归纳1.1二次函数课件.ppt
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二次函数复习课件
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ； (3)、图象经过(-2，0)， (3，0) ，且最高点
的纵坐标是3 。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
综合创新:
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状
相同 a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
(4)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m),
则对称轴是___A____
A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 ______y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(a≠0) 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 抛物线解析式为______y_=_a_(_x_-h__)2_+_k(a≠0) 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为____y_=_a_(_x_-x_1_)_(x_-x2) (a≠0) 练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
的纵坐标是3 。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最 大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并 且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
综合创新:
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的 形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离 为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状
相同 a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
(4)若y=ax2+bx+c(a 0)与轴交于点A(2,m), B(4,m),
则对称轴是___A____
A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 ______y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(a≠0) 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 抛物线解析式为______y_=_a_(_x_-h__)2_+_k(a≠0) 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为____y_=_a_(_x_-x_1_)_(x_-x2) (a≠0) 练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
《二次函数图象》PPT课件
-2
-3 -4
-5
-6 -7
y=－x2
-8 -9
-10
5
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都
是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在
空中所经过的路线. 这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
y y=x2
y
o
x
y=－x2的图像叫做抛物线y=－
x2. 实际上,二次函数的图像 o
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点;
y
a>0
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是
抛物线的最高点;
o
x
|a|越大,抛物线的开口越小;
.
a<0
16
请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。
(0,0) 最低点 y轴 向上
(0,0) 最高点 y轴 向下
.
增 减增增 大 小大大
增 增增减 大 大大小
17
8
y=x2
7
6
5
4
3
2
接各点,就得到y=x2的
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
图像.
.
4
请画函数y=－x2的图像 解:(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
y 1
根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y),
再用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y=-x2的图 像.
.
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
x
都是抛物线.
它们的开口向上或者向下.
一般地,二次函数y=ax2+bx+c
二次函数课件 二次函数PPT
y 2(x 2)2 3
向右平移
向下平移3
2个单位
个单位
y 2x2 向左平移 y 2(x 2)2 向上平移3 y 2(x 2)2 3
2个单位
个单位
（检测学生对该节课的掌握程度，并对该节课的内 容进行巩固。）
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我 们可以利用配方法推导出它的对称轴和 顶点坐标.
画图： 步骤：列表，描点，连线（光滑曲线）
y 3x2 y 3(x 1)2
老师指导学生按照步 骤画出图像，然后让 他们互相讨论，再做 总结，让学生在动手 操作中的过程中学到 知识，感受学习带来 的乐趣。
观察两个图形有什么关系？
老师给予适当的提示，引发学生思考，培养学生勤于思考的习惯。
函数 y 3x2 的图像
式是（A）
4
A、y 1 (x 2)2 2
4
B、y
1 4
(x
2)2
2
C、y 1 (x 2)2 2 4
D、y
1 4
(x
2)2
2
3、抛物线y=3x²先向上平移2个单位，后向右平移3个
单位，所得到的抛物线是（ D ）
A、y=3(x+3)²-2
B、 y=3(x+3)²+2
C、y=3(x-3)²-2
一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图 象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴 整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左 平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平 移;当k<0时,向下平移)得到的.
初中数学微课课件：二次函数
X(cm) 0.25
0.5
y(cm2) 3.125 2.5
1
2
1.5
2.5
1.75
3.125
例题解析
例2:已知二次函数y=x²+bx+c,当x=1时,函数值为4,当x=2时,
函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.
解：把x=1，y=4和x=2，y=-5分别代入函数y= + + ，
++=
是二次函数？
解：∵函数是二次函数
∴ − − = 且 + ≠0
∴m=3
+ − +
自主练习
−+
1、如果函数y=
是
+ + 是二次函数，则k的值一定
。
−+
2、如果函数y=(k-3)
是
。
+ + 是二次函数，则k的值一定
自主练习
−+
常
数
项
二次函数的一般式
自主练习
下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y x 2
1
(2) y 2
x
2
(3) y 2 x x 1
(4) y x(1 x)
(5) y ( x 1) 2 ( x 1)( x 1)
自主练习
下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y x 2
xcm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。
当x=12cm时，计算菜园的面积。
解：由题意得：y=x(40-2x)
即：y=-2x2+40x(0<x<20)
0.5
y(cm2) 3.125 2.5
1
2
1.5
2.5
1.75
3.125
例题解析
例2:已知二次函数y=x²+bx+c,当x=1时,函数值为4,当x=2时,
函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.
解：把x=1，y=4和x=2，y=-5分别代入函数y= + + ，
++=
是二次函数？
解：∵函数是二次函数
∴ − − = 且 + ≠0
∴m=3
+ − +
自主练习
−+
1、如果函数y=
是
+ + 是二次函数，则k的值一定
。
−+
2、如果函数y=(k-3)
是
。
+ + 是二次函数，则k的值一定
自主练习
−+
常
数
项
二次函数的一般式
自主练习
下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y x 2
1
(2) y 2
x
2
(3) y 2 x x 1
(4) y x(1 x)
(5) y ( x 1) 2 ( x 1)( x 1)
自主练习
下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y x 2
xcm，菜园的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。
当x=12cm时，计算菜园的面积。
解：由题意得：y=x(40-2x)
即：y=-2x2+40x(0<x<20)
人教版数学初三上册课件：二次函数
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自
变量）
① y=ax2+bx+c ② s=3-2t²
③y=x2
不一定是，缺少 a≠0的条件.
④
y
1 x2
不是，右边 是分式.
⑤y=x²+x³+25
不是，x的最 高次数是3.
⑥ y=(x+3)²-x²
y=6x+9
方法归纳
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数 和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函 数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊 形式如y=ax2,y=ax2+bx, y=ax2+c等.
二 二次函数定义的应用
例2 y m 3 xm27.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（1）由题可知,m2 7 1, 解得 m= 2 2;
m 3 0,
m2 7 2,
（2）由题可知,
解得 m=3.
m 3 0,
注意 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而 得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
问题2 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划 今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的 值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
分析：这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 20(1+x) 件,再经过一年后的产量是 20(1+x)2 件,即
k 2 3k 4 2,
解：（1）由题意，得
k 1 0,
解得 k=2;
中考二次函数复习课件
值 a＜0
当 x＝－2ba时， y 最小值＝4ac4－a b2 当 x＝－2ba时， y 最大值＝4ac4－a b2
当 x＝h 时，y 最小值＝k 当 x＝h 时，y 最大值＝k
数学·新课标（RJ）
当
x<－2ba时，y 的值随
x
的
当 x<h 时，y 的值随 x 的增大而 减小 ；当
a＞0 增大而 减小 ；当 x>－2ba时，x>h 时，y 的值随 x 的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－2所示，则下列结论．错误 的有( )
①ac>0；②b<0；③a－b＋c<0；④a＋b＋c<0；⑤2a＋b＝0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
数学·新课标（RJ）
练习：
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ<0
y
•
0
y
•0
y
•0 (0,0)
(1)a确定抛物线的开口方向：
x
上正下负
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
上正下负, 过原点则c=0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
2
3
顶点是_______________,对称轴是__________,
当x
时, y随x的增大而减小。
当x
时, y有最 值为
.
顶点式为y 1 (x 1)2 1
2
6
巩固练习:
当 x＝－2ba时， y 最小值＝4ac4－a b2 当 x＝－2ba时， y 最大值＝4ac4－a b2
当 x＝h 时，y 最小值＝k 当 x＝h 时，y 最大值＝k
数学·新课标（RJ）
当
x<－2ba时，y 的值随
x
的
当 x<h 时，y 的值随 x 的增大而 减小 ；当
a＞0 增大而 减小 ；当 x>－2ba时，x>h 时，y 的值随 x 的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－2所示，则下列结论．错误 的有( )
①ac>0；②b<0；③a－b＋c<0；④a＋b＋c<0；⑤2a＋b＝0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
数学·新课标（RJ）
练习：
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ<0
y
•
0
y
•0
y
•0 (0,0)
(1)a确定抛物线的开口方向：
x
上正下负
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
上正下负, 过原点则c=0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
2
3
顶点是_______________,对称轴是__________,
当x
时, y随x的增大而减小。
当x
时, y有最 值为
.
顶点式为y 1 (x 1)2 1
2
6
巩固练习:
中考二次函数复习课件【优质PPT】
x=2，y最大值=3
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(-1，3)， (1，3) ， (2，6) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点
的纵坐标是3 。
顶点(6，3）
解法一设解析式为y=a(x-0)(x-12)
令y=1.4,则-0.2x2+3.2=1.4
B x解得x=-3或x=3 ∴M(-3,1.4),N(3,1.4) ∴MN=6 20 答：横向活动范围是6米。
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大; (2)、当x为何值时，y<0。 (3)、求它的解析式和顶点坐标y ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
2021/10/10
14
5一.待般定式系数y法=a求x解2+b析x式+c (a≠0) 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
6–
3–
-2 -1
12
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
二次函数的图象是一条 对称轴平行于 y 轴．
抛物线
，它是 轴
对称图形，其
2021/10/10
2
y 3.二次函数的图象及性质y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
1.1二次函数PPT课件15张
化规律有如下关系式：
（1）讲课开始后第5分 钟时与讲课开始后第25 分钟时比较，何时学生 的注意力更集中？
y
t2 24t 100 240 7t 380
0 t 10 10 t 20 20 t 40
（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意 力最集中？能持续多少分钟？
（3）一道数学难题，需要讲授24分钟，为了效果较 好，要求学生的注意力最低到达180，那么经过适当 安排，老师能否在学生注意力到达所需的状态下讲 授完这道题目？
想一想:
函数y ax2 bxc(其中a,b,c是常数)，当a,b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？
解：（1）a 0
(2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
知识拓展：
心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随着教师讲
课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力y随时间t的变
第一章 二次函数
问题情 请境用：适当的函数解析式表示下列问题情境中
的两个变量 y 与 X 之间的关系·
(1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( Cm )
y =πx2
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期， 一年后银行将本息自动转存为又一个一年定 期,设一年定期的年存款利率为 x ,两年后王先 生共得本息y元;
y = 2(1+x)2
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外 围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸 如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)·
1
y = (60-x-4)(x-2) 1
xБайду номын сангаас
3
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联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程.等式另一
边前者是y,后者是0 .精品课件.
18
知识运用
1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
∴m=3
３.Ｐ４Ｔ１,Ｐ３练习 .精品课件.
驶向胜利 的彼岸
20
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量
x的 整式。
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 ，可以没有
一次项和常数项，但不能没有二2次项。
（4）x的取值范围是任意实数。
(5) 函数的右边是一.精个品课整件. 式
10
二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0)
(3)y=3x3+2x2 ( 不是 ) (4)y=2x2-2x+1( 是 )
(5)y=x-2+x (不是 ) (6)y=x2-x(1+x) (不是 )
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19
知识运用
2:m取何值时， 函数y= (m+1)x +(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0
m2 2m1
合作交流
问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,设
正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关
系可以表示为 y=6x2①
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7
问题2:
多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
n 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 个顶点,从一个顶点出发,连接与
.精品课件.
16
解：（1）由题意得：
y=50-
，且0≤x≤160，且x为10的正整数倍．
（2）w=（180-20+x）（50- ），
即w=-
x2+34x+8000；
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17
驶向胜利的 彼岸
思考：2. 二次函数的一般式y＝ ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方 程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么 联系和区别？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正
比例函数。
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函
数。
（３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
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15
想一想：
例３、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的 房价为每天180元时，房间会全部住满．当每 个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个 房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天 支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每 天的房价不得高于340元．设每个房间的房价 每天增加x元（x为10的整数倍）． （1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与 x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的 函数关系式；
(6) v=8π r²
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13
解: (1)y=3(x-1)²+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
二次函数的特殊形式：
– 当b＝0时， y＝ax2＋c – 当c＝0时， y＝ax2＋bx – 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
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11
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 （1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c
二次函数(1)
.精品课件.
1
知识回顾
１、什么叫函数? 在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2
一次项系数: 0
一次项系数: 0 常数项: 3
常数项: 0
.精品课件.
14
例2、y=（m+3）xm2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6 （3） y=x(1+x)
.精品课件.
12
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
观察：函数①②③Biblioteka 什么共同点?y=6x2①d
1 2
n2
3 2
n②
y 20 x2 40x 20③
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
.精品课件.
9
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
点不相邻的各顶点,可以(作n-3) 条
对角线.
因为像线段MN与NM那样,连接
相同两顶点的对角线是同一条对 M
N
角线,所以多边形的对角线总数
d 1 n n 3
2
即 d 1 n2 3 n②
22
②式表示了多边形的 对角线数d与边数n之 间的关系,对于n的每一 个值,d都有唯一的对应 .精品课件值. ,即d是n的函数。 8
.精品课件.
2
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数 反比例函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0) y= k (k≠0)
x
二次函数
.精品课件.
3
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经
过的路线？它会与某种.函精品课数件.有联系吗？
4
.精品课运件. 动场上飞舞的跳绳5
.精品课奥件. 运赛场腾空的篮球6