奥林匹克数学知识点汇总
奥数知识点总结30
奥数知识点总结30
奥林匹克数学竞赛（简称奥数）被许多学生视为一项重要的学科竞赛，能够锻炼学生的数
学思维和解题能力。
下面是我对奥数知识点的总结。
一. 数论
数论是奥数竞赛中的重要知识点，主要包括素数、质因数分解、模运算等内容。
学生需要
掌握基本的数论定理，如费马小定理、欧拉定理等。
此外，学生还需要熟练运用数论知识
解决各种奥数题目。
二. 几何
几何是奥数竞赛中的另一个重要知识点，主要包括平面几何和立体几何。
学生需要熟悉各
种基本图形的性质和计算方法，如圆、三角形、四边形等。
此外，学生还需要掌握几何作
图的方法，能够利用平面几何和立体几何的知识解决各种奥数题目。
三. 代数
代数是奥数竞赛中的另一个重要知识点，主要包括方程与不等式、函数与方程组、多项式
与因式分解等内容。
学生需要掌握各种代数运算的性质和计算方法，如一元二次方程的求解、一元二次不等式的求解等。
此外，学生还需要熟练运用代数知识解决各种奥数题目。
四. 组合数学
组合数学是奥数竞赛中的另一个重要知识点，主要包括排列组合、概率与数理统计等内容。
学生需要熟悉排列组合的基本概念和计算方法，能够利用概率与数理统计的知识解决各种
奥数题目。
综上所述，数论、几何、代数和组合数学是奥数竞赛的重要知识点，学生需要系统地学习
这些知识，并且能够灵活运用它们解决各种奥数题目。
希望学生们在奥数竞赛中取得优异
的成绩，为自己的数学学习打下良好的基础。
奥运数学知识资料
奥运数学知识资料奥运数学知识是指在国际数学奥林匹克竞赛（IMO）中所涉及到的数学概念、定理、方法等内容。
IMO是一个由国际数学联合会（IMU）主办的全球性数学竞赛，每年举办一次，参赛选手来自全球各地的高中生。
以下是一些常见的奥运数学知识：1. 命题与证明IMO的命题者都是知名的数学家或大学教授，在命题时需要运用深厚的数学知识和丰富的经验。
同时，命题过程中需要考虑到不同国家和地区的文化背景和数学教育水平，保证考题的公平性和可行性。
选手需要在规定时间内完成5道数学题，每题7分，总分为35分。
在解题时需要使用严密的逻辑推理和创新思维，每一步的证明都需要清晰明了、逻辑连贯、步骤合理，否则不得分。
2. 数学定理奥运数学中常用的一些定理包括费马大定理、无理数的定义、三角函数关系、群论、微积分等。
这些定理大多数都是由知名数学家或团队在历史上提出，是现代数学的基础，也是奥运数学的必备知识。
3. 几何、代数、组合、数论IMO考试共包括4个模块：几何、代数、组合和数论。
这些模块都是数学中非常重要的分支，分别涉及到空间、数量、运算和结构等方面的知识。
在几何部分，选手需要熟悉三角形、圆、多面体等基本图形及其性质，了解勾股定理、相似、共圆、水平线、垂线、对称、旋转等几何概念。
在代数部分，选手需要熟悉一些基本的代数运算规则，如多项式的因式分解、根式的化简、方程的解法等。
此外还需要掌握一些高级的代数理论，如群、环、域等。
在组合部分，选手需要熟悉一些基本组合方法，如排序、选择、排列组合等，同时还需要掌握一些高级的组合方法，如生成函数、容斥原理、皮克定理等。
在数论部分，选手需要熟悉一些基本的数论方法，如奇偶性、模运算、最大公约数、中国剩余定理等。
同时还需要掌握一些高级的数论方法，如欧拉定理、费马小定理、狄利克雷定理等。
小学奥林匹克竞赛知识点总结
小学奥林匹克竞赛知识点总结小学奥林匹克竞赛是一项旨在培养学生创造力、逻辑思维、动手能力和团队合作精神的全球性竞赛。
它不仅考察学生的学科知识，还要求学生在解决问题和创新方面展现出自己的才能。
在这篇文章中，我们将总结一些小学奥林匹克竞赛中常见的知识点，帮助学生更好地准备这一挑战。
1. 数学知识点数学是小学奥林匹克竞赛中最为重要的学科之一。
以下是一些常见的数学知识点：- 基本运算：加法、减法、乘法和除法是数学中最基础且常见的运算符号。
在竞赛中，可能会有涉及复杂运算的题目，如多步骤运算和运算规律的应用。
- 数字概念：理解自然数、整数、小数、分数和百分数的概念及它们之间的关系。
能够进行数值大小、顺序和比较的推理。
- 几何形状：认识各种几何形状，如正方形、矩形、圆形、三角形等。
了解它们的属性、特点和连线方法。
- 测量单位：掌握长度、面积、体积、质量和时间等常用的测量单位。
理解它们之间的转换和应用。
- 图表和统计：能够读懂各种图表，如柱状图、折线图和饼图。
了解统计学概念，如平均数、中位数和范围。
这些数学知识点都是小学数学课程的基础，通过不断练习和应用，学生可以更好地掌握它们。
2. 科学知识点科学是培养学生观察力、实验技能和科学思维的重要学科。
以下是一些小学奥林匹克竞赛中常见的科学知识点：- 生物学：了解植物和动物的特点、结构和功能。
掌握基本的生命过程，如生长、繁殖、呼吸和消化等。
- 物理学：理解物质的性质和变化过程。
掌握简单机械、光、声等基本物理现象的原理和应用。
- 化学：认识常见物质的基本性质，如颜色、形状和状态变化等。
了解简单元素、化合物和混合物的组成和变化规律。
- 地理学：学习世界地理、天气变化、自然地理景观以及资源的利用和保护等方面的知识。
- 天文学：了解星球、行星、恒星和宇宙的组成及它们之间的关系。
掌握这些科学知识点需要学生进行观察、实验和分析。
通过积极参与实验和实践活动，学生可以更好地理解和应用这些知识。
奥数基础知识
奥数基础知识奥数（奥林匹克数学）是指一类精英数学竞赛，其目的是培养学生的创造力、逻辑思维和解决问题的能力。
在现代教育体系中，奥数被认为是培养学生数学能力和发展学生潜力的重要途径之一。
然而，要在奥数竞赛中取得好成绩，学生首先需要掌握一些基础知识。
奥数的基础知识主要包括以下几个方面：1. 数论：数论是奥数中重要的一个分支。
它研究整数的性质和规律，并由此推导出一些数学定理和公式。
学生需要熟悉常见的数论问题，例如质数、约数、同余等，并掌握解决这些问题的方法。
2. 代数：代数是奥数中另一个重要的分支。
它研究数和符号之间的关系，并通过运算和推理来解决问题。
学生需要熟悉常见的代数运算，例如四则运算、方程的解法等，并应用这些知识解决实际问题。
3. 几何：几何是奥数中不可缺少的一部分。
它研究空间和图形的性质和规律，并由此推导出一些几何定理和公式。
学生需要掌握几何的基本概念，例如直线、角、三角形等，并通过几何证明和计算来解决几何问题。
4. 概率与统计：概率与统计是奥数中相对较新的分支，它研究事件的可能性和数据的统计规律。
学生需要理解概率和统计的基本概念，例如事件的概率、样本调查等，并应用这些知识解决概率和统计问题。
除了以上几个方面的基础知识，学生还需要具备一些解题的基本技巧。
例如，学生需要学会分析题目、抽象问题、建立模型、寻找规律等。
此外，学生还需要培养逻辑思维和创造力，以便能够独立思考和解决复杂问题。
要掌握奥数的基础知识，学生需要积极参与数学课堂的学习，并进行有针对性的习题训练。
同时，他们还可以参加奥数辅导班和竞赛，与优秀的数学家和同学交流，以提高解题能力和思维水平。
总之，奥数基础知识是学生成功参加奥数竞赛的关键。
通过掌握数论、代数、几何和概率与统计等基础知识，学生能够建立起扎实的数学基础，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。
此外，学生还需要培养解题的基本技巧和思维能力，以提高在奥数竞赛中的表现。
奥数的学习不仅能够提高学生的数学能力，还能够培养学生的逻辑思维、创造力和解决问题的能力，对学生的全面发展有着积极的影响。
中考奥数知识点总结
中考奥数知识点总结奥数（奥林匹克数学）是指以培养学生的数学创造能力和解决问题的能力为目的，通过比较难度较大的题目培养学生的学习兴趣、创造力和积极性，使学生更好地发展数学潜能的一种数学训练。
奥数的教学内容主要涉及数论、代数、几何、不等式、方程与不定方程等。
中考奥数知识点总结包括数论、代数、几何、不等式和方程与不定方程等内容。
一、数论知识点总结1.素数与合数素数是指只有1和自身两个因数的自然数，例如：2、3、5、7、11、13等。
而合数是指除了1和本身外，还能被其他自然数整除的自然数，例如：4、6、8、9、10等。
2.互质数互质数是指除了1以外没有其他公因数的两个自然数，例如：3和8、5和7等是互质数。
3.最小公倍数与最大公约数最小公倍数是指两个数同时能整除的最小的数，最大公约数是指两个数都能整除的最大的数。
4.质因数分解质因数分解是指将一个数分解成质因数的成绩，例如：24=2×2×2×3。
5.余数与同余式余数是指相除后剩下的数，同余式是指两个整数互除后得出的相等式，例如：7≡1(mod 3)。
二、代数知识点总结1.多项式多项式是指由若干项幂与系数组成的代数式，例如：3x^2+5x+1。
2.因式分解因式分解是指将一个多项式分解成若干个一次或者高次所组成的因式，例如：6x^2+11x+3=(2x+3)(3x+1)。
3.方程方程是指含有未知数的等式，例如：3x+5=11。
4.不等式不等式是指两个代数式用不等号连接的式子，例如：2x+3>7。
三、几何知识点总结1.图形的性质如：三角形的内角和为180°，平行四边形对角线相等，圆内切角等于其对弦角的一半等。
2.平行线和全等图形如：平行线对应角相等，全等三角形对应边相等，对应角相等。
3.三角形的相似如：相似三角形对应边成比例，对应角相等。
4.圆的性质如：圆心角等于圆周角的一半，弧长与圆心角成正比等。
四、不等式和方程与不定方程知识点总结1.一元一次方程与不等式一元一次方程是指系数和常数为实数的一次方程，例如：2x+5=1。
基本奥数知识点总结
基本奥数知识点总结数学奥林匹克竞赛（简称奥数）是一个全球性的数学竞赛，旨在培养学生对数学的兴趣和能力，在解决实际问题的同时锻炼逻辑思维和数学推理能力。
参加奥数的学生需要具备扎实的数学基础知识和解题技巧，因此对于学习奥数的学生来说，掌握一些基本的奥数知识点是非常重要的。
下面对一些常见的奥数知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地备战奥数竞赛。
1. 数系和代数1.1 正整数正整数是指大于0的整数，正整数的运算包括加法、减法、乘法和除法，学生需要掌握正整数的性质和运算规律。
此外，学生还需要了解正整数的因数、倍数、质数和合数等概念，以及有关正整数的各种性质和定理。
1.2 分数分数是指整数之间的比值，分数的运算包括加法、减法、乘法和除法，学生需要掌握分数的化简、通分、比较大小和混合运算等技巧。
此外，学生还需要了解分数的性质和变化规律，以及有关分数的各种性质和定理。
1.3 整数整数是指包括正整数、负整数和0在内的所有整数，整数的运算包括加法、减法、乘法和除法，学生需要掌握整数的运算规律和性质。
此外，学生还需要了解整数的倍数、约数、质因数分解和互质数等概念，以及有关整数的各种性质和定理。
1.4 代数式代数式是指使用字母表示数的表达式，代数式的运算包括整式的加法、减法、乘法和除法，以及代数式的化简和展开等技巧。
学生需要掌握代数式的变形和运算规律，以及有关代数式的各种性质和定理。
1.5 方程和不等式方程是指含有未知数的等式，不等式是指含有未知数的不等式，方程和不等式的求解是奥数竞赛的常见题型。
学生需要掌握一元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式和一元二次不等式的求解方法，以及含参方程和含参不等式的解法技巧。
2. 几何2.1 平面几何平面几何是奥数竞赛的基础内容，包括点、线、角、三角形、四边形、多边形、圆等内容。
学生需要掌握平面几何的基本概念和性质，以及各种图形的周长、面积和体积等计算方法。
2.2 空间几何空间几何是奥数竞赛的拓展内容，包括立体图形、空间坐标和空间向量等内容。
奥数总结的知识点
奥数总结的知识点一、代数知识点1. 代数式展开与因式分解代数式展开与因式分解是奥数中常见的题型，学生需要掌握基本的代数运算规则，灵活运用展开公式和分解公式来解题。
2. 多项式的运算与定理奥数中常见的题型有多项式的加减乘除，以及多项式的整除性质和余式定理。
3. 不等式和方程的解法奥数考察的不等式和方程的解法比较灵活，包括一元二次不等式和不等式组的解法，还有一元二次方程、分式方程的解法等。
4. 函数与方程奥数中常考的包括函数的性质、图像、定义域、值域、一些特殊函数，还有方程组的解法等。
二、几何知识点1. 图形的性质在奥数的几何题型中，常考察各种图形的性质，包括角的性质、直线和射线的性质、多边形的性质、圆的性质等。
2. 几何证明奥数中几何证明的题型比较常见，学生需要掌握几何中的各种定理和公式，并能够灵活运用来构造合理的证明过程。
3. 三角形和相似三角形奥数中三角形和相似三角形的题型比较常见，包括三角形的性质、计算三角形的面积和周长、相似三角形的判定和计算等。
4. 圆和圆的性质奥数中还有许多和圆相关的题型，包括圆的切线、切圆、圆周角等。
三、数论知识点1. 整数的性质奥数中常考察整数的性质，包括约数、倍数、质数、合数、质因数分解、最大公约数和最小公倍数等。
2. 数列和数学归纳法奥数中数列和数学归纳法的题型比较常见，学生需要掌握各种数列的求和公式和递推公式，以及能够灵活应用数学归纳法来解决问题。
3. 方程与同余奥数中还常考察方程与同余的题型，包括一次同余方程、二次同余方程、同余方程组等。
四、综合题型在奥数的综合题型中，常常考察学生对各种数学知识点的综合运用能力，包括代数、几何和数论等的综合题型。
奥数的学习需要学生掌握扎实的数学基础知识，具有一定的逻辑思维能力和数学分析能力，还需要具备较强的数学综合运用能力。
除了掌握各种数学知识点外，学生还需要具备良好的数学解题方法和习题技巧。
在奥数的学习过程中，学生应多做练习题，多总结解题方法和思路，不断提高自己的数学解题能力。
奥数知识点汇总
奥数知识点汇总奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项对学生数学思维和能力具有较高要求的学科竞赛。
以下为大家汇总一些常见的奥数知识点，希望能对大家的数学学习有所帮助。
一、数论1、整除与余数整除是数论中的基础概念，如果一个整数 a 除以另一个非零整数 b ，商为整数且余数为零，我们就说 a 能被 b 整除。
而余数则是在除法运算中不能整除时剩下的部分。
例如，24 除以 6 等于 4，余数为 0，所以 24 能被 6 整除；25 除以 6 等于 4 余 1，余数为 1。
2、质数与合数质数是指一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
合数则是指除了能被 1 和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的自然数。
例如，2、3、5、7 等是质数，4、6、8、9 等是合数。
需要注意的是，1 既不是质数也不是合数。
3、因数与倍数如果整数 a 能被整数 b 整除，那么 a 就是 b 的倍数，b 就是 a 的因数。
例如，6 能被 3 整除，所以 6 是 3 的倍数，3 是 6 的因数。
4、最大公因数与最小公倍数几个数共有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。
几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。
例如，12 和 18 的公因数有 1、2、3、6，最大公因数是 6；12 和 18 的公倍数有 36、72 等，最小公倍数是 36。
二、几何1、三角形三角形的内角和为 180 度。
根据边长关系，三角形可以分为等边三角形（三条边相等）、等腰三角形（两条边相等）和不等边三角形。
三角形的面积公式为：面积＝底×高÷2 。
2、四边形包括平行四边形、矩形、菱形、正方形等。
平行四边形的对边平行且相等，面积＝底×高。
矩形的四个角都是直角，面积＝长×宽。
菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分。
正方形具有矩形和菱形的所有性质，面积＝边长×边长。
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四点共圆(圆内接四边形)的性质：（1）同弧所对的圆周角相等；（2）圆内接四边形的对角互补，外角等于其内对角；（3）圆幂定理；（4）托勒密定理Ptolemy；（5）弦切角定理。
四点共圆的判定：1把四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，证明其顶角相等（同弧所对的圆周角相等）。
2把四点连成四边形，证明其对角互补或一个外角等于其内对角。
3把四点连成相交的两条线段，证明它们各自被交点分成的两线段之积相等；或把四点两两连结并延长相交的两线段，证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积。
4根据托勒密定理的逆定理。
(性质和判定的前4条互为逆定理)5从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。
(反证法)6证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆。
即连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆。
7同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。
直角三角形中线定理：直角三角形斜边的中线长等于斜边的一半。
(逆定理也成立)射影定理：RT△ABC中，CD是斜边上的高，则CD2=AD·DB；AC2=AD·AB；BC2=BD·BA。
三角形角平分线定理：三角形中角的平分线将对边所分成的两部分和两邻边成比例(反之也成立)。
三角形的外角平分线也有类似性质。
设AD、AE是∠A及外角的平分线，则有AB/AC=BD/DC=BE/EC。
弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；反之也成立(可用于证明切线)。
圆外切四边形定理：圆外切四边形两组对边的和相等；反之也成立。
斯特沃特定理(Stewart)：如下图，设BD=p ，DC=q ，则pq q p q c p b AD -++=222在△ABD 和△ABC 中，运用余弦定理cosB 相等可证。
该定理可得以下结论：（1） 当AD 是中线时，p=q=2a ，得中线长公式 2222221a c b AD -+=； （2） 当AD 是内角平分线时，)(2a s bcs c b AD -+=，其中2c b a s ++=； （3） 当AD 是高时，ABC S a c b a a c c b b a a AD ∆=---++=222221222222222， 其中 ))()((c s b s a s s S ABC ---=∆，即海伦公式。
梅涅劳斯定理（Menelaus ，简称梅氏定理）：设X 、Y 、Z 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点(其中有奇数个点在边的延长线上)，则X 、Y 、Z 三点共线的充要条件是 (AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
(此线称为梅氏线．．．)塞瓦定理（Ceva ）：设X 、Y 、Z 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 或其延长线上的点(其中有偶数个点在边的延长线上)，则AX 、BY 、CZ 三线共点的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
(此点称为塞瓦点．．．，可用梅涅劳斯定理或面积方法证明) 塞瓦定理推论1.设E 是△ABD 内任意一点，AE 、BE 、DE 分别交对边于C 、G 、F ，则(BD/BC)·(CE/AE)·(GA/DG)=1。
2.塞瓦定理角元形式：AD 、BE 、CF 交于一点的充分必要条件是：(sin ∠BAD/sin ∠DAC)*(sin ∠ACF/sin ∠FCB)*(sin ∠CBE/sin ∠EBA)=1。
3.对于圆周上顺次6点A、B、C、D、E、F，直线AD、BE、CF交于一点的充分必要条件是：(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1。
托勒密定理(Ptolemy)：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
托勒密定理的逆定理同样成立：若凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则该四边形内接于圆。
广义托勒密定理：设四边形ABCD四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，则有：m2*n2=a2*c2+b2*d2-2abcd*cos(A+C)欧拉定理：在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD。
西姆松定理(Simson)：过△ABC外异于顶点的任意一点P作三边的垂线，则三垂足X、Y、Z 共线的充要条件是四边形PABC内接于圆。
(此线称为三角形关于P点的西姆松线．．．．)相关的结果:（1）设三角形的垂心为H，则西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上；（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角；（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。
欧拉定理(Euler)：设△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则该三点共线且OG=GH/2(重心分垂心和外心的连线段为2：1)。
这条直线叫三角形的欧拉线．．．，且九点圆圆心也在该线上，即四点共线，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等。
+，向量利用向量证明，设D为BC边上的中点，则=++++=+==2；OH+++=OBOCCDOAOCBDOBAHOAODOAOA(21AC +=+=+=，∴)(3132+==， )())()((3131++=++++=+=； ∴31=， ∴O 、G 、H 三点共线且3OH OG =。
欧拉公式：设三角形的外接圆和内切圆半径分别为R 和r ，则外心与内心的距离为：)2(22r R R Rr R d -=-=. (用p.9内心性质②可证)九点圆三角形三边的中点、三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆，称这个圆为九点圆，或欧拉圆、费尔巴哈圆。
九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球(各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心)的一个特例。
当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。
证明如图所示，△ABC 的BC 边垂足为D ，BC 边中点为L 。
证法为以垂心H 为位似中心，1/2为位似比作位似变换。
连结HL 并延长至L'，使LL'=HL ；做H 关于BC 的对称点D'。
显然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A ，所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A ，从而A ，B ，D'，C 四点共圆。
又因为BC 和HL'互相平分于L ，所以四边形BL'CH 为平行四边形。
故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A ，从而A ，B ，L'，C 四点共圆。
综上，A ，B ，C ，D'，L'五点共圆。
显然，对于另外两边AB ，AC 边上的F ，N ，E ，M 也有同样的结论成立，故A ，B ，C ，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。
此圆即△ABC的外接圆⊙O。
接下来做位似变换，做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。
那么，L'变到了L（因为HL'=2HL），D'变到了D （因为D'是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。
其它各点也类似变换。
O点变成了OH中点V。
位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点，且⊙V的半径是⊙O的一半。
这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。
性质1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；4. 九点圆是一个垂心组(即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形)共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切；5. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。
圆幂与根轴圆幂：设平面上有一点P，有一圆O，其半径为R，则OP2-R2即为P点到圆O的幂。
可见圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为0；根轴：在平面上任给两不同心的圆，对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴；也可以称到两不同心圆所引切线长恒相等的点的轨迹为根轴。
相关定理1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的公切线；4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。
根轴方程设两圆O1,O2的方程分别为：(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=0 和(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2=0由于根轴上任意点对两圆的圆幂相等，所以根轴上任一点(x,y)有(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=圆幂=(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2，得根轴的方程为：2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0 其中f1=(a1)2+(b1)2-(r1)2，f2类似。
解的不同可能两圆方程连立的解，是两圆的公共点M(x1,y1)、N(x2,y2)①如果是两组不等实数解，M、N不重合且两圆相交，根轴是两圆的公共弦。
②如果是相等实数解，M、N重合，两圆相切，方程表示两圆的公切线。
③如果是共轭虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。
称M、N是共轭虚点。
费马点(Fermat)：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
（1）对于任意△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,使EA+EB+EC有最小值,则取到最小值时E为费马点。
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点。
（3）如果三个内角均小于120°，则在三角形内部对三边张角均为120°的点，就是费马点；分别以AB,BC,CA为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1，然后连接AA1,BB1,CC1，则三线交于一点P，则点P就是所求的费马点。
(4)当△ABC为等边三角形时，费马点与外心重合。
平面四边形中费马点：（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点（P）。
三角形重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。