工程数学(13)分段低次插值

分段三次Hermite插值多项式H
h 3
(
x
)应满足条件：
(1)
H
h 3
(
x
)

C
'[a
,
b];
(2)在局部的每个小区间[ xi , xi1 ]上是三次多项式；
(
3)
H
h 3
(
xi
)

yi
,
(
H
h 3
(
xi
)),

yi, (i

0,1,L
, n)。
分段三次Hermite插值多项式存在唯一
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过三点 xi-1，xi，xi+1的二次插值误差为：
R2 ( x)

e x p2 ( x)
e 6
( x xi1 )( x xi )( x xi1 )
e
max e x t(t 2 1) h3 4x4 max t(t 2 1) h3
6 e4 2 3 h3
如
P6(0.96)=0.4233 P10(0.96)=1.80438 f(0.96)=0.0416
chzh00.m
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数值稳定性 从计算的数值运算误差看,对于等距节点的差分
形式,由于高阶差分的误差传播,函数值的微小变化都 将使插值产生很大的误差.
龙格(Runge)现象表明插值多项式序列不收敛， 实际上，严格的理论分析可知插值多项式序列确是不 收敛的，而且高阶插值还是不稳定的。
用线性插值求f ( xt )的近似值。
解 : 设x3 xt x4
x0 x1 x2 x3 x4 x5 ... xn
y0 y1 y2 y3 y4 y5 ... yn
xt 取两点 x3、x4,构造插值多项式
L1 (
x)

l (1) 3
(
x)
y3

l (1) 4
(
x)
y4
,
f ( xt ) L1( xt )
x [ xi1, xi ] x [ xi , xi1] x [ xi1 , xi1 ]

0

n
(
x
)

（x

xn）（
x xn

xn1 xn1
）2
x [x0, xn1] x [xn1, xn]
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在x [ xi , xi1 ]上的表达式
H
h 3
x0 x0
）( x x0

x1 x1
)2
0
i 1, 2,L ,(n 1)时；
x [ x0 , x1] x [ x1 , xn ]

(1

2
x xi xi1 xi
)(
x xi

xi 1 xi 1
)2
x [ xi1, xi ]
ai
(x)


(1
xi

xi 1
lih (
x)


x xi

xi 1 xi 1

0

x [ xi1 , xi ] x [ xi , xi1]
其余
i 1, 2, ..., n 1
l
h i
(
x
)
x0 … xi-1 xi xi+1 工…程数x学n
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0
lnh ( x)

x
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例：考虑构造一个函数f ( x) cos x的等距节点函数表，
要使分段线性插值的误差不大于 1 104，最大步 2
长h应取多大？
解：R

h2 max
f ''( x)
8 axb
f ''( x) cos x, | f ''( x) | 1
| R | h2 1 104 82
h 2102
最大步长h应取0.02.
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二.分段二次插值与分段三次插值
例:已知等距节点数据表
xi x0 x1 ... xn yi y0 y1 ... yn
用分段三次插值求f ( xt )的近似值。
解 : 设x3 xt x4
x0 x1 x2 x3 x4 x5 ... xn y0 y1 y2 y3 y4 y5 ... yn
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因此，实践上作插值时一般只用一次、二次 最多用三次插值多项式。
那么如何提高插值精度呢？ 因此实际应用中常采用分段低次插值。 （1）分段线性插值 （2）分段二次插值与分段三次插值（略） （3）分段Hermite插值（略） (4) 分段三次样条插值
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一、分段线性插值多项式
(2) (xi )= yi , i=0,1,2,…,n (3) (x)在区间[a , b]上连续; 则称(x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值多项式。
分段线性插值问题的解存在唯一.
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2.分段线性插值函数的表达式
由定义， (x)在每个子区间[xi ,xi+1](i=0,1,2,,n-1)
2.分段三次Hermite插值的表达式
分段三次Hermite插值多项式的一般形式
n
n
H
h 3
(
x
)

i ( x) yi
i ( x) y'i
i0
i0
i ( x)是对应于第i个节点函数的基函数,
i ( x)是对应于第i个节点导数的基函数,
i ( x)应满足:
(1)分段三次多项式，
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3.分段线性插值函数的余项
定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x) ， 且| f″(x)| ≤m2, 记： h = max |xi+1-xi|,就有估计：
|R(x)| =|f(x)- (x) |≤m2h2/ 8 , x∈[a, b]。
注意: h随分段增多而减少，因此用分段插值提高精 度是很好的途径.
1.问题的提法
定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b,
的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数(x)满足条件 (1) (x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是线
性插值多项式;
是否有
lim
n
Pn
(
x
)

f (x)，即要讨论收敛性问题。
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龙格(Runge)现象
插值节点的增多,尽管使插值多项式在更多的插
值节点上与函数 f(x) 的值相等,但在两个节点之间
Pn(x)不一定能很好地逼近 f(x) , 有时误差会大得惊人, 著名的龙格(Runge)现象证实了这个观点.

2
x xi xi1 xi
)(
x xi

xi 1 xi 1
)2
x [xi , xi1]

0
x [ xi1, xi1]
0
an (
x)

（1

2
x xn xn1 xn
）（
x xn1 xn xn1
）2
x [ x0 , xn1] x [xn1, xn ]
f (x)
H
h 3
(
x
)

h4 4!24
max |
例:1901年龙格(Runge) 给出一个例子:
对于函数f
(x)

1
1 25 x2
(1

x

1), 取等距节点
xk

1
k n
(即将区间[1, 1]进行n等分), 得到
n
P n( x) l j( x) y j
j0
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插值多项式情况，见图:取n=6和n=10 从图中可见， P10(x)仅在区间[-0.2,0.2]内能较好地 逼近f(x),而在其于位置, P10(x)与f(x)的值相差很大, 越靠近 端点,近似的效果越差.对于等距节点,高次多 项式插值发生的这种现象称为龙格现象.
i ( x)应满足:
(1)分段三次多项式，
(2)
i
(
x
j
)


ij
,
' i
(
x
j
)

0，
(2)
i
(
x
j
)

0,

' i
(
x
j
)


，
ij
(i, j 0,1, 2,L , n)
(i, j 0,1, 2,L , n)
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具体形式如下：
0
(
x)

（1

2
x x1

（2）lih( x j ) ij

1 0
i j i j
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分段线性插值基函数lih( x)的具体形式为Leabharlann l0h(x)

x x0

x1 x1
0
x [x0 , x1] 其余
l0h ( x )
x0 x1 … xi xi+1 ,,, xn
x xi1