2014年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案

合集下载

历届大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类14页

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面 2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

2009-2014全国大学生数学竞赛试题及答案(最完整版)

。
dx 2
二、（本题满分 5 分）求极限 lim( e x + e2x +
+
e nx
)
e x
，其中
n
是给定的正整数。
x→0
n
∫ 三、（本题满分 15 分）设函数 f (x) 连续， g(x) = 1 f (xt)dt ，且 lim f (x) = A ， A 为常
0
x→0 x
数，求 g′(x) 并讨论 g′(x) 在 x = 0 处的连续性。
L
2
五、（本题满分 10 分）已知 y1 = xex + e2x ， y2 = xex + e−x ， y3 = xe x + e2x − e−x 是某二
阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。
六、（本题满分 10 分）设抛物线 y = ax2 + bx + 2 ln c 过原点。当 0 ≤ x ≤ 1 时, y ≥ 0 ,又已
六、（本题满分 12 分）设 f (x) 是在 (−∞, +∞) 内的可微函数，且 f ′(x) < mf (x) ，其中
+∞
∑ 0 < m < 1 。任取实数 a0 ，定义 an = ln f (an−1), n = 1, 2, ，证明： (an − an−1) 绝对收敛。 n =1
七、（本题满分 15 分）是否存在区间[0, 2]上的连续可微函数 f (x) ，满足 f (0) = f (2) = 1，
第一届(2009)全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
(x + y) ln(1 + y )
1．计算 ∫∫D

2014年数学竞赛试题及答案

广东金融学院数学竞赛试题系别___________ 班级__________ 学号___________ 姓名__________考场___________考号___________一、（20分）计算:(1)已知nx n +++++++++= (211)...2111111,求n n x ∞→lim (6分)解:因为()()12212211...211+-=+=+=+++n n n n n n n ,所以.121211122...42323222211+-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n n x n 所以25lim =∞→n n x (2) 求极限nn n n n n)12)...(1(1lim -+∞→(8分)解:ee eeee e n n n n dxx n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nn 4lim lim lim lim )12)...(1(1lim 1)1ln()11ln(...)11ln()01ln(1lim )11ln(...)11ln()01ln(112ln ...1ln ln 1))12)...(1(ln())12)...(1(1ln(=⎰======-++⎪⎭⎫⎝⎛-++++++⎪⎭⎫⎝⎛-++++++∞→⎪⎭⎫⎝⎛-++++∞→-+∞→-+∞→∞→∞→(3)求不定积分dx x x ⎰+4351(6分)解:()()()()Cx x x d x x d x x d x x d x x x d x x dx x x ++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+++=++-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰-43347334133433343343334334351941214)1(1)1(131)1(11)1(1131)1(111311二、（10分）设一袋中装有10个球,其中4个红球、3个白球、3个黑球，这些球除颜色不同外，其他完全一样，现有一个从袋中无放回摸球，每次摸一个，直到某各颜色的球都出现为止。

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分）1.计算 $\iint_D \frac{y}{x+y-1} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中区域$D$ 由直线$x+y=1$ 与两坐标轴所围成三角形区域。

2.设 $f(x)$ 是连续函数，且满足 $f(x)=3x^2-\intf(x)\mathrm{d}x-2$，则 $f(x)=\underline{\hspace{2em}}$。

3.曲面 $z=\frac{x^2+y^2-2}{2}$ 平行于平面 $2x+2y-z=$ 的切平面方程是 $\underline{\hspace{2em}}$。

4.设函数 $y=y(x)$ 由方程 $xe^{f(y)}=\ln 29$ 确定，其中$f$ 具有二阶导数，且 $f'\neq 1$，则$y''=\underline{\hspace{2em}}$。

二、（5分）求极限 $\lim\limits_{x\to n}\frac{e^{ex+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}}{x}$。

三、（15分）设函数 $f(x)$ 连续，$g(x)=\intf(xt)\mathrm{d}t$，且 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=A$，$A$ 为常数，求 $g'(x)$ 并讨论 $g'(x)$ 在 $x=1$ 处的连续性。

四、（15分）已知平面区域 $D=\{(x,y)|0\leq x\leq\pi,0\leq y\leq\pi\}$，$L$ 为 $D$ 的正向边界，试证：1）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x=\int_L xe^{-\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x$；2）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x\geq \frac{\pi^2}{2}$。

2014年最新全国大学生高等数学竞赛试题及解答

2013年全国大学生数学专业竞赛试题及解答一、计算题（1）求极限 21lim (1)sin n n k k k n n π→∞=+∑解法1 直接化为黎曼和的形式有困难.注意到 3sin ()x x O x =+, 3322611lim 1sin lim 1n n n n k k k k k k k O n n n n n πππ→∞→∞==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑, 由于 33336611|1()|20,()nn k k k k k O C n n n n ππ==⎛⎫+≤→→∞ ⎪⎝⎭∑∑，所以2211lim 1sin lim 1n n n n k k k k k k n n n n ππ→∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑65)(1)(lim 102122πππ=+=+=⎰∑=∞→dx x x n n k n k n k n .解法2 利用31sin 6x x x x -<<，得 3326221sin 6k k k k n n n n ππππ-<<， 332622111111(1)1sin 16n n n n k k k k k k k k k k k k n n n n n n n n ππππ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+<+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑, 由于33336611|1|20,()nn k k k k k n n n n ππ==⎛⎫+≤→→∞ ⎪⎝⎭∑∑， 21lim 1n n k k k n n π→∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑65)(1)(lim 102122πππ=+=+=⎰∑=∞→dx x x n n k n k n k n ，所以215lim (1)sin 6n n k k k n n ππ→∞=+=∑ .（2）计算()2222axdydz z a dxdy I x y z ∑++=++⎰⎰，其中∑为下半球222z a x y =---的上侧，0a >.解法一. 先以()12222x y z a ++=代入被积函数，()2axdydz z a dxdy I a ∑++=⎰⎰ ()21a x d y d z z a d x d y a ∑=++⎰⎰，补一块有向平面222:0x y a S z -⎧+≤⎨=⎩，其法向量与z 轴正向相反，利用高斯公式，从而得到()()-22+S 1S I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a -∑⎡⎤=++-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ()2D 12a z a dxdydz a dxdy a Ω⎡⎤=-+++⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰，其中Ω为+S -∑围成的空间区域，D 为0z =上的平面区域222x y a +≤，于是32212323I a a zdxdydz a a a ππΩ⎛⎫=-⋅-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()222040012a a r a d dr zdz a ππθ--=--⎰⎰⎰32a π=-.解法二. 直接分块积分11I axdydz a ∑=⎰⎰ ()2222yzD a x y dydz =--+⎰⎰，其中yz D 为yOz 平面上的半圆222y z a +≤，0z ≤. 利用极坐标，得 222310223a I d a r rdr a ππθπ=--=-⎰⎰， ()221I z a dxdy a ∑=+⎰⎰ ()22221xyD a a x y dxdy a ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦⎰⎰，其中xy D 为xOy 平面上的圆域，222xy a +≤，用极坐标，得 ()22222200122a I d a a a r r rdr a πθ=---⎰⎰36a π=，因此3122I I I a π=+=-. （3）现要设计一个容积为V 的圆柱体的容积，已知上下两低的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底面的直径之比为何值时，所需费用最少？解：设圆柱体的高为h ，底面直径为d ，费用为f ，根据题意，可知22d h V π⎛⎫= ⎪⎝⎭，24V d h π= 222d f a b dh ππ⎛⎫=⋅⋅+⋅ ⎪⎝⎭212a d b d h π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2111222ad bdh bdh π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 23132ad bdh bdh π≥⋅⋅ ()2223332ab d h π=⋅2233342V ab ππ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，当且仅当2ad bdh =时，等号成立，h a d b=，故当h a d b=时，所需要的费用最少. （4）已知()f x 在11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内满足()331sin cos f x x x '=+求()f x . 解：()331sin cos f x dx x x '=+⎰22211sin cos 3sin cos 2sin sin cos cos x x dx x x x x x x +⎛⎫=+ ⎪+-+⎝⎭⎰，111sin cos 2sin 4dx dx x x x π=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰114ln tan 22x C π+=+， ()222sin cos sin cos 11sin sin cos cos sin cos 22x x x x dx dx x x x x x x ++=-+-+⎰⎰ ()2sin cos 2sin cos 1x x dx x x +=-+⎰ ()()2sin cos 2sin cos 1d x x x x -=-+⎰ ()22arctan sin cos x x C =-+所以，()()2124ln tan arctan sin cos 3232x f x x x C π+=+-+. 二、求下列极限.（1）1lim 1n n n e n →∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）111lim 3n n n n n a b c →∞⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中0a >，0b >，0c >.解：（1）11lim 1lim 1n x n x n e x e n x →∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1ln 1lim 1x x x e ex ⎛⎫+ ⎪⎝⎭→+∞-=211111ln 11lim 1xx x x x x x x→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=- 211ln 11lim 1x x x e x →+∞⎛⎫+- ⎪+⎝⎭=- ()2311111lim 12x x x x e x→+∞-+++= ()2211lim 12x x e x →+∞-+= 21lim 2211x e e x →+∞=-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （2） 111111lim lim 33n x n n n x x x n x a b c a b c →∞→+∞⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111ln 3lim x x x a b c x x e ++→+∞= 111ln3lim 1x x xx a b c x e →+∞++=， 111ln3lim 1x x x x a b c x →+∞++1111112211ln ln ln lim 1x x x x x x x a a b b c c x a b c x →+∞⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++=-1111111lim ln ln ln x x x x x x x a a b b c c a b c →+∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭++ ()1ln ln ln 3a b c =++3ln abc =，故1113lim 3n n n n n a b c abc →∞⎛⎫++ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 一般地，有1112lim n m n k k m m n a a a a m =→∞⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑ ，其中0k a >，1,2,,k m = ， 120lim x x nx x x e e e n →⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ 2ln 0lim x x nx e e e n x x e +++→= ()2ln ln 0lim x x nx e e e n x x e +++-→= ()22012lim 1x x nx x x nx x e e ne e e e e→++++++= ()11122n n n e e++++== . 三．设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导，()10f =，()12f '=，求()220sin cos lim tan x f x x x x x→++. 解：()220sin cos lim tan x f x x x x x →++()()22220sin cos 1sin cos 1lim tan sin cos 1x f x x f x x x x x x x →⎛⎫+-+- ⎪=⋅ ⎪++-⎝⎭()220sin cos 11lim tan x x x f x x x→+-'=+ 2220sin 2sin 22lim tan x x x x x x →-=+22022sin cos 1222lim sin 11cos x x x x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2200sin cos 122lim lim sin 11cos x x x x x x x x→→⎛⎫- ⎪=⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭ 2111112-=⋅=+.四、设()f x 在[)0,∞上连续，无穷积分()0f x dx ∞⎰收敛，求()01lim y y xf x dx y →+∞⎰. 解：设()()0x Fx f t dt =⎰，由条件知，()()F x f x '=， ()()0lim x F x f t dt A +∞→+∞==⎰，利用分部积分，得 ()()00y yxf x dx xF x dx '=⎰⎰()()0y yF y F x dx =-⎰， ()()()0011y y xf x dx F y F x dx y y =-⎰⎰， ()()0lim lim y y y F x dx F y A y →+∞→+∞==⎰，于是()()()0011lim lim lim y y y y y xf x dx F y F x dx y y →+∞→+∞→+∞=-⎰⎰0A A =-=.五．设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可微，且()()010f f ==，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 证明：（1）存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f ξξ=；（2）对于每一λ，存在()0,ηξ∈，使得()()1f f ηληλη'=-+. 证明：（1）令()()F x f x x =-，由题设条件，可知1122F ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()11F =-；利用连续函数的介值定理，得存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0F ξ=，即()f ξξ=.（2）令()()()x G x e f x x λ-=-，由题设条件和（1）中的结果，可知，()00G =，()0G ξ=；利用罗尔中值定理，得存在()0,ηξ∈，使得()0G η'=，由()()()()()1x x G x e f x e f x x λλλ--''=---，即得()()1f f ηληλη'=-+.六、试证：对每一个整数2n ≥，成立11!!2n nn n e n +++> . 分析：这是一个估计泰勒展开余项的问题，其技巧在于利用泰勒展开的积分余项.证明：显然0n=时，不等式成立；下设1n ≥. 由于()001!!k n n n n t k n e n t e dt k n ==+-∑⎰，这样问题等价于证明()0!2n n n t n en t e dt ->-⎰，即 ()002n n n t n t t e dt e n t e dt +∞-->-⎰⎰，令u n t =-上式化为 002n n t n u t e dt u e du +∞-->⎰⎰，从而等价于0n n u n u n u e du u e du +∞-->⎰⎰，只要证明20n n n u n u n u e du u e du -->⎰⎰，设()n u f u u e -=，则只要证明()()f n h f n h +≥-，()0h n ≤≤，就有()()00n nf n h dh f n h dh +≥-⎰⎰，()()20n n n f u du f u du >⎰⎰，则问题得证.以下证明()()f n h f n h +≥-，()0h n ≤≤，成立上式等价于()()n n n h h n n h en h e ---+≥-，即()()lnln n n h h n n h h +-≥-+，令()()()ln ln 2gh n n h n n h h =+---，则()00g =，并且对0h n <<，有2dg n n dh n h n h=+-+- 2222222220n h n h n h=-==>--，从而当0h n <<时，()0g h >，这样问题得证.注：利用这一结论，我们可以证明如下结论.六、设1n >为整数，()2011!2!!n x tt t t F x e dt n -⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭⎰ ，证明方程()2n F x =，在,2n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭上至少有一个根. 六、证明：存在1(,)2a n n ∈，使得001!2k n a x k x e dx n k -==∑⎰. 证明：令()00!k nyx k x f y e dx k -==∑⎰，则有220002!2n n k n x x x k n x n f e dx e e dx k --=⎛⎫=<= ⎪⎝⎭∑⎰⎰， ()00!k n n x k x f n e dx k -==∑⎰00!kn n n k n e dx k -=>∑⎰ 0122nn n n e e dx ->⋅=⎰，由连续函数的介值定理，得存在,2n a n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()2n f a =，故问题得证. 这里是由于()0!kn x k x g x e k -==∑， ()0!n x x g x e n -'=-<， ()g x 在[)0,+∞上严格单调递减，所以，当0x n <<时，有()()g x g n >.七、是否存在R 上的可微函数()f x ，使得2435(())1f f x x x x x =++--，若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。

历届全国大学生数学竞赛预赛试卷

历届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）2009年第⼀届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题5分，共20分）1．计算()ln(1)d yx y x y ++=??____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三⾓形区域.2．设)(x f 是连续函数，且满⾜220()3()d 2f x x f x x =--?，则()f x =____________.3．曲⾯2222x z y =+-平⾏平⾯022=-+z y x 的切平⾯⽅程是__________.4．设函数)(x y y =由⽅程29ln )(y y f e xe=确定，其中f 具有⼆阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________. ⼆、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =?，且A x x f x =→)(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平⾯区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）-=---Lx y Lx yx ye y xe x ye y xed d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π?≥--Ly yx ye y xe.五、（10分）已知xxexe y 21+=，xx exe y -+=2，x xx e exe y --+=23是某⼆阶常系数线性⾮齐次微分⽅程的三个解，试求此微分⽅程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，⼜已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的⾯积为31.试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转⼀周⽽成的旋转体的体积V 最⼩.七、（15分）已知)(x u n 满⾜1()()1,2,n xnn u x u x x e n -'=+=L ，且n eu n =)1(，求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.⼋、（10分）求-→1x 时，与∑∞=02n n x 等价的⽆穷⼤量.2010年第⼆届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、（25分，每⼩题5分）（1）设22(1)(1)(1)nnx a a a =+++L ，其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x xx ex -→∞+ ?.（3）设0s >，求0(1,2,)sx nn I e x dx n ∞-==?L .（4）设函数()f t有⼆阶连续导数，1(,)r g x y f r ??==，求2222g g x y ??+??. （5）求直线10:0x y l z -=??=?与直线2213:421x y z l ---==--的距离. ⼆、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有⼆阶导数，并且()0f x ''>，lim ()0x f x α→+∞'=>，lim ()0x f x β→-∞'=<，且存在⼀点0x ，使得0()0f x <.证明：⽅程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根.三、（15分）设函数()y f x =由参数⽅程22(1)()x t t t y t ψ?=+>-?=?所确定，且22d 3d 4(1)y x t =+，其中()t ψ具有⼆阶导数，曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+在1t =出相切，求函数()t ψ. 四、（15分）设10,nn n k=>=∑，证明：（1）当1α>时，级数1nn na S α+∞=∑收敛；（2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1nn na S α+∞=∑发散. 五、（15分）设l 是过原点、⽅向为(,,)αβγ，（其中2221)αβγ++=的直线，均匀椭球2222221x y z a b c++≤（其中0c b a <<<，密度为1）绕l 旋转. （1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于⽅向(,,)αβγ的最⼤值和最⼩值.六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线积分422d ()d 0L xy x x y x y ?+=+??的值为常数.（1）设L 为正向闭曲线22(2)1x y -+=，证明422d ()d 0L xy x x yx y ?+=+??；（2）求函数()x ?；（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422d ()d C xy x x y x y ?++??.2011年第三届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、计算下列各题（本题共3⼩题，每⼩题各5分，共15分）（1）求11cos 0x x x -→??；（2）.求111lim ...12n n n n n →∞??++++++；（3）已知()2ln 1arctan tt x e y t e=+=-，求22d d y x .⼆、（本题10分）求⽅程()()24d 1d 0x y x x y y +-++-=的通解.三、（本题15分）设函数()f x 在0x =的某邻域内具有⼆阶连续导数，且()()()0,0,0f f f '''均不为0，证明：存在唯⼀⼀组实数123,,k k k ，使得()()()()12320230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=. 四、（本题17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球⾯1∑在Γ上各点的切平⾯到原点距离的最⼤值和最⼩值.五、（本题16分）已知S 是空间曲线22310x y z ?+=?=?绕y 轴旋转形成的椭球⾯的上半部分（0z ≥）（取上侧），∏是S 在(,,)P x y z 点处的切平⾯，(,,)x y z ρ是原点到切平⾯∏的距离，,,λµν表⽰S 的正法向的⽅向余弦.计算：（1）()d ,,SzS x y z ρ??；（2）()3d Sz x y z S λµν++??六、（本题12分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x '<，其中01m <<，任取实数0a ，定义1ln (),1,2,...n n a f a n -==，证明：11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.七、（本题15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数()f x ，满⾜(0)(2)1f f ==，()1f x '≤，2()d 1f x x ≤?请说明理由.2012年第四届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、（本⼤题共5⼩题，每⼩题6分，共30分）解答下列各题（要求写出重要步骤）.（1）求极限21lim(!)n n n →∞.（2）求通过直线2320:55430x y z l x y z +-+=??+-+=?的两个互相垂直的平⾯1π和2π，使其中⼀个平⾯过点(4,3,1)-.（3）已知函数(,)ax byz u x y e+=，且20ux y=.确定常数a 和b ，使函数(,)z z x y =满⾜⽅程20z z zz x y x y--+=?. （4）设函数()u u x =连续可微，(2)1u =，且3(2)d ()d Lx y u x x u u y +++?在右半平⾯与路径⽆关，求(,)u x y .（5）求极限1limx xx t +.⼆、（本题10分）计算20sin d x e x x +∞-?.三、（本题10分）求⽅程21sin2501x x x=-的近似解，精确到0.001. 四、（本题12分）设函数()y f x =⼆阶可导，且()0f x ''>，(0)0f =，(0)0f '=，求330() lim ()sin x x f u f x u→，其中u 是曲线()y f x =上点(,())P x f x 处的切线在x 轴上的截距. 五、（本题12分）求最⼩实数C ，使得满⾜10 ()d 1f x x =?的连续函数()f x都有1f dx C ≤?.六、（本题12分）设()f x 为连续函数，0t >.区域Ω是由抛物⾯22z x y =+和球⾯2222x y z t ++=(0)z >所围起来的部分.定义三重积分222()()d F t f x y z v Ω=++，求()F t 的导数()F t ''.七、（本题14分）设1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑为正项级数，证明：（1）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++->，则级数1n n a ∞=∑收敛；（2）若()111lim 0n n n n n a a b b →∞++-<，且级数1n n b ∞=∑发散，则级数1n n a ∞=∑发散. 2013年第五届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、解答下列各题（每⼩题6分，共24分，要求写出重要步骤） 1.求极限(lim 1sin nn →∞+.2.证明⼴义积分0sin d xx x+∞不是绝对收敛的.3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值.4.过曲线0)y x =≥上的点A 作切线，使该切线与曲线及x 轴所围成的平⾯图形的⾯积为34，求点A 的坐标.⼆、（满分12分）计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-?=+?.三、（满分12分）设()f x 在0x =处存在⼆阶导数(0)f ''，且()0lim 0x f x x →=.证明：级数11n f n ∞=??∑收敛.四、（满分12分）设(),()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m≤. 五、（满分14分）设∑是⼀个光滑封闭曲⾯，⽅向朝外.给定第⼆型的曲⾯积分()()()333d d 2d d 3d d I x x y z y y z x z z x y ∑=-+-+-??.试确定曲⾯∑，使积分I 的值最⼩，并求该最⼩值.六、（满分14分）设22d d ()()a aC y x x y I r x y -=+?，其中a 为常数，曲线C为椭圆222x xy y r ++=，取正向.求极限lim ()a r I r →+∞.七、（满分14分）判断级数()()1111212n n n n ∞=+++++∑L 的敛散性，若收敛，求其和. 2014年第六届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（共有5⼩题，每题6分，共30分）1.已知1x y e =和1x y xe =是齐次⼆阶常系数线性微分⽅程的解，则该⽅程是.2.设有曲⾯22:2S z x y =+和平⾯022:=++z y x L .则与L 平⾏的S 的切平⾯⽅程是.3.设函数()y y x =由⽅程21sin d 4y xt x t π-??=所确定.求d d x y x ==.4.设1(1)!nn k kx k ==+∑，则=∞→n n x lim .5.已知130()lim 1x x f x x e x →??++= ??，则=→20)(lim x x f x . ⼆、（本题12分）设n 为正整数，计算21d 1cos ln d d ne I x x x π-??=. 三、（本题14分）设函数()f x 在]1,0[上有⼆阶导数，且有正常数,A B 使得()f x A ≤，|"()|f x B ≤.证明：对任意]1,0[∈x ，有2 2|)('|B A x f +≤.四、（本题14分）（1）设⼀球缺⾼为h ，所在球半径为R .证明该球缺体积为2)3(3h h R -π，球冠⾯积为Rh π2；（2）设球体12)1()1()1(222≤-+-+-z y x 被平⾯6:=++z y x P 所截的⼩球缺为Ω，记球缺上的球冠为∑，⽅向指向球外，求第⼆型曲⾯积分d d d d d d I x y z y z x z x y ∑=++??.五、（本题15分）设f 在],[b a 上⾮负连续，严格单增，且存在],[b a x n ∈，使得-=b ann n dx x f a b x f )]([1)]([.求n n x ∞→lim .六、（本题15分）设2222212n n n nA n n n n =++++++L ，求??-∞→n n A n 4lim π. 2015年第七届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题6分，共5⼩题，满分30分）（1）极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞??+++= ?+++ ?L . （2）设函数(),z zx y =由⽅程,0z z F x y y x ?++= ??所决定，其中(),F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠则z zxy x y+=. （3）曲⾯221z x y =++在点()1,1,3M-的切平⾯与曲⾯所围区域的体积是.（4）函数()[)[)3,5,00,0,5x f x x ?∈-?=?∈??在(]5,5-的傅⽴叶级数在0x =收敛的是.（5）设区间()0,+∞上的函数()u x 定义域为()2xt u x e dt +∞-=?，则()u x 的初等函数表达式是.⼆、（12分）设M 是以三个正半轴为母线的半圆锥⾯，求其⽅程. 三、（12分）设()f x 在(),a b 内⼆次可导，且存在常数,αβ，使得对于(),x a b ?∈，有()()()f x f x f x αβ'=+，则()f x 在(),a b 内⽆穷次可导.四、（14分）求幂级数()()30211!nn n x n ∞=+-+∑的收敛域及其和函数.五、（16分）设函数()f x 在[]0,1上连续，且()()110,1f x dx xf x dx ==??.试证：（1）[]00,1x ?∈使()04f x >；（2）[]10,1x ?∈使()14f x =.五、（16分）设(),f x y 在221x y +≤上有连续的⼆阶偏导数，且2222xx xy yy f f f M ++≤.若()()()0,00,0,00,00x y f f f ===，证明：()221,4x y f x y dxdy +≤≤.2016年第⼋届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题5分，满分30分）1、若()f x 在点x a =可导，且()0f a ≠，则()1lim nn f a n f a →∞?+=__________. 2、若()10f =，()1f '存在，求极限()()220sin cos tan3lim1sin x x f x x xI ex→+=-.3、设()f x 有连续导数，且()12f =，记()2x z f e y =，若zz x=，求()f x 在0x >的表达式. 4、设()sin 2x f x e x =，求02n a π<<，()()40f .5、求曲⾯22 2x z y =+平⾏于平⾯220x y z +-=的切平⾯⽅程.⼆、（14分）设()f x 在[]0,1上可导，()00f =，且当()0,1x ∈，()01f x '<<，试证当()0,1a ∈，()()()230d d aaf x xf x x >?.三、（14分）某物体所在的空间区域为222:22x y z x y z Ω++≤++，密度函数为222x y z ++，求质量()222d d d M x y z x y z Ω=++.四、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上具有连续导数，()00f =，()11f =，证明：()10111lim 2nn k k n f x dx fn n →∞=-=- ? ?∑?. 五、（14分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，且()1d 0I f x x =≠?，证明：在()0,1内存在不同的两点12,x x ，使得()()12112f x f x I+=. 六、（14分）设()f x 在(),-∞+∞可导，且()()(2f x f x f x =+=.⽤Fourier 级数理论证明()f x 为常数.2017年第九届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、1.已知可导函数f (x )满⾜?+=+xx tdt t f x xf 01sin )(2)(cos ，则()f x =_________.2．求??+∞→n n n 22sin lim π.3.设(,)w f u v =具有⼆阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为⾮零常数.则21xx yy w w c -=_________. 4.设()f x 有⼆阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则240(sin )lim x f x x →=____.5.不定积分sin 2sin 2(1sin )x e xI dx x -=-?=________. 6.记曲⾯222z x y =+和z =围成空间区域为V ，则三重积分Vzdxdydz =___________.⼆、（本题满分14分)设⼆元函数(,)f x y 在平⾯上有连续的⼆阶偏导数.对任何⾓度α，定义⼀元函数()(cos ,sin )g t f t t =ααα.若对任何α都有(0)0dg dtα=且22(0)0d g dt α>.证明)0,0(f 是(,)f x y 的极⼩值. 三、(本题满分14分)设曲线Γ为在2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的⼀段.求曲线积分?Γ++=xdz zdy ydx I.四、(本题满分15分)设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有||()1t x ef x dx +∞---∞≤?，则,()a b a b ?<，2()2bab a f x dx -+≤. 五、(本题满分15分)设{}n a 为⼀个数列，p 为固定的正整数。

最近五届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)

目录第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 1 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 7 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 11 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 18 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .. (23)（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u uvu u u y x yx x yy x DDd d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

因此3103)(2-=x x f 。

3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

æp ö y ¢ = csc 2 ç ( y - x ) ÷ + 1 ，把 x = 0 代入上式，得 y ¢ = 3 . è4 ø
（4）设 xn = 答案：1 [参考解答]
n æ1 1 ö k = xn = å å ç ÷ (k + 1)! ø k =1 è k ! k =1 ( k + 1)!
n
å (k + 1)! ，则 lim x
I = òò xdydz + ydzdx + zdxdy .
S
[参考解答与评分标准] (1)设球缺所在的球体表面的方程为 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ，球缺的中心线为 z 轴，且设球缺所在圆锥顶角为 2a . 记球缺的区域为 W ，则其体积为
òòò dv =
W
R-h
ò
R
dz òò dxdy =
1 f ¢¢(x )(0 - x) 2 , x Î (0, x), 2 1 f (1) = f ( x) + f ¢( x )(1 - x) + f ¢¢(h )(1 - x ) 2 ,h Î ( x,1), 2 1 1 上述两式相减，得到 f (0) - f (1) = - f ¢( x ) - f ¢¢(h )(1 - x ) 2 + f ¢¢(x ) x 2 , 于是 2 2 1 1 f ¢( x ) = f (1) - f (0) - f ¢¢(h )(1 - x ) 2 + f ¢¢(x ) x 2 . 2 2 f (0) = f ( x) + f ¢( x)(0 - x) +
(-2 x0 , -4 y0 ,1) = k (2, 2,1) , 从而 k = 1 . 故得 x0 = -1 , y0 = 2x + 2 y + z +
（3）设函数 y = y ( x ) 由方程 x = 答案: y ¢ = 3
-1 3 , 这样就有 z0 = . 所求切面方程是 2 2
3 =0. 2
即 f n (1 - e ) < f n ( c )(1 - c ) £
n
n
……….. (8 分)
ò
1
c
f n ( x )dx £ ò f n ( x )dx = f n ( xn ) ,从而 1 - e < xn . 由 e 的任意性得
0
1
lim xn = 1 .
n ®¥
…….. (10 分)
再考虑一般情形. 令 F (t ) = f ( a + t ( b - a )) ，由 f 在 [a , b] 上非负连续，严格单增知 F 在[0,1]上非负连续，严格单增. 从而 $tn Î [0,1] ，使得 F n (tn ) =
f n (1 - e ) < f n ( xn ) = ò f n ( x )dx .
0
1
………….. (3 分)
ò
1
c
f n ( x )dx > f n ( c )(1 - c ) ，现取 c = 1 -
e ，则 f (1 - e ) < f ( c) , 即 2
3
æ f (1 - e ) ö f (1 - e ) < 1 , 于是 lim ç ÷ = 0 ，所以 $N , "n > N 时有 n ®¥ f (c ) è f ( c) ø æ f (1 - e ) ö e ç f (c ) ÷ < 2 = 1 - c . è ø
其中 a ® 0( x ® 0) ，即有
f ( x ) e3 x +a x - 1 = - 1 ，从而 x2 x
f ( x) e 3 x +a x - 1 3x + a x lim 2 = lim - 1 = lim - 1 = 2. x ®0 x x ®0 x ® 0 x x
二 (本题满分 12 分) 设 n 为正整数, 计算 [参考解答与评分标准]
……… (5 分)
记 xi =
n n xi xi i , 则 An = å ò f ( xi )dx , 故 J n = n å ò ( f ( x ) - f ( xi )) dx . xi -1 xi -1 n i =1 i =1
……… (8 分)
由拉格朗日中值定理，存在 z i Î ( xi -1 , xi ) 使得
J n = nå ò
i =1
n
xi xi -1
f ¢(z i )( x - xi )dx .
……… (10 分)
记 mi 和 M i 分别是 f ¢( x ) 在 [ xi -1 , xi ] 上的最小值和最大值，则 mi £ f ¢(z i ) £ M i , 故积分
ò
xi xi -1
f ¢(z i )( x - xi )dx 介于 mi ò
xi xi -1
( x - xi )dx 和 M i ò
(2)记球缺 W 的底面圆为 P 1 ，方向指向球缺外，且记 J =
òò xdydz + ydzdx + zdxdy .
P 1
I + J = òòò 3dv = 3v(W) ，
W
其中 v(W) 为 W 的体积. 由于平面 P 的正向单位法向量为
-1 (1,1,1) ,故 3
J=
-1 -6 ， ( x + y + z )dS = s (P 1 ) = -2 3s ( P 1) òò 3 P1 3
Dz
R-h
ò p (R
R
2
- z 2 ) dz =
p (3 R - h ) h 2 . 3
…… (3 分)
由于球面的面积微元是 dS = R sin q dq ，故球冠的面积为
2
2p
ò
0
d j ò R 2 sin q dq = 2p R 2 (1 - cos a ) = 2p Rh .
0
a
………… (6 分) 由 Gauss 公式, 有 …………. (9 分)
I = 3×
p (3R - h)h 2 + 2 3p (2 Rh - h 2 ) = 33 3p . 3
…………… (14 分)
n
五 (本题满分 15 分) 设 f 在 [ a, b] 上非负连续，严格单增，且存在 xn Î[a, b] 使得 [ f ( xn )] = 求 lim xn .
n ®¥
令 ln x = u , 则有
I =ò
0
-2 np
sin u du = ò
B . 2
2 np
0
sin t dt = 4n ò
p /2
0
sin t dt = 4n . ……………… (12 分)
三 (本题满分 14 分) 设函数 f ( x ) 在[0， 1]上有二阶导数，且有正常数 A, B 使得 | f ( x) |£ A, | f "( x) |£ B . 证明：对任意 x Î [0,1] ，有 | f ¢( x ) |£ 2 A + [参考解答与评分标准] 由泰勒公式，有
由条件 | f ( x ) |£ A , | f ¢¢( x) |£ B ，得到
………. (5 分)
………… (8 分)
| f ¢( x) |£ 2 A +
B (1 - x) 2 + x 2 ) . ( 2
………. (11 分)
因 x 2 + (1 - x) 2 = 2 x 2 - 2 x + 1 在 [0,1] 的最大值为 1, 故
2014 年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案
一填空题(共有 5 小题, 每小题 6 分,共 30 分) （1）已知
y微分方程的解，则该方程是___________.
答案: y¢¢( x ) - 2 y ¢( x ) + y ( x ) = 0 [参考解答] 由题设知该方程的特征方程有二重根 r = 1 ，故所求微分方程是 y¢¢( x ) - 2 y ¢( x ) + y ( x ) = 0 . （2）设有曲面 S : z = x 2 + 2 y 2 和平面 L : 2 x + 2 y + z = 0 , 则与 L 平行的 S 的切平面方程是________. 答案: 2 x + 2 y + z +
1
ò
1
0
F n ( t ) dt ，且 lim tn = 1 ，即
n ®¥
f n ( a + tn (b - a )) = ò f n ( a + t ( b - a ))dt .
0
记 xn = a + tn (b - a ) ，则有
[ f ( xn ) ] =
n
1 且 lim xn = a + (b - a ) = b . [ f ( x )]n dx ， ò n ®¥ b-a a
I = ò -2 np
e
1
d æ 1ö cos ç ln ÷ dx. dx è xø
I = ò -2 np
e
1
1 1 d d 1 æ 1ö cos ç ln ÷ dx = ò -2 np cos ( ln x ) dx = ò -2 np sin ln x dx. ……….….. (6 分) e e dx dx x è xø
f ( x) ö x æ 3 已知 lim ç 1 + x + ÷ =e x ®0 x ø è
1
1
则 lim
x ®0
f ( x) =___________. x2
答案: 2
1 f ( x) f ( x) ö x 1 f ( x) æ 3 [参考解答] 由 lim ç 1 + x + ) = 3+a, ln(1 + x + ) = 3 ,于是有 ln(1 + x + ÷ = e 知 lim x ®0 x ® 0 x x x ø x x è