3.1刚体的转动定律解析

现在将这些方法用之于刚体和流体的研究．
一、刚体（rigid body）
刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体
----物体内任意两点的距离不变
刚体运动研究的基础：刚体是由无数个连续分布的质 点组成的质点系，每个质点称为刚体的一个质量元dm。 每个质点运动都服从质点力学规律。刚体的运动是这 些质量元运动的总和。
2. 转动 (rotation)
刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中都绕同 一直线作圆周运动，这种运动就叫做转动，这一直线 就叫做转轴 (axis of rotation)。如果转轴是固定不动的， 就叫做定轴转动 (fixed-axis rotation)。
定轴转动：转轴相对参考系静止。
3.一般运动：可看成平动和转动的叠加。如车轮的转动
解：（1）0 5π rad s1, t = 30 s 时， 0.
设 t = 0 s 时，0 0 .飞轮做匀减速运动
0 0 5 π rads1 π rads2
t
30
6
飞轮 30 s 内转过的角度 2 02 2 ( 0 )
2 02 (5 π)2 75 π rad 2 2 ( π 6)
,
v r
3.角加速度 (angular acceleration)
lim d
t0 t
dt
ω
刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为：
at
dv dt
r
d
dt
r
,
an
v2 r
r 2
角加速度是矢量，但对于刚体定轴转
动角加速度的方向只有两个，在表示角 加速度时只用角加速度的正负数值就可 表示角加速度的方向，不必用矢量表示。
在转动平面内，过O点作 一极轴，设极轴的正方向 是水平向右，则OP与极轴
之间的夹角为。
角称为角坐标（或角位置）。
角坐标为标量。但可有正负。
P
o
x
2.角位移 (angular displacement)
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度 (angular velocity)
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdt
方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴
转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
rv
刚体上任一质元的速度表示为：
v
r
轴的转动角度决定。
(1) 确 定 定 点 位 置 。 空 间 任 何
一个点需要三个独立坐标来确
o
y
定位置，因此用三个坐标如
C(x,y,z) 来 决 定 刚 体 上 某 一 定 x 点位置。
（2）刚体的方位由其轴的取向决定，确定空间直线
的方位坐标有两个，借用纬度角与经度角来描述，在
直角坐标系中，采用用 、 ，如图所示：
二、平动和转动
1.平动（translation）
当刚体运动时，如果刚 体内任何一条给定的直线， 在运动中始终保持它的方 向不变，这种运动叫平动。
特点：各点位移、速度、加速度均相同----可视为质点
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所质点的 位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质点的速度和 加速度也都是相同的。所以刚体内任何一个质点的运动， 都可代表整个刚体的运动。
转过的圈数 N 75 π 37.5 r
2π 2π
（2）t 6s时，飞轮的角速度
0
t
(5
π
π 6
6)rads1
4
π
rad s 1
（3）t 6s时，飞轮边缘上一点的线速度大小
v r 0.2 4π m s2 2.5 m s2
该点的切向加速度和法向加速度(线量)
at
r
0.2 (
π)m s2 6
三、自由度(degree of freedom)
自由度：确定一个物体在空间的 位置所需的独立坐标的数目。它反 映了运动的自由程度
火车：被限制在轨道上运动，自由度为1
轮船：在一水平面上运动，自由度为2
飞机：在空中飞行，自由度为3
刚体的自由度
考虑到刚体既有平动又有
z
转动，其独立坐标数由质心坐
标，转轴的方位角与刚体绕转
（3）刚体绕定轴转动时，需要一
个坐标来描述，选定参考方向后， z
转动位置用表示。
p
刚体共有6个自由度，其中3个平
动自由度，3个转动自由度。
物体有几个自由度，它的
o
y
运动定律可归结为几个独
立的方程。
x
四、 刚体转动的角量描述
1.角坐标 (angular position) 描写刚体转动位置的物理量。
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
2
2 0
2 (
0)
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r·min-1， 因受制动 而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加速度和 在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时 飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、 切向加速度和法向加速度(线量) .
a 0
说明： 角坐标、角位移、角速度和角 加速度等角量是用来描述定轴转动刚体 的整体运动，也可用来描述质点的曲线 运动；
位矢、位移、速度、加速度等线量是 用来描述质点的运动。
0 a
定轴转动的特点
1） 2）
每任一一质质点点均运作动圆周 ,运,动 ，圆均面相为同转，动但平v,面a；不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
0.105 m s2
an r2 0.2 (4 π)2 m s2 31.6 m s2
例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕 垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速
第三章
刚体和流体的运动
§3-1 刚体模型及其运动
一般的力学分析方法可归纳为：
(1)突出主要矛盾，撇开次要因素，建立理想模型； (2)将质点系化整为零，以质点或质元为研究对象作为突破口 (3)根据受力情况，正确地画出受力图；
(4)根据已知条件或初始条件，选用所需的基本原理、定律， 列出方程式； (5)根据要求，求解方程，统一变量，积零为整，用积分法求 出结果.积分上下限的选取要特别注意 (6)讨论分析所得结果，检验是否正确．