导数应用举例word版
(完整word版)导数及其应用(1)
强化提升一 导数及其应用层次一：导数的概念、意义及简单应用突破点(一) 导数的运算八个公式+三个法则+复合函数求导[例1] (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ；(2)y ＝ln xx ；(3)y ＝tan x ；(4)y ＝3x e x －2x ＋e ；(5)y ＝ln (2x ＋3)x 2＋1. [方法技巧]00A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e(2)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 017)＋2 017ln x ，则f ′(1)＝________.[解析] (1)由题意可知f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ·1x ＝2 018＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 018，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 017)＋2 017x ， 所以f ′(2 017)＝2 017＋2f ′(2 017)＋2 0172 017， 即f ′(2 017)＝－(2 017＋1)＝－2 018. 故f ′(1)＝1＋2×(－2 018)＋2 017＝－2 018. [答案] (1)B (2)－2 018[方法技巧]对抽象函数求导的解题策略在求导问题中，常涉及一类解析式中含有导数值的函数，即解析式类似为f (x )＝f ′(x 0)x ＋sin x ＋ln x (x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，[例1]已知函数f(x)＝x3－(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[解](1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.[方法技巧][例2]设曲线y＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．[解析] y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，则曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线斜率k 1＝e 0＝1.y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，设P (m ，n )，则曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．[答案] (1,1)[例3] 直线y ＝kx ＋1b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2[解析] 依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ×1＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ×1＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.[答案] C[方法技巧]根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解． 层次二：函数的单调性、极值最值突破点(一) 利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调区间[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x .(1)当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； (3)当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减，在 1－a2a，＋∞上单调递增．[方法技巧][例2]已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，求函数f(x)的单调区间．[解]对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x，知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.所以f(x)＝x4＋54x－ln x－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5，因x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．所以函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，单调递减区间为(0,5)．[方法技巧]用导数求函数单调区间的三种类型及方法(1)当不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0及方程f′(x)＝0均不可解时求导并化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．突破点(二)利用导数解决函数单调性的应用问题利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：(1)已知函数的单调性求参数范围问题：此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．(1)可导函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0(或f ′(x )<0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max >0(或f ′(x )min <0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 上含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．[例1] 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求a 的取值范围； (3)若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值．[解] (1)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]．(2)因为f (x )在区间(－1,1)上为减函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x ＜1，所以3x 2＜3，所以a ≥3.即a 的取值范围为[3，＋∞)．(3)因为f (x )＝x 3－ax －1，所以f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)． 因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)， 所以3a3＝1，即a ＝3. 应用结论“函数f (x )在(a ，b )上单调递增⇔f ′(x )≥0恒成立；函数f (x )在(a ，b )上单调递减⇔f ′(x )≤0恒成立”时，切记检验等号成立时导数是否在(a ，b )上恒为0. [易错提醒][例2] (1)若0<x 1<x 2A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1>x 1e x 2 D ．x 2e x 1<x 1e x 2(2)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．[解析] (1)构造函数f (x )＝e x－ln x ，则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x －1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此f (x )＝e x －ln x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A ，B 错；构造函数g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，故函数g (x )＝e xx 在(0,1)上单调递减，故g (x 1)>g (x 2)，即e x 1x 1>e x 2x 2，则x 2e x 1>x 1e x 2，故选C. (2)设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． [答案] (1)C (2)(－∞，－1)∪(1，＋∞)[方法技巧]利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．突破点(三) 利用导数解决函数的极值问题根据函数图象判断函数极值的情况[例1] 设函数象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)[解析] 由图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．[答案] D [方法技巧]知图判断函数极值情况的策略知图判断函数极值情况的思路是：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x 轴交点的横坐标为函数的极值点．求函数的极值[例2] (2017·桂林、崇左联考)设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a ln x .(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处切线的斜率； (2)求函数f (x )的极值．[解] (1)由已知x >0.当a ＝2时，f ′(x )＝x －3＋2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处切线的斜率为f ′(3)＝23.(2)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x ＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x .由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a .①若0<a <1，当x ∈(0，a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ∴当x ＝a 时，f (x )取极大值f (a )＝－12a 2－a ＋a ln a ，当x ＝1时，f (x )取极小值f (1)＝－a －12.②若a >1，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝－a －12；当x ＝a 时，f (x )取极小值f (a )＝－12a 2－a ＋a ln a .③当a ＝1时，x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，f (x )没有极值． 综上，当0<a <1时，f (x )的极大值为－12a 2－a ＋a ln a ，极小值为－a －12；当a >1时，f (x )的极大值为－a －12，极小值为－12a 2－a ＋a ln a ；当a ＝1时，f (x )没有极值． [方法技巧][例3] (1)(2017·a 的取值范围是( )A ．(－∞，0) B.⎝⎛⎭⎫0，12C ．(0,1) D ．(0，＋∞)(2)(2017·太原五中检测)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a 的值为________． [解析] (1)∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，由函数f (x )有两个极值点，可知f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx 2，∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0， 而g (x )max ＝g (1)＝1，∴只需0＜2a ＜1，即0＜a ＜12.(2)由题意得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，因为在x ＝1处，f (x )有极值10， 所以f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， 解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3，当a ＝－3，b ＝3时，在x ＝1处，f (x )无极值，不符合题意； 当a ＝4，b ＝－11时，符合题意，所以a ＝4. [答案] (1)B (2)4 [方法技巧]已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．突破点(四) 利用导数解决函数的最值问题[例1] 已知函数f (x )＝(x (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．[解] (1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )(2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1； 当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1； 当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. [方法技巧]利用导数求函数最值的规律求函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值时：(1)若函数在区间[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间[a ，b ]上有极值，要先求出[a ，b ]上的极值，与f (a )，f (b )比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．[例2] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4.所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.[方法技巧]解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值． 1．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2) 解析：选C 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x＝(x －2)(2x －1)x >0，解得0<x <12或x >2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12，(2，＋∞)． 2．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[]1，4上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，518 B.(]－∞，3C.⎣⎡⎭⎫518，＋∞ D.[)3，＋∞解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[]1，4上单调递减，则有f ′(x )≤0在[]1，4上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上恒成立，因为y ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在[]1，4上单调递增，所以t ≥32⎝⎛⎭⎫4＋14＝518，故选C.3.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．[3，＋∞)C ．[－2,3] D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <12时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)． 4．(2017·甘肃诊断考试)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析：选C 因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)<f (0)＝a ，所以c <a <b ，故选C.5．若函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f (x )在下列区间上单调递增的是( ) A ．(－2,0) B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 由题意知，f ′(x )＝1－b x 2，∵函数f (x )＝x ＋bx (b ∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－bx 2＝0时，b ＝x 2，又x ∈(1,2)，∴b ∈(1,4)．令f ′(x )＞0，解得x ＜－b 或x ＞b ，即f (x )的单调递增区间为(－∞，－b )，(b ，＋∞)，∵b ∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.6．已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有f ′(x )＋f (x )x >0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当a >b 时，有( )A ．af (a )<bf (b ) B ．af (a )>bf (b )C ．af (b )>bf (a ) D ．af (b )<bf (a )解析：选B 由f ′(x )＋f (x )x >0得xf ′(x )＋f (x )x >0，即[xf (x )]′x >0，即[xf (x )]′x >0.∵x >0，∴[xf (x )]′>0，即函数y ＝xf (x )为增函数，由a ，b ∈(0，＋∞)且a >b ，得af (a )>bf (b )，故选B.二、填空题7．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )<0，得－2<x <0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)8．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83，∴2a ≥83，即a ≥43. 答案：⎣⎡⎭⎫43，＋∞ 9．已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)·f ′(x )>0的解集为________．解析：由题图可知，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)∪(－∞，－1)，f ′(x )<0，x ∈(－1，1)，不等式(x 2－2x －3)f ′(x )>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )>0，x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x 2－2x －3<0，解得x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)∪(－1,1)10．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 三、解答题11．已知函数f (x )＝x －2x ＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：此时f ⎭⎪⎫∞上单调递增．12．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a (1－x )x . 当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)； 当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′(t )＜0，g ′(3)＞0.g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0对任意t ∈[1,2]恒成立，由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0，即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9；由g ′(3)＞0，得m ＞－373. 所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－373，－9.。
导数的应用举例
求下列函数的导数: (1)y=(2x2+3)(3x-2); (2)y=x2sinx+2cosx; (3)y=( x+1)( 1 -1). x
解: (1)y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2) =4x(3x-2)+(2x2+3)3 =18x2-8x+9. 法2 y=(6x3-4x2+9x-6) =18x2-8x+9. (2)y=(x2sinx)+(2cosx) =(x2)sinx+x2(sinx)+2(cosx) =2xsinx+x2cosx-2sinx.
典型例题 5
典型例题 6
1-ax 已知 a>0, 函数 f(x)= x , x(0, +∞), 设 0<x1< 2 . 记曲线 a y=f(x) 在点 M(x1, f(x1)) 处的切线为 l. (1)求 l 的方程; (2)设 l 与 x 1 1 1 轴的交点为 (x2, 0), 证明: ① 0<x2≤ a ; ②若 x1< a , 则 x1<x2< a . 1 1 (1)解: f(x)=( x -a)=(x-1) =-x-2=- x2 . 1 (x-x )+ 1-ax1 . ∴切线 l 的方程为 y=- x 2 1 x
∵f(0)=2a, ∴b=2a. ∴f(x)=x3-(a+1)x2+(a-2)x+2a =x2(x-a)-x(x-a)-2(x-a) =(x-a)(x2-x-2)
=(x+1)(x-2)(x-a)
令 (x+1)(x-2)(x-a)<0, 由于 a≥2, 则 当 a=2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1); 当 a>2 时, 不等式 f(x)<0 的解集为(-∞, -1)∪(2, a).
导数应用举例
§2—6 导数应用举例我们知道，函数()x f y =的导数()x f '的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率，因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。
在()x f y =具有不同的实际意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。
一、 导数在物理上的应用举例 （一） 导数的力学意义设物体作变速运动的方程为()t s s =，则物体运动的速度()t v 是位移()t s s =对时间t 的变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数()()dtdst s t v ='=；此时，若速度v 仍是时间t 的函数()t v ，我们可以求速度v 对时间t 的导数()t v '，用a 表示，就是()().22dtsd t s t v a =''='=在力学中，a 称为物体的加速度，也就是说，物体运动的加速度a 是位移s 对时间t 的二阶导数。
例1某物体的运动方程为()22310212秒米取g gt t s -=，求2=t 秒时的速度和加速度。
解： 根据导数的力学意义，得()()()()()()()().141024242,420242242,12,62秒米米=-=-==-=-=-=''=-='=g a g v g t t s t a gt t t s t v（二）导数学意义设通过某导体截面的电量q 是()t q q =，则通过该导体的电流()t I 是电量()t q q =对时间t 的变化率（单位时间内通过的电量），即电量的一阶导数()().dtdqt q t I ='= 例2设通过某导体截面的电量()ϕω+=t A q sin （库仑），其中ϕω,,A 为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流().t I解： 因为()ϕω+=t A q sin ，所以()()()[]()ϕωωϕω+='+='=t A t A t q t I cos sin （安培）。
导数及其应用(压轴题) Word版含解析
2.4导数及其应用(压轴题)命题角度1利用导数研究函数的单调性高考真题体验·对方向1.(2016北京·18)设函数f(x)=x e a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.2.(2016四川·21)设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).新题演练提能·刷高分1.(2018北京海淀模拟)已知函数f(x)=x3+x2+ax+1.(1)若曲线y=f(x)在点(0,1)处切线的斜率为-3,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[-2,a]上单调递增,求a的取值范围.2.(2018江西师大附中模拟)已知函数f(x)=(2-m)ln x++2mx.(1)当f'(1)=0时,求实数m的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.3.(2018山东烟台期末)已知函数f(x)=ln x+-x+1-a(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若存在x>1,使f(x)+x<成立,求整数a的最小值.4.(2018重庆二诊)已知函数f(x)=-1e x+(x>0,a∈R).(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减,求a的取值范围;(2)当a∈(-3,-e)时,判断关于x的方程f(x)=2的解的个数.命题角度2函数的单调性与极值、最值的综合应用高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·21)已知函数f(x)=-x+a ln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a-2.2.(2017北京·19)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.3.(2017全国Ⅱ·21)已知函数f(x)=ax2-ax-x ln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2<f(x0)<2-2.4.(2017山东·20)已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=e x(cos x-sin x+2x-2),其中e≈2.718 28…是自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.5.(2016全国Ⅱ·21)(1)讨论函数f(x)=e x的单调性,并证明当x>0时,(x-2)e x+x+2>0;(2)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.新题演练提能·刷高分1.(2018湖北重点高中协作体联考)已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的极值点;(2)设g(x)=xf(x)-ax2+(a>0),若g(x)的最大值大于-1,求a的取值范围.2.(2018河南中原名校质量考评)已知函数f(x)=e x-x2+ax.(1)当a>-1时,试判断函数f(x)的单调性;(2)若a<1-e,求证:函数f(x)在[1,+∞)上的最小值小于.3.(2018安徽合肥第二次质检)已知函数f(x)=(x-1)e x-ax2(e是自然对数的底数).(1)判断函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(2)若∀x∈R,f(x)+e x≥x3+x,求a的取值范围.4.(2018山东青岛一模)已知函数f(x)=a e2x-a e x-x e x(a≥0,e=2.718…,e为自然对数的底数),若f(x)≥0对于x∈R恒成立.(1)求实数a的值;(2)证明:f(x)存在唯一极大值点x0,且≤f(x0)<.命题角度3利用导数研究函数的零点或方程的根高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·21)已知函数f(x)=e x-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.2.(2017全国Ⅱ·21)已知函数f(x)=a e2x+(a-2)e x-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.3.(2015全国Ⅰ·21)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-ln x.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.新题演练提能·刷高分1.(2018湖北黄冈等八市联考)已知函数f(x)=e x,g(x)=.(1)设函数F(x)=f(x)+g(x),试讨论函数F(x)零点的个数;(2)若a=-2,x>0,求证:f(x)·g(x)>.2.(2018广东深圳第二次调研)设函数f(x)=e x-1-a ln x,其中e为自然对数的底数.(1)若a=1,求f(x)的单调区间;(2)若0≤a≤e,求证:f(x)无零点.3.(2018山东济南一模)已知函数f(x)=a ln x-x2+(2a-1)x(a∈R)有两个不同的零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2>2a.命题角度4导数与不等式高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.2.(2016全国Ⅲ·21)设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)·(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f'(x);(2)求A;(3)证明:|f'(x)|≤2A.新题演练提能·刷高分1.(2018河北唐山二模)设f(x)=,g(x)=a x+x a.(1)证明:f(x)在(0,1)上单调递减;(2)若0<a<x<1,证明:g(x)>1.2.(2018河南郑州第二次质量检测)已知函数f(x)=e x-x2.(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(2)求证:当x>0时,≥ln x+1.3.(2018山西太原二模)已知函数f(x)=m ln x-e-x(m≠0).(1)若函数f(x)是单调函数,求实数m的取值范围;(2)证明:对于任意的正实数a,b,当a>b时,都有e1-a-e1-b>1-.4.(2018河北石家庄一模)已知函数f(x)=(x+b)(e x-a)(b>0)在(-1,f(-1))处的切线方程为(e-1)x+e y+e-1=0.(1)求a,b;(2)若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2,且x1<x2,证明:x2-x1≤1+.命题角度5恒成立与存在性问题高考真题体验·对方向(2017全国Ⅲ·21)已知函数f(x)=x-1-a ln x.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,1+1+…1+<m,求m的最小值.新题演练提能·刷高分1.(2018江西南昌一模)已知函数f(x)=ln(ax)+bx在点(1,f(1))处的切线方程是y=0.(1)求函数f(x)的极值;(2)当≥f(x)+x(m<0)恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数).2.(2018河北唐山一模)已知函数f(x)=e x-1,g(x)=ln x+a.(1)设F(x)=xf(x),求F(x)的最小值;(2)证明:当a<1时,总存在两条直线与曲线y=f(x)与y=g(x)都相切.3.(2018河北衡水中学模拟)已知函数f(x)=.(1)确定函数f(x)在定义域上的单调性;若f(x)≤k e x在(1,+∞)上恒成立,求实数k的取值范围.4.(2018山东潍坊一模)函数f(x)=e x sin x,g(x)=(x+1)cos x-e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)对∀x1∈0,,∃x2∈0,,使f(x1)+g(x2)≥m成立,求实数m的取值范围;(3)设h(x)=·f(x)-n·sin 2x在0,上有唯一零点,求正实数n的取值范围.。
(word完整版)高中数学导数及其应用
高中数学导数及其应用、知识网络二、高考考点1导数定义的认知与应用；2、求导公式与运算法则的运用；3、导数的几何意义；4、导数在研究函数单调性上的应用；5、导数在寻求函数的极值或最值的应用;6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点（一）导数1导数的概念（1导数的定义（I）设函数」」■在点厂及其附近有定义，当自变量x在匸处有增量厶x （△ x可正可负），则函数y相应地有增量■' '■ -，L■' ■ ■■，这两个增量的比/（jr0+，叫做函数'■/ : ''：|在点门到」二'这间的平均变化率。
如果Ay-时，丄.有极限，则说函数在点;巾处可导，并把这个极限叫做了（力在点■:处的导数（或变化率），记作'■I'-，即血mAx am Ax。
（H）如果函数匚在开区间（「）内每一点都可导，则说■''"-在开区间（「）内可导，此时，对于开区间）内每一个确定的值“，都对应着一个确定的导数「’ ' ，这样在开区间（■•'）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做■'-在开区间（「’）内的导函数（简称导数），记作■''-或『，即y = ^）=血空=陥f显垃-f①姑Ax AJt-jft Ax 。
认知：（I）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数匚在点匸处的导数广（必）是一个数值；在点心处的导数广（心）是‘⑴的导函数广〔Q当工=可时的函数值。
（H）求函数- ■'在点’I 处的导数的三部曲：①求函数的增量-';Ay只奄（心）②求平均变化率一lim —=③求极限'■"亠上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。
（2）导数的几何意义：函数丿J 在点。
处的导数，是曲线1在点处的切线的斜率。
（3）函数的可导与连续的关系函数的可导与连续既有联系又有区别：（I）若函数- ■'在点厂处可导，则在点匸处连续；若函数；■在开区间（“’）内可导9丿-在开区间（-'）内连续（可导一定连续）。
导数的几何意义（切线问题）（可编辑修改word版）
导数的⼏何意义（切线问题）（可编辑修改word版）导数的⼏何意义——切线问题解题模板：计算切线⽅程三部曲1.写出切点坐标(x0 , f (x0))；注意：若切点已知，直接表⽰，切点未知，设参表⽰2.计算切线斜率f '(x0)；3.计算切线⽅程为y -f (x0 )=f '(x0 )(x -x0 ).例. （2016 新课标 2）若直线y =kx +b 是曲线y = ln x + 2 的切线，也是曲线y = ln(x +1) 的切线，则b =．练习：1.（2019 新课标1）曲线y = 3(x2+x)e x在点(0, 0) 处的切线⽅程为.2.（2019 新课标2）曲线y = 2 s in x + cos x 在点(, -1) 处的切线⽅程为( )A. x -y --1 = 0B. 2x -y - 2-1 =0C. 2x +y - 2+1 = 0D. x +y -+1 = 03．（2015 陕西）设曲线y=e x在点（0,1）处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂x直，则P 的坐标为．4．(2018 全国卷Ⅲ)曲线y = (ax +1)e x在点(0,1) 处的切线的斜率为-2 ，则a =．5．（2014 新课标Ⅰ）设曲线y =ax - ln(x +1) 在点(0, 0) 处的切线⽅程为y = 2x ，则a = （）A．0 B．1 C．2 D．36（2014 江苏）．在平⾯直⾓坐标系xoy 中，若曲线y =ax2+b（a, b 为常数）过点P(2, -5) x，且该曲线在点P 处的切线与直线7x + 2 y + 3 = 0 平⾏，则a +b =.涉及复合函数f (ax +b)的导函数问题1.（2016 北京）设函数f (x) =xe a -x +bx ，曲线y = f (x) 在点(2, f (2)) 处的切线⽅程为y = (e -1)x + 4 ，a = , b =2．（2014 ⼴东）曲线y =e-5x+ 2 在点(0,3) 处的切线⽅程为．3.（2014 江西）若曲线y=e-x上点P 处的切线平⾏于直线2x+y+1=0,则点P 的坐标是.4. （2009 安徽）已知函数f (x) 在 R 上满⾜f (x) = 2 f (2 -x) -x2+ 8x - 8 ，则曲线y =f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线⽅程是( )（A）y = 2x -1 （B）y =x （C）y = 3x - 2 （D）y =-2x + 3与函数奇偶性结合考查1．(2018 全国卷Ⅰ)设函数f (x) =x3+ (a -1)x2+ax ，若f (x) 为奇函数，则曲线y =f (x)在点(0, 0) 处的切线⽅程为（）A.y =-2xB.y =-xC.y = 2xD.y =x2．(2016 年全国Ⅲ) 已知f (x) 为偶函数，当x < 0 时，f (x) = ln(-x) + 3x ，则曲线y =f (x) ，在点(1, -3) 处的切线⽅程是．与最值问题（基本不等式）结合考查41．（2010 辽宁）已知点P 在曲线y= 上，为曲线在点P 处的切线的倾斜⾓，则的e x+1取值范围是（）33A．[0, ) B．[ , ) C．( , ] D．[ ,)4 4 2 2 4 4在点P 处切线与过点P 处切线区别求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者（切点确定）只有⼀条，⽽后者（切点待定）包括了前者．1. 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线⽅程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线⽅程．。
利用导数解决含参的问题(word版含答案和详细解析)
利用导数解决含参的问题(word版含答案和详细解析)高考理科复专题练利用导数解决含参的问题考纲要求：1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次），会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
命题规律：利用导数探求参数的范围问题每年必考，有时出现在大题，有时出现在小题中，变化比较多。
不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理。
这也是2018年考试的热点问题。
高考题讲解及变式：利用单调性求参数的范围例1.【2016全国1卷（文）】若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增，则a的取值范围是（）。
A。
[-1,1]B。
(-1,1)C。
(-∞,-1]∪[1,+∞)D。
(-∞,-1)∪(1,+∞)答案】C解析】因为f(x)在(-∞,+∞)上单调递增，所以f'(x)>0.将f(x)代入f'(x)得f'(x)=1-2sinx+acosx。
要使f'(x)>0，即要使1-2sinx+acosx>0.因为-1≤sinx≤1，所以1-2sinx≥-1.所以acosx>-1，即a>-1/cosx。
因为cosx=1时，a不等于-1；cosx=-1时，a不等于1.所以a∈(-∞,-1]∪[1,+∞)，选C。
变式1.【2018XXX高三实验班第一次月考（理）】若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上为单调函数，则k的取值范围是_______。
答案】k≥1或k≤-1解析】在区间(1,+∞)上，f'(x)=k-1/x。
应用导数求解实际问题的例子
应用导数求解实际问题的例子以下是一些应用导数求解实际问题的例子：1. 假设一张长方形的长为x，宽为y，且其周长为20个单位长度。
求该长方形的最大面积。
解析：题目要求我们求最大面积，这意味着需要优化函数A=xy，其中x和y都是长度单位。
由于周长为20个单位长度，可以写出等式2(x+y)=20，即x+y=10。
这个等式可以用来解出一个变量，例如，y=10-x。
现在我们可以将y代入面积函数中，从而得到A=x(10-x)=10x-x^2。
此时，我们需要求导并令导数等于零，以便找到函数的极值点。
求导后得到A' = 10 - 2x，令A'等于零，可以求得x=5，这是A的最大值点。
将x=5代入原函数，得到A=25，因此该长方形的最大面积为25平方单位长度。
2. 假设你正在绕椭圆形的操场跑步，其中长轴为6个单位长度，短轴为4个单位长度。
你的速度是每秒8个单位长度，且沿椭圆形跑道以正方向移动。
在点(2,0)处你的方向是多少度？解析：该问题需要我们求解椭圆形上的切线，因此需要将椭圆的参数方程与速度向量表示为函数，然后取导数。
对于该椭圆形，参数方程为x=3cos(t)，y=2sin(t)，其中t是参数。
速度向量可以表示为v=<dx/dt, dy/dt>，即v=<-3sin(t), 2cos(t)>。
现在，在点(2,0)处，即当t=0时，我们可以求出速度向量的大小为2sqrt(5)个单位长度。
椭圆形上的切线的斜率为dy/dx，可以通过求解dy/dt和dx/dt的比率来得到。
因此，dy/dx=dy/dt/dx/dt= (2cos(t)) / (-3sin(t))。
将t=0代入该公式，可以求得dy/dx=-2sqrt(5)/3。
最后，用反正切函数找到与这个斜率相对应的角度，这个角度就是切线的方向角。
因此，切线的方向角为arctan(-2sqrt(5)/3)≈-68.2度。
由于题目中要求以正方向为基础，因此角度为360-68.2≈291.8度。
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§2—6 导数应用举例我们知道，函数()x f y =的导数()x f '的一般意义，就是表示函数对自变量的变化率，因此，很多非均匀变化的变化率问题都可以应用导数来研究。
在()x f y =具有不同的实际意义时，作为变化率的导数就具有不同的实际意义。
一、 导数在物理上的应用举例 （一） 导数的力学意义设物体作变速运动的方程为()t s s =，则物体运动的速度()t v 是位移()t s s =对时间t 的变化率，即位移s 对时间t 的一阶导数()()dtdst s t v ='=；此时，若速度v 仍是时间t 的函数()t v ，我们可以求速度v 对时间t 的导数()t v '，用a 表示，就是()().22dtsd t s t v a =''='=在力学中，a 称为物体的加速度，也就是说，物体运动的加速度a 是位移s 对时间t 的二阶导数。
例1某物体的运动方程为()22310212秒米取g gt t s -=，求2=t 秒时的速度和加速度。
解： 根据导数的力学意义，得()()()()()()()().141024242,420242242,12,62秒米秒米=-=-==-=-=-=''=-='=g a g v g t t s t a gt t t s t v（二）导数的电学意义设通过某导体截面的电量q 是()t q q =，则通过该导体的电流()t I 是电量()t q q =对时间t 的变化率（单位时间内通过的电量），即电量的一阶导数()().dtdqt q t I ='= 例2设通过某导体截面的电量()ϕω+=t A q sin （库仑），其中ϕω,,A 为常数，时间t 的单位为秒，求通过该截面的电流().t I解： 因为()ϕω+=t A q sin ，所以()()()[]()ϕωωϕω+='+='=t A t A t q t I cos sin （安培）。
二、 导数在经济工作中的应用举例（一） 边际的概念经济学上把“某某”经济函数()x f y =的导数()x f '，称为函数()x f 在x 处的“边际某某”，即称()x f '为函数()x f 的边际函数，称()0x f '为函数()x f 在点0x x =处的边际函数值。
它反映了函数()x f 在点0x x =处的变化速度。
一般地，“某某”经济函数()x f y =，则“边际某某”就记作()().,000x x x x dxdyx f My dxdyx f My ==='=='=它表示经济函数()x f y =在点0x 处，当经济量x 改变一个单位时，()x f 近似地改变()0x f '个单位。
设成本C 是产量x 的函数()x C C =，则边际成本();dxdC x C MC ='= 设产量P 是某种投入资源x 的函数()x P P =，则边际产量();dxdP x P MP ='= 设总收入R 是产量x 的函数()x R R =，则边际收入();dx dR x R MR ='= 设总利润L 是产量x 的函数()x L L =，则边际利润().dxdLx L ML ='=例3 某种产品的总成本C （万元）是产量x （万件）的函数（称为总成本函数）()3202.04.06100x x x x C +-+= （万元），试问当生产水平为10=x （万件）时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？ 解：当生产水平为10=x （万件）时，总成本()1401002.0104.010*******2=⨯+⨯-⨯+=C （万元），这时每个单位产品的平均成本为()()件元14101401010==C ， 而 ()206.08.06x x x C +-='， 所以生产水平10=x （万件）时的边际成本为()().41006.0108.06102件元=⨯+⨯-='=C MC由于边际成本是生产水平为10=x （万件）时成本的瞬时变化率，可以近似地看作在这个水平上再增加一个单位产品，总成本增加的数量，它低于平均成本14()件元，所以从降低单位成本的角度看，还应该继续提高产量。
例4某公司总利润L （元）与每天产量x （吨）的关系为(),52502x x x L L -==试确定每天生产20吨、25吨和35吨时的边际利润，并予以经济解释。
解： 因为 (),10250x x L ML -='=(),502002502020=-='==L ML x (),025025025=-='==x L ML x ().1003502503535-=-='==L ML x上述结果表明，当日产量为20吨时，再多生产1吨，总利润约增加50元；当日产量为25吨时，再多生产产品，则利润不再增加，且开始减少；当日产量为35吨时，再多生产1吨，则利润约减少100元。
（二） 弹性的概念例如，甲商品每单位价格5元，涨价1元；乙商品每单位价格200元，也涨价1元，两种商品价格的绝对改变量都是1元，哪个商品的涨价幅度更大呢？我们只要用它们与其原价相比就能获得问题的解答。
甲商品涨价百分比为20%，乙商品涨价百分比为0.5%,显然甲商品的涨价幅度比乙商品的涨价幅度更大.为此,我们有必要研究函数的相对改变量与相对变化率. 例5设函数2x y =,当x 从8增加到10时,相应的y 从64增加到100,即自变量x 的绝对改变量,2=∆x 函数y绝对改变量.36=∆y 又%,25.566436%,2582==∆==∆y y x x 即当8=x 增加到10=x 时, x 增加了25%,y 相应增加了56.25%,我们分别称yyx x ∆∆和为自变量与函数的相对改变量.如果在本例中,再引入下式,25.2%25%25.56==∆∆xx y y则该式表示在(8,10)内,从8=x 到10=x 时,函数2x y =的平均相对变化率.因此我们有如下定义:定义 设函数()x f y =在x 处可导,函数的相对改变量()()()x f x f x x f y y -∆+=∆与自变量的相对改变量xx ∆之比xx y y∆∆称为()x f 从x 到x x ∆+两点间的弹性.当0→∆x 时,x x y y ∆∆的极限称为在x 处的弹性,记作.lim ,0y x y x x y yEx Ey Ex Ey x ⋅'=∆∆=→∆即由于Ex Ey 也为x 的函数,故也称它为()x f 的弹性函数.ExEy 反映了随着x 的变化,函数()x f y =变化幅度的大小,也就是函数()x f y =对自变量x 的变化反映的灵敏度,即ExEy表示在点x 处,当x 产生1%的改变时,函数()x f y =近似地改变%ExEy . 例6求幂函数αx y =(α为常数)的弹性函数.解: ().,11ααααααα=⋅=⋅'=='='--xxx y x y Ex Ey xxy 可见,幂函数的弹性恒为常数,等于幂指数α,即在任意点处的弹性不变.设某产品的需求量为价格P 的函数()P f Q =,通常当产品的价格上涨时,需求量就会减少,而当产品的价格下降时,需求量就会增加.根据函数弹性的定义可得,需求量Q 对价格P的 弹性.QPQ EP EQ ⋅'=需求量Q 对价格P 的弹性的经济意义是:当价格为P 时,若价格上涨(或下降)1%,需求量Q 将减少(或增加)%EPEQ. 例7设某商品的需求函数为Q=60-3P,求P=10,P=15时,需求量Q 对价格P 的弹性,并解释其含义.解: 因为 ,3-='Q 所以,203603-=--='=P PP P Q P Q EP EQ 当P=10时,,1201010-=-=EP EQ 当P=15时,,3201515-=-=EP EQ这表明,当价格P=10时,若涨价(或降价)1%,则需求量将减少(或增加)1%;当价格P=15时,若涨价(或降价)1%,则需求量将减少(或增加)3%. 练习2—6 1. 下列说法是否正确?(1) 一汽车在刹车后t 秒所行的距离()2630t t t s -=(米),则刹车开始时的速度为秒米30=v ,当5=t 秒时的加速度为212秒米=a .(2) 生产某种产品x 个单位成本函数为(),05.02002x x C +=则生产90个单位产品时,再多生产一个单位产品,成本将增加9个单位.(3) 设某种商品的总收益R 是商品价格P 和销售量Q 乘积,如果销售量Q 是价格P 的函数()212PP Q Q -==,则当价格P=6元时,价格每上涨1%,总收益将随之增加0.67%. 2. 已知一物体的运动规律为()224124-+=t t t s (米),求1=t 秒时速度和加速度.3. 某企业利润函数()25250x x x L -=(单位:千元),x 为日产量(单位:吨),求每日生产20吨25吨、35吨时的边际利润.4. 某种产品的销售量Q 与价格P 之间的关系为P P Q -=1,求销售价格P=21时的弹性系数. 习题2—61. 设质点作直线运动,其运动规律给定如下,求质点在指定时刻的速度与加速度: (1);2,233=+-=t t t s (2)3costA s π= (A 为常数), 1=t .2. 设通过某导体截面的电量为()ϕω+=t A q cos (库仑),其中ϕω,,A 为常数,时间t 的单位为秒,求通过该截面的电流()t I .3. 某产品生产x 个单位的总成本C 为x 的函数()2012.01000x x C C +==(元).求生产1000件产品时的边际成本,并说明其经济意义. 4. 某企业产品的成本函数和收入函数分别为()(),201350,51200300022x x x R x x x C +=++=其中x 为产品的产量,求边际成本、边际收入和边际利润.(提示:利润函数()()()x C x R x L -=)5. 设某商品需求量Q 对价格P 的函数关系是()PP f Q ⎪⎭⎫⎝⎛==411600,试求需求量Q 对价格P的弹性. 6. 生产函数Bx y 41=,其中y 是产出量,x 是投入量. (1) 证明B 就是生产函数的弹性ExEy; (2) 当B=16,41=x 个单位时的平均产量和边际产量各是多少?（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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