分式和分式方程知识点总结材料及练习
完整版本分式及分式方程学习知识点总结计划
分式及分式方程聚焦考点☆ 复习理解一、分式1、分式的观点一般地，用A、B 表示两个整式，A÷ B 就能够表示成A的形式，假如B中含有字母，式子A就叫做分BB式。
此中， A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
2、分式的性质（1）分式的基天性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
（2）分式的变号法例：分式的分子、分母与分式自己的符号，改变此中任何两个，分式的值不变。
3、分式的运算法例a c ac ; a c a d ad ;b d bd b d bc bc( a )n an ( n为整数 );b b na b a bc c c;a c ad bcb d bd二、分式方程1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转变为“整式方程”。
它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（ 3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应当舍去；若不等于零，就是原方程1的根。
3、分式方程的特别解法 换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用特别宽泛，当分式方程拥有某种特别形式，一般 的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
名师点睛 ☆ 典例分类考点典例一、分式的值2【例 1】（2015 ·黑龙江绥化）若代数式x5x6的值等于0，则x=_________.2x 6【点睛】分式 x25x 6的值为零则有 x 2-5x+6 为 0 分母 2x-6 不为 0，从而即可求出 x 的值 .2x 6【贯通融会】1. 要使分式x 1存心义，则 x 的取值应知足（）x 2A. x 2B. x1 C. x 2D. x12.（ 2015 ·湖南常德）若分式 x21的值为 0，则 x ＝x 1考点典例二、分式的化简【例 2】化简：x 2 x）x 1=（x 1x A 、 0B 、1C 、 x D 、x 1【点睛】察看所给式子，能够发现是同分母的分式减法。
分式与分式方程知识点总结
分式与分式方程知识点总结分式是一种特殊的代数表达式，有分子和分母组成，通常用斜杠“/”或者横线“-”表示分数线。
分式可以表示为a/b的形式，其中a为分子，b为分母。
分式的乘法和除法的法则：1.分式乘法法则：分式的乘法可以简化为分子相乘，分母相乘的运算。
即(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)。
2.分式除法法则：将除法转化为乘法后，取除数的倒数，然后按照分式乘法法则进行运算。
即(a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)。
分式的加法和减法的法则：1.分式加法法则：要进行分式的加法，需要先找到两个分式的共同分母。
然后将分式的分子按照共同分母的比例进行加法运算。
即a/b+c/d=(a*d+b*c)/(b*d)。
2.分式减法法则：和分式加法法则类似，需要找到两个分式的共同分母。
然后将分式的分子按照共同分母的比例进行减法运算。
即a/b-c/d=(a*d-b*c)/(b*d)。
分式的化简：将分式化简为最简形式的步骤如下：1. 如果分子和分母有相同的公因子，可以约分掉。
即a/b =(a/gcd(a,b)) / (b/gcd(a,b))。
2.如果分数的分子和分母都是整数，并且分子能整除分母，可以化简为整数。
即a/b=a/b，其中a能整除b。
3.如果分式的分子和分母都是多项式，并且可以进行因式分解，可以使用因式分解后的形式来化简分式。
分式方程是包含一个或多个分式的方程。
求解分式方程的一般步骤如下：1.将方程两边的分式通过相乘分母的方法，化简为有理式。
2.对于有理式的方程，可以通过解方程的方法求出x的值。
3.检验所求得的x的值是否满足原方程，如果满足，即为解；如果不满足，则该方程无解。
在求解分式方程时，需要注意以下几个问题：1.分母不能为0，需要排除分母为0的解。
2.对于含有分式的方程，需要注意去除分式的分母后方程是否成立，避免出现无意义的解。
3.可能出现分母为0的情况，需要排除该解，以免引起除法运算错误。
分式知识点及典型例题
分式知识点及典型例题一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是：分式的分母不能为 0，因为分母为 0 时，分式无意义。
例如：1/x ，（x ＋ 1）／（x 2）都是分式，而 1/2 就不是分式，因为它的分母 2 不含字母。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。
即：对于分式 A/B，B ≠ 0 时，分式有意义。
例如：对于分式 1/（x 1) ，要使其有意义，则x 1 ≠ 0，即x ≠ 1。
三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时，要同时满足两个条件：1、分子为 0 ，即 A ＝ 0 。
2、分母不为 0 ，即B ≠ 0 。
例如：若分式（x 1）／（x ＋ 2）的值为 0，则 x 1 ＝ 0 且 x ＋2 ≠0 ，解得 x ＝ 1 。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
即：A/B ＝（A×C）／（B×C）， A/B ＝（A÷C）／（B÷C）（C ≠ 0 ）例如：将分式 2x/3y 的分子分母同时乘以 2 ，得到 4x/6y ，分式的值不变。
五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
确定公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公因数。
2、字母：取相同字母的最低次幂。
例如：对分式（6xy）／（9x²y）进行约分，分子分母的系数 6 和 9 的最大公因数是 3 ，字母部分 x 的最低次幂是 1 ，y 的最低次幂是 1 ，所以公因式是 3xy ，约分后得到 2/（3x) 。
六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的方法：1、取各分母系数的最小公倍数。
2、凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。
分式及分式方程知识点总结
分式及分式方程知识点总结分式（Fraction）是由两个整数构成的比值，其中一个是分子（Numerator），另一个是分母（Denominator）。
分式可以表示为 a/b，其中 a 是分子，b 是分母。
分式可以是一个整数、一个小数、或者是两个整数的比值。
分式可以用于表示实际问题中的比例、率、百分比等。
在数学中，分式经常被用于代替除法运算，因为分式的形式更加简洁。
在处理分式时，有几个关键概念和知识点需要了解。
一、分式的简化与等价分式2.等价分式：如果两个分式的值相等，那么它们是等价的。
可以通过将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，化简两个分式，然后判断它们的值是否相等，确定它们是否等价。
二、分式的加减乘除2.分式的乘除：两个分式的乘积等于它们的分子乘积作为新分子，分母乘积作为新分母；两个分式的除法等于第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数作为新分子，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子作为新分母。
三、分式方程分式方程（Fractional Equation）是包含一个或多个分式的方程。
解分式方程的关键是找到合适的方法将方程转化为整式方程。
1.方法一：通分2.方法二：消去如果分式方程中有一个分式，可以通过消去（Cancellation）或者消去因子（Cancellation Factor）的方式将分母消去，得到一个整式方程。
3.方法三：代入如果分式方程比较复杂，无法通过通分或者消去的方法解得，可以通过代入（Substitution）的方法，将一个变量用另一个变量的表达式代入，然后去掉分式，得到一个整式方程进行求解。
需要注意的是，在解分式方程时，需要验证得到的解是否满足原方程，因为有时候方程中的一些值可能导致分母为零，从而使分式无解。
四、常见的分式及分式方程1.比例和比例方程：比例是两个分式的等价形式，比例方程是一个或多个比例的方程。
2.百分比和百分比方程：百分比是分数的一种特殊形式，百分比方程是包含百分比的方程。
分式知识点总结及例题
分式知识点总结及例题一、分式的概念分式是指以分数的形式表示的数，通常由分子和分母两部分组成，分子表示分数的一部分，分母表示分数的总份额。
分式通常用来表示比例、部分和整体的关系。
二、分式的基本性质1. 分式的分子和分母可以分别约分。
2. 分式的值与分子和分母的乘除有关。
3. 分式的运算可以转化为通分和通分的计算问题。
三、分式的化简分式的化简是指将分式表示的数化为最简形式的操作，主要包括分子分母约分、常数和分式的转化等。
四、分式的加减法分式的加减法是指对分式的分子和分母进行通分后，进行加减运算的操作。
五、分式的乘法和除法分式的乘法是指对分式的分子和分母分别进行乘法运算后，化简为最简形式的操作。
分式的除法是指对分式进行倒数运算，然后化简为最简形式的操作。
六、分式的应用分式在实际问题中有着广泛的应用，如物体的比例尺、物体的比重、长方形的面积和周长等问题都可以用分式进行表示和计算。
七、例题1. 化简分式$\frac{6}{8}$解：分子和分母可以同时除以2，得到$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，所以$\frac{6}{8}$的最简形式为$\frac{3}{4}$。
2. 计算$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}$解：先将两个分式通分，得到$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}=\frac{9}{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}$，再化简得$\frac{19}{15}=1 \frac{4}{15}$。
3. 计算$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}$解：将两个分式分别相乘得到$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}=\frac{10}{18}$，再将$\frac{10}{18}$化简为最简形式，得$\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$。
4. 计算$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}$解：将两个分式进行倒数运算，得到$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}=\frac{4}{5} \times\frac{3}{2}=\frac{12}{10}=1 \frac{2}{10}=1 \frac{1}{5}$。
分式与分式方程辅导讲义
分式与分式方程【知识框架】【知识点&例题】知识点一：分式的基本概念一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子B A 叫做分式，为分子，为分母。
知识点二：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变。
字母表示：C B C••=A B A，C B C÷÷=A B A ，其中、、是整式，。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即B B AB B --=--=--=AAA注意：在应用分式的基本性质时，要注意这个限制条件和隐含条件B ≠0。
知识点三：分式的乘除法法则分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：db c a d c b a ••=•分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
式子表示为cc ••=•=÷bd a d b a d c b a 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。
式子n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛巩固练习：1.若分式的值为0，则x 的值为 .2.当= 时，分式的值为零.3.计算x xy y xy y xy y x xy y22222222++-÷+-+4.先化简，再求值：其中.242x x --x 26(1)(3)x x x x ----2291333x x x x x ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭13x =5.先化简，再求值：，其中．6、先化简，再求值：，其中7、解下列方程：（1）（2）（3） （4）532224x x x x -⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭3x 22144(1)1a a a a a-+-÷--1a =-3522x x =-223444x x x x =--+22093x x x +=-+35012x x -=+9、在年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的倍，求这两种车的速度。
分式多项式,分式方程,一次函数基础知识及练习题
分式多项式，分式方程，一次函数基础知识及练习题通分根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来相等但分母相同的分数，叫做通分方法是：先求出两个分数分母的最小公倍数，再根据分数的基本性质把两个分数分别化成以这个最小公倍数为分母的分数即可例如：如：把3/4和5/6通分：先求出4和6的最小公倍数12，再把3/4和5/6化成9/12和10/12就行了。
107?求：= 11935?= 5672?= 133乘法分配律乘法分配律两个数相加(或相减)再乘另一个数,等于把这个数分别同两个加数（减数）相乘,再把两个积相加（相减）,得数不变。
用字母表示：（a+b）x c=axc+bxc 还有一种表示法：a(b+c)=ab+ac 例如：25×404 =25×(400＋4) =25×400＋25×4=10000＋100=10100 乘法分配律的逆运用25×37+25×3 =25×(37+3)=25×40 =1000乘法分配律还可以用在小数、分数的计算上。
例题:25×404=25×(400＋4)＝25×400＋25×4＝10000＋100=10100 乘法分配律的反用：35×37+65×37 =37×(35+65) =37×100 =3700 乘法分配律的反用：35×37+65×37 =37×(35+65) =37×100 =3700合并同类项合并同类项就是逆用乘法分配律。
把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项。
如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且各字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。
如2ab与－3ab，m2n与nm2都是同类项。
特别地，所有的常数项也都是同类项。
把多项式中的同类项合并成一项，叫做同类项的合并（或合并同类项）。
分式与分式方程知识点
分式与分式方程知识点一、分式的定义1. 分式（Fraction）：形如 A/B 的代数表达式，其中 A 是分子，B 是分母，B ≠ 0。
2. 有理表达式（Rational Expression）：包含分式的代数表达式。
二、分式的基本性质1. 等值变换：分式可以通过乘以或除以相同的非零表达式进行等值变换。
例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/152. 分式的加减法：只有当分母相同时，才能直接进行加减运算。
例如：(2/5) + (3/5) = (2+3)/5 = 5/5 = 13. 分式的乘除法：分子乘分子，分母乘分母。
例如：(2/3) * (4/5) = (2*4)/(3*5) = 8/154. 分式的化简：通过约分，将分子和分母中的公因数相除，得到最简分式。
例如：(12/16) -> (12÷4)/(16÷4) = 3/4三、分式方程1. 分式方程（Fractional Equation）：含有分式的方程。
2. 解分式方程的基本原则：将分式方程转化为整式方程进行求解。
3. 去分母：通过将方程两边同时乘以所有分母的最简公分母，消除分母。
例如：(2/x) + (3/y) = 5 => 2y + 3x = 5xy (假设 x, y > 0) 4. 检验解：将求得的整式解代入最简公分母中，确保不会得到零。
四、特殊类型的分式方程1. 一元一次分式方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为一的分式方程。
2. 二元一次分式方程：含有两个未知数，且每个未知数的最高次数为一的分式方程。
3. 高次分式方程：含有未知数的最高次数大于一的分式方程。
五、解分式方程的步骤1. 确定最简公分母。
2. 去分母，将分式方程转化为整式方程。
3. 解整式方程，求得未知数的值。
4. 检验解的有效性。
5. 写出最终解。
六、应用题1. 理解题意，找出等量关系。
2. 列出分式方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分式和分式方程知识点总结一、分式的基本概念1.分式的定义一般地，我们把形如A的代数式叫做分式，其中A, B都是整式，B且B含有字母。
A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。
分式也可以看做两个整式相除（除式中含有字母）的商。
2.分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变。
^=A-M。
其中，M是不等于0的整式。
B B M B“M3.分式的约分把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
4.最简分式分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。
利用分式的基本性质可以对分式进行化简二、分式的运算1、分式的乘除分式的乘法法则分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
A C A *CB一B分式的除法法则分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘。
A_；C A D A *D- ■ - = •-- = ------B D BC B *C2、分式的加减同分母的分式加减法法则同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）。
△B B B异分母的分式加减法法则异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再加（减）C 分式的通分把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫做分式的通分，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母。
几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取最简公分母A C AD BC AD _ BC_ = ± =B 一D BD - BD BD分式的混合运算分式的混合运算，与数的混合运算类似。
先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号里面的。
三、分式方程1、分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的解使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）。
3、解分式方程的步骤1.通过去分母将分式方程转化为整式方程，2. 解整式方程3•将整式方程的根代入分式方程（或公分母）中检验。
4、分式方程的应用。
典型例题1. （ 2014?温州，第4题4分）要使分式丄!_有意义，则x 的取值应满足（）x- 2A.: x 工2B. XM — 1C. x =2D. x =- 12-12. （ 2014?毕节地区，第10题3分）若分式 ------- 的值为零，贝U x 的值为（）x _ 1A. 0B. 1C. -1D. 土 13. （ 2014?福建泉州，第10题4分）计算： ：+「=.2血1 2时1 --------------4. （2014?泰州，第14题，3分）已知a 2+3ab +b 2=0 （a * 0,0）,则代数式勺吕的值等a b于5. ---------------------------------------------------------------------------------- （ 2014年山东泰安，第 21题4分）化简（1+ * ）- -------------------------------------- - ---- 的结果为艾_1 X 2-2X +126. （ 2014?襄阳，第13题3分）计算： 一 十 一= ________________________ .a z+2a a8. （ 2014?珠海，第 13 题 6 分）化简：（a 2+3a ）+----a 37. （ 2014?广东，第18题6分）先化简，再求值:+X- 1 x+1)?(x 2- 1),其中 x =—29. （ 2014?广西贺州，第19题（2） 4分）（2）先化简，再求值：（a 2b +ab ）十二七a+1其中 a = ;+1,- 1.1003010 解方程：x x-7.11.解分式方程：12.解方程： '-4=1.耳+1 / - 113. （ 2014?广东，第21题7分）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元?14 （ 2014?广西贺州，第23题7分）马小虎的家距离学校 1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校 200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度.（1 ）求这款空调每台的进价（利润率利润售价-进价课后练习1 . （2013湖北孝感,6, 3分）化简x _y<y x亠D的结果是（xA. C. x-yy D. y2 . （2013山东威海,1 + m3分）计算：1亠」1 -m(m2-1）的结果是A. 2-m 「2m「1 B. -m2 2m「1 C.2 /D. m -13 .X — 1（2013四川南充市，8, 3分）当&分式--------- 的值为0时, 的值是（4 .5 .(A) 0 (B) 1 (C)—1 (D)—2（2013浙江丽水,17, 3分）计算a-1二的结果为（1+aA尸B.aa-1C. —1D.1 —a （2013江苏苏州,7,3 分) 空的值是「b1 1A. B. —2 2 6. ( 2013重庆江津, C.2 D.4分) F列式子是分式的是C. -yD.27 . （2013江苏南通,10, 3分) 2 2m> n> 0, m+ n = 4mn2_n的值等于mn8 .9 .10 . A. 2 3B.C. 6D.3（2013山东临沂,（2013广东湛江（2013浙江金华,B.11,33分）化简B. x—1a2xx -1分）化简a -bb2—的结果是a - ba -b C17, 3分）计算赢aa-1C.a2.2-b D1右的结果为（1）的结果是（xD.1填空题（2013浙江省舟山，11, 4分）当x 时，分式_^有意义.3 _x（2013福建福州，14, 4分）化简（1__ ）（m 1）的结果是 m +1 ------------2x x x（2013山东泰安，22 , 3分）化简：（ - 的结果为 。
x+2 x-2 x -4 -----------（2013浙江杭州，15, 4）已知分式 J 3，当x = 2时，分式无意义，则a =x —5x + a当a <6时，使分式无意义的 x 的值共有 __________个. 1（2013浙江湖州，11, 4）当x = 2时，分式 的值是x_11（2013浙江省嘉兴，11, 5分）当x时，分式 ^丄有意义.3 —x1. 2. 3.4.5. 6. 7. 8. 9.10.11. 12. 13. 三、 1. 2.（2013福建泉州, 14 , 4 分)当 x =时，分式的值为零.x + 2（2013山东聊城, 15 , 3分）化简:2 2a -b ,2a-2b2 a 2 2ab b 2（2013四川内江, 15,5分）如果分式 逖 27的值为 x -30,则x 的值应为（2013四川乐山 11, 3 分)当 x=时,（2013四川乐山 15, 3分）若m 为正实数，且1x -2m 厶3, m （2013湖南永州,（2013江苏盐城, 5, 3分)化简―aLa —1 1—ax 2 - 913, 3分)化简： = 解答题(2013 安徽，15, 12 廿出…~2 ，其中 x = _ 2.8分）先化简，再求值: （2013江苏扬州, 119 (2) ,4 分)(2) (1—)"x-13. （2013四川南充市，15, 6分）先化简，再求值：-2^ （X—1—2）,其中x=2.X-1 XX2—x—1 = 0.6 . （2013福建泉州,19，9分）先化简，再求值X~~2X -1匚公，其中x=2 .x7 . （2013湖南常德,19，6分）先化简，再求值.8 . / 21 丄X2_2X+1ix+1 x2-1亠x-1X +1其中x =2.（2013湖南邵阳，18, 8分）已知-」1，求x—1• X -1的值。
X -14. （2013浙江衢州, 17 （2）,4 分）化简：口「口a —ba —b5. （2013四川重庆, 21, 10分）先化简，再求值: X —1x—2 2x2—x »亠卄時）宁XT2石，其中x满9 . （2013广东株洲,18, 4分）当X = _2时，求2X 2X 1----+------X 1 X 1的值.10. (2013 江苏泰州，19 (2) , 4 分) (a — b+ 2b a b)a b a11 . （（2013山东济宁，16, 5分）计算:a -b(a2ab -b2a12 . （2013重庆江津, 21 （3）, 6分）先化简，再求值：x 1 1 1X丄，(亠-1),其中X 2 X 2 313. （2013江苏南京, 18, 6分）计算（2aa-b2a1b r：b b a14.（2013广东肇庆，19, 7分）先化简，再求值：（1a—31-^)，其中a =-3.a -215 .2X(20011江苏镇江,18 (1) ,4分)(2)化简：^―X 一4 x—216 .1（2013重庆市潼南,21,10分）先化简，再求值：（1）a2 2a 1，其中a 2 -1.17 . (2013山东枣庄, 19, 8分)先化简，再求值: 1+x —4x2—2x +1,其中x=—5.。