福建师大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

福建师大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若x 0是方程x +lgx =2的解，则x 0属于区间( )A. (0,12)B. (12,1)C. (1,2)D. (2,3)2. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3)，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. (3,1) B. (2,−1) C. (−1,2) D. (−1,7)3. 某大型服装厂为了制定下一年的销售策略，对某款畅销婴幼儿服装近3年的销售情况进行分析．分析结果如下：该款服装的综合成本为18元，当每件售价为x(x >18)元时，年销售量为m 万件，已知244−m 与x 2−16x 成正比，且每件售价为20元时，年销量为164万件．则该款婴幼儿服装年销售利润y(单位：万元)关于售价x(单位：元)的函数关系式为( )A. y =−x 3+17x 2−22x −2196(x >18)B. y =−x 3+34x 2−44x −4392(x >18)C. y =x 3−17x 2+22x +2196(x >18)D. y =x 3−34x 2+44x +4392(x >18)4. 已知直角坐标系内的两个向量a ⃗ =(1,3)，b ⃗ =(m,2m −3)使平面内的任意一个向量c⃗ 都可以唯一地表示成c ⃗ =λa ⃗ +μb ⃗ ，则m 的取值范围是( )A. (−∞,0)∪(0,+∞)B. (−∞,−3)∪(−3,+∞)C. (−∞,3)∪(3,+∞)D. [−3,3)5. 《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，文为田几何？”意思说：今有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，则此问题中，扇形的圆心角的弧度数是( )A. 415B. 158C. 154D. 120 6. 已知sinα+3cosα2cosα−sinα=2，则sin 2α+sinαcosα+1等于( )A. 115B. 25C. 85D. 75 7. 已知y =f (x )可用列表法表示如下：x 1 2 3 4 5 f (x ) 2 3 4 1 3若f(f (x ))=x −1，则x =( )A. 2B. 3C. 4D. 5 8. 函数f(x)=sin(π6+x)+cos(π3−x)的最大值为( )A. 1B. √32C. √3D. 2 9. 如图所示，函数y =cosx |sinx ||cosx |(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是 ( )A. B.C. D.10. 已知△ABC 满足(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)=k ×BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中k 是长数)，则△ABC 形状是( ) A. 正三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形D. 等腰三角形 11. 已知函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间[−π3,π4]上的最小值是−2，则ω的最小值为 ( )A. 3B. 2C. 32D. 23 12. 函数f(x)=cosπx −|log 2|x −1||的所有零点之和为( )A. 0B. 2C. 4D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(2,0)，|b ⃗ |=3，a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，则|2a ⃗ −b ⃗ |= ______ ．14. 已知函数f(x)=sin (ωx −π3)(ω>0).若当x =π6时，函数f(x)取得最大值，则ω的最小值为__________．15. 已知|a ⃗ |=2，且(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的值是______ ．16. 函数y =sin(ωx +1)(ω>0)的对称轴方程为x =1，则ω的最小值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.．(1)化简f(α)；(2)若α∈(0,π2)，且sin(α−π6)=13，求f(α)的值．18.已知平面向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(m,−1)．(1)若a⃗//(a⃗+b⃗ )，求实数m的值；(2)若a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角为锐角，求实数m的取值范围．19.用“五点法”作出函数y=√2sin(2x+π4)在[0,π]上的图象。

20. 某地西红柿从2月1日起开始上市。

通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系。

Q =at +b ，Q =at 2+bt +b ，Q =a ·b t ，Q =a ·log b t(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本。

21. 在△ABC 中，点M ，N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .BM ，CN 交于点D ，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =______22.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(3π4,0)对称．(1)求ω，φ的值；(2)若x∈[−3π4,π2]，求f(x)的最大值与最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查零点存在性定理的运用，属于简单题．利用函数零点的判定定理即可得出．解：令f(x)=x +lgx −2，∵f(1)=1+lg1−2=−1<0，f(2)=2+lg2−2=lg2>0，∴f(1)f(2)<0，根据函数零点的判定定理可知：函数f(x)在区间(1,2)内存在一个零点，即方程x +lgx =2的解x 0∈(1,2)．故选C ．2.答案：A解析：解：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4)−(−1,3)=(3,1)．故选：A ．用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标表示出AC⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 本题考查了平面向量的线性表示与坐标运算问题，是基础题目．3.答案：B解析：本题考查了函数模型的应用，属于基础题．设244−m =k(x 2−16x)，由已知条件，可求出k =1，故y =m(x −18)=(−x 2+16x +244)(x −18)，整理可得答案．解：设244−m =k(x 2−16x)，因为每件售价为20元时，年销量为164万件，所以244−164=k(202−16×20)，解得k=1，所以244−m=x2−16x，所以m=−x2+16x+244，所以y=m(x−18)=(−x2+16x+244)(x−18)=−x3+34x2−44x−4392(x>18)．即y=−x3+34x2−44x−4392(x>18)．故选B．4.答案：B解析：本题考查平面向量基本定理和向量的平行的坐标运算，根据题意利用向量共线条件即可得到结果．解：根据题意，向量a⃗,b⃗ 是不共线的向量，∵a⃗=(1,3)，b⃗ =(m,2m−3)，向量a⃗,b⃗ 不共线，∴3×m≠1×(2m−3)，解之得m≠−3，所以实数m的取值范围是{m|m∈R且m≠−3}．故选B．5.答案：C解析：本题主要考查扇形面积问题以及文化背景信息运用，属于基础题．根据题中信息求出扇形面积，再用扇形面积公式可解得．解：S=30×164=120(平方步)，设扇形的半径为R，圆心角为α，S=12αR2,即120=12α×64⇒α=154.故选C．6.答案：D解析：解：∵sinα+3cosα2cosα−sinα=2，∴tanα=13，∴sin2α+sinαcosα+1=sin2α+sinαcosα22+1=tan2α+tanαtan2α+1+1=75，故选：D．由已知求得tanα，结合平方关系把sin2α+sinαcosα+1化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．7.答案：D解析：本题主要考查函数的表示方法，属于基础题.用代入法做较简单．解：当x=2时，f(2)=3，所以f(f(2))=f(3)=4≠2−1，故不正确；当x=3时，f(3)=4，所以f(f(3))=f(4)=1≠3−1，故不正确；当x=4时，f(4)=1，所以f(f(4))=f(1)=2≠4−1，故不正确；当x=5时，f(5)=3，所以f(f(5))=f(3)=4=5−1，故正确；故选D．8.答案：D解析：利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．【详解】函数f(x)=sin(π6+x)+cos(π3−x)=sin(π6+x)+cos[π2−(π6+x)]=2sin(π6+x)≤2．故选：D．本题考查三角函数的最值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力．9.答案：C解析：本题考查正切函数与正弦函数的图象，确定绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与识图能力，属于中档题．根据x 的取值情况分类讨论，去掉|sinx ||cosx |中的绝对值符号，转化为分段函数，再识图即可． 解：∵y =cosx |sinx||cosx |={sinx,0≤x <π2−sinx,π2<x ≤πsinx,π<x <32π， ∴函数y =cosx |sinx||cosx |(0≤x ≤3π2且x ≠π2)的图象是C ． 故选C ． 10.答案：D解析：本题考查了平面向量的线性运算问题，根据题意画出图形，利用共线定理求出|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，判断△ABC 是等腰三角形，是基础题． 解：△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ×BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中k 是非零常数)，如图所示；∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ×(AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴(1|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+k)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k +1|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， ∴1|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+k =k +1|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴△ABC是等腰三角形．故选D．11.答案：C解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于基础题．先根据x的范围求出ωx的取值范围，进而根据函数f(x)在区间[−π3,π4]上的最小值求出ω的范围，从而得结论．解：∵ω>0，−π3≤x≤π4，∴−ωπ3≤ωx≤ωπ4；∵函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−π3,π4]上的最小值是−2，∴−ωπ3≤−π2，即ω≥32，∴ω的最小值等于32．故选C．12.答案：C解析：本题考查了函数的零点与方程根的关系，函数f(x)=cosπx−|log2|x−1||的零点，即为函数f(x)= cosπx与函数g(x)=|log2|x−1||的图象交点的横坐标，由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．解：函数f(x)=cosπx−|log2|x−1||的零点，即为函数f(x)=cosπx与函数g(x)=|log2|x−1||的图象交点的横坐标，由图象变化的法则可知：y=log2x的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=log2|x|的图象，在向右平移1个单位得到y=log2|x−1|的图象，再把x轴上方的不动，下方的对折上去可得g(x)= |log2|x−1||的图象；又f(x)=cosπx的周期为2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有A，B，C，D，4个交点，由中点坐标公式可得：x A+x D=2，x B+x C=2，故所有交点的横坐标之和为4，故选C．13.答案：√13解析：解：∵a⃗=(2,0)，∴|a⃗|=2．又∵|b⃗ |=3，a⃗，b⃗ 的夹角为60°，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗| |b⃗ |cos60°=2×3×1=3．2∴|2a⃗−b⃗ |=√4a⃗2+b⃗ 2−4a⃗⋅b⃗ =√4×22+32−4×3=√13．故答案为：√13．利用向量的数量积运算和性质即可得出．本题考查了向量的数量积运算和性质，属于基础题．14.答案：5解析：本题考查三角函数的最值，考查计算能力，属于基础题．代入，得到，从而得到结果．直接将x=π6解：由题意得：又ω>0，故ω的最小值为5．故答案为：5．15.答案：−4解析：解：∵|a⃗|=2，且(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，∴(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，∴a⃗⋅b⃗ =−a⃗2=−22=−4．故答案为：−4．由(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，可得(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，即可得出．本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．16.答案：π2−1解析：解：函数对称轴为ωx+1=kπ+π2，k∈Z，x=1是对称轴，∴ω+1=kπ+π2，k∈Z．ω=kπ+π2−1，k∈Z．∴w最小值为π2−1．故答案为：π2−1．先根据三角函数的图象和性质求出函数的对称轴方程，由已知，从而可求得ω=kπ+π2−1，k∈Z，故可求ω的最小值．本题主要考察了三角函数的图象和性质，考察了正弦函数的对称轴的求法，属于基础题．17.答案：解：(1)f(α)=cosαcosα(−tanα)tanαcosα=−cosα．(2)∵α∈(0,π2)，∴−π6<α−π6<π3，且sin(α−π6)=13．∴cos(α−π6)=√1−sin2(α−π6)=2√23，∴cosα=cos[(α−π6)+π6]=cos(α−π6)cosπ6−sin(α−π6)sinπ6=2√6−16，∴f(α)=1−2√66．解析：本题主要考查了三角函数的恒等变换，诱导公式和同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．(1)直接由诱导公式可化简；(2)考虑到α=(α−π6)+π6，从而cosα=cos[(α−π6)+π6]=cos(α−π6)cosπ6−sin(α−π6)sinπ6，只要再求得cos(α−π6)即可，利用同角三角函数的基本关系可求出cos(α−π6)．18.答案：解：(1)∵平面向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(m,−1)，∴a⃗+b⃗ (m+1,1)，若a⃗//(a⃗+b⃗ )，即1−2(m+1)=0，∴m=−12．(2)若a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角为锐角，则a⃗⋅(a⃗+b⃗ )>0且a⃗与(a⃗+b⃗ )不共线．由a⃗⋅(a⃗+b⃗ )>0，得m+3>0，∴m>−3．由a⃗与(a⃗+b⃗ )共线，得到1−2(m+1)=0，∴m=−12．故要求的实数m的取值范围为{m|m>−3，且m≠−12}．解析：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量的夹角，属于基础题．(1)由题意利用两个向量共线的性质，求出实数m的值．(2)若a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角为锐角，a⃗⋅(a⃗+b⃗ )>0且a⃗与(a⃗+b⃗ )不共线，由此求得实数m的取值范围．19.答案：解：列表如下：描点，连线，画图如下：解析：本题考查五点法作函数y =Asin(ωx +φ)的图象.根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．20.答案：解：(1)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系函数不是单调函数；而函数Q =at +b ，Q =a ⋅b t ，Q =a ⋅log b t ，在a ≠0时，均为单调函数，这与表格中提供的数据不吻合，所以，选取二次函数Q =at 2+bt +c 进行描述；将表格所提供的三组数据(50,150)，(110,108)，(250,150)分别代入方程，得{2500a +50b +c =15012100a +110b +c =10862500a +250b +c =150，解得a =1200，b =−32，c =4252；故西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系函数为Q =1200t 2−32t +4252； (2)因为函数Q =1200t 2−32t +4252=1200(t −150)2+100，所以当t =150(天)时，西红柿种植成本Q 最低，为100元/102kg ．解析：(1)由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系函数不是单调函数，应选取二次函数Q =at 2+bt +c 进行描述，利用待定系数法将表格所提供的三组数据代入Q ，列方程组求出函数解析式；(2)由二次函数的图象与性质，求出函数Q 在t 取何值时，有最小值即可．本题考查了二次函数模型的应用问题，也考查了利用二次函数的图象与性质求函数最值的问题，确定函数的模型是解题关键．21.答案：34 解析： AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +b AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2b 3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由N ，D ，C 三点共线，B ，D ，M 三点共线，可得λ=μ=12⇒x +y =λ2+μ=34．本题考查了向量的线性运算，利用三点共线的向量式特征是解题关键，属于中档题．解：∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +b AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2b3AC ⃗⃗⃗⃗⃗{x =λ2y =μλ+μ=1，{λ2=aμ=23b a +b =1⇒λ=μ=12⇒x +y =λ2+μ=34．故答案为：34．22.答案：解：(1)因为f(x)=sin(ωx +φ)是R 上的偶函数，所以φ=π2+kπ，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ=π2，即f(x)=cos ωx ．因为图象关于点M(34π,0)对称，所以ω⋅34π=π2+mπ，m ∈Z ，ω=23+4m3，又0<ω<1，所以ω=23．(2)因为x∈[−3π4,π2 ]，所以23x∈[−π2,π3]，当23x=0时，即x=0，函数f(x)的最大值为1，当23x=−π2时，即x=−3π4，函数f(x)的最小值为0．解析：本题考查三角函数y=Asin(ωx+φ)图象和的性质，题目基础．(1)由函数为偶函数，可得φ=π2，再由对称点可得ω=23；(2)由x∈[−3π4,π2]可得23x∈[−π2,π3]，再根据函数的单调性求解最值即可．。