD，∠1=35o，∠2=65o，求∠C1.1数学八年级上册同步练习：12.2.1三角形全等的判定SSS 37、如图，△ABC 中，AD=AE ， BE=CD ，AB=AC ，说明△ABD ≌△ACE判定定理2: 简单的表示为：SAS 数学语言：在△ABC 和△A 'B 'C ' 中 AB=A 'B ' （已知） ∠B=∠B ' （已知）BC=B 'C '（已知） ∴△ABC ≌△A 'B 'C '（SSS ） 8、如图，已知AC ，BD 相交于O ，AO=DO ，BO=CO ，证明：∠A=∠D9．如图，AE 是，BAC 的平分线 AB=AC.证明 △ABD ≌△ACDCDE1 210、已知：如图，AB=AC，AD=AE，求证：BE=CD.11、如图，已知：点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，求证：△ADB≌△AEC12、如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，求证： BE=DC13、如图，点C是AB中点，CD∥BE，且CD=BE，试探究AD与CE的关系。
11.2 三角形全等的判定(SAS)
11.2 三角形全等的判定（SAS）◆自学检测测试点 SAS1．如图，∠1=∠2，若用“SAS”证明△ACB≌△BDA，还需要加上条件（）A．AD=BC B．BD=AC C．∠D=∠C D．OA=OB2．不能判定△ABC≌△A′B′C′的条件是（）A．AB=A′B′，BC=B′C′，∠B=∠B′B．∠B=135°，∠C′=135°，AB=B′C′，BC=C′A′C．AB=BC=CA，A′B′=B′C′=C′A′，∠A=∠A′D．AB=A′B′，AC=A′C′，∠A=∠A′=135°3．如图，点D在AB上，点E在AC上，且AD=AE，AB=AC，•若∠B=•20•°，•则∠C=_____．4．如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：AF=DE．◆当堂检测一．必做题5．如图，∠1=∠2，BC=EF，那么需要补充一个直接条件________（•写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF．(第5题) (第6题) (第7题)6．如图，已知AB=AE，AC=AD，只要找出∠____=∠_____或∠____=∠____，就可证得△_____≌△______．7．如图，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2，则∠B=_____，图中有____对三角形全等，请写出来_______．8．如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，点C在BD上，AB=CD，BC=ED，则∠ACE=_______．9．如图，已知AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，须补充的条件是（）A．∠B=∠C B．∠D=∠E C．∠1=∠2 D．∠CAD=∠DAC10．如图，已知AD是△ABC的中线，在AD及其延长线上截取DE=DF，•连结CE，BF。
求证：BF∥CE．11．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD，•求证：AB=CD．12．已知：如图，AE=CF，AD∥BC，AD=CB，求证：△ADF≌△CBE．二．选做题13．（变式题）如图（1），A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，DE∥AF，且DE=AF．•由上题结论可知：△AFC≌△DEB．探究：如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图（2），（3）时，•其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择其中一个图形予以证明；如果不成立，•请说明理由．。
13.2三角形全等的判定(SAS)练习
例1
已知：如图， AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD △ ABD 和△ CBD 全等吗？
A
分析: △ ABD ≌△ CBD
边: AB=CB(已知) (SAS)
B
D
角: ∠ABD= ∠CBD(已知) 边:
C
？
现在例1的已知条件不改变,而问题改 变成:
问AD=CD，BD平分∠ADC吗？
例题 推广
C
D
BC=EF
E
F
如图AC与BD相交于点O，已知 OA=OC，OB=OD，说明 △AOB≌△COD的理由。
A
B
O
D C
解：在△AOB和△COD中 ∵ OA=OC（已知） ∠AOB=∠COD(对顶角） OB=OD(已知) ∴ △AOB≌△COD(SAS)
例1
已知：如图,AB=CB,∠1=∠2 ,
△ABD 和△CBD 全等吗？为什么? A
2.如图，已知AB＝AC，AD＝AE。
求证：△ABD≌△ACE 证明：在△ABD和△ACE中 E AB＝AC（已知） B A＝A（公共角） AD＝AE（已知） A ∴△ABD≌△ACE（SAS）
DE B A
D
C A
C
已知:如图，AB=AC,AD=AE. 求证: △ABE≌△ACD 证明：在△ABE和△ACD中∵ AB=AC（已知）
证明的书写步骤：
1.准备条件：证全等时要用的条件 要先证好； 2.三角形全等书写三步骤： ①写出在哪两个三角形中 ②摆出三个条件(注意:按定理 名称的顺序书写) ③写出全等结论
巩 固 练 习
若∠BAD= ∠CAD,则添加什么条件 可使ΔABD≌ΔACD?
A
ΔABD≌ΔACD S A S
三角形全等的判定(SAS)
40 DC B A《三角形全等的判定（SAS）》课时作业设计一、填空题．1．如图4，若AO=DO，只需补充________就可以根据SAS判定△AOB≌△DOC．(4) (5) (6)2．如图5，已知AB=BD，则需要添加条件________，就可以根据SSS判定△ABC•≌△DBC．二、选择题．3．如图6，AB=CD，AD=BC，则图中全等的三角形有（）．A．4对 B．3对 C．2对 D．1对4．如图7，已知△ABC中，BA=BC，BD⊥AC于D，若∠C=40°，则∠ABE为（）． (7)A．40° B．50° C．80° D．140°三、证明题．5．如图8，点A，B，C，D在同一条直线上，EC=FD，AE=BF，AB=CD，你能证明AE∥BF，•CE ∥DF吗？写出推理过程．6．如图9，已知AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，你能证明出∠B=∠C吗？与同伴交流．四、探索题．7．如图10，已知∠1=∠2，BA=BD，无论动点P在BC上如何移动，都能得到PA=PD，•你能说出这是为什么吗？动手试一试．五、聚焦中考．8．如图11，在正方形ABCD 中，E 是AD 中点，F 是BA 延长线上一点，AF=12AB ． （1）求证：△ABE ≌△ADF ．（2）阅读下面材料：如图12，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置． 如图13，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图14，以点A 为中心，把△ABC 旋轴180°，可以变到△AED 的位置．(11) (12) (13) (14)像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动，翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．（3）回答下列问题：①在图11中，可以通过平行移动，翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE•变到△ADF 的位置？②指出图11中线段BE 与DF 之间的关系．。
三角形全等的判定(SAS)
C
F
A 40° B
D 40° E
结论：两边及其一边的对角对应相等，
两个三角形不一定全等（SSA不一定全等）.
典型例题
例2 如图， AB=CB ，∠ABD= ∠CBD ，
求证：△ABD≌△CBD
变式1： 求证AD=CD 变式2：求证∠ADB=∠CDB
隐含条件：公共边 A
B
D
证明线段或角相等
C
证明线段或角所在的
C
边角边
A
B A′
边边角
A
C B A′
C′ B′
C′ B′
探究一
1、画△ABC，使AB=8cm，AC=3cm，夹角∠A=60°
2、把画好的三角形剪下,并与同桌的比一比,
你有什么发现?
C
3、由此可得到什么结论?
作法：1、画∠A=60°；
A
B
2、在射线AD上截取AB=8cm，
射线AE上截取AC=3cm，
知识回顾
1、判定两个三角形全等至少需要几三个个条条件件？
2、三角形全等的判定1：三边对应相等的两个三 角形全等，简写为“边边边”或“SSS”
在△ABC和△DEF中，
A
AB DE
B
C
EF
\
≡
A C D F
B
〃 CE
△ABC≌△DEF（SSS）
D
\
≡
〃F
12.2三角形全等的判定（2）
如果已知两个三角形的两条边及一个角对应相等， 那么有几种可能的情况呢？
AC=DF， AC∥DF,请探索BC与EF有什么位置关
系？
F
A
E
B
D
C
课堂小结:
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全等三角形的判定（SAS）
一、常用的知识点
1、全等三角形的性质：
2、等腰直角三角形的性质：
两锐角互余，相等，且等于︒
45。
3、等边三角形的性质：
三条边相等，三个角相等并且等于︒
60。
4、任意三角形三边的关系：
另外两边之差的绝对值<第三边<另外两边之和
5、三角形的内角和定理：
三角形的内角和等于︒
180。
6、关于三角形的外角的推论：
三角形的外角等于其不相邻两内角和。
7、关于公共角公共边的问题
①（公共角问题）若CAE
=
∠ ? 为什么？
BAC∠
BAD∠
=
∠,则EAD
②(公共边问题)若AF
BF= ? 为什么？
DC=，则AC
例题展示
1、（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．
2、（2016•同安区一模）如图所示，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：△ABC≌△DEC．
3、（2016秋•宜兴市校级月考）已知，如图，BC上有两点D、E，且BD=CE，AD=AE，∠1=∠2，AB和AC相等吗？为什么？
4、（2015秋•江都市期中）已知：如图，A、F、C、D四点在一直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE，
求证：△ABC≌△DEF．
5、（2015秋•泊头市校级月考）如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：△ABD≌△ACE．
6、（2014•常州）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．
求证：△ACD≌△CBE
7、（2014•漳州）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）
8、（2014•黄冈模拟）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．求证：△ABC≌△CDE．
9、（2014•房县三模）如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．
求证：△ACD≌△BCE
10、（2013秋•合浦县期末）如图，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．求证：△AEF≌△BCD．
11、（2014春•工业园区期末）已知：如图，BC∥EF，AD=BE，BC=EF，试说明△ABC≌△DEF．
12、（2013•云南）如图，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（只能添加一个）．
（1）你添加的条件是．
（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由
13、（2012秋•台州期中）如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．
（1）求证：△ABD≌△GCA；
（2）请你确定△ADG的形状，并证明你的结论．
14、（2012秋•富顺县校级月考）如图1，A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，DE∥AF，且DE=AF，求证：△AFC≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，3时，其余条件不变，结论是否成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
15、（2009•吉林）如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=AE，AB平分∠DAE交DE 于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明。
16、（2006•泰安）（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；
（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC 与BD间的等量关系式为；∠APB的大小为；。