人教版初中数学课标版九年级上册第二十四章221圆的有关性质共22张
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人教版初中数学课标版九年级上册第二十四章22.1圆的有关性质说课稿
人教版九年级上册第24章第1节《弧、弦、圆心角》说课稿各位老师：我今天说课的课题是人教版九年级上册第24章第1节《弧、弦、圆心角》。
接下来，我将从教材，学情，教法，学法，教学过程五个方面来说课。
教材分析1.地位与作用本节课是在学习了旋转，圆的有关知识和垂径定理的基础上进行的。
整节课是以圆的旋转不变性为主线。
通过感性认识到理性认识的转化，展开对弧、弦、圆心角之间关系的研究的。
是对圆的性质的进一步学习。
它将为证明线段相等、角相等提供重要依据，将为今后学习圆的有关内容打下基础，在本章中起着承上启下的重要作用。
2.教学目标知识与技能：1.理解圆的旋转不变性和圆心角的概念.2.掌握弧、弦、圆心角关系定理及推论并能解决有关问题.过程与方法：1.培养学生观察、分析、归纳的能力.2.向学生渗透旋转变换思想及由特殊到一般的认识规律.情感与态度：通过引导学生对图形的观察，激发学生探究，发现数学问题的兴趣和欲望.3.教学重难点重点: 掌握弧、弦、圆心角关系定理及推论并能解决相关问题.难点: 利用圆的旋转不变性推导弧、弦、圆心角关系定理及推论.弧、弦、圆心角的关系定理的灵活运用.学情分析九年级学生已初步具备数学分析、解决问题的能力，但学生对圆的旋转不变性不甚了解，所以在探讨弧、弦、圆心角之间的相等关系时可能感到困难。
学生尽管逻辑思维能力很强，但对于圆的认识还很浅肤，对圆的相关概念很少接触，故而在掌握知识的深度和灵活性方面还有欠缺。
本节课引导学生积极参与探究活动，充分理解圆的旋转不变性，同时通过变式训练，让学生能够灵活应用定理来解决问题。
教法分析本节课采取观察，猜想，证明，归纳的教学模式。
采用引导发现，探究证明的教学方法。
学法分析本节课采取动手操作，猜想验证，归纳总结，反思拓展的学习方法。
接下来，重点说一说本节课的教学过程。
教学过程一.创设情境导入新课导语：古希腊数学家这样描述圆：在一切平面图形中，圆是最美的！我们知道圆是轴对称图形，并由圆的轴对称性得到了垂径定理及推论。
人教版初中数学九年级上册第24章知识复习第一部分圆的有关概念和性质
在上图中，
D
若∠COD=∠AOB,则 CD=AB，CD=AB ；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB，.
CAD=ACB.
(二)圆的有关性质 3、垂径定理：
•
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。 推论：①平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦，
(二)圆的有关性质 Q
A•
O•
•B
P
C
4、②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的 一半；相等的圆周角所对的弧相等。
如图:∠BOC=2∠BAC=2∠BPC=2∠BQC.
(二)圆的有关性质
PQ
O •
D
A C
B
如图:若AB=CD， 则∠AOB=∠COD=2∠APB=2∠CQD.
反之，若∠APB=∠CQD，则AB=CD.
【及时巩固】
d P
P
d
O
•
r
d
P
1、设⊙O的半径为r，点P到圆心的而距离为d，
则 ①点P在⊙O上 d = r；
②点P在⊙O内 d＜ r；
③点P在⊙O外 d ＞r.
【及时巩固】
2、“经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆. 外接圆的圆心叫做三角形的外心(即三角形三边 中垂线的交点),这个三角形叫圆的内接三角形.” 先分别作出锐角三角形、钝角三角形、直角三 角形的外接圆，再观察图形，填空：
并且平分弦所对的弧； ②平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；...
(二)圆的有关性质
•
垂径定理及推论可归纳为： 一条直线若具有“①经过圆心； ②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的 优弧；⑤平分弦所对的劣弧”这五个性质 中的两个,这条直线就具有其余三个性质. 注意：①③组合有限制.
人教版九年级数学上册 24.1.圆的有关性质 课件
归纳：圆心为O、半径为r的圆可以 看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合．
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定 的一个端点O旋转一周，另一个端点A所 形成的图形叫做圆．
z x xk
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成 是所有到定点O的距离等于定长r 的点组 成的图形．
同心圆
等圆
圆心相同，半径不同
DC E
(×)
(√)
注意：定理中的两个条件
（直径，垂直于弦）缺一不可！
DC
O D
A
(√)
2.如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足
是C，则下列结论中错误的D是（ ）
A.A⌒N=⌒BN B. AC=BC
M
C.A⌒M=⌒BM D.OC=CN
O
C
A
B
N
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，（1）求⊙O的半径． 变式训练：
(2) 若弦AB长为8cm， ⊙O半径为5cm，求圆心O到AB距离 （3）若圆心O到AB距离为3cm，⊙O半径为5cm求弦AB长
解： 作 OE⊥AB，连接OA
A
E
B
OE AB
AE 1 AB 1 8 4
O·
22
在Rt△ABC中 AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
“我国圆古人”很早指对
“圆周” 圆就有这样的认 识了，战国时的 《墨经》就有 “圆，一中同长 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径．
提问：根据圆的定义，”圆“指的是”圆周 “还是”圆面“？
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
动态：在一个平面内，线段OA绕它固定 的一个端点O旋转一周，另一个端点A所 形成的图形叫做圆．
z x xk
静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成 是所有到定点O的距离等于定长r 的点组 成的图形．
同心圆
等圆
圆心相同，半径不同
DC E
(×)
(√)
注意：定理中的两个条件
（直径，垂直于弦）缺一不可！
DC
O D
A
(√)
2.如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足
是C，则下列结论中错误的D是（ ）
A.A⌒N=⌒BN B. AC=BC
M
C.A⌒M=⌒BM D.OC=CN
O
C
A
B
N
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，（1）求⊙O的半径． 变式训练：
(2) 若弦AB长为8cm， ⊙O半径为5cm，求圆心O到AB距离 （3）若圆心O到AB距离为3cm，⊙O半径为5cm求弦AB长
解： 作 OE⊥AB，连接OA
A
E
B
OE AB
AE 1 AB 1 8 4
O·
22
在Rt△ABC中 AO2 OE2 AE2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
“我国圆古人”很早指对
“圆周” 圆就有这样的认 识了，战国时的 《墨经》就有 “圆，一中同长 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径．
提问：根据圆的定义，”圆“指的是”圆周 “还是”圆面“？
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长 （半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
人教版初中数学课标版九年级上册第二十四章24.1 圆的有关性质(共22张PPT)
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
圆心角 ∠AOB与∠ A'OB'
A' B
O
A
B'
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。20 21/8/10 2021/8/10Tues day , August 10, 2021
•
12、要记住，你不仅是教课的教师，10202 1/8/102 021/8/1 0Tuesd ay , August 10, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/10202 1/8/102 021/8/1 02021/8 /108/10 /2021
B
A
·
等对等定理
同样在，同还圆可以或得等到圆：中，两个圆心角、两条 弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应 的在其同余圆各或组等圆量中也，相如等果．两条弧相等，那么它
们所对的圆心角_____， 所对的弦________；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他 们所对的圆心角______，所对的弧 _________．
A.AB>CD B.AB = CD C. AB < CD D. AB =2
CD
2、下列结论正确的是（ ） • 长度相等的两条弧是等弧 B. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 等弧所对的圆心角相等
3、在半径为3的圆中，弦长为3的弦所对的 圆心角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年8月 10日星 期二20 21/8/10 2021/8/102021 /8/10
人教版初中数学课标版九年级上册第二十四章22.1圆的有关性质(共25张PPT)
论从哪个角 度看，它都具有同一形状 。十五的圆月更是象征着 圆满、团圆。
古代人最早就是从太阳，阴历十五的月亮 得到圆的概念的．
生活中的圆
你还能想到哪些生活中的圆？
观察课本79页图24.1-1
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 12:42:52 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/122021/8/122021/8/12Aug-2112-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/122021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021
A、1 B、2 C、3 D、4
六．归纳小结
（1）通过今天的学习，你有哪些收获？
（2）你是否明确圆的两种定义和相关概念？
同心圆，等圆； 弦，直径，弧，半圆， 优弧，劣弧，等弧。
七．布置作业
教科书第 81 页 练习 第 1，2 题．
. (3) PQ是直径吗?_不__是___; G O
FB
(4)线段EF、GH 是弦吗？__不__是___.
AH
C
K
Q
四．与圆有关的概念
圆弧上．任以意A、两B点为间端的点部的分弧叫记做作圆弧A⌒B，，简读称作“圆 弧AB”或“弧AB”．
古代人最早就是从太阳，阴历十五的月亮 得到圆的概念的．
生活中的圆
你还能想到哪些生活中的圆？
观察课本79页图24.1-1
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/122021/8/122021/8/128/12/2021 12:42:52 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/122021/8/122021/8/12Aug-2112-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/122021/8/122021/8/12Thursday, August 12, 2021
A、1 B、2 C、3 D、4
六．归纳小结
（1）通过今天的学习，你有哪些收获？
（2）你是否明确圆的两种定义和相关概念？
同心圆，等圆； 弦，直径，弧，半圆， 优弧，劣弧，等弧。
七．布置作业
教科书第 81 页 练习 第 1，2 题．
. (3) PQ是直径吗?_不__是___; G O
FB
(4)线段EF、GH 是弦吗？__不__是___.
AH
C
K
Q
四．与圆有关的概念
圆弧上．任以意A、两B点为间端的点部的分弧叫记做作圆弧A⌒B，，简读称作“圆 弧AB”或“弧AB”．
九年级数学上册第24章圆24.1圆的有关性质24.1.1圆(听课)课件(新版)新人教版
24.1.1 圆
总结反思
知识点一 圆的定义
1．如图24－1－3，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个
端点O旋转一周，另一个_____端_点______A所形成的图形叫做圆，
记作⊙O，读作“圆O”．其固定的端点O叫做___圆__心___，线段
OA叫做___半__径___．
2．圆可以看成是到一个定点(圆心)
图 24－1－1
24.1.1 圆
解：如图，连接 OB.
∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝OB， ∴∠A＝∠1. 又∵OB＝OE，∴∠E＝∠2＝∠1＋∠A＝2∠A， ∴∠DOE＝∠E＋∠A＝3∠A. 而∠DOE＝78°，∴3∠A＝78°，∴∠A＝26°.
24.1.1 圆
【归纳总结】求与圆有关的边或角时，作半径构造等腰三角形是 常用的方法．
24.1.1 圆
又∵OA＝OB，∴△OAB 是等腰直角三角形， ∴∠OAB＝45°， ∴∠BAC＝∠OAB＋∠OAC＝45°＋60°＝105°.
以上解答完整吗？若不完整，请进行补充． 图 24－1－4
24.1.1 圆
解：不完整．补充如下： 若点 B，C 在直线 OA 的异侧，则∠BAC＝∠OAB＋∠OAC＝45°＋60°＝105°；
24.1.1 圆
【归纳总结】圆中容易混淆的“两组概念”： 1．弦与直径： (1)直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径； (2)弦是连接圆上任意两点的线段，而直径是经过圆心的弦． 2．弧与半圆： (1)半圆是弧，但弧不一定是半圆； (2)圆上任意两点分圆成两条弧，圆的任意一条直径的两个端点把 圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
24.1.1 圆
目标二 能利用圆的定义证明几个点共圆
例3 教材例1针对训练 将矩形改为如图24－1－2所示的四边形
人教版九年级数学上第24章圆24.1圆的有关性质弧、弦、圆心角讲义
合作探究探究点1 圆的定义情景激疑在准备好的一张纸上以点〇为圆心、3 cm为半径画一个圆，观察画图过程.由此你会得出什么结论？知识讲解定义1:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的圆形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫倣半径.以O点为圆心的圆，记作O,读作“圆O〞.定义2：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的间隔等于定长r的点的集合.注意〔1)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.(2) 确定一个圆首先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.(3) 定点是圆心，定长是半径.(4) “圆〞指的是“圆周〞，而不是“圆平面〞.典例剖析例1 以下说法错误的有 ( )(1) 经过P点的圆有无数个；(2) 以P点为圆心的圆有无数个；(3) 半径为3cm且经过P点的圆有无数个。
(4) 以P点为圆心、3cm为半径的圆有无数个.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析确定一个圆必须满足两个条件，即圆心和半径，只满足一个条件或不满足任何一个条件的圆都有无数个，故(1)(2)正确，(3)虽然半径,但P点不是圆心，实际上也只是一个条件，能作无数个圆，故(3)正确;(4)满足两个条件，只能作一个圆，所以(4)错误.综上所述，错误的说法有1个，应选A答案 A错因分析导致此题错误的主要原因是对于确定一个圆的两个要素(圆心和半径)理解不够准确。
类题打破1 以O点为圆心画圆，可以画______ 个圆;以4 cm为半径画圆.可以面_____个圆.答案无数无数点拨确定圆的条件:一是圆心，二是半径.探究点2 与圆有关的概念知识讲解连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的局部AB.读作“圆弧AB〞或“弧AB〞，圆的任意一条直径的两个端点把图分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
注意 (1)弦和弧是有区别的，弦是线段，而弧是曲线。
(2)直径是圆中最长的弦，而弦不都是直径。
九年级数学上册(人教版)第二十四章《圆》课件
(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所 对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相 等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相 等,所对的圆心角相等.
O A 2023/1/4
︵ ︵ D ∵ ∠COD =∠AOB ∴ AB = CD C ∴AB=CD
．r
O
S = nπr2
360
2023/1/4
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
2023/1/4
5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
2023/1/4
a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
A
2023/1/4
构成等腰解疑难； 灵活应用才方便。
2023/1/4
典型例题:
1.如图, ⊙O的直径AB=12,以OA为直径的 ⊙O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的 切线交OC于点E,交AB于F.
C
DE A O1 O F B
(1)说明D是AC的中点.
(2)猜想DF与OC的位 置关系,并说明理由. (3)若DF=4,求OF的长.
． (3)弦心距
O
2023/1/4
二. 圆的基本性质 1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
2023/1/4
2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
O A 2023/1/4
︵ ︵ D ∵ ∠COD =∠AOB ∴ AB = CD C ∴AB=CD
．r
O
S = nπr2
360
2023/1/4
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
2023/1/4
5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
2023/1/4
a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
A
2023/1/4
构成等腰解疑难； 灵活应用才方便。
2023/1/4
典型例题:
1.如图, ⊙O的直径AB=12,以OA为直径的 ⊙O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的 切线交OC于点E,交AB于F.
C
DE A O1 O F B
(1)说明D是AC的中点.
(2)猜想DF与OC的位 置关系,并说明理由. (3)若DF=4,求OF的长.
． (3)弦心距
O
2023/1/4
二. 圆的基本性质 1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
2023/1/4
2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
弧、弦、圆心角课件(共22张PPT)人教版数学九年级上册
(2)证明:∵OA=OC,∠AOC=30°,∴∠ACE=75°,
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
= ,
⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
=
= ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
= ,
∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）
人教版初中数学2011课标版九年级上册第二十四章24.1 圆的有关性质(共25张PPT)
图 24-1-7
1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径 ） 的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧． 2.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅助线．圆心到弦的距离、半 径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角 三角形的问题．
CD为直径 条件
ACDE⊥=BAEB
D
CD⊥AB
结论
⌒⌒
AC ⌒
=
B⌒C
AD = BD
C
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
B
E
A
B
D
C
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1 C
O E
D
B
D
图3 A E O
B
C
O
图2 A
E
B
A C
E 图4 B
O
D
1．如图，在⊙O中，弦 AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离OE为3cm，求⊙O的 A
又∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
C
E
∟
·O
∟
A
D
B
Thank you for your attention.
C
的圆心为O，半径为R.
A
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，⌒与AB
交于点C，则D是AB的中点⌒，C是AB的中点，
D
B
CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m 有计算，勾股来帮忙
∴ AD=1/2 AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23
1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径 ） 的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧． 2.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅助线．圆心到弦的距离、半 径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角 三角形的问题．
CD为直径 条件
ACDE⊥=BAEB
D
CD⊥AB
结论
⌒⌒
AC ⌒
=
B⌒C
AD = BD
C
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
B
E
A
B
D
C
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1 C
O E
D
B
D
图3 A E O
B
C
O
图2 A
E
B
A C
E 图4 B
O
D
1．如图，在⊙O中，弦 AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离OE为3cm，求⊙O的 A
又∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
C
E
∟
·O
∟
A
D
B
Thank you for your attention.
C
的圆心为O，半径为R.
A
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，⌒与AB
交于点C，则D是AB的中点⌒，C是AB的中点，
D
B
CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m 有计算，勾股来帮忙
∴ AD=1/2 AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23
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AD⊥ BC于D， 弦BF交AD于
E，弧AB等于弧AF . 求证： AE=BE .
G
?4、已知，四边形ABCD内接于⊙O， AH⊥BD于H，∠CAD=2∠BAH
?（1）、判断△ACD的形状，并说明理由 直?（2）、求证：BD－BC=2BH
击 中?（求3A）H的、长若度∠BAD=60°A，BC=7，CD=8，
角
C
C
A 40°
?B
A
O
D
E
55° O ?
A
B
?B O
65°
D
C
. 2.如图，AB是⊙O直径，C，D，
E都是⊙O上的点，则 ∠1+∠2=______
3.如图，AB是⊙O的直径，弦DC
与AB相交于点E，
若∠ACD=60°，∠ADC=50°，
则∠ABD=
，∠CEB= .
C
A
EB O
D
实践活动
4.一个圆形人工湖如图，弦AB是湖上的一座桥， 已知桥AB长100 m，测得圆周角∠ACB＝45°， 则这个人工湖的直径AD为_____
考?
B
H
D
练习
.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少
种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
·
B
方法四
O
11．布置作业
（1）如下图左，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，∠ABD =30°，则 ∠BCD 的度数为多少？
（ （2）如下图右，在⊙O 中，AB 为直径，直线 l 与⊙O 交于点 C、D，BE⊥l 于点 E，连接 BD、BC． 求证：∠CBE =∠ABD．
圆周角定理及推论
回顾与思考
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
C2
半圆（或直径）所对的圆周 C1
C3
角是直角 ; 90°的圆周角所对的弦是直径． A
·O
B
再回首
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
C2
C3
C1
A O
B
小试牛刀：1.求下列带“？”的
A
连接AD.
∵ AB是⊙O的直径，
O
∴ ∠ADB＝90°，
CD B
即 AD⊥BC. 又∵ AC＝AB，
∴ BD＝CD.
8.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
A B
●O C
E
方法小结：
? 在解圆的有关问题时，常常需要添加辅 助线，构成直径上的圆周角，以便利用直 径上的圆周角是直角的性质。
5.如图，AB是⊙O的直径，CD是 ⊙O的弦，AB=6, ∠DCB=30°，
求弦BD的长。
6.如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于E，∠ACD=30°，
AE=2cm．求DB长．
7.:如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长
BD到C，使AC＝AB. BD与CD的大小有什么关系？
为什么？
解：BD＝CD. 理由是：
D C
A
B
O
A O B
D
CE l
测一测 1、如图，以△ABC的BC边为直径的半 圆交AB于D，交AC于E，过E作EF⊥BC， 垂足为F，且BF：FC＝5：1，AB＝8， AE＝2，求EC的长。
分析：连接BE，得AC BE
则BE2=AB2－AE2=60
由射影定理可知 BE2=BF·BC 即 5 BC2=60 BC2=72
9．应用
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm， 弦 AC 为 6 cm，? ACB 的平分线交⊙O 于点 D， 求 BC，AD，BD 的长．
COAB来自D10.迁移训练
三．课堂小结
半圆（或直径）所对的圆周 角是直角 ;
90°的圆周角所对的弦是直径．
? 在解圆的有关问题时，常常需要添加辅 助线，构成直径上的圆周角，以便利用直 径上的圆周角是直角的性质。
6
CE2=BC2－BE2=12
? 2：如图，在⊙O的内接 ⊿ABC中，AB+AC=12， AD⊥ BC于D，且AD=3， 设⊙O的半径为y，AB的 长为x .
(1) 用x的代数式表示y；
(2) 当AB的长等于多少时， ⊙O的面积最大？
并求出⊙O的最大面积 .
? 3： 如图，已知 BC 为⊙O的直径，
E，弧AB等于弧AF . 求证： AE=BE .
G
?4、已知，四边形ABCD内接于⊙O， AH⊥BD于H，∠CAD=2∠BAH
?（1）、判断△ACD的形状，并说明理由 直?（2）、求证：BD－BC=2BH
击 中?（求3A）H的、长若度∠BAD=60°A，BC=7，CD=8，
角
C
C
A 40°
?B
A
O
D
E
55° O ?
A
B
?B O
65°
D
C
. 2.如图，AB是⊙O直径，C，D，
E都是⊙O上的点，则 ∠1+∠2=______
3.如图，AB是⊙O的直径，弦DC
与AB相交于点E，
若∠ACD=60°，∠ADC=50°，
则∠ABD=
，∠CEB= .
C
A
EB O
D
实践活动
4.一个圆形人工湖如图，弦AB是湖上的一座桥， 已知桥AB长100 m，测得圆周角∠ACB＝45°， 则这个人工湖的直径AD为_____
考?
B
H
D
练习
.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少
种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
·
B
方法四
O
11．布置作业
（1）如下图左，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，∠ABD =30°，则 ∠BCD 的度数为多少？
（ （2）如下图右，在⊙O 中，AB 为直径，直线 l 与⊙O 交于点 C、D，BE⊥l 于点 E，连接 BD、BC． 求证：∠CBE =∠ABD．
圆周角定理及推论
回顾与思考
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周 角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
C2
半圆（或直径）所对的圆周 C1
C3
角是直角 ; 90°的圆周角所对的弦是直径． A
·O
B
再回首
半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90°的圆周角所对的弦是直径.
C2
C3
C1
A O
B
小试牛刀：1.求下列带“？”的
A
连接AD.
∵ AB是⊙O的直径，
O
∴ ∠ADB＝90°，
CD B
即 AD⊥BC. 又∵ AC＝AB，
∴ BD＝CD.
8.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
A B
●O C
E
方法小结：
? 在解圆的有关问题时，常常需要添加辅 助线，构成直径上的圆周角，以便利用直 径上的圆周角是直角的性质。
5.如图，AB是⊙O的直径，CD是 ⊙O的弦，AB=6, ∠DCB=30°，
求弦BD的长。
6.如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于E，∠ACD=30°，
AE=2cm．求DB长．
7.:如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长
BD到C，使AC＝AB. BD与CD的大小有什么关系？
为什么？
解：BD＝CD. 理由是：
D C
A
B
O
A O B
D
CE l
测一测 1、如图，以△ABC的BC边为直径的半 圆交AB于D，交AC于E，过E作EF⊥BC， 垂足为F，且BF：FC＝5：1，AB＝8， AE＝2，求EC的长。
分析：连接BE，得AC BE
则BE2=AB2－AE2=60
由射影定理可知 BE2=BF·BC 即 5 BC2=60 BC2=72
9．应用
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm， 弦 AC 为 6 cm，? ACB 的平分线交⊙O 于点 D， 求 BC，AD，BD 的长．
COAB来自D10.迁移训练
三．课堂小结
半圆（或直径）所对的圆周 角是直角 ;
90°的圆周角所对的弦是直径．
? 在解圆的有关问题时，常常需要添加辅 助线，构成直径上的圆周角，以便利用直 径上的圆周角是直角的性质。
6
CE2=BC2－BE2=12
? 2：如图，在⊙O的内接 ⊿ABC中，AB+AC=12， AD⊥ BC于D，且AD=3， 设⊙O的半径为y，AB的 长为x .
(1) 用x的代数式表示y；
(2) 当AB的长等于多少时， ⊙O的面积最大？
并求出⊙O的最大面积 .
? 3： 如图，已知 BC 为⊙O的直径，