偏最小二乘回归分析分解
第章偏最小二乘回归分析
第章偏最小二乘回归分析偏最小二乘回归(PLS Regression)是一种多元统计回归分析方法，用于处理多个自变量与一个或多个因变量之间的关系。
与传统的最小二乘回归相比，PLS回归可以在数据存在多重共线性或高维情况下获得更为稳定和准确的结果。
本章将详细介绍PLS回归的原理、应用以及其在实际问题中的使用。
1.PLS回归的原理PLS回归通过建立自变量和因变量之间的线性关系模型，将数据投影到一个新的空间中，以降低维度并消除多重共线性的影响。
PLS回归的主要思想是将原始数据进行分解，得到一系列相互相关的隐藏变量，然后使用这些隐藏变量来进行回归分析。
2.PLS回归的步骤PLS回归的步骤包括数据预处理、建立模型、模型评估和解释。
首先，需要对原始数据进行预处理，包括中心化和标准化，以保证数据的平均值为零且方差为一、然后，通过逐步回归的方法构建模型，选择与响应变量高度相关的隐藏变量。
模型的选择可以通过交叉验证的方法进行。
最后，通过解释模型的系数和残差来评估模型的质量和可解释性。
3.PLS回归的应用PLS回归在实际问题中有广泛的应用，特别是在化学、生物、医学和食品科学等领域。
例如，PLS回归可以用于药物分析，通过测量药物的光谱数据来预测其浓度。
另外，PLS回归还可以用于食品安全和质量检测，通过分析食品的化学成分和感官属性来预测食品的品质。
4.PLS回归的优势和局限性相比于传统的最小二乘回归，PLS回归具有以下优势：能够处理高维数据和多重共线性问题，对异常值和缺失数据有较强的鲁棒性，对小样本数据有较好的稳定性。
然而，PLS回归也存在一些局限性，例如对数据的敏感性较高，模型的解释性较差，难以挑选合适的隐藏变量数量。
5.PLS回归的使用在使用PLS回归时，需要注意选择合适的模型评估方法和隐藏变量数量。
常用的评估方法包括交叉验证和留一法。
此外，还需要注意数据预处理的方法，如中心化、标准化和异常值处理等。
对于隐藏变量数量的选择，可以通过观察坐标平方和贡献率图来确定。
偏最小二乘回归结果解读 -回复
偏最小二乘回归结果解读-回复步骤一：介绍偏最小二乘回归偏最小二乘回归（Partial Least Squares Regression，简称PLSR）是一种经典的回归方法，常用于统计建模和数据分析中。
它可以处理多个自变量之间存在共线性的情况，同时也可以寻找到与因变量相关性最大的信息。
PLSR方法的核心思想是将原始自变量的空间通过线性变换映射到一个新的空间，使得原始自变量和因变量在新空间中的相关性最大化。
这个映射过程基于对原始自变量和因变量之间的协方差矩阵进行分解，得到多个相互正交的潜在变量。
这些潜在变量被称为PLS因子或者主成分，它们的个数通常小于原始自变量的个数。
步骤二：数据准备在进行PLSR分析之前，需要准备一组用于构建回归模型的数据。
这组数据通常包含两个部分：自变量X和因变量Y。
自变量X是一个m×n的矩阵，其中m为样本数量，n为自变量个数；因变量Y是一个m×1的向量。
确保数据的质量和准确性对后续的模型构建和结果解释非常重要。
步骤三：模型构建PLSR模型的构建分为两个阶段：训练阶段和预测阶段。
在训练阶段，使用训练数据集来计算PLS因子，并建立PLSR模型。
在预测阶段，使用测试数据集来评估模型的性能。
训练阶段的具体步骤如下：1. 中心化：对自变量X和因变量Y进行中心化处理，即对每个变量减去其均值，确保数据的均值为0。
2. 标准化：对中心化后的自变量X和因变量Y进行标准化处理，即对每个变量除以其标准差，确保数据的方差为1。
3. PLSR建模：通过奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）对中心化和标准化后的X和Y进行分解，得到PLS模型的系数矩阵。
步骤四：结果解释PLSR模型构建完成后，就可以进行结果解释的分析了。
常用的结果解释方法有：1. PLSR负荷图：负荷图可以帮助我们理解变量与PLS因子之间的关系。
在负荷图中，每个自变量和因变量都用一个箭头表示，箭头的长度表示变量与该PLS因子的相关性。
偏最小二乘回归分析
x y xy 101.8389 b 2 2 , x x a y b x -28.6883
y
2 [ y ( a bx )] i i
n2
0.931912
利用肖维涅舍弃判据来剔除测量值中带有粗差的数 据，列表如下（n=16时,Cu=2.15)：
递推关系:
P0(x)=1, P1(x)=x,
2 P2 ( x) 1 ( 3 x 1) 2
则： a 28.7 0.4 b 101.8 0.1
即回归方程为：
y 28.7 101.8 x
附：临界相关系数 R表
N-2 a
0.05 0.01
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.997 0.950 0.878 0.811 0.754 0.707 0.666 0.632 0.602 0.576 1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.707
1.3 相关关系
相关关系的描述 相关关系最直观的描述方式——坐标图（散点图）
非线性相关
零相关
正相关
负相关
相关系数 — 相关程度的度量
X和Y的总体 相关系数： •
Cov( X , Y ) Var ( X )Var (Y )
其中： Var(X)-----X 的方差 Var(Y)-----Y的方差 Cov（X，Y）-----X和Y的协方差
解： 1.列表
n x
y x2 y2 xy
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.11
82.5 1.2321 6806.25 91.575
偏最小二乘回归分析
偏最小二乘回归分析偏最小二乘回归分析（PLS）是一种统计分析技术，用于建立一个或多个解释变量（X）与一或多个响应变量（Y）之间的关系，以帮助研究者分析一个系统的影响因素，并确定响应变量的变化。
偏最小二乘回归分析还可以用来准确预测给定的解释变量可能会产生的响应变量。
偏最小二乘回归分析是为了弥补线性回归分析（LRA）的不足而开发的一种技术。
LRA假定解释变量之间没有非线性关系，而PLS可以更好地模拟非线性关系。
它也可以用于处理多元线性回归的解释变量间的相关性，以及用于处理一组试验组和一组参照组时的相关性。
偏最小二乘回归分析的优势主要体现在其对异常值敏感性低，可以简化计算，处理较大数据量，以及对模型表现和预测准确性更好等方面。
PLS的基本思想是将解释变量和响应变量分解成“属性”和“指标”，并计算属性和指标之间的相关性。
属性是构成解释变量和响应变量的基本成分，而指标是利用属性对响应变量的解释能力的衡量指标。
PLS可以用来计算属性与特定指标的相关性，也可以用来识别有助于预测响应变量值的最相关属性。
建立一个偏最小二乘回归模型的过程很复杂，但是要建立一个模型，需要一些基本步骤。
首先，需要收集一组代表解释变量和响应变量的实际数据。
对于每一对变量，需要对它们的关系进行分析，以获得拟合系数，以及预测响应变量的准确性，并考虑可能的异常值。
接下来，需要调整解释变量的权重，以便尽可能准确地得出每一个变量的重要性。
最后，需要使用正确的统计技术来评估模型。
总而言之，偏最小二乘回归分析是一种统计分析技术，可以用来建立一个或多个解释变量（X）和一个或多个响应变量（Y）之间的关系，并确定响应变量的变化。
它可以在包含多个解释变量的试验中实现更准确的解释和预测，而且可以在任何数据集中成功运行，即使存在异常值也是如此。
因此，偏最小二乘回归分析可以提供更精确的结果，可以帮助研究者在其研究中发现有效的特定关系。
回归分析中的偏最小二乘回归模型应用技巧(Ⅱ)
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它用于研究自变量与因变量之间的关系。
在实际应用中，回归分析可以帮助我们预测未来的趋势、评估影响因素、进行市场预测等。
而偏最小二乘回归模型（Partial Least Squares Regression, PLSR）作为一种回归分析方法，在一些特定领域有着非常明显的应用优势。
本文将探讨偏最小二乘回归模型的应用技巧，帮助读者更好地理解和运用这一方法。
一、理解偏最小二乘回归模型的原理偏最小二乘回归模型是一种多元统计分析方法，它主要用于解决自变量之间存在多重共线性、因变量之间存在相关性等问题。
在传统的多元线性回归中，当自变量之间存在高度相关性时，会导致回归系数的估计不准确，甚至无法进行回归分析。
而偏最小二乘回归模型通过对自变量和因变量进行降维处理，找到最能解释因变量变异的新变量，从而避免了多重共线性和相关性带来的问题。
在偏最小二乘回归模型中，首先会将自变量和因变量进行主成分分析，得到新的主成分变量。
然后，通过最小二乘法对主成分变量进行回归分析，得到了偏最小二乘回归系数。
这些回归系数可以帮助我们理解自变量和因变量之间的关系，同时也可以用于预测和分析。
二、选择合适的偏最小二乘回归模型在应用偏最小二乘回归模型时，选择合适的模型是非常重要的。
首先，我们需要考虑自变量和因变量之间的关系是否符合线性关系。
如果存在非线性关系，可以考虑使用非线性偏最小二乘回归模型，或者对数据进行变换处理。
其次，我们需要考虑自变量和因变量的数量和相关性，以确定模型的复杂度和可解释性。
最后，我们还需要考虑模型的稳定性和预测能力，以确保选择的模型能够有效地解释数据和进行预测。
三、数据预处理在进行偏最小二乘回归分析之前，我们需要对数据进行预处理。
首先，我们需要对数据进行标准化处理，以消除不同变量之间的量纲差异。
其次，我们需要对数据进行缺失值处理和异常值处理，以确保数据的完整性和准确性。
最后，我们还可以考虑对自变量进行降维处理，以减少模型的复杂度和提高计算效率。
(真正的好东西)偏最小二乘回归=多元线性回归分析+典型相关分析+主成分分析教学内容
(真正的好东西)偏最小二乘回归=多元线性回归分析+典型相关分析+主成分分析偏最小二乘回归是一种新型的多元统计数据分析方法，它与1983年由伍德和阿巴诺等人首次提出。
近十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。
密西根大学的弗耐尔教授称偏最小二乘回归为第二代回归分析方法。
偏最小二乘回归方法在统计应用中的重要性主要的有以下几个方面：（1）偏最小二乘回归是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。
（2）偏最小二乘回归可以较好地解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。
在普通多元线形回归的应用中，我们常受到许多限制。
最典型的问题就是自变量之间的多重相关性。
如果采用普通的最小二乘方法，这种变量多重相关性就会严重危害参数估计，扩大模型误差，并破坏模型的稳定性。
变量多重相关问题十分复杂，长期以来在理论和方法上都未给出满意的答案，这一直困扰着从事实际系统分析的工作人员。
在偏最小二乘回归中开辟了一种有效的技术途径，它利用对系统中的数据信息进行分解和筛选的方式，提取对因变量的解释性最强的综合变量，辨识系统中的信息与噪声，从而更好地克服变量多重相关性在系统建模中的不良作用。
（3）偏最小二乘回归之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。
由于偏最小二乘回归在建模的同时实现了数据结构的简化，因此，可以在二维平面图上对多维数据的特性进行观察，这使得偏最小二乘回归分析的图形功能十分强大。
在一次偏最小二乘回归分析计算后，不但可以得到多因变量对多自变量的回归模型，而且可以在平面图上直接观察两组变量之间的相关关系，以及观察样本点间的相似性结构。
这种高维数据多个层面的可视见性，可以使数据系统的分析内容更加丰富，同时又可以对所建立的回归模型给予许多更详细深入的实际解释。
一、 偏最小二乘回归的建模策略\原理\方法1.1建模原理设有 q 个因变量{q y y ,...,1}和p 自变量{p x x ,...,1}。
偏最小二乘法回归系数值
偏最小二乘法回归系数值一、偏最小二乘法回归系数值的定义偏最小二乘法回归系数值是用来量化自变量与因变量之间关系强度的参数，用来衡量自变量和因变量之间关系的强度和方向的统计量。
它通过最小化预测误差方和来估计回归系数，从而得到回归方程。
二、偏最小二乘法回归系数值的意义偏最小二乘法回归系数值是在回归分析中，偏最小二乘法是一种常用的方法，它通过对自变量和因变量进行线性回归分析，得出回归系数值，从而揭示出自变量对因变量的影响程度。
三、偏最小二乘法回归系数值的特点偏最小二乘法回归系数值的特点在于自变量的变换过程，它使用了典型相关分析的目标函数和主成分分析的约束方程，变换是求解组间相关性最强的变量，不过它的约束条件是控制变换向量的范数。
四、偏最小二乘法回归系数值的影响从形式上看，它使用了典型相关分析的目标函数和主成分分析的约束方程。
另一个角度看，偏最小二乘的回归参数也是使用最小二乘估计的，所以它在回归参数求解的时候，对于多个因变量的参数是单独求解的。
在偏最小二乘法回归分析中，回归系数值的正负表示自变量和因变量之间的相关关系方向，正值表示正相关，负值表示负相关。
回归系数值的绝对值大小则表示自变量对因变量的影响程度。
一般来说，如果回归系数值的绝对值较大，说明自变量对因变量的影响程度较大，反之则较小。
五、解释偏最小二乘法回归系数值的注意事项首先，回归系数值并不是一个概率或概率比值，它只表示自变量和因变量之间的相关关系强度和方向。
其次，回归系数值的大小并不代表预测的准确性，预测的准确性需要使用其他统计方法进行评估。
最后，回归系数值并不是固定不变的，它们会随着样本数据的变化而变化。
六、偏最小二乘回归系数值的计算步骤1.收集数据，建立样本矩阵。
2.对样本矩阵进行标准化处理。
3.计算样本矩阵的协方差矩阵。
4.对协方差矩阵进行特征值分解。
5.提取主成分，保留前k个主成分。
6.建立回归模型，使用主成分作为自变量，因变量为原始数据中的因变量。
偏最小二乘法PLS和PLS回归的介绍及其实现方法
偏最小二乘法PLS和PLS回归的介绍及其实现方法偏最小二乘法（Partial Least Squares，简称PLS）是一种多元统计学方法，常用于建立回归模型和处理多重共线性问题。
它是对线性回归和主成分分析（PCA）的扩展，可以在高维数据集中处理变量之间的关联性，提取重要特征并建立回归模型。
PLS回归可以分为两个主要步骤：PLS分解和回归。
1.PLS分解：PLS分解是将原始的预测变量X和响应变量Y分解为一系列的主成分。
在每个主成分中，PLS根据两者之间的协方差最大化方向来寻找最佳线性组合。
PLS根据以下步骤来获得主成分：1)建立初始权重向量w，通常是随机初始化的；2) 计算X和Y之间的协方差cov(X,Y)；3)将w与X与Y的乘积进行中心化，得到新的X'和Y'；4)标准化X'和Y'，使得它们的标准差为1；5)多次迭代上述步骤，直到达到设定的主成分数目。
2.回归：在PLS分解之后，我们得到了一组主成分，接下来可以使用这些主成分来建立回归模型。
回归模型可以通过以下步骤来构建：1)将X和Y分别表示为主成分的线性组合；2)根据主成分得分对回归系数进行估计；3)使用估计的回归系数将新的X预测为Y。
PLS的实现可以通过以下几种方法：1.标准PLS（NIPALS算法）：它是最常见的PLS算法。
它通过递归地估计每个主成分和权重向量来实现PLS分解。
该算法根据数据的方差最大化原则得到主成分。
2.中心化PLS：数据在进行PLS分解之前进行中心化。
中心化可以确保主成分能够捕捉到变量之间的相关性。
3. PLS-DA：PLS-Discriminant Analysis，是PLS在分类问题中的应用。
它通过利用PLS分解找到最佳线性组合，以区分两个或多个不同的分类。
4. PLS-SVC：PLS-Support Vector Classification，是PLS在支持向量机分类中的应用。
它通过PLS寻找最优线性组合，同时最小化分类误差。
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是首先在自变量集中提出第一成分 u1 （ u1 是 x1 ,
的线性组合，且尽可能多地提取原自变量集中的变异 信息）；同时在因变量集中也提取第一成分 v1 ，并要 求 u1 与 v1 相关程度达到最大。 然后建立因变量 y1 , 法中止。
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, yp
与 u1 的回归，如果回归方程已达到满意的精度，则算
数学建模算法与应用
第11章 偏最小二乘回归分析
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数学 建模
在实际问题中，经常遇到需要研究两组多重相关 变量间的相互依赖关系，并研究用一组变量（常称为 自变量或预测变量）去预测另一组变量（常称为因变 量或响应变量），除了最小二乘准则下的经典多元线 性回归分析（MLR），提取自变量组主成分的主成分 回归分析（PCR）等方法外，还有近年发展起来的偏最 小二乘（PLS）回归方法。
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数学 建模
（1）分别提取两变量组的第一对成分，并使之相 关性达最大。 假设从两组变量分别提出第一对成分为 u1 和 v1 ， u1 是自变量集 X [ x1 , , xm ]T 的线性组合 u1 11 x1 1m xm (1)T X ， T v1 是因变量集Y [ y1 , , y p ] 的线性组合
ˆ1 B (1) v b11 bn1 b1 p 11 . bnp 1 p
（11.2）
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数学 建模
第一对成分 u1 和 v1 的协方差Cov( u1 , v1 ) 可用第一 ˆ1 和 v ˆ1 的内积来计算。故而以上两 对成分的得分向量 u 个要求可化为数学上的条件极值问题 ˆ1 v ˆ1 ) ( A (1) B (1) ) (1)T AT B (1) max ( u
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数学 建模
否则继续第二对成分的提取，直到能达到满意的 精度为止。若最终对自变量集提取r 个成分 u1 , u2 , , ur ，偏最小二乘回归将通过建立 y1 , , y p 与
u1 , u2 , , ur 的回归式，然后再表示为 y1 ,
, y p 与原自变
量的回归方程式，即偏最小二乘回归方程式。
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数学 建模
（2） 建立 y1 ,
, y p 对 u1 的回归及 x1 ,
, xm 对 u1 的回
归。 假定回归模型为 (1)T ˆ A u A1 , 1 (1)T ˆ B u B1 , 1 其中 (1) [ 11 , , 1m ]T ， (1) [ 11 ,
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数学 建模
本章介绍偏最小二乘回归分析的建模方法；通过 例子从预测角度对所建立的回归模型进行比较。
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11.1
ห้องสมุดไป่ตู้
偏最小二乘回归分析 考 虑 p 个 因 变 量 y1 , y2 ,
, yp 与 m 个 自 变 量
, xm
x1 , x2 ,
, xm 的建模问题。偏最小二乘回归的基本作法
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数学 建模
偏最小二乘回归提供一种多对多线性回归建模的 方法，特别当两组变量的个数很多，且都存在多重相 关性，而观测数据的数量（样本量）又较少时，用偏 最小二乘回归建立的模型具有传统的经典回归分析 等方法所没有的优点。 偏最小二乘回归分析在建模过程中集中了主成 分分析，典型相关分析和线性回归分析方法的特点， 因此在分析结果中，除了可以提供一个更为合理的回 归模型外，还可以同时完成一些类似于主成分分析和 典型相关分析的研究内容，提供一些更丰富、深入的 信息。
（11.5）
, 1 p ]T 分别是多对
一的回归模型中的参数向量， A1 和 B1 是残差阵。
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数学 建模
回归系数向量 (1) , (1) 的最小二乘估计为 2 (1) AT u ˆ1 u ˆ1 , (1) 2 T ˆ1 u ˆ1 , B u 称 (1) , (1) 为模型效应负荷量。
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数学 建模
为了方便起见，不妨假定 p 个因变量 y1 ,
, y p 与m
个自变量 x1 , , xm 均为标准化变量。自变量组和因变 量组的 n次标准化观测数据矩阵分别记为 b1 p b11 a1m a11 A . ，B bn1 anm b np a n1 偏最小二乘回归分析建模的具体步骤如下
（11.6）
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（3）用残差阵 A1 和 B1 代替 A和 B 重复以上步骤。 ˆ u ˆ， ˆ u ˆ1 (1)T ， B ˆ1 (1)T ，则残差阵 E1 A A 记A ˆ 。如果残差阵 B 中元素的绝对值近似为 0， B1 B B 1 则认为用第一个成分建立的回归式精度已满足需要 了， 可以停止抽取成分。 否则用残差阵 A1 和 B1 代替 A和 B 重复以上步骤即得
(1)T (1) (1) 2 1, s.t. (1)T (1) (1) 2 1.
（11.3）
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数学 建模
利用Lagrange乘数法，问题化为求单位向量 (1) 和 使1 (1)T AT B (1) 达到最大。 问题的求解只须通 (1) ， T T M A BB A 的特征值和特征向 过计算 m m矩阵 量，且 M 的最大特征值为 12 ，相应的单位特征向量就 是所求的解 (1) ，而 (1) 可由 (1) 计算得到 1 T (1) B A (1) （11.4） 1
v1 11 y1
1 p y p
(1)T
Y。
为了回归分析的需要，要求 i） u1 和 v1 各自尽可能多地提取所在变量组的变异信 息； ii） u1 和 v1 的相关程度达到最大。
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数学 建模
由两组变量集的标准化观测数据矩阵 A和 B ， 可以 ˆ1 和 v ˆ1 计算第一对成分的得分向量，记为 u a1m 11 a11 (1) ˆ u1 A （11.1） ， anm a n1 1m