【南方新课堂】2015年高考数学(理)总复习课时检测：第6章 第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式]
2019年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科)作业及测试：课时作业 专题六立体几何含解析
专题六 立体几何 第1课时1．(2015年新课标Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图Z61，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图Z61A.18B.17C.16D.152．如图Z62，方格纸上正方形小格的边长为1，图中粗实线画出的是由一个正方体截得的一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )图Z62A.163 B.323 C.643D ．32 3．某几何体的三视图如图Z63，则该几何体的体积为( )图Z63A.23B.43C.83D.163 4．(2016年河北“五校联盟”质量监测)某四面体的三视图如图Z64，则其四个面中最大的面积是( )图Z64A ．2B ．2 2 C. 3 D ．2 35．已知一个几何体的三视图如图Z65，则该几何体的体积为( )图Z65A ．8 B.223 C.233D ．76．点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为( )A ．7π B．14π C.72π D.714π37．(2013年新课标Ⅰ)如图Z66，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器厚度，则球的体积为( )图Z66A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3C.1372π3 cm 3D.2048π3cm 38．(2016年北京)某四棱柱的三视图如图Z67，则该四棱柱的体积为________．图Z679．球O 半径为R ＝13，球面上有三点A ，B ，C ，AB ＝12 3，AC ＝BC ＝12，则四面体OABC 的体积是( )A ．60 3B ．50 3C ．60 6D ．50 610．如图Z 68，已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是( )图Z68A.7π4 B ．2π C.9π4D ．3π 11．(2017年广东茂名一模)过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB ，AC ，AD ，且两两夹角都为60°，若球半径为R ，则△BCD 的面积为____________．12．已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于________．第2课时1．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30° B．45° C．60° D．90° 2．(2016年天津模拟)如图Z69，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：图Z69①BD ⊥AC ；②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC . 其中正确的是( )A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④3．三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等，且长各为2，m ，n ，其中m 2＋n 2＝6，则三棱锥体积的最大值为( )A.33B.12C.8 327D.234．(2016年辽宁葫芦岛统测)已知四棱锥P ABCD 的五个顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面PAD 垂直于平面ABCD ，在△PAD 中，PA ＝PD ＝2，∠APD ＝120°，AB ＝2，则球O 的外接球的表面积等于( )A ．16π B．20π C．24π D．36π5．在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，点A ，F 折起后分别为点A ′，F ′，得到四棱锥A ′BCDE .给出下列几个结论：①A ′，B ，C ，F ′四点共面； ②EF ′∥平面A ′BC ；③若平面A ′DE ⊥平面BCDE ，则CE ⊥A ′D ； ④四棱锥A ′BCDE 体积的最大值为2，其中正确的是________(填上所有正确的序号)．6．(2017年广东梅州一模)如图Z610所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中∠BAE ＝∠GAD ＝45°，AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：BD ⊥平面ADG ；(2)求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．图Z6107．(2017年广东广州二模)如图Z611，ABCD是边长为a的菱形，∠BAD＝60°，EB ⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝3a.(1)求证：EF⊥AC；(2)求直线CE与平面ABF所成角的正弦值．图Z6118．(2017年广东揭阳一模)如图Z612，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B ＝E，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD；(1)求证：BD⊥平面A1ACC1；(2)若AB＝1，且AC·AD＝1，求二面角BA1DB1的余弦值．图Z612专题六 立体几何 第1课时1．D 解析：由三视图，得在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，截去四面体A A 1B 1D 1，如图D164，图D164设正方体棱长为a ，则111-A A B D V ＝13×12a 3＝16a 3.则剩余几何体体积为a 3－16a 3＝56a 3.所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.故选D.2．B 解析：几何体为如图D165所示的正方体中的三棱锥E BB 1C (E 为AA 1的中点)，它的体积为13×12×4×4×4＝323.故选B.图D165 图D1663．B 解析：由三视图知对应的几何体为如图D166所示的正方体中的三棱锥P ABC ，其中PC ⊥平面PAB ，PA ＝AB ，PC ＝PB ＝2，A 到PB 的距离为2，故该几何体的体积为13×12×2×2×2＝43.故选B.4．D 解析：如图D167，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中还原出三视图的直观图，其是一个三个顶点在正方体的右侧面、一个顶点在左侧面的三棱锥，即D 1BCB 1，其四个面的面积分别为2,2 2，2 2，2 3.故选D.图D1675．D 解析：由三视图可知该几何体是一个由棱长为2的正方体截去两个三棱锥A A 1PQ 和D PC 1D 1后剩余的部分，如图D168，其中Q 是棱A 1B 1的中点，P 是A 1D 1的中点，所以该几何体的体积为V ＝8－13×12×1×1×2－13×12×1×2×2＝7.故选D.图D1686．B 解析：三棱锥A BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，长方体的对角线长为其外接球的直径，所以长方体的对角线长是12＋22＋32＝14，它的外接球半径是142，外接球的表面积是4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1422＝14π.故选B.7．A 解析：如图D169，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)，BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)．设球的半径为R cm ，则R 2＝OM 2＋MB 2＝(R －2)2＋42，∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝500π3(cm 3)．图D1698.32解析：由已知的三视图，得该几何体上部是一个以俯视图为底面的四棱柱，其高为1，故该四棱柱的体积V ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝32.9．A 解析：设△ABC 外接圆半径为r ，由AB ＝12 3，AB ＝BC ＝12，得A ＝B ＝30°，C ＝120°.所以2r ＝12 3sin 120°＝24.解得r ＝12.则O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝132－122＝5.又S △ABC ＝12×12×12×sin 120°＝36 3，所以V O ABC ＝13×36 3×5＝603.故选A.10．C 解析：根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，知经过点E 的球O 的截面与OE 垂直时截面圆的半径最小，相应的截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．设正三角形ABC 的中心为O 1，连接O 1A ，连接O 1O ，O 1C ，OC ，∵O 1是正三角形ABC 的中心，A ，B ，C 三点都在球面上，∴O 1O ⊥平面ABC .结合O 1C ⊂平面ABC ，可得O 1O ⊥O 1C .∵球的半径R ＝2，球心O 到平面ABC 的距离为1，∴O 1O ＝1.∴Rt △O 1OC 中，O 1C ＝R 2－O 1O 2＝ 3.又∵E 为AB 的中点，△ABC 是等边三角形．∴O 1E ＝AO 1sin 30°＝32.∴OE ＝OO 21＋O 1E 2＝72.过E 作球O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的半径r ＝R 2－OE 2＝32.可得截面面积为S ＝πr 2＝94π.故选C.11.2 33R 2 解析：方法一，由条件知A BCD 是正四面体，△BCD 是正三角形，A ，B ，C ，D 为球上四点，将正三棱锥A BCD 补充成一个正方体AGBH FDEC ，如图D170.则正三棱锥A BCD 和正方体AGBH FDEC 有共同的外接球，△BCD 的边长就是正方体面的对角线，设正方体AGBH FDEC 的棱长为a ，则正方体外接球半径R 满足：a 2＋a 2＋a 2＝(2R )2，解得a2＝43R 2.所以BC 2＝a 2＋a 2＝83R 2.所以△BCD 的面积S ＝12BC ×BD sin 60°＝12×83R 2×32＝2 33R 2.图D170 图D171方法二，由条件A BCD 是正四面体，△BCD 是正三角形，A ，B ，C ，D 为球上四点，球心O 在正四面体中心，如图D171.设BC ＝a ，CD 的中点为E ，O 1为过点B ，C ，D 截面圆的圆心，则截面圆半径r ＝O 1B ＝23BE ＝23×32a ＝33a .正四面体A BCD 的高AO 1＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a . ∴截面BCD 与球心的距离d ＝OO 1＝63a －R . 在Rt△BOO 1中，⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，解得a ＝2 63R . ∴△BCD 的面积为S ＝12BC ×BC sin 60°＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2 63R 2×32＝2 33R 2. 12．8π 解析：∵三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3，AC ＝1，AB ＝2，∠BAC ＝60°，∴12×1×2×sin 60°×AA 1＝ 3.∴AA 1＝2.∵BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝4＋1－2＝3，∴BC ＝ 3.设△ABC 外接圆的半径为R ，则BCsin 60°＝2R .∴R ＝1.故外接球的半径为12＋12＝2，外接球的表面积等于4π×(2)2＝8π.第2课时1．C 解析：延长CA 到D ，使得AD ＝AC ，则ADA 1C 1为平行四边形，∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角．又△A 1DB 为等边三角形．∴∠DA 1B ＝60°.2．B 解析：由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．3．D 解析：直接求三棱锥的体积很困难，因为不知三棱锥的形状，也没有数据，将该三棱锥放进长方体模型，如图D172，三棱锥A CB 1D 1符合题意，设AA 1＝x ，A 1D 1＝y ，A 1B 1＝z ，有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x 2＋z 2＝m 2，y 2＋z 2＝n 2，x 2＋y 2＋2z 2＝m 2＋n 2＝6,2z 2＝4，z ＝2，x 2＋y 2＝2≥2xy ，∴xy ≤1.三棱锥体积V ＝13V 长方体＝13xyz ＝23xy ≤23.所以三棱锥体积的最大值为23.故选D.图D1724．B 解析：取AD 的中点为E ，连接PE ，则由平面PAD 垂直于平面ABCD 可得，PE ⊥平面ABCD ，于是以点E 为原点，以ED ，EP 分别为x ，z 轴建立空间直角坐标系，其中AC 与BD 相交于F 点．于是可得E (0,0,0)，D (3，0,0)，A (－3，0,0)，P (0,0,1)，C (3，2,0)，B (－3，2,0)，F (0,1,0)，设球O 的球心的坐标为O (0，1，z 0)，则OP →＝(0，－1,1－z 0)，OB →＝(－3，1，－z 0)，由|OP →|＝|OB →|，得－2＋－z 02＝3＋1＋z 20.解之，得z 0＝－1.所以球心O (0,1，－1)．于是其半径为|OP →|＝5，由球的表面积公式知，S ＝4πr 2＝4π×(5)2＝20π.故选B.5．②③6．(1)证明：在△BAD 中，∵AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°， ∴由余弦定理，可得BD ＝ 3.∵AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD .又在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴GD ⊥BD . 又AD ∩GD ＝D ，∴BD ⊥平面ADG .(2)解：以D 为坐标原点，建立如图D173所示的空间直角坐标系D xyz .图D173∵∠BAE ＝∠GAD ＝45°，AB ＝2AD ＝2，∴A (1,0,0)，B (0，3，0)，G (0,0,1)，E (0，3，2)，C (－1，3，0)． ∴AE →＝(－1，3，2)，AG →＝(－1,0,1)． 设平面AEFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 故有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝－x ＋3y ＋2z ＝0，n ·AG →＝－x ＋z ＝0.令x ＝1，得y ＝－33，z ＝1.n ＝(1，－33，1)． 而平面ABCD 的一个法向量为DG →＝(0,0,1)，∴cos 〈DG →，n 〉＝DG →·n |DG →|·|n |＝217.故平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为217. 7．解：(1)证明：连接BD ，如图D174. 因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD .因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥FD .因为BD ∩FD ＝D ，所以AC ⊥平面BDF . 因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ， 所以EB ∥FD .所以B ，D ，F ，E 四点共面．因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF ⊥AC .图D174 图D175(2)如图D175，以D 为坐标原点，分别以DC →，DF →的方向为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz .可以求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－12a ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32a ，C (0，a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，3a .所以AB →＝(0，a,0)，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，12a ，32a .设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ ay ＝0，－32ax ＋12ay ＋32az ＝0.取x ＝1，则平面ABF 的一个法向量为n ＝(1,0,1)．因为CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－12a ，3a ，所以||cos 〈n ，CE →〉＝||n ·CE→||n ||CE →＝3 68. 所以直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值为3 68.8．(1)证明：如图D176，连接ED ，∵平面AB 1C ∩平面A 1BD ＝ED ，B 1C ∥平面A 1BD ，∴B 1C ∥ED .∵E 为AB 1的中点，∴D 为AC 的中点．∵AB ＝BC ，∴BD ⊥AC .①方法一，由A 1A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，得A 1A ⊥BD ，②由①②及A 1A ，AC 是平面A 1ACC 1内的两条相交直线，∴BD ⊥平面A 1ACC 1.方法二，∵A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ⊂平面A 1ACC 1，∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC .又平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ， ∴BD ⊥平面A 1ACC 1.图D176 图D177(2)由AB ＝1，得BC ＝BB 1＝1.由(1)知DA ＝12AC ，由AC ·DA ＝1，得AC 2＝2.∵AC 2＝2＝AB 2＋BC 2，∴AB ⊥BC .以B 为原点，建立空间直角坐标系B xyz 如图D177， 则A 1(1,0,1)，B 1(0,0,1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.所以B 1A 1→＝(1,0,0)，B 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－1.设m ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1D 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥B 1A 1→，m ⊥B 1D →，得⎩⎨⎧m ·B 1A 1→＝x ＝0，m ·B 1D →＝12x ＋12y －z ＝0. 令z ＝1，得m ＝(0,2,1)．设n ＝(a ，b ，c )为平面A 1BD 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥BD →，n ⊥BA 1→，得⎩⎨⎧ n ·BD →＝a 2＋b 2＝0，n ·BA 1→＝a ＋c ＝0.令c ＝1，得n ＝(－1,1,1)．依题意知二面角B A 1D B 1为锐二面角，设其大小为θ，则cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝|n ·m ||n |·|m |＝35×3＝155.即二面角B A 1D B 1的余弦值为155.。
[原创]2015年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第六章 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
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∴原等式成立．
难点突破 ⊙三角齐次式问题 例题：已知 3sinα－2cosα＝0，求下列各式的值． cosα－sinα cosα＋sinα (1) ＋ ； cosα＋sinα cosα－sinα (2)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α. 2 解：由已知可知，tanα＝3. cosα－sinα cosα＋sinα 1－tanα 1＋tanα (1) ＋ ＝ ＋ cosα＋sinα cosα－sinα 1＋tana 1－tana 2 2 1－3 1＋3 26 ＝ 2＋ 2＝ 5 . 1＋3 1－3
证法三：∵tanα－sinα≠0，tanα· sinα≠0， 要证原等式成立， 只要证tan2α· sin2α＝tan2α－sin2α成立，
而tan2α· sin2α＝tan2α(1－cos2α)＝tan2α－(tanαcosα)2
＝tan2α－sin2α.即tan2α· sin2α＝tan2α－sin2α成立． ∴原等式成立． 【方法与技巧】证明三角恒等式，可以从左向右证，也可 以从右向左证，可以证明两端等于同一个结果，对于含有分式 的还可考虑应用比例的性质．
的内在联系，为三角函数式的性质、变形提供了工具和方法．
【互动探究】
1．(2013 年广东)已知 2 A．－5
5π 1 sin 2 ＋α＝5，那么
cosα＝( C ) 2 D.5
1 B．－5
1 C.5
5π π π 1 解析：sin 2 ＋α ＝sin 2π＋2＋α ＝sin 2＋α ＝cosα＝5.
π 5 5 解析： ∵ cos(2π － α) ＝ 3 ，∴ cosα ＝ 3 . ∵ α ∈ －2，0 ， 2 2 ∴sinα＝－3.∴sin(π－α)＝sinα＝－3.
【南方新课堂】高考数学总复习 第六章 三角函数课时检测
第六章 三角函数第1讲 弧度制与任意角的三角函数1．tan 25π6的值为( )A ．－33 B.33C. 3 D ．－ 32．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角3．已知角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.35 B ．－35 C.45 D ．－454．若角α的终边经过点P (1，m )，且tan α＝－2，则sin α＝( )A.55 B ．－55C.2 55 D ．－2 555．已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π46．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.457．已知两角α，β之差为1°，其和为1弧度，则α，β的大小分别为( ) A.π90和π180B ．28°和27°C ．0.505和0.495 D.180＋π360和180－π3608．已知角α的顶点在原点上，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.9．如图K611，向半径为3，圆心角为π3的扇形OAB 内投一个质点，则该质点落在其内切圆内的概率为________．图K61110．判断下列各式的符号：(1)tan125°·sin278°； (2)cos 7π12tan23π12sin11π12.11．(1)已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；(2)已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．(2013年河北石家庄二模)tan(－1410°)的值为( )A.33 B ．－33 C. 3 D ．－ 32．(2013年大纲)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513 C.513 D.12133．下列关系式中，正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°4．(2012年辽宁)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝( )A ．－1B ．－22C.22D ．1 5．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34 C ．1 D.546．若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( )A ．±173 B ．－173C.13D.1737．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2 D ．08．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12 D ．－2 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x x，x －x ，则f [f (2012)]＝________.10．已知tan α＝2.求：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α；(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α.11．已知向量a ＝(m ，－1)，b ＝(sin x ，cos x )，f (x )＝a·b ，且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1. (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的最大值及其对应的x 值；(3)若f (α)＝15，求sin2α－2sin 2α1－tan α的值．第3讲 三角函数的图象与性质1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 2．(2012年天津)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分与不必要条件3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数4．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根5．(2012年新课标)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π46．函数y ＝|tan x |cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <3π2，且x ≠π2的图象是( )7．(2012年山东)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 38．(2013年新课标Ⅰ)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________.9．在下列函数中：①y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3；②y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6；③y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6；④y＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3；⑤y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －73π.关于直线x ＝5π6对称的函数是________(填序号)．10．(2012年北京)已知函数f (x )＝x －cos x xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．11．是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．第4讲 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象1．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 2．若函数f (x )＝sin 3x ϕ+，φ∈[0,2π]是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π33．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图K641，则( )图K641A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π44．(2013年广东广州天河三模)函数y ＝cos x 的图象上各点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，则所得函数的解析式是( )A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π12D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ＝( )A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π66．(2012年天津)将函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13 B ．1 C.53D ．2 7．(2012年浙江)把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是( )8．(2013年山东威海二模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图K642所示，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)＝__________.图K6429．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2 的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的值域．第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．(2012年陕西)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos2θ＝( )A.22B.12C ．0D ．－1 2．(2013年新课标Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12 D.233．(2012年重庆)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23D ．－2 5．(2012年山东)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin2θ＝3 78，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74 D.346．(2012年全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.537．(2010年浙江)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－2 2sin 2x 的最小正周期是________．8．求值：2cos10°－sin20°cos20°＝________.9．(2013年江西)设f (x )＝3sin3x ＋cos3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是__________．10．(2012年陕西)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．11．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7 210，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求cos A 的值；(2)求函数f (x )＝cos2x ＋52sin A sin x 的值域．第6讲 三角函数的综合应用1．(2013年江西)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.232．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3 3．函数f (x )＝x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－x (x ∈R )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．减函数 D ．增函数4．(2012年辽宁)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝( )A ．－1B ．－22C.22D ．1 5．(2012年重庆)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.326．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A.33 B ．－33C.5 39 D ．－697．(2012年江西)已知f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，若a ＝f (lg5)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝18．函数y ＝2sin x －cos x 的最大值为________．9．已知tan α，tan β是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两实根，则α＋βα－β＝________.10．(2013年北京)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．11．(2012年安徽)设函数f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )，求函数g (x )在[－π，0]上的解析式．第六章 三角函数第1讲 弧度制与任意角的三角函数 1．B 2.C3．B 解析：∵a <0，∴r ＝－4a 2＋a2＝－5a ，∴sin α＝3a r ＝－35.故选B.4．D 解析：由三角函数的定义，得tan α＝m ＝－2，∴r ＝5，sin α＝－25＝－2 55.故选D.5．D 解析：由sin 3π4>0，cos 3π4<0，知：角θ是第四象限的角．∵tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.6．B 解析：依题意，得tan θ＝±2，∴cos θ＝±15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35或cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35.故选B. 7．D 解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝180＋π360，β＝180－π360.8.25 解析：由条件，知：x ＝－4m ，y ＝3m ，r ＝x 2＋y 2＝5|m |＝5m ，∴sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45.∴2sin α＋cos α＝25.9.23 解析：设内切圆圆心为C ，OA 与内切圆的切点为D ，连接OC ，CD .在Rt △OCD 中，∠COD ＝π6.设CD ＝r ，则OC ＝3－r ，故3－r ＝2r ，解出r ＝1.所求的概率为S 内切圆S 扇形＝π·1216·π·32＝23.10．解：(1)∵125°，278°角分别为第二、四象限角， ∴tan125°＜0，sin278°＜0. 因此tan125°·sin278°＞0.(2)∵π2＜7π12＜π，3π2<23π12<2π，π2<11π12<π，∴cos 7π12＜0，tan 23π12＜0，sin 11π12＞0.因此cos 7π12tan23π12sin11π12>0.11．解：设扇形半径为R ，圆心角为θ，所对的弧长为l .(1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12θR 2＝4，θR ＋2R ＝10，∴2θ2－17θ＋8＝0，解得θ＝8或12.∵8>2π，舍去，∴θ＝12.(2)扇形的周长为40，即θR ＋2R ＝40， S ＝12lR ＝12θR 2＝14θR ·2R ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫θR ＋2R 22＝100. 当且仅当θR ＝2R ，即R ＝10，θ＝2时，扇形面积取得最大值，最大值为100. 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．A 解析：tan(－1410°)＝tan(－180°×8＋30°)＝tan30°＝33.2．A 解析：cos α＝±1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝±1213，因为α是第二象限角，所以cos α＝－1213.故选A.3．C 解析：∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝cos(90°－80°)＝sin80°.由于正弦函数y ＝sin x 在区间[0°，90°]上为递增函数，因此sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.4．A 解析：∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝2，∴sin2α＝－1.故选A.5．B 解析：分子分母同时除以cos α，得2tan α－1tan α＋2＝4－12＋2＝34.6．D 解析：由sin x ＋cos x ＝13两边平方，得1＋2sin x cos x ＝19，∴2sin x cos x ＝－89<0.∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝179，且sin x >cos x .∴sin x －cos x ＝173.7．D 解析：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，α＝k π＋3π4，k ∈Z ，sin α，cos α的符号相反．当α＝2k π＋3π4，即角α的终边在第二象限时，sin α＞0，cos α＜0；当α＝2k π＋7π4，即角α的终边在第四象限时，sin α＜0，cos α＞0.所以有sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝sin α||cos α＋||sin αcos α＝0. 8．B9．－1 解析：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x x，x －x ，得f (2012)＝2012－102＝1910.f (1910)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×1910＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫636π＋2π3＝2cos 2π3＝－1，故f [f (2012)]＝－1. 10．解：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.11．解：(1)f (x )＝a ·b ＝m sin x －cos x .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1， 即m sin π2－cos π2＝1，∴m ＝1.∴f (x )＝sin x －cos x .(2) f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.当x －π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝2k π＋3π4(k ∈Z )时，f (x )max ＝ 2.(3)f (α)＝15，即sin α－cos α＝15.两边平方，得(sin α－cos α)2＝125，∴2sin αcos α＝2425，sin2α－2sin 2α1－tan α＝2sin αα－sin α1－sin αcos α＝2sin αcos α＝2425.第3讲 三角函数的图象与性质 1．D2．A 解析：若函数f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数，则φ＝k π，k ∈Z ，所以“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．故选A.3．D 解析：由函数的f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )，可得函数f (x )是偶函数．故选D.4．C 解析：方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数，就是函数y ＝|x |，y ＝cos x 在(－∞，＋∞)内交点的个数，画图，可知只有2个交点．5．A 解析：由题设知，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4，∴ω＝1.∴π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4.故选A.6．C 解析：方法一，y ＝|sin x |·cos x|cos x |，分类讨论．方法二，y ＝|tan x |cos x 的符号与cos x 相同．故选C.7．A 解析：由0≤x ≤9可知，－π3≤π6x －π3≤7π6，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3∈[－3，2]，则最大值与最小值之和为2－ 3.故选A.8．－2 55解析：方法一，函数f (x )＝sin x －2cos x 最大值为5，有⎩⎨⎧sin θ－2cos θ＝5，sin 2θ＋cos 2θ＝1，(2cos θ＋5)2＋cos 2θ＝1,5cos 2θ＋4 5cos θ＋4＝0，(5cos θ＋2)2＝0,∴cos θ＝－2 55.方法二，f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x ·55－cos x ·2 55＝5sin(x －φ)， 其中cos φ＝55，sin φ＝2 55，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值5，则x －φ＝π2，x ＝φ＋π2，cos x ＝－sin φ＝－2 55.9．①⑤ 解析：∵y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝4sin π2＝4，y 取最大值，∴x ＝5π6为它的一个对称轴．又∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－14π6＝－sin 3π2＝1，∴x ＝5π6是对称轴．10．解析：(1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }．∵f (x )＝x －cos x xsin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 (k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，(k ∈Z )，故f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )． 11．解：y ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12a 2＋a 24＋58a －12， 当0≤x ≤π2时，0≤cos x ≤1，令t ＝cos x ，则0≤t ≤1，∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋a 24＋58a －12，0≤t ≤1. 当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，则当t ＝a 2，即cos x ＝a2时．y max ＝a 24＋58a －12＝1，解得a ＝32或a ＝－4(舍去)．当a2＜0，即a ＜0时，则当t ＝0，即cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1，解得a ＝125(舍去)．当a2＞1，即a ＞2时，则当t ＝1，即cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1，解得a ＝2013(舍去)．综上所述，存在a ＝32符合题意．第4讲 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象1．C 解析：由题意知，π3＝2πω·k (k ∈Z )，∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.2．C 解析：由f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])为偶函数可知，φ3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴当k ＝0时，φ＝32π∈[0,2π]．故选C.3．C 解析：∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴故选C. 4．B 解析：y ＝cos x 图象上的每一点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝cos2x ，向左平移π6个单位长度得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 5．D 解析：由函数y ＝sin x 向左平移φ个单位得到y ＝sin(x ＋φ)的图象．由条件，知：函数y ＝sin(x ＋φ)可化为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，比较个各选项，只有y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.6．D 解析：函数向右平移π4得到函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ4，此时函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，∴sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝0，即ω⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝ωπ2＝k π，∴ω＝2k ，k ∈Z ，∴ω的最小值为2.故选D.7．A 解析：由题意，y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即解析式为y ＝cos x ＋1，向左平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)＋1，向下平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)，∵曲线y ＝cos(x ＋1)由余弦曲线y ＝cos x 左移一个单位而得，∴曲线y ＝cos(x ＋1)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－1，0，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3π2－1上的函数值小于0.故选A.8．2 3 解析：由图象可得A ＝2，2π2ω＝7－4，解得ω＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，代入(4,0)， 可得0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ，即4π3＋φ＝k π，k ∈Z ， 解得φ＝k π－4π3，同理代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，2，综合可取φ＝－π3， 故可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3.故函数的周期为6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝2sin0＋2sin π3＋2sin 2π3＝2 3.9．解：(1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z . ∴φ＝2k π－11π6.又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.故f (x )的值域为[－1,2]．第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式1．C 解析：a·b ＝0，－1＋2cos 2θ＝0，cos2θ＝2cos 2θ－1＝0.2．A 解析：∵sin2α＝23，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝12(1－sin2α)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝16. 3．A 解析：∵tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，∴tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.故选A.4．A5．D 解析：∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，cos2θ<0，∴cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos2θ＝1－2sin 2θ＝－18，∴sin 2θ＝916，sin θ＝34.故选D.6．A 解析：∵sin α＋cos α＝33，∴两边平方，得1＋2sin αcos α＝13.∴2sin αcos α＝－23<0.∵已知α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53＝153，∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－153×33＝－53.故选A. 7．π 解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－2 2sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－2(1－cos2x )＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，最小正周期为π. 8. 3 解析：原式＝－－sin20°cos20°＝2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝ 3.9．a ≥2 解析：∵不等式|f (x )|≤a 对任意实数x 恒成立，令F (x )＝|f (x )|＝|3sin3x ＋cos3x |， 则a ≥F (x )max .∵f (x )＝3sin3x ＋cos3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6， ∴－2≤f (x )≤2.∴0≤F (x )≤2，F (x )max ＝2. ∴a ≥2.即实数a 的取值范围是a ≥2.10．解：(1)∵函数的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期为T ＝π.∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－ π6＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3.∴α－π6＝π6，故α＝π3.11．解：(1)∵π4<A <π2，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝7 210，∴π2<A ＋π4<3π4，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝－210.∵cos A ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin π4＝－210×22＋7 210×22＝35.∴cos A ＝35. (2)由(1)，得sin A ＝45.∴f (x )＝cos2x ＋52sin A sin x＝1－2sin 2x ＋2sin x＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32，x ∈R . ∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝12时，f (x )取最大值32；当sin x ＝－1时，f (x )取最小值－3.∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32. 第6讲 三角函数的综合应用 1．C 2．D 解析：sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，sin α＝32.∴tan α＝ 3.3．A4．A 解析：方法一，∵sin α－cos α＝2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 2.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.∵α∈(0，π)，∴α＝3π4.∴tan α＝－1.故选A.方法二，∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝2.∴sin2α＝－1.∵α∈(0，π)，∴2α∈(0,2π)，∴2α＝3π2.∴α＝3π4.∴tan α＝－1.故选A.5．C 解析：sin47°－sin17°cos30°cos17°＝＋－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12. 6．C 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，0<α<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2 23. 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，－π2<β<0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋2 23×63＝5 39. 7．C 解析：a ＝f (lg5)＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫lg5＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2lg5＋π22＝1＋sin 2lg52，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 15＋π4＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2lg 15＋π22＝1－sin 2lg52，则a ＋b ＝1. 8. 5 解析：y ＝2sin x －cos x ＝5sin(x ＋φ)，∴最大值为 5.9．1 解析：因为sin α＋βcos α－β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β；∵tan α，tan β为方程的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2.∴α＋βα－β＝31＋2＝1.10．解：(1)∵f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x＝12sin4x ＋12cos4x＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4∴T ＝2π4＝π2，函数的最大值为22.(2)∵f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，f (α)＝22， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π4＝1. ∴4α＋π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴α＝π16＋k π2.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＝916π. 11．解：f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝12cos2x －12sin2x ＋12(1－cos2x )＝12－12sin2x . (1)函数y ＝g (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin2x ；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－12sin2x ；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2时，(x ＋π)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，g (x )＝g (x ＋π)＝12sin2()x ＋π＝12sin2x .∴函数g (x )在[－π，0]上的解析式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x ≤0，12sin2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π≤x <π2.。
【南方新课堂】2015年高考数学总复习 第一章 集合与逻辑用语课时检测
第一章集合与逻辑用语第1讲集合的含义与基本关系1．(2013年某某)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为( )A．2个 B．3个C．4个 D．16个2．(2013年某某)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N ＝( )A. {0}B. {0,2}C. {－2,0} D．{－2,0,2}3．(2013年某某)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝( ) A．{－2，－1} B．{－2}C．{－2,0,1} D．{0,1}4．(2012年某某)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是( ) A．N⊆M B．M∪N＝MC．M∩N＝N D．M∩N＝{2}5．(2011年某某)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y 为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为( )A．0个 B．1个C．2个 D．3个6．(2012年新课标)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )A．3个 B．6个C．8个 D．10个7．(2012年某某某某一模)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y ＝f(x)}，则如图K111中阴影部分表示的集合为( )图K111A．[－1,0] B．(－1,0)C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)8．(2012年某某某某摸底)对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，※＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※＝mn.则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是( ) A．10个 B．15个 C．16个 D．18个9．(2011年某某某某一模)A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，求A∩B ＝B的概率．10．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，某某数m的值；(2)若A⊆∁R B，某某数m的取值X围．第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．(2013年某某)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．(2011年某某)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝33．(2012年某某某某摸底)“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分条件也不必要条件4．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A．a<0 B．a>0C．a<－1 D．a>15．对于任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中是真命题的个数是( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．给定两个命题p，q.若綈p是q的充分而不必要条件，则綈q是p的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值X围是____________．8．给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②“若a＞b，则a＋c＞b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题．其中是真命题的序号是________．9．已知p：|x－4|≤6，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．10．已知等比数列{a n}的前n项和为S n.(1)若S m，S m＋2，S m＋1成等差数列，证明a m，a m＋2，a m＋1成等差数列；(2)写出(1)的逆命题，判断它的真假，并给出证明．第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．(2013年某某某某一模)命题“∃x∈R,2x＜1”的否定是( )A．∀x∈R,2x≥1B．∀x∈R,2x<1C．∃x∈R,2x≥1D．∃x∈R,2x<12．(2011年)若p是真命题，q是假命题，则( )A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题3．(2013年某某)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β4．若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数 B ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数C ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数D ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数5．(2012年某某)设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2，命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真6．(2012年某某)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，0x e ≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件7．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q: “∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ” 是真命题，则实数a 的取值X 围是( )A ．(4，＋∞) B．[1,4] C ．[e,4] D ．(－∞，1]8．(2012年某某某某一模)下面四个命题：①命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”；②把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝3sin2x 的图象； ③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1∶3；④若f (x )＝sin x cos x ，则存在正实数a ，使得f (x －a )为奇函数，f (x ＋a )为偶函数． 其中所有正确命题的序号为____________．9．设函数f (x )＝x 2－2x ＋m .(1)若∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，求m 的取值X 围； (2)若∃x ∈[0,3]，f (x )≥0成立，求m 的取值X 围．10．已知命题p ：在x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立，命题q ：函数f (x )＝log 13 (x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p ∨q ”是真命题，某某数a 的取值X 围．习题集部分第一章 集合与逻辑用语第1讲 集合的含义与基本关系1．C 解析：A ∩B ＝{1,3}，共有4个子集．故选C.2．D 解析：M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}，M ∪N ＝{0,2，－2}．故选D. 3．A 解析：∵A ＝{x |x ＋1＞0}＝{x |x ＞－1}， ∴∁R A ＝{x |x ≤－1}，∴(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}． 故选A. 4．D5．C 解析：集合A 表示由圆x 2＋y 2＝1上的所有点组成的集合．集合B 表示直线y ＝x 上的所有点组成的集合．由于直线经过圆内的点O (0,0)，故直线与圆有两个交点．故选C.6．D 解析：要使x －y ∈A ，当x ＝5时，y 可以是1,2,3,4；当x ＝4时，y 可以是1,2,3；当x ＝3时，y 可以是1,2；当x ＝2时，y 可以是1.综上共有10个．故选D.7．D 解析：由题意得A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{y |y ≤0}，则A ∪B ＝{x |x <1}，A ∩B ＝{x |－1<x ≤0}，所以∁A ∪B (A ∩B )＝{x |x ≤－1或0<x <1}．8．B9．解：有序实数对(a ，b )的取值情形共有9种， 满足A ∩B ＝B 的情形有：①(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，此时B ＝∅； ②(2,1)，此时B ＝{1}； ③(3,2)，此时B ＝{1,2}．所以P (A ∩B ＝B )＝89.10．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，m ≥1.∴m ＝2.故所某某数m 的值为2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}， A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5或m <－3.因此，实数m 的取值X 围是m >5或m <－3. 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件1．A 解析：当“a ＝3”时，有“A ⊆B ”；当“A ⊆B ”，不一定有“a ＝3”，亦可a ＝2，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．故选A.2．A 解析：由于一个命题的否命题既要否定题设又要否定结论，因此原命题的否命题为“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3”．3．A 解析：y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax 的最小正周期为π等价于T ＝2π|2a |＝π，∴a＝±1.故选A.4．C 解析：一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，则x 1x 2＝1a<0，∴a <0，其充分不必要条件应该是集合(－∞，0)的真子集，只有C 符合题意． 5．B 解析：只有②④正确．故选B. 6．A7．－2 2≤a ≤2 2 解析：因为“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－2 2≤a ≤2 2.8．①②④ 解析：①若k ＞0，则Δ＝4＋4k >0，是真命题．②的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，是真命题．③的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题．④的否命题为“若xy ≠0，则x ，y 中两个均不为0”，是真命题．9．解：由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}． 由|x －4|≤6，得－2≤x ≤10， ∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9.10．证明：(1)∵S m ＋1＝S m ＋a m ＋1，S m ＋2＝S m ＋a m ＋1＋a m ＋2. 由已知2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，∴2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝S m ＋(S m ＋a m ＋1)，∴a m ＋2＝－12a m ＋1，即数列{a n }的公比q ＝－12.∴a m ＋1＝－12a m ，a m ＋2＝14a m .∴2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列． (2)(1)的逆命题是：若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列， 则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．设数列{a n }的公比为q ，∴a m ＋1＝a m q ，a m ＋2＝a m q 2.由题设，知2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a m q 2＝a m ＋a m q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，a 1≠0,2S m ＋2＝2(m ＋2)a 1＝(2m ＋4)a 1， S m ＋S m ＋1＝ma 1＋(m ＋1)a 1＝(2m ＋1)a 1， 显然S m ＋S m ＋1≠2S m ＋2，∴S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．逆命题为假． 第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1．A 解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x ∈R,2x ＜1”的否定为：∀x ∈R,2x≥1.2．D 解析：或(∨)一真必真，且(∧)一假必假，非(綈)真假相反．3．D 解析：选项A ，若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则可能m ⊥n ，m ∥n ，或m ，n 异面，故A 错误；选项B ，若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面，故B 错误；选项C ，若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C 错误； 选项D ，若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，再由n ∥β可得α⊥β，故D 正确． 4．A 解析：当a ＝0时，f (x )是偶函数．5．C 解析：函数y ＝sin2x 的周期为2π2＝π，所以命题p 为假；函数y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π，k ∈Z ，所以命题q 为假，所以p ∧q 为假．故选C.6．D 解析：此类题目多选用筛选法，因为e x>0对任意x ∈R 恒成立，所以选项A 错误；因为当x ＝3时，23＝8,32＝9且8<9，所以选项B 错误；因为当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而ba无意义，所以选项C 错误；故选D.7．C 解析：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，即a ≥e x max ＝e 1＝e ；∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4.命题“p ∧q ”是真命题，即p 真q 真．故选C.8．①③④9．解：(1)若对∀x ∈[0,3]，f (x )≥0恒成立，即f (x )min ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )min ＝f (1)＝m －1≥0，即m ≥1.(2)若∃x ∈[0,3]，f (x )≥0成立，即f (x )max ≥0. f (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， f (x )max ＝f (3)＝m ＋3≥0，m ≥－3.10．解：∵x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立，∴a >2－x 2x ＝2x－x 在x ∈[1,2]上恒成立．令g (x )＝2x－x ，则g (x )在[1,2]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝1.∴a >1.即若命题p 真，则a >1.又∵函数f (x )＝log 13(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数，∴u (x )＝x 2－2ax ＋3a 是[1，＋∞)上的增函数，且u (x )＝x 2－2ax ＋3a >0在[1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1，u (1)>0.∴－1<a ≤1. 即若命题q 真，则－1<a ≤1.若命题“p ∨q ”是真命题，则a >－1.。
【南方新课堂】2015年高考数学(理)总复习课时检测：第九章 数列]
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九章 数 列第1讲 数列的基本概念1．数列3,5,9,17,33，…，的通项公式a n ＝( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋12．若a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列{a n }中的最大项是( )A ．107B ．108C ．10818D ．1093．在数列{a n }中，已知a 1＝1，且当n ≥2时，a 1a 2·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( ) A.73 B.6116 C.3115 D.1144．(2013年辽宁)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列a nn是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4 5．如图K9-1-1所示的程序框图，如果输入值为2013，则输出值为________．图K9-1-16．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2009＝________，a 2014＝________.7．(2011年浙江)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n 中的最大项是第k 项，则k ＝________.8．(2012年上海)已知f (x )＝11＋x，各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2010＝a 2012，则a 20＋a 11的值是________．9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)，则当n 为多大时，a n 最大？10．(2012年大纲)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n.(1)求a 2，a 3的值； (2)求{a n }的通项公式．第2讲 等差数列1．(2012年福建)在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2013年重庆)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________. 3．(2012年广东)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.4．(2012年北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________.5．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 7＋a 13的值是一确定的常数，则下列各式：①a 21；②a 7；③S 13；④S 14；⑤S 8－S 5.其结果为确定常数的是( ) A ．②③⑤ B ．①②⑤ C ．②③④ D ．③④⑤6．(2013年新课标Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．67．(2012年浙江)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意的n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列8．已知等差数列{a n }的前项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )dx ，S 20＝17，则S 30为( )A ．15B ．20C ．25D ．309．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S n ＝12n －n 2. (1)求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|;(2)求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 10|； (3)求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.10．(2012年四川)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，常数λ>0，且λa 1a n ＝S 1＋S n 对一切正整数n 都成立．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a 1>0，λ＝100，当n 为何值时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前n 项和最大？第3讲 等比数列1．(2012年广东)等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝________. 2．(2012年安徽)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．83．在公差d ≠0的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝( )A.75B.57C.34D.434．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11 5．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)( )A ．26B ．29C ．212D ．2156．(2013年大纲)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－310) C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10) 7．(2012年新课标)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.8．(2013年新课标Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝__________.9．(2012年陕西)已知等比数列{a n }的公比为q ＝－12.(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N *，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．10．(2012年山东)在等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m.第4讲 数列的求和1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．1892．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3a 5＝4，则数列{log 2a n }的前7项和等于( ) A ．7 B ．8 C ．27 D ．283．在递减等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝0，则当S n 取最大值时n 等于( ) A ．2 B ．3C ．2或3D ．3或44．数列1,1＋2，…，1＋2＋22＋…＋2n －1的前n 项和为S n ，则S n ＝( )A ．2nB ．2n ＋1－n －2C ．2n ＋1－n D ．2n －n5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6＝( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42 6．(2011年安徽)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－157．(2014年广东广州一模)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin (n ＋1)π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2014＝( )A ．1006B ．1007C ．1008D ．1009 8．如图K9-4-1，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是______________．1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5…… 图K9-4-19．(2013年湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．10．(2012年天津)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n (n ∈N *)，证明：T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n >2)．第5讲 利用几类经典的递推关系式求通项公式1．(2010年北京)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．122．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，…这样的数称为“正方形数”．如图K9-5-1，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的表达式是( )图K9-5-1①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21； ④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.A ．①④B ．②⑤C ．③⑤D ．②③3．(2011年四川)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．114．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n5．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________.6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n+1＝a n3a n ＋1，则a n ＝________.7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝2a n ＋n ，则数列{a n }的通项公式为________________．8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1＝3a n ＋3n，则a n ＝________.9．(2012年广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．10．(2011年广东)设b>0，数列{a n}满足a1＝b，a n＝nba n－1a n－1＋n－1(n≥2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2a n≤b n+1＋1.第九章 数 列 第1讲 数列的基本概念1．B 2.B 3.B 4.D 5.46．1 0 解析：a 2009＝a 4×503－3＝1，a 2014＝a 2×1007＝a 1007＝a 4×252－1＝0.7．4 解析：方法一：a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)⎝⎛⎭⎫23n ＋1－n ·(n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n ＝⎣⎡⎦⎤(n ＋1)(n ＋5)×23－n (n ＋4)⎝⎛⎭⎫23n＝⎝⎛⎭⎫23n 2n 2＋12n ＋10－3n 2－12n 3＝⎝⎛⎭⎫23n 10－n 23.当n ≤3时，a n ＋1－a n >0，数列单调递增； 当n ≥4时，a n ＋1－a n <0，数列单调递减．即a 1<a 2<a 3<a 4>a 5>a 6>……即第4项最大，k ＝4. 方法二：设最大项为第k 项，则有⎩⎨⎧k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k≥(k ＋1)(k ＋5)⎝⎛⎭⎫23k ＋1，k (k ＋4)⎝⎛⎭⎫23k ≥(k －1)(k ＋3)⎝⎛⎭⎫23k －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0⇒⎩⎨⎧k 2≥10，1－10≤k ≤1＋10⇒k ＝4. 8.13 5＋326 解析：a n ＋2＝f (a n )＝11＋a n ，∵a 1＝1， ∴a 3＝12，a 5＝23，a 7＝35，a 9＝58，a 11＝813.又a 2012＝11＋a 2010＝a 2010，得a 22010＋a 2010－1＝0. 令a 2010＝t ，则t 2＋t －1＝0，∵题设t >0，∴t ＝5－12.∵a n ＝1a n ＋2－1，∴a 2008＝1a 2010－1＝1－t t ＝t .则a 2n ＝t ＝5－12，∴a 20＋a 11＝5－12＋813＝13 5＋326. 9．解：∵a n ＋1－a n＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11， 而⎝⎛⎭⎫1011n >0，所以当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a 10＝a 9. 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 因此a 1<a 2<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以当n ＝9或n ＝10时，数列{a n }有最大项，最大项为a 9或a 10.10．解：(1)由a 1＝1与S n ＝n ＋23a n ，得S 2＝2＋23a 2＝a 1＋a 2⇒a 2＝3a 1＝3，S 3＝3＋23a 3＝a 1＋a 2＋a 3⇒23a 3＝a 1＋a 2＝4⇒a 3＝6.故所求a 2，a 3的值分别为3,6.(2)当n ≥2时，S n ＝n ＋23a n， ①S n －1＝n ＋13a n －1. ②①－②，得S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，即a n ＝n ＋23a n －n ＋13a n －1⇔n －13a n ＝n ＋13a n －1⇔a n a n －1＝n ＋1n －1. 故有a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝n ＋1n －1×n n －2×…×31×1＝n 2＋n 2.∵当n ＝1时，12＋12＝1＝a 1，∴{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋n2.第2讲 等差数列1．B 2.723.2n －14.15．A 解析：由a 1＋a 7＋a 13是一确定的常数，得3a 7是一确定的常数，故②正确；S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7是一确定的常数，故③正确；S 8－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＝3a 7是一确定的常数，故⑤正确．6．C 解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， ∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2， a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3. ∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋m (m －1)2×1＝0，∴a 1＝－m －12.又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴－m －12＋m ＝3.∴m ＝5.故选C.7．C 解析：C 显然是错的，举出反例：0,1,2,3，满足数列{S n }是递增数列，但S n >0不成立．8．A 解析：S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)| 30＝12，a 1＋a 2＋…＋a n ＝12，a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ＝5，a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n ＝－2，所以S 30＝15.9．解：∵S n ＝12n －n 2，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－1＝11；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(12n －n 2)－12(n －1)＋(n －1)2＝13－2n ； 当n ＝1时，13－2×1＝11＝a 1，∴a n ＝13－2n .由a n ＝13－2n ≥0，得n ≤132.∴当1≤n ≤6时，a n >0；当n ≥7时，a n <0.(1)|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＝a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝12×3－32＝27. (2)|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 10|＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6－(a 7＋a 8＋a 9＋a 10)＝2S 6－S 10＝2(12×6－62)－(12×10－102)＝52. (3)当1≤n ≤6时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12n －n 2，当n ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6－(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝2S 6－S n ＝2(12×6－62)－(12n －n 2)＝n 2－12n ＋72. 所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧12n －n 2，1≤n ≤6，n 2－12n ＋72，n ≥7. 10．解：(1)取n ＝1，得λa 21＝2S 1＝2a 1，则a 1(λa 1－2)＝0. 若a 1＝0，则S 1＝0.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝0，∴a n ＝0；若a 1≠0，则a 1＝2λ.当n ≥2时，2a n ＝2λ＋S n,2a n －1＝2λ＋S n －1.相减，得a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是等比数列．综上所述，若a 1＝0，则a n ＝0；若a 1≠0，则a n ＝2nλ.(2)当a 1>0，且λ＝100时，令b n ＝lg 1a n，则b n ＝2－n lg2.∴{b n }是单调递减的等差数列(公差为－lg2)，则b 1>b 2>b 3>…>b 6＝lg 10026＝lg 10064>lg1＝0.当n ≥7时，b n ≤b 7＝lg 10027＝lg 100128<lg1＝0.故当n ＝6时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 1a n 的前6项和最大．第3讲 等比数列1.142.A3.C4.D 5．C 解析：考虑到求导中，含有x 项均取0，则f ′(0)只与函数f (x )的一次项有关； 得a 1·a 2·a 3…a 8＝(a 1a 8)4＝212.6．C 解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0，∴a n ＋1＝－13a n .∴数列{a n }是以－13为公比的等比数列．∵a 2＝－43，∴a 1＝4.∴S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101＋13＝3(1－3－10)．故选C.7．－2 解析：当q ＝1时，S 3＝3a 1，S 2＝2a 1.由S 3＋3S 2＝0，得9a 1＝0，∴a 1＝0，与{a n }是等比数列矛盾，故q ≠1.由S 3＋3S 2＝0，得a 1(1－q 3)1－q ＋3a 1(1－q 2)1－q＝0，解得q ＝－2.8．(－2)n －1 解析：∵S n ＝23a n ＋13，①∴当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13.②①－②，得a n ＝23a n －23a n －1，∴a na n －1＝－2.∵a 1＝S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1. 9．(1)解：由通项公式，得a 3＝a 1⎝⎛⎭⎫－122＝14，则a 1＝1. 由等比数列求和公式，得S n ＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝2＋⎝⎛⎭⎫－12n －13.(2)证明：∵k ∈N *，∴2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1q k ＋1－(a 1q k －1＋a 1q k )＝a 1q k －1(2q 2－q －1)＝a 1q k －1·⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫－122－⎝⎛⎭⎫－12－1＝0， ∴2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0，∴a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列． 10．解：(1)由a 3＋a 4＋a 5＝84，得3a 4＝84，a 4＝28. 而a 9＝73，则5d ＝a 9－a 4＝45，d ＝9. a 1＝a 4－3d ＝28－27＝1，于是a n ＝1＋(n －1)×9＝9n －8，即a n ＝9n －8.(2)对任意m ∈N *,9m <9n －8<92m ，则9m ＋8<9n <92m ＋8，即9m －1＋89<n <92m －1＋89，而n ∈N *，由题意可知b m ＝92m －1－9m －1. 于是S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m＝91＋93＋…＋92m －1－(90＋91＋…＋9m －1)＝9－92m ＋11－92－1－9m 1－9＝92m ＋1－980－9m －18＝92m ＋1＋180－9m 8，即S m ＝92m ＋1＋180－9m8.第4讲 数列的求和1．C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.A 7.C8.n 2－n ＋22解析：设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝4，…，a n －a n －1＝n －1，相加，得a n －a 2＝2＋3＋…＋(n －1)＝2＋n －12×(n－2)＝(n ＋1)(n －2)2，a n ＝2＋(n ＋1)(n －2)2＝n 2－n ＋22.9．解：(1)∵S 1＝a 1，∴当n ＝1时，2a 1－a 1＝S 1·S 1⇒a 1≠0，a 1＝1.当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －a 1S 1－2a n －1－a 1S 1＝2a n －2a n －1⇒a n ＝2a n －1⇒{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝2的等比数列，即a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)令T n ＝1·a 1＋2·a 2＋3·a 3＋…＋n ·a n ⇒qT n ＝1·qa 1＋2·qa 2＋3·qa 3＋…＋n ·qa n⇒qT n ＝1·a 2＋2·a 3＋3·a 4＋…＋n ·a n ＋1上式左右错位相减：(1－q )T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －na n ＋1＝a 11－q n 1－q－na n ＋1＝2n －1－n ·2n⇒T n ＝(n －1)·2n ＋1，n ∈N *.10．(1)解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2， 得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2. 故a n ＝3n －1，b n ＝2n (n ∈N *)． (2)证明：由(1)，得T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，①2T n ＝2×22＋5×23＋8×24＋…＋(3n －1)×2n ＋1.② 由①－②，得－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1 ＝6×(1－2n )1－2－(3n －1)×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，即T n －8＝(3n －4)×2n ＋1.当n >2时，a n －1b n ＋1＝(3n －4)×2n ＋1. ∴T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n >2)．第5讲 利用几类经典的递推关系式求通项公式1.C2.C3.B4.D5.1n 解析：由题意可知：a n ＋1＝－1±1＋4n (n ＋1)2(n ＋1)a n ，解得a n ＋1＝nn ＋1a n，或a n ＋1＝－a n (舍去)．则a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝12·23·…·n －1n ＝1n .即a n a 1＝1n ，∴a n ＝1n a 1＝1n.6.13n －2 解析：由a n ＋1＝a n 3a n ＋1，得1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3⇒1a n ＋1－1a n＝3⇒1a n ＝1＋3(n －1)．∴a n ＝13n －2.7．a n ＝3×2n －1－n －1 解析：令a n ＋1＋A (n ＋1)＋B ＝2(a n ＋An ＋B )，得A ＝1，B ＝1.∴a n ＋1＋(n ＋1)＋1＝2(a n ＋n ＋1)．∴a n ＋n ＋1＝3×2n －1.∴a n ＝3×2n －1－n －1.8．n ·3n －1 解析：∵a n ＋1＝3a n ＋3n ，∴a n ＋13n ＝a n 3n －1＋1.令a n 3n －1＝b n ，∴数列{b n }是以首项为1，公差为1的等差数列，∴b n ＝1＋1(n －1)＝n .∴a n ＝n ·3n －1.9．解：(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，而T 1＝S 1＝a 1， ∴a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1.(2)在T n ＝2S n －n 2中，用n －1取代n 的位置， 有T n －1＝2S n －1－(n －1)2.两式相减，可得S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥2)， ∴S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1.两式相减，可得a n ＝2a n －2a n －1－2， 即a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)， 即a n ＋2＝2(a n －1＋2)．∴数列{a n ＋2}是以首项为a 2＋2，公比为2的等比数列． 在式子T n ＝2S n －n 2中，令n ＝2，有T 2＝2S 2－22，即a 1＋(a 1＋a 2)＝2(a 1＋a 2)－22，∴a 2＝4.于是a n ＋2＝(a 2＋2)·2n －2＝6·2n －2＝3·2n －1，∴a n ＝3·2n －1－2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1也满足该式子，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝3·2n －1－2.10．(1)解：∵a n ＝nba n －1a n －1＋n －1，∴a nn ＝ba n －1a n －1＋n －1.∴n a n ＝1b ·n －1a n －1＋1b. ①当b ＝1时，n a n －n －1a n －1＝1，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴na n＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝1. ②当b >0，且b ≠1时，n a n ＋11－b ＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1a n －1＋11－b .当n ＝1时，n a n ＋11－b ＝1b (1－b ).∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n ＋11－b 是以1b (1－b )为首项，1b 为公比的等比数列．∴n a n ＋11－b ＝11－b ·⎝⎛⎭⎫1b n . ∴n a n ＝1(1－b )b n －11－b ＝1－b n (1－b )b n. ∴a n ＝n (1－b )b n1－b n .综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (1－b )b n1－b n ，b >0，且b ≠1，1， b ＝1.(2)证明：①当b ＝1时，2a n ＝b n ＋1＋1＝2；②当b >0且b ≠1时，1－b n ＝(1－b )(1＋b ＋…＋b n －2＋b n －1)．要证2a n ≤b n ＋1＋1，只需证2n (1－b )b n 1－b n≤b n ＋1＋1，即证2n (1－b )1－b n≤b ＋1b n ，即证2n 1＋b ＋…＋b n －2＋b n －1≤b ＋1b n ， 即证⎝⎛⎭⎫b ＋1b n (1＋b ＋…＋b n －2＋b n －1)≥2n ， 即证(b ＋b 2＋…＋b n －1＋b n )＋⎝⎛⎭⎫1b n ＋1b n －1＋…＋1b 2＋1b ≥2n .∵(b ＋b 2＋…＋b n －1＋b n )＋⎝⎛⎭⎫1b n ＋1b n －1＋…＋1b 2＋1b＝⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b 2＋1b 2＋…＋⎝⎛⎭⎫b n －1＋1b n －1＋⎝⎛⎭⎫b n ＋1b n ≥2 b ·1b ＋2 b 2·1b 2＋…＋2 b n －1·1bn －1＋2 b n ·1b n ＝2n ，∴原不等式成立．∴对于一切正整数n,2a n≤b n＋1＋1.。
[原创]2015年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第七章 第1讲 正弦定理和余弦定理[配套课件]
![[原创]2015年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第七章 第1讲 正弦定理和余弦定理[配套课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/6266066425c52cc58bd6be2c.png)
(2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA 的值.
图 7-1-1
解：(1)由已知，得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°. 在△PBA 中，由余弦定理，得 1 1 7 2 PA ＝3＋4－2× 3×2cos30° ＝4.
3.三角形的面积
1 1 1 abc 1 S△ABC＝2absinC＝2bcsinA＝2acsinB＝ 4R ＝2(a＋b＋c)· r
(r是三角形内切圆半径). 4.正弦定理和余弦定理的应用 (1)在解三角形时，余弦定理可解决两类问题：①已知两边 及夹角或两边及一边对角问题；②已知三边问题. (2)正弦定理可解决两类问题：①已知两角及任一边，求其
解析： 由 32 ＋ 52<72 ，得①为钝角三角形；由 102 ＋ 242 ＝ 262 ，
得②为直角三角形；由212＋252>282，得③为锐角三角形.故选B.
考点 1 正弦定理 例 1：(2012 年大纲)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为
a，b，c，已知 cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，求 C 的大小.
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
方法二：由正弦定理、余弦定理，得
2 2 2 2 2 2 b ＋ c － a a ＋ c － b a2b· 2bc ＝b2a· 2ac .
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2).
∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0. ∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0. 即a＝b或a2＋b2＝c2. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
与 b＋c＝7 联立，解得 b＝4.
【步步高】(广东专用)2015高考数学一轮复习 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切同步检测 文
第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切一、选择题1. 已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( ) A.12 B ．－12 C.22 D ．－22解析 由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝22(cos α＋sin α) 由α为锐角知cos α＋sin α≠0. ∴cos α－sin α＝22，平方得1－sin 2α＝12. ∴sin 2α＝12.答案 A2．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( )．A.54B ．－54C.43 D ．－43解析 1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，故选D. 答案 D3．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝ ( )． A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4解析 由α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4.答案 A4．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为 ( )．A.23B ．－23C.13D ．－13解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－θ－cos θ2＝－1－sin 2θ＝－23. 答案 B5．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( )．A ．1B.110 C ．1或110D ．1或10解析 tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－a⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110.答案 C6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )． A ．－235 B.236 C ．－45 D.45解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案 C 二、填空题7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝________.解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223. 故cos α＝cos [⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝13×22＋223×22＝4＋26. 答案 4＋268．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.答案172509．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．解析 ∵f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f (x )min＝1－ 2. 答案 1－ 210．方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则A ＋B＝________.解析 由题意知tan A ＋tan B ＝－3a <－6，tan A ·tan B ＝3a ＋1>7，∴tan A <0，tan B <0， tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3a 1－a ＋＝1.∵A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ∴A ＋B ∈(－π，0)，∴A ＋B ＝－3π4.答案 －3π4三、解答题11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.12．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解 (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425.又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425， 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2β＝725，又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.13．函数f (x )＝6cos2ωx2＋ 3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形． (1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝8 35，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值． 解 (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋ 3sin ωx ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， 又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4，所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 故f (x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.14．(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan β＝－13，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 求cos(α＋β)．解 (1)证明 ①如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox 轴非负半轴，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3，角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))．由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)． ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.②由①易得，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α. sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，∴sin α＝－35. ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan β＝－13，∴cos β＝－31010，sin β＝1010.cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1010＝31010.。
【南方新课堂】2015年高考数学大一轮专题复习 专题五 立体几何课时检测 文
专题五立体几何1．下列命题中，假命题的个数为( )①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边；②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；③与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在平面．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．在斜二测画法中，边长为a的正方形的直观图的面积为( )A．a2 B.2 2a2C.12a2 D.24a23．设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为( )A．3个 B．2个 C．1个 D．0个4．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是( )A．30° B．45°C．60° D．90°5．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30° B．45° C．60° D．90°6．给出命题：①在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；④若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心；⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．其中正确的命题是______________________(只填序号)．7．(2012年辽宁)一个几何体的三视图如图K51，则该几何体的表面积为____________．图K518．(2013年广东广州一模)如图K52，在三棱锥P－ABC中，∠PAB＝∠PAC＝∠ACB＝90°.(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AB＝2，当三棱锥P－ABC的体积最大时，求BC的长．图K529．如图K53，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.(1)求证：NC∥平面MFD；(2)若EC＝3，求证：ND⊥FC；(3)求四面体N－FEC体积的最大值．图K53专题五 立体几何 1．B 2.D 3.C4．A 解析：连接AC ，则AC 是PC 在平面ABCD 上的射影．∴∠PCA 是PC 与平面ABCD所成的角．∵AB ＝1，BC ＝2，∴AC ＝ 3.∴在Rt△PAC 中，tan ∠PCA ＝PA AC ＝13＝33.∴∠PCA ＝30°.故选A.5．C 解析：延长CA 到D ，使得AD ＝AC ，则ADA 1C 1为平行四边形，∠DA 1B 就是异面直线BA 1与AC 1所成的角．又△A 1DB 为等边三角形，∴∠DA 1B ＝60°.6．②④ 解析：①错误，垂直于同一平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m ⊥β”的必要非充分条件；⑤错误，只有当异面直线a ，b 垂直时可以作出满足要求的平面．7．38 解析：由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为2(3×4＋4×1＋3×1)＋2π×1×1－2π＝38.8．(1)证明：因为∠PAB ＝∠PAC ＝90°， 所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC .因为AB ∩AC ＝A ，所以PA ⊥平面ABC . 因为BC ⊂平面ABC ，所以BC ⊥PA . 因为∠ACB ＝90°，所以BC ⊥CA . 因为PA ∩CA ＝A ，所以BC ⊥平面PAC .因为BA ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAC .(2)方法一，由已知及(1)所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC ⊥CA ， 所以PA 是三棱锥P －ABC 的高．因为PA ＝1，AB ＝2，设BC ＝x (0<x <2)，所以AC ＝AB 2－BC 2＝22－x 2＝4－x 2.因为V P －ABC ＝13S △ABC ×PA＝16x 4－x 2＝16x 2－x 2 ≤16×x 2＋－x 22 ＝13. 当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时等号成立． 所以当三棱锥P －ABC 的体积最大时，BC ＝ 2. 方法二，由已知及(1)所证可知，PA ⊥平面ABC ， 所以PA 是三棱锥P －ABC 的高．因为∠ACB ＝90°，设∠ABC ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2， 则BC ＝AB cos θ＝2cos θ，AC ＝AB sin θ＝2sin θ.所以S △ABC ＝12×BC ×AC ＝12×2cos θ×2sin θ＝sin2θ.所以V P －ABC ＝13S △ABC ×PA＝13sin2θ.因为0<θ<π2，所以当θ＝π4时，V P －ABC 有最大值为13.此时BC ＝2cos π4＝ 2.所以当三棱锥P －ABC 的体积最大时，BC ＝ 2. 9．(1)证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形， 所以MN ∥EF ∥CD ，MN ＝EF ＝CD .所以四边形MNCD 是平行四边形，所以NC ∥MD . 因为NC ⊄平面MFD ，所以NC ∥平面MFD . (2)证明：连接ED ，设ED ∩FC ＝O .因为平面MNEF ⊥平面ECDF ，且NE ⊥EF ， 所以NE ⊥平面ECDF ，所以FC ⊥NE .又EC ＝CD ，所以四边形ECDF 为正方形，所以FC ⊥ED . 所以FC ⊥平面NED .所以ND ⊥FC .(3)解：设NE ＝x ，则EC ＝4－x ，其中0＜x ＜4. 由(1)得，NE ⊥平面FEC ，所以四面体N －FEC 的体积为V N －FEC ＝13S △EFC ·NE＝12x (4－x )． 所以V N －FEC ≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝2.当且仅当x ＝4－x ，即x ＝2时，四面体N －FEC 的体积最大． 第十四章 概 率第1讲 随机事件的概率 1．B 2.C 3.B4．D 解析：由互斥事件与对立事件的概念知答案为D.5．B 解析：由随机数可得：在20组随机数中满足条件的只有5组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.6.35 解析：共有取法5种，其中理科书为3种，∴p ＝35. 7．30% 解析：甲、乙二人下成和棋的概率为80%－50%＝30%，故答案为30%. 8.815 14159．解：(1)至少有一人排队的概率为p 1＝1－0.10＝0.90. (2)至多2人排队的概率为p 1＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56. (3)至少2人排队的概率为p 2＝1－(0.10＋0.16)＝0.74.10．解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3(2)P ＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210) ＝120＋320＋220＝310. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为310. 第2讲 古典概型 1．D 2.D 3.C 4．A 解析：试验是连续掷两次骰子．故共包含6×6＝36(个)基本事件．事件“点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝5下方”，包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)共6个基本事件，故p ＝636＝16.5．D 解析：设到会男教师x 人，则女教师为x ＋12人，由条件知，x x ＋x ＋＝920，∴x ＝54，∴2x ＋12＝120.故选D.6．D 7.49解析：2件正品记为a ，b ，次品记为c ，则有放回地连续取两次的基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，(b ，a )，(c ，a )，(c ，b )，(a ，a )，(b ，b )，(c ，c )共9个．记“恰好有一件次品”为事件A ，则A 含有的基本事件数为4个．∴P (A )＝49.8.712 解析：∵cos θ＝m －n 2·m 2＋n 2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴m ≥n ，满足条件m ＝n 的概率为636＝16，m >n 的概率与m <n 的概率相等，∴m >n 的概率为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16＝512，∴满足m ≥n 的概率为p ＝16＋512＝712.9．解：(1)由样本数据知，30件产品中等级系数ξ≥7有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．∴样本中一等品的频率为630＝0.2，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2；二等品的频率为930＝0.3，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；三等品的频率为1530＝0.5，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5.(2)样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件， 记等级系数为7的3件产品分别为C 1，C 2，C 3，等级系数为8的3件产品分别为P 1，P 2，P 3.则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：(C 1，C 2)，(C 1，C 3)，(C 2，C 3)，(P 1，P 2)，(P 1，P 3)，(P 2，P 3)，(C 1，P 1)，(C 1，P 2)，(C 1，P 3)，(C 2，P 1)，(C 2，P 2)，(C 2，P 3)，(C 3，P 1)，(C 3，P 2)，(C 3，P 3)，共15种．记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A ， 则A 包含的基本事件有(P 1，P 2)，(P 1，P 3)，(P 2，P 3)共3种，故所求的概率P (A )＝315＝15.10．解：(1)依题意，分层抽样的抽样比为354＝118.∴在一年级抽取的人数为36×118＝2(人)．在二年级抽取的人数为72×118＝4(人)．所以一、二年级志愿者的人数分别为2人和4人．(2)①用A 1，A 2表示样本中一年级的2名志愿者，用a 1，a 2，a 3，a 4表示样本中二年级的4名志愿者．则抽取2人的情况为A 1A 2，A 1a 1，A 1a 2，A 1a 3，A 1a 4，A 2a 1，A 2a 2，A 2a 3，A 2a 4，a 1a 2，a 1a 3，a 1a 4，a 2a 3，a 2a 4，a 3a 4，共15种．②抽取的2人在同一年级的情况是A 1A 2，a 1a 2，a 1a 3，a 1a 4，a 2a 3，a 2a 4，a 3a 4，共7种． ∵每一种情况发生的可能性都是等可能的，∴抽取的2人是同一年级的概率为715.第3讲 几何概型 1．C 2.A 3.C4．A 解析：在区间[－1,1]上随机取一个数x ，即x ∈[－1,1]时，要使cos πx2的值介于0到12之间，需使－π2≤πx 2≤－π3或π3≤πx 2≤π2，∴－1≤x ≤－23或23≤x ≤1，区间长度为23，由几何概型知cos πx 2的值介于0～12之间的概率为232＝13. 5．A 解析：∵扇形ADE 的半径为1，圆心角等于90°，∴扇形ADE 的面积为S 1＝14×π×12＝π4.同理可得，扇形CBF 的面积S 2＝π4.又∵长方形ABCD 的面积S ＝2×1＝2，∴在该矩形区域随机地选一地点，则该地点无信号的概率是p ＝S －S 1＋S 2S ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π42＝1－π4.6．1－π47．D 解析： 记“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”为事件M ，试验的全部结果构成的长度即为线段CD ，构成事件M 的长度为线段CD 其一半，根据对称性，当PD ＝14CD 时，AB ＝PB ，如图D84.设CD ＝4x ，则AF ＝DP ＝x ，BF ＝3x ，再设AD ＝y ， PB ＝BF 2＋PF 2＝x 2＋y 2，于是x 2＋y 2＝4x ，解得y 4x ＝74，从而AD AB ＝74.图D848.π－24π解析：即图D85中弓形面积占圆面积的比例，属面积型几何概型，概率为π－24π.图D85 图D869．解：如图D86，试验的全部结果所构成的区域为 {(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，故所求的概率为P (A )＝3×2－12×223×2＝23.10．解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a∥b ，得x ＝2y .基本事件有(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)．共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．故P (A )＝212＝16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .Ω＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2－1≤y ≤1， B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，作出可行域如图D87，图D87可得P (B )＝μB μΩ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×23×2＝13.。
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第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式
1．(2012年陕西)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos2θ＝( ) A.22 B.12
C ．0
D ．－1
2．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4()ω>0的图象向右平移π6
个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为( ) A.16 B.14
C.13
D.12
3．(2012年重庆)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
4．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α
的值为( ) A.103 B.53
C.23 D ．－2 5．(2012年山东)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin2θ＝3 78
，则sin θ＝( ) A.35 B.45
C.74
D.34
6．(2012年全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33
，则cos2α＝( ) A ．－53 B ．－59
C.59
D.53
7．(2013年江西)函数y ＝sin2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．
8．求值：2cos10°－sin20°cos20°
＝________. 9．(2013年江西)设f (x )＝3sin3x ＋cos3x ，若对任意实数x 都有|f (x )|≤a ，则实数a 的取值范围是__________．
10．(2012年陕西)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两
条对称轴之间的距离为π2
.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则f ⎝⎛⎭
⎫α2＝2，求α的值．
11．(2011年天津)已知函数f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4， (1)求函数的定义域与最小正周期；
(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭
⎫α2＝2cos 2α，求α的大小．
第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式
1.C
2.D
3.A
4.A
5.D
6．A 解析：∵sin α＋cos α＝33，∴两边平方，得1＋2sin αcos α＝13.∴2sin αcos α＝－23
<0.∵已知α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53
＝153，∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝－153×33＝－53
.故选A. 7．π
8.3 解析：原式＝2cos (30°－20°)－sin20°cos20°
＝2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°cos20°
＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝ 3. 9．a ≥2 解析：∵不等式|f (x )|≤a 对任意实数x 恒成立，
令F (x )＝|f (x )|＝|3sin3x ＋cos3x |，则a ≥F (x )max .
∵f (x )＝3sin3x ＋cos3x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫3x ＋π6， ∴－2≤f (x )≤2.∴0≤F (x )≤2，F (x )max ＝2.∴a ≥2.
即实数a 的取值范围是a ≥2.
10．解：(1)∵函数的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2
， ∴最小正周期为T ＝π.
∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭
⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝
⎛⎭⎫α－ π6＝12. ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3
. ∴α－π6＝π6，故α＝π3
. 11．解：(1)函数的定义域满足2x ＋π4≠k π＋π2
，k ∈Z ， 解得x ≠π8＋k π2
，k ∈Z . 所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ≠π8＋k π2，k ∈Z . 最小正周期为T ＝π2
. (2)方法一：因为f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos 2α，
所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos 2α，
所以sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2()cos 2α－sin 2α， 于是sin α＋cos αcos α－sin α
＝2()cos α＋sin α()cos α－sin α， 因为α∈⎝⎛⎭
⎫0，π4，所以sin ＋cos α≠0， 所以()cos α－sin α2＝12
， 因而1－2sin αcos α＝12，sin 2α＝12
， 因为α∈⎝⎛⎭
⎫0，π4， 所以2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α＝π6，α＝π12
. 方法二：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos 2α＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π4＝4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4， 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π4≠0. 得cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝14.故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12
. 于是α＋π4＝π3.所以α＝π12
.。