第四章曲线与曲面

螺旋线有左旋和右旋之分。当点按右手定则（以 右手拇指指点的移动方向，四指弯曲指着点的旋转方 向）运动时，则称为右旋(a)，反之，则称为左旋(b)。
(a)
(b)
圆柱螺旋线的投影图
1、由直径φ和导程PH作出圆柱的两面投影； 2、确定左旋或右旋，分别将两面投影的圆周及导程 分成相等等分并编号； 3、将H面投影的等分点向上作垂线，正面投影的等分 点作水平线，垂线与水平线的交点即螺旋线上的点； 4、依次用光滑曲线连接各交点，并判别其可见性。
的 影的中心就是圆心在该投影面上的投影；椭圆的
投 影
长轴为圆内平行于该投影面的直径的投影，长度
特 为圆的直径；椭圆的短轴是垂直于长轴的圆的直
性： 径的投影，长度与圆和该设影面的倾角有关。
三、圆柱螺旋线
凡是曲线上有任意四个连续的 点不属于同一平面，则称该曲线为 空间曲线。螺旋线为常见的规则空 间曲线。
c”W
C
a
b
c
圆柱的投影
a’ c’d’ 侧面转向轮廓线 A
d
X
a
d” a”b” c”
Cb
c
Y
（2）、圆柱表面上的点
已知圆柱表面上的点M及N正面投影a’、 b’、 m′和n′，求它们的其余两投影。
b’ a’
(b”) a”
b
a
在圆柱表面上取点
2、圆锥面
（1）、 圆锥面的形成与投影
圆锥表面由圆锥面和底圆组成。它是一母线绕
m
(n)
a’
m (n )
(a”)
n
a
m
在圆锥表面上定点
3、球面
（1）、 球面的形成与投影
第二节 回转曲面
一、曲面的形成
导线
L
母线
素线
非回转曲面
• 回转曲面——曲直母线或曲母线绕一固定 轴旋转而形成的曲面（如下页图）
• 非回转曲面——曲直母线或曲母线绕一固 定的导线移动形成的曲面（如上页图）
轴线
O
顶圆
母线 素线
赤道圆 O
喉圆/颈圆
纬圆 底圆
回转面的术语
回转曲面
1、圆柱面
圆柱表面由圆柱面和顶面、底面所组成。圆柱面是
顶面与投 影面垂直
BA
E D
C
a
d
e
b
c
二、 圆的投影
圆的投影特性： 1、当圆所在的平面平行于投影面时，圆 的投影反映实形；
二、 圆的投影
圆的投影特性： 2、当圆所在平面垂直于投影面时，圆的投影是积聚 成一直线，其长度等于圆的直径；
二 、 圆 的 投 影
圆 3、当圆倾斜于投影面时，圆的投影是椭圆：投
X
c’d’ Ad a
Ba”(b”) c” 线和侧面转
bC
向轮廓线。
c
Y
（2）、圆锥面上的点
在圆锥表面上求点，有两种方法：一种是素线法，
一种是辅助圆法。
Z
V
1）：辅助素线法
过M点及锥顶S
作一条素线SⅠ,
a’
先求出素线SⅠ的 投影,再求出素线 X
上的M点。
s’ S
s” W
m’
b’
c’d’
M
A d
m
a
d” m” Ba”(b”) C b c
圆锥投影图的绘制：
s’
（1） 先绘出圆锥的对称线、回 转轴线。
s” （2）在水平投影 面上绘出圆锥底圆， 正面投影和侧面投 影积聚为直线。
a’
b’ c’(d’) d
d” a’(b’) c” Z
(3) 作出锥 顶的正面投
s’
影和侧面投
V
S
s” W
影并画出正
a
s
b
b’ d”
面转向轮廓
c 圆锥的投影
a’
一、曲线概述 1、曲线的形成
曲线是由点的运动产生的
曲线的分类
平面曲线
按点的运动轨 迹是否在同一
平面
空间曲线
由线上所有点均在同 一平面内：圆、椭圆、 抛物线、双曲线等
曲线上任意连续四个 点不在同一平面内： 圆柱螺旋线
2、曲线的投影特性
（1）曲线的投影一般仍为曲线 （2）平面曲线的投影一般仍是曲线。但当曲线 所在的平面垂直于投影面时，曲线的投影为一直 线。 （3）曲线上点的投影仍在曲线的同面投影上。
c”
Y
圆锥的三面投影图
s’
s”
已知圆锥表面的点
M的正面投影m’,求出
M点的其它投影。
m’ a’
1’ c’(d’) d
m”
b’
过m’s’作圆锥表面
d” a’(b’)1” c” 上的素线，延长交底
圆为1’。
a
s
b
m
1 c
图3-14 圆锥的投影及表面上的点
求出素线的水平投 影s1及侧面投影s”1”。
求出M点的水平投 影和侧面投影。
三、圆柱螺旋线： 动点M沿一直线等速运动，而该直线同时绕与它平
行的一轴线O等速旋转时，动点的轨迹称为圆柱螺旋 线。
当该直线绕O旋转一周，动点M移动的距离MM1， 称为导程。
(b) (a)
将底面周长，另一直角边即 为导程。底面周长与斜边的夹角α称为升角。
由一直母线绕与之平行的轴线回转而成。 Z
（1）、圆柱面的形成与投影
c’d’
b’
如图所示，圆柱 V a’
D
的轴线垂直于H面，
A
其上下底圆为水平面，
d”
B
a”b”
c”W
C
水平投影反映实形， a’ c’d’
其正面和侧面投影重
A
影为一直线。
X
d
d” a”b” c”
Cb
一个投影为圆，其余二投影 a
c
Y
均为矩形。
s’ 2’ m’ 3’
s”
已知圆锥面上
M点的水平投影m，
求出其m’和m”。
m”
a’
b’ d”
以s为中心，以 c” sm为半径画圆，
a2
s 3b
m
圆锥的投影及表面上的点
作出辅助圆的正 面投影2’3’。
求出m’及m”的 投影。
课堂练习：已知圆 锥表面上点M及N的 正面投影m′和n′ ，求它们的其余两 投影。
与它相交的轴线回转而成。
Z
如图所示，圆锥
s’
轴线垂直H面，底面
V
S
为水平面，它的水平
投影反映实形，正面
b’
和侧面投影重影为一
a’ c’d’
直线。
对于圆锥面，要 分别画出正面和侧
正面转向轮廓线 A d
X
侧面转向轮廓线 a
s” W
d”
Ba”(b”) c” C b
c
Y
面转向轮廓线
图3-11 圆锥的三面投影图
圆柱的三面投影图
圆柱投影图的绘制：
（1） 先绘出圆柱的对
a’
c’(d’) b’ d’ a”(b”) c’ 称线、回转轴线。 （2）绘出圆柱的顶面
和底面。
（3）画出正面转向轮
廓线和侧面转Z 向轮廓线。
a’ c’(d’) b’ d’ d
c’ a”(b”)
c’d’ b’
V a’
D
A
正面转向轮廓线
d”
B
a”b”
2）：辅助纬圆法
过M点作一平行 与底面的水平辅助圆， V 该圆的正面投影为过 m’且平行于a’b’的直
a’
线2’3’，它们的水平 投影为一直径等于 X 2’3’的圆，m在圆周
Z
s’ S
s” W
m’
b’
c’d’
M
A d
m
a
d” m” Ba”(b”) C b c
c”
Y
上，由此求出m及m”。
圆锥的三面投影图