《运筹学教程》第五版第五章图与网络分析
《运筹学教程》胡云权-第五版-运筹学复习
x6
10
[2]
-5
1
0
-1
1
5
3M+2
3-4M
2M-5
0
-M
0
-z
-M
x4
2
0
[7/2 ]
1/2
1
1/2
-1/2
4/7
2
x1
5
1
-5/2
1/2
0
-1/2
1/2
-
0
7M/2+8
M/2-6
0
M/2+1
-3M/2-1
-z
3
x2
4/7
0
1
1/7
2/7
1/7
-1/7
2
x1
45/7
1
0
6/7
5/7
-1/7
1/7
✓ 右端项非负
解的重要概念
可行解（或可行点）：满足所有约束条件的向量 x ( x1 , x 2 , x n )
可行域：所有的可行解的全体
D { x Ax b, x 0}
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体
称为最优解集合
O {x D c x c y, y D }
0
x3
0
x4
0
x5
9
4
3
4
5
[ 10 ]
1
0
0
0
1
0
0
0
1
90
40
30
7
12
0
0
0
1
90
bi
360
运筹学胡运权第五版课件
V5 12 7
5
4
3
2
0
1 3
1
0 4
3
4 0
v7 ∞ 10 10 8
⑶ 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达 的最短距离矩阵 D（2）= dij（2） 其中 dij（2）= min { dir（1）+ drj（1）}
r
i
dir
（1）
r
drj（1）
j
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
• • •
悬挂边 孤立点 偶点 奇点
悬挂点的关联边，如 e8 次为0的点 次为偶数的点，如 v2 次为奇数的点, 如 v5
5、链：图中保持关联关系的点和边的交替序列，其 中点可重复，但边不能重复。 路：点不能重复的链。 圈：起点和终点重合的链。 回路：起点和终点重合的路。 连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。 完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。 n(n 1) 2 n阶完全图用Kn表示，边数= C n
狄克斯屈拉算法
既可以求两点之间的最短 距离，又可以确定最短路
求某两点之间的最短距离
（0）= V2 D
5
2
∞ ∞ ∞ ∞
5
0
∞ 2
7 0 2 7
7
6
∞ ∞
∞ ∞ 2
V3 2
∞ 0
∞ 4
V4 ∞ 2
V5 ∞ 7
∞ 6
0
1
1
0 6
3
6 0
V6 ∞ ∞ 4
v7 ∞ ∞ ∞ ∞ 3
注意：D(0)是一个对称矩阵，且对角线上的元素全是0.
⑵ 构造任意两点间直接到达、或者最多经过1 个中间点到达的最短距离矩阵D（1）= dij（1） 其中
运筹学第五版韩伯棠课件
运筹学第五版韩伯棠课件简介本文档是关于《运筹学第五版韩伯棠课件》的介绍和总结。
运筹学是一门涉及决策、优化、模型和算法的学科，广泛应用于管理科学、工程学、经济学和许多其他领域。
韩伯棠教授是运筹学领域的著名学者，他的教材被广泛应用于全球的大学和研究机构。
内容概述《运筹学第五版韩伯棠课件》是一套配套教材，以图表、示例和详细的解释来介绍运筹学的基本概念和方法。
该课件包括了包括线性规划、整数规划、动态规划、网络优化、排队论和库存管理等主题。
它的目的是帮助学生深入理解运筹学的原理和应用，以及掌握建模和解决实际问题的技巧。
线性规划线性规划是运筹学中最常用的方法之一，用于解决线性约束下的优化问题。
该课件详细介绍了线性规划的基本原理、标准形式和求解方法，包括单纯形法、对偶性和灵敏度分析等内容。
它通过具体的案例和图表，帮助学生理解线性规划模型的建立和求解过程。
整数规划在许多实际问题中，决策变量需要取整数值，这就引入了整数规划。
课程介绍了整数规划的概念、特点和应用领域。
它讨论了整数规划的可行性和最优性条件，以及常用的解法方法，如分枝定界法和割平面法。
课件还提供了许多整数规划问题的案例和练习，帮助学生掌握解决这类问题的技巧。
动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法。
课件介绍了动态规划的基本思想、递推关系和最优性条件。
它阐述了动态规划在资源分配、项目管理和生产计划等领域的应用。
课件通过实例和算法描述，帮助学生理解和应用动态规划方法。
网络优化网络优化是研究网络结构中最优路径和流量分配的问题。
课件详细介绍了网络优化的基本概念、模型和算法。
它涵盖了最小生成树、最短路径、最大流、最小费用流等内容。
课件通过图表和实例解释，帮助学生理解网络优化的原理和解决方法。
排队论和库存管理排队论和库存管理是运筹学中重要的应用领域。
课件讨论了排队论中的排队模型、性能指标和排队论模型的求解方法。
它还介绍了库存管理中的经典模型和策略，如EOQ模型、安全库存和订货点控制等。
管理运筹学 图与网络分析PPT教案
v1
2
A
4
v6
3
7
3
v2
5
v5
5
6
2
4
5
v3 2 v4
7
v7
第27页/共83页
支撑树的权：如果T=(V,E)是G的一个支撑树，则称E中所 有边的权之和为支撑树T的权，记为w(T)。即
w(T )
wij
[vi ,v j ]T
v1
2
A
4
v6
3
7
3
v2
5
v5
5
6
2
4
5
v3 2 v4
7
v7
上例中支撑树的权为 3+7+5+2+2+3+4=26
第34页/共83页
v1
2
A
4
v6
3
7
3
v2
5
v5
5
6
2
4
5
v3 2 v4
7
v7
第35页/共83页
课堂练习：1.分别用三种方法求下图的最小支撑树
v2
7
v5
5
2
3
4
v1
4
5
v4 3
1
1
v7
7
4
v3
v6
第36页/共83页
2. 某农场的水稻田用堤埂分割成很多小块。为了 用水灌溉，需要挖开一些堤埂。问最少挖开多少条 堤埂，才能使水浇灌到每小块稻田？
水源
第37页/共83页
作业 P221： 第3题
第38页/共83页
§3 最短路问题
1. 问题的提出 2. 最短路问题的Dijkstra算法 3. 求任意两点之间最短距离的矩阵算法
运筹学教程》胡云权第五版第五章图与网络分析
1S
2
3
3K
B2
2 F 2 26 J
D
H
最小支撑树问题
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各用 户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需的 费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计一 个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
A
E
I
2 C
2 G4
5
1S
2
3
3K
B2
2 2F2
图的基本概念
3、顶点的次
定义5：以点v为端点的边数叫点v的次 （degree），记作deg(v)或d(v)。
图5-1中，d(v1)＝４，d(v3)=5，d(v5)=1。 次为奇数的点称作奇点，次为偶数的点称作偶点， 次为0的点称作孤立点。 次为1的点称作悬挂点，连接悬挂点的边为悬挂边。 图的次：各点的次之和。 有向图中顶点的次？
(G1)
(G) (G3)
(G2) (G4)
最小支撑树问题
图的支撑树的应用举例 【例】 某地新建5处居民点，拟修道 路连接5处，经勘测其道路可铺成如 图所示。为使5处居民点都有道路相 连，问至少要铺几条路？
【解】 该问题实为求图的支撑 树问题，共需铺4条路。 v2
v1
5
v2
3.5 4
5.5
3 v5
2
最小支撑树问题
案例分析：默登公司的联网问题
默登（Modern）公司的管理层决定铺设最先进的光纤 网络，为它的主要中心之间提供高速通信。图1中的节点显 示了该公司主要中心的分布图。虚线是铺设光缆可能的位置。 每条虚线旁边的数字表示成本（单位：百万美元）。
问：需要铺设哪些光缆使得总成本最低？
B
运筹学胡运权第五版课件
单击此处添加副标题
汇报人：
目录
添加目录项标题 运筹学基础知识 整数规划 图论与网络优化
课件概览 线性规划 动态规划
01
添加章节标题
02
课件概览
课件简介
课程名称：运筹学胡运权第五版课件 课程内容：包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标：帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点：理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题：在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题：在流网络中寻找最大流
最小费用流问题：在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题：评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法：如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法：Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化：通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化：通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化：通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化：通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
感谢观看
汇报人：
课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面：涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰：按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富：提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富：提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
卫生管理运筹学第五章 图与网络分析(1-5)
活动
开始时间 x 结束时间
工作量
目前进度
甘特图的例子
验收与评价 实施 设计
分析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
1
2
3
4
5
6
(一) 网络计划技术的发展
对于工作步骤相关、关系复杂的工程项目管 理，发展了关键路径法（CPM） 、计划评审技术 （ PERT ）。 1957年，杜邦公司将关键路径法应用于设备维 修，使维修停工时间由125小时锐减为7小时； 1958年，在北极星导弹设计中，应用计划评审 技术，将项目任务之间的关系模型化，使设计完 成时间缩短了2年。
一、概述 (一) 网络计划技术的发展
1. 基础来源于图论
2. 前身是甘特图 3. 50－60年代在美国取得成效
4. 62年前苏联列入国民经济计划中
5. 1962年进入我国
(一) 网络计划技术的发展
甘特图（Gantt Chart） 1. 2. 3. 4. 对各项活动进行计划调度与控制 简单、醒目、便于编制 横向表示时间，纵向表示活动 各种图形符号
（1 ） 工
序
紧前工序——紧接在某工序之前的工序，如图5-16中 的d、c是f的紧前工序。 紧后工序——紧接在某工序之后的工序。如图5-16中 的e、d均是a的紧后工序。 平行工序——可以同时开始进行的各工序。如图5-16 中的e和d是平行工序（a和b）。 2 2 1 a b 3 3 d 2 c 5 e 3 4 5 2 g 1 6
统筹法功能
完成工程需做哪些工序，各工序需多长时间
完成？总工期预计多长时间？ 完成工程的各工序采用什么样的逻辑顺序关
管理运筹学(第五版)网络计划
管理运筹学（第五版）网络计划网络计划是管理运筹学的重要工具之一，可以帮助企业和组织进行有效的项目管理和资源分配。
本文将介绍《管理运筹学（第五版）》中关于网络计划的内容，并探讨其在实际应用中的意义和方法。
一、网络计划的基本概念网络计划是一种将项目的各项任务按照时间顺序和逻辑顺序进行排列的方法。
它以节点和活动为基本单位，通过绘制活动之间的关系及其所需时间，形成一个完整的项目进度图。
网络计划的主要目标是优化项目的执行时间，并保证资源的有效利用。
《管理运筹学（第五版）》中详细介绍了网络计划的基本概念，如关键路径、活动的紧前关系及紧后关系等。
读者可以通过学习这些知识，了解网络计划在项目管理中的作用和应用。
二、网络计划的意义和作用网络计划在项目管理中具有重要的意义和作用。
首先，它可以帮助项目经理合理安排项目的进度和资源，有效提高项目的执行效率。
通过明确各项任务的依赖关系和完成时间，可以避免任务的冲突和延误，提前制定应对方案。
其次，网络计划可以帮助项目团队进行项目风险的评估和控制。
通过识别关键路径和风险节点，可以提前预测潜在的风险和问题，并采取相应的风险应对措施，降低项目风险。
另外，网络计划还可以帮助项目团队进行资源的优化配置。
通过分析各个活动所需的资源和时间，可以合理安排资源的使用顺序和资源的配备，最大程度地提高资源利用率，降低资源浪费。
三、网络计划的方法和步骤网络计划的制定主要包括以下几个步骤。
首先，确定项目的目标和任务，明确项目的需求和要求。
其次，识别项目中各项任务的依赖关系和完成时间，绘制项目进度图。
在绘制进度图的过程中，可以使用PERT或CPM方法来评估任务完成时间和风险。
接下来，确定关键路径和关键活动。
关键路径是指项目中耗时最长的路径，决定了整个项目的最短完成时间。
关键活动是指在关键路径上的活动，对整个项目的进度起决定性作用。
通过识别关键路径和关键活动，可以针对性地进行进度和风险管理。
最后，进行资源分配和优化配置。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
支撑树
最小支撑树
【例】今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
E
I
A 3.5
2
C
2
4
G
5
1S
25
4
5
3
3KLeabharlann B22 F 2 26 J
D
H
最小支撑树问题
G的支撑树，又称生成树、部分树。
(G1)
(G2)
(G)
(G3)
(G4)
最小支撑树问题
图的支撑树的应用举例 【例】 某地新建5处居民点，拟修道 路连接5处，经勘测其道路可铺成如 图所示。为使5处居民点都有道路相 连，问至少要铺几条路？
【解】 该问题实为求图的支撑
树问题，共需铺4条路。 v2
v1
5
v2
1、树 连通且无圈的无向图 判断下面图形哪个是树：
(A)
(B)
(C)
树的性质： 1、树中任两点中有且仅有一条链；
2、树任删去一边则不连通，故树是使图保持连通且具有最 少边数的一种图形。
3、边数 = 顶点数 – 1。
最小支撑树问题
2、图的支撑树
若一个图 G =（V , E）的支撑子
图 T=（V , E´） 构成树，则称 T 为
定义2：无环、无多重边的图称作简单图。
含有多重边的图为多重图。
图的基本概念
2、图的分类
无向图，记作G=(V，E) 图
有向图，记作D=(V，A)
有向图的边 称为弧。
例1：哥尼斯堡桥问题的图为一个无向图。
v5
例2：五个球队的比赛情况，v1 v2
表示v1胜v2。
v1
v
v2
v3
图的基本概念
2、图的分类
定义3：每一对顶点间都有边相连的无向简单图，称为 完全图。有n个顶点的无向完全图记为Kn。
定义4：图G=(V, E)的点集V可分为两个非空子集X、Y， 即X∪Y=V，X∩Y=∅ ，使得E中每条边的两个 端点必有一个端点属于X ，另一个端点属于Y， 则称G为二部图（偶图），有时记作G=(X,Y,E) 。
图的基本概念
e1
e2
v1 e4
e3
v2
v3
3、顶点的次
定义5：以点v为端点的边数叫点v的次
A=(aij)n×n ，其中：
a ij
wi 0
j
（vi，vj）∈E
其他
则称矩阵A为网络G的权矩阵。
图的基本概念
8、图的矩阵表示
定义12：图G=(V, E)，|V|=n，构造一个矩阵 A=(aij)n×n ，其中：
1
a ij
0
（vi，vj）∈E
其他
则称矩阵A为图G的邻接矩阵。
最小支撑树问题
树
e5
e6
e7
e8
（degree），记作deg(v)或d(v)。 v4 图5－1 v5
图5-1中，d(v1)＝４，d(v3)=5，d(v5)=1。 次为奇数的点称作奇点，次为偶数的点称作偶点，
次为0的点称作孤立点。 次为1的点称作悬挂点，连接悬挂点的边为悬挂边。
图的次：各点的次之和。 有向图中顶点的次？
e6可记作： e6 [v2,v4]
v2和v4是边e6的端点，点v2、v4相邻。 e6与e7共用顶点v4，e6与e7相邻，e6和e7为点v4的关联边。
e1
图的基本概念
e2
v1 e4
e3
v2
v3
2、图的分类
e5
e6
e7
e8
环，多重边，简单图
一条边的两个端点相同，称此边为环，e1； v4 图5－1 v5 两个点之间多于一条，称为多重边，e4和e5
V={v1，v2，……，vn}为结点的集合， E={e1，e2，……，em}为边的集合。 点表示研究对象
边表示表示研究对象之间的特定关系
V、E为有限集合，则为有限图，反之无限图。
注意：上面定义的图Ｇ区别于几何学中的图。几何学中，
图中点的位置、线的长度和斜率等都十分重要，而这里 只关心图中有多少点以及哪些点之间有线相连。
定理1：任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。 定理2： 任何图中，次为奇数的顶点为偶数个。
图的基本概念
4、子图、支撑子图
图G=(V, E)和G’ =(V’ ,E’ )，若V’ V，E‘ E，则称G’ 为G的 子图。特别地，若V =V ‘ 且E ’ E，则称G' 为G的支撑子图。
v5
G2为G1的支撑子图
13 20 19
2
12 14 18 6
5
15 11
16 10 9 3
17 7 8
4
问题：游戏者从任一城市出发，寻找一条可经过每 个城市一次且仅一次，在回到原出发点的路?
欧拉回路：每边经过一次且仅一次的回路
哈密尔顿回路：每个点经过一次且仅一次的回路
图的基本概念
1. 图 定义1：由点和边组成，记作G=(V，E)，其中
v5
v1
v4
v1
v4
v2
v3
G1
v2
v3
G2
图的基本概念
5、赋权图（网络）
图的每条边都有一个表示一定实际含义的权数，称 为赋权图。记作D=(V，A，C)。
v1
5
3
v2
7.5 4
v5
5.5
2
v3 3.5 v4
图的基本概念
6、链与路、圈与回路
无向图： 链 有向图： 路
v5
点边交错的序列 圈 起点=终点的链
3.5 4
5.5
3
v5
2
v1
v3 7.5 v4
v5
v3
v4
最小支撑树问题
3、最小支撑树问题
v1
问题：求网络的支撑树，使其权和最小。v2
5 3.5 4
算法1（避圈法）：把边按权从小到大依次 5.5
点弧交错的序列 回路 起点=终点的路
v5
v1
v4
v1
v4
v2
v3
v2
v3
没有重复点和重复边的链为初等链。初等圈
图的基本概念
7、连通图
定义10：任意两点之间至少存在一条链的图称为连通图， 否则称为不连通图。
例 ： G1为不连通图， G2为连通图
G1
G2
图的基本概念
8、图的矩阵表示
定义11：网络G=(V, E)，边（vi，vj）有权wij，构造矩阵
第五章 图论与网络分析
学习目标
➢ 图的基本概念 ➢ 最小支撑树问题 ➢ 最短路径问题
图的基本概念
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A
A
C
D
C
D
B
B
问题：一个散步者能否从任一块陆地出发，走过七 座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？
结论：每个结点关联的边数均为偶数。
图的基本概念
哈密尔顿回路问题：环球旅行遊戏 1
图的基本概念
端点，相邻，关联边 【例】图5－1， G(V,E)
e1
e2
v1 e4
e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
V{v1,v2,v3,v4,v5} E{e1,e2,e3, ,e8} v4
图5－1
v5
边e=[vi ，vj]，称vi和vj是边e的端点，vi和vj 两点相邻； 边ex和ey有公共端点vi ，称边ex和ey相邻，边ex和ey为点vi 的关联边；