中考填空题中的创新题型例析
2021年中考语文真题分类训练： 创新表达(含解析)
1. [2021·台州]学校将成立航天社团。
下面是征集到的航天社团备选名称，请选出你认为最适合的一项，并说明理由。
（2分）A.“鲲鹏”航天社B.“北斗”航天社C.“祝融”航天社D.“夸父”航天社A示例：“鲲鹏”出自庄子的《逍遥游》，是中国古代神话传说中奇大无比的生物，能上天入海。
用“鲲鹏”来给航天社团命名，表达了航天社团对浩瀚宇宙的向往，还寓意着“鹏程万里”的远大志向。
B示例：“北斗”是我国古人用来判断方向的星座，先人们用北斗来指引漫漫长路上前进的方向。
用“北斗”给航天社团命名，表明了航天社团将在科学知识的指引下探索浩瀚星空和未知宇宙。
C示例：“祝融”在中国传统文化中被尊为火神，象征着光明，“祝融号”火星车成功着陆火星是我国在航天领域取得的新成就，用“祝融”来给航天社团命名，表明航天社团紧跟航天事业发展的步伐，也表达了对未知宇宙的探索愿望。
D示例：“夸父”是中国古代神话传说中的人物，“夸父逐日”的故事表现了古人征服自然的勇气和决心，用“夸父”给航天社团命名，表达了航天社团探索浩瀚太空的勇气和决心。
【解析】本题考查对航天社团命名的理解。
解答此题，要理解“鲲鹏”“北斗”“祝融”“夸父”的含义，要分析出其与航天社团的关联。
言之成理即可。
2.[2021·河北]下面是河北省园博园中的四块广告牌，请从中选出一则你最喜欢的公益广告词，并说明理由。
(3分)甲乙丙丁我选中的广告词，理由是：。
2.（3分）示例一：甲：用词典雅，而且押韵，富有文化气息，具有良好的宣传效果。
示例二：乙：运用拟人的修辞手法，生动形象，通俗易懂，读来朗朗上口。
示例三：丙：运用对偶的修辞手法，句式整齐，提示人们要爱信花草树木。
示例四：丁：用平实的语言提示我们要珍爱环境，浅显易懂，明白晓畅。
【解析】本题考查广告语的运用。
公益广告词的拟写应遵循正面宣传为主、提醒规劝为辅的原则，以高尚的情操引导人，以真挚的情感感染人，以清新优美的语言打动人，以新颖的创意吸引人。
例析中考中创新性问题论文
例析中考中的创新性问题纵观近年全国各地中考数学试题，创新性问题成为一个新的亮点，这类问题立意新颖、构思精巧、形式多样，从题材的选材，文字的表达到题型的设计，都颇具特色。
它有利于提高学生的数学素养，培养学生的创新能力。
本人从近三年全国各地中考试题中选出几题予以剖析，也许还不成熟，敬请老师们批评指教。
一、阅读理解问题阅读理解问题的特征有三种：①阅读特殊范例，推出一般结论；②阅读解题过程，总结解题规律或方法；③阅读新知识，研究新应用。
例：（2012·淮安）阅读理解如图①②③，△abc中，沿∠bac的平分线ab1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠b1a1c的平分线a1b2折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠bnanc的平分线anbn+1折叠，点bn与点c重合.无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠bac是△abc 的好角。
图①图②图③小丽展示了确定∠bac是△abc的好角的两种情形。
情形一：如题28-2图，沿等腰三角形abc顶角∠bac的平分线ab1折叠，点b与点c重合；情形二：如题28-3图，沿△abc的∠bac的平分线ab1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠b1a1c的平分线 a1b2折叠，此时点b1与点c重合。
探究发现：（1）△abc中，∠b=2∠c，经过两次折叠，∠bac是不是△abc 的好角？ .（填：“是”或“不是”）。
（2）小丽经过三次折叠发现了∠bac是△abc的好角，请探究∠b与∠c（不妨设∠b >∠c）之间的等量关系。
根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠bac是△abc的好角，则∠b与∠c（不妨设∠b>∠c）之问的等量关系为。
应用提升：（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°，60°，l05°，发现60°和l05°的两个角都是此三角形的好角。
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角。
2021河南中考数学试卷评析(附5年)
2021河南中考数学试卷评析（附5年）2021年河南省中考数学试卷，基本延续了去年的题型结构，内容覆盖面广，大部分题目偏基础，但是稳中有新、目标明确，从知识技能、数学思考到问题解决、情感态度对学生进行了全面考查。
今年中考数学试卷整体结构与往年基本一致，但也有一些变化向我们指引了中考的新方向．一、从分值上看，填选的分值保持不变，解答题方面16题分值从8分改为10分，21题由10分改为9分，23题由11分改为10分；略微调整了基础题与难题之间的分数比例，践行国家提倡的双减行动．从这个方向看，河南中考相对于前几年，有意识的在下调难度．二、从题型来看，15题没有延续去年最值问题的考查，回归了折叠问题，不过也有创新点，出现了2次折叠，但分析角度并没有太大变化；16题由化简求值改为分别进行数的计算与式的计算；22题去年的新函数问题今年没有再延续，但探究函数本身相关性质仍是主要考查点；同时23题由经典的类比探究改为探究尺规作图的原理及应用．从这些变化的角度来说，题型的变化更灵活，更重视数学基础，数学思维的考查，而弱化了题目的综合度．这个方向是要引导学生更重视课本，扎实基础．培养基本能力和核心素养，而不是死搬硬套知识套路，更有利于学生的成长．三、从题目背景来看，很多题目都融合现实背景．例如第2题体现了河南人民互相帮扶的可贵品质；第8题的北斗，天问，高铁，九章唤醒孩子们的民族自豪感；13题和17题体现了数据统计对于现实生活的指导；19题、20题、21题从古代人民的智慧结晶到现代的经济生活，情景紧密联系实际，让学生从生活中抽象出数学问题．这些变化彰显了数学的应用价值和育人价值．四、整体来看，从去年的中考改革以来，河南中考更重视了题目的推陈出新，更突出对于知识应用性的考查，凸显了数学运算，数学推理，数学建模等核心素养的考查．对于善于探索，追根溯源的学生是个好消息，而对于死记硬背，生搬套路的学生则会痛苦一些，这有利于改变现有的一些教育现况，从中高考开始改革才能真正带来学校的变革。
开阔视野 拓展思维——2008年中考创新试题例析
语 ” 或概 述 其 主 要事 迹 ． 点 ｍ其 精 神 品 质 （ ， 或 不
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２０ ０ ８年 各地 中 考语 文 试题 巾涌 现 了 一 大批
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评 析 主 题 词 型
真题再 现 ：
（ 重庆 市 ） ５－ ２ 汶 川 大 地 震 ， 万 生 命 罹 “ １” 数
此 题 要求 考 生 写 赞颂 语 首先 要 确 定 赞 颂
难 “ 震救 灾” 抗 之歌 ， 响彻 中华 大地 。 你 完成 以 谁 ， 请 从备 选 名 人 中选 择 自己最 熟 悉 的 人物 ： 次 其 下任 务 ：灾后 各地 电视 台纷 纷举 行 赈灾 义演 ， 下 要 明 白赞 颂 什 么 ． 抓 住题 目要 求 中 的 “ 概 述 要 或 面是 四个 电视 台义演 现场 的主题 词 ． 清从 中选 择 其 主要 事迹 ， 点 出其精 神 品质 ” 最 后要 解决 如 或 、 ：
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奉 献 ” 是 很 好 的例 子 ． 生要 抓 住 每个 电视 台 就 考 主 题词 的特 有意 蕴来评 述 ．最好 突 出精 神意 蕴 ， 语 言表 达清 楚 即可 。
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语言。 可采 用对 偶句 的形 式 参 考答 案 ： 王充 ： 冲破 了唯 心哲 学 ， 奠定 了唯 物 观 念 ； 的《 衡 》 除 迷信 ， 的思 想 闪耀 科 你 论 扫 你
三角函数创新题型分类例析
三角函数创新题型分类例析一．结论开放型例1 关于函数f （x ）＝4 sin （2 x ＋3π）（x ∈R ），下列命题： ① 由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得x 1－x 2 必为 的整数倍； ② y ＝f （x ）的表达式可改写为y ＝4 cos （2 x －6π）； ③ y ＝f （x ）的图象关于（－6π，0）对称； ④ y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝－6π对称． 其中正确的命题的序号是______________．（注：把你认为正确的命题的序号都填上．）【分析】处理本题时没有捷径可走，只能一一分析．对于①，利用sin ＝0⇔ ＝k （k ∈Z ）求解；对于②，要考察sin （2 x ＋3π）能否变为cos （2 x －4π），可选用能“变名”的诱导公式（如“2π－ ”等）进行试验；对于③、④，注意一般的结论：y ＝A ·sin （ x ＋ ）或y ＝A cos （ x ＋ ）的函数图象与x 轴交点就是其对称中心，过图象的最高点或最低点且与x 轴垂直的直线就是图象的对称轴．【解答】检验①，由f （x 1）＝0，得2 x 1＋3π＝k 1 ， 所以x 1＝2π1k －6π． 同理由f （x 2）＝0，得x 2＝2π2k －6π，（其中k 1，k 2 ∈Z ）．所以x 1－x 2＝221k k -· ， 而221k k -不能保证是整数，因此①不正确． 检验②，f （x ）＝4 sin （2 x ＋3π）＝4 cos[2π－（2 x ＋3π）]＝4 cos （6π－2 x ）＝4 cos （2 x －6π）， 故②正确．检验③，由sin （2 x ＋3π）＝0，得2 x ＋3π＝k （k ∈Z ），x ＝2πk －6x ， 取k ＝0得x ＝－6π， 所以f （x ）图象与x 轴的一个交点为（－6π，0），即f （x ）图象关于（－6π，0）成中心对称，因此③正确．检验④，由③正确可知④错误．【点评】本题主要考查三角函数图象的对称性和诱导公式等．此类多选填空题对基础知识的准确性、系统性要求较要．二．是否存在型。
渠县第七中学八年级数学下册 第十八章 平行四边形创新题赏析 新人教版 (2)
如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．
解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；
(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
方法总结：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
二、判断类比型
例2。
已知任意四边形ABCD，且线段AB、BC、CD、DA、AC、BD的中点分别是E、F、G、H、P、Q。
（1）若四边形ABCD如图2—1，判断下列结论是否正确(正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×")。
甲：顺次连接EF、FG、GH、HE一定得到平行四边形;（）
乙：顺次连接EQ、QG、GP、PE一定得到平行四边形。(）
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
解析：∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15cm.故选C.
方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
中考物理试题题型特点分析
中考物理试题题型特点分析物理新课程的基本理念是：注重全体学生发展，改变学科本位观念；从生活走向物理，从物理走向社会；注重科学探究，提倡学习方式多样化；注意学科渗透，关心科技发展。
因此，今后的中考命题在重视学生基本知识考查的同时，将会更加突出能力立意。
中考试卷中除了经典题之外，还将会出现材料新颖、背景新颖、视觉新颖，把物理知识的考查与科技、社会、生活、生产联系起来的新题。
一、选择题（注重基础，贴近生活）课改后的中考选择题以考查学生的基本知识和辨析能力为主。
现在的选择题淡化了对概念、定律、公式的炒作，淡化了计算，通常以贴近生活的知识为背景，以学生喜闻乐见的事实为基础，把基本概念和规律溶于其中。
试题的编制和设计都从生活实际现象或实际问题入手，都来源于学生生活中熟悉或熟知的生活现象，使学生不感到陌生，让学生体会到生活处处有物理，物理时时在身边，试题鲜活、基础，趣味性强。
例1以下学习用品中，在通常情况下属于导体的是（）A．塑料刻度尺 B．物理课本 C．绘画橡皮 D．金属小刀片评析：此题四个选项中列举的都是学生的学习必用品，学生随身携带，即使是在考场上学生也会带在身边，只要学生知道导体就是容易导电的物体，绝缘体就是不善于导电的物体，在学习或生活中稍加留心，就会知道金属是导体。
答案：D例2小刚拆开了家庭电路中常用的白炽灯泡和灯头，如图1所示，则以下灯泡和灯头上的各部件中全部属于绝缘体的是（）A．灯头后盖、螺旋 B．玻璃泡、锡块 C．螺旋、金属片 D．灯头后盖、玻璃泡评析：学了电学之后，学生就会关注家庭电路中的一些用电器的结构和工作情况，特别是对白炽灯泡有一定的认识。
即使有的学生没有注意灯泡和灯座的构造，试题提供的图形也给了他们的再认识。
2023年中考数学必刷真题考点专题31新定义与阅读理解创新型问题【原卷版】
专题31新定义与阅读理解创新型问题一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．02．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n ＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．33．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共1小题）4．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为．三．解答题（共23小题）5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．6．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是；（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．9．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”；（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．11．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．12．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．13．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC 和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝．14．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形“等形点”（填“存在”或“不存在”）；（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4，OA＝5，BC＝12，连接AC，求AC的长；（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求的值．15．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE；（2）解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．16．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME17．（2022•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN ⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B 点重合时，B，N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.51 1.5 1.82 2.53 3.54 4.55y/cm4 3.96 3.79 3.47a 2.99 2.40 1.79 1.230.740.330请你通过计算，补全表格：a＝；（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x 的图象；（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：；（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是cm．（结果保留两位小数）18．（2022•深圳）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2y＝2（x﹣3）2+6（0，0）（3，m）（1，2）（4，8）（2，8）（5，14）（﹣1，2）（2，8）（﹣2，8）（1，14）（1）m的值为；（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1x2．（填不等号）19．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由；（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？20．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．21．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．x/kg……0.250.5124……y/cm…………22．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0，2|＝；②min|﹣，﹣4|＝．（2）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．23．（2022•赤峰）【生活情境】为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD 进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是（可省略单位），水池2面积的最大值是m2；（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是，此时的x（m）值是；（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是；（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．24．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH ＝1．【基础训练】（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：，．【技能训练】（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；【能力提升】（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升华】（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．25．（2022•贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD 中，AN为BC边上的高，＝m，点M在AD边上，且BA＝BM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则＝；（2）问题探究：如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；（3）拓展延伸：当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．26．（2022•呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF 于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．设＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．27．（2022•潍坊）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．。
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剖析初高中接轨的中考题的特征江苏省泰州市九龙实验学校 顾广林（225300）（此文在核心期刊《中学数学教学》2007.1上发表）新课标实施以来，不少地方的中考题渗透了高中数学的知识，这样的试题背景新、设问巧，它们或以高中数学知识为背景，或体现高中数学中常用的数学思想方法和推理方法.这类试题主要考查学生的心理素质，自学能力和快速阅读理解能力，考查解题者的观察分析、辨别是非、类比操作、抽象概括、数学归纳以及数学语言表达能力.由于中考的选择功能，这类试题往往倍受命题者的青睐，成为中考题中一道亮丽的风景.下面就以近几年来年全国各地中考题为例，说明这些试题的几个主要特征.1．语言叙述渗透高中知识数学语言是自然语言、符号语言、图象语言等的有机结合.有些中考试题中的语言叙述有浓烈的高中数学色彩.例1．（绍兴市中考题）如果一个序列{}n a 满足n n a a a n n (2,211+==+为自然数），那么_________100=a .解析：,12,,982,99212989999100⨯=-⨯=-⨯=-a a a a a a 各式相加得),9921(21100 ++=-a a 从而.9902100=a点评：已知条件是数列的递推公式，本题的叙述方式采用了符号语言，具有高中代数的特征；另外解题方法也是数列问题中常用的方法，是整体思想的运用.这道试题的得分率极低，原因是学生看不懂题目的意思或解题方法想不到.在平时教学中要让学生适当接触用简洁的符号语言表述的题目以及一些需要创新的解题方法.例2． （苏州市中考题）如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心作︒0～︒90的旋转，旋转时露出的⊿ABC 的面积（S ）随着旋转角度（n ）的变化而变化.下面表示S 与n 的关系的图像大致是（ ）解析：可通过操作发现⊿ABC 的面积在︒0～︒45逐渐增大，在︒45～︒90又逐渐减小.故选B.点评：本题中对图象语言的翻译，以及其叙述方式都具有高中数学的特征.解决这类问题主要是求出两个变量之间的函数关系式，但本题只要观察就可得到变量之间的变化规律.这类试题较好地体现了《课程标准》所关注的“图形变化过程的基本规律”以及“函数是刻画变化着的事物间的相互关系”的理念.2．知识背景渗透高中知识有一些中考试题以中学数学知识为载体，而设计直接来源于高中数学，有高中数学的背景.例3．（玉溪市中考题）对于正数x ，规定f （x ）= x 1x +,例如f （3）=33134=+，f （13）=1131413=+， 计算f （12006）+ f （12005）+ f （12004）+ …f （13）+ f （12）+ f （1）+ f （1）+ f （2）+ f （3）+ … + f （2004）+ f （2005）+ f （2006）= .解析:,显然不可能将2006,,20051,20061⋅⋅⋅代入求解,但是若注意到其中的对偶性,进而构造对偶式)1()(x f x f +的话,则易知)1()(xf x f +=1,从而结果为2006. 点评：该函数的表达形式是高中函数的表达形式，是超越函数.要求学生用分析的态度、探究的目光，O A B C·通过赋值尝试及数学化活动等实现知识原理、方法的迁移.解决这类问题的关键是掌握新规则，然后运用归纳与类比的方法，使问题获得解决，此类试题旨在培养学生综合运用知识解决问题的能力，是“学生的可持续发展”理念的体现.例4．（咸宁市中考题）某集团总公司决定将下属的一个分公司对外招商承包，有符合条件的两企业A 、B 分别拟定上缴利润方案如下：A ：每年结算一次上缴利润，第一年上缴利润1万元，以后每年比前一年增加1万元；B ：每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴利润0.3万元，以后每半年比前半年增加0.3万元.（1） 如果承包4年，你认为应该由哪家企业承包总公司获利多？（2） 如果承包n 年，请用含n 的代数式分别表示两企业上缴利润的总金额（单位：万元）解析：通过分析，不难发现每次上缴利润都与上一次相差一个相等的常数，具有这种规律的一列数，除了直接相加外，还可以推得下面的公式来计算它们的和S.2)(1n a a n S +=（其中n 表示数的个数，1a 表示第一个数，n a 表示最后一个数）.（1）10)41(24=+⨯=A S （万元）；8.102)4.23.0(8=+⨯=B S （万元）. ∴承包给企业B ，总公司获利多.（2）2)1(n n S A +=；.6.03.02)23.03.0(22n n n n S B +=⋅+= 点评：本题取材于高中代数中的“等差数列”求和公式的内容. 学生可探索规律导出等差数列求和公式，为今后学习高中数学打下基础，也为初、高中数学知识的衔接起到了有益的承上启下的作用.事实上等差数列的内容小学、初中都不时出现，所以很有必要讲一些等差数列的基本内容.针对学情，适当补充一些课本外的内容应该是被提倡的教学行为，这也是我国数学教育的优秀传统.用更好、更有份量的知识武装学生的头脑可能会更高效的培养学生的思维，也更有利于减轻学生的学业负担.3．推理方式渗透高中知识3.1 加强了合情推理的考查合情推理主要有毛估、类比、归纳等.《课程标准》明确指出合情推理能力在科学发现和学生发展中具有不可代替的作用.因此， 中考中独具匠心地设置了一些问题考查学生的合情推理能力.例5.（泰州市中考题）我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，例如正方体都是相似体.请归纳出相似体的三条主要性质①_____________;②_____________;③________________.解析：这是由一类事物（相似形）到与其相似的一类事物（相似体）间的类比. 或者说是由低维（平面）到高维（空间）的类比.通过两个正方体，类比相似形不难得出相似体的三条主要性质：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比；相似体表面积的比等于相似比的平方；相似体体积的比等于相似比的立方.点评：本题要求学生分析、类比、归纳，整个解题过程是一个探究新知识的过程，也是一个新知识形成的过程，充分体现了由特殊到一般的推理方法.例6.（济南市中考题）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为k n2（其中k 是使k n 2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是_____________________________．解析：根据定义的“F ”运算算几步：4491815121691352→→→→→→ 81→→，就会发现规律，结果是8.点评：所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律，它是发现和认识规律的重要手段.本题还有算法语言的特征，与信息技术相联系.平时的教学不能局限于课本，可以设计一些归纳性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律. 26 13 44 11 第一次 F ② 第二次 F ① 第三次 F ② …例7(启东中学自招班试题)已知S=199111982119811198011+⋅⋅⋅+++,则S 的整数部分是________.解析： 199111981119801+⋅⋅⋅++<16511219801=⨯ 199111981119801+⋅⋅⋅++>1991121219911=⨯ 即1211165165<<S . ∴S 的整数部分是165. 点评：直接计算很繁,若通过“放缩法”,估算出S 的取值范围,问题就迎刃而解.3.2加强了“渗透型”问题的考查所谓“渗透型”问题是指与高中数学概念相关的问题.它既能考查学生对新知识的理解接受能力，又能考查学生适应新问题、运用新知识解决实际问题的能力.因而有利于学生在获得解答的过程中养成探究习惯，提高自学水平和数学素养.例8（鄂州市中考题）从A 、B 、C 三人中选取二人当代表，有A 和B 、A 和C 、B 和C 三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素的组合，记作.3122323=⨯⨯=C 一般地，从m 个元素中选取n 个元素的组合，记作12)2)(1()1()2)(1(⋅--+---= n n n n m m m m C n m .根据以上分析，从6人中选取4人当代表的不同选法有___________种. 解析：根据题中的组合的意义及其计算公式，有151234345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C 种. 点评：本题取材于高中代数中的“组合”内容，要求学生通过阅读自学，弄清楚组合的意义及其计算公式，并能解决有关问题.既能考查学生对“组合”这一新知识的理解与运用能力，又能锻炼学生获取知识的自学能力，因而有利于学生在获得解答的过程中，养成探索习惯提高自学水平和数学素养，这道题让学生既能“学会”，又能“会学”，学会终生学习. 3.3 代数推理与高中数学接轨代数推理题在中考中历来倍受重视.近年来更是出现了不少观点高、设问新颖的代数推理题.例9（荆门市中考题）已知实数a 、b 、c 满足0236,1222=+++=++c b a c b a ， 求a 、b 、c 的值.解法一：由已知得,21c b a -=+① ， 02362)(2=++-+c ab b a ②， 将①代入②，整理得4522++=c c ab ③.由①、③可知a 、b 是关于t 的方程0452)21(22=+++--c c t c t ④的两个实数根，,0)452(4)21(22≥++--=∆∴c c c 即.0)1(2≤+c 而01,0)1(2=+∴≥+c c ，.1-=c 将1-=c 代入④得23,0493212==∴=+-t t t t ，即23==b a . 1,23-===∴c b a . 解法二：.21,12c b a c b a -=+∴=++ 设t c b t c a --=+-=221,221① 02362)(,0236222=++-+∴=+++c ab b a c b a ②.将①代入②得0236)221)(221(2)21(2=++--+---c t c t c c .整理得0)1(22=++c t ，1,0-==∴c t .将t 、c 的值同时代入①得23,23==b a 1,23-===∴c b a . 点评：解法一采用的是构造法及逼近法，解法二采用的是均值换元法，都是创造性地解决问题.本题考查的内容并没有超出中学教材的范畴，然而其形式到方法都已在更高层次上考查学生的逻辑思维能力，是命题者运用高中数学中的代数推理方法，居高临下而设计的.在中考复习时，构造法应作为一个专题进行复习，让学生系统掌握用构造法解题.在对待渗透高中数学知识的中考题时要注意以下两个方面：一是试题的起点高，但落点低，即试题的设计虽来源于高中数学，但解决的方法是初中所学的数学知识，而不是将高中数学引入中考；二是试题有利于区分考生能力，在今后中考中还会出现，在复习时要加强“双基”，引导学生构建知识网络，提高学生的应变能力和创新能力，才能更适应新课程的中考要求. 另外由于 初中课标教材和高中教材的深度衔接不上，所以要适当补充初、高中接轨的内容，开拓学生的视野，提高学生的思维和创新能力，同时为了适应将来的高中学习要培养学生逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑，会创新和独立获取新知识的良好习惯，提高学习数学的科学素养.这样才能在今后的学习中立于不败之地.。