1.7 分段插值法

我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0，1，2，…，n) 上的n次插值多项式Pn (x) 的余项
f(n 1 )()n
R (x )f(x ) P n (x )(n 1 )!i 0(x x i)
设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可 知，当f(x)充分光滑时时，余项随n增大而趋于0的，这 说明可用增加节点的方法达到这个目的，那么实际是这 样吗？
这种插值多项式
当节点增加时反而不 能更好地接近被插值 函数的现象，称为龙 格现象。
上述现象告诉我们用高次插值多项式是 不妥当的，从数值计算上可解释为高次插 值多项式的计算会带来舍入误差的增大， 从而引起计算失真。因此，实践上作插值 时一般只用一次、二次最多用三次插值多 项式。
那么如何提高插值精度呢？采用分段 插值是一种办法。
龙格(Runge)给出的一个例子：
［例６］ 给定
(x∈［-5,5］)。
取等距节点xi=-5+i(i=0,1,…,10), 试建立插值 多项式L10(x), 并作图形, 观察L10(x)对f(x)的 逼近效果。
图1-8 例6的图形
从图中，还可看见， 在0附近插值效果是 好的，即余项较小， 另一种现象是插值多 项式随节点增多而振 动更多。
1.7 分段插值法
1，多项式插值的问题
我们已经知道插值有多种方法： Lagrange 插值、 Newton插值、Hermit 插值 等多种方式。插值的目的就是数值逼近的 一种手段，而数值逼近，为得是得到一个 数学问题的精确解或足够精确的解。那么， 是否插值多项式的次数越高，越能够达到 这个目的呢？现在，我们来讨论一下这个 问题。
则称(x)是f(x)在[a ,b]上的分段m次插值多项式。
m=1称为分段线性插值 m=2称为分段抛物线插值
分段线性插值的构造：
由定义， (x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1) 上是一次插值多项式;
(x ) y ix x i x x ii 1 1 y i 1x x i 1 x x ii x i, x x i 1
局部性 插值的光滑性不高
本节主要内容
高次插值的龙格现象 分段插值的概念 分段线性插值、抛物插值 分段三次埃尔米特插值 分析分段插值的余项、收敛性
实际上，上面介绍的分段低次插值，虽然具有计 算简便，收敛性有保证，数值稳定性又好且易在 计算机上实现等优点，但它却不能保证整条曲线 的光滑性，从而不能满足某些工程技术上的要求， 从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设 计的需要而发展起来的样条插值（spline)方法， 既保留了分段低次插值的各种优点，又提高了插 值函数的光滑性，在许多领域显得越来越广泛的 应用。
若用插值基函数表示，则在整个区间上为
n
Ih(x)
fjlj (x)
j0
分段线性插值的余项：
定理5：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x) ，且| f″(x)| ≤m2, 记： h = max |xi+1-xi|,就有估计：
|f(x)- (x) |=|R(x)| ≤m2h2/8， x∈[a, b]。
分段线性插值曲线图：
y=f(x)
Y
x0
x1
x2
…
xn X
例：设
在[0，5]上取等
距节点 x i 0 i(i 0 ,1 , ,5 )求分段插 值函数，及 f (4.5) 近似值
解
yi
1
1 x2
1.00000
0.50000
0.20000
0.10000
0.05882
0.03846
证明：由Hermite余项公式，当x∈[xi, xi+1]时 |f(x)- (x) |=|R(x)| = |f (4)()(x-xi)2(x- xi+1 )2|/4! ≤m4max|(x-xi)2(x-xi+1)2|/24≤m2h2/384，证
毕。
分段插值法优缺点
一种显示算法，算法简单，收敛性能得到 保证
注意到h随分段增多而减少，因此用分段法提高精度 是很好的途径. 证明：由Lagrange 余项公式，当x∈[xi, xi+1]时
|f(x)- (x) |=|R(x)| = |f″()(x-xi)(x- xi+1 )|/2! ≤m2max|(x-xi)(x-xi+1)|/2≤m2h2/8，
上式右端与小区间的位置无关，证毕。
.
xkx1xkxk
2(xxk1)yk1
分段三次Hermite插值的误差估计
定理6：设f(x)在[a,b]上有四阶连续导数f（4） (x) ，且| f (4)(x) | ≤m4, 记： h = max |xi+1-xi|,就有估计：
|f(x)- (x) |=|R(x)| ≤m4h4/384， x∈[a, b]。
3，分段插值定义：
设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在[a,b]上节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b,
的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数(x)满足条 件
(1) (x)在区间[a , b]上连续; (2) (x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是 次数为m的多项式;
f(x)L2(x)k i i1 1ykjj i ik1 1((x xk i x xji))
这种分段的低次插值叫分段二次插 值，在几何上就是用分段抛物线代 替y=f(x)，故分段二次插值又称分段 抛物插值。
4，分段三次插值
考虑到插值曲线的光滑度，主要讨论 分段 三次埃尔米特插值，即 假定在每个节点xi上给出了函数值yi和导数 值 y'i 。
f( 4 .5 ) I h ( 4 .5 ) 0 .0 5 8 8 2 l4 ( 4 .5 ) 0 .0 3 8 4 6 l5 ( 4 .5 ) 0 .0 5 8 8 2 0 .5 0 .0 3 8 4 6 0 .5 0 .0 4 8 6 4
精确值为 f(4.5)0.04706。
分段二次插值即：选取跟节点x最近 的三个节点xi-1,xi, xi+1进行二次插值， 即在区间[xi-1, xi+1]，取：
在每个小区间[xk , xk1] 上是Hermite三次多项
式，由Hermite三次插
2
值子多区项间式[x表k ,达xk式1]上得的在12xxk xxkk 11yk1xxk xxkk 11(xxk)yk
表达式为
2
2
S3(x) x x k x x kk 1 1 12xk x 1 xk xk yk xk x 1 xk xk
分段线性插值基函数为：
xi1 x[i1,i](i0)
li(x)(xi1) x[i,i1](i5)
0
x[0,i1) (i1,5]
分段线性插值函数为：
Ih (x ) l0 (x ) 0 .5 0 0 0 0 l1 (x ) 0 .2 0 0 0 0 l2 (x ) 0 .1 0 0 0 0 l3 (x ) 0 .0 5 8 8 2 l4 (x ) 0 .0 3 8 4 6 l5 (x )