平面向量问题的常规解法
平面向量题型归类及解题方法
平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。
平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。
- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。
- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。
- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。
- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。
- 向量可以缩放，即乘以一个标量。
- 向量可以平移，即使原点发生变化。
2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。
2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。
2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。
2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。
如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。
2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。
2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。
向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。
3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。
3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。
•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。
平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结！
1、基底法
在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.
2、平方法
在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律
3、投影法
①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值；
②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影；
4、坐标法
几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。
只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向量问题。
5、数形结合法
在处理一些平面向量的问题时，需要利用图形，结合向量的运算法则，综合分析，来处理一些动态变化问题。
这类问题主要包含：圆上动点、直线上动点等。
6、三点共线结论及其推广
7、绝对值不等式
8、极化恒等式
9、等和线
以上就是老师对高中数学向量这一板块的解题方法汇总总结，这
些方法足以应付高中数学中出现的向量题型，当然有同学想要更深入一些关于向量的解题方法的话还需要学习三角形与向量的五心相关知识，更高层次的还有复数与向量结合这种强基计划或者竞赛中的一些知识，这些我们在后期的一些文章当中会涉及。
我们这个自媒体主要服务于高中生数学，高考数学，强基计划、数学竞赛，大家有兴趣可以关注一下我们，我们上的都是一些干货，绝对不会让你失望！。
求解平面向量问题的三种方法
思路探寻求解平面向量问题的三种方法陈燕华平面向量是高考数学试题中的重点考查内容，通常会考查平面向量的定义、定理、运算法则，以及与不等式相结合的综合性问题.由于向量既具有“数”的形式，也有对应的图形，所以解答平面向量问题一般可以从几何和代数两个角度入手.本文重点介绍三种求解平面向量问题的方法，以帮助同学们拓宽解题的思路.一、基底法基底法是指运用平面向量的基本定理来解题的方法.在解题时，需首先选取两个不共线的基底向量 e 1、 e 2，根据平面向量的基本定理，将问题中的其他向量都用基底向量 e 1、e 2表示出来，然后运用平面向量的运算法则来解题.基底法是解答平面向量问题的基本方法.例1.如图1，在△ABC 中，BC =AC =1,AB =3, CE =x CA , CF =x CB ,其中x ,y ∈()0,1，且x +4y =1，若M 、N 分别是线段EF 、AB 中点，则线段MN 长度最小值为_____.解：选取 CA 、CB 为基底向量，∵ CM =12 CE +12 CF =x 2 CA +y 2CB ，CN =12 CA +12CB ,∴ MN = CN - CM =æèöø12CA +12 CB -æèçöø÷x 2 CA +y 2 CB =æèöø12-x 2 CA +æèçöø÷12-y 2CB ，∴|| MN 2=éëêùûúæèöø12-x 2 CA +æèçöø÷12-y 2 CB 2=æèöø12-x 22+æèçöø÷12-y 22-æèöø12-x 2∙æèçöø÷12-y 2，∵x +4y =1，x =1-4y ∈()0,1，∴y ∈æèöø0,14，∵|| MN 214()21y 2-6y +1，y ∈æèöø0,14，y =时，|| MN 2有最小值17，即 MN 最小值为.运用基底法解题的关键是，选取合适的基底向量，运用向量的基本定理和运算法则解题.二、平方法平面向量中有很多关于向量的模的运算问题.在解答此类问题时，我们可以运用平方法来求解.我们知道||a 2=a 2，在解答与平面向量的模有关的问题时，可以首先将向量的模平方，便可将问题转化为常规的平面向量运算问题，然后利用平面向量的运算法则便可使问题获解.例2.已知点A 、B 、C 分别是圆O ：x 2+y 2=1上任意不同的三点，若 OA =3 OB +xOC ,则正实数x 的取值范围是_____.解：由题意可得，|| OA =|| OB =||OC =1，两边平方可得， OA 2=()3 OB +x OC 2，即1=9+x 2+6x cos ∠BOC ，∵点A 、B 、C 分别是圆O ：x 2+y 2=1上任意不同的三点，∴∠BOC ∈()0，π，则-1＜x 2+86x＜1，解不等式可得2＜x ＜4或-4＜x ＜-2，∵x 为正实数，∴x 的取值范围是2＜x ＜4.这里将OA 平方，便将问题转化为向量运算问题，通过运算、化简，可建立关于x 的不等式，解不等式就可求得x 的取值范围.三、投影法数量积a ·b 的几何意义是：a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.投影法是利用数量积a ·b 的几何意义来解题的方法.在解答两个向量的乘积问题时，我们可以根据数量积a ·b 的几何意义，寻找b 在a 的方向上的投影，通过作垂线或求它们夹角的余弦值，得到最终的答案.例3.如图2，圆O 是△ABC 的外心，|| AC =4,|| AB =2,则 AO ∙( AC -AB )=_____.解：过点O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，∵ AO ∙()AC - AB = AO ∙ AC - AO ∙ AB ， AO ∙ AC =|| AO ∙|| AC cos ∠OAD =|| AD ∙|| AC =12|| AC2=8，同理可得， AO ∙ AB =|| AO ∙|| AB cos ∠OAB =||AD ∙|| AB =12|| AB 2=2，∴AO ∙()AC - AB =8-2=6.值得注意的是，a 在b 方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于θ角的范围.基底法、平方法、投影法都是解答平面向量问题的常用方法.相比较而言，基底法的应用范围最广，平方法、投影法的适用范围较窄.很多情况下，需要同时使用两种或两种以上的方法才能使问题获解.因此同学们在解题时要注意灵活变通，这样才能提升解题的效率.（作者单位：江苏省启东市第一中学）图1图252。
平面向量中的技巧
平面向量中的技巧以下是平面向量中常用的一些技巧：1. 平移技巧：两个向量相加得到平移后的向量，即如果有向量u和向量v，那么得到平移后的向量为向量u+v。
这个技巧可以用于求解平移后新的坐标点。
2. 向量投影：向量u在向量v上的投影，可以用以下公式表示：proj_v u = (u ·v / v ^2) * v，其中·表示向量的点积运算，v 表示向量v的长度。
投影可以用于求解一个向量在另一个向量上的分量。
3. 向量分解：一个向量可以分解为两个垂直的分量，即向量u = proj_v u + u'，其中proj_v u为向量u在向量v上的投影，u'为与v垂直的分量。
这个分解技巧可以简化向量的运算。
4. 向量夹角：两个非零向量u和v的夹角可以使用以下公式计算：cosθ= (u ·v) / ( u v )，其中θ为夹角，·表示向量的点积运算，u 和v 分别表示向量u和v 的长度。
这个公式可以用于求解向量之间的夹角。
5. 向量共线判断：如果两个向量u和v的夹角为0或180度，它们是共线的。
这个技巧可以用于判断两个向量是否平行。
6. 向量的线性组合：给定向量集合{v1, v2, ..., vn}和实数集合{a1, a2, ..., an}，它们的线性组合为向量a1v1 + a2v2 + ... + anvn。
这个技巧可以用于求解向量之间的关系。
7. 平行四边形法则：如果有两个向量u和v，那么它们构成的平行四边形的面积可以用以下公式计算：area = u ×v ，其中×表示向量的叉积运算。
这个公式可以用于求解平行四边形的面积。
这些技巧可以用于解决各种平面向量的问题，例如求解坐标点、计算向量之间的关系、判断向量的性质等。
需要根据具体的问题和情况选择合适的技巧应用。
高考平面向量题型归纳总结
高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。
平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。
本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。
一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。
2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。
其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。
二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。
1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。
另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。
2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。
三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。
2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。
在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。
解答平面向量问题的三种途径
常见的平面向量问题有求一个平面向量的模、求两个平面向量的数量积、证明三点共线、求向量的坐标等.平面向量问题侧重于考查平面向量的基本定理、共线定理、运算法则、数量积公式、向量的模的公式等.本文主要探讨一下解答平面向量问题的几种途径.一、利用平面几何图形的性质大部分的平面向量问题均是与平面几何图形有关的问题，并且平面向量兼有“数”与“形”的两重身份，因此在解答平面向量问题时，可根据平面向量的几何意义绘制出几何图形，然后结合图形的特征构造三角形、平行四边形、圆等图形，利用其性质进行解题.例1.AB 是单位圆上的弦，点P 是单位圆上的动点，设f (λ)=||BP -λBA 的最小值为m ，若m 的最大值为32，求|| AB .解：如图1所示，在AB 上任取一点C ，使得λ BA = BC ，可得f (λ)=|| BP -λBA =||BP - BC =|| CP ，因为f (λ)=||CP 的最小值为m ，所以m 是点P 到弦AB 的距离，当PC 过圆的圆心时m 最小，此时||AB ==3.由于P 为圆上的动点，所以需根据点到直线的距离的定义来确定f (λ)的最小值，然后利用圆的垂径定理、勾股定理求解.利用平面几何图形的性质，可使问题变得更加直观，求解问题的思路变得更加明朗.二、建立坐标系有些平面向量问题中涉及的几何图形为规则图形，如正三角形、等腰三角形、直角三角形、圆、矩形等，此时可根据这些几何图形的特点、性质建立平面直角坐标系，将相关点和向量用坐标表示出来，通过向量的坐标运算，使问题得解.例2.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则 PA ∙（ PB +PC ）的最小值为（）.A.-2B.-23C.-43D.-1解：建立如图2所示的平面直角坐标系，可得A (0，3)，B (-1,0)，C (1,0).设P (x ,y )，则PA =(-x ，3-y )，PB =(-1-x ,-y )，PC =(1-x ,-y )，所以 PA ⋅( PB + PC )=2x 2+2(y2-32，当x =0，y =时， PA⋅( PB + PC )取最小值，最小值为.运用坐标法解答本题最为简便.由于△ABC 是等边三角形，所以可以底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平方线为y 轴，建立平面直角坐标系，这样便能很快求出各个点的坐标，得出 PA ⋅( PB +PC )的表达式.三、根据平面向量的基本定理平面向量的基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ1e 1＋λ2e 2.根据平面向量的基本定理，可知平面内的任何一个向量都可以用任意两个基底表示出来，因此在求解平面向量问题时，可根据题意选择两个不共线的基底，将问题中的其他向量用基底表示出来，根据平面向量的运算法则求解即可.例3.已知点O 在△ABC 的内部， OA +2 OB +4OC =0，求△ABC 的面积与△AOC 的面积之比.解：设 OP =λ OB ，则 PC = OC - OP =-λ OB + OC ，因为 OA =-2 OB -4 OC ，所以 AC = OC - OA =2 OB +5 OC .由于 AC 和 PC 共线，可得λ=-25，故S △ABC ：S △AOC =BP :OP =7:2.利用基底法解题的关键是选择合适的基底.解答本题，可以 OB 和OC 为基底，采用基底法来快速求得问题的答案.上述三种途径是解答平面向量问题的基本方法，具体选择哪种途径解题，需要根据题目的具体条件与所给的图形进行选择.同学们在解题时要注意灵活变通，有时可同时选择两种途径来解题.（作者单位：江苏省如东高级中学）思路探寻图1图250。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量的运算法则是指在平面向量的加法、减法和数乘运算中遵循的规则和原则。
这些法则是基于平面向量的定义和性质而得出的，能够帮助我们简化向量计算和解决与向量相关的问题。
本文将详细介绍平面向量的加法、减法和数乘运算法则，以及运用这些法则解决实际问题的方法。
一、平面向量的定义平面向量是指在平面上有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用大写字母表示，例如A、B等。
平面向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以表示复杂的数学概念，如几何矢量、向量函数等。
二、平面向量的加法法则1. 三角形法则：设有两个平面向量A和B，以A为起点，在A的末端画出向量B，则以A为起点、B的末端为终点的直线段就表示了平面向量A+B。
2. 平行四边形法则：设有两个平面向量A和B，以A为起点，在A 的末端画出平行于B的直线段，则以A为起点、B的终点为终点的直线段就表示了平面向量A+B。
加法运算满足交换律和结合律，即对于任意平面向量A、B和C，有：A+B=B+A （交换律）(A+B)+C=A+(B+C) （结合律）三、平面向量的减法法则平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。
设有两个平面向量A和B，要计算A-B，可以先求出B的相反向量-B，然后将A与-B相加，即可得到A-B。
四、平面向量的数乘法则设有一个平面向量A和一个实数k，要计算kA，可以将向量A的长度乘以k，并保持与A同向或反向（根据k的正负确定）。
得到的新向量kA的长度是原向量A的长度的k倍，方向与A相同或相反。
数乘运算满足分配律和结合律，即对于任意平面向量A和B，以及任意实数k和m，有：k(A+B)=kA+kB （分配律）(km)A=k(mA) （结合律）五、平面向量运算法则的应用平面向量运算法则在解决与向量相关的问题时具有广泛的应用。
应用这些法则可以帮助我们简化向量运算过程，提高计算的准确性和效率。
1. 合成与分解：利用平面向量的加法法则，可以将一个向量表示为若干个已知向量的和，这称为合成。
平面向量问题的两个求解思路
平面向量问题的两个求解思路平面向量问题是高中数学中的重要内容，涉及到向量的加减、数量积、向量积等多个概念和运算。
在解决平面向量问题时，有两个常用的求解思路，分别是几何法和代数法。
一、几何法几何法是指通过图形直观地理解向量的性质和运算规律，从而解决平面向量问题的方法。
几何法的优点是能够帮助学生形成直观的几何感，加深对向量概念的理解，同时也能够提高学生的空间想象能力。
几何法的主要思路是通过图形构造和几何推理，确定向量的方向、大小和运算结果。
1. 向量的加减向量的加减可以通过平移法和三角形法进行求解。
平移法是指将一个向量平移至另一个向量的起点，然后连接两个向量的终点，所得的向量即为它们的和。
三角形法是指将两个向量的起点和终点连接成一个三角形，所得的第三条边即为它们的和，而两个向量的差则是以其中一个向量为底边，以另一个向量的负向量为高的平行四边形的对角线。
2. 向量的数量积向量的数量积可以通过向量投影和余弦定理进行求解。
向量投影是指将一个向量在另一个向量上的投影长度乘以另一个向量的模长，所得的结果即为它们的数量积。
余弦定理是指将两个向量的夹角余弦值乘以它们的模长之积，所得的结果即为它们的数量积。
3. 向量的向量积向量的向量积可以通过平行四边形法和行列式法进行求解。
平行四边形法是指将两个向量的起点相连，然后以它们为邻边构造一个平行四边形，所得的向量即为它们的向量积。
行列式法是指将两个向量的坐标表示成行列式的形式，然后按照行列式的定义进行计算，所得的结果即为它们的向量积。
二、代数法代数法是指通过向量的坐标表示和代数运算，从而解决平面向量问题的方法。
代数法的优点是能够提高学生的代数运算能力，同时也能够简化向量运算的复杂度。
代数法的主要思路是将向量的坐标表示成列向量或行向量的形式，然后按照向量的代数运算规律进行计算。
1. 向量的加减向量的加减可以通过向量的坐标表示和矩阵运算进行求解。
向量的坐标表示可以将向量表示成列向量或行向量的形式，然后按照矩阵加减法的规律进行计算。
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向量 即可 解 决 问 题 ．
解： ・ ． －
・ ． ．
利 用 向 量 的 坐标 运算 解题 。主 要 就 是 根 据 相 等 向 量 坐 标 相 同这 一 原 则 ， 通过列方程 （ 组） 进行求解 ； 在 将 向量 用 坐 标 表 示 时， 要看 准 向量 的起 点 和终 点 坐 标 ， 也 就 是 要 注 意 向 量 的 方 向． 不 要 写错 坐 标 ． 三、 两 边 平方 或 同时 点 乘 同 一个 向量 法 例３ 的解 法 二 ： ｆ ￣／Ｐ Ｏ Ｄ ＝ ０ 【 （ ０ ≤ ≤ ） ， 由 ・ ＝ ｘ ・
又０ ≤ｏ 【 ≤
， 故 当 ： 时， ｘ ＋ ｖ 的最 大 值 为２ ．
・ ．
． １ 甜． Ｉ ＿ Ｉ 魂， Ｉ ＿ １ ，
‘
・ ．
＝
） ＝ ２ ＋ － ０ － ￣＋ ２
例４ ： （ ２ ０ １ ３ ． 湖南 改编 ） 已知 ａ ， ｂ 是 单 位 向量 ， ａ － ｂ ＝ ０ ， 若向 量Ｃ 满 足Ｉ ｃ — ａ — ｂ ｌ ＝ １ ． 则Ｉ ｃ Ｉ 的 取 值 范 围是 ． 分析 ： 对条件Ｉ ｃ — ａ — ｂ ｌ ＝ ｌ 两边平方 ， 这 样 可 以很 顺 利 地 打 开 解题思路 。 解 ： ‘ ． ’ ａ ・ ｂ ＝ ０ ， 且ａ ． ｂ 是 单 位 向 量 ． １ ａ ｌ ＝ ｌ ｂ ｌ ＝ １ ．
平
面
向
量
问
题
的
常
规
解
法
单 鹏
（ 江 苏 省大 丰高 级 中学 ， 江苏 大丰
摘 要 ：平 面 向 量 是 高 中 数 学 的 重 要 内 容 ， 是 解 决 数 学 问题 的很 好 的 工 具 ． 是 联 系代 数 与几 何 的桥 梁 ， 是 江 苏 高考 的 必 考 内容 。 其 中 向 量 的 数 量 积 还 是 高 考 的Ｃ 级要 求 ， 同 时 也 是 学生 比较 感兴 趣 且 有 一 定 难 度 的 一 类 问题 ． 那 么 向量 问题 有 哪
又・ ． ・ Ｉ ｃ — ａ — ｂ ｌ ＝ ｃ 一 ２ ｃ ・ （ ａ ＋ ｂ ） ＋ ２ ａ ・ ｂ ＋ ａ ＋ ｂ ＝１ ，
（ 一 ‘ ） ： ２ — ２ － ｏ ￣ － ．
１
．
＇
Ｍ是 边 Ｂ Ｃ 的中点 ． 则 ・ 丽 的值 等 于 多 少 ？
分析 ： 只 要 把 向 量蕊 拆 分 为 蕊 ＋ ， 然 后 根 据 外 心 定 义
及 一 个 向量 在 与 上 的投 影 即可 解 决 ． 答 案 为５ ．
、 ／３
、 ／３
所以ｘ ＋ ｙ ＝ ｃ ｏ ｓ ０ 【 ＋ 、 ／ 了ｓ ｉ ｎ ＝ ２ ｓ ｉ ｎ （ ＋ ） ．
一
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￣： ／ ＿ Ｐ Ｏ Ｄ ＝ （ ｏ ≤ ≤
） ， ． ￥ ］ １ Ｐ （ ｃ ｏ ｓ ｏ ｔ ， ｓ ｉ ｎ ｃ ０．
ｉ ｎ ＝ ＿ Ｖ３ － 由 ＝ ｘ ｙ 疏 ， 得ｃ 。 ｓ ０ ｌ ＝ ｘ 一 １ ｙｓ ｙ，
，
、
所 以
… ．
２ ．
ｃｏｓ ０【
上 ， ，
商。 ・ ＝ （ 碚。 － － ０ ７） － （ 魂 积 ） 。 ・ 魂 一 魂 。 ・ 一 窳 ２ ： Ｏ
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魂
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＋ ｖ 碗 ． ， ． 砣： ｘ ． － ｏ － ￣ ＋ ｖ 砘 ． 魂 ， ・ － ０ ７－ － ０ ７・ 魂 一０ － ７‘ ．
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平 面 向量 是 高 中 数 学 的 重 要 内 容 ，是 解 决 数 学 问 题 的 很 好 的 工 具 ，是 联 系 代数 与几 何 的 桥 梁 ，是 江 苏 高 考 的 必 考 内
容， 其 中 向量 的数 量 积 还 是 高 考 的Ｃ 级要求 ， 同时也是学 生 比 较 感 兴 趣 而 又 有 一 定 难 度 的 一 类 问题 ．那 么 向 量 问 题 有 哪 些 常 规 解 法 呢 ？ 我 结 合 教 学体 会 小 结 如 下 ． 合理 拆分 法 例１ ： 已知 ０ 为 △Ａ Ｂ Ｃ 的外心 ． Ａ Ｂ ＝ ４ ， Ａ Ｃ ＝ ２ ， Ｂ Ａ Ｃ 为钝角 ，
．
魂． ・ 魂
：
．
可 得Ｃ Ｏ Ｓ ￣＝ Ｘ －１ ０ ｓ （
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・
＋
・ ．
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＋ 碣 － － Ｏ ７，
｛ ｘ ＋ ｙ ． 于 是 ｘ ＋ ｙ ： ＝ ２ ［ ｃ ｏ ｓ ａ ＋ ｃ ｏ ｓ （ ￣ ＝ ２ ｓ ｊ ＋
一
・ ． ．
：
碾． ＋ 商， － － ０ ￣ ． １ ＋ １－ ￣ － 一 魂 ． 窳一 魂： ・ 窳 。・魂
些常 规 解 法 呢 ？本 文就 此 问题 作 探 讨 ．
２ ２ ４ １ ０ ０ ）
如图 ， 若ａ ＝ ， ｂ ＝ 硗 ， ａ 与ｂ 夹角为１ ２ ０ 。 ， ｌ ａ ｌ ＝ Ｉ ｂ ｌ ＿ １ ， 点Ｐ 是以 ０ 为圆心 的圆弧 上一 动点 ， 设砷 ＝ ｘ ＋ ｙ 碗 （ ｘ ， Ｙ Ｅ Ｒ ） ， 求ｘ ＋ ｙ
又Ｏ ≤０ ｌ ≤
３
例２ ： 在平 面上 ， 商 ． 上蕊 ， ， Ｉ 确 ． １ － Ｉ 碚， Ｉ ＿ １ ， ＝ 蕊 ， ＋ 商， ．
若Ｉ ｋ １
，
， 故 当 ： 时， ｘ ＋ ｖ 的 最大 值 为 ２ ．
３
则Ｉ 窳Ｉ 的取值范围是
分析 ： 只 要 把 已 知 向 量 与 所 求 向 量 转 化 成 以 ０点 为 起 点 的
的 最 大值 ． 分 析 ：建 立 适 当 的坐 标 系 可 以 把 向 量 的 运 算 转 化 成 坐 标 运算．
关键词 ： 平 面 向量
常 规 解 法 高 中数 学教 学
解： 以０ 为原点 ． ０ Ｄ 为Ｘ 轴 建立 直 角坐 标 系 ，
则Ｄ（ １ ， ０ ） ， Ｅ （ 一 １