2021-2022年高二上学期期末模拟试题二数学试题含答案

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2021-2022年高二上学期期末模拟数学试题

2021年高二上学期期末模拟数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填在答题纸的相应位置上）1.命题“若方程无实根，则”为真命题（用“真”、“假”填空）2．命题“”的否定是．3．已知：直线与平面内无数条直线垂直，：直线与平面垂直．则是的必要不充分条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）4．双曲线的右焦点是抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是 .5. 已知椭圆的一个焦点为,则实数的值为___1_____.6．已知命题，，则使得“p且q”与“非q”同时为假命题的所有组成的集合＝ {−1, 0, 1, 2}7.已知数列的前项和为某三角形三边之比为，则该三角形最大角为．8. 如图，函数的图像在点处的切线是，则。

9．当无限趋近于0时，无限趋近于常数，则常数的值为。

10．若点是以为焦点的双曲线上一点，满足，且，则此双曲线的离心率为 . 11．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 .12.已知各项均为正数的等比数列的最小值为____4______．13．已知实数满足则的最小值是 1 ．14.在中，三边成等差数列，则角的取值范围是 .二、解答题（本大题共6小题，满分为90分，请把解答过程写在答题卡的相应位置上）15．（本题满分14分）已知命题：实数满足，命题：实数满足方程表示焦点在轴上的椭圆，且非是非的充分不必要条件，求的取值范围。

15．解：由可得：即命题……………………………………………………分由表示焦点在轴上椭圆可得：，即命题…………………………………………………………8分由非为非充分不必要条件可得：非非，即……………12分从而有： ……………………………………………14分16. （本题满分14分）已知数列的前项和为，，且（为正整数）（Ⅰ）求出数列的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.解：（Ⅰ）， ① 当时，. ②由 ① - ②，得. .又，，解得 .数列是首项为1，公比为的等比数列.（为正整数） ……………………（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知由题意可知，对于任意的正整数，恒有，.数列单调递增，当时，数列中的最小项为，必有，即实数的最大值为1 ……………… （14分）17．（本题满分14分）设的内角所对的边分别为且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的周长的取值范围.解：（1）由得 …………又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+ …………，，，又 …………（2）由正弦定理得：, )())1sin sin 1sin sinl a b c B C B A B =++=+=++……… …………故的周长的取值范围为.…………（2）另解：周长由（1）及余弦定理……………………又即的周长的取值范围为.…………14分18.（本题满分16分）设椭圆的左，右两个焦点分别为，短轴的上端点为，短轴上的两个三等分点为，且为正方形。

2021-2022年高二上学期期末综合测试数学试题含答案

2021年高二上学期期末综合测试数学试题含答案一、选择题（12×5分＝60分）1、下列命题为真命题的是（）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。

2、下列命题中错误的是：（）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、已知、为实数,则是的 ( )A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知命题[]2:"1,2,0"p x x a ∀∈-≥,命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=,若命题“”是真命题,则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D.5，如图ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝A 1B 14，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( )A ．1517B ．12C ．817D ．326、设和为双曲线()的两个焦点, 若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.37、设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A. B. C. D.8、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（）A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=09、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（） A.; B.; C.; D..10、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2,高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（） A. 2cm; B.; C.4cm; D.8cm 。

2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题含答案

A.24B.12C.81D.64
2.已知，则（）
A. B.
C. D.
3.函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
4. 的展开式中的系数是（）
A. 1792B. C. 448D.
5.已知事件A，B相互独立，，则（）
A. 0.24B. 0.8C. 0.3D. 0.16
6.点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（）
（1）甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率；
（2）甲、乙两班级之间演出班级（不含甲乙）个数X的分布列与期望．
19.己知函数．
（1）若在上不单调，求a的范围；
（2）试讨论函数的零点个数．
20.己知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围．
【答案】B
6.点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（）
A. B. C. D.
【答案】A
7.考试停课复习期间，小王同学计划将一天中的7节课全部用来复习4门不同的考试科目，每门科目复习1或2节课，则不同的复习安排方法有（）种．
A. 360B. 630C. 2520D. 15120
【答案】C
2021-2022学年第一学期期末考试
高二年级数学试卷
班级：_________________姓名：_________________座号：________________
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.用1，2，3，4这4个数字可写出（）个没有重复数字的三位数．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

2021-2022年高二上学期期末数学试卷(理科) 含解析(II)

2021-2022年高二上学期期末数学试卷（理科）含解析(II)一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．2．定积分（（2x+sinx）dx等于（）A．0 B．C．D．3．已知命题p：∀x∈R，e x+x3+2x2+4≠0，则¬p为（）A．∃x0∈R，使得lnx+x3+2x2+4=0B．∃x0∈R，使得e x0+x3+2x2+4≠0C．∃x∈R，使得e x+x3+2x2+4=0D．∀x0∈R，使得e x0+x3+2x2+4=04．用反证法证明结论：“曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（）A．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有两个不同的交点B．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有一个交点C．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）恰有两个不同的交点D．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有一个交点5．已知直线x+ay=a+2（a∈R）与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣7=0交于M，N两点，则线段MN的长的最小值为（）A．B．C．2 D．6．（x+8）（3﹣x）＜0的一个充分不必要条件是（）A．﹣8＜x＜3 B．x＞8 C．x＜﹣3 D．x＜﹣8或x＞37．给出以下五个结论：①经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点的直线的方程为；②以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径的两个端点的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0；③平面上到两个定点F1，F2的距离的和为常数2a的点的轨迹是椭圆；④平面上到两个定点F1，F2的距离的差为常数2a（2a＜|F1F2|）的点的轨迹是双曲线；⑤平面上到定点F和到定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．其中正确结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，且a+（b﹣1）i＜0（a，b ∈R），复数z满足|z|=3，则|z+a﹣bi|的最大值为（）A．B．C．D．9．在平行四边形ABCD中，已知C（﹣3，0），D（3，0），点E，F满足，，且，则点A的轨迹方程是（）A．B． =1（x≥2）C．D． =1（x≥3）10．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在平面ABCD上，满足PC1=3PA，则点P的轨迹为（）A．直线B．一段圆弧C．椭圆D．圆11．点P（1，t）（t＞0）是椭圆上一点，A，B是该椭圆上异于点P的两个点，且直线PA，PB的倾斜角分别为72°和108°，则直线AB的斜率为（）A．﹣或B．tan18°C．D．tan36°12．观察下列不等式：，，，，…．照此规律，第五个不等式为（）A．B．C．D．二．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若S8=3，则a2+a3+a6+a7=______．14．已知函数f（x）=e x﹣ax在（3，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是______．15．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，己知AA1=8，点E，F分别的棱BB1，CC1上，且满足AB=BE=3，FC1=2，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值等于______．16．设F是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点，过F的直线与椭圆C交于A，B 两点，分别过A，B作椭圆C的切线并相交于点P，线段OP（O为坐标原点）交椭圆C于点Q，满足，且，则椭圆C的离心率为______．三．解答题（本题共6个小题，共70分．要求每道题都必须写出必要的过程）17．已知函数f（x）=e x（x2﹣3）．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数y=f（x）的极值．18．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a=4，c=3，cosA=﹣．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．19．数列{an }满足，且a1=2．（1）写出a2，a3，a4的值；（2）归纳猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）设，求数列{bn }的前n项和Tn．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是边长为4的正三角形，M为PD的中点，底面ABCD是矩形，CD=3．（1）求异面直线PB与CM所成的角α的余弦值；（2）求直线AC与平面PCM所成的角β的正切值．21．已知A（0，﹣1）是焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点，F是椭圆C的右焦点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，满足|AF|=5|FB|．以D（﹣1，1）为圆心的⊙D与椭圆C交于M，N两点，满足|AM|=|AN|．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求圆心D到直线MN的距离d的值．22．已知函数f（x）=xlnx﹣3x+8．（1）求函数y=f（x）在[e，e3]（e是自然对数的底数）的值域；（2）设0＜a＜b，求证：．参考答案与试题解析一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数==．复数（i是虚数单位）的虚部是：．故选：B．2．定积分（（2x+sinx）dx等于（）A．0 B．C．D．【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：（2x+sinx）dx=（x2﹣cosx）|=0，故选：A．3．已知命题p：∀x∈R，e x+x3+2x2+4≠0，则¬p为（）A．∃x0∈R，使得lnx+x3+2x2+4=0B．∃x0∈R，使得e x0+x3+2x2+4≠0C．∃x∈R，使得e x+x3+2x2+4=0D．∀x0∈R，使得e x0+x3+2x2+4=0【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，e x+x3+2x2+4≠0，则¬p为：∃x∈R，使得e x+x3+2x2+4=0．故选：C．4．用反证法证明结论：“曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（）A．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有两个不同的交点B．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有一个交点C．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）恰有两个不同的交点D．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有一个交点【考点】反证法的应用．【分析】“至少有两个”的反面为“最多有一个”，据此直接写出结论即可．【解答】解：∵至少有两个”的反面为“最多有一个”，∴应假设：曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有一个交点．故选：B．5．已知直线x+ay=a+2（a∈R）与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣7=0交于M，N两点，则线段MN的长的最小值为（）A．B．C．2 D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准方程，求得圆心和半径，求得弦心距d的最大值，可得|MN|的最小值．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣7=0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，表示以C（1，）为圆心、半径等于3的圆，要使弦长最小，只有弦心距最大．∵直线x+ay=a+2（a∈R）恒过定点（2，1），∴弦心距d的最大值为1，∴|MN|的最小值为2=4，故选：A．6．（x+8）（3﹣x）＜0的一个充分不必要条件是（）A．﹣8＜x＜3 B．x＞8 C．x＜﹣3 D．x＜﹣8或x＞3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由（x+8）（3﹣x）＜0解得x＞3或x＜﹣8．即可判断出结论．【解答】解：由（x+8）（3﹣x）＜0解得x＞3或x＜﹣8．∴（x+8）（3﹣x）＜0的一个充分不必要条件是x＞8．故选：B．7．给出以下五个结论：①经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点的直线的方程为；②以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径的两个端点的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0；③平面上到两个定点F1，F2的距离的和为常数2a的点的轨迹是椭圆；④平面上到两个定点F1，F2的距离的差为常数2a（2a＜|F1F2|）的点的轨迹是双曲线；⑤平面上到定点F和到定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．其中正确结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用直线、圆的方程，椭圆，双曲线、抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：①经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点的直线的方程为（x1≠x2，y1≠y2），不正确；②以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径的两个端点的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，正确；③平面上到两个定点F1，F2的距离的和为常数2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹是椭圆，不正确；④平面上到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数2a（2a＜|F1F2|）的点的轨迹是双曲线，不正确；⑤当定点位于定直线时，此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以不正确．故选：D．8．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，且a+（b﹣1）i＜0（a，b ∈R），复数z满足|z|=3，则|z+a﹣bi|的最大值为（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由题意求出a，b的值，然后数形结合求得答案．【解答】解：∵（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，∴a=﹣2，又a+（b﹣1）i＜0（a，b∈R），∴b=1，则﹣a+bi=2+i，|z+a﹣bi|=|z﹣（2+i）|，又|z|=3，如图：∴|z+a﹣bi|的最大值为3+．故选：C．9．在平行四边形ABCD中，已知C（﹣3，0），D（3，0），点E，F满足，，且，则点A的轨迹方程是（）A．B． =1（x≥2）C．D． =1（x≥3）【考点】轨迹方程．【分析】设A（（x，y），则E（， y），F（， y），利用，建立方程，化简即可点A的轨迹方程．【解答】解：设A（（x，y），则E（， y），F（， y），∵，∴﹣=4，化简得=1（x≥3），故选：D．10．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在平面ABCD上，满足PC1=3PA，则点P的轨迹为（）A．直线B．一段圆弧C．椭圆D．圆【考点】轨迹方程．【分析】在底面上建立平面直角坐标系，设出P的坐标，写出点的坐标，根据正方体的性质，利用PC1=3PA，两点之间的距离公式，整理出关于x，y的方程，结果是一个圆．【解答】解：建立如图所示设P（x，y，0），A（0，0，0），C1（1，1，1）∵PC1=3PA，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2+1=9x2+9y2，化简得（x﹣）2+（y﹣）2=故P点轨迹是圆．故选：D．11．点P（1，t）（t＞0）是椭圆上一点，A，B是该椭圆上异于点P的两个点，且直线PA，PB的倾斜角分别为72°和108°，则直线AB的斜率为（）A．﹣或B．ta n18°C．D．tan36°【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】将P（1，t）代入椭圆方程，求得t值，设PB的直线方程为y﹣=k（x ﹣1），与椭圆C联立方程组，求出B点坐标；再设PA的直线方程为y﹣=﹣k（x ﹣1），与椭圆C联立方程组，求出A点坐标，由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：将P（1，t）（t＞0）代入椭圆方程，解得：t=，则P（1，），设PB的直线方程为y﹣=k（x﹣1），将直线方程代入椭圆方程，（3+4k2）x2+4k（3﹣2k）x+4（﹣k）2﹣12=0，设A（xA ，yA），则xA+1=，xA =，y A =k（xA﹣1）+=kxA﹣k+，又直线PB与PA的倾斜角互补，在上式中以﹣k代k，设B（xB ，yB），可得xB=，y B =﹣k（xA﹣1）+=kxB+k+，∴直线AB的斜率为kAB==，==，∴直线AB的斜率为．故选：C．12．观察下列不等式：，，，，…．照此规律，第五个不等式为（）A．B．C．D．【考点】归纳推理．【分析】根据已知式子寻找右端分母与左侧最后一个分母的关系，分子与分母的关系，得出规律．【解答】解： =，=，==，==，由上述式子可发现如下规律：（1）各式右端分母为左端最后一个分母底数与其相邻整数的乘积的2倍．（2）相邻两项分子的差为以5为公差的等差数列，照此规律可以得到： =．故选A．二．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若S8=3，则a2+a3+a6+a7= ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】等差数列{an }的前n项和为Sn，S8=3，可得a1+a8，再利用a2+a3+a6+a7=2（a1+a8）即可得出．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，S8=3，∴=3，解得a1+a8=则a2+a3+a6+a7=2（a1+a8）=2×=．故答案为：．14．已知函数f（x）=e x﹣ax在（3，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是（﹣∞，e3] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=e x﹣ax在区间（1，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x ﹣a≥0在区间（1，+∞）上恒成立，⇔a≤[e x]min在区间（1，+∞）上成立．【解答】解：f′（x）=e x﹣a，∵函数f（x）=e x﹣ax在区间（3，+∞）上单调递增，∴函数f′（x）=e x﹣a≥0在区间（3，+∞）上恒成立，∴a≤[e x]min在区间（3，+∞）上成立．而e x＞e3，∴a≤e3．故答案为：（﹣∞，e3]．15．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，己知AA1=8，点E，F分别的棱BB1，CC1上，且满足AB=BE=3，FC1=2，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值等于．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】建立以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，求出平面AEF与平面ABC的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】解：建立以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AA1=8，AB=BE=3，FC1=2，∴A（0，0，0），B（3，0，0），E（3，0，3），F（3，3，6），则平面ABC的一个法向量=（0，0，1），设平面AEF的法向量为为=（x，y，z），则=（3，0，3），=（3，3，6），由得，即，令x=1，则z=﹣1，y=1，则=（1，1，﹣1），cos＜，＞===﹣，∴面AEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值cosθ=，则sinθ==，则tanθ===，故答案为：．16．设F 是椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的左焦点，过F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作椭圆C 的切线并相交于点P ，线段OP （O 为坐标原点）交椭圆C 于点Q ，满足，且，则椭圆C 的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由，可取Q ，由于，可得P ．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得过点A ，B 的切线方程分别为： =1， +=1．联立解得P ．设直线AB 的方程为：y=k （x+c ），可得x P =﹣=﹣，于是=﹣，即可得出．【解答】解：∵，∴可取Q ， ∵满足，∴=， ∴P ．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得过点A ，B 的切线方程分别为： =1， +=1．联立解得P．设直线AB的方程为：y=k（x+c），=﹣=﹣，∴xP∴=﹣，解得e==．故答案为：．三．解答题（本题共6个小题，共70分．要求每道题都必须写出必要的过程）17．已知函数f（x）=e x（x2﹣3）．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数y=f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导，f′（0）=﹣3，直线斜率为﹣3，且过点（0，﹣3），利用点斜式方程，求得切线方程；（2）先求出函数的单调区间，从而求出函数的极值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x（x2﹣3），则f′（x）=e x（x2+2x﹣3）=e x（x+3）（x﹣1），故f′（0）=﹣3，又f（0）=﹣3，故曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y+3=﹣3x，即3x+y+3=0；（2）由（1）知f′（x）=0可得：x=1或x=﹣3，如下表：令f′（x）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1；此时函数单调递增；令f′（x）＜0，解得﹣3＜x＜1，此时函数单调递递减．x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3，1）1（1，+∞）f′（x）+ 0﹣0+f（x）递增极大值递减极小值递增当x=﹣3时取极大值，极大值为：f（﹣3）=6e﹣3，当x=1取极小值为f（1）=﹣2e．18．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a=4，c=3，cosA=﹣．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理即可得出；（2）利用和差公式与三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）在△ABC中，由题可知角A为钝角，故角C为锐角．∵sinA==，故，即，得C=45°；（2）由（1）得，故△ABC的面积为．19．数列{an }满足，且a1=2．（1）写出a2，a3，a4的值；（2）归纳猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）设，求数列{bn }的前n项和Tn．【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】（1）由a1=2，，分别令n=1，2，3，即可得出；（2）由（1）猜想：an=3﹣，利用数学归纳法证明即可，（3）先求出bn=﹣，裂项求和即可．【解答】解：（1）{an }满足，且a1=2，∴a2===，a3==，a3==，（2）可以猜想an=3﹣，证明如下：①当n=1时，猜想当然显然成立；②假设当n=k（k∈N+）时猜想成立，即ak =3﹣，则ak+1====3﹣，故当然n=k+1时猜想成立，由①②可知，猜想成立；（3）由（2）知bn==﹣，故Tn=（﹣）=1﹣=．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是边长为4的正三角形，M为PD的中点，底面ABCD是矩形，CD=3．（1）求异面直线PB与CM所成的角α的余弦值；（2）求直线AC与平面PCM所成的角β的正切值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）可取AD中点O，BC中点N，并连接OP，ON，根据条件可以说明ON，OD，OP三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可求出图形上各点的坐标，从而可求出向量的坐标，这样根据cosα=即可求出异面直线PB与CM所成的角α的余弦值；（2）根据条件可以说明AM⊥平面PCM，从而得出为平面PCM的一条法向量，可求出向量的坐标，这样根据求出sinβ，从而求出cosβ，从而得出tanβ的值．【解答】解：如图，取AD中点O，BC中点N，连接OP，ON，由题知OP⊥AD，ON⊥AD；∵平面PAD⊥平面ABCD；∴OP⊥平面ABCD，∴ON，OD，OP两两垂直；因此可以O为原点，以ON，OD，OP三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则：A（0，﹣2，0），B（3，﹣2，0），C（3，2，0），，D（0，2，0），；∴（1）；∴=；即异面直线PB与CM所成的角α的余弦值为；（2）平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD；∴CD⊥平面PAD，AM⊂平面PAD；∴AM⊥CD，△PAD为正三角形，M为PD的中点；∴AM⊥PD，PD∩CD=D；∴AM⊥平面PCD，即AM⊥平面PCM；∴为平面PCM的一条法向量；又；∴=，∴；∴；即直线AC与平面PCM所成的角β的正切值为．21．已知A（0，﹣1）是焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点，F是椭圆C的右焦点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，满足|AF|=5|FB|．以D（﹣1，1）为圆心的⊙D与椭圆C交于M，N两点，满足|AM|=|AN|．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求圆心D到直线MN的距离d的值．【考点】椭圆的标准方程；点到直线的距离公式．【分析】（1）由题意设椭圆C：，且F（c，0），由此利用椭圆性质能求出椭圆C 的标准方程．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），且E（x，y）为MN的中点，利用点差法求出，．由此能求出圆心D到直线MN的距离．【解答】解：（1）由题意设椭圆C：，且F（c，0），则由|AF|=5|FB|，知B（），代入椭圆C的方程并化简得2a2=3c2=3（a2﹣1），即a2=3，故椭圆C的标准方程： =1．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），且E（x，y）为MN的中点，则=1， =1．两式相减得，故2x0+6y0•k MN=0．∵|AM|=|AN|，故点A在线段MN的中垂线上．又点D在线段MN的中垂线上，∴A，E，D三点共线，且AD⊥MN．kAD=﹣2，∴，从而．∵，解得，．∴圆心D到直线MN的距离d=|DE|=．22．已知函数f（x）=xlnx﹣3x+8．（1）求函数y=f（x）在[e，e3]（e是自然对数的底数）的值域；（2）设0＜a＜b，求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）法一：求出f（x）的导数，计算f（e），f（e2），f（e3）的值，从而求出函数的值域；法二：求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的值域即可；（2）令g（b）=2f（a）+f（b）﹣3f（），通过讨论函数的单调性，证明即可．【解答】解：（1）法一：由题易知f′（x）=lnx﹣2，由f′（x）=0可得x=e2．因为f（e）=8﹣2e，f（e2）=8﹣e2，f（e3）=8，故函数y=f（x）在[e，e3]的值域为[8﹣e2，8]；法二：由题易知f′（x）=lnx﹣2，由f′（x）＞0可得x＞e2，由f′（x）＜0可得0＜x＜e2，故函数y=f（x）在（0，e2）递减，在（e2，+∞）递增，从而y=f（x）在[e，e2）递减，在[e2，e3]递增，因为f（e）=8﹣2e，f（e2）=8﹣e2，f（e3）=8，故函数y=f（x）在[e，e3]的值域为[8﹣e2，8]；（2）令，则，故g（b）在（a，+∞）递增，得g（b）＞g（a）=0，令h（b）=g（b）﹣（b﹣a）ln3，则h'（b）=g'（b）﹣ln3=，故函数h（b）在（a，+∞）递减，得h（b）＜h（a）=0，故g（b）＜（b﹣a）ln3，综上可知0＜g（b）＜（b﹣a）ln3，即．xx9月19日27035 699B 榛32478 7EDE 绞25611 640B 搋23910 5D66 嵦25249 62A1 抡37305 91B9 醹31500 7B0C 笌-23463 5BA7 宧21231 52EF 勯g6U27928 6D18 洘。

2021-2022年高二上学期期末考试理数试题含答案(II)

2021-2022年高二上学期期末考试理数试题含答案(II)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，已知，公差，则（）A．10 B．12 C．14 D．162.“”是“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.双曲线渐近线的斜率为（）A． B． C． D．4.函数有（）A．最小值4 B．最大值4 C.最小值 D．最大值5.命题，，命题，，则下列命题正确的是（）A．为真 B．为真 C.为假 D．为真6.（重点中学做）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A．升 B．升 C.升 D．升（普通中学做）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）A.尺布B.尺布C.尺布D.尺布7.（重点中学做）已知变量满足约束条件1010310x yxx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数的最大值为（）A．1 B．2 C.3 D．4（普通中学做）已知变量满足约束条件1010310x yxx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数的最小值为（）A.5B.3C.1D.08.在正四棱锥中，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的正弦值为（）A． B． C. D．9.过抛物线的焦点且斜率为1的直线与相交于两点，若，则抛物线的方程为（）A． B． C. D．10.如图所示，为内一点，且满足，，，，则（）A ．7B ． C. D ．11.已知函数()()()32f x m x m x m =++++，，若，或恒成立，则实数的取值范围为（）A ．B ． C. D ．12.（重点中学做）已知椭圆与双曲线()222222222:10 0x y C a b a b -=>>，有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是（） A ．4 B ．6 C.8 D ．16（普通中学做）已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，，以的右焦点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.函数的定义域为．14.若是两个正数，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于．15.如图所示，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且，为的中点，为的中点，则的长为．16.（重点中学做）如图所示，已知平面四边形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且，，，，则平面四边形面积的最大值为．（普通中学做）在中，已知三边的长分别是（），则外接圆的面积为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在中，内角的对边分别是，且.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求边的长.18. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.19. （本小题满分12分）某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，这些产品要在、、、四种不同的设备上加工，按工艺规定，在一天内，产品Ⅰ每件在、、、设备上需要加工时间分别是2、2、3、0小时，产品Ⅱ每件在、、、设备上需要加工时间分别是4、1、0、3小时，、、、设备最长使用时间分别是16、8、9、9小时.设计划每天生产产品Ⅰ的数量为（件），产品Ⅱ的数量为（件）.（1）用列出满足设备限制使用要求的关系式，并画出相应的平面区域；（2）已知产品Ⅰ每件利润2（万元），产品Ⅱ每件利润3（万元），在满足设备限制使用要求的情况下，问该工厂在每天内产品Ⅰ，产品Ⅱ各生产多少件会使利润最大，并求出最大值.20. （本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，，，，分别为的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21. （本小题满分12分）（重点中学做）如图所示，已知椭圆过点，直线与椭圆交于、两点，过点作轴，垂足为点，直线交椭圆与另一点，当时，椭圆的右焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）试问是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由.（普通中学做）如图所示，已知椭圆过点，直线与椭圆交于两点，当时，椭圆的右焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设点关于轴的对称点为，试问：直线是否恒过轴上的一个定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）已知命题：方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足不等式.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件，求实数的取值范围.23. （本小题满分10分）已知命题：；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真，““为假，求实数的取值范围.九江市xx上学期期末考试高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1-5:BACDB 6-10:6普C，6重D，7普C，7重D；BBC 11、12：A；12普A，12重C二、填空题13. 14.10 15. 16.（重点中学做）；（普通中学做）三、解答题17.解：（1）由及正弦定理得：=+.………………1分A B C C Bsin sin cos sin∴()+=.…………2分B C B C C Bsin sin cos sin∴sin cos cos sin sin cos sin+=.……3分B C B C B C C B∴………………4分又∵为三角形内角，可得，∴.…………5分∵，∴.……6分（2）∵面积为，∴，即，.…………9分由余弦定理得，()22222cos 3361818b a c ac B a c ac =+-=+-=-=， ∴.…………12分18.解：（1）当时，，∴.…………2分当时，由及，得，即，.………………4分∴数列为首项为1，公比为的等比数列.…………5分 ∴.………………6分（2）由（1）得，.……8分123112322222n n nT =++++…，两式相减得2111111122121222222212n n n n n n n n n T --+=++++-=-=--….…………11分∴.…………12分19.解：（1）所满足的关系式为241628039039 x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，，即28280303 x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，.………………3分画出不等式组28280303x yx yxyx y N+≤⎧⎪+≤⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，所表示的平面区域，即可行域，（图中实心点）（注：可行域画成阴影区域及未标注扣1分）…………6分（2）设最大利润为（万元），则目标函数.……8分将变形，这是斜率为，随变化的一组平行直线，是直线在轴上的截距，当取得最大值时，的值最大，又因为所满足的约束条件，联立方程组，得点坐标为.又∵，当直线经过可行域上的点时，截距最大.……10分此时，.所以，每天安排生产2件产品Ⅰ，3件产品Ⅱ，会使利润最大为13（万元） (12)分20.解：（1）取中点，连接，，∵分别为中点，底面为正方形，∴，……1分∵，，，∴，∴.∵，，∴，∴，又，，平面，∴平面.…………3分又平面，∴，∵，分别为，中点，∴，∴，又，，平面，∴平面，……5分又平面，∴.………………6分（2）由（1）知可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，， ∴.………………8分设平面的法向量，，，则，即，∴.……10分设直线与平面所成角为，则sin cos 5n EFn EF n EF θ⋅=<>===⋅⋅，……12分21.（重点中学做）解：（1）∵椭圆过点，∴.……1分∵椭圆的右焦点到直线的距离为，=分又，解得，，故椭圆的方程为.…………4分（2），证明如下：设，则，，，直线的斜率.……8分可得直线的方程：，设点，联立()22226ky x xx y⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，消去得()222220022120k x k x x k x+-+-=，则，解得，∴，点.…………10分∵322200022123222PBk xkx kxkkk x x k x kxk--+===-+-+，∴，∴.……12分（普通中学做）解：（1）∵椭圆过点，∴.……2分∵椭圆的右焦点到直线的距离为，∴，∴.……4分又，解得，故椭圆的方程为.……6分（2）设，，则有，将代入椭圆方程，得.……8分∴，.……10分直线的方程为，令，得()()2122112211221212128211234113834kx kx x kxx y x y kx x kykx x x x x xk⎛⎫- ⎪+++++⎝⎭===+=+= +++-+，故恒过轴上的一个定点.……12分22.解：（1）∵方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，∴.………………3分解得.…………5分（2）∵“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件，∴是不等式()()()22220t a t a t t a-++=--<的解集的真子集.……7分令，∴.……9分解得，故实数的取值范围为.………………10分23.解：（1）当命题为真时，由已知得.………………3分解得，∴当命题为真时，实数的取值范围是.……5分（2）当命题为真时，由解得.……6分由题意得命题、中有一真命题、有一假命题.……7分当命题为真、命题为假时，则，解得.……8分当命题为假、命题为真时，则，.…………9分∴实数的取值范围是.……10分32554 7F2A 缪 W22816 5920 夠b28536 6F78 潸t35318 89F6 觶527812 6CA4 沤< 220222 4EFE 仾。

2021~2022学年高二上学期期末检测数学试卷

第1页共4页第2页共4页2021~2022学年高二上学期期末检测·数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目，在规定位置粘贴好条形码。

2.答题要求：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题使用黑色签字笔在答题卡上对应的答题区域内作答。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线310x y -+=的斜率为（）A.3B.3-C.3D.3-2.已知向量(2,3,1)a =，(1,2,0)b =，则a b +等于（）A.3B.3C.35D.93.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若BA a =，BC b =，1BB c =，则下列向量与BM 相等的是（）A.1122a b c --+ B.1122a b c +- C.1122-++a b cD.1122a b c ++ 4.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A.6.5尺B.13.5尺C.14.5尺D.15.5尺5.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）A.25B.25-C.21 D.21-6.已知椭圆x 2k+8+y 29=1的离心率为12，则k 的值为( )A.4B.134C.4或-54D.4或1347.已知动点P 在直线1:3410l x y -+=上运动，动点Q 在直线2:640l x my ++=上运动，且12l l //，则PQ 的最小值为（）A.35B.310C.15D.1108.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（）A.4039B.4040C.4041D.4042二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.关于双曲线221:132x y C -=与双曲线222:123y x C -=下列说法正确的是（） A.它们的实轴长相等 B.它们的渐近线相同 C.它们的离心率相等D.它们的焦距相等10.已知圆221:1C x y +=和圆222:40C x y x +-=的公共点为A ，B ，则（）A.12||2C C =B.直线AB 的方程是14x =C.12AC AC ⊥D.15||2AB =11.若数列{}n a 满足11a =，21a =，()123,n n n a a a n n N --+=+≥∈，则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理､准晶体结构､化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（）A.713a =B.135********a a a a a ++++=C.754S =D.24202026021a a a a a ++++=第3页共4页第4页共4页12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111A B C D 内，若||5AE =，AC DF ⊥，则（）A.点E 的轨迹是一个圆B.点F 的轨迹是一个圆C.EF 的最小值为21-D.AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为21530+第II 卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.若直线10x y -+=与直线310mx y +-=互相垂直，则实数m 的值为__________．14.已知双曲线2222x ya b-＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则它的离心率为________． 15.在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A =2，则AB 与PC 的夹角的余弦值为______.16.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过点()3,0的直线l 与圆22:4380C x y x +-+=交于A ，B 两点，则四边形OACB 面积的最大值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在①圆C 与y 轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为23． ②圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ;③圆C 与直线210x y --=相切，且与圆22:(2)1Q x y +-=相外切这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆C 存在，求出圆C 的方程;若问题中的圆C 不存在，说明理由．问题:是否存在圆C ，______，且圆心C 在直线12y x =上．注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知等比数列{}n a 中，24a =，5256a =．（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19.在平面直角坐标系中，已知抛物线22y px =的准线方程为12x =-．（1）求p 的值;（2）直线:(0)l y x t t =+≠交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，求线段AB的长度．20.已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+．（1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，22AD PA PB ===，PA PB ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）证明:平面PAD ⊥平面PBC ;（2）若M 为PC 中点，求平面AMD 与平面BMD 的夹角的余弦值．22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右顶点分别为A ，B ，离心率为3，且过点22,2D ⎛⎫⎪ ⎪⎭．（1）求椭圆E 的标准方程;（2）过点()4,0P 作与x 轴不重合的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点(N 在P ，M 之间)．证明:直线MB 与直线NA 的交点的横坐标是定值．。

2021-2022年高二上学期期末考试数学文含答案(II)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、下列函数中，在上为增函数的是（） A B C D2、曲线在点处的切线与y 轴交点的纵坐标是（） A B C D3、函数51232)(23+--=x x x x f 在上的最大值和最小值分别是（） A B C D4、抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（）A B C D5、设双曲线)0,0(12222>>=-n m n y m x 的焦距为，一条渐近线方程为，则此双曲线方程为（）A. B. C. D. 6、若函数在内有极小值，则（） A B C D7、用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 48、椭圆的离心率为（）A B C D 9、下面程序运行的结果是 ( )A 210 ，11B 200，9C 210，9D 200，1110、如右图是函数的导函数的图像，下列说法错误的是（）A. 是函数的极小值点B .1是函数的极值点C .在处切线的斜率大于零D .在区间上单调递增广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归直线方程中为，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为12、已知函数若对任意，恒成立，则的取值范围是（）A B C D二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13、若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是________14、从抛物线上一点引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且，则的面积为_________15、如右图所示，在圆心角为的扇形中，以圆心O作为起点作射线，则使的概率为________16、已知,,对一切恒成立，则实数的取值范围是__________三、解答题(17小题10分,18-22小题12分)17、设12321ln )(+++=x x x a x f ，其中，曲线在点处的切线垂直于轴。

（1）求的值（2）求函数的极值18、椭圆的一个顶点为，离心率。

2021-2022学年辽宁省营口市高二上学期期末考试数学试卷带讲解

【详解】
如图所示，由已知可得，为等腰三角形，且，翻折后可得、，平面平面，
对于选项A，平面平面，平面平面，且，所以平面，而平面，故，该选项正确；
对于选项B，、且，故平面，所以与平面BCD的法向量平行，该选项正确；
对于选项C，由选项A可知，，假设成立，则平面，此时，该结论与矛盾，故该选项错误；
故选：A.
6.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，
故选：BCD
【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知双曲线，则圆的圆心C到双曲线渐近线的距离为______．
【答案】2
【解析】
【分析】求出圆心和双曲线的渐近线方程，即得解.
【详解】直线的斜率不大于0，则直线l斜率可能等于零，此时直线倾斜角为0°，不为钝角，故“直线的斜率不大于0”不是“直线的倾斜角为钝角”充分条件；
直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率为负，满足直线的斜率不大于0，即“直线的倾斜角为钝角”是“直线的斜率不大于0”的充分条件，“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的必要条件；
故故答案为：
16.已知抛物线C：的焦点为F，过M（4，0）的直线交C于A、B两点，设，的面积分别为、，则的最小值为______．

2021-2022学年湖北省高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2021-2022学年湖北省高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.与空间向量共线的一个向量的坐标是( )A. B.C.D.2.抛物线的焦点坐标是( )A.B.C. D. 3.在单调递减的等比数列中，若，，则( )A. 9B. 3C.D.4.若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则( )A. 5B.C.D.5.雅言传承文明，经典浸润人生．某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某人决定从这四类比赛中任选两类参赛，则“诵读中国”被选中的概率为( )A. B. C.D.6.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )A.B.C. 4D. 27.围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，规定甲与乙对阵，丙与丁对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，他们之间相互获胜的概率如下：甲乙丙丁甲获胜概率/乙获胜概率/丙获胜概率/丁获胜概率/则甲最终获得冠军的概率是( )A. B. C. D.8.在xOy平面上有一系列点，，⋯，，⋯，对每个正整数n，点位于函数的图象上，以点为圆心的与x轴都相切，且与彼此外切．若，且的前n项之和为，则( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为( )A. B. C. D.10.关于双曲线，下列结论正确的是( )A. 离心率为B. 实轴长为6C. 渐近线方程为D. 焦点F到一条渐近线的距离为311.先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a，b，则下列结论正确的是( )A. 时的概率为B. 时的概率为C. 时的概率为D. 是6的倍数的概率是12.如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论正确的是( )A. ，B. 若，则C. 若，则的最小值为2D.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.直线倾斜角为 .14.等差数列的前n项之和为，若，则 .15.由曲线围成的图形的面积为 .16.已知平行四边形ABCD内接于椭圆，且AB，AD的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .四、解答题（本大题共6小题，共70分。

2021-2022学年山东省潍坊市潍坊高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年山东省潍坊市潍坊第一中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．下列关系中正确的个数是（）①③ ④12Q ∈R *0N ∈π∈Z A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据集合的概念、数集的表示判断．【详解】不是正整数，是无理数，当然不是整数．只有①正确．120π故选：A ．【点睛】本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．2．12i12i +=-A ．B ．C ．D ．43i 55--43i 55-+34i 55--34i 55-+【答案】D【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：选D.212(12)341255i i i i ++-+==∴-点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.3．已知，则的取值范围是（）11,15x y x y -≤+≤≤-≤32x y -A ．B ．C ．D ．[]2,13[]3,13[]2,10[]5,10【答案】A 【分析】设，求出的值，根据的范()()()()32x y m x y n x y m n x m n y-=+--=-++,m n ,x y x y +-围，即可求出答案.【详解】设，()()()()32x y m x y n x y m n x m n y-=+--=-++所以，解得：，32m n m n -=⎧⎨+=-⎩()()1152,32,5222m x y x y x y n ⎧=⎪⎪-=++-⎨⎪=-⎪⎩因为，所以，11,15x y x y -≤+≤≤-≤()()[]15322,1322x y x y x y -=++-∈故选：A.4．若，则（）5cos 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A B ．C ．D 23-23【答案】A【分析】令，则，由诱导公式可得结果.512πθα=-cos θ=sin sin 122ππαθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】令，则，且512πθα=-512παθ=+cos θ=sin sin cos 122ππαθθ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.5．函数在点处的切线与坐标轴围成的图形面积是（）()21f x x =1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．12B ．9C ．D ．3492【答案】D 【分析】先利用的导函数求出切线的斜率，即可求出解析式，即可求出截距，最后求出面积.()f x 【详解】由题，，，所以切线为，整理得()32f x x '=-1162f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭11624y x ⎛⎫-⋅-= ⎝-⎪⎭，易得切线的截距为和12，围成的图形为直角三角形，故所求面积为，1612y x -+=3413912242⨯⨯=故选：D 6．已知数列是等比数列，若，且数列的前n 项乘积，n 的最大值{}n a 912111,01a a a ⋅><<{}n a 1n T >为（）A ．10B ．11C ．20D ．21【答案】C【分析】由等比数列的性质可推出：，，可得结论.201T >211T <【详解】数列是等比数列，，{}n a 912111,01a a a ⋅><<，()()10119109111102022021T a a a a a a a a ⋅⋅=⋅=⋅=>，211911212122011a a a a T a a ⋅⋅⋅==< 所以使的n 的最大值为20.1n T >故选：C7．米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设是锐角,M N 的一边上的两定点，点是边边上的一动点，则当且仅当的外接圆与边ABC ∠BA P BC PMN ∆相切时，最大．若，点在轴上，则当最大时，点的坐标BC MPN ∠()()0,1,2,3M N P x MPN ∠P为A ．B．1,0)(1-C ．D．(1-±1,0)【答案】A【分析】设点的坐标为，求出线段的中垂线与线段的中垂线交点的横坐标，即可得P (,0)x MN MP 到的外接圆圆心的横坐标，由的外接圆与边相切于点，可知的外接圆圆PMN ∆PMN ∆BC P PMN ∆心的横坐标与点的横坐标相等，即可得到点的坐标．P P 【详解】由于点是边边上的一动点，且点在轴上，故设点的坐标为；P BC P x P (,0)a 由于，则直线的方程为：，点为直线与轴的交点，故点的坐()()0,1,2,3M N MN 1y x =+B MN x B 标为；由于为锐角，点是边边上的一动点，故；(1,0)-ABC ∠P BC 1a >-所以线段的中垂线方程为：；线段的中垂线方程为：；MN 1l 3y x =-+MP 2l 21122y ax a =-+故的外接圆的圆心为直线与直线的交点，联立，解得： PMN ∆1l 2l 231122y x y ax a =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩252(1)a x a +=+；即的外接圆圆心的横坐标为PMN ∆252(1)a a ++的外接圆与边相切于点，边在轴上，则的外接圆圆心的横坐标与点PMN ∆BC P BC x PMN ∆的横坐标相等，即，解得：或（舍）P 252(1)a aa +=+1a -1所以点的坐标为；P 1,0)-故答案选A【点睛】本题考查直线方程、三角形外接圆圆心的求解，属于中档题8．如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所M N 、ABCD AB CD 、BM x =MN BC 成的角为，则（）θA ．当时，随着的增大而增大2ND CN =θxB ．当时，随着的增大而减小2ND CN =θxC ．当时，随着的增大而减小2CN ND =θx D ．当时，随着的增大而增大2CN ND =θx 【答案】D【分析】分和两种情况，分别过作的平行线，可得直线与所作的2ND CN =2CN ND =N BC MN 平行线成的角即为角可得答案.θ【详解】当时，如下图作交于点，所以直线与直线所成的角即为2ND CN =//NF BC BD F MN BC 直线与直线所成的角，即，MN NF MNF θ∠=设正四面体的棱长为3，则，1,2CN BF FN ===可求得MF MN =所以在中，有，FNM cos [0,3])x θ==∈令，则，2187()37x f x x x -=-+()2227365)37(x x x x f x -+'-+=时，有正有负，函数有增有减，[0,3]x ∈()2227365)37(x x x x f x -+'-+=所以故A 与B 错误；当时，如下图作交于点，所以直线与直线所成的角即为直线2CN ND =//NE BC BD E MN BC 与直线所成的角，即.MN NE MNE θ∠=同样设正四面体的棱长为3，则，2,2CN BF FN ===可求得ME =AN BN ==在中，有ABN cos ABN ∠==所以，即2227237MN x x x x =+-⨯=-+MN =所以在中，有，MNE cos [0,3])x θ==∈令，则，295()37x f x x x -=-+()22251880(37)x x x x f x '-+--=<所以在定义域内单调递减，即增大，减小，即减小，从而增大，故D 正确，C 错()f x x ()f x cos θθ误.故选：D.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．用分层抽样法从1000名学生（男、女分别占60%、40%）中抽取100人，则每位男生被抽中的概率为；110B ．将一组数据中的每个数据都乘以3后，平均数也变为原来的3倍；C ．将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍；D ．一组数据，，……，的平均数是5，方差为1，现将其中一个值为5的数据剔除后，余1x 2x 100x 下99个数据的方差是．10099【答案】ABD【分析】根据分层抽样的计算规则分析A 选项，根据平均数和方差的计算公式分析BCD 选项.【详解】选项A ：因为1000名学生中男、女分别占60%和40%，根据分层抽样的计算规则，抽取的100人中男生占人，所以每位男生被抽中的概率.A 正确；10060%60⨯=601100060%10P ==⨯选项B ：平均数，将这组数据中每个数据都乘以3后1231(...)n x x x x x n =++++.B 正确；12312311(333...3)3(...)3n n x x x x x x x x x n n ++++=⨯++++=选项C ：方差，每个数据都乘以3后平均数变为原222221231[()()()...()]n s x x x x x x x x n =-+-+-++-来的3倍，方差.C 错误；222221231[(33)(33)(33)...(33)]9n x x x x x x x x s n -+-+-++-=选项D ：，因为的平均数是5，所以，新平均数123100,,,...,x x x x 123100...500x x x x ++++=，又因为的方差是1，所以1(5005)599x '=-=123100,,,...,x x x x ，提出一个值为5的数据后，余下99个2222212399[()()()...()(55)]100x x x x x x x x -+-+-++-+-=数的方差.D 正确.211001009999s =⨯=故选：ABD.10．若椭圆的左、右焦点分别为，，则下列b 的取值能使以为直径()222:108x y C b b +=>1F 2F 12F F 的圆与椭圆C 有公共点的是（）A ．B ．C ．D ．b =b =2b =b =【答案】ABC【分析】根据给定的条件，确定以为直径的圆半径，再结合椭圆的性质列出不等式求出b 的范12F F 围作答.【详解】令椭圆的半焦距为c ，则以为直径的圆的方程为，()222:108x y C b b +=>12F F 222x y c +=因圆与椭圆C 有公共点，则有，即，解得，显然选项222x y c +=22c b ≥228b b -≥02b <≤A ，B ，C 满足，D 不满足.故选：ABC11．已知某声音信号的波形可表示为，则下列叙述正确的是（）()2sin sin 2f x x x=+A ．在内有个零点B ．当时，单调递增()f x []0,2π30,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x C ．是的一个对称中心D ．的最大值为()2,0π()f x ()f x 3【答案】AC 【分析】当时，解方程，可判断A 选项；利用函数的单调性与导数的关系可判[]0,2x π∈()0f x =断B 选项；利用函数的对称性可判断C 选项；利用正弦型函数的有界性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当时，，[]0,2x π∈()()2sin 2sin cos 2sin 1cos 0f x x x x x x =+=+=可得或，可得，故A 对；sin 0x =cos 1x =-{}0,,2x ππ∈对于B 选项，当时，，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0cos 1x <<，()()()()22cos 2cos 222cos cos 122cos 1cos 1f x x x x x x x '=+=+-=-+当时，，此时函数单调递增，0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 当时，，此时函数单调递减，故B 错；,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 对于C 选项，，()()()()42sin 4sin 242sin sin 2f x x x x x f x πππ-=-+-=--=-⎡⎤⎣⎦ 故是的一个对称中心，C 对；()2,0π()f x 对于D 选项，因为，，可得，sin 1x ≤sin 21x ≤()2sin sin 23f x x x =+≤若函数在处取得最大值，()f x 0x x =3则，即，()0022,Z222x m m n x n ππππ⎧=+⎪⎪∈⎨⎪=+⎪⎩()0022,Z 4x m m n x n ππππ⎧=+⎪⎪∈⎨⎪=+⎪⎩这样的不存在，所以，的最大值不为，D 错.0x ()f x 3故选：AC.12．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，以表示没有出现连续3次正面向上的概率，则下列结n P 论正确的是（）A ．B ．378P =41516P =C ．当时，D ．2n ≥1n nP P +<()1231114248n n n n P P P P n ---=++≥【答案】ACD【分析】对于A ，利用对立事件和相互独立事件概率乘法公式能求出；对于B ，利用列举法能求3P 出；对于D ，分第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正4P n n n 1-面是相同的，和第次出现正面，第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次n n 1-n 2n -不出现连续三次正面是相同的，及第次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么n n 1-2n -前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，由此能求出；对于n 3n -(4)n P n C ，由时，单调递减，，得到当时，．4n {}n P 1234P P P P =>>2n 1n n PP +<【详解】当时，，A 正确；3n =3317128P ⎛⎫=-=⎪⎝⎭当时，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：4n =正正正正或正正正反或反正正正，，B 错误；431311616P ∴=-=要求，即抛掷n 次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论；n P 如果第次出现反面，n 那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，n n 1-这个时候不出现连续三次正面的概率是；∴112n P -⨯如果第次出现正面，第次出现反面，n n 1-那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，n 2n -这个时候不出现连续三次正面的概率是；∴214n P-⨯如果第次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，n n 1-2n -那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，n 3n -这时候不出现三次连续正面的概率是，∴318n P -⨯综上，，D 正确；123111(4)248n n n n P P P P n ---=⨯+⨯+⨯ 由上式可得，则112111248n n n n P P P P +--=++1121231111111122482248n n n n n n n n P P P P P P P P +-----⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知，所以，，故当时，．311216n n P P -=-0n P >131016n n n P P P +--=-<()4n ≥4n ≥1n n P P +<又，，，满足当时，，C 正确．121P P ==378P =41316P =2n ≥1n n P P +<故选：ACD ．三、填空题13．椭圆的焦距为2，则__________．2214x y m +=m =【答案】3或5【分析】本题首先可根据焦距为得出，然后将椭圆分为焦点在轴上以及焦点在轴上两种21c =x y 情况，分别进行计算即可得出结果．【详解】解：因为椭圆的焦距为，所以，2214x y m +=21c =若焦点在轴上，则有，解得；x 24m c =+5m =若焦点在轴上，则有，解得；y 24m c =+3m =综上所述，或．3m =5故答案为：3或5．14．如图，长方体的体积是120，E 为的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是1111ABCD A B C D -1CC _____.【答案】10.【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体的体积为120，1111ABCD A B C D -所以，1120AB BC CC ⋅⋅=因为为的中点，E 1CC 所以，112CE CC =由长方体的性质知底面，1CC ⊥ABCD 所以是三棱锥的底面上的高，CE E BCD -BCD 所以三棱锥的体积.E BCD -1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.15．已知在直角梯形中，，，若点在线段上，则ABCD 22AB AD CD ===90ADC ∠=︒M AC 的取值范围为__________．MB MD+【答案】【分析】由题意建立平面直角坐标系，写出各点坐标，设，求出()01AM AC λλ=≤≤，即可求其模长，利用二次函数的图像与性质求范围即可．()2224MB MD λλ+=--，【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，()00A ，()20B ，()12C ，()02D ，设，则，()01AM AC λλ=≤≤()2M λλ，故，，()22MB λλ=--，()22MD λλ=-- ，则，()2224MB MD λλ+=--，，MB MD +==当时，取得最大值为0λ=MB MD+ 当时，取得最小值为35λ=MB MD +的取值范围为MB MD∴+故答案为：.四、双空题16．在中，，，，的面积等于______，ABC AB AC >BC =60A =︒ABCsin B =边上中线的长为______．BC AM 【答案】 12【分析】根据面积公式得到，再根据余弦定理得到，解得，8AB AC ⋅=6AB AC +=4AB =，根据勾股定理逆定理得到，计算得到答案.2AC =90C =︒【详解】，11sin 22ABC S AB AC A AB AC =⋅=⋅=△8AB AC ⋅=根据余弦定理：，()22222cos 312BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅=+-⋅=故，，解得，，6AB AC +=AB AC >4AB =2AC =故，故，，.222AB AC BC =+90C =︒30B =︒1sin 2B =故AM ===故答案为：12【点睛】本题考查了面积公式，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.五、解答题17．已知集合，，为实数集.2{|760}A x x x =-+<22{|440}B x x x t t =-+-<R （1）当时，求及；5t =A B ⋃()R A B （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.x A ∈x B ∈t 【答案】（1），；（2）或.{|16}A B x x =-<< {|56}R A C B x x ⋂=< 2t - 6t【解析】（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A ，由解得集合，，然后利用并集，5t =B R C B 交集和补集的运算求解.（2）根据“”是“”的充分不必要条件，转化为求解.x A ∈x B ∈A B 【详解】（1）由得：，即，2760x x -+<16x <<16{|}A x x =<<当时，，则或，5t =15{|}B x x =<<-{|1R C B x x =- 5}x 所以，.{|16}A B x x =-<< {|56}R A C B x x ⋂=< （2）由“”是“”的充分不必要条件，则，x A ∈x B ∈A B ，22{|440}{|()·[(4)]0}B x x x t t x x t x t =-+-<=---<显然，4t t ≠-2t ∴≠①当时，即时，，4t t ->2t <{|4}B x t x t =<<-要满足，则，A B146t t ⎧⎨-⎩ 解得；2t - ②当时，即时，，4t t -<2t >{|4}B x t x t =-<<要满足，则，A B416t t -⎧⎨⎩ 解得；6t 综上：实数的取值范围为：或.t 2t - 6t 【点睛】本题主要考查了二次不等式的解法､集合的交､并､补的运算及集合间的包含关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知中，角所对的边分别为，满足．ABC ,,A B C a b c ，，()2cos cos a c B b C -=(1)求的大小；B (2)如图，，在直线的右侧取点，使得．当角为何值时，四边形AB AC =AC D 24AD CD ==D面积最大．ABCD 【答案】(1)3π(2)8【分析】（1）由正弦定理将中的边化为角，再结合正弦的两角和公式化简可(2)cos cos a c B b C -=求得，从而得解；1cos 2B =（2）由（1）可推得为等边三角形，在中，由余弦定理可求得，再根ABC ACD 22016cos AC D =-据和，可推出四边形的面积，1sin 2ACD S AD CD D =⋅ 1sin 2ABC S AB BC B=⋅△ABCD 8sin()3S D π=-最后由角和正弦函数的性质即可得解．(0,)D π∈【详解】（1）由正弦定理知，，sin sin sin a b cA B C ==，(2)cos cos a c B b C -= ，(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=即，2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B B C B C B C A =+=+=，，(0,),sin 0A A π∈≠ 1cos 2B ∴=，．(0,)B π∈ 3B π∴=（2）由（1）知，，3B π=，为等边三角形，AB AC = ABC ∴ 在中，由余弦定理知，ACD ，2222cos 164242cos 2016cos AC AD CD AD CD D D D =+-⋅=+-⨯⨯=-而，11sin 42sin 4sin 22ACD S AD CD D D D =⋅=⨯⨯=△，211sin sin 223ABC S AB BC B AC D π=⋅==-⋅四边形的面积，∴ABCD 4sin 8sin()3ACD ABCS S SD D D π=+=+=-△△，，，(0,)D π∈ (33D ππ∴-∈-2)3π当即时，取得最大值，为，∴32D -=ππ56D π=S 8故四边形面积的最大值为．ABCD 819．某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按，[)2,4，，分组，得到如图所示的频率分布直方图.[)4,6[)6,8[]8,10(1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若产品的质量指数在内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽[]8,10取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率.【答案】(1)6.4，5.6(2)815【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可；（2）求出6件产品中随机抽取2件的情况，再得出其中符合条件的情况，即可得出概率.【详解】（1）甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为；30.05250.15270.2290.12 6.4甲x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为.30.15250.1270.2290.052 5.6乙x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）（2）由题意可知，甲生产线的样品中优等品有件，乙生产线的样品中优等品1000.1220⨯⨯=有件.从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为a ，b ，c ，d ；从1000.05210⨯⨯=20642010⨯=+乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为E ，F .10622010⨯=+从这6件产品中随机抽取2件的情况有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，E ），（a ，F ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，d ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），（E ，F ），共15种；其中符合条件的情况有（a ，E ），（a ，F ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），共8种.故所求概率.815P =20．如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，，且P ABCD -90ABC BAD ∠=∠=︒2AD =，平面ABCD .1PA AB BC ===PA⊥（1）求PA 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）棱PD 上是否存在一点E ，满足？若存在，求AE 的长；若不存在，说明理由.90AEC ∠=︒【答案】（12）不存在，详见解析.【解析】（1）以AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式求出PA 与平面PCD 所成角的正弦值；A xyz -（2）根据空间向量夹角公式直接求解即可.【详解】（1），平面ABCD ，可以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 所在的直90BAD ∠=︒ PA ⊥∴线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，A xyz -()0,0,1P ()1,0,0B ，，从而，，.()1,1,0C ()0,2,0D ()0,0,1PA =- ()1,1,1PC =- ()0,2,1PD =-设平面PCD 的法向量为，则，(),,n a b c = 00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，取，得，，20a b c b c +-=⎧∴⎨-=⎩1a =1b =2c =平面PCD 的一个法向量，∴()1,1,2n =设直线PA 与平面PCD 的夹角为，θ则.sin cos ,PA θ=<（2），则，()01PE PD λλ=≤≤()0,2,1E λλ-，，()1,21,1CE λλ∴=---()0,2,1AE λλ=-若，则，此方程无解，90AEC ∠=︒()()222110AE CE λλλ⋅=-+-= 故在棱PD 上不存在一点E ，满足.90AEC ∠=︒【点睛】本题考查了利用空间向量夹角公式求线面角的正弦值，考查了利用空间向量夹角公式解决异面直线所成角为直角的问题，考查了数学运算能力.21．已知圆M ：的圆心为M ，圆N ：的圆心为N ，一动圆与22289(9x y ++=221(9x y -+=圆N 内切，与圆M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线.C (1)求曲线C 的方程；(2)已知点，直线l 不过P 点并与曲线C 交于A ，B 两点，且，直线l 是否过定点？(6,3)P 0PA PB ⋅=若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)()221393x y x -=≥(2)存在，点(12,6).-【分析】（1）结合条件和双曲线定义可得答案.（2）联立直线方程与曲线方程，结合韦达定理与，可得，0PA PB ⋅= 2218318720m mt t t +-+-=后通过分解因式可得之间关系，从而可得l 所过定点.m t ，【详解】（1）如图，设圆E 的圆心为，半径为r ，由题可得圆M 半径为，圆N 半径为(,)E x y 17313则，，所以，17||3EM r =+1||3EN r =-||||6||EM EN MN -=<由双曲线定义可知，E 的轨迹是以M ，N 为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，又.()()00，,M N -所以动圆的圆心E 的轨迹方程为，.22193x y -=(3)x （2）设直线l 的方程为，将直线方程与曲线E 方程联立，有：x my t =+，消去x 得，()221393x y x x my t⎧-=≥⎪⎨⎪=+⎩，222(3)290m y mty t -++-=由题直线与曲线有两个交点，则.230m -≠设，，其中，，由韦达定理有：.11(,)A x y 22(,)B x y 13x 23x 21212222933，mt t y y y y m m --+==--又，0PA PB ⋅= ()()11226363,，,PA x y PB x y =--=-- 则1212(6)(6)(3)(3)0.x x y y --+--=又，，则11x my t =+22x my t =+1212(6)(6)(3)(3)PA PB my t my t y y ⋅=+-+-+-- ()()()()22121216369m y y mt m y y t =++--++-+，22222(1)(9)2(63)(1245)(3)03m t mt mt m t t m m +----+-+-==-即，2218318720m mt t t +-+-=又，故或2221831872183(6)(12)(36)(612)m mt t t m mt t t m t m t +-+-=+---=+--+0=612t m =+，36t m =-+若，则直线l 的方程为，36t m =-+(3)6x m y =-+此时l 过点，与题意矛盾，(6,3)P 所以，36t m ≠-+故，612t m =+所以直线l 的方程为，(6)12x m y =++m ≠则直线l 恒过点(12,6).-【点睛】关键点点睛：本题涉及求动点轨迹及双曲线中的定点问题，（1）类问题常结合椭圆与双曲线定义思考；对于（2）问，难点为能将分解因式.221831872m mt t t +-+-22．已知函数在区间内存在极值点．()()()sin ln 1f x a x x a =-+∈R (1,0)-(1)求a 的取值范围；(2)判断关于x 的方程在内实数解的个数，并说明理由．()0f x =()1,π-【答案】(1)()1,+∞(2)实数解有三个，理由见解析【分析】（1）求出函数导数，讨论和，讨论导数的正负即可求解；1a ≤1a >（2）两次求导，根据零点存在性定理进行判断可以得出.【详解】（1）．()()1cos 101f x a x x x '=--<<+①当时，因为，所以．1a ≤0cos 1x <<()11011xf x x x '<-=<++所以在（－1，0）上单调递减，所以在（－1，0）上无极值点．()f x ()f x 故不符合题意．1a ≤②当a >1时，因为在（－1，0）上单调递增，在（－1，0）上单调递增，cos y a x =11y x =-+所以在（－1，0）上单调递增．()f x '又，，，()111,0a -∈-111cos 10f a a a a ⎛⎫⎛⎫'-=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()010f a '=->所以存在唯一的，使得．111,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()10f x '=当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以()11,x x ∈-()0f x '<()f x ()1,0x x ∈()0f x ¢>()f x 在（－1，0）内存在极小值点，满足题意．()f x 1x 综上，a 的取值范围是．()1,+∞（2）当时，单调递减．02x π<<()()2sin 11x f x a x ''=-++又，，所以存在唯一的，使得．()010f ''=>()24022f a ππ⎛⎫''=--< ⎪⎝⎭+00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00f x ''=当时，，单调递增；当时，，单调递减，00x x <<()0f x ''>()f x '02x x π<<()0f x ''<()f x '又，，所以存在唯一的，使得．()()0010f x f a ''>=->2022f ππ⎛⎫'=-< ⎪+⎝⎭0,2x πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f α'=当时，；当时，．()0,x α∈()0f x ¢>,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<又当时，恒成立，2x ππ≤<()0f x '<结合（1）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．()f x ()11,x -()1,x α(),απ又因为，，，，，所以在()()e 1sin e 10a a f a a ---=-+>()00f =()0f π<()10<f x ()0f α>()f x 内共有三个零点，方程在内的实数解有三个．()1,π-()0f x =()1,π-【点睛】关键点睛：本题考查含参函数的极值点和零点问题，解题的关键是利用存在性定理结合单调性判断导数的正负.。

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x 2021年高二上学期期末模拟试题二数学试题含答案
数学（理）
一、选择题（每小题5分，共60分．只有一项是符合题目要求的．）
1、等差数列中，,则等于( )
A ．2
B ．9
C ．18
D ．20
2、若，则下列不等式（1）,（2）,（3）,（4）中，正确的有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3、在中，且，则BC=( )
A ．
B ．3
C ．
D ．7
4、设; ,则的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5、在中，,则（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6设为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且，
则的面积是（）
A.1
B.
C.2
D.
7、等差数列的前n 项和记为，若的值为一确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
8、下列各式中最小值为2的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
9、若有负值，则常数a 的取值范围是（）
A ．
B ．
C ．
D ．或
10、给出平面区域为图中四边形ABOC 内部及其边界，目标函数为，若当且仅当时，目标函数z A ．
B ．
C ．
D ．
11、在R 上定义了运算“”： ;x 恒成立，则实数的取值范围是（）
A ．
B ．
C ．
D ． 12不成等比数列，则椭圆
E （）
A ．一定是“黄金椭圆”
B ．一定不是“黄金椭圆”
C ．可能是“黄金椭圆”
D ．可能不是“黄金椭圆”
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4个小题，共16分）
13、已知A （1，－2，11）、B （4，2，3）、C （x ，y ，15）三点共线，则x y =___________。

14、若成等比数列，其公比为2，则= 。

15、下列判断：
（1）命题“若则”与“若则”互为逆否命题；
(2)“”是“”的充要条件；
（3）“矩形的两条对角线相等”的否命题是假命题；
（4）命题“”为真命题，其中正确的序号是。

16、在中，若分别是的对边，,是方程的一根，则的周长的最小值是。

三、解答题（本大题共6个小题，共74分）
17．(本小题满分12分)已知命题：<,和命题：且为真，为假，求实数c的取值范围。

18．(本小题满分12分)在△ABC中，分别是A、B、C的对边，已知sinA,sinB,sinC成等比数列，且，求角A的大小及的值
19. (本小题满分12分)如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、
PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若∠PDA＝45︒，求EF与平面ABCD所成的角的大小．
20．（本小题满分12分）运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)
(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x2
360
)升，
司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值
21．(本小题满分12分)过点，斜率为的直线与抛物线交于两点A、B，如果弦的长度为。

⑴求的值；
⑵求证：（O为原点）。

．
22．(本小题满分14分)
在数列中，，当时，其前项和满足（Ⅰ）证明数列是等差数列；（Ⅱ）求和数列的通项公式；（Ⅲ）设，求数列的前项和.
xx 学年度高二上学期期末模拟试题二
理科数学试题一参考答案
一、选择
CBAAC AABDC CB
二、填空
13、—2 14、 15、（1）（3）(4) 16、
三、解答题
17．解：由不等式<,得，
即命题：，
所以命题：或，
又由，得，
得命题：
所以命题：或，
由题知：和必有一个为真一个为假。

当真假时：
当真假时：
故c 的取值范围是：或。

18．解：在△ABC 中，因为sinA,sinB,sinC 成等比数列，
所以sin Ｂ=sin A sinC 由正弦定理得
因为，所以即所以cosA=
所以A=
由正弦定理得2
b c b 1a bsin bsin a sin sin 3B B B A =====
19．解：证明：如图，建立空间直角坐标系A －xyz ，设AB ＝2a ，
BC ＝2b ，PA ＝2c ，则：A (0, 0, 0)，B (2a , 0, 0)，C (2a , 2b , 0)，
D (0, 2b , 0)，P (0, 0, 2c )
∵ E 为AB 的中点，F 为PC 的中点
∴ E (a , 0, 0)，F (a , b , c ) …………4分
（1）∵ → EF ＝(0, b , c )，→ AP ＝(0, 0, 2c )，→
AD ＝(0, 2b , 0)
∴ → EF ＝12 (→ AP ＋→
AD )
∴ → EF 与→ AP 、→
AD 共面
又∵ E ∉ 平面PAD
∴ EF ∥平面PAD ． …………6分
（2）∵ → CD ＝(-2a , 0, 0 )
∴ → CD ·→
EF ＝(-2a , 0, 0)·(0, b , c )＝0
∴ CD ⊥EF ． …………8分
（3）若∠PDA ＝45︒，则有2b ＝2c ，即 b ＝c ，
∴ → EF ＝(0, b , b )，→
AP ＝(0, 0, 2b )
∴ cos 〈→ EF ，→ AP 〉＝2b 22b ·2b
＝22 ∴ 〈→ EF ，→ AP 〉＝ 45︒
∵ → AP ⊥平面AC ，
∴ → AP 是平面AC 的法向量
∴ EF 与平面AC 所成的角为：90︒－〈→ EF ，→ AP 〉＝ 45︒． …………12分
20．解：(1)行车所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x ，x ∈[50,100]．
所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2340x ＋1318
x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝2340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2340x ＝1318
x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．
当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．
2１．解⑴直线AB 的方程为，联立方程,消去y 得,.
设A (),B (),得212122(4),16,4(4)640x x p x x p +=+=∆
=+->
AB === 解得
⑵
121212121212(4)(4)24()16216412160x x y y x x x x x x x x ∴+=+-+-+=-++=⨯-⨯+=
22．解：（Ⅰ）∵
∴ 即
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列。

（Ⅱ）∵ ∴
∴当时，
因为不满足上式
所以
（Ⅲ）∴∴
∴。