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高等数学电子教案第三章(西北大学)
第三章 微分中值定理与导数的应用第一讲 微分中值定理(The Mean Value Theorem)微分中值定理是微分学的核心，她具有非常广泛的应用，是研究函数性态的有力工具。
本节介绍三大中值定理。
一 罗尔中值定理：1． 极值的定义：设)(x f 在区间I 上有定义，I x ∈0且存在I x U ⊂)(0，对任意)(0x U x ∈，())()()()(00x f x f x f x f ≥≤，则称0x 是)(x f 的极大值点（极小值点）。
)(0x f 是极大值（极小值），通称为极值。
注：极值和最值的本质区别：极值是局部概念（相对于某个邻域内）最值是整体概念（相对于整个定义域）● 极值只可能在定义域的内部取到，而最值可能在内部，也可能在端点处取到。
● 极值不是唯一的，最值（如果存在）则一定是唯一的。
● 极值不一定是最值，最值也不一定是极值，当最值在定义域内部取到时，最值就一定是极值。
2． 费马引理（Fermat ）：函数)(x f 在区间I 上有定义，如果)1()(x f 在0x 点可导; )2(0x 是)(x f 的极值点.则0)(0'=x f .说明： （1）几何意义：)(x f 在0x 点存在切线，若0x 是极值点，则切线是平行于x 轴的。
（2）理论证明：只要证明0)()(lim00=--→x x x f x f x x ，即0)()(0'0'==-+x f x f .3．驻点：通常把0)(0'=x f 的点0x 称为)(x f 的驻点（临界点、稳定点）● 驻点不一定是极值点。
如：3x y =，0=x 不是极值点，在该点的两侧单调增加。
● 极值点不一定是驻点，如：x y =，0=x 是极小值点，但在该点不可导。
4．罗尔定理(Rolle)：如果函数)(x f 满足)1(],[b a 上连续； )2(),(b a 内可导； )3()()(b f a f =. 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)('=ξf .● 几何意义：连续光滑曲线（无缝隙的光滑曲线）若两端点的函数值相等，则在曲线上至少存在一点，使得函数在该点的切线平行于x 轴。
数学高三复习教案教案第三章
第三章 导数及其应用高考考纲(1) 导数概念及其几何意义 ① 了解导数概念的实际背景， ② 理解导数的几何意义．(2) 导数的运算① 能根据导数定义求函数y C =(C 为常数)，y x =，2y x =，3y x =，1y x=，y =的导数．② 能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的复合函数）的导数．∙ 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C )′＝0(C 为常数)；(x n )′＝nx n -1，n ∈N +； (sin )cos x x '=；(cos )sin x x '=-；(e )e x x '=；()ln x x a a a '=（a ＞0，且a ≠1）； 1(ln )x x '=；1(log )log e a a x x '=（a ＞0，且a ≠1）．∙ 常用的导数运算法则：法则1：[]()()()()u x v x u x v x '''±=±． 法则2：[]()()()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+．法则3：2()()()()()(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦．(3) 导数在研究函数中的应用① 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次) ；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) ．(4) 生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题． (5) 定积分与微积分基本定理的含义① 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． ② 了解微积分基本定理的含义．第一节 变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数．三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．4.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．类型一 利用导数的定义求函数的导数[例1] 用定义法求下列函数的导数．(1)y ＝x 2； (2)y ＝4x 2.[自主解答]根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx .1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)．类型二 导数的运算[例2] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；[自主解答]求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；类型三 导数的几何意义[例3]曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答]若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． [自主解答]导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．3．(1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．(2)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12 D ．1易错题思考[典例] 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[尝试解题]1.在解答本题时有两个易误点：(1)审题不仔细，未对点(1，0)的位置进行判断，误认为(1，0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系.2.解决与导数的几何意义有关的问题时，应注意：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数、(理)复合函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握.针对训练1．(2012·广州模拟)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( ) A.278B ．－2C ．2D ．－2782．已知曲线y ＝3x －x 3及点P (2,2)，则过点P 的切线条数为________．第二节导数在函数中的应用1．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．1.f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．3．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．类型一运用导数解决函数的单调性问题[例1]已知函数f(x)＝ln x＋ke x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．[自主解答]求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性．1．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)是否存在a 使函数f (x )为R 上的单调递减函数，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．类型二 运用导数解决函数的极值问题[例2] (2012·江苏高考)若函数y ＝f (x )在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f (x )的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )＝f (x )＋2，求g (x )的极值点． [自主解答]求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格； (4)由f ′(x )＝0根的两侧导数的符号来判断f ′(x )在这个根处取极值的情况．2．设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．类型三 运用导数解决函数的最值问题 [例3] 已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． [自主解答]本题条件不变，求f (x )在区间[0,1]上的最大值． [自主解答]求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．导数是解决函数问题的重要工具，利用导数解决函数的单调性问题、求函数极值、最值及解决生活中的最优化问题，是高考考查的热点，在解答题中每年必考，常与不等式、方程结合考查，试题难度较大，因此对该部分知识要加大训练强度，提高解题能力．导数的应用问题答题模板[典例] 已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．[教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息 观察条件―→曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处有公共切线―――――――――――→两曲线在x ＝1处的纵坐标及导数相同⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求a ，b 的值―――――――→需要建立关于a ，b 的方程组将⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)用a ，b 表示即可 3．建联系，找解题突破口解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝g (1)，f ′(1)＝g ′(1)―――――――→先求f ′(x )和g ′(x )f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ―――――→将x ＝1代入 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝b ＋1，2a ＝3＋b ，⇒a ＝b ＝31．审条件，挖解题信息观察条件―→a 2＝4b ――――――――――――――――――→可消掉一个参数，使f (x )与g (x )含有同一个参数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋14a 2x2．审结论，明解题方向观察所求结论―→求函数f (x )＋g (x )的单调区间及其在区间(－∞，－1]上的最大值 ――――――→f (x )＋g (x )含x 3及参数a 应利用导数解决――――――――→由h26−−−−−−−−−−→－及－与－，－的系，求最值讨论区间关[教你准确规范解题]—————————————————[万能模板]———————————用导数求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步解答： 第一步求函数f (x )的导数f ′(x )第二步求函数f (x )在给定区间上的单调区间 第三步求函数f (x )在给定区间上的极值 第四步求函数f (x )在给定区间上的端点值第五步比较函数f (x )的各极值与端点值的大小，确定函数f (x )的最大值和最小值 第六步反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．如本题的关键点是确定函数f (x )的单调区间；易错点是忽视对参数a 的讨论第三节 导数的综合应用类型一 利用导数研究恒成立问题及参数求解[例1] 已知函数f (x )＝x 2ln x －a (x 2－1)，a ∈R.(1)当a ＝－1时，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ≥1时，f (x )≥0成立，求a 的取值范围． [自主解答]利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题． (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解．1．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．类型二 利用导数证明不等式问题[例2] 已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx ，其中e 是自然常数，a ∈R.(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.[自主解答]在本例条件下，是否存在正实数a ，使f (x )的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[自主解答]利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明h (x )>0.2．已知f (x )＝x ln x .(1)求g (x )＝f (x )＋kx (k ∈R)的单调区间；(2)证明：当x ≥1时，2x －e ≤f (x )恒成立．类型三 利用导数研究生活中的优化问题[例3] 某物流公司购买了一块长AM ＝30米，宽AN ＝20米的矩形地块AMPN ，规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C 在地块对角线MN 上，顶点B 、D 分别在边AM 、AN 上，假设AB 的长度为x 米．(1)要使仓库的占地面积不少于144平方米，求x 的取值范围；(2)要规划建设的仓库是高度与AB 的长度相同的长方体建筑，问AB 的长度为多少时仓库的库容量最大．(墙地及楼板所占空间忽略不计)[自主解答]利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系式y ＝f (x )； (2)求出函数的导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．3．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－18t 3－34t 2＋36t －6294，6≤t <9，18t ＋594，9≤t ≤10，－3t 2＋66t －345，10<t ≤12，求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻．转化与划归思想在导数研究函数中的应用[典例] (2012·山西四校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋m (a >0)． (1)若a ＝1时函数f (x )有三个互不相同的零点，求实数m 的取值范围；(2)若对任意的a ∈[3,6]，不等式f (x )≤1在[－2,2]上恒成立，求实数m 的取值范围． [解][题后悟道] 所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．解答本题利用了转化与化归思想，第(1)问中把函数的零点问题转化为g (x )＝－x 3－x 2＋x 与y ＝m 图象的交点；第(2)问中把问题转化为求f (x )在[－2,2]的最大值，利用最大值小于等于1，进一步转化为m ≤9－4a －2a 2在a ∈[3,6]恒成立，从而可求m 的范围．针对训练11 设函数f (x )＝13x 3＋x 2＋x ，g (x )＝2x 2＋4x ＋c .当x ∈[－3,4]时，函数f (x )与g (x )的图象有两个公共点，求c 的取值范围．。
重大社2024《高等数学》教学课件第三章 1、2、3节
x
( ，1)
1
(1，3)
3
(3, )
f x
＋
0
－
0
＋
f x
↗
4
↘
0
↗
知，f(1)=4为函数f(x)的极大值。
f(3)=0为f(x)的极小值。
第二节 函数的极值
解法2
因为该函数的定义域为（-∞，+∞），
f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)
（4）列表讨论：
x
(, 0)
(0, )
f x
0
－0＋ຫໍສະໝຸດ f x↘-5
↗
所以，当
x 0时， y极小值 = 5
例2 求
1 3
f ( x) x 4 x 4 的极值.
3
解（1）函数的定义域为 ,
（2）求导数 f ( x) x 4
2
（3）令 f ( x) 0，得驻点 x1 2, x2 2 （将定义域分成三个区间）
y 2x 3
y 2 0
引入2
导数与单调性的关系
1
y x 1
2
1
y 0
2
3.1
函数单调性的判别法
3.1.1单调性的判定定理
定
设函数 f ( x) 在 (a, b) 内可导，
理 (1)如果在 (a, b) 内， f ( x) 0 则函数 f ( x)在 (a, b)内单调增加，
于是，当
即，当
x0
x0
时，有
时，有
f ( x) f (0) 0
sin x x
高等数学(上册)第三章教案
第三章：一元函数积分学及其应用教学目的与要求 1．理解不定积分和定积分的概念及性质。
2．掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。
3．会求简单的有理函数的积分。
4．理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿（Newton ）-莱布尼兹（Leibniz ）公式。
5．了解广义积分的概念。
6．了解定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）。
7．掌握用定积分表达一些几何量与物理量（如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法 所需学时：20学时（包括：18学时讲授与2学时习题）第一节：不定积分的概念与性质1、原函数概念引例 在下列括号中填入适当的函数： （1）(cos =x c x +sin )' （2） (2=x c x +331)' 上例中的问题是：已知)()(x f x F =' 求 )(x F定义1 若在区间I 上，对任意x 有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 是)(x f 在I 上的原函数。
例如：x x sin )(cos -='，则x cos 是x sin -的一个原函数；又x x e e =')(，则x e 是xe 的一个原函数。
原函数存在定理： 若)(x f 是连续函数，则)(x f 必有原函数。
由x x e e =')(有x x e e ='+)2(，x x e c e ='+)(，因此可知xe 的原函数不止一个，而是无穷多个。
说明：（1）若)(x f 有一个原函数)(x F ，则)(x f 就有无穷多个原函数c x F +)(（c 为任意常数），即c x F +)(是)(x f 的全部原函数；（2）)(x f 的任意两个原函数之差是一个常数。
设)()(x f x F ='，)()(x f x =Φ'，则有[]0)()()()()()(=-='-Φ'='-Φx f x f x F x x F x 由前面所学定理知 c x F x =-Φ)()(2、不定积分 定义 2 在区间I上，函数()f x 的全体原函数的集合，称为()f x 在I上的不定积分，记为()f x dx ⎰,其中“⎰”称为积分号，)(x f 称为被积函数 ，dx x f )(称为被积表达式，x 称为积分变量.由不定积分的定义可知：求()f x 的不定积分就是求()f x 的所有原函数.若()F x 为()f x 的一个原函数，则()=()f x dx F x C +⎰.其中C 为任意常数，称之为积分常数.简言之，求已知函数的不定积分，就是求出它的一个原函数，再加上任意常数C 即可. 例1 求下列不定积分.（1）2x dx ⎰ （2）sin xdx ⎰ （3）x e dx ⎰解 （1）因为321()3x x '=，所以313x 是2x 的一个原函数，于是 2313x dx x C =+⎰. （2）因为(cos )sin x x '-=，所以cos x -是sin x 的一个原函数，于是sin cos xdx x C =-+⎰.（3）因为()xx ee '=，所以xe是xe 的一个原函数，于是x x e dx e C =+⎰. 例2 已知某曲线上任意点),(y x 处切线斜率为2x ，并且曲线过点)1,0(，求曲线方程。
《高等数学》教案第三章导数与微分
《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。
三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。
2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。
3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。
五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。
在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。
同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。
希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
数学必修三第三章教案
数学必修三第三章教案【篇一：人教版高中数学a版必修三优秀教案(第三章概率)】高一数学备课优秀教案第三章概率3.1 随机事件的概率课题： 3.1.1 随机事件的概率教学目标：1.通过在抛硬币等试验获取数据,了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念.2.通过获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,正确理解事件a出现的频率的意义，真正做到在探索中学习,在探索中提高.3.通过数学活动,即自己动手、动脑和亲身试验来理解概率的概念,明确事件a发生的频率fn（a）与事件a发生的概率p（a）的区别与联系,体会数学知识与现实世界的联系. 教学重点：理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性. 教学难点：理解频率与概率的关系. 教学方法：讲授法课时安排 1课时教学过程一、导入新课：在第二次世界大战中,美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历.（故事略）在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象.如果从结果能否预知的角度来看,可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预知的,这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下,出现那种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机现象.随机现象是我们研究概率的基础,为此我们学习随机事件的概率. 二、新课讲解：1、提出问题（1）什么是必然事件？请举例说明. （2）什么是不可能事件？请举例说明. （3）什么是确定事件？请举例说明. 注：以上3问初中已经学习了.（4）什么是随机事件？请举例说明.（5）什么是事件a的频数与频率？什么是事件a的概率？（6）频率与概率的区别与联系有哪些? 观察：（１）掷一枚硬币,出现正面；（２）某人射击一次,中靶；（３）从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签；这三个事件在一定的条件下是或者发生或不一定发生的,是模棱两可的. ２、活动做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一个面朝上.通过学生亲自动手试验,突破学生理解的难点：“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”.通过试验,观察随机事件发生的频率,可以发现随着实验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过程中,重视了掌握知识的过程,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法具体如下：第一步每个人各取一枚硬币,做10次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例,填在下表：思考：试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗？为什么？第二步由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表.与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗？为什么？通过学生的实验,比较他们实验结果,让他们发现每个人实验的结果、组与组之间实验的结果不完全相同,从而说明实验结果的随机性,但组与组之间的差别会比学生与学生之间的差别小,小组的结果一般会比学生的结果更接近0.5.第三步用横轴为实验结果,仅取两个值：1（正面）和0（反面）,纵轴为实验结果出现的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么？第四步把全班实验结果收集起来,也用条形图表示. 思考：这个条形图有什么特点？引导学生在每组实验结果的基础上统计全班的实验结果,一般情况下,班级的结果应比多数小组的结果更接近0.5,从而让学生体会随着实验次数的增加,频率会稳定在0.5附近.并把实验结果用条形图表示,这样既直观易懂,又可以与第二章统计的内容相呼应,达到温故而知新的目的.第五步请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性. 思考：如果同学们重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？出现正面朝上的规律性：随着实验次数的增加,正面朝上的频率稳定在0.5附近. 由特殊事件转到一般事件,得出下面一般化的结论：随机事件a在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件a发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上.从而得出频率、概率的定义,以及它们的关系.3、讨论结果：（1）必然事件:在条件s下,一定会发生的事件,叫相对于条件s的必然事件（certain event）,简称必然事件.（2）不可能事件：在条件s下,一定不会发生的事件,叫相对于条件s的不可能事件（impossible event）,简称不可能事件.（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件s的确定事件.（4）随机事件：在条件s下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件s的随机事件（random event）,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用a,b,c,?表示. （5）频数与频率：在相同的条件s下重复n次试验,观察某一事件a是否出现,称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的频数（frequency）；称事件a出现的比例fn(a)=nan为事件a出现的频率（relative frequency）;对于给定的随机事件a,如果随着试验次数的增加,事件a发生的频率fn(a)稳定在某个常数上,把这个常数记作p（a）,称为事件a的概率（probability）.（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数na与试验总次数nnan的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同. 概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次实验无关. 三、课堂练习：教材113页练习：1、2、3 四、课堂小结：本节研究的是那些在相同条件下,可以进行大量重复试验的随机事件,它们都具有频率稳定性,即随机事件a在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件a发生的频率逐渐稳定在区间［0,1］内的某个常数上（即事件a的概率）,这个常数越接近于1,事件a发生的概率就越大,也就是事件a发生的可能性就越大.反之,概率越接近于0,事件a发生的可能性就越小.因此说,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量. 五、课后作业：全优设计板书设计：教学反思：高一数学备课优秀教案课题：3.1.2 概率的意义教学目标：1.正确理解概率的意义；利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.2.通过对现实生活中的“掷币”、“游戏的公平性”、“彩票中奖”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学问题的方法,理解逻辑推理的数学方法.3.通过对概率的实际意义的理解,体会知识来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观,进而体会数学与现实世界的联系. 教学重点：理解概率的意义.教学难点：用概率的知识解释现实生活中的具体问题. 教学方法：讲授法课时安排 1课时教学过程：一、导入新课：生活中,我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.”这是真的吗？为此我们必须学习概率的意义. 二、新课讲解：1、提出问题：（1）有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为0.5,那么连续抛掷一枚硬币两次,一定是一次正面朝上,一次反面朝上,你认为这种想法正确吗？（2）如果某种彩票中奖的概率为11000,那么买1 000张彩票一定能中奖吗？（3）在乒乓球比赛中,裁判员有时也用数名运动员伸出手指数的和的单数与双数来决定谁先发球,其具体规则是：让两名运动员背对背站立,规定一名运动员得单数胜,另一名运动员得双数胜,然后裁判员让两名运动员同时伸出一只手的手指,两个人的手指数的和为单数,则指定单数的运动员得到先发球权,若两个人的手指数的和为双数,则指定双数胜的运动员得到先发球权,你认为这个规则公平吗？（4）“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.”学了概率后,你能给出解释吗？（5）阅读课本的内容了解孟德尔与遗传学.(6)如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点.你认为这枚骰子的质地均匀吗?为什么? 2、讨论结果：（1）这种想法显然是错误的,通过具体的试验可以发现有三种可能的结果：“两次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上,一次反面朝上”,而且其概率分别为0.25,0.25,0.5.（2）不一定能中奖,因为买1 000张彩票相当于做1 000次试验,因为每次试验的结果都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1 000张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖.（3）规则是公平的.（4）天气预报的“降水”是一个随机事件,因此,“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的.（5）奥地利遗传学家（g.mendel,1822—1884）用豌豆进行杂交试验,下表为试验结果（其中f1为第一子代,f2为第二子代）：孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件,其可能性为100%,另一种性状的可能性为0,而第二子代对于前一种性状的可能性约为75%,后一种性状的可能性约为25%,通过进一步研究,他发现了生物遗传的基本规律.实际上,孟德尔是从某种性状发生的频率作出估计的.(6)利用刚学过的概率知识我们可以进行推断,如果它是均匀的,通过试验和观察,可以发现出现各个面的可能性都应该是1616,从而连续10次出现1点的概率为()≈0.000 000 00110653 8,这在一次试验(即连续10次投掷一枚骰子)中是几乎不可能发生的.而当骰子不均匀时,特别是当6点的那面比较重时(例如灌了铅或水银),会使出现1点的概率最大,更有可能连续10次出现1点.现在我们面临两种可能的决策:一种是这枚骰子的质地均匀,另一种是这枚骰子的质地不均匀.当连续10次投掷这枚骰子,结果都是出现1点,这时我们更愿意接受第二种情况:这枚骰子靠近6点的那面比较重.原因是在第二种假设下,更有可能出现10个1点.如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务,那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则,例如对上述思考题所作的推断.这种判断问题的方法称为极大似然法.极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一.如果我们的判断结论能够使得样本出现的可能性最大,那么判断正确的可能性也最大.这种判断问题的方法称为似然法.似然法是统计中重要的统计思想方法之一.三、例题讲解：例1 为了估计水库中的鱼的尾数,可以使用以下的方法,先从水库中捕出一定数量的鱼,例如2 000尾,给每尾鱼作上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中其余的鱼充分混合,再从水库中捕出一定数量的鱼,例如500尾,查看其中有记号的鱼,设有40尾.试根据上述数据,估计水库内鱼的尾数.分析：学生先思考,然后交流讨论,教师指导,这实际上是概率问题,即2 000尾鱼在水库中占所有鱼的百分比,特别是500尾中带记号的有40尾,就说明捕出一定数量的鱼中带记号的概率为40500,问题可解.2000n解：设水库中鱼的尾数为n,a={带有记号的鱼},则有p(a)=因p(a)≈ 40500. ①，②【篇二：高中数学必修3教案讲义(全)xue】必修3第一章算法初步一、基础精析要点1：算法的一些基本概念（1）算法的概念：算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．（2）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.（3）程序框图的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构、循环结构．（4）算法的描述方式有：自然语言、程序框图、程序语言．练习1：看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（）a.从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达b.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1c.方程x2-1=0有两个实根d.求1+2+3+4+5的值，先计算1+2=３,再由于3+3=6，6+4=10，10+5=15，最终结果为15练习2：算法的有穷性是指（）a.算法必须包含输出b.算法中每个步骤都是可执行的c.算法的步骤必须有限d.以上说法均不对练习3：下面对算法描述正确的一项是（）a．算法只能用自然语言来描述 b．算法只能用流程图来表示c．同一问题可以有不同的算法 d．同一问题不同的算法会得到不同的结果例题1：下列给出的赋值语句中正确的是（） a 4=mm=-m cb=a=3d x+y=0要点2：算法的三种基本逻辑结构练习4：算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是（）a.一个算法只能含有一种逻辑结构b. 一个算法最多可以包含两种逻辑结构c.一个算法必须含有上述三种逻辑结构d.一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合要点3：算法的基本语句（1）输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能（2）条件语句①if—then格式②if—then—else格式（3）循环语句①until语句②while语句例题2：如图给出的是求1111+++???+的值的一个程序框图，24620其中判断框内应填入的条件是（）a.i10?b.i10?c.i20?d.i20?练习5：下列程序框图表示的算法输出的结果是？要点4：辗转相除法与更相减损术求最大公约数（1）辗转相除法：对于给定的两个正整数，用大数除以小数，若余数不为0，则将小数和余数构成新的一对数，继续上面的除法，反复执行此步骤，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.（2）更相减损术：对于给定的两个正整数，若它们都是偶数，则将它们反复除以2(假设进行了k次)，直到它们至少有一个不是偶数后，将大数减小数，然后将差和较小的数构成一对新数，继续上面的减法，反复执行此步骤，直到差和较小的数相等，此时相等的数或这个数与约简的数的乘积即为所求两数的最大公约数.例3：分别用辗转相除法和更相减损术求三个数72,120,168的最大公约数.解法1:用辗转相除法先求120,168的最大公约数,因为168=120?1+48,120=48?2+24,48=24?2所以120,168的最大公约数是24.再求72,24的最大公约数,因为72=24?3,所以72,24的最大公约数为24,即72,120,168的最大公约数为24.解法2:用更相减损术先求120,168的最大公约数,168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24所以120,168的最大公约数为24.再求72,24的最大公约数,72-24=48，48-24=2472,24的最大公约数为24,即72,120,168的最大公约数为24.【篇三：人教版高中数学a版必修三优秀教案(第三章概率)】高一数学备课优秀教案3.1 随机事件的概率课题： 3.1.1 随机事件的概率教学目标：1.通过在抛硬币等试验获取数据,了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念.2.通过获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,正确理解事件a出现的频率的意义，真正做到在探索中学习,在探索中提高.3.通过数学活动,即自己动手、动脑和亲身试验来理解概率的概念,明确事件a发生的频率fn（a）与事件a发生的概率p（a）的区别与联系,体会数学知识与现实世界的联系. 教学重点：理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性. 教学难点：理解频率与概率的关系. 教学方法：讲授法课时安排 1课时教学过程一、导入新课：在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象.如果从结果能否预知的角度来看,可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预知的,这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下,出现那种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机现象.随机现象是我们研究概率的基础,为此我们学习随机事件的概率. 二、新课讲解： 1、提出问题（1）什么是必然事件？请举例说明. （2）什么是不可能事件？请举例说明. （3）什么是确定事件？请举例说明. 注：以上3问初中已经学习了. （4）什么是随机事件？请举例说明.（5）什么是事件a的频数与频率？什么是事件a的概率？（6）频率与概率的区别与联系有哪些? 观察：（１）掷一枚硬币,出现正面；（２）某人射击一次,中靶；（３）从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签；这三个事件在一定的条件下是或者发生或不一定发生的,是模棱两可的. ２、活动做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一个面朝上.通过学生亲自动手试验,突破学生理解的难点：“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”.通过试验,观察随机事件发生的频率,可以发现随着实验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过程中,重视了掌握知识的过程,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法具体如下：第一步每个人各取一枚硬币,做10次掷硬币试验,记录正面向上的次数和比例,填在下思考：试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗？为什么？思考：与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗？为什么？通过学生的实验,比较他们实验结果,让他们发现每个人实验的结果、组与组之间实验的结果不完全相同,从而说明实验结果的随机性,但组与组之间的差别会比学生与学生之间的差别小,小组的结果一般会比学生的结果更接近0.5.第三步用横轴为实验结果,仅取两个值：1（正面）和0（反面）,纵轴为实验结果出现的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么？第四步把全班实验结果收集起来,也用条形图表示.思考：这个条形图有什么特点？引导学生在每组实验结果的基础上统计全班的实验结果,一般情况下,班级的结果应比多数小组的结果更接近0.5,从而让学生体会随着实验次数的增加,频率会稳定在0.5附近.并把实验结果用条形图表示,这样既直观易懂,又可以与第二章统计的内容相呼应,达到温故而知新的目的.第五步请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性.思考：如果同学们重复一次上面的实验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？出现正面朝上的规律性：随着实验次数的增加,正面朝上的频率稳定在0.5附近. 由特殊事件转到一般事件,得出下面一般化的结论：随机事件a在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复实验后,随着次数的增加,事件a发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上.从而得出频率、概率的定义,以及它们的关系. 3、讨论结果：（1）必然事件:在条件s下,一定会发生的事件,叫相对于条件s的必然事件（certain event）,简称必然事件.（2）不可能事件：在条件s下,一定不会发生的事件,叫相对于条件s的不可能事件（impossible event）,简称不可能事件.（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件s的确定事件.（4）随机事件：在条件s下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件s的随机事件（random event）,简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用a,b,c,?表示. （5）频数与频率：在相同的条件s下重复n次试验,观察某一事件a是否出现,称n次试验中事件a 出现的次数na为事件a出现的频数（frequency）；称事件a出现的比例fn(a)=nan为事件a出现的频率（relative frequency）;对于给定的随机事件a,如果随着试验次数的增加,事件a发生的频率fn(a)稳定在某个常数上,把这个常数记作p（a）,称为事件a的概率（probability）.（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数na与试验总次数n的比值na,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这n种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复实验得到事件的频率会不同.概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次实验无关. 三、课堂练习：教材113页练习：1、2、3 四、课堂小结：本节研究的是那些在相同条件下,可以进行大量重复试验的随机事件,它们都具有频率稳定性,即随机事件a在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件a发生的频率逐渐稳定在区间［0,1］内的某个常数上（即事件a的概率）,这个常数越接近于1,事件a发生的概率就越大,也就是事件a发生的可能性就越大.反之,概率越接近于0,事件a发生的可能性就越小.因此说,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.五、课后作业：全优设计板书设计：教学反思：高一数学备课优秀教案课题：3.1.2 概率的意义教学目标：1.正确理解概率的意义；利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.2.通过对现实生活中的“掷币”、“游戏的公平性”、“彩票中奖”等问题的探究,感知应用数学知识解决数学问题的方法,理解逻辑推理的数学方法.3.通过对概率的实际意义的理解,体会知识来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观,进而体会数学与现实世界的联系. 教学重点：理解概率的意义. 教学难点：用概率的知识解释现实生活中的具体问题. 教学方法：讲授法课时安排 1课时教学过程：一、导入新课：生活中,我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.”这是真的吗？为此我们必须学习概率的意义. 二、新课讲解： 1、提出问题：（1）有人说,既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为0.5,那么连续抛掷一枚硬币两次,一定是一次正面朝上,一次反面朝上,你认为这种想法正确吗？（2）如果某种彩票中奖的概率为1,那么买1 000张彩票一定能中奖吗？ 1000（3）在乒乓球比赛中,裁判员有时也用数名运动员伸出手指数的和的单数与双数来决定谁先发球,其具体规则是：让两名运动员背对背站立,规定一名运动员得单数胜,另一名运动员得双数胜,然后裁判员让两名运动员同时伸出一只手的手指,两个人的手指数的和为单数,则指定单数的运动员得到先发球权,若两个人的手指数的和为双数,则指定双数胜的运动员得到先发球权,你认为这个规则公平吗？（4）“天气预报说昨天降水概率为90%,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了.”学了概率后,你能给出解释吗？（5）阅读课本的内容了解孟德尔与遗传学.(6)如果连续10次掷一枚骰子,结果都是出现1点.你认为这枚骰子的质地均匀吗?为什么? 2、讨论结果：（1）这种想法显然是错误的,通过具体的试验可以发现有三种可能的结果：“两次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上,一次反面朝上”,而且其概率分别为0.25,0.25,0.5.。
数学课第三章教案模板范文
教学目标：1. 知识与技能：掌握本章所涉及的基本概念、公式和定理。
2. 过程与方法：通过小组讨论、课堂练习等形式，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生的逻辑思维能力和团队协作精神。
教学重点：1. 本章基本概念、公式和定理的掌握。
2. 学生运用所学知识解决实际问题的能力。
教学难点：1. 本章内容较为抽象，学生难以理解。
2. 学生在运用公式和定理解决问题时，容易出现错误。
教学准备：1. 教学课件2. 练习题3. 小组讨论资料教学过程：一、导入新课1. 回顾上一章节内容，引导学生思考本章将要学习的内容。
2. 提出问题：本章我们将学习哪些内容？这些内容与实际生活有什么联系？二、新课讲授1. 讲解本章基本概念、公式和定理，结合实例进行分析。
2. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提出自己的疑问。
3. 对学生提出的问题进行解答，加深学生对本章内容的理解。
三、课堂练习1. 分组进行课堂练习，让学生运用所学知识解决实际问题。
2. 教师巡视课堂，指导学生解答练习题。
3. 学生展示自己的解题过程，教师点评并总结。
四、小组讨论1. 将学生分成若干小组，讨论本章重点、难点问题。
2. 每组选派代表发言，分享小组讨论成果。
3. 教师对小组讨论成果进行点评，并对学生提出的问题进行解答。
五、课堂小结1. 总结本章所学内容，强调重点、难点。
2. 引导学生思考本章内容在实际生活中的应用。
六、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 预习下一章节内容，为下一节课做好准备。
教学反思：1. 本节课是否达到了教学目标？2. 学生对本章内容的掌握程度如何？3. 课堂练习和小组讨论环节是否激发了学生的学习兴趣？4. 如何改进教学方法，提高学生的学习效果？备注：本教案仅供参考，教师可根据实际情况进行调整。
《高等数学》(经管类专业适用) 教案 第三章 3.2.2教学设计
课题 3.2.2微积分基本公式教学目标知识目标1）了解积分上限函数，特别是通过几何图像说明含义和性质；2）熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式，为后一节的计算提供工具。
能力目标通过教学活动训练学生分析问题和归纳总结能力，提高实际应变能力，发展学生思维，培养学生综合解决问题的能力。
教学重点牛顿-莱布尼兹公式教学难点积分上限函数教法学法启发式的面授法、讨论法教学反思不定积分虽然与定积分在概念上相去甚远，但在计算上存在千丝万缕的关系，通过这一小节教学，让学生体会数学中的奥妙，训练学生的分析能力。
教学过程设计意图 一、知识回顾复习不定积分的概念 二、合作探究（一）变上限积分函数及其导数设函数)(x f 在区间],[b a 上连续, 现任取],[b a x ∈，则)(x f 在部分区间[a , x ]上亦连续，因此)(x f 在部分区间[a , x ]上可积，将此定积分称为积分上限函数或变上限定积分，它是定义在区间[a , b ]上的函数，记为Φ(x )=dt t f xa )(⎰例如，2)(x x f =在[0, 1]上连续，则在[0, 1]区间上的积分上限函数为Φ(x )=dt t x2⎰．如果函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 则积分上限函数Φ(x )dx x f xa )(⎰=在[a , b ]上具有导数, 并且它的导数为Φ'(x ))(])([)(x f dt t f dt t f dxd x a xa ='==⎰⎰． 123()baf x dx S S S =-+⎰()()()c dbacdf x dx f x dx f x dx =++⎰⎰⎰.（二）微积分基本公式下面再给出微积分另一个著名的基本定理，它建立了定积分与被积函数的原函数之间的联系，由此提供了一个定积分计算的重要方法．如果)(x F 是连续函数)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（3.11）公式（3.11）叫做牛顿－莱布尼兹（Newton －Leibnitz ）公式或积分基本公式，它是计算定积分的基本公式．为了方便起见，以后把)()(a F b F -记成为b a x F )]([或ba x F |)(，于是牛引导学生有目的地复习，为后面的学习做准备。
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授课时间第周周第节课次
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授课题目（教学章、节或主题）：第三章微分中值定理与导数应用
第一节微分中值定理
教学目的、要求：
掌握罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理的条件和结论，了解其证明方法，掌握三大
定理的一些应用。
教学重点及难点：
拉格朗日中值定理，柯西中值定理的应用。
教学基本内容方法及手段
1. 费马引理
2. 罗尔定理
3. 拉格朗日中值定理4．柯西中值定理5．定理的应用启发式教学法。
以讲授为主。
作业和思考题：
P132：5，6，10，12，14
教学后记：
填表说明： 1. 每项页面大小可自行添减；
2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；
3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；
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第二节洛必达法则
教学目的、要求：
熟练掌握未定式0
,
的洛必达法则，掌握未定式00
0,,0,1,的计算方法。
教学重点及难点：
未定式0
,
的洛必达法则求极限。
教学基本内容方法及手段
1．未定式0
的洛必达法则及应用举例
2．未定式的洛必达法则及应用举例
3．其他未定式00
0,,0,1,的极限计算
4．说明洛必达法则的条件不满足时，所求极限仍然可能存在启发式教学法。
以讲授为主。
作业和思考题：
P137：1（2，5，7，9，13，15），2，4
教学后记：
填表说明： 1. 每项页面大小可自行添减；
2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；
3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；
授课时间第周周第节课次
授课方式（请打√）理论课□讨论课□实验课□习题课□其他□
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第三节泰勒公式
教学目的、要求：
掌握泰勒公式及拉格朗日余项，掌握麦克劳林公式，以及如何将函数展开成n阶泰勒公式和n 阶麦克劳林公式。
教学重点及难点：
函数展开成泰勒公式和麦克劳林公式，泰勒定理的证明。
教学基本内容方法及手段
1．泰勒中值定理，n阶泰勒公式，拉格朗日余项
2．麦克劳林公式
3．如何将函数展开成n阶泰勒公式和n阶麦克劳林公式4．利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式求极限启发式教学法。
以讲授为主。
作业和思考题：
P143：3，6，7，10 (3)
教学后记：
填表说明： 1. 每项页面大小可自行添减；
2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；
3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；
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第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
教学目的、要求：
掌握函数的单调性的判定法，掌握曲线的凹凸性及判定方法，拐点的求法
教学重点及难点：
曲线的凹凸性的判别法及拐点的求法。
教学基本内容方法及手段
1．函数的单调性的判别定理及举例2．函数的单调性的判别定理及举例3．拐点的求法启发式教学法。
以讲授为主。
作业和思考题：
P151：3（5），4（1，4），7（8），8（4），11
教学后记：
填表说明： 1. 每项页面大小可自行添减；
2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；
3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；
授课时间第周周第节课次
授课方式（请打√）理论课□讨论课□实验课□习题课□其他□
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第五节函数的极值与最大值最小值
教学目的、要求：
掌握函数极值的求法，最值问题的实际应用。
教学重点及难点：
函数极值的求法。
教学基本内容方法及手段
1．函数极值的概念，极值存在的必要条件2．判定极值的第一充分条件
3．判定极值的第二充分条件
4 . 最值问题的实际应用启发式教学法。
以讲授为主。
作业和思考题：
P160：1（1，4，10），3，10，13，15
教学后记：
填表说明： 1. 每项页面大小可自行添减；
2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；
3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；
授课时间第周周第节课次
授课方式（请打√）理论课□讨论课□实验课□习题课□其他□
课时
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第六节函数图形的描绘
教学目的、要求：
掌握函数图形的描绘的步骤，并能描绘一些函数的图形。
教学重点及难点：
描绘函数的图形。
教学基本内容方法及手段
1．描绘函数图形的步骤
2．举例说明函数图形的描绘方法启发式教学法。
以讲授为主。
作业和思考题：
P166：1，4
教学后记：
填表说明： 1. 每项页面大小可自行添减；
2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；
3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；
授课时间第周周第节课次
授课方式（请打√）理论课□讨论课□实验课□习题课□其他□
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第七节曲率
教学目的、要求：
掌握弧微分的概念及弧微分的计算方法，掌握曲率及曲率半径的计算公式。
教学重点及难点：
弧微分的计算，曲率半径的计算。
教学基本内容方法及手段
1．弧微分的公式及计算2．曲率及其计算公式3．曲率圆及曲率半径启发式教学法。
以讲授为主。
作业和思考题：
P175：3，4，5，8
教学后记：
填表说明： 1. 每项页面大小可自行添减；
2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；
3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；
授课时间第周周第节课次
授课方式（请打√）理论课□讨论课□实验课□习题课□其他□
课时
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授课题目（教学章、节或主题）：第三章微分中值定理与导数应用
第八节方程的近似解
教学目的、要求：
掌握二分法和切线法求方程的近似解。
教学重点及难点：
用二分法和切线法求方程的近似解。
教学基本内容方法及手段
1．求方程的近似解的步骤2．二分法求方程的近似解3．切线法求方程的近似解4．举例启发式教学法。
以讲授为主。
作业和思考题：
P180：1，2
教学后记：
填表说明： 1. 每项页面大小可自行添减；
2. 课次为授课次序，填1、2、3……等；
3. 授课方式填理论课、实验课、讨论课、习题课等；。