2019年-2015年五年全国高考解答题专题概率统计-教师用卷

2019年-2015年年年年年年年年年年年年概率统计知识点总结：考试内容：随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验． 考试要求：（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。

（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．（4）会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率． §11. 概率 知识要点1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率.3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：. ②对立事件：两个事件必有一个发生．．．．．．．．．．的互斥事件．．．．．叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生. 注意：i.对立事件的概率和等于1：. ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A ·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A ：“抽到老K ”；B ：“抽到红牌”则 A 应与B 互为独立事件[看上去A 与B 有关系很有可能不是独立事件，但.又事件AB 表示“既抽到老K 对抽到红牌”即“抽到红桃老K 或方块老K ”有，因此有. 推广：若事件相互独立，则. 注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与与B ，与也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：.4. 对任何两个事件都有考试内容：抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．n1n m P(A)=)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ 1)A P(A )A P(P(A)=+=+261P(B)P(A),215226P(B),131524P(A)=⋅====261522B)P(A ==⋅)B P(A P(B)P(A)⋅=⋅n 21,A ,,A A )P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅A B ,A B kn k k n n P)(1P C (k)P --=)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+互斥对立（2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差． 一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为：ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：[其中] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B （n ·p ），其中n ，p 为参数，并记.⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为，事A 不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列.我们称ξ服从几何分布，并记，其中5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N -M 件正品中取n -k 件的取法数，如果规定＜时，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n ≤a+b ），则次品数ξ的分布列为.b a +=ξη)(x f )(ξf ,,,,21i x x x ),2,1( =i x p x P ==)(ξ121i ]5,0[∈ξξkn k k n qp C k)P(ξ-==p q n k -==1,,,1,0 ξp)n b(k;q p C kn k k n ⋅=-k =ξk A q )P(A ,A k k =)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-== ))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-== ),3,2,1(1==-k p q k p q p)g(k,1k -= 3,2,1.1=-=k p q )N n n(1≤≤)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--m r 0C rm =n.,0,1,k C C C k)P(ξn ba kn bk a =⋅==+-⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n 次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即～.[我们先为k 个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量的数学期望： ①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ⑵单点分布：其分布列为：. ⑶两点分布：，其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： 其分布列为～.（P 为发生的概率）⑸几何分布： 其分布列为～.（P 为发生的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差. 显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量的方差.（a 、b 均为常数）⑵单点分布： 其分布列为 ⑶两点分布： 其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： ⑸几何分布：5. 期望与方差的关系.⑴如果和都存在，则⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则⑶期望与方差的转化： ⑷（因为为一常数）. 三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x 轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为ηb a +n b a )(+k)(η=kn k k n b a C -n ,0,1,2,k ,)ba a (1)b a a (C b)(a ba C k)P(ηkn k k n nkn k k n =+-+=+==--η)(b a a n B +⋅k n C k)P(ηk)P(ξ=≈=n n 2211b a +=ξηb aE b a E E +=+=ξξη)(0=a b b E =)(1=a b E b E +=+ξξ)(0=b ξξaE a E =)(c c E =⨯=1ξc P ==)1(ξp p q E =⨯+⨯=10ξ∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξξ),(p n B ξpE 1=ξξ),(p k q ξ),2,1()( ===k p x P k k ξ +-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ0≥ξD σξξσξ.D =ξD b a +=ξηξξηD a b a D D 2)()(=+=0=ξD p P ==)1(ξpq D =ξnpq D =ξ2p q D =ξξE ηE ηξηξE E E ±=±)(ηηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)(22)(ξξξE E D -=)()()(ξξξξE E E E E -=-ξE 0=-=ξξE E ),[b a a x =b x =图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“” 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：. （为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：.⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线对称.③当时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布. 即～有，求出，而P （a ＜≤b ）的计算则是.注意：当标准正态分布的的X 取0时，有当的X 取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通常用表示，且有.4.⑴“3”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则 ξ落在内的概率为99.7％ 亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.)(x f ),(+∞-∞∈x 222)(21)(σμσπ--=x ex f σμ,,R x ∈0 σσμ,ξ),(2σμN )(x f ),(2σμN ξ),(2σμN 2,σξμξ==D E μ=x μ=x x μx μμσσσ)(21)(22+∞-∞=-x ex x πϕξ)1,0(N )()(x P x ≤=ξϕ)(1)(x x --=ϕϕξ)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ )(x Φ5.0)(=Φx )(x Φ5.0)( x Φ5.00793.0)5.0(=-Φσμσμ-5.0ξ),(2σμN )(x F )σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕσ),(2σμN a )3,3(σμσμ+-)3,3(σμσμ+-∈a )3,3(σμσμ+-∉a σ),(2σμN )3,3(σμσμ+-)3,3(σμσμ+-S 阴=0.5S a =0.5+S历年真题：1.（2019年全国I卷第21题）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得−1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得−1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i=0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，p i=ap i−1+bp i+cp i+1(i=1,2，…，7)，其中a= P(X=−1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假设α=0.5，β=0.8．(i)证明：{p i+1−p i}(i=0,1，2，…，7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．【答案】(1)解：X的所有可能取值为−1，0，1．P(X=−1)=(1−α)β，P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β)，P(X=1)=α(1−β)，(2)(i)证明：∵α=0.5，β=0.8，∴由(1)得，a=0.4，b=0.5，c=0.1．因此p i=0.4p i−1+0.5p i+0.1p i+1(i=1,2，…，7)，故0.1(p i+1−p i)=0.4(p i−p i−1)，即(p i+1−p i)=4(p i−p i−1)，又∵p1−p0=p1≠0，∴{p i+1−p i}(i=0,1，2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列；(ii)解：由(i)可得，p8=(p8−p7)+(p7−p6)+⋯+(p1−p0)+p0=p1(1−48)1−4=48−13P1，∵p8=1，∴p1=348−1，∴P4=(p4−p3)+(p3−p2)+(p2−p1)+(p1−p0)+p0=44−13p1=1257．P4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为P4=1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．【解析】本题主要考查数列和函数的应用，考查离散型随机变量的分布列，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．(1)由题意可得X的所有可能取值为−1，0，1，再由相互独立试验的概率求P(X=−1)，P(X=0)，P(X=1)的值，则X 的分布列可求；(2)(i)由α=0.5，β=0.8结合(1)求得a ，b ，c 的值，代入p i =ap i−1+bp i +cp i+1，得到(p i+1−p i )=4(p i −p i−1)，由p 1−p 0=p 1≠0，可得{p i+1−p i }(i =0,1，2，…，7)为公比为4，首项为p 1的等比数列； (ii)由(i)可得，p 8=(p 8−p 7)+(p 7−p 6)+⋯+(p 1−p 0)+p 0，利用等比数列的前n 项和与p 8=1，得p 1=348−1，进一步求得p 4=1257.P 4表示最终认为甲药更有效的概率，结合α=0.5，β=0.8，可得在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为P 4=1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．2. （2019年全国II 卷第18题）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束． (1)求P(X =2)；(2)求事件“X =4且甲获胜”的概率．【答案】解：(1)设双方10：10平后的第k 个球甲获胜为事件A k (k =1,2，3，…)，则P(X =2)=P(A 1A 2)+P(A 1−A 2−)=P(A 1)P(A 2)+P(A 1−)P(A 2−)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5；(2)P(X =4且甲获胜)=P(A 1−A 2A 3A 4)+P(A 1A 2−A 3A 4)=P(A 1−)P(A 2)P(A 3)P(A 4)+P(A 1)P(A 2−)P(A 3)P(A 4)=(0.5×0.4+0.5×0.6)×0.5×0.4=0.1．【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．(1)设双方10：10平后的第k 个球甲获胜为事件A k (k =1,2，3，…)，则P(X =2)=P(A 1A 2)+P(A 1−A 2−)=P(A 1)P(A 2)+P(A 1−)P(A 2−)，由此能求出结果；(2)P(X =4且甲获胜)=P(A 1−A 2A 3A 4)+P(A 1A 2−A 3A 4)=P(A 1−)P(A 2)P(A 3)P(A 4)+P(A 1)P(A 2−)P(A 3)P(A 4)，由此能求出事件“X =4且甲获胜”的概率．3. （2019年全国III 卷第17题）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A 、B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70． (1)求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)． 【答案】解：(1)C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”， 根据直方图得到P(C)的估计值为0.70．则由频率分布直方图得：{a +0.20+0.15=0.70.05+b +0.15=1−0.7, 解得乙离子残留百分比直方图中a =0.35，b =0.10． (2)估计甲离子残留百分比的平均值为：x 甲−=2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值为：x 乙−=3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15=6．【解析】本题主要考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．(1)由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中a ，b ．(2)利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均值．4. （2018年全国I 卷第20题）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p <1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p 0．(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． (i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； (ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【答案】解：(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，则f(p)=C 202p 2(1−p)18，∴f ′(p)=C 202[2p(1−p)18−18p 2(1−p)17]=2C 202p(1−p)17(1−10p)，令f ′(p)=0，得p =0.1，当p ∈(0,0.1)时，f ′(p)>0，f(p)单调递增，当p ∈(0.1,1)时，f ′(p)<0，f(p)单调递减， ∴当p =0.1时，f(p)取得极大值，也为最大值，则f(p)的最大值点p 0=0.1． (2)(i)由(1)知p =0.1，令Y 表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y ～B(180,0.1)， X =20×2+25Y ，即X =40+25Y ，∴E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25×180×0.1=490．(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵E(X)=490>400，∴应该对余下的产品进行检验．【解析】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)求出f(p)=C202p2(1−p)18，则f′(p)=C202[2p(1−p)18−18p2(1−p)17]=2C202p(1−p)17(1−10p)，利用导数性质能求出f(p)的最大值点p0=0.1．(2)(i)由p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B(180,0.1)，再由X=20×2+ 25Y，即X=40+25Y，能求出E(X)．(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，E(X)=490>400，从而应该对余下的产品进行检验．5.（2018年全国II卷第18题）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：ŷ=−30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：ŷ=99+17.5t．(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】解：(1)根据模型①：ŷ=−30.4+13.5t，计算t=19时，ŷ=−30.4+13.5×19=226.1；利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；根据模型②：ŷ=99+17.5t，计算t=9时，ŷ=99+17.5×9=256.5；．利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；(2)模型②得到的预测值更可靠；因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以，利用模型②的预测值更可靠些．【解析】(1)根据模型①计算t=19时y^的值，根据模型②计算t=9时y^的值即可；(2)从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较，即可得出模型②的预测值更可靠些．本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．6.（2018年全国III卷第18题）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】解：(1)根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m=79+812=80；由此填写列联表如下：超过m不超过m总计第一种生产方式15520第二种生产方式51520总计202040(3)根据(2)中的列联表，计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40×(15×15−5×5)220×20×20×20=10>6.635，∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．【解析】本题考查了茎叶图、中位数、2×2列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；(2)根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；(3)列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．7.（2017年全国I卷第19题）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ−3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ−3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(ⅱ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116∑x i16i=1=9.97，s=√116∑(16i=1x i−x)2=√116(∑x i216i=1−16x2)≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数x作为μ的估计值û，用样本标准差s作为σ的估计值σ̂，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(û−3σ̂,û+3σ̂)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=0.9974，0.997416≈0.9592，√0.008≈0.09．【答案】解：(1)由题可知尺寸落在(μ−3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974，则落在(μ−3σ,μ+3σ)之外的概率为1−0.9974=0.0026，因为P(X=0)=C160×(1−0.9974)0×0.997416≈0.9592，所以P(X≥1)=1−P(X=0)=0.0408，又因为X～B(16,0.0026)，所以E(X)=16×0.0026=0.0416；（2）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(û−3σ̂,û+3σ̂)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(û−3σ̂,û+3σ̂)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(ⅱ)由x=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为û=9.97，σ的估计值为σ̂=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(û−3σ̂,û+3σ̂)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(û−3σ̂,û+3σ̂)之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为：1 15(16×9.97−9.22)=10.02，因此μ的估计值为10.02．∑x i216i=1=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除(û−3σ̂,û+3σ̂)之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为：115(1591.134−9.222−15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为√0.008≈0.09．【解析】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．(1)通过P(X=0)可求出P(X≥1)=1−P(X=0)=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；(2)(ⅱ)由(1)及知落在(μ−3σ,μ+3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；(ⅱ)通过样本平均数x、样本标准差s估计û、σ̂可知(û−3σ̂,û+3σ̂)=(9.334,10.606)，进而需剔除(û−3σ̂,û+3σ̂)之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．8.（2017年全国II卷第18题）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；附：K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】解：(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P(A)=P(BC)=P(B)P(C)，则旧养殖法的箱产量低于50kg：(0.012+0.014+0.024+0.034+ 0.040)×5=0.62，故P(B)的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66，故P(C)的估计值为，则事件A的概率估计值为P(A)=P(B)P(C)=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；≈15.705，由15.705>6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；则K2=200(62×66−38×34)2100×100×96×104(3)由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：(0.004+0.020+0.044)×5=0.34，箱产量低于55kg的直方图面积为：(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5，≈52.35(kg)，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+0.5−0.340.068新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35(kg)．【解析】(1)由题意可知：P(A)=P(BC)=P(B)P(C)，分布求得发生的频率，即可求得其概率；(2)完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据频率分布直方图即可求得其中位数．本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．9.（2017年全国III卷第18题）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；。