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在职研究生考试数学测试练习题

微积分

（1）设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则

2

)(lim

x

x

x y x -→（）

（A ）等于0.

（B ）等于1.

（C ）等于2.

（D ）不存在.

解20

00()()1()1

lim

lim lim (0)222

x x x y x x y x y x y x x →→→'''--''===， 将0x =代入方程，得2

(0)(1)(0)(0)1y x y x y '''+-+=，又0)0(=y ，1)0(='y ，故(0)2y ''=， 所以2

()lim

1x y x x

x →-=，选择B. （2）设在全平面上有0)

,(

y x f ，

0),(>??y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（）

（A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >.

（D ）21x x <，21y y >.

解

(,)

0(,)f x y f x y x

?

0(,)f x y f x y y

?>??关于y 单调增加， 当21x x >，21y y <时，112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y <<，选择A.

（3）设)(x f 在),(+∞-∞存在二阶导数，且)()(x f x f --=，当0

()0f x ''>，则当0>x 时有（）

（A ）0)(,0)(>''<'x f x f . （B ）0)(,0)(<''>'x f x f . （C ）0)(,0)(>''>'x f x f . （D ）0)(,0)(<''<'x f x f . 解【利用数形结合】

)(x f 为奇函数，当0时，)(x f 的图形为

递减的凸曲线，选择D.

（4）设函数)(x f 连续，且(0)0f '<，则存在0δ>，使得（）

（A ）在(0,)δ内单调增加 （B ）在(,0)δ-内单调减少

（C ）对任意的(0,)x δ∈，有()(0)f x f > （D ）对任意的(,0)x δ∈-，有()(0)f x f >

解【利用导数的定义和极限的保号性】0()(0)

(0)lim 0x f x f f x →-'=<，

由极限的的保号性，(0,)U δ?，在此邻域内，()(0)

0f x f x

-<，

所以对任意的(,0)x δ∈-，有()(0)f x f >，选择D.

(5) 函数

在下列哪个区间内有界.

(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).

[ A ]

【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限与存在，则

函数f (x)

在(a , b)内有界.

【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而，

，

，，，

所以，函数f (x)在(-1 , 0)内有界，故选(A).

【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界；如函数 f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限与

存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界.

（6）设f (x)在(-∞ , +∞)内有定义，且，

2)2)(1()

2sin(||)(---=

x x x x x x f )

(lim x f a

x +

→)

(lim x f b

x -

→183sin )(lim 1

-

=+

-→x f x 42sin )(lim 0-

=-

→x f x 42

sin )(lim 0=

+

→x f x ∞=→)(lim 1x f x ∞=→)(lim 2x f x )

(lim x f a

x +

→)

(lim x f b x -

→a

x f x =∞→)(lim

，则

(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间

断点.

(C) x = 0必是g(x)的连续点.

(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a 的取值有关.

[ D ]

【分析】考查极限是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换

元

，

可将极限转化为.

【详解】因为= a(令

)，又g(0) = 0，所以，

当a = 0时，，即g(x)在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，

，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0

处的连续性

与a 的取值有关，故选(D).

【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性.

(7) 设f (x) = |x(1 - x)|，则

(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.

?????=≠=0,00

,)1()(x x x

f x

g )

(lim 0x g x →x u 1

=

)

(lim 0

x g x →)

(lim x f x ∞

→)(lim )1(lim )(lim 00u f x f x g u x x ∞→→→==x u 1

=

)

0()(lim 0

g x g x =→)

0()(lim 0

g x g x ≠→

(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点.

[ C ]

【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，

考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 【详解】设0 <δ< 1，当x ∈ (-δ , 0) ? (0 , δ)时，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)

的极小值点.

显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x) = -x(1 -

x)，，

当x ∈ (0 , δ)时，f (x) = x(1 - x)，，所以(0 , 0)

是曲线y = f (x)的拐点.

故选(C).

【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (8) 设有下列命题：

(1) 若收敛，则收敛.

(2) 若收敛，则收敛.

(3) 若

，则发散.

(4) 若收敛，则，都收敛.

则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3).

(C) (3) (4).

(D) (1) (4).

[ B ]

【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.

02)(>=''x f 02)(<-=''x f ∑∞

=-+1

212)

(n n n u u ∑∞

=1

n n

u ∑∞

=1

n n

u ∑∞

=+1

1000n n u 1lim 1>+∞→n

n n u u

∑∞

=1n n

u ∑∞

=+1

)

(n n n v u ∑∞

=1

n n u ∑∞

=1

n n

v

【详解】(1)是错误的，如令，显然，分散，而收敛.

(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.

(3)是正确的，因为由可得到

不趋向于零(n →∞)，所以发散.

(4)是错误的，如令

，显然，，都发散，而

收敛. 故选(B).

【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型. (9) 设在[a , b]上连续，且，则下列结论中错误的是

(A) 至少存在一点，使得> f (a). (B) 至少存在一点，使得> f (b).

(C) 至少存在一点，使得.

(D) 至少存在一点

，使得

= 0.

[ D ]

【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可

选出错误选项.

【详解】首先，由已知在[a , b]上连续，且，则由介值定理，

至少存在一点

，使得

；

另外，，由极限的保号性，至少存在一点

n

n u )1(-=∑∞

=1n n

u ∑∞

=-+1

212)

(n n n u u 1lim 1>+∞→n

n n u u

n

u ∑∞

=1

n n

u n v n u n n 1,1-

==

∑∞=1n n u ∑∞

=1n n v ∑∞

=+1

)

(n n n v u )(x f '0)(,0)(<'>'b f a f ),(0b a x ∈)(0x f ),(0b a x ∈)

(0x f ),(0b a x ∈0

)(0='x f )

,(0b a x ∈)

(0x f )(x f '0)(,0)(<'>'b f a f )

,(0b a x ∈0

)(0='x f 0

)

()(lim

)(>--='+

→a x a f x f a f a x )

,(0b a x ∈

使得，即

. 同理，至少存在一点

使得

. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).

【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.

（10）设函数具有二阶导数，且，为自变量在点

处的增量，分别为在点处对应的增量与微分，若，则

(A) . (B) .

(C) . (D) . [ Ａ]

【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】由知，函数单调增加，曲

线凹向，作函数的图形如右图所示，显然当时，

，故应选(Ａ).

（11）设函数

在处连续，且，则

(A) 存在 (B) 存在

(C) 存在 (D)

存在

[ C ]

【分析】从

入手计算，利用导数的左右导数定义判定

的存在性.

【详解】由

知，.又因为

在处连续，则

.

)

()(00>--a

x a f x f )

()(0a f x f >)

,(0b a x ∈)

()(0b f x f >()y f x =()0,()0f x f x '''>>x ?x 0

x d y y ?与()f x 0x

0x ?>0d y y <>()f x ()y f x =()y f x =0x ?>00d ()d ()0

y y f x x f x x ''?>==?>()

f x 0x =()22

lim

1

h f h h →=()()

000f f -'=且()()

010f f -'=且()()000f f +'=且()()

010f f +'=且()22

lim

1

h f h h →=(0)f (0),(0)

f f -+''()22

lim

1

h f h h

→=()20

lim 0h f h →=()

f x 0x =()20

(0)lim ()lim 0

x h f f x f h →→===

令，则.

所以存在，故本题选（C ）.

（12）若级数

收敛，则级数

(A) 收敛 . （B ）收敛.

(C) 收敛. (D) 收敛.

[ Ｄ ]

【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定.

【详解】由收敛知收敛，所以级数收敛，故应选(Ｄ).

或利用排除法：

取

，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；

取

.故（Ｄ）项正确.

（13）设非齐次线性微分方程有两个不同的解为

任意常数，则该方程的通解是

（Ａ）. （Ｂ）.

（Ｃ）

. （Ｄ）

[ Ｂ ]

【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可. 【详解】由于是对应齐次线性微分方程的非零解，

所以它的通解是

，故原方程的通解为

，故应选(Ｂ).

2

t h =()()22

(0)

1lim

lim (0)h t f h f t f f h t +

+→→-'===(0)

f +'1

n

n a

∞

=∑1

n

n a

∞

=∑1

(1)

n

n

n a ∞

=-∑1

1

n n n a a ∞

+=∑1

12n n n a a ∞

+=+∑1

n

n a ∞

=∑1

1

n n a ∞

+=∑1

12n n n a a ∞

+=+∑1

(1)n

n a n =-(1)n

n a =-()()y P x y Q x '+=12(),(),y x y x C

[]

12()()C y x y x -[]

112()()()y x C y x y x +-[]12()()C y x y x +[]

112()()()y x C y x y x ++12()()

y x y x -()0y P x y '+=[]

12()()Y C y x y x =-[]

1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-

【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：

.

其中是所给一阶线性微分方程的特解，是对应齐次微分方程的通解.

（14）设均为可微函数，且，已知是在

约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若，则. (B) 若，则. (C) 若，则

.

(D) 若

，则

.

[ Ｄ ]

【分析】利用拉格朗日函数在（是

对应

的参数的值）取到极值的必要条件即可.

【详解】作拉格朗日函数，并记对应的参

数的值为

，则

，即 .

消去

，得

,

整理得.（因为

），

若

，则

.故选（Ｄ）.

线性代数

（1）二次型222

123123121323(,,)44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-的规范型是（）.

*y y Y =+*y Y (,)(,)f x y x y ?与(,)0y x y ?'≠00(,)x y (,)f x y (,)0x y ?=00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '=00(,)0x f x y '=00(,)0y f x y '≠00(,)0

x f x y '≠00(,)0

y f x y '=00(,)0

x f x y '≠00(,)0

y f x y '≠(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+000(,,)x y λ0λ

00

,x y λ(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+00,x y

λ0

λ000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ?'=??'=??00000

00000(,)(,)0

(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λ?λ??''+=??

''+=??0

λ00000000(,)(,)(,)(,)0

x y y x f x y x y f x y x y ??''''-=000000001

(,)(,)(,)

(,)

x y x y f x y f x y x y x y ??'''=

'(,)0

y x y ?'≠00(,)0

x f x y '≠00(,)0

y f x y '≠

（A ）222123f z z z =++.（B ）222

123f z z z =+-. （C ）22

12f z z =-.（D ）21f z =.

解二次型的规范型由它的正负惯性指数确定，

二次型的矩阵122244244A -?? ?

=-- ? ?-??

，其特征多项式

2122922

2

4400(9)2

4

40

A E λ

λλλλλλλ

λ

-----=---=-=----， 故A 的特征值为9,0,0，正惯性指数1p =，负惯性指数0q =，选择D.

（2）设1211121k A k k ?? ?

=+ ? ???

，B 是三阶非零矩阵，且AB O =，则（）.

（A ）当1k =时，()1r B =.（B ）当3k =-时，()1r B =. （C ）当1k =时，()2r B =.（D ）当2k =-时，()2r B =.

解()1B O r B ≠?≥，()()3()3()AB O r A r B r B r A =?+≤?≤-，

1()3()r B r A ≤≤-.

当1k =时，()1r A =，1()2r B ≤≤，排除A ，C ，

当2k =-时，122033111~111221003A --????

? ?

=-- ? ? ? ?-????

，()3r A =，1()0r B ≤≤，矛盾，

排除D ，选择B.

(3) 设阶矩阵与等价, 则必有

(A) 当时, . (B) 当时, .

(C) 当时, . (D) 当时, . [ D ]

【分析】利用矩阵与等价的充要条件: 立即可得.

n A B )0(||≠=a a A a B =||)0(||≠=a a A a B -=||0||≠A 0||=B 0||=A 0||=B A B )()(B r A r =

【详解】因为当时, , 又与等价, 故, 即

, 故选(D).

【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.

(4) 设阶矩阵的伴随矩阵

若是非齐次线性方程组的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量. (C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.

[ B ]

【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.

【详解】因为基础解系含向量的个数=, 而且

根据已知条件

于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B). 【评注】本题是对矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.

（5）设,，若矩阵相似于

，则 . 【答案】2.

【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为

3，0，0.而为矩阵的对角元素之和，，.

0||=A n A r <)(A B n B r <)(0||=B n A ,0*≠A 4321,,,ξξξξb Ax =0=Ax )(A r n -??

?

??-<-===.1)(,0,

1)(,1,)(,

)(*n A r n A r n A r n A r ,0*≠A )(A r n 1-n b Ax =1)(-=n A r A *

A (1,1,1)T α=(1,0,)T k β=T αβ300000000??

? ? ???k =T αβ300000000??

????

????T αβT αβT αβ1300k ∴+=++2k ∴=

（6）设

均为维列向量，为矩阵，下列选项正确的是 (A)若线性相关，则线性相关. (B)若

线性相关，则

线性无关. (C) 若线性无关，则

线性相关.

(D) 若线性无关，则

线性无关.

[ A ]

【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】记

，则

.

所以，若向量组线性相关，则，从而，

向量组

也线性相关，故应选(Ａ).

（7）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的倍

加到第2列得，记

，则 （Ａ）. （Ｂ）.

（Ｃ）. （Ｄ）. ［Ｂ］

【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得

， 而

，则有.故应选（Ｂ）.

12,,,s

αααn A m n ?12,,,s ααα12,,,s A A A ααα12,,

,s

ααα12,,,s

A A A ααα12,,,s

ααα12,,

,s

A A A ααα12,,

,s

ααα12,,

,s

A A A ααα12(,,

,)

s B ααα=12(,,,)s A A A AB

ααα=12,,,s

ααα()r B s <()()r AB r B s ≤<12,,

,s

A A A αααA A

B B 1-

C 110010001P ?? ?= ?

???1

C P AP -=1C PAP -=T

C P AP =T C PAP =110110*********,010010010001001001001B A C B A --???????? ? ? ? ?=== ? ? ? ?

? ? ? ????????? 1110010001P --??

?= ?

???1C PAP -=

概率论

（1）设随机变量X 与Y 分别服从12N -（，）和2N （1，）

，且X 与Y 不相关，1k X Y +与2X k Y +也不相关，则（）.

（A ）120k k +=.（B ）120k k ==. （C ）120k k +≠.（D ）120k k +≠. 解X 与Y 不相关(,)0Cov X Y ?=，

1k X Y +与2X k Y +不相关

121122(,)(,)(,)(,)(,)Cov k X Y X k Y k Cov X X k k Cov X Y Cov Y X k Cov Y Y ?++=+++ 1212122200k DX k DY k k k k =+=+=?+=，选择A.

（2）设12,,

,(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为

样本方差，则（）

（A ）~(0,1)nX N .（B ）2

2

~()nS n χ.

（C ）)1(~)1(--n t S

X n .（D ）2

12

2

(1)~(1,1)n i i n X F n X =--∑. 解22

1

()()D nX n D X n n n

==?

=，排除A ， 2

222

(1)(1)~(1)n S n S n χσ

-=--，排除B ，

~(1)X X

t n S =-，排除C ，选择D.

(3)设

，

,…,

为来自二项分布总体的简单随机样本，和分

别为样本均值和样本方差，记统计量，则 .

【答案】

【解析】由.

1

X 2

X n

X (,)B n p X 2

S 2

T X S =-ET

=2

np 222

()(1)ET E X S EX ES np np p np =-=-=--=

（4）设随机变量服从正态分布

，服从正态分布

，且

则必有 (A)

(B)

(C)

(D)

[ A ]

【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 【详解】由题设可得

，

则

，即. 其中是标准正态分布的分布函数.

又是单调不减函数，则，即

.

故选(A).

(5) 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足,

若, 则等于

(A) . (B)

. (C)

. (D)

.

[ C ]

【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】由, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得

. 故正确答案为(C).

【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考

X 211(,)

N μσY 2

22(,)

N μσ{}{}

1211P X P Y μμ-<>-<12

σσ<12

σσ>12

μμ<12

μμ>12112211X Y P P μμσσσσ?-??-?

<>

????12112121

σσ????

Φ->Φ- ? ?????1211σσ????Φ>Φ ? ?????()x Φ()x Φ1

2

1

1

σσ>

12

σσ

α

u X P α=>}{αx X P =<}|{|x 2

α

u 2

1αu

-

2

1α

u -α

u -1αx X P =<}|{|21}{α

x X P -=

>

查.

微积分

（1）设)(1

lim

)(2212N n x

bx

ax x x f n

n n ∈+++=-∞

→，若1

lim ()x f x →与1

lim ()x f x →-都存在，那么

a =________，________

b =.

解当1x <时，2122

2()lim 1

n n n x ax bx f x ax bx x -→∞++==++， 当1x >时，23

22211

1()lim

11n n n n a b

x x f x x

x x

--→∞+

+

==+， 1

lim ()x f x →存在1

1

lim ()lim ()x x f x f x -+

→→?=，即1a b +=， 1

lim ()x f x →-存在1

1

lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-?=，即1a b -=-，

解得0,1a b ==.

(2) 若，则a =________=，b =________=.

【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.

【详解】因为，且，所以

，得a = 1.

极限化为，得b = -4.

因此，a = 1，b = -4.

(3) 设，则

【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称

5)(cos sin lim

0=--→b x a e x

x x 5)(cos sin lim

0=--→b x a e x

x x 0)(cos sin lim 0=-?→b x x x 0

)(lim 0

=-→a e x x 51)(cos lim )(cos sin lim

00=-=-=--→→b b x x x b x a e x x x x ?????≥-<≤-=21

,12121,)(2

x x xe x f x )1(2

2

1=

-?dx x f

区间上奇偶函数的积分性质即可.

【详解】令x - 1 = t ，

＝

.

（4）2

222

22

021

lim

cos()xy r x y r e x y dxdy r π→+≤-??

________=.

解由积分中值定理知，存在(,)D ξη∈：2

2

2

2x y r +≤，使得

2

2222

222

2

2

00211lim

cos()lim

cos()22xy r r x y r e x y dxdy e r r r ξηξηπππ→→+≤-=?-?=??

.

（5）设(,)z z x y =由方程()()xy xf z yg z =+确定，且()()0xf z yg z ''+≠，则

[()]

[()]________z z

x g z y f z x y

??---=??. 解方程为(,,)()()0F x y z xf z yg z xy =+-=，

()()()x z F z f z y x F xf z yg z ?-=-=-''?+，()()()

y z F z g z x y F xf z yg z ?-=-=-''?+， [()]

[()]z z

x g z y f z x y

??---?? ()()

[()]

[()]0()()()()

y f z x g z x g z y f z xf z yg z xf z yg z --=---=''''++.

（6）设)()(x f x F 是的一个原函数，且1)0(=F x x f x F 2cos )()(,=，则

dx x f ?

π

|)(|________=.

解()()F x f x '=，2()()2cos 2F x f x dx xdx =??，2()()2cos 2F x f x dx xdx =??

，

2()sin 2F x x C =+，

?

?

?

--==-12

112

122

1)()()1(dt

x f dt t f dx x f 21)21(0)1(12

1212

12-

=-+=-+??

-dx dx xe x

又(0)1F =，故1C =，2

()sin 21F x x =+

，()sin cos F x x x ==+， 22|cos 2||cos sin |

|()|cos sin |()||cos sin |

x x x f x x x F x x x -===-+，

40

4

|()|cos sin (cos sin )(sin cos )f x dx x x dx x x dx x x dx π

π

π

π

π=-=-+-?

???

1)(1=+=（7）极限________= .

【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.

【详解】=

（8）微分方程满足初始条件的特解为________=.

【分析】直接积分即可.

【详解】原方程可化为，积分得， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.

（9）设二元函数

，则 .

【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.

【详解】,

,

于是

.

（10）

.

【答案】.

12sin

lim 2+∞

→x x

x x 12sin

lim 2+∞

→x x

x x .

212lim 2=+∞→x x x x 0=+'y y x 2)1(=y 0)(='xy C xy =)1ln()1(y x xe z y

x +++=+=

)

0,1(dz

)

1ln(y xe e x z

y x y x +++=??++y x xe y z y x +++=??+11

=

)

0,1(dz

dy e edx )2(2+

+cos x x →=

3

2e

【解析】

. （11）设

，则.

【答案】. 【解析】由

，故

代入得，.

（12）幂级数的收敛半径为.

【答案】.

【解析】由题意知，

所以，该幂级数的收敛半径为

（13）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求

量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元.

【答案】8000.

【解析】所求即为

cos cos 100x x x x -→→=0

2(1cos )lim 13x e x x →-=20212lim 13x e x x →?=32e =()y x

z x e =+(1,0)

z

x ?=?2ln 21+()

x

y z x e =+()()

,01x

z x x =+()''ln(1)ln(1)1ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++??????=+==++??????+??1x =()

ln 21,01ln 22ln 21

2z e x

??

?=+=+ ????2

1(1)n n n

n e x n ∞

=--∑1

e ()2

10n

n n e a n --=>()

()

()

()1

1

1

1

22

12

2

111()11111n n n n n n

n n n

n e e e

a n n e n a n e n e e +++++????--?? ???--????=?

=?→→∞??

+--+??--??

???????

1

e ()Q Q P =P 0.2

p ξ=()QP Q P Q ''=+

因为

，所以

所以

将代入有.

线性代数

（1）设矩阵2T

A E αβ=+，其中,αβ是n 维列向量，且2T

αβ=，则1

______A -=.

解2

2

(2)44()T T

T

T

A E E αβαβαβαβ=+=++

126()65T E E A E A E αβ=+=+-=-，

故2

56(6)E A A E A A =-=-，所以1

1

(6)5

A E A -=

-.

（2）设行向量组，，，线性相关，且，则a=.

【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.

【详解】由题设，有

, 得，但题设，故

（3）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若

ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则

【答案】1-

【解析】

0ij ij a A +=由可知，*T A A =-

0.2p Q P

Q ξ'=

=-0.2Q P Q '=-()0.20.8QP Q Q Q '=-+=10000Q =()8000QP '=)1,1,1,2(),,1,2(a a ),1,2,3(a )1,2,3,4(1≠a =12

34

123121112a a a 0)12)(1(=--a a 21,1==a a 1≠a .21

=a

1122331122333

3

2

2

1

1

i i i i i i j j j j j j

ij ij j i A a A a A a A a A a A a A a a ===++=++=-=-<∑∑

2

*,=-1.

T A A A A A ==-=-从而有故

（4）设,，若矩阵相似于

，则. 【答案】2.

【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为

3，0，0.而为矩阵的对角元素之和，，.

(5) 二次型

的秩为.

【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换

或配方法均可得到答案. 【详解一】因为

于是二次型的矩阵为

, 由初等变换得

, 从而, 即二次型的秩为2. 【详解二】因为

(1,1,1)T α=(1,0,)T k β=T αβ300000000?? ? ? ???k =T αβ300000000??

????

????T αβT αβT αβ1300k ∴+=++2k ∴=2

132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=2

132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=3231212

32

22

1222222x x x x x x x x x -++++=??

???

??--=211121112A ??

??? ??--→????? ??---→000330211330330211A 2)(=A r 2

132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=

,

其中

.

所以二次型的秩为2.

概率论

（1）设129,,

,X X X 是来自正态总体X 的简单随机样本，1161

()

6

Y X X =++27891()3Y X X X =++，92

227

1()2i i S X Y ==-∑

，12)Y Y Z S -=

，则统计量Z 服从______. 解设正态总体2

~(,)X N μσ，

12()0E Y Y -=，2

221212()63

2

D Y Y DY DY σσσ-=+=

+

=

，

2

12~(0,

)2

Y Y N σ-

~(0,1)N ，2

222~(2)S χσ，又12Y Y -，2S 独立，

12)

~(2)Y Y Z t S -==.

（2）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则

=.

【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.

【详解】=+

+

+

=

3231212

32221222222x x x x x x x x x -++++=2322321)(23

)2121(2x x x x x -+++=2

22

1232y y +

=,21

213211x x x y ++

=322x

x y -=X ,,2,1 }2{=Y P }2{=Y P }12{}1{===X Y P X P }22{}2{===X Y P X P }32{}3{===X Y P X P }

42{}4{===X Y P X P .4813

)4131210(41=+++?