专题35 一元二次不等式及其解法(押题专练)-2017年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)
(完整版)一元二次不等式解法练习题(四种方法)
(完整版)一元二次不等式解法练习题(四种
方法)
问题描述
本练题旨在帮助学生练解一元二次不等式的四种方法。
解法一：图像法
1. 首先，将不等式的两边都展开并移项，得到一个二次项不等式。
2. 接下来，通过绘制二次函数的图像，找到函数图像上的解。
3. 最后，将解转化为不等式的形式。
解法二：代数法
1. 首先，将不等式的两边都展开，并移项，得到一个二次项不等式。
2. 接下来，使用求解一元二次方程的常用公式，求出二次方程的解。
3. 最后，根据二次方程的解和不等式的性质，确定不等式的解集。
解法三：区间法
1. 首先，将不等式的两边都展开，并移项，得到一个二次项不等式。
2. 接下来，利用二次函数的凹凸性质，确定函数图像的开口方向。
3. 根据函数图像的开口方向，确定不等式的解集在实数轴上所处的区间。
解法四：符号法
1. 首先，将不等式的两边都展开，并移项，得到一个二次项不等式。
2. 接下来，利用符号法，根据不等式的性质进行求解。
3. 最后，根据符号法的结果，确定不等式的解集。
总结
通过以上四种方法，可以综合运用不同的思考方式来解决一元二次不等式的问题。
对于不同的题目情境，选择适合的解法，百利而无一害。
注意：本练题仅为练解题方法而设计，具体题目的解答需要根据实际情况进行分析和求解。
专题35 一元二次不等式及其解法(押题专练)-2018年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)
1．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．x ≥0 B ．x <0或x >2 C ．x ∈{－1,3,5} D ．x ≤－12或x ≥3【答案】：C【解析】：不等式2x 2－5x －3≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥3，或x ≤－12。
由题意，选项中x 的范围应该是上述解集的真子集，只有C 满足。
2．函数f (x )＝1－x 2＋4x －的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(1,2)∪(2,3) 【答案】：D3．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( ) A ．{x |x <－1或x >lg2} B ．{x |－1<x <lg2} C ．{x |x >－lg2} D ．{x |x <－lg2} 【答案】：C【解析】：由题意，得10x <－1，或10x >12，10x <－1无解；由10x >12，得x >lg 12，即x >－lg2。
4．若x ＝1满足不等式ax 2＋2x ＋1<0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(－3，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1) 【答案】：A5．已知f (x )＝ax 2－x －c ，不等式f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )【答案】：B【解析】：由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－c a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.f (－x )＝－x 2＋x ＋2的图象开口向下，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫12，94。
6．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是( ) A ．13 B ．18 C ．21 D ．26 【答案】：C【解析】：设f (x )＝x 2－6x ＋a ，其图象开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示。
一元二次不等式及解法作业(含答案)
一元二次不等式及其解法一、选择题1.不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是 ( )A.{x |x ≤－1或x ≥92}B.{x|－1≤x ≤92}C.{x |x ≤－92或x ≥1}D.{x |－92≤x ≤1}解析：因为不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2＋7x －9≤0，而2x 2＋7x －9＝0的两根为x 1＝－92，x 2＝1，所以函数f (x )＝2x 2＋7x －9与x 轴的交点为(－92，0)，(1,0)，又函数f (x )＝2x 2＋7x －9的图象开口向上，所以不等式(x ＋5)·(3－2x )≥6的解集是{x |－92≤x ≤1}.答案：D 2.设A ＝{x |x 2－2x －3＞0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则a ＋b 等于 ( )A.7B.－1C.1D.－7解析：A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∵A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则B ＝[－1,4]，∴a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，∴a ＋b ＝－7.答案：D3.若ax 2＋x ＋a ＜0的解集为∅，则实数a 取值范围 ( )A.a ≥12B.a ＜12C.－12≤a ≤12D.a ≤－12或a ≥12解析：∵ax 2＋x ＋a ＜0的解集为∅，01,.02a a >⎧∴∴⎨⎩≤≤答案：A 4.不等式12+-x x ≤0的解集是( ) A.(-∞,-1)∪(-1,2］ B.［-1,2］ C.(-∞,-1)∪［2,+∞)D.(-1,2］解析:由,012≤+-x x 得⎩⎨⎧≠+≤+-.01,0)1)(2(x x x 所以不等式的解集为(-1,2］.答案:D5.不等式|x 2-x|＜2的解集为 ( )A.(-1,2)B.(-1,1)C.(-2,1)D.(-2,2)解析:∵|x 2-x|＜2,∴-2＜x 2-x ＜2,即⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-2.02,022x x x x 解得⎩⎨⎧<<-∈,21,x R x ∴x ∈(-1,2),故选A. 答案:A6.已知集合A ＝{x|3x-2-x 2＜0},B ＝{x|x-a ＜0},且B A ，则实数a 的取值范围是( )A.a ≤1B.1＜a ≤2C.a ＞2D.a ≤2解析:不等式3x-2-x 2＜0化为x 2-3x+2＞0⇒x ＞2或x ＜1,由不等式x-a ＜0，得x ＜a.要使B A,则a ≤1.答案:A二、填空题7.若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为 .解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，∴二次函数开口向上，若方程有一正一负根，则只需f (0)＜0，即a 2－1＜0，∴－1＜a ＜1.答案：－1＜a ＜18.不等式21213≤+-x x 的解集为__________________. 解析: x x x x x x x x x x x x x ⇔≤-+⇔≤-+⇔-≤+-⇔≤⇔≤-+-+-0)1)(3(03211322212221313∈(-∞,-3］∪(0,1］.答案:(-∞,-3］∪(0,1］三、解答题1. 已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围.解：(1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m . (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1) 2、已知2()2(2)4f x x a x =+-+，（1）如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）24(2)16004a a ∆=--<⇒<<；（2）(2)3(3)0a f --<-⎧⎨->⎩或3(2)10a -≤--≤⎧⎨∆<⎩或(2)1(1)0a f -->⎧⎨>⎩， 解得a φ∈或14a ≤<或112a -<<，∴a 的取值范围为1(,4)2-． 3．已知二次函数2()f x ax bx c =++的图象过点(1,0)-，问是否存在常数,,a b c ，使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立？解：假设存在常数,,a b c 满足题意，∵()f x 的图象过点(1,0)-，∴(1)0f a b c -=-+= ① 又∵不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立，∴当1x =时，211(1)(11)2f ≤≤+，即11a b c ≤++≤，∴1a b c ++= ② 由①②可得：11,22a c b +==，∴211()()22f x ax x a =++-， 由21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立得：22111()(1)222x ax x a x ≤++-≤+恒成立， ∴2211()022(21)20ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎨⎪-+-≤⎩的解集为R ， ∴0114()042a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩且21018(21)0a a a -<⎧⎨+-≤⎩，即20(14)0a a >⎧⎨-≤⎩且212(14)0a a ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩∴14a =，∴14c =， ∴存在常数111,,424a b c ===使不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立。
一元二次不等式及其解法小练习(含答案)
一元二次不等式及其解法练习题一、选择题1．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32 B ．{x |x ≤0或x ≥1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <32D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或x ≥32 2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( ) A ．{a |0<a <4} B ．{a |0≤a <4} C ．{a |0<a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4}3．一元二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－1＜x ＜13，则ab 的值为( ) A ．－6 B ．6 C ．－5 D ．54．若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－235 5．对任意实数x ，不等式2x ＋2x 2＋x ＋1＞k 恒成立，则k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D ．(2，＋∞)∪⎝⎛⎭⎫－∞，－23 6．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12二、填空题7．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是________．8．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是________.三、解答题9．(1)求函数f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋3)的定义域；(2)若不等式x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．10.m 为何值时，方程mx 2－(2m ＋1)x ＋m ＝0满足下列条件： (1)没有实数解； (2)有实数解；(3)有两个不相等的实数解.11．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2≤0，a ∈R .参考答案与解析1． 【解析】选A.不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x （x －1）≥04x 2－4x －3<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32⇒－12<x ≤0或1≤x <32.2．【解析】选D.若a ＝0时符合题意．当a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}，故选D.3．【解析】选B.由已知得ax 2＋bx ＋1＝0的两个根为－1，13所以⎩⎨⎧－1＋13＝－b a，－1×13＝1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－2，所以ab ＝6.4．【解析】选A.根据题意，由于关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，可知a ＞－x 2＋2x ＝－x ＋2x 在[1，5]上有解，又由于函数y ＝－x ＋2x 在区间[1，5]上是减函数，故只需a大于函数的最小值即可，又y ＝－x ＋2x ≥－5＋25＝－235，故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－235，＋∞，故选A.5．【解析】选C.不等式2x ＋2x 2＋x ＋1＞k 等价于2x ＋2＞k (x 2＋x ＋1)，kx 2＋(k －2)x ＋(k －2)＜0对任意x ∈R 均成立；注意到k ＝0时该不等式不恒成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，Δ＝（k －2）2－4k （k －2）＜0， 由此解得k ＜－23，因此k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－23. 6．【解析】选C.因为(x －a )⊗(x ＋a )＜1，所以(x －a )(1－x －a )＜1，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0.因为此不等式对任意实数x 成立，则有1－4(－a 2＋a ＋1)＜0.所以－12＜a ＜32.故选C.7．【解析】x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.【答案】k ≥4或k ≤28．【解析】函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3＞0对一切x ∈R 恒成立．①当a 2＋4a －5＝0，即a ＝－5或a ＝1时，由a ＝－5，不等式化为24x ＋3＞0，不满足题意；由a ＝1，不等式化为3＞0，满足题意． ②当a 2＋4a －5≠0时，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＞0，16（a －1）2－12（a 2＋4a －5）＜0， 解得1＜a ＜19.综合①②，a 的取值范围是1≤a ＜19.9．【解】(1)由－x 2＋2x ＋3＞0，得x 2－2x －3＜0， 即(x －3)(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜3，所以f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋3)的定义域为(－1，3)．(2)法一：若x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，则Δ＝(－2)2－4(k 2－1)≤0⇒k 2≥2⇒k ≥2或k ≤－ 2.即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．法二：若x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，即k 2≥－x 2＋2x ＋1对一切实数x 恒成立． 因为－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2， 所以当k 2≥2时，x 2－2x ＋k 2－1≥0恒成立， 所以k ≤－2或k ≥ 2.即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．10．【解】当m ＝0时，原方程可化为x ＝0；当m ≠0时，Δ＝[－(2m ＋1)]2－4m 2＝4m ＋1＜0，即m ＜－14时，原方程没有实数解；由Δ＝4m ＋1＞0，得m ＞－14且m ≠0时，原方程有两个不相等的实数根；Δ≥0时原方程有实数解．此时m ≥－14且m ≠0.综上，(1)当m ＜－14时，原方程没有实数解．(2)当m ≥－14时，原方程有实数解．(3)当m ＞－14且m ≠0时，原方程有两个不相等的实数解．11．【解】原不等式可以变形为(ax －1)(x －2)≤0.(1)当a ＝0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为－(x －2)≤0，所以x ≥2. (2)当a ＜0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)≥0. 所以x ≤1a或x ≥2.(3)当a ＞0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为(x －1a )(x －2)≤0，对应方程的两个根分别为1a 和2，①当1a ＞2，即0＜a ＜12时，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)≤0⇒2≤x ≤1a；②当1a ＝2，即a ＝12时，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)≤0⇒(x －2)2≤0，所以x ＝2； ③当0＜1a ＜2，即a ＞12时，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)≤0⇒1a ≤x ≤2. 综上所述，当a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤1a或x ≥2； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≥2}； 当0＜a ＜12时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2≤x ≤1a ； 当a ＝12时，原不等式的解集为{x |x ＝2}；当a ＞12时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a ≤x ≤2.。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题第02节 一元二次不等式及解法
高考数学高三模拟考试试卷压轴题第02节 一元二次不等式及解法一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1. 【·湖北八校联考】不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)2.【·潍坊质检】“01a <<”是“2210ax ax >＋＋的解集是实数集R ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 关于x 的不等式x2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]4. 若函数f(x)＝(a2＋4a －5)x2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]5. 如果关于x 的不等式250x a ≤－的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( )A ．80≤a<125B ．80<a<125C ．a<80D ．a>1256.【厦门模拟】不等式(x2－2)log2x>0的解集是( )A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)7.【莆田二模】若不等式20ax bx c >＋＋的解集是(－4,1)，则不等式2()(13)0b x a x c >－＋＋＋的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，1B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ．(－1,4)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)8. 若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( ) A. 0B. 2C. 4D. 69. 设2()1f x x bx =++,且(1)(3),f f -=则()0f x >的解集是 ( ) A.(,1)(3,)-∞-⋃+∞ B.R C.{}|1x x ≠ D.{}|1x x =10. 设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-都成立，则t 的取值范围是（ ）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤ C ．12t ≤-或0t =或12t ≥ D ．2t ≤-或0t =或2t ≥11．【北京市房山区周口店中学高三上学期期中考试】已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或,则(10)>0x f 的解集为（ ）A ．{}|<-1>lg2x x x 或B ．{}|-1<<lg2x xC ．{}|>-lg2x xD ．{}|<-lg2x x12.【南昌二中高三上学期第三次考试】不等式2162a bx x b a+<+对任意,(0,)a b ∈+∞恒成立，则实数x 的取值范围是A ．(2,0)-B ．(,2)(0,)-∞-+∞C ．(4,2)-D ．(,4)(2,)-∞-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．若关于x 的不等式1420x x a ≥＋－－在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．14．已知不等式222xy ax y ≤+，若对任意[]2,1∈x 且[]3,2∈y ，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是．15．已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 .16．【绍兴市一中高三9月回头考数学】已知关于x 的不等式220x ax a -+<的解集为A ，若A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围为三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．【日照模拟】已知函数2f(x)=21ax ax ++的定义域为R.(1)求a 的取值范围； (2)若函数f(x)的最小值为22，解关于x 的不等式220x x a a <－－－. 18．已知集合{}2|230,,A x x x x R =--≤∈{}22|240,,B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈ （1）若[]0,3AB =,求实数m 的值；（2）若⊆A B C R ，求实数m 的取值范围. 19．已知不等式012<--mx mx ．（1）若对R x ∈∀不等式恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若对]3,1[∈∀x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若对满足2||≤m 的一切m 的值不等式恒成立，求实数x 的取值范围．20．【定州中学高三第一次月考数学】已知函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+∈≤≤-+-<--=)21(15))(212(3)2(1)(x x R x x x x x x f ．（1）求函数)(x f 的最小值；（2）已知R m ∈，命题p ：关于x 的不等式+≥2)(m x f 22-m 对任意R m ∈恒成立；q ：函数x m y )1(2-=是增函数，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
高考数学 一元二次不等式及其解法大全(含练习和答案)
一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式(20(0)ax bx c a ++>>)与相应的二次函数（2(0)y ax bx c a =++>）及一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的关系(简称三个二次之间的关系)判别式Δ＝b 2－4acΔ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根1212,()x x x x < 有两相等实根 122b x x a==-没有实数根 ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集R ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集∅ 注：（1）若0a <时，可以先将二次项系数化为正数，若对应方程有两实根，则可根据“大于取两边，小于取中间”求解集。
2．简单的分式不等式(1)()0()f x g x >⇔______________； （2）()0()f xg x <⇔____________ (3)()0()f x g x ≥⇔ ___________ （4）()0()f x g x ≤⇔_____________ 3.二次不等式恒成立的条件（1）ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________ （2）ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的充要条件是___________1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )A ．(－12，1) B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－12)∪(1，＋∞)2．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．(－12，1]B ．{x |x ≥1或x ＜－12}C ．[－12，1]D ．{x |x ≥1或x ≤－12} 3．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．4．一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是(－12，13)，则a ＋b 的值是________．（一）考向1 一元二次不等式的解法例1 求下列不等式的解集（1）22730x x ++> （2）3＋2x －x 2≥0；（3）2830x x -+-> （4）213502x x -+-> （5）22320x x -+-< （6）2xx －1≤1解一元二次不等式的步骤： (1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； (3)写出不等式的解集． 变式训练1 解下列不等式：（1）2310x x -+≤ （2）23520x x +-> （3）22530x x --+> （4）29610x x -+-<（5）3012x x+≤- （6）－1≤x 2＋2x －1≤2；（二）考向2 三个二次的关系例2 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集(－1，2)，试求关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集． 【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根．(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根．(2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．变式训练2 若关于x的不等式axx－1＜1的解集是{x|x＜1或x＞2}，求实数a的取值范围．（三）考向3含参数的一元二次不等式的解法例3求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．【思路点拨】先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集．解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程实根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定方程无实根时可直接写出解集，确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．变式训练3 解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.（四）考向4 不等式恒成立问题例4 若不等式mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【思路点拨】分m ＝0与m ≠0两种情况讨论，当m ≠0时，用判别式法求解．1．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．变式训练4 对任意a ∈[－1，1]不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则实数x 的取值范围是________．一个过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(a ≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点，(2)方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防范1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．课时训练1.设集合M={}2230x x x --<，N=12log 0,x x M N ⎧⎫<⋂⎨⎬⎩⎭则等于 （ ）A ．-（1,1） B.(1,3) C.(0,1) D.(-1,0)2.在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则 （ ）A 、11a -<<B 、02a <<C 、1322a -<<D 、3122a -<<3．“|x －1|＜2成立”是“x (x －3)＜0成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.定义02x x <>或运算a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则不等式1011x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的解集为（） A ．(1,1)- B. (1,0)(0,1)-⋃C. (1)(1-⋃D.5.设A ＝{x ∈Z ||x －2|≤5}，则A 中最小元素为( )A ．2B ．－3C ．7D ．06、不等式20x ax b --<的解集为{}223,10x x bx ax <<-->则的解集为（ ）A 、{}23x x <<B 、1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C 、1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D 、{}32x x -<<-7．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.不等式102xx-≥+的解集为 （ ） A.[]2,1- B. (]2,1- C. ()(),21,-∞-⋃+∞ D. (](),21,-∞-⋃+∞ 9． “关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ”是“0≤a ≤1”( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10.不等式22530x x --≥成立的一个必要不充分条件是 （ ）A ．0x ≥ B. 02x x <>或 C. 12x <- D. 132x x ≤-≥或 11.不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．[]1,4- B. [)(,2)5,-∞-⋃+∞ C. (][),14,-∞-⋃+∞ D. []2,5-12、若函数222,0(),0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩是奇函数，则满足()f x a x >的的取值范围是________13.若不等式2(1)0x a x a --+≤的解集是[-4,3]的子集，则a 的取值范围是________14．已知不等式|x －2|＞1的解集与不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集相等，则a ＋b 的值为________．15. 设命题p ：2x 2－3x ＋1≤0； 命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0， 若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 16．不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．一元二次不等式及其解法答案1、D 【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＞1或x ＜－12.故原不等式的解集为(－∞，－12)∪(1，＋∞)．2、A 【解析】 原不等式等价于(1)(21)0210x x x -+≤⎧⎨+≠⎩.∴原不等式的解集为(－12，1]．3、(0，8) 【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0<a <8.4、－14 【解析】 由已知得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12，13.则⎩⎨⎧－b a ＝－12＋132a ＝（－12）×13解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2， ∴a ＋b ＝－14.典例分析：例1：（1）原不等式可化为(3)(21)0x x ++> 故原不等式的解集为132x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或（2）原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0， 故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． （3）原不等式可化为2830x x -+<284(1)(3)520∆=-⨯-⨯-=>212830413413x x x x ∴-+-===方程有两个实根，故原不等式的解集为{}413413x x << （4）原不等式可化为26100x x -+≤ 26411040∆=-⨯⨯=-<∴原不等式的解集为∅（5）原不等式可化为22620x x -+> 2(6)42270∆=--⨯⨯=-<∴故原不等式的解集为R(6) ∵2x x －1≤1⇔2xx －1－1≤0 ⇔x ＋1x －1≤0 ⇔(1)(1)01110x x x x ≤⎧⇔-≤<⎨-≠⎩－＋∴原不等式的解集为[－1，1)．变式训练1 （1）9450∆=-=> 12353522x x ∴==对应的方程有两实数根 ∴原不等式的解集为35352x ⎧-+⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭（2）原不等式可化为(31)(2)0x x -+> ∴原不等式的解集为123x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或（3）∵－2x 2－5x ＋3＞0， ∴2x 2＋5x －3＜0，∴(2x －1)(x ＋3)＜0， ∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜12}．（4）原不等式可化为2(31)0x -> ∴原不等式的解集为13x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭（5）原不等式可化为(3)(12)0120x x x +-≤⎧⎨-≠⎩ (3)(21)0120x x x +-≥⎧⎨-≠⎩则 13212x x x ⎧≤-≥⎪⎪∴⎨⎪≠⎪⎩或∴原不等式的解集为132x x x ⎧⎫≤->⎨⎬⎩⎭或（6）这是一个双向不等式，可转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≥－1，x 2＋2x －1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ≥0， ①x 2＋2x －3≤0. ② 由①得x ≥0或x ≤－2； 由②得－3≤x ≤1. 故得所求不等式的解集为{x |－3≤x ≤－2或0≤x ≤1}.例2 由于x 2＋ax ＋b ＜0的解集是(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.故不等式即为－x 2＋x －2＜0， ∵⎩⎪⎨⎪⎧－1＜0，Δ＝1－8＝－7＜0∴不等式ax 2＋x ＋b ＜0的解集为R .,变式训练2 解： axx －1＜1⇔（a －1）x ＋1x －1＜0⇔[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，由原不等式的解集是{x |x ＜1或x ＞2}， 知⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，－1a －1＝2⇒a ＝12. ∴实数a 的取值范围是{12}． 例3 ∵12x 2－ax ＞a 2， ∴12x 2－ax －a 2＞0，即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为{x |x ＜a 3或x ＞－a4}．综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为{x |x ＜－a 4或x ＞a3}；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为{x |x ＜a3或x ＞－变式训练3 【解】 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0.当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为空集； 当a ＜1时，原不等式的解集为(a ，例4 要使mx 2－mx －1＜0对一切实数x 恒成立，若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0， 故实数m 的取值范围是(－4，0]．,变式训练4 【解析】 设f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f (a )在区间[－1，1]上恒正时x 应满足的条件，故应有⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＞0，f （1）＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0， 化为⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x －3）＞0，（x －1）（x －2）＞0. 解之，得x ＜1或x ＞3.课时训练1、B 解：由2230x x --<， 得13x -<<由12log 0x <，得1x > 所以{}13M N x x ⋂=<<2、C 解：()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立， 即()(1)1x a x a ---<对任意实数x 成立2210x x a a ∴--++>恒成立 214(1)0a a ∴∆=--++< 1322a ∴-<< 3. B 【解析】 ∵|x －1|＜2⇔－1＜x ＜3，又x (x －3)＜0⇔0＜x ＜3.则(0，3)(－1，3)． 4、C 解：由题意可知原不等式即为2011x <-< ，212x ∴<<1221x x ∴<<<-或5. B 【解析】 由|x －2|≤5，得－3≤x ≤7， 又x ∈Z ，∴A 中的最小元素为－36、C 解：由题意知2,3是方程20x ax b --=的解235,236a ab b +==⎧⎧∴∴⎨⎨⨯=-=-⎩⎩ 22106510bx ax x x ∴-->--->不等式为2116+5+1023x x x x ⎧⎫<∴-<<-⎨⎬⎩⎭即， 7、 A 【解析】 2x 2＋x －1>0的解集为{x |x >12或x <－1}， 故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12. 则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分不必要条件． 8、B 解：由102x x -≥+，得(1)(2)020x x x -+≥⎧⎨+≠⎩ 则(1)(2)020x x x -+≤⎧⎨+≠⎩解得21x -<≤ (]2,1∴-原不等式的解集为9、A 【解析】 关于x 的不等式x 2－2ax ＋a ＞0的解集为R ，则Δ＝4a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，由集合的包含关系可知选A.10、B 解：原不等式可化为(21)(3)0x x +-≥，解得132x x ≤-≥或 所以原不等式成立的一个必要不充分条件是02x x <>或11、A 解：由题意知，2225(1)4x x x -+=-+的最小值为4，所以22253x x a a -+≥- 对任意实数x 恒成立，只需234a a -≤，解得14a -≤≤12、(13,)-+∞ 解：()(1)(1)f x f f ∴-=-是奇函数， 即1(12)a --=--2()2a f x ∴=->-，则不等式等价于22002222x x x x x x ≥<⎧⎧⎨⎨->--->-⎩⎩，或，解得030x x ≥<<，或-1- 即(13,)x ∈--+∞13、43a -≤≤ 解：原不等式可化为()(1)0x a x --≤，当1a <时，不等式的解集为[],1a ， 此时只要4a ≥-即可，即41a -≤<，当1a =时，不等式的解集为1x =，此时符合要求； 当1a >时，不等式的解集为[]1,a ，此时只要3a ≤即可，即13a <≤，综上可得43a -≤≤14. －1 【解析】 由|x －2|＞1得x －2＜－1或x －2＞1，即x ＜1或x ＞3.依题意得知，不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)于是有⎩⎪⎨⎪⎧1×3＝b ，1＋3＝－a ，即a ＝－4，b ＝3，a ＋b ＝－1. 15、[0，12], 解：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1， 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，由命题p 是命题q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，即{x |12≤x ≤1}{x |a ≤x ≤a ＋1}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，∴0≤a ≤12. 16、 (2，＋∞) 【解析】 由题意知，不等式(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切x ∈R 恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4（a ＋2）（a －1）＜0，解得a ＞2.。
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目（附答案）1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一：一元二次不等式解法1.解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.题型二：三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－143.已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．题型三：解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.巩固练习：1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)4．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅5．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________.7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________．9．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0. 10．若函数f (x )＝2 018ax 2＋2ax ＋2的定义域是R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1.[解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12， 作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3－33或x ≥3＋33. (3)∵Δ＝0，∴方程4x 2＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－12.作出函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图象如图所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，x ∈R.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. 2.解：由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3.解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．4.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 5.设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.5.解：(1)当a ＝0时， 不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 练习：1.解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 2.解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a 或x <a .3.解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0，所以－2<x <1.4.解析：选A 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.5.解析：选B 由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.6.解析：∁U A ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}． 答案：{x |－1<x <1}7.解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2＋2a ≤3，∴a <0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．9.解：将x 2－3ax －18a 2>0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0， 方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a .所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }；当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10.解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，有⎩⎨⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a <0，即⎩⎨⎧a >0，0<a <2，所以0<a <2.综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．。
高考数学一轮复习 考点34 一元二次不等式及其解法必刷题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
考点34 一元二次不等式及其解法 1．（2019·某某棠湖中学高三高考模拟（理））已知集合{}(1)(4)0A x x x =+-≤，{}2log 2B x x =≤，则A B =A ．[]2,4-B ．[)1,+∞C ．(]0,4D ．[)2,-+∞【答案】C【解析】{}[](1)(4)01,4A x x x =+-≤=-，{}(]2log 20,4B x x =≤=，故(]0,4A B ⋂=，故选C.2．（2019·某某高三高考模拟（理））已知全集为，集合，，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为，， 所以或.所以.故选A.3．（2019·某某高三高考模拟（理））若集合{|32}A x x a =≥-，{|(1)()0}B x x a x a =-+-≥，A B R ⋃=，则a 的取值X 围为（ ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】因为{|32}A x x a =-{|1}B x x a x a =-或，A B R ⋃=，所以321a a --，解得43a .4．（2019·某某市第三中学高三高考模拟（理））已知集合{1,0,1,2}M =-，2{|30}N x x x =-<．则M N =（ ）A ．{0,1}B ．{}1,0-C ．{}1,2D ．{1,2}- 【答案】C【解析】由230x x -<，解得03x <<，则{|03}N x x =<<.又{1,0,1,2}M =-，所以{}1,2M N ⋂=.故选C ．5．（2019·某某高三高考模拟（理））已知集合{}245A x x x =-<，则（ ）A ． 1.2A -∈B ．0.93A ∉C ．2log 30A ∈D ．{}1,2,3,4A N ⋂= 【答案】C【解析】 {}15A x x =-<<，220log 30log 325<<=，2log 30A ∴∈.所以选项C 正确.-1.2∉A,所以选项A 错误；1＜0.90.9 333A ＜，所以∈，所以选项B 错误；{}0,1,2,3,4A N ⋂=，所以选项D 错误.故选：C ．6．（2019·某某高三高考模拟（理））已知集合{}2|20A x x x =--<，{}2|30B x x x =+<，则A B =（ ）A ．(0,2)B ．(-1,0)C ．(-3,2)D ．(-1,3) 【答案】B【解析】 A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |﹣3＜x ＜0}；∴A ∩B ＝（﹣1，0）．故选：B ．7．（2019·某某高三高考模拟（理））已知命题:p x m ，2:20q x x +-<，如果命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的取值X 围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞- 【答案】B【解析】记[),A m =+∞，对于命题2:20q x x +-<，即为()(),12,B =-∞-⋃+∞，由p 是q 的充分不必要条件知：A 是B 的真子集，2m ∴>，故选B .8．（2019·某某高三高考模拟（理））已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x|（x+1）（x ﹣2）＜0}，则A∩B ＝（ ）A ．{0，1}B ．{﹣1，0}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2} 【答案】A【解析】由B 中不等式解得：-1＜x ＜2，即B={x|-1＜x ＜2}，∵A={-1，0，1，2}， ∴A∩B={0，1}，故选：A ．9．（2019·某某某某南开中学高三高考模拟（理））设集合2{|340}A x x x =+-≤，3{|log 0}B x x =≤，则A B =（ ）A ．[4,1]-B ．[4,3]-C ．(0,1]D ．(0,3] 【答案】C【解析】由题得A=[-4,1]，B=(0,1 ],所以(]0,1A B ⋂=.故选：C10．（2019·某某高三高考模拟（理））已知集合{1,0,1,2}A =-，{|(1)(2)0}B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．{1,0,1,2}-B ．{}1,0,1-C ．{0,1,2}D ．{0,1} 【答案】D【解析】由题得B=(-1,2)，所以AB ={}0,1.故选：D 11．（2019·高三高考模拟（理））已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则AB =（ ）A ．{|2}x x >-B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．R 【答案】B【解析】由24x <解得22x -<<，故{}|12A B x x ⋂=<<，故选B. 12．（2019·某某高三高考模拟（理））已知集合2{|560}A x x x =--<，{|31,}B x x k k Z ==+∈，则A B 等于（ ）A ．{2,3,4}B ．{1,2,3}C ．{2,5}D ．{1,4} 【答案】D【解析】集合A 中：2560x x --<，解得16x -<<，集合B 中：31,x k k Z =+∈，即...5,2,1,4,7,10...x =--所以{}1,4A B ⋂=故选D 项13．（2019·某某某某一中高三高考模拟（理））若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ）A ．()1,3B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()3,1- 【答案】C【解析】由()()130x x +-<解得13x ，故()1,1M N ⋂=-，故选C.14．（2019·某某高三高考模拟（理））已知集合{}{}23,1,|9A B x x =-=<，则A B =（ ）A ．{}1B ．()3,1-C ．{}3,1-D ．()3,3-【答案】A【解析】 解：B={x|-3＜x ＜3},又{}3,1,A =-∴A∩B={1}． 故选：A ．15．（2019·某某高三高考模拟（理））定义：区间[,]a b ，(,]a b ，(,)a b ，[,)a b 的长度均为b a -，若不等式12(0)12m m x x +≥≠--的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为l ，则（ ）A ．当0m >时，l m =B ．当0m >时，3l m=C ．当0m <时，l m=- D ．当0m <时，3l m =-【答案】B【解析】 当m ＞0时，∵1212x x +≥--0⇔()()()2332412mx m x m x x -+++≤--0， 令f （x ）＝mx 2﹣（3+3m ）x +2m +4＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，则()()()()1212m x x x x x x --≤--0，且x 1+x 233m m +==33m+， ∵f （1）＝m ﹣3﹣3m +2m +4＝1＞0，f （2）＝4m ﹣6﹣6m +2m +4＝﹣2＜0，∴1＜x 1＜2＜x 2，所以不等式的解集为（1，x 1]∪（2，x 2]，∴l ＝x 1﹣1+x 2﹣2＝x 1+x 2﹣3＝33m +-33m=， 故选：B ． 16．（2019·某某高三高考模拟）已知集合2{|10210}A x x x =-+≤，{|7524}B x x =-≤-≤，则A B =（ ）A ．1|32x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．{|36}x x ≤≤C ．{|27}x x -≤≤D ．{|67}x x ≤≤ 【答案】B【解析】因为{|37}A x x =≤≤，1|62B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，所以{|36}A B x x ⋂=≤≤. 故选B 17．（2019·某某高三高考模拟（理））已知集合{}2340A x x x =--，{}ln 0B x x =，则()A B ⋂=R （ ）A ．nB ．(]0,4C ．(]1,4D ．()4,+∞ 【答案】C【解析】由题意，集合{}2|340{|1A x x x x x =-->=<-或4}x >，{}{}ln 01B x x x x ==，[]1,4A =-R ，则()(]1,4A B ⋂=R .故答案为C.18．（2019·某某高三高考模拟（理））以下四个命题：①设*,a b R ∈，则1a b >>是22log log 0a b >>的充要条件；②已知命题p 、q 、r 满足“p 或q ”真，“p ⌝或r ”也真，则“q 或r ”假；③若[]1,1a ∈-，则使得()24420x a x a +-+->恒成立的x 的取值X 围为{3x x 或1x <}；④将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD a =，则三棱锥D ABC -的体积为3212a . 其中真命题的序号为________.【答案】①③④【解析】由题意，①中，当1a b >>，根据对数函数的运算性质，可得22log log 0a b >>， 反证，当22log log 0a b >>时，可得1a b >>，所以“1a b >>”是“22log log 0a b >>”成立的充要条件，所以是正确的；②中，若命题““p 或q ”真”，可得命题,p q 中至少有一个是真命题，当p 为真命题，则p ⌝假命题，此时若“p ⌝或r ”真，则命题r 为真命题，所以“q 或r ”真命题，所以不正确；③中，令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-恒成立，则满足(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，解得1x <或3x >，所以是正确的； ④中，如图所示，O 为AC 的中点，连接DO ，BO ，则,ADC ABC ∆∆都是等腰直角三角形，2,22AC a DO BO BD a ====， 其中BOD ∆也是等腰直角三角形，,,DO AC DO BO DO ⊥⊥⊥平面ABC ，DO 为三棱锥D ABC -的高，且212ABC S a ∆=， 所以三棱锥D ABC -的体积为2311122332212ABC a V S h a a ∆==⨯⨯⨯=，所以是正确的， 综上可知真命题的序号为①③④19．（2019·某某高三高考模拟（理））已知函数13,()2()11,()2x f x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，则不等式2·()20x f x x +-≤的解集是________.【答案】{|11}x x -【解析】 ：212320x x x ⎧<⎪⎨⎪+-⎩或2121·20x x x x ⎧⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩，即12213x x ⎧<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩或121x x ⎧⎪⎨⎪⎩ 112x ∴-<或112x ， 即解集为{|11}x x -.20．（2019·某某高三高考模拟）若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值X 围是________【答案】12(,]23【解析】 f （x ）＝x 2﹣（a +2）x +2﹣a ＜0，即x 2﹣2x +1＜a （x +1）﹣1，分别令y ＝x 2﹣2x +1，y ＝a （x +1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），分别画出函数的图象，如图所示：∵集合A ＝{x ∈Z|f （x ）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得∴10{120 311a a a -≤--≤＜，解得12＜a 23≤故答案为：（12，23]21．（2019·某某高三高考模拟（理））已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()23f x x x =-，则不等式()22f x -≤的解集为___． 【答案】[]1177171,3⎤⎡-+⋃⋃⎥⎢⎣⎦⎣⎦【解析】0x ≥时，()23f x x x =-，∴①当03x ≤≤时，()23f x x x =-+，解()2f x ≤，即232x x -+≤得1x ≤或2x ≥，01x ∴≤≤或23x ≤≤②当3x >时，()23f x x x =- 解()2f x ≤即232x x -≤得317317x ++≤≤31732x ∴<≤ ∴当0x ≥时，()2f x ≤解集为01x ≤≤或31722x +≤≤ ()f x 是R 上的偶函数，∴由对称性可知∴当0x <时，()2f x ≤解集为322x +-≤≤-或10x -≤<()2f x ∴≤解集为2x ≤≤-或11x -≤≤或2x ≤≤()22f x ∴-≤时，22x ≤-≤-或121x -≤-≤或22x ≤-≤0x ≤≤或13x ≤≤或4x ≤≤22．（2019·某某高三高考模拟（理））已知()()0f x a x b a =-->，且()0f x ≥的解集为{}37x x -≤≤.（1）某某数a ，b 的值；（2）若()f x 的图像与直线0x =及()3y m m =<围成的四边形的面积不小于14，某某数m 取值X 围.【答案】（1）5a =，2b =；（2）(],1-∞【解析】（1）由()0f x ≥得：x b a -≤，b a x b a -≤≤+， 即37b a b a -=-⎧⎨+=⎩，解得5a =，2b =. （2）()7,2523,2x x f x x x x -≥⎧=--=⎨+<⎩的图像与直线0x =及y m =围成的四边形ABCD ，()2,5A ，()0,3B ，()0,C m ，()7,D m m -.过A 点向y m =引垂线，垂足为()2,E m ，则()()211352522ABCD ABCE AED S S S m m m =+=-+-⨯+-14≥. 化简得：214130m m -+≥，13m ≥（舍）或1m .故m 的取值X 围为(],1-∞.23．（2019·某某高三高考模拟）[选修4-5：不等式选讲]已知关于x 的不等式20x mx n -+<的解集为{|12}x x <<，其中,m n R ∈.求证：((m n --≤.【答案】见证明【解析】因为关于x 的不等式20x mx n -+<的解集为{|12}x x <<， 所以123m =+=，122n =⨯=.所以((m n --=由柯西不等式可得，()2222221⎡⎤++⎣≤⎦5=，当且仅当=，即16[3,4]5x =∈时取等号.所以，((m n --≤24．（2019·某某高三高考模拟（理））已知函数()|2||3|f x x x =--+.（1）求不等式()2f x 的解集；（2）若不等式2()6f x a a <+的解集非空，某某数a 的取值X 围. 【答案】(1) 3{|}2x x ≥- (2) (,5)(1,)-∞--+∞【解析】 （1）由()232f x x x =--+≤可化为：3232x x x <-⎧⎨-+++≤⎩或32232x x x -≤≤⎧⎨-+--≤⎩或2232x x x >⎧⎨---≤⎩不等式解集为：3{|}2x x ≥-（2）因为()23235f x x x x x =--+≤---=，所以()55f x -≤≤，即()min 5f x =-；要使不等式()26f x a a <+解集非空，需()2min 6f x a a <+ 从而2650a a ++>，解得5a <-或1a >-所以a 的取值X 围为()(),51,-∞-⋃-+∞.。
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1．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是()
A．x≥0 B．x<0或x>2
C．x∈{－1,3,5} D．x≤－
1
2或x≥3
2．函数f(x)＝
1
ln－x2＋4x－3
的定义域是()
A．(－∞，1)∪(3，＋∞)
B．(1,3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(1,2)∪(2,3)
3．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
x⎪⎪x<－1或x>
1
2，则f(10
x)>0的解集为()
A．{x|x<－1或x>lg2}
B．{x|－1<x<lg2}
C．{x|x>－lg2}
D．{x|x<－lg2}
4．若x＝1满足不等式ax2＋2x＋1<0，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，－3) B．(－3，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
5．已知f(x)＝ax2－x－c，不等式f(x)＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为()
A B
C
6．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是()
A．13 B．18
C．21 D．26
7．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是__________。
8．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞0的解集为(1,2)，若f(x)的最大值小于1，则a 的取值范围是__________。
9．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sinα)x＋cos2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________。
10．对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，求k的取值范围。
11．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}。
(1)求a，b的值。
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0。
12．设函数f(x)＝mx2－mx－1。
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围。
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