河北省衡水中学高一数学下学期期末考试试题理
河北省衡水市育才中学2020年高一数学理下学期期末试卷含解析
河北省衡水市育才中学2020年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=．故选A．2. 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布。
A. B. C. D.参考答案：D设从第2天起每天比前一天多织d尺布则由题意知，解得d=．故选：D．3. 已知函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，则b﹣a的值不可能是（）A．B．πC．D．参考答案：D【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】由题意得，x∈[a，b]时，﹣1≤sinx≤，定义域的区间长度b﹣a最小为，最大为，由此选出符合条件的选项．【解答】解：函数y=2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，1]，∴x∈[a，b]时，﹣1≤sinx≤，故sinx能取到最小值﹣1，最大值只能取到，例如当a=﹣，b=时，区间长度b﹣a最小为；当a=﹣，b=时，区间长度b﹣a取得最大为，即≤b﹣a≤，故b﹣a一定取不到，故选：D．4. 如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A． B. C． D.参考答案：该几何体为底面边长为2，高为的正四棱锥，选A.5. 右面程序输出的结果是( )A.66B.65C.55D.54参考答案：D略6. 已知在区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：D7. 下列各组函数是同一函数的是（）A.与B.与C.与D.与参考答案：D8. 若集合A={x|x＞﹣1}，则（）A．0?A B．{0}?A C．{0}∈A D．?∈A参考答案：B【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】利用集合与元素的关系应当是属于关系、集合与集合之间的关系应当是包含关系进行判断即可．【解答】解：A.0?A错误，应当是0∈A，集合与元素的关系应当是属于关系；B．集合与集合之间的关系应当是包含关系，故B正确；C．集合与集合之间的关系应当是包含关系，故C不正确；D．空集是任何集合的子集，故D不正确．故选：B．9. 如果幂函数f（x）=x n的图象经过点（2，），则f（4）的值等于( ) A．16 B．2 C．D．参考答案：B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据已知求出函数的解析式，再求f（4）即可．【解答】解：幂函数f（x）=x n的图象经过点（2，），所以，所以，所以函数解析式为，x≥0，所以f（4）=2，故选B．【点评】本题考察幂函数的解析式，幂函数解析式中只有一个参数，故一个条件即可．10. 计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设数列的前项和为，若，则通项.参考答案：略12. 在中，若边，且角，则角C= ；参考答案：13. 定义在上的函数满足，当时，，则当时，函数的最小值为_______________．参考答案：14. 计算：（log23）?（log34）= ．参考答案：2【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据换底公式计算即可．【解答】解：（log23）?（log34）=?=2，故答案为：2．【点评】本题考查了换底公式，属于基础题．15. 对于定义在上的函数，若实数满足，则称是函数的一个不动点.若二次函数没有不动点，则实数的取值范围是_________参考答案：16. 已知集合，，若，则m所能取的一切值构成的集合为．参考答案：17. 在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内.略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2021-2022学年河北省衡水市高一下数学期末模拟试卷及答案解析
2021-2022学年河北省衡水市高一下数学期末模拟试卷一．单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知复数z ＝（1﹣i ）+m （1+i ）是纯虚数，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1解：∵z ＝（1﹣i ）+m （1+i ）＝（m +1）+（m ﹣1）i 是纯虚数， ∴{m +1=0m −1≠0，解得m ＝﹣1． 故选：B ．2．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（ ） A ．7B ．7.5C ．8D ．9解：该组数据从小到大排列为： 5，5，6，7，8，9． 且6×80%＝4.8，所以这组数据的第80百分位数是8． 故选：C ．3．已知在平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别是BC 、CD 的中点，如果AB →=a →，AD →=b →，那么向量MN →=（ ） A ．12a →−12b →B ．−12a →+12b →C ．a →+12b →D ．−12a →−12b →解：如图，∵AB →=a →，AD →=b →，且M 、N 分别是BC 、CD 的中点，∴MN →=MC →+CN →=12AD →−12AB →=−12a →+12b →．故选：B ．4．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）A ．√33πB ．√33C ．√3πD ．√3解：设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，由πl ＝2πr ，得l ＝2r ， 又S ＝πr 2+πr •2r ＝3πr 2＝3π， 所以r 2＝1，解得r ＝1；所以圆锥的高为h =√l 2−r 2=√22−12=√3， 所以圆锥的体积为V =13πr 2h =13π×12×√3=√33π． 故选：A ．5．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．16解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a ，b ，c ，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A ，B ，C ，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，根据题设其中Ab ，Ac ，Bc 是胜局共三种可能， 则田忌获胜的概率为39=13，故选：A ．6．抽出20件产品进行检验，设事件A ：“至少有三件次品”，则A 的对立事件为（ ） A ．至多三件次品 B ．至多二件次品C ．至多三件正品D ．至少三件正品解：抽出20件产品进行检验，设事件A ：“至少有三件次品”， 则A 的对立事件为至多二件次品． 故选：B ．7．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，已知点P 是正方形AA 'D 'D 内部（不含边界）的一个动点，若直线AP 与平面AA 'B 'B 所成角的正弦值和异面直线AP 与DC '所成角的余弦值相等，则线段DP 长度的最小值是（ ） A ．√62B ．2√23C ．√63D ．43解：如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD ' 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 可设P （x ，0，z ），由A （1，0，0），C '（0，1，1）， D （0，0，0），AP →=（x ﹣1，0，z ），DC′→=（0，1，1），DA →=（﹣1，0，0）， 设直线AP 与平面AA 'B 'B 所成角为θ和异面直线AP 与DC '所成角为α， 可得cos α＝cos ＜AP →，DC′→＞=√2⋅√z +(x−1)2，sin θ＝|cos ＜AP →，DA →＞|=√z +(x−1)2，0＜x ＜1，由sin θ＝cos α，可得z =√2（1﹣x ），则|DP →|=√x 2+z 2=√x 2+2(1−x)2=√3(x −23)2+23， 当x =23时，线段DP 长度的最小值为√63． 故选：C ．8．某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为（ ） A ．9100B ．8800C ．8700D ．8500解：另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元， 若不考虑这2人，中位数为8500+9100＝17600，17600÷2＝8800， 若这两人的月工资一个大于9100，另一个小于8500，则中位数不变， 若这两个人的工作位于8500与9100之间，且这两个数关于8800对称， 8500与9100也是关于8800对称，所以中位数也是8800，此时这8位员工月工资的中位数取最大值为：8800， 故选：B ．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M ，设AB →=a →，AD →=b →，则下列结论正确的是（ ）A ．AC →=12a →+b →B ．BC →=−12a →+b →C ．BM →=−13a →+23b →D ．EF →=−14a →+b →解：由题意可得，AC →=AD →+DC →=b →+12a →，故A 正确；BC →=BA →+AC →=−a →+b →+12a →=b →−12a →，故B 正确；BM →=BA →+AM →=−a →+23AC →=−a →+23b →+a →×13=23b →−23a →，故C 错误；EF →=EA →+AD →+DF →=−12a →+b →+14a →=b →−14a →，故D 正确．故选：ABD ．10．已知棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，以下结论正确的是（ ） A ．四边形BFD 1E 不一定是平行四边形B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等C ．平面α与平面DBB 1不可能垂直D ．四边形BFD 1E 面积的最大值为√2解：已知棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，对于选项A ：当E 为棱AA 1的中点E ，F 为棱CC 1的中点时，四边形BFD 1E 一定是平行四边形，故错误．对于选项B ：平面α分正方体所得两部分正好把几何体一分为二，根据对称性的应用，无论点F 和E 在哪个位置，都平分几何体的体积，故正确．对于选项C ：当E 为棱AA 1的中点E ，F 为棱CC 1的中点时，EF ⊥BD ，EF ⊥BB 1，所以：面α⊥平面DBB 1，故错误．对于选项D ：当点F 与A 重合时，点F 与C 1重合时，四边形BFD 1E 面积的最大，且最大值为值为√2×1=√2，故正确． 故选：BD ．11．关于茎叶图的说法正确的是（ ）A ．甲的极差是29B ．甲的中位数是25C ．乙的众数是21D ．甲的平均数比乙的大解：由茎叶图知，甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为37﹣8＝29，故A 正确；将甲数据按从小到大的顺序排列之后，其中间位置的两个数为22，24， 所以甲的中位数为12×(22+24)=23，故B 错误；乙数据中出现次数最多的是21，所以众数是21，C 正确； 计算可知，x 甲=21.4，x 乙=16.9，因为21.4＞16.9， 所以甲的平均数大，D 正确 故选：ACD ．12．以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ）A ．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为13B ．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5+7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115C ．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是536D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12解：对于选项A ：连续抛两枚质地均匀的硬币，由4个基本事件（两正，两反，正1反2，反1正2），出现一正一反的概率为24=12，故选项A 错误．对于选项B ：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5+7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，（2，3，5，7，11，13，）随机从6个素数中取出两个，基本事件数为C 62=6×52=15，两个素数的和为14＝3+11，所以和为14的概率为115，故选项B 正确．对于选项C ：将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则所有的基本事件为6×6＝36，点数和为6的有（1，5）（5，1）（2，4）（4，2）（3，3），则和为6的概率为536，故选项C 正确．对于选项D ：从三件正品、一件次品中随机取出两件，基本事件数为C 42=4×32=6，全是正品的事件数为C 32=3，所以全是正品的概率为36=12，故选项D 正确．故选：BCD ．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知a ，b ∈R ，1+ai ＝b +（2a +3）i ，则a ＝ ﹣3 ，|a +3bi |＝ 3√2 ． 解：∵1+ai ＝b +（2a +3）i ∴{1=b a =2a +3，得{a =−3b =1，则|a +3bi |＝|﹣3+3i |=√(−3)2+32=√18=3√2， 故答案为：﹣3，3√214．已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点A 出发，绕圆锥侧面一周，再次回到A 点，则该质点经过的最短路程为 3√3 ． 解：圆锥的侧面展开图是扇形，从A 点出发绕侧面一周， 再回到 A 点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦， 转化为求弦长的问题如图所示：设展开的扇形的圆心角为 α，∵圆锥底面半径 r ＝1cm ，母线长是 OA ＝3cm ， ∴ 根据弧长公式得到 2π×1＝α×3， ∴α=23，即扇形的圆心角是 23，∴∠AOH ＝60°，∴动点P 自A 出发在侧面上绕一周到 A 点的最短路程为弧所对的弦长： AA ′＝2AH ＝2×OA sin ∠AOH =2×3×√32=3√3． 故答案为：3√3．15．已知样本数据2，5，x ，6，6的平均数是5，则此样本数据的方差为 125．解：∵样本数据2，5，x ，6，6的平均数是5， ∴15（2+5+x +6+6）＝5，解得x ＝6，∴此样本数据的方差为：15[（5﹣2）2+（5﹣5）2+（5﹣6）2+（5﹣6）2+（5﹣6）2]=125． 故答案为：125．16．用半径为2米的半圆形铁片围成一个圆锥形的容器，则这个容器的容积是 √33π 立方米．解：由题意，圆锥的母线长为l ＝2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝2π，即r ＝1， ∴圆锥的高h =√l 2−r 2=√4−1=√3， ∴圆锥的体积V =13•πr 2•h =13•π•√3=√33π． 故答案为：√33π． 四．解答题（共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分） 17．已知复数z 1=3a+2+(a 2−3)i ，z 2＝2+（3a +1）i （a ∈R ，i 是虚数单位）． （1）若z 1﹣z 2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围； （2）若z 2是实系数一元二次方程x 2﹣4x +4＝0的根，求实数a 的值． 解：（1）因为z 1=3a+2+(a 2−3)i ，z 2＝2+（3a +1）i ， 所以z 1﹣z 2=3a+2−2+（a 2﹣3a ﹣4）i ，由题意可得，{3a+2−2＞0a 2−3a −4＞0，解可得，﹣2＜a ＜﹣1；（2）方程x 2﹣4x +4＝0只有一个根为x ＝2， 所以z 2＝2+（3a +1）i ＝2， 故3a +1＝0即a =−1318．节日期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的顺序，随机抽取第一辆汽车后，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km /h ）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如图的频率分布直方图． （Ⅰ）请直接回答这种抽样方法是什么抽样方法？并估计出这40辆车速的中位数； （Ⅱ）设车速在[80，85）的车辆为A 1，A 2，…，A n （m 为车速在[80，85）上的频数），车速在[85，90）的车辆为B 1，B 2，…，B n （n 为车速在[85，90）上的频数），从车速在[80，90）的车辆中任意抽取2辆共有几种情况？请列举出所有的情况，并求抽取的2辆车的车速都在[85，90）上的概率．解：（Ⅰ）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样． 故调查公司在采样中，用到的是系统抽样，（2分） 设图中虚线所对应的车速为x ，则中位数的估计值为： 0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x ﹣95）＝0.5，解得x ＝97.5，即中位数的估计值为97.5 （6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得m 1＝0.01×5×40＝2（辆），（7分） m 2＝0.02×5×40＝4（辆）． …（8分）∴所以车速在[80，90）的车辆中任意抽取2辆的所有情况是： （a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（a ，f ）， （b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（b ，f ），（c ，d ），（c ，e ），（c ，f ），（d ，e ），（d ，f ），（e ，f ），共有15种情况． …（10分） 车速都在[85，90）上的2辆车的情况有6种． 所以车速都在[85，90）上的2辆车的概率是615=25． …（12分）19．已知向量a →=（﹣1，2），b →=（3，﹣1）．（1）若（a →+λb →）⊥a →，求实数λ的值；（2）若c →=2a →−b →，d →=a →+2b →，求向量c →与d →的夹角． 解：（1）因为（a →+λb →）⊥a →， 所以（a →+λb →）•a →=a →2+λa →⋅b →=0， 所以5+λ（﹣1×3﹣2×1）＝0， 所以λ＝1，（2）由题意可得，c →=（﹣5，5），d →=(5，0)，c →⋅d →=(2a →−b →)⋅(a →+2b →)=−25，cos θ=c →⋅d→|c →||d →|=−255√2×5=−√22，∴θ=3π420．在某次数学考试中，小江的成绩在90分以上的概率是x ，在[80，90]的概率是0.48，在[70，80）的概率是0.11，在[60，70）的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07．计算： （Ⅰ）x 的值；（Ⅱ）小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率； （Ⅲ）小江考试及格（成绩不低于60分）的概率．解：（Ⅰ）分别记小江的成绩在90分以上，[80，90），[70，80），[60，70），60分以下为事件A ，B ，C ，D ，E ，它们是互斥事件，由条件得：P （A ）＝x ，P （B ）＝0.48，P （C ）＝0.11，P （D ）＝0.09，P （E ）＝0.07， 由题意得P （A ）+P （B ）+P （C ）+P （D ）+P （E ）＝1， ∴x ＝1﹣0.48﹣0.11﹣0.09﹣0.07＝0.25．（Ⅱ）小江的成绩在80分及以上的概率为P （A +B ）， P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）＝0.25+0.48＝0.73． （Ⅲ）小江考试及格（成绩不低于60分）的概率为： P （E ）＝1﹣P （E ）＝1﹣0.07＝0.93．21．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AP ＝AB ＝BC =12AD ，E 为AD 的中点，AC 与BE 相交于点O ．（1）证明：PO ⊥平面ABCD ．（2）求直线BC 与平面PBD 所成角的正弦值．解：（1）证明：∵AP ⊥平面PCD ，∴AP ⊥CD ．∵AD ∥BC ，BC =12AD ，∴四边形BCDE 为平行四边形，∴BE ∥CD ，∴AP ⊥BE ． 又∵AB ⊥BC ，AB =BC =12AD ，且E 为AD 的中点，∴四边形ABCE 为正方形，∴BE ⊥AC ．又AP ∩AC ＝A ，∴BE ⊥平面APC ，则BE ⊥PO ．∵AP ⊥平面PCD ，∴AP ⊥PC ，又AC =√2AB =√2AP ，∴△P AC 为等腰直角三角形，O 为斜边AC 上的中点，∴PO ⊥AC 且AC ∩BE ＝0，∴PO ⊥平面ABCD ．（2）解：以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，如图所示．设OB ＝1，则B （1，0，0），C （0，1，0），P （0，0，1），D （﹣2，1，0），则BC →=(−1，1，0)，PB →=(1，0，−1)，PD →=(−2，1，−1)．设平面PBD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，令z ＝1，得n →=(1，3，1)．设BC 与平面PBD 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜BC →，n →＞|=|BC →⋅n →||BC →|⋅|n →|=√2⋅√11=√2211．22．调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，调配、研发，周而复始、反复对比．对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设n＝4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令X＝|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．（如第二次排序时的序号为1，3，2，4，则X＝2）．（1）写出X的所有可能值构成的集合；（2）假设a1，a2，a3，a4的排列等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的数学期望；（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2．（i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ⅱ）请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．解：（1）X的可能值集合为{0，2，4，6，8}，在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，因此|1﹣a1|+|3﹣a3|与|2﹣a2|+|4﹣a4|的奇偶性相同，从而X＝（|1﹣a1|+|3﹣a3|）+（|2﹣a2|+|4﹣a4|）必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8．由此能举出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子．（2）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X值，在等可能的假定下，得到X02468P124324724924424EX=0×124+2×324+4×724+6×924+8×424=5．（3）（ⅰ）首先P（X≤2）＝P（X＝0）+P（X＝2）=424=16，将三轮测试都有X≤2的概率记做p，由上述结果和独立性假设，得p=163=1216．（ⅱ）由于p=1216＜51000是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测．。
河北省衡水市高一下学期期末数学试卷
河北省衡水市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知函数，x∈R，则是（）A . 最小正周期为的偶函数B . 最小正周期为的奇函数C . 最小正周期为的偶函数D . 最小正周期为的奇函数2. （2分）(2019·赣州模拟) 已知，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·重庆期末) 中，分别是角所对应的边，，，，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高二上·淄川开学考) 已知向量 =（﹣1，2）， =（1，1），则• =（）A . 3B . 2C . 1D . 05. （2分） (2018高一下·北京期中) 在等差数列{an}中，如果a1+a2=25，a3+a4=45，则a1=（）A . 5B . 7C . 9D . 106. （2分） (2016高二上·成都期中) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值分别为（）A . 3，﹣11B . ﹣3，﹣11C . 11，﹣3D . 11，37. （2分）已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A . A=4B . ω=1C . φ=D . B=48. （2分） (2019高一上·辽宁月考) 手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在（0，1）间，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化？（）A . “屏占比”不变B . “屏占比”变小C . “屏占比”变大D . 变化不确定9. （2分）(2017·甘肃模拟) 已知a，b，c为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC=c（1﹣3cosB），sinC：sinA=（）A . 2：3B . 4：3C . 3：1D . 3：210. （2分）点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·深圳模拟) 将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A .B .C .D .12. （2分）已知，若，则实数λ的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·抚顺模拟) 在Rt△AOB中，，，，AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，若，则向量在向量上的投影为________．14. （1分） (2018高一下·上虞期末) 在中，是边上一点，且，点列在线段上，且满足，若，则数列的通项 ________．15. （1分）(2014·新课标II卷理) 函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为________．16. （1分）不等式x2﹣|x|﹣2＜0的解集是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）已知点A（3，﹣4）与B（﹣1，2），点P在直线AB上，且|AP|=2|PB|，求点P的坐标．18. （10分）(2013·天津理) 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3 ， S5+a5 ， S4+a4成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．19. （5分） (2016高一下·黄冈期末) 某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不少于900人运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？20. （10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数在区间[﹣2，4]上的最大值和最小值以及对应的x的值．21. （5分） (2017高二上·延安期末) 在△ABC中，a=3 ，c=2，B=150°，求边b的长及S△ABC ．22. （10分） (2017高三上·南充期末) 抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品A1、A2、A3 ，假定A1正面向上的概率为，A2正面向上的概率为，A3正面向上的概率为t（0＜t＜1），把这三枚金属制品各抛掷一次，设ξ表示正面向上的枚数．（1）求ξ的分布列及数学期望Eξ（用t表示）；（2）令an=（2n﹣1）cos（Eξ）（n∈N+），求数列{an}的前n项和．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2024届河北省衡水市重点名校高一数学第二学期期末经典试题含解析
2024届河北省衡水市重点名校高一数学第二学期期末经典试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于 （ ） A ．55B ．255C ．55-D ．255-2．将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0ϕϕ>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos 2sin 2y x x =+的图像，则,a ϕ的可能取值为（ ） A ．,22a πϕ== B ．3,28a πϕ== C ．31,82a πϕ== D ．1,22a πϕ==3．已知在Rt ABC ∆中，两直角边1AB =，2AC =，D 是ABC ∆内一点，且60DAB ∠=，设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则λμ=（ ）A ．233B ．33C ．3D ．234．已知向量()3,1a =，()3,3b =-，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ）A ．3-B ．1-C ．3D ．15．ABC ∆的斜二测直观图如图所示，则原ABC ∆的面积为（ ）A ．2 B ．1C 2D ．26．掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷2020次，那么抛掷第2019次时出现正面向上的概率是（ ）A．12019B．12C．12020D．201920207．Rt△ABC的三个顶点都在一个球面上，两直角边的长分别为6和8，且球心O到平面ABC的距离为12，则球的半径为（）A．13 B．12 C．5 D．108．若，则向量的坐标是（）A．（3，－4）B．（－3，4）C．（3，4）D．（－3，－4）9．已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30~7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45~7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是（）A．12B．16C．19D．11210．如图，在等腰梯形ABCD中，1,2DC AB BC CD DA===，DE AC⊥于点E，则DE=（）A．1122AB AC-B．1122AB AC+C．1124AB AC-D．1124AB AC+二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
河北省衡水市高一下学期数学期末考试试卷
河北省衡水市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若，则使不等式成立的的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分）已知f（x）=sin（2x+φ），若，则函数f（x）图象的一条对称轴直线是（）A .B .C .D .3. （2分）在△ABC中，tanB=﹣2，tanC=，则A等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2020高二下·嘉兴期中) 已知平面向量在上的投影是，，则的值为（）A .B .C . 1D . 25. （2分）复数Z=（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ的值为（）A . ﹣B . ﹣C .D .6. （2分）将y=f′（x）sinx图象向左平移个单位，得y=1﹣2sin2x图象，则f（x）=（）A . 2cosxB . 2sinxC . sinxD . cosx7. （2分） (2020高二下·浙江月考) 在中，“ ”是“ 为直角三角形”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）曲线与轴以及直线所围图形的面积为（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·濮阳模拟) 如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为（）A . 3B . 6C . 12D . 2410. （2分）已知f（cosx）=4﹣cos2x，则f（0）的值为（）A . 3B . 4C . 5D . 8二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分）求值：cos75°cos15°﹣sin75°sin15°=________12. （1分） (2019高一下·杭州期中) 在中，角、、所对的边分别为，，，，，若三角形有两解，则的取值范围是________.13. （1分）(2020·南京模拟) 设f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R），若f（x）的最大值为，则a+b 的取值范围为________．14. （1分）函数f（x）=asinx+bxcosx﹣2ctanx+x2 ，若f（﹣2）=3，则f（2）=________．15. （1分）(2020·江苏) 在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．16. （1分）若向量 =（ex ， |cosx|）， =（1，2sinx），则函数f（x）= • 在区间[﹣7，0]上的零点个数为________17. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知复数（是虚数单位），且，则当为钝角时， ________.18. （1分） (2017高一下·嘉兴期末) 如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=1，在边AB、AC上分别取D、E两点，沿线段DE折叠，顶点A恰好落在边BC上，则AD长度的最小值为________．三、解答题 (共4题；共35分)19. （5分）函数f（x）是幂函数，图象过点（2，8），定义在实数R上的函数y=F（x）是奇函数，当x＞0时，F（x）=f（x）+1，求F（x）在R上的表达式；并画出图象．20. （10分） (2020高一下·天津月考) 已知的三个内角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若，，求的长21. （5分）(2017高三上·湖南月考) 已知锐角的三个内角、、满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的外接圆的圆心是，半径是1，求的取值范围．22. （15分） (2017高一下·嘉兴期末) 数列{an}满足：a1=1，an+1+（﹣1）nan=2n﹣1．（1）求a2 ， a4 ， a6；（2）设bn=a2n ，求数列{bn}的通项公式；（3）设Sn为数列{an}的前n项和，求S2018 ．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共8题；共8分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共4题；共35分) 19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、。
河北省衡水市高一下学期期末数学试卷
河北省衡水市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中①ac2＞bc2 ，则a＞b；②若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d；③若a＞b，c＞d，则ac＞bd；④a＞b，则＞．其中正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2. （2分）已知平面向量，，，=（﹣1，1），=（2，3），=（﹣2，k），若（+）∥，则实数k=（）A . 4B . -4C . 8D . -83. （2分） (2018高一下·通辽期末) 在中，已知，则（）A . 5B . 10C .D .4. （2分）长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·济宁模拟) 过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆推的体积为（）A . 1B .C .D .6. （2分） (2016高三上·承德期中) 在△ABC中，sinAsinC＞cosAcosC，则△ABC一定是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不确定7. （2分）(2016·四川理) 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A . 2018年B . 2019年C . 2020年D . 2021年8. （2分）(2018高一下·汪清期末) 在中，角的对边分别为，若，则的面积为（）A .B .C .D .9. （2分）不等式x（x+3）≥0的解集是（）A . {x|﹣3≤x≤0}B . {x|x≥0或x≤﹣3}C . {x|0≤x≤3}D . {x|x≥3或x≤0}10. （2分） (2019高三上·长春期末) 等差数列的公差为，关于的不等式的解集为，则使数列的前项和最大的正整数的值是（）A .B .C .D .11. （2分）若函数为偶函数，且函数在上单调递增，则实数的值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·抚顺期末) “杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 14033 4031 4029…………119 7 5 38064 8060………………2016 12 816124……………………3628 20………………………A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）不等式的解集为________．14. （1分） (2016高二下·新疆期中) 函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则 + 的最小值为________．15. （1分） (2017高二上·中山月考) 已知等比数列中，，，则________；16. （1分）已知tan（α+β）=2，tan（α﹣β）=3，则的值为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2016高二上·赣州开学考) 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足= ， =3．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．18. （5分）如图，四边形OQRP为矩形，其中P，Q分别是函数f（x）=sinwx（A＞0，w＞0）图象上的一个最高点和最低点，O为坐标原点，R为图象与x轴的交点．（1）求f（x）的解析式;（2）对于x∈[0，3]，方程f2（x）﹣af（x）+1=0恒有四个不同的实数根，求实数a的取值范围.19. （10分）(2018·榆林模拟) 在中，角所对的边分别为，已知 .（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.20. （15分） (2016高三上·盐城期中) 若数列{an}中的项都满足a2n﹣1=a2n＜a2n+1（n∈N*），则称{an}为“阶梯数列”．（1）设数列{bn}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），求b2016；（2）设数列{cn}是“阶梯数列”，其前n项和为Sn，求证：{Sn}中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；（3）设数列{dn}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），记数列{ }的前n项和为Tn，问是否存在实数t，使得（t﹣Tn）（t+ ）＜0对任意的n∈N*恒成立？若存在，请求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．21. （5分）某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似地满足p（x）=x（x+1）•（39﹣2x），（x∈N* ，且x≤12）．已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）=（I）写出2013年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；（II）试问2013年第几月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？22. （15分）(2012·广东) 设数列{an}的前n项和为Sn ，满足2Sn=an+1﹣2n+1+1，n∈N* ，且a1 ， a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、22-3、。
河北省衡水市高一下学期数学期末考试试卷
河北省衡水市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共15分)1. （1分） (2019高三上·柳州月考) 曲线在处的切线的倾斜角为 ________．2. （2分） (2018高二上·浙江期中) 已知直线和互相平行，则实数________，两直线之间的距离是________．3. （1分）直线（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）=0，恒过定点________ ．4. （1分） (2016高二上·洛阳期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，有下列四个结论：①b2≥ac；② ；③ ；④ ．其中正确的结论序号为________．5. （2分）直线l：x﹣2y﹣1=0与圆x2+（y﹣m）2=1相切．则直线l的斜率为________ 实数m的值为________6. （1分）在正四棱锥V﹣ABCD内有一半球，其底面与正四棱锥的底面重合，且与正四棱锥的四个侧面相切，若半球的半径为2，则当正四棱锥的体积最小时，其高等于________．7. （2分）(2018·浙江) 若满足约束条件则的最小值是________，最大值是________．8. （1分）坐标原点（0，0）关于直线x﹣2y+2=0对称的点的坐标是________ ．9. （1分）(2020·重庆模拟) 已知数列满足，则数列的前40项和为________.10. （1分） (2017高二上·南通开学考) 设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是________①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂β且l∥m；③l⊥α，m⊥β，且l∥m；④l∥α，m∥β，且l∥m．11. （1分） (2019高一下·大庆月考) 如图，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，，当变化时，BD的最大值为________．12. （1分） (2019高一上·柳州月考) 已知函数 (a>0，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________．二、解答题 (共8题；共55分)13. （5分）(2017·民乐模拟) 如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为主题游乐区，四边形区域为BCDE为休闲游乐区，AB、BC，CD，DE，EA，BE为游乐园的主要道路（不考虑宽度）．∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=3km．（Ⅰ）求道路BE的长度；（Ⅱ）求道路AB，AE长度之和的最大值．14. （5分）已知圆x2+（y﹣2）2=4，点A在直线x﹣y﹣2=0上，过A引圆的两条切线，切点为T1 ， T2 ，（Ⅰ）若A点为（1，﹣1），求直线T1T2的方程；（Ⅱ）求|AT1|的最小值．15. （5分）已知四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形，且∠DAB=．（Ⅰ）求证：PB⊥AD；（Ⅱ）求直线PC与平面PAB所成的角θ的正弦值．16. （5分）已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn ，n∈N* ，且﹣2S2 ， S3 ， 4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）对于数列，若存在一个区间M，均有Ai∈M，（i=1，2，3…），则称M为数列的“容值区间”，设，试求数列{bn}的“容值区间”长度的最小值．17. （10分）(2018·台州模拟) 已知函数．（1）当时，若存在，使得，求实数的取值范围；（2）若为正整数，方程的两个实数根满足，求的最小值．18. （5分） (2016高一下·成都期中) 如图，一架飞机以600km/h的速度，沿方位角60°的航向从A地出发向B地飞行，飞行了36min后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C地，已知AD=600 km，CD=1200km，BC=500km，且∠ADC=30°，∠BCD=113°．问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E地离C地的距离是多少？（参考数据：tan37°= ）19. （10分）如图，已知抛物线：,圆：过点作不过原点的直线分别与抛物线和圆相切，为切点。
衡水中学2018-2019学年下学期期末考试高一年级数学(理)学科试题
衡水中学2018-2019学年下学期期末考试高一年级数学(理)学科试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
时间120分钟 满分150分。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填涂在答题纸和答题卡的相应位置上。
3．全部答案在答题卡和答题纸的相应位置上完成，答在本试卷上无效。
4．做选择题时，如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其它答案。
第I 卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四的个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}22530A x x x =--≤，{}2B x Z x =∈≤，则B A 中的元素个数为 （ ）A.2B.3C.4D.52.已知倾斜角为α的直线l 与直线230x y +-= ( )A B C . 2 D 3.已知,n 是两条不同．．的直线，,,βγ是三个不同．．的平面，则下列命题中正确的是 ( ) A . 若,,//αγαβγβ⊥⊥则 B . 若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则 C . 若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则 D . 若//,//,//m n m n αα则4.ABC ∆外接圆圆心O ，半径为1，2AO AB AC =+且 OA AB =，则向量BA 在向量BC 方向的投 影为 ( )A .21 B . 23 C . 21- D . 23-5. 已知圆22(2)4C x y -+=：, 直线1:l y =，2:1l y kx =-, 若12,l l 被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为 ( )D.126．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积是 （ ）A B ．3C D ．8π 7.若如下框图所给的程序运行结果为S =41，则图中的判断框①中应填入的是 ( )A ．6?i >B ．6?i ≤C ．5?i >D ．5?i <8..已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为4π，且对x R ∀∈，有()()3f x f π≤成立，则()f x 的一个对称中心坐标是 （ ） A.2(,0)3π-B.(,0)3π-C.2(,0)3πD.5(,0)3π 9．已知(4,6),(3,5),OA OB ==且,OC OA AC ⊥∥OB ，则向量OC 等于 （ ） A ．32(,)77- B ．24(,)721- C ．32(,)77- D ．24(,)721- 10．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 （ ）A B11．如图，在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为 ( )A ．1B ．31 C ．19D ．3 12.已知点()53,1,,23A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且平行四边形ABCD 的四个顶点都在函数()21log 1x f x x +=-的 图象上，则四边形ABCD 的面积为 ( )A.3212 B. 378 C.328 D.263第II （卷非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题纸的相应横线上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分）13.已知函数()f x 是周期为2的奇函数，当[)0,1x ∈时，()()lg 1f x x =+，则2016()lg185f += ． 14．在ABC ∆中，3,2,AB AC BC ===AC AB = ．15．在正三棱柱111ABC -A B C 中，若1=AB BB ，D 是CC 1中点，则CA 1与BD 所成角的大小是 ．16．给出下列四个结论：①实数a =b =，c =，则c a b <<；②设函数tan[(1)],01()ln ,12x x f x x x π-<≤=>⎧⎪⎨⎪⎩，则函数()1y f x =- 恰有一个零点；③若cos 1123πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=3-； ④函数()cos(2)cos(2)36f x x x ππ=-++在区间13,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 其中正确的结论为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）已知函数π()sin()14f x x x =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[]126，上的最大值与最小值的和. 18.（本小题满分12分）设ABC ∆是边长为1的正三角形，点321,,P P P 四等分线段BC （如图所示）．（Ⅰ）求112AB AP AP AP ⋅+⋅的值；（Ⅱ）Q 为线段1AP 上一点，若112AQ mAB AC =+，求实数m 的值； （Ⅲ）P 为边BC 上一动点，当PA PC ⋅取最小值时，求PAB ∠cos 的值． 19.(本小题满分12分)如图，平面四边形ABCD中，AB =AD =CD =，30CBD ∠=，120BCD ∠=， 求（Ⅰ）ADB ∠； （Ⅱ）ADC ∆的面积S .20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ， AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====. （Ⅰ）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：CF 平面PAB ； （Ⅱ）求二面角B PD A --的大小；（Ⅲ）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥?若存在，求出PM 的长；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系内，已知)0,1(A ，)0,1(-B 两点，且圆C的方程为0218622=+--+y x y x ，点P 为圆C 上的动点．（Ⅰ）求过点A 的圆的切线的方程；（Ⅱ）求22||||BP AP +的最大值及其对应的点P 的坐标．22. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线10x y ++=与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆C 上一点，若过点(2,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ， 满足OS OT tOP +=（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围.FADCBPPABDC高一年级数学(理)（参考答案）一.6.【解析】由三视图可知，该几何体为直三棱锥，底面为等腰直角三角形，把三棱锥补成长方体，三棱锥和长方体具有相同的外接球，则有2R==R=，所以34RV3π== B.9．【解析】设),(yx=，则)6,4(--=-=yx，由⊥得064=+yx，由//得0)6(3)4(5=---yx，解方程组得214,72-==yx，故选D．10．【解析】在直角12MF F∆中2122122,30bF F c MF MF Fa===)2222c ac c a∴==-2220ac-=22e e-=∴=C．11．【解析】如下图，∵B,P,N三点共线，∴PNBP//，∴PNBPλ=，即)(APANABAP-=-λ,∴λλλ+++=111①,又∵13A N N C=，∴4=，∴28=99AP m AB AC m AB AC−−→−−→−−→−−→−−→=++②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：9198111=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+mmλλλ，故选C.二、填空题：13.1； 14.32； 15.090； 16.①②④13. 【解析】由函数()f x是周期为2的奇函数得2016644()()()5555f f f f==-=-（）9lg5=-5lg9=，故20165()lg18lg lg18lg10159f +=+== 14.【解析】2221cos 24AB AC BC A AB AC +-===⋅，13cos 3242AC AB AC AB A ⋅=⋅=⨯⨯=． 15.【解析】 取11C A 中点E ，连接DE ，E B 1，则CA 1与BD 所成角为BDE ∠，设1=AB BB a =，则a a a BD 254122=+=，a C A DE 22211==，a a a BE 27)23(22=+=，所以222BE DE BD =+，=∠BDE 090.所以CA 1与BD 所成角的大小是090.16. 【解析】①正确.10<<a ，0<b ，1>c ，所以大小关系是c a b <<②正确.∵tan[(1)],01()ln ,12x x f x x x π-<≤=>⎧⎪⎨⎪⎩，若01x <≤：()1tan[(1)]12f x x π=⇒-=，方程无解；若1x >：()1ln 1f x x x e =⇒=⇒=．∴函数()1y f x =- 恰有一个零点；③错误.∵5sin 12πθ⎛⎫+⎪⎝⎭＝sin ()212ππθ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝cos 1123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；④正确.∵()cos 2cos 2cos 2cos 23636f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin 2cos 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5212x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，13,2424x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时532,1222x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 在在区间13,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.所以①②④正确. 17．【解析】（Ⅰ）因为π()sin()14f x x x =-+cos )]12x x x =-+ …………………………….1分 2cos (sin cos )1x x x =-+22cos sin 2cos 1x x x =-+…………………………….3分 sin2cos2x x =-π)4x =- …………………………….4分所以函数()f x 的最小正周期2ππ||T ω==. …………………………….5分 （Ⅱ）因为ππ[]126x ∈，，所以ππ2[]63x ∈，，所以πππ(2)[]41212x -∈-，.……………….6分当ππ2412x -=-时，函数()f x π)12-; ………………………….7分当ππ2412x -=时，函数()f x π12, …………………………….8分ππ))01212-=, …………………………….9分所以函数()f x 在区间ππ[]126，上的最大值与最小值的和为0 …………………………….10分18. 【解析】（Ⅰ）原式2121()2AP AB AP AP =⋅+=，在1ABP∆中，由余弦定理，得 161360cos 41121611021=⨯⨯⨯-+=AP ，所以1A B A P A PA⋅+⋅813= …………………………3分 （Ⅱ）易知114B P BC =，即11()4AP AB AC AB -=-，即13144AP AB AC =+， …………………………4分 因为Q 为线段1AP 上一点，设3114412AQ AP AB AC mAB AC λλλ==+=+，所以41=m ；…………………………………………………………………………………………………7分 （Ⅲ）①当P 在线段2BP 上时，0P A P C ⋅≥；……………………………………………………………………9分②当P 在线段C P 2上时，0PA PC ⋅≤；要使PA PC ⋅最小，则P 必在线段C P 2上， 设PC x =，则cos PA PC PA PC APC ⋅=⋅∠221cos 2PA PC APB PC PP x x =-∠=-=-当41=x 时，即当P 为3P 时，PA PC ⋅最小， 此时由余弦定理可求得13265cos =∠PAB . …………………………………………………………12分19. 【解析】（Ⅰ）在BCD ∆中，由正弦定理得：sin 3sin 2CD BD BCD CBD =⋅∠==∠ …………………………………… 2分在ABD ∆中，由余弦定理得：222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠=⋅==…………………4分 所以45ADB ∠= …………………6分 （Ⅱ）因为30CBD ∠=，120BCD ∠=，所以30CDB ∠=因为6sin sin(4530)ADC ∠=+=…………………8分 所以1sin 2SAD CD ADC =⋅⋅∠12=⨯= …………12分 2O ．【解析】 （Ⅰ）过点F 作FH AD ，交PA 于H ,连接BH ,因为13PF PD =，所以13HF AD BC == 又FHAD ，AD BC ，所以HF BC .…………………………….1分 所以BCFH 为平行四边形, 所以CFBH .…………………………….2分又BH ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB , 所以CF平面PAD . …………………………….3分（Ⅱ）因为梯形ABCD 中，AD BC ，AD AB ⊥,所以BC AB ⊥.因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB PB BC ⊥⊥，, 如图，以B 为原点，,,BC BA BP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, ……………………….………………4分 所以(1,0,0),(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3)C D A P .设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =，平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =, 因为(3,3,3),(0,0,3),PD BP =-=所以0PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333030x y z z +-=⎧⎨=⎩，取1x =得到(1,1,0)n =-,…………………………….5分同理可得(0,1,1)m =, …………………………………………………….6分PBCDAF y z x所以1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==-, …………………………………………………………….7分因为二面角B PD A --为锐角，所以二面角B PD A --为π3.…………………………….8分 （Ⅲ）假设存在点M ，设(3,3,3)PM PD λλλλ==-，所以(13,3,33)CM CP PM λλλλ=+=-+-, …………………………………………….10分 所以93(33)0PA CM λλ⋅=-+-=，解得12λ=, ……………………………………….11分 所以存在点M ，且12PM PD ==…………….…………………………………….12分 21. 【解析】（Ⅰ）当k 存在时设过点A 切线的方程为)1(-=x k y ，圆心坐标为（3，4），半径2=r ，∴21|43|2=+--k k k ，解得43=k ，………………2分 所以，所求的切线方程为0343=--y x ； …………………………… 3分 当k 不存在时方程1=x 也满足； ……………………………4分 综上所述，所求的直线方程为：0343=--y x 或1=x ……………………………5分（Ⅱ）设点),(y x P ，则由两点之间的距离公式知22||||BP AP +=2)(222++y x =2||22+OP ，要22||||BP AP +取得最大值只要使2||OP 最大即可， ……………………………7分又P 为圆上的点，所以7243|||)(|22max =++=+=r OC OP ，所以100272)|||(|2max 22=+⨯=+BP AP ， ……………………………9分此时直线x y OC 34:=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=021863422y x y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧==51259y x （舍去）或⎪⎩⎪⎨⎧==528521y x ∴点P 的坐标为)528,521( ……………………………12分22. 【解析】（Ⅰ）由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程222)(a y c x=+-，∴圆心到直线01=++y x 的距离d a ==（*） ………………………………1分∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b c =,c b a 22==， 代入（*）式得1b c ==， ∴22==b a ，故所求椭圆方程为.1222=+y x……………………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为)2(-=x k y ，设()00,P x y ， 将直线方程代入椭圆方程得：()0288212222=-+-+k x k xk ，∴()()081628214642224>+-=-+-=∆k kkk ，∴212<k . 设()11,y x S ,()22,y x T ，则222122212128,218kk x x k k x x +-=+=+，…………………………………………6分 由OS OT tOP +=， 当0t =,直线l 为x 轴，P 点在椭圆上适合题意；当0≠t ，得201220121228124(4)12k tx x x k k ty y y k x x k =+=+-=+=⎧⎪⎪⎨+-=+⎪⎪⎩∴20218,12k x t k=⋅+021412k y t k -=⋅+ ………8分 将上式代入椭圆方程得：1)21(16)21(3222222224=+++k t k k t k ，整理得：2222116kk t +=， …………10分 由212<k 知，402<<t ，所以()2,0(0,2)t ∈-， 综上可得(2,,2)t ∈-. ………………………………………………………12分衡水中学2018-2019学年下学期期末考试高一年级数学(理)学科试题。