高中数学人教A版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制 答案和解析

高中数学人教A 版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2π
C ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A ．143π
B ．143π-
C ．718
π
D ．718
π-
3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )
A ．40
3π B ．
203π C ．2003
π
D ．4003
π
4．把11
4
π-表示成θ＋2kπ(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．34π-
B ．4
π-
C ．
4
π D ．
34
π 5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）
A ．
2
π B ．
3
π C D
6．集合{|,}4
2
k k k Z π
π
απαπ+≤≤+
∈中角所表示的范围(阴影部分)是
( )
A ．
B ．
C ．
D ．
二、双空题 7．
12
rad ＝________度，________ rad ＝－300°.
8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．
三、填空题
9．已知圆心角为60的扇形，其半径为3，则该扇形的面积为___． 10．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad .
四、解答题 11．已知α＝2 000°.
(1)把α写成2kπ＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．
12．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
13．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .
参考答案
1．D 【解析】 【详解】
由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度， 则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度， D 的说法错误，很明显ABC 的说法正确. 本题选择D 选项. 2．B 【解析】
显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了
73周，转过的弧度为7
3
-×
2π＝14
3
π-
. 本题选择B 选项.
点睛：一定要注意角的正负，特别是表的指针所成的角为负角. 3．A 【解析】
2404
2401803
ππ=
=， 所以弧长l ＝|α|·
r ＝43π×10＝403π. 本题选择A 选项. 4．A 【解析】 令－
114π＝θ＋2kπ(k ∈Z )，则θ＝－114
π
－2kπ(k ∈Z )． 取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－
34π，|θ|＝34
π
； k ＝－2时，θ＝54π
，|θ|＝5344ππ>；
k ＝0时，θ＝－114
π，|θ|＝11344ππ
>. 本题选择A 选项. 5．C
【解析】
试题分析：设圆内接正方形的边长为a
，所以弧长等于a的圆弧所
对的圆心角为
2
l
r
α===
C.
考点：弧长公式.
6．C
【解析】
分析：分k为偶数和k为奇数讨论，即可得到答案.
详解：由集合{}
,
42
k k k Z
ππ
απαπ
+≤≤+∈，
当k为偶数时，集合{}
,
42
k k k Z
ππ
απαπ
+≤≤+∈与{|}
42
ππ
αα
≤≤表示相同的角，位于第一象限；
当k为奇数时，集合{}
,
42
k k k Z
ππ
απαπ
+≤≤+∈与{53
|}
42
ππ
αα
≤≤表示相同的角，位于第三象限；
所以集合{}
,
42
k k k Z
ππ
απαπ
+≤≤+∈中表示的角的范围为选项C，故选C.
点睛：本题考查了角的表示，其中分k为偶数和k为奇数两种讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
7．15
5
3
π
-
【解析】
由题意有：
180
15
1212
π
==，
5
300300
1803
ππ
-=-⨯=-.
8．
180
π
1
【解析】
(1)因为|α|＝1°＝
180
π
，l＝1，
所以
1180
180
l
r
π
απ
===
米.
(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以1l
r α
=
=米.
9．
32
π 【分析】
现将60转化为弧度制，然后利用扇形面积公式计算扇形面积. 【详解】
60转化为弧度制是
π3，故扇形的面积为2211π3π
32232
r α=⨯⨯=
. 【点睛】
本小题主要考查弧度制和角度制的相互转化，考查扇形的面积公式，属于基础题. 10．6
π
-
【解析】
由题意可知，一小时时针顺时针旋转：
360
3012
=， 据此可得时针转过的弧度为：301806
rad π
π-=-. 11．(1)10109αππ=+；(2)469
π
.
【解析】 试题分析：
(1)由题意首先将2 000°化为360°的整数倍，然后转化为弧度制可得10
109αππ=+； (2)由题意可知θ＝2kπ＋10
9π，k ∈Z ，结合角的范围可知，取2k =，此时469
πθ=.
试题解析：
(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋π＝.
12．(1)5|22,6
12k k k Z π
πθπθπ⎧
⎫-<<+
∈⎨⎬⎩
⎭；(2)|,62k k k Z ππθπθπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭
. 【解析】
试题分析：
(1)与330°角的终边相同的角的弧度制为6
π-，且57512π
=，据此可得终边落在阴影部分内
(不包括边界)的角的集合为5|22,6
12k k k Z π
πθπθπ⎧
⎫-<<+
∈⎨⎬⎩
⎭
； (2)由题意可知：730,2106
6
π
π=
=
，则终边在直线AB 上的角为α＝kπ＋6π
，k ∈Z ，又终
边在y 轴上的角为β＝kπ＋
2
π
，k ∈Z ，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为|,62k k k Z ππθπθπ⎧⎫
+<<+∈⎨⎬⎩⎭
.
试题解析：
(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，而75°
＝75×＝
，
所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
.
(2)如题图②，因为30°＝，210°＝
，这两个角的终边所在的直线相同，
因此终边在直线AB 上的角为α＝kπ＋，k ∈Z ， 又终边在y 轴上的角为β＝kπ＋，k ∈Z ， 从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.
点睛：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合：
{}{}
|2,|360,S k k Z k k Z ββαπββα==+∈==+⨯∈.即任何一个与角a 的终边相
同的角都可以表示为角α与周角的整数倍的和.
13．
103π
；503π⎛ ⎝⎭
. 【解析】 试题分析：
由题意可知△AOB 是等边三角形，所以α＝∠AOB ＝
3π
.则弧长l ＝103
π，由扇形面积公式
可得其面积为50=3S 扇形π
，据此计算可得弓形的面积为5032π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
. 试题解析：
由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， 所以α＝∠AOB ＝60°＝. 所以弧长l ＝a ·r ＝×10＝，
所以S 扇形＝lr ＝××10＝， 又S △AOB ＝·
AB ·5＝×10×5
＝，
所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50
.
点睛：在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．。