推荐高中数学1-2任意角的三角函数1-2-3同角三角函数的基本关系式同步训练新人教B版必修4
高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系优化练习
第1课时 三角函数的诱导公式一～四[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )A ．－43B.34 C ．±34D ．±43解析：因为α是第二象限角，sin α＝45，所以cos α＝－1－sin 2α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝－43.答案：A2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( )A ．－2B ．2 C.2316D ．－2316解析：由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，分子分母同除以cos α得：tan α－23tan α＋5＝－5，解得tanα＝－2316.答案：D3．化简：1－2sin 10°·cos 10°＝( ) A ．cos 10°－sin 10° B ．sin 10°－cos 10° C ．sin 10°＋cos 10° D ．不确定解析：原式＝sin 210°－2sin 10°·cos 10°＋cos 210° ＝sin 10°－cos 10°2＝|sin 10°－cos 10°|＝cos 10°－sin 10° 答案：A4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15B ．－35C.15D.35解析：sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α) ＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. 答案：B5．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A.34 B ．±310C.310D ．－310解析：由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，解得sin θcos θ＝310.答案：C6．化简(1＋tan 2α)·cos 2α＝________.解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2 α＝cos 2 α＋sin 2 α＝1. 答案：17．已知sin α·tan α＝1，则cos α＝________.解析：sin 2α＋cos 2α＝1，由sin αtan α＝1，得sin 2α＝cos α，令cos α＝x ，x >0，则1－x 2＝x ，解得x ＝－1＋52.答案：－1＋528．若非零实数m ，n 满足tan α－sin α＝m ，tan α＋sin α＝n ，则cos α等于________．解析：已知两等式联立，得⎩⎪⎨⎪⎧tan α－sin α＝m ，tan α＋sin α＝n ，解得tan α＝m ＋n2，sin α＝n －m2，则cos α＝sin αtan α＝n －mn ＋m .答案：n －mm ＋n9．求证：tan α·sin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan α·sin α.证明：左边＝sin 2αsin α－sin α·cos α＝sin α1－cos α，右边＝sin α＋sin α·cos αsin 2α＝1＋cos αsin α. ∵sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)， ∴sin α1－cos α＝1＋cos αsin α，即左边＝右边，∴原式成立．10．已知在△ABC 中，sin A ＋c os A ＝15.(1)求sin A ·cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解析：(1)由sin A ＋cos A ＝15，两边平方，得1＋2sin A ·cos A ＝125，所以sin A ·cos A ＝－1225.(2)由(1)得sin A ·cos A ＝－1225<0.又0<A <π，所以cos A <0，所以A 为钝角．所以△ABC 是钝角三角形． (3)因为sin A ·cos A ＝－1225，所以(sin A －cos A )2＝1－2sin A ·cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0， 所以sin A －cos A >0， 所以sin A －cos A ＝75.又sin A ＋cos A ＝15，所以sin A ＝45，cos A ＝－35.所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.[B 组 能力提升]1．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，那么这个三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：(sin α＋cos α)2＝49∴2sin αcos α＝－59＜0又∵α∈(0，π)，sin α＞0. ∴cos α＜0 ∴α为钝角． 答案：B2．已知sin α－cos α＝2，则tan α＝( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．1解析：将等式sin α－cos α＝2两边平方，得到2sin αcos α＝－1，整理得1＋2sin αcos α＝0，即sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝0，所以(sin α＋cos α)2＝0，所以sin α＋cos α＝0，由sin α－cos α＝2和sin α＋cos α＝0， 解得sin α＝22，cos α＝－22，故tan α＝sin αcos α＝－1. 答案：A3．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为________． 解析：由Δ≥0知，a ≤13.又⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝23 ①sin α·cos α＝a3②由①式两边平方得：sin αcos α＝－518，所以a 3＝－518，所以a ＝－56.答案：－564．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝________. 解析：由题意知cos A >0，即A 为锐角．将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A .∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，A ＝π3.答案：π35．已知sin α＋cos α＝13，α∈(0，π)，求tan α的值．解析：∵sin α＋cos α＝13，①将其两边同时平方， 得1＋2sin αcos α＝19，∴2sin αcos α＝－89.∵α∈(0，π)，∴cos α<0<sin α.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，∴sin α－cos α＝173.② 由①②得sin α＝1＋176，cos α＝1－176.∴tan α＝sin αcos α＝－9＋178.6．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋2m ＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求： (1)m 的值；(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值(其中cot θ＝1tan θ)； (3)方程的两根及此时θ的值．解析：(1)由根与系数的关系可知， sin θ＋cos θ＝3＋12，① sin θ·cos θ＝m .②将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32，所以sin θ·cos θ＝34， 代入②得m ＝34. (2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sinθ＋cos θ＝3＋12. (3)因为已求得m ＝34，所以原方程化为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又因为θ∈(0，π)， 所以θ＝π3或π6.。
[推荐学习]高中数学1.2任意角的三角函数1.2.3同角三角函数的基本关系式自我小测新人教B版必修4
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1.2.3 同角三角函数的基本关系式自我小测1．已知cos θ＝45，且32π<θ<2π，那么1tan θ的值为( ) A ．34 B ．－34 C ．53 D ．－ 432的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－23．已知tan α＝m 32a ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则sin α＝( )A ．．±D 4．若sin αcos α＝18，且4π<α<2π，则cos α－sin α的值为( )A ．2B ．－2C ．34D ．－345．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0＋cos a 的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．06＝－1，则α是第__________象限的角．7．若tan α＝13，则sin αcos α的值为__________． 8．若非零实数m ，n 满足tan α－sin α＝m ，tan α＋sin α＝n ，则cos α等于__________．9．证明： (1) 21cos sin cos a a a--－2sin cos tan 1a a a +-＝sin α＋cos α； (2)(2－cos 2α)(2＋tan 2α)＝(1＋2tan 2α)(2－sin 2α)．10．已知关于x 的方程2x 2－1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值．参考答案1．解析：由sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＝±1－cos2θ．因为32π<θ<2π，故sin θ<0，所以sin θ35，所以tan θ＝sincosθθ＝－34．所以1tanθ＝－43．答案：D2．答案：B3．答案：D4．解析：(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－14＝34，又因为sin α>cos α，所以cos α－sin α＝－2．答案：B 5．答案：D 6．答案：四7．答案：3 108．答案：n m m n -+9．证明：(1)左边＝2sinsin cosaa a-－222sin cossin coscos aa aa a+-＝2sinsin cosaa a-－2cos(sin cos)(sin cos)(sin cos)a a aa a a a+-+＝2sinsin cosaa a-－2cossin cosaa a-＝sin α＋cos α＝右边．故原式成立．(2)因为左边＝4＋2tan 2α－2cos 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋2sin 2α－sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α，右边＝(1＋2tan 2α)(1＋cos 2α)＝1＋cos 2α＋2tan 2α＋2sin 2α＝2＋2tan 2α＋sin 2α，所以左边＝右边，原式成立．10．解：由根与系数的关系，可知1sin cos ,2sin cos ,242380,m m θθθθ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+≥⎪⎩①②③ (1)由①式平方得1＋2sin θcos θ所以sin θcos θ综合②得2m m由③得m≤48+＝24+，而2<24+， 所以m＝2． (2)当m ＝2时，原方程变为2x 2－1)x ＋2＝0，解得x 1＝2，x 2＝12．所以sin 1cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或cos 1sin .2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又因为θ∈(0,2π)，所以θ＝3π或θ＝6π．。
高中数学1.2任意角的三角函数1.2.3同角三角函数的基本关系式优化训练
1.2.3 同角三角函数的基本关系式5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知sin α=53,α∈（0,π），则tan α的值等于（ ） A.34 B.43 C.±43 D.±34 解析：由sin 2α+cos 2α=1，α∈（0,π）， ∴cos α=±α2sin 1-=±54.∴tan α=ααcos sin =±43. 答案：C2.已知cos θ=54，且23π＜θ＜2π，那么θtan 1的值为（ ） A.43 B.43- C.35 D.34- 解析：由sin 2θ+cos 2θ=1，得sin θ=±θ2cos1-.因为23π＜θ＜2π，故sin θ＜0,所以sin θ=2)54(1--=53-,tan θ=θθcos sin =34-. 答案：D3.若tan α=t （t≠0），且sin α=21tt +-，则α是（ ）A.第一、二象限角B.第二、三象限角C.第三、四象限角D.第一、四象限角 解析：由tan α=ααcos sin 得cos α=ααtan sin ，所以cos α=211t+-＜0，故α是第二、三象限角.答案：B4.若tan α=2，则（1）cos 2α=________________；（2）sin 2α-cos 2α=________________. 解析：（1）由题意和基本三角恒等式，列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+,2cos sin ,1cos sin 22αααα 由②得sin α=2cos α,代入①，整理得5cos 2α=1，cos 2α=51. （2）由（1）得sin 2α=1-51=54,所以sin 2α-cos 2α=54-51=53. 答案：（1）51 (2) 5310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知sin α=53，并且α是第二象限角，那么tan α的值等于（ ） A.34- B.43- C.43 D.34解析：由sin 2α+cos 2α=1，α是第二象限角，得cos α=54)53(12-=--. ∴tan α=ααcos sin =43-. 答案：B2.如果角x 的终边位于第二象限，则函数y=xx xx 22sin 1cos cos 1sin -+-的值可化简为（ ）A.1B.2C.0D.-1解析：利用同角基本关系式sin 2x+cos 2x=1以及x 属于第二象限，有y=xxx x x x x cos cos sin sin |cos |cos |sin |sin -+=+=1-1=0.答案：C3.如果角α满足关系式αααα22tan 1cos cot 1sin +-+=1，则角α的终边位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：由已知条件有sin α|sin α|-cos α|cos α|=1，故sin α＞0且cos α＜0.所以α属于第二象限. 答案：B 4.化简53sin 12π-得到的结果是___________________. 解析：因为2π＜53π＜π，所以53π是第二象限角,cos 53π＜0, 所以53cos 53sin 122ππ=-=｜cos 53π｜=-cos 53π.答案：-cos53π5.已知2sin α-cos α=3sin α，那么cos α=_________________.解析：由2sin α-cos α=3sin α，得（2-3）sin α=cos α，sin α=（2+3）cos α，由sin 2α+cos 2α=1，得（2+3）2cos 2α+cos 2α=1，解之,得cos α=±426-. 答案：±426- 6.化简:)cos 1cos 1cos 1cos 1()sin 1sin 1sin 1sin 1(αααααααα+---+∙+---+.解：原式=［αααα2222cos )sin 1(cos )sin 1(--+］·［αααα2222sin )cos 1(sin )cos 1(--+］ =（|cos |sin 1|cos |sin 1αααα--+）·（|sin |cos 1|sin |cos 1αααα--+）=|sin |cos 2|cos |sin 2αααα∙=⎩⎨⎧-.,,4,,,4四象限时在第二三象限时在第一αα30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.设sin2α=54，且α是第二象限角，则tan 2α等于（ ） A.34 B.43 C.±34 D.±43 解析：∵α是第二象限角，∴2k π+2π＜α＜2k π+π（k∈Z ），k π+4π＜2α＜k π+2π（k∈Z ）.∴2α是第一、三象限角.而sin 2α=54＞0，∴2α是第一象限角，由sin 22α+cos 22α=1，得cos 2α=532sin12=-α，∴tan 342cos 2sin2==ααα. 答案：A 2.已知tanx=122-a a，其中0＜a ＜1，x 是三角形的一个内角，则cosx 的值为（ ） A.122+a aB.1122+-a aC.1122+-a a D.±1122+-a a 解析：∵0＜a ＜1,∴122-a a＜0.∴x 是第二、四象限角.又x 是三角形的一个内角, ∴x 是第二象限角.由题意和基本三角恒等式，得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+,12cos sin ,1cos sin 222a ax x x x解得cos 2x=（1122+-a a ）2，∴cosx=1122+-a a .答案：C3.如果tan θ=2，那么sin 2θ+sin θ·cos θ+cos 2θ的值是（ ） A.37 B.57 C.45 D.35 解析：由题意和基本三角恒等式，得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=,1cos sin ,2cos sin 22θθθθ∴cos 2θ=51. ∴sin 2θ+sin θ·cos θ+cos 2θ=1+2cos 2θ=57. 答案：B4.如果sin α+cos α=1，则sin n x+cos nx （n∈Z ）的值为（ ）A.-1B.1C.1或-1D.2解析：由sin α+cos α=1，则（sin α+cos α）2=1，故sin αcos α=0.若sin α=0，则cos α=1.这时sin n α+cos n α=1；若cos α=0，则sin α=1，这时也有sin n α+cos nα=1. 答案：B 5.若｜sin θ｜=51，29π＜θ＜5π，则tan θ的值为（ ） A.126 B.62- C.126- D.62 解析：因为29π＜θ＜5π，即4π+2π＜θ＜4π+π,所以θ是第二象限角，sin θ=51.所以cos θ=562sin 12-=--θ,tan θ=126cos sin -=θθ,应选C 项. 答案：C 6.化简︒--︒︒∙︒-10sin 110sin 10cos 10sin 212的值为（ ）A.1B.-1C.2D.-2 解析：原式=︒-︒︒-︒=︒-︒︒+︒︒-︒10cos 10sin )10cos 10(sin 10cos 10sin 10cos 10cos 10sin 210sin 2222︒-︒︒-︒-=10cos 10sin )10cos 10(sin =-1.答案：B7.已知1cos 4sin 2++θθ=2，则（cos θ+3）·（sin θ+1）的值为（ ）A.4B.0C.2D.0或4解析：由1cos 4sin 2++θθ=2得1-cos 2θ+4=2cos θ+2,整理得cos 2θ+2cos θ-3=0，解得cos θ=1或cos θ=-3（舍去），所以sin θ=±θ2cos 1-=0.所以（cos θ+3）·（sin θ+1）=4. 答案：A8.(2006高考重庆卷,文13)已知sin α=2,552π＜α＜π，则tan α=_______________. 解析：由sin α=552，2π＜α＜π可得cos α=55-，tan α=-2. 答案：-29.已知sin θ+cos θ=51,θ∈（0，π），则cot θ的值是_____________. 解析：因为sin θ+cos θ=51，两边平方，得1+2sin θ·cos θ=251，所以2sin θ·cos θ=2524-. ①因为θ∈（0，π），所以cos θ＜0＜sin θ.由于（sin θ-cos θ）2=1-2sin θ·cos θ=2549，所以sin θ-cos θ=57.②联立①②，解得sin θ=54，cos θ=53-，所以cot θ=435453sin cos -=-=θθ.答案：43-10.（1）已知sin θ=415-，求θθθθθθθθcos sin cos sin cos sin cos sin -+++-的值.（2）已知5sin θ+12cos θ=0，求θθθsin 32cos 9sin -+的值.解：（1）原式=1)415(221sin 2)cos (sin 2cos sin )cos (sin )cos (sin 22222222--⨯=-+=-++-θθθθθθθθθ=522-.（2）由5sin θ+12cos θ=0，得tan θ=512-＜0，故θ角在第二或第四象限，当θ在第二象限时，cos θ=135tan 112-=+-θ，当θ在第四象限时，cos θ=135tan 112=+θ， ∴原式=62331033cos tan 32cos )9(tan 或=∙-∙+θθθθ.11.若tan α、tan β是方程x 2-2（log 872+log 972）x-log 872·log 972=0的两个根， 求sin α·cos β+cos α·sin β+2sin α·sin β的值. 解：由定理得⎩⎨⎧∙-=∙+=+,72log 72log tan tan ),72log 72(log 2tan tan 9898βαβα而log 872+log 972=9log 8log 72log 9log 8log 9log 8log 9log 18log 1727272727272727272∙=∙+=+ =log 872·log 972.所以tan α+tan β=2log 872·log 972.所以sin α·cos β+cos α·sin β+2sin α·sin β =cos α·sin β（tan α+tan β+2tan α·tan β）=cos α·sin β（2log 872·log 972-2log 872·log 972）=0.。
【必做练习】高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系成长训练新人教A版必
答案 : B
10. 若 tan θ =-1, 则 sin θ -cos θ =_____________.
解析 : tan θ =-1, 则
sin θ =-cos θ. 又因为
sin
2
2
θ +cos θ =1,
sin
所以
cos
2
,
sin
2或
2 , cos
2
2 ,
2
2 .
2
所以 sin θ-cos θ =± 2 .
15.(2006 福州质检 ) 已知 sin α = 5 ( ＜ α ＜ π), 则 tan α =_____________. 52
解析 : ∵sin α= 5 , ＜α ＜ π , 52
∴cos α =
1
5
2
=-
5.
25 5
∴tan α = sin
= 5×
51
=- .
cos 5 2 5 2
答案 : - 1 2
=
2
2 cos
sin 2
-(1+
2
cos
sin 2 )
3 sin 4
=
cos 4
2 cos2 2sin 2 2 cos2
2 sin 2 cos 2
3 (sin 2
=
cos2 ) 2(sin 2 2 cos2
cos2 )
22 2 cos 2 =0,
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最新人教版试题
所以 3
sin 4
4 3
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5
5
7
7
A.
B.
C.
D.
【2019最新】高中数学1-2任意角的三角函数1-2-3同角三角函数的基本关系式课后导练新人教B版必修4
又cos2x=2,cosx<0,
∴cosx=.
答案：C
6.若sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个根，则m的值（）
A.m∈［,0）B.m=1-
C.m=1± D.m=1+
解析：由根与系数关系得
①2-②×2，得1=,
即m2-2m-4=0.∴m=1±.
又由①得≤m≤,
∴lgsinA=.
答案：
综合运用
11.(2006湖北武汉模拟)设0<α<π,sinα+cosα=,则的值为( )
A. B. C. D.
解析:由勾股数知sinα=,
cosα=tanα=,
则.
答案:C
12.(20xx重庆高考,文13)已知sinα=,<α<π,则tanα=____________.
解:∵sinα=,<α<π,
∴tanα<0.
∴2tanθ<20=1.
原式=（3）tanθ+=2tanθ+|2tanθ-1|=1.
——教学资料参考参考范本——
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______年______月______日
____________________部门
课后导练
基础达标
1.若α是三角形的一个内角且sinα+cosα=,则这个三角形是（）
A.正三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.钝角三角形
解析：sinα+cosα=,
∴平方得2sinαcosα=<0.
【高中教育】最新高中数学1-2任意角的三角函数1-2-3同角三角函数的基本关系式课后训练新人教B版必修4
——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学1-2任意角的三角函数1-2-3同角三角函数的基本关系式课后训练新人教B版必修4______年______月______日____________________部门1．已知，且＜θ＜2π，那么的值为( ) A ． B ． C ． D ．3434-5343- 2．化简的值为( )212sin10cos10sin101sin 10-︒︒︒--︒A ．1B ．－1C ．2D ．－23．(20xx·黑龙江哈尔滨期末)已知cos α＝3sin α，则( )3223sin sin cos cos sin cos αααααα-+=A ．B ．C ．D ．137271913274．设，且α是第二象限的角，则等于( )4sin 25α=tan 2α A ． B ． C ． D ．433443±34± 5．已知α∈，且，则sin α＋cos α的值是( )3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭12sin cos 25αα-＝ A ． B ． C ． D ．1515-15±75± 6．化简的结果是__________．23π1sin 5- 7．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则cot θ的值是__________．158．若，且tan α＞0，则__________.3cos 5α-＝3tan cos 1sin ααα=-9．化简：.1sin 1sin 1cos 1cos 1sin 1sin 1cos 1cos αααααααα⎛⎫⎛⎫+-+--⋅- ⎪ ⎪⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x2－ax ＋a ＝0的两个根(a∈R)，求tan θ＋的值．1tan θ参考答案1．解析：由sin2θ＋cos2θ＝1，得.2sin 1cos θθ=±- 因为＜θ＜2π，故sin θ＜0，3π2所以，243sin 155θ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭所以.sin 3tan cos 4θθθ==- 答案：B2．解析：原式＝＝＝＝－1.222sin 102sin10cos10cos 10sin10cos 10︒-︒︒+︒︒-︒2(sin10cos10)sin10cos10︒-︒︒-︒(sin10cos10)sin10cos10-︒-︒︒-︒答案：B 3．答案：B4．解析：∵α是第二象限的角，∴2k π＋＜α＜2k π＋π(k∈Z)，∴k π＋＜＜k π＋(k∈Z)，∴是第一或第三象限的角．而，∴是第一象限的角．π2π42απ22α4sin 025α=>2α由，得，22sin cos 122αα+=23cos1sin 225αα=-=∴.sin42tan23cos2ααα== 答案：A5．解析：因为(sin α＋cos α)2＝，且sin α＋cos α＜0，24112525-=所以sin α＋cos α＝，故选B ．15- 答案：B6．解析：因为，所以是第二象限的角，π3ππ25<<3π5所以，3πcos05< 故.223π3π3π3π1sin cos cos cos 5555-===- 答案：3πcos5- 7．解析：因为sin θ＋cos θ＝，①15两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，125所以2sin θcos θ＝.2425-因为θ∈(0，π)，所以cos θ＜0＜sin θ. 由于(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，4925所以sin θ－cos θ＝.②75联立①②，解得，，4sin 5θ＝3cos 5θ-＝所以.31cos 35cot 4tan sin 45θθθθ-====-答案：34-8．解析：33sin cos tan cos cos 1sin 1sin ααααααα⋅=-- ＝22sin cos sin (1sin )1sin 1sin αααααα-=-- ＝sin (1sin )(1sin )1sin αααα-+-＝sin α(1＋sin α)．又由，tan α＞0，可知α为第三象限的角，3cos 5α-＝ 故，4sin 5α-＝因此sin α(1＋sin α)＝.44415525⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭答案：425-9．解：原式＝·＝·.2222(1sin )(1sin )cos cos αααα⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦2222(1cos )(1cos )sin sin αααα⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦1sin 1sin |cos ||cos |αααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭1cos 1cos 2sin 2cos |sin ||sin ||cos ||sin |αααααααα⎛⎫+--=⋅ ⎪⎝⎭故当α为第一、三象限的角时，原式＝4；当α为第二、四象限的角时，原式＝－4.10．解：依题意，知Δ≥0，即(－a)2－4a≥0， 解得a≤0或a≥4，且sin cos ,sin cos .a a θθθθ+=⎧⎨=⎩①②由①2－②×2，得a2－2a －1＝0， 解得a ＝1－或a ＝1＋(舍)．22故sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.2 tan θ＋＝，1tan θsin cos 1121cos sin sin cos 12θθθθθθ+===---因此tan θ＋＝.1tan θ21--。
高中数学第一章1.2任意角的3同角三角函数的基本关系式同步过关提升特训新人教B版必修67
A.
B.
C.±
解析 :∵α是第二象限的角 , ∴ 是第一、三象限的角 .
D .±
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
∵sin > 0, ∴ 是第一象限的角 .
∴cos
,
∴tan
.
答案 :A 5.如果 tan θ= 2,那么 sin2θ+ sin θcos θ+ cos2θ的值是
②
联立 ①②,解得 sin θ= ,cos θ=- ,
所以 cot θ=
=- .
答案 :-
9.已知 sin α-cos α= ,则 tan α的值为
.
解析 :∵sin α-cos α= , ∴(sin α-cos α)2= sin2α-2sin αcos α+ cos2α= 1-2sin αcos α= ,∴sin αcos α= ,
= =- -1.
★13.求证 :
.
证明左边 =
= =
=
= 右边 .
故原等式成立 .
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
1.2.3 同角三角函数的基本关系式
1.若 cos α= ,则 (1+ sin α)(1-sin α)等于 ( )
课时过关·能力提升
A.
B.
C.
D.
解析 :(1+ sin α)(1-sin α)= 1-sin2α= cos2α=
.
答案 :B
2.化简
的值为 ( )
A.1
B.-1
C.2
D. -2
解析 :原式 =
高中数学1.2任意角的三角函数1.2.3同角三角函数的基本关系式课后导练新人教B版必修420171002421
1.2.3 同角三角函数的基本关系式课后导练基础达标1.若α是三角形的一个内角且sinα+cosα=23,则这个三角形是（）A.正三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形2解析：sinα+cosα=,35∴平方得2sinαcosα=<0.9∵sinα>0,∴cosα<0.∴α为钝角.答案：D2.已知1+sinθ1cos2+cosθ1sin2=0,则θ的取值范围为（）A.第三象限B.第四象限3C.2kπ+π≤θ≤2kπ+(k∈Z)23D.2kπ+≤θ≤2kπ+2π(k∈Z)2解析：原式=1+sinθ|sinθ|+cosθ|cosθ|=0,∴角θ可能为第三象限角或角θ的终边在x轴、y轴的非正半轴.答案：C3.化简12s in4cos4的结果是（）A.sin4+cos4B.sin4-cos4C.cos4-sin4D.-sin4-cos4解析：原式=|sin4-cos4|,而sin4<cos4<0,∴原式=cos4-sin4.答案：C4.已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ= 59,则sinθ·cosθ的值是（）A.23B.-23C.13D.13解析：∵sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2(sinθcosθ)2,∴(sinθcosθ)2= 29,即sinθcosθ=±23.又θ是第三象限角，即θ∈(2kπ+π,2kπ+ 32),k∈Z.1∴sinθ<0,cosθ<0.∴sinθcosθ>0.∴sinθcosθ=23.答案：A5.已知a∈(0,1),x是三角形的一个内角，tanx=2aa21,则cosx的值是（）A.2aa211B.a2a21C.a2a211D.±a2a211解析：∵0<a<1,∴tanx=2aa21<0.又x是三角形的内角，∴90°<x<180°.12a1又cos2x= ()1x1tan2a22,cosx<0,∴cosx=a2a211.答案：C6.若sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个根，则m的值（）4A.m∈［,0） B.m=1- 53C.m=1±5D.m=1+ 5sin解析：由根与系数关系得sincoscosm,(1)2m.(2)4①2-②×2，得1=m ,2m42即m2-2m-4=0.∴m=1±5.又由①得22≤m≤22,∴m=1-5.答案：B27.已知 f(x)=1 1x x,若 α∈（ 2,π）,则 f(cosα)+f(-cosα)=________.解析：f(cosα)+f(-cosα)=11 cos (1 cos)(1 cos)cos221cos1cos2sin2sin1 cos1cos| | ||.sinsin∵α∈( ,π),∴sinα>0,1-cosα>0,1+cosα>0.2 1cos1cos2∴原式=.sinsinsin2答案：sin1 18.分式cos4 cos 6s in 4sin6化简后的最简结果是______________________. 解析：原式=(cos 2 (cos 2s in 2sin2) 2) 2cos4cos6s in 4sin63cos22 cos 2sin2sin )2sin2(cos22 3. 2 答案：39.若 sinα+3cosα=0，则cos 2cos2sin的值为_______________--.3sin解析：由条件可知 tanα=-3,12tan165 原式=2 3tan 2 9115答案：1110.若 A 为锐角，lg(1+cosA)=m,lg11 cos A=n,则 lgsinA=_____________--.解析：两式相减 m-n=lg(1+cosA)(1-cosA)=lg(1-cos 2A)=lgsin 2A=2lgsinA(sinA>0),m n∴lgsinA=.2m n答案：2综合运用71 tan11.(2006湖北武汉模拟) 设 0<α<π,sinα+cosα=,则的值为()13 1tan 17717 7A.B.C.D.7 17717312解析:由勾股数知 sinα=,13 512 cosα=, tanα=13512 1( )1tan175则1 tan 12 715答案:C.2 512.(2006重庆高考,文 13) 已知 sinα=,52<α<π,则 tanα=____________. 2 5解:∵sinα=,52<α<π, ∴cosα=-1-(2 5 5 1 ( )2, 5 5而 tanα= 答案:-2s in cos=-2. 13.已知 tanα 为非零实数，用 tanα 分别表示 sinα,cosα. 解：∵tanα 为非零实数， ∴α 不是轴线角，即 cosα≠0. 由1 cossin22cos 2 cos 2=tan 2α+1,得 cos 2α=11 tan 2；若 cos α>0,则 cos α=11 tan2,sin α=tan α·cosα=tan1t an 2；1 若 cos α<0，则 cos α=,1tan2tansin α=.1tan214.已知sinα、cosα是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根（a∈R), (1)求sin3θ+cos3θ的值；（2）求tanθ+1tan的值.sin解：依题意由Δ≥0,即（-a）2-4a≥0,得a≤0或a≥4且sincoscosa,(1) a.(2)①2+②×2,得a2-2a-1=0,4∴a=1- 2 或 a=1+ 2 (舍）. ∴sinθ+cosθ=sinθcosθ=1- 2 .(1)sin 3θ+cos 3θ=(sinθ+cosθ)(sin 2θ-sinθcosθ+cos 2θ) =(1- 2 )［1-(1- 2 )］= 2 -2. (2)tanθ+1tansincos 11 =21 ,cossinsin cos12∴tanθ+ 1tan= 2 1.拓展探究15.已知 sinθ+cosθ=2 3(0<θ<π),求 tanθ 的值.7解法一：将已知等式两边平方，得 si nθcosθ=, 18∴ <θ<π.24故 sinθ-cosθ=(sincos )2 1 2 s incos.3sin解方程组sincos cos2 3 4 ; 3,得 sinθ=2 6 4,cosθ=2 64.∴tanθ=sin9 4 cos 72 . 解法二：由 sinθ+cosθ=2 37,得 sinθcosθ=.于是 sinθ>0,cosθ<0. 18设以 sinθ，cosθ 为根的一元二次方程为 x 2-2 37 x-=0, 18解得x1=sinθ=264,x2=cosθ=264.5∴tanθ=2 4sin 946cos 472 62.516.若<θ<3π,求 32 5 解：∵<θ<3π,2∴θ 为第二象限角. 2tanlog+ 4tan2 2tan1的值.3∴tanα<0. ∴2tanθ<20=1.2log）tanθ+ (2tan )2 2 2tan1=2原式=（33tanθ+|2tanθ-1|=1.6。
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1.2.3 同角三角函数的基本关系式
知识点一：平方关系
1．若α是第四象限角，cos α＝1213
，则sin α等于 A.513B ．－513 C.512D ．－512
2．化简1－2sin4cos4的结果为
A ．sin4＋cos4
B ．sin4－cos4
C ．cos4－sin4
D ．－sin4－cos4
3．已知cos α＝15
，且tan α<0，则sin α的值为 A ．±265 B.612 C ．－265D ．±612
4．化简sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 4α＝__________.
5．化简1－2sin10°·cos10°sin10°－1－sin 210°
的值为__________． 知识点二：商数关系
6．已知sin α＝35
，α∈(0，π)，则tan α的值为 A.43B.34 C ．±34D ．±43
7．已知cos θ＝35且3π2
<θ<2π，那么tan θ的值为 A.43B ．－43C.35D ．－34
8．若tan α＝32，则4sin α＋cos α5sin α－2cos α
的值等于 A.1411B ．2 C ．－109 D.1411或1019 9．下列四个命题可能成立的是
A ．sin α＝12且cos α＝12
B ．sin α＝0且cos α＝－1
C ．tan α＝1且cos α＝－1
D ．tan α＝－1且sin α＝32
10．已知α是第四象限角，tan α＝－512
，求sin α.
能力点一：利用基本关系式求值
11．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于 A ．0 B ．2 C ．－2 D ．2tan α
12．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α
的值是 A.43B ．3 C ．－43
D ．－3 13．若sinx ＋sin 2x ＝1，则cos 2x ＋cos 4x ＝__________.
14．(2010全国高考Ⅱ，文13)已知α是第二象限的角，tan α＝12
，则cos α＝__________.
15．已知sin α＋cos αsin α－cos α
＝2，求下列各式的值： (1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α
； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.
16．已知sin α＝45
，求tan α的值．
能力点二：利用基本关系式化简。