【5年高考3年模拟】(安徽专用)2014高考数学二轮复习 9.1 直线方程和两条直线的位置关系课件 理
9.1直线的方程
§9.1 直线的方程1.平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则d (A ，B )＝|AB | (2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.2.直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角. (2)倾斜角的范围：[0°，180°). 3.直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在；(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2).若直线的倾斜角为θ (θ≠π2)，则k ＝tan_θ.4.直线方程的五种形式判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )(4)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示.( × ) (5)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示.( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( √ )1.直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为( ) A.30° B.60° C.150° D.120°答案 B解析 化直线方程为y ＝3x ＋a ，∴k ＝tan α＝ 3. ∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2.如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.3.过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________. 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5， 所以直线方程为x ＋y －5＝0.综上，直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.4.(教材改编)若过点A (m,4)与点B (1，m )的直线与直线x －2y ＋4＝0平行，则m 的值为________. 答案 3 解析4－m m －1＝12， ∴m ＝3.5.直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为____________. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1. 又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为__________________.答案 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]. 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ].又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)如图，∵k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞). 引申探究1.若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，3.2.将本例(2)中的B 点坐标改为B (2，－1)，求直线l 倾斜角的范围. 解 如图：直线P A 的倾斜角为45°， 直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0). (1)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，5π6B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6 (2)已知实数x ，y 满足2x ＋y ＝8，当2≤x ≤3时，则yx 的最大值为________；最小值为________.答案 (1)B (2)2 23解析 (1)由x cos α＋3y ＋2＝0得直线斜率k ＝－33cos α. ∵－1≤cos α≤1，∴－33≤k ≤33. 设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33. 结合正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上的图象可知，0≤θ≤π6或5π6≤θ<π.(2)本题可先作出函数y ＝8－2x (2≤x ≤3)的图象，把yx 看成过点(x ，y )和原点的直线的斜率进行求解.如图，设点P (x ，y )，因为x ，y 满足2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，所以点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标分别是(2,4)，(3,2).因为yx 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以y x 的最大值为2，最小值为23.题型二 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4).即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍. 解 (1)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a . 若a ＝0，即l 过点(0,0)及(4,1)， ∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(4,1)， ∴4a ＋1a ＝1， ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0. (2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点1 与均值不等式相结合求最值问题例3 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程. 解 方法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1 (a >0，b >0)，点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24， 从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0.则直线l 的方程为y －2＝k (x －3) (k <0)， 且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立.即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题例4 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值.解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小. 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用均值不等式求解最值. (2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或均值不等式求解.(1)(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________.(2)(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________. 答案 (1)5 (2)－12解析 (1)∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3).当点P 与点A (或B )重合时，|P A |·|PB |为零； 当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点， 且易知此两直线垂直，∴△APB 为直角三角形， ∴|AP |2＋|BP |2＝|AB |2＝10，∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝102＝5，当且仅当|P A |＝|PB |时，上式等号成立.(2)∵|x －a |≥0恒成立，∴要使y ＝2a 与y ＝|x －a |－1只有一个交点，必有2a ＝－1，解得a ＝－12.13.求直线方程忽视零截距致误典例 (12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0 (a ∈R ). (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.易错分析 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况. 规范解答解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.[2分] 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.[4分] ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.[6分] (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.[10分]综上可知a 的取值范围是a ≤－1.[12分]温馨提醒 (1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用.[方法与技巧]直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率. (2)直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：[失误与防范]与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零.(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1.若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( ) A.m ≠－32B.m ≠0C.m ≠0且m ≠1D.m ≠1答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0， 解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线.2.(2015·山东枣庄第八中学第二次阶段性检测)如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎭⎫π3，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3 D.⎣⎡⎭⎫π3，π答案 B解析 f ′(x )＝a (x －1)2＋ 3 (a >0)，∴k ≥ 3. 切线的倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫π3，π2.3.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( ) A.k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2 答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.4.设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足 ( ) A.a ＋b ＝1 B.a －b ＝1 C.a ＋b ＝0 D.a －b ＝0 答案 D解析 由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－a b ，所以－a b＝－1. 即a ＝b ，故应选D.5.已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( ) A. 3B.－3C.0D.1＋3答案 A解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.6.若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________.答案 [－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1 解析 当π6≤α<π4时，33≤tan α<1， ∴33≤k <1. 当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0. ∴k ∈⎣⎡⎭⎫33，1∪[－3，0). 7.一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________________________________________________________________.答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0解析 设所求直线的方程为x a ＋y b＝1. ∵A (－2,2)在此直线上， ∴－2a ＋2b ＝1. ①又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1. ②由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，ab ＝－2. 由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解. 故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程.8.若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________.答案 16解析 根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1， 所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据均值不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号.即ab 的最小值为16.9.设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0 (m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距为－3；(2)直线l 的斜率为1.解 (1)∵l 在x 轴上的截距为－3，∴－2m ＋6≠0，即m ≠3，又m ≠－1，∴m 2－2m －3≠0.令y ＝0，得x ＝2m －6m 2－2m －3， 由题意知，2m －6m 2－2m －3＝－3， 解得m ＝－53. (2)由题意知2m 2＋m －1≠0，且－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43. 10.已知点P (2，－1).(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解 (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0. 由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2， 解得k ＝34. 此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图所示.由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2. 由直线方程的点斜式，得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5. (3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线.B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A.1B.2C.4D.8答案 C解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立.∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.12.已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.答案 3 解析 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1， ∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y ) ＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取最大值3. 13.设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________.答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值.∴b 的取值范围是[－2,2].14.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程.解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3).又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.15.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ).(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.(3)解 由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k ). 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4) ＝4，“＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
(安徽专用)2014届高考数学 专题阶段评估模拟卷5 解析几何 文
题阶段评估(五) 解析几何【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共50分)只有一项是符合题目要求的)1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝02．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±2x C ．y ＝±2xD ．y ＝±12x3．(2013·某某卷)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形5．(2013·某某省某某市调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝410x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于103，则该双曲线的方程为( ) A ．x 2－y 29＝1B ．x 2－y 2＝15 C.x 29－y 2＝1 D.x 29－y 29＝1 6．(2013·某某市调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线交于一点M (1，m )，点M 到抛物线焦点的距离为3，则双曲线的离心率等于( )A ．3B ．4 C.13D.147．(2013·某某卷)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝08．(2013·某某省“江南十校”联考)已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，且点A 、B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为( )A ．4 2B ．6 2C ．4D ．69．(2013·全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 10．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c,0)(c ＞0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，交双曲线右支于点P ，切点为E ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为( )A.10B.105C.102D. 2第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)11．已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R )，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝________.12．圆x 2＋y 2－ax ＋2＝0与直线l 相切于点A (3,1)，则直线l 的方程为________． 13．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 14．(2013·某某市调研)圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －15＝0上到直线x －2y ＝0的距离为5的点的个数是________．15．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若OP →·OQ →＝－2，某某数k 的值．17.(本小题满分12分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A 、B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．18．(本小题满分12分)(2013·东城期末)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (0，2)，且长轴长与短轴长的比是2∶1. (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 上在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值．19．(本小题满分13分)(2013·某某某某二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．20．(本小题满分13分)(2013·皖南八校三模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，点F 2(c,0)到直线l ：x ＝a 2c的距离为3.(1)求椭圆E 的方程；(2)若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →，求出该圆的方程．21．(本小题满分13分)(2013·某某第一次模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于E 、G 两点，且△EGF 2的周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A 、B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|PA →－PB →|＜253时，某某数t 的取值X 围．详解答案专题阶段评估(五)一、选择题1．A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直， 所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1， 又因为直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0. 2．A 由题意得，双曲线的离心率e ＝c a ＝3，故a b ＝22，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，选A. 3．B 由题意知点在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．4．B 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e 1＝1＋b 2a 2，椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1的离心率e 2＝ 1－b 2m2， 则1＋b 2a 2·1－b 2m2＝1，即m 2＝a 2＋b 2. 5．C 由已知可得抛物线y 2＝410x 的焦点坐标为(10，0)，a 2＋b 2＝10.又双曲线的离心率e ＝10a ＝103，a ＝3，b ＝1，∴双曲线的方程为x 29－y 2＝1.故选C.6．A 点M 到抛物线焦点的距离为p2＋1＝3，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∴m 2＝8.双曲线的渐近线方程y ＝±b a x ，两边平方得y 2＝b 2a2x 2，把(1，m )代入上式得8＝b 2a2，即b 2＝8a 2.∴双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝a 2＋8a 2a 2＝3. 7．A 设P (3,1)，圆心C (1,0)，切点为A 、B ，则P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形PACB 的外接圆方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54①，圆C ：(x －1)2＋y 2＝1②，①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．8．C 因为m ＋n ＋2＝(m ＋1)＋(n ＋1)表示点A 、B 到准线的距离之和，所以m ＋n ＋2表示焦点弦AB 的长度，因为抛物线焦点弦的最小值是其通径的长度，所以m ＋n ＋2的最小值为4.9．D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1. ②①－②得x 1＋x 2x 1－x 2a2＝－y 1－y 2y 1＋y 2b2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2. ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a2.而k AB ＝0－－13－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2，∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9，∴b ＝c ＝3，a ＝32， ∴E 的方程为x 218＋y 29＝1. 10．C如图所示，设F ′为双曲线的右焦点，连接PF ′，由题意，知OE ⊥PF ，|OE |＝a2，又因为OE →＝12(OF →＋OP →)，所以E 为PF 中点，所以|OP |＝|OF |＝c ，|EF |＝c 2－a 24.所以|PF |＝2c 2－a 24.又因为|OF |＝|OF ′|，|EF |＝|PE |， 所以PF ′∥OE ，|PF ′|＝2|OE |＝a . 因为|PF |－|PF ′|＝2a ，所以2c 2－a 24－a ＝2a ，即c ＝102a ，故e ＝c a ＝102. 二、填空题11．解析： l 1⊥l 2的充要条件是2a ＋(a －1)＝0， 解得a ＝13.答案： 1312．解析： 由已知条件可得32＋12－3a ＋2＝0，解得a ＝4，此时圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心为C (2,0)，半径为2，则直线l 的方程为y －1＝－1k AC(x －3)＝－x ＋3，即x ＋y －4＝0.答案： x ＋y －4＝013．解析： 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为AB 过F 1且A ，B 在椭圆上，如图，则△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，解得a ＝4.又离心率e ＝c a ＝22，故c ＝2 2. 所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案： x 216＋y 28＝1 14.解析： 圆的方程x 2＋y 2＋2x ＋4y －15＝0化为标准式为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝20，其圆心坐标为(－1，－2)，半径r ＝25，由点到直线的距离公式得圆心到直线x －2y ＝0的距离d ＝|－1－2×－2|12＋－22＝355，如图所示，圆到直线x －2y ＝0的距离为5的点有4个． 答案： 415．解析： 由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，PA 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5，∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取最小值－2.答案： －2 三、解答题16．解析： (1)设圆心C (a ，a )，半径为r . 因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)， 所以|AC |＝|BC |＝r ，易得a ＝0，r ＝2， 所以圆C 的方程是x 2＋y 2＝4.(2)因为OP →·OQ →＝2×2×cos〈OP →，OQ →〉＝－2，且OP →与OQ →的夹角为∠POQ ， 所以cos ∠POQ ＝－12，∠POQ ＝120°，所以圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1， 又d ＝1k 2＋1，所以k ＝0. 17．解析： (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x x ＝y ＋m得y 2－8y －8m ＝0，Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 1y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)， ∴l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)，故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3 y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.18.解析： (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，a ∶b ＝2∶1，c ＝2，解得a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)证明：由题意知，两直线PA ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k .又由(1)知，P (1，2)，则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k x －1，y 24＋x 22＝1，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0. 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x B ＝1·x B ＝k 2－22k －22＋k 2， 同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k2， 则x A －x B ＝42k 2＋k 2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k2＋k2.所以k AB ＝y A －y Bx A －x B＝2为定值． 19．解析： (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0.①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，代入双曲线方程得 34c 2a2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝2， ∴双曲线的离心率为 2.20．解析： (1)由题知2|F 1F 2|＝|MF 1|＋|MF 2|， 即2×2c ＝2a ，得a ＝2c .又由a 2c－c ＝3，解得c ＝1，a ＝2，b ＝ 3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．(ⅰ)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y ＝kx ＋m ，则r ＝|m |k 2＋1，r 2＝m 2k 2＋1，①由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m 消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－33＋4k 2.又∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即4(1＋k 2)(m 2－3)－8k 2m 2＋3m 2＋4k 2m 2＝0，化简得m 2＝127(k 2＋1)，②由①②求得r 2＝127.所求圆的方程为x 2＋y 2＝127.(ⅱ)若AB 的斜率不存在，设A (x 1，y 1)，则B (x 1，－y 1)，∵OA →⊥OB →，∴OA →·OB →＝0，有x 21－y 21＝0，x 21＝y 21，代入x 214＋y 213＝1，得x 21＝127.此时仍有r 2＝|x 21|＝127. 综上，总存在以原点为圆心的圆x 2＋y 2＝127满足题设条件．21．解析： (1)由题意知椭圆的离心率e ＝c a ＝22，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△EGF 2的周长为42，即4a ＝42，∴a 2＝2，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，即t ≠0.设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)＞0，得k 2＜12.x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k2，∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t 1＋2k 2，y ＝y 1＋y 2t ＝1t[k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4kt1＋2k2. ∵点P 在椭圆C 上，∴8k22[t 1＋2k 2]2＋2－4k2[t1＋2k 2]2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|PA →－PB →|＜253，∴1＋k 2|x 1－x 2|＜253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＜209，∴(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 41＋2k22－4·8k 2－21＋2k 2＜209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＞0，∴k 2＞14.∴14＜k 2＜12. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k2，又32<1＋2k 2<2，∴83<t 2＝8－81＋2k 2＜4， ∴－2＜t ＜－263或263＜t ＜2，∴实数t 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫263，2.。
数学_2014年安徽省高考数学仿真信息卷(二)(理科)(含答案)
2014年安徽省高考数学仿真信息卷（二）（理科）一、选择题1. 设i是虚数单位，复数z满足zi =5i−2，则复数z的共轭复数为（）A −1−2iB −1+2iC 1+2iD 1−2i2. 双曲线2y2−x2=4的虚轴长是（）A √2B 2C 2√2D 43. 定义由如图框图表示的运算，若f(x)=|x+2014|−|x−2014|，则输出y=()A 0B 1C 2D 44. “a>m>1”是“log a m<1”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5. 已知不等式组{x−y+1≥0x+y−1≥03x−y−3≤0表示的平面区域为D，若直线l:kx−y+1与区域D重合的线段长度为2√2，则实数k的值为（）A 1B 3C −1D −36. 若3a，b，c成等比数列，则函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的零点个数为()A 0B 1C 2D 37. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A 16+2πB 8+2πC 16+πD 8+π8. 若(1+ex)2014=a0+a1x+a2x2+...+a2014x2014(x∈R)，则−a1e +a2e2−...+a2014e2014()A eB 1C −1D −e9. 设m→=(1, 0)，n→=(0, 1)，若向量a→满足|a→−2m→|+|a→−n→|=√5，则|a→+n→|的取值范围是（）A [12, √2] B [√33, √3] C [4√55, √5] D [√5, √6]10.已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点，弦AB 经过F 2点，若A 点在x 轴的下方，且|AF 2|=2|F 2B|，AF 1→⋅BF 1→=169a 2，则∠F 1AB =( )A 5π12 B π2 C 2π3 D 4π3二、填空题11. 函数f(x)=e x 在x =1处的切线方程是________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，Ox 为极轴，则圆ρ=3cosθ被直线{x =2+2ty =1+4t （t 是参数）截得的弦长为________．13. 已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在[0, +∞]是增函数，如果不等式f(a)≤f(1)恒成立，则实数a 取值范围是________．14.如图，棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 是面对角线A 1C 1上的两个动点，若PQ =1，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积和为________．15. 对于函数f(x)=sinx ，下列命题正确的有________．（写出所有正确命题的序号） ①函数f(x)任意两个零点之间的距离为kπ(k ∈Z)； ②存在x 0>0，x 0≤f(x 0)；③曲线f(x)=sinx 关于x 轴对称的图形与关于y 轴对称的图形重合；④l 1，l 2是函数f(x)=sinx 图象上的任意两条相互垂直的切线，则l 1，l 2斜率之和为0； ⑤设④中l 1，l 2交于P 点，则P 点坐标可以是(π2, π2)．三、解答题16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b 2+c 2=a 2+bc ． (1)求A 的大小； (2)如果cosB =√63，b =2，求△ABC 的面积．17. 已知函数f(x)=x 2−x ，g(x)=lnx −2x ．（1）若函数ℎ(x)=f(x)+g(x)时，求函数ℎ(x)的单调增区间；（2）若函数F(x)=f(x)+ag(x)，求函数F(x)在区间[1, e]上的最小值．18. 如图，BC为圆O的直径，D为圆周上异于B、C的一点，AB垂直于圆O 所在的平面，BE⊥AC于点E，BF⊥AD于点F．（1）求证：BF⊥平面ACD；（2）若AB=BC=2，∠CBD=45∘，求平面BEF与平面BCD所成锐角二面角的余弦值．19. 为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有来沈阳的3民工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设．(I)求这3人选择的项目所属类别互异的概率；(II)将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X，求X的分布列和数学期望．20. 已知数列{a n}满足a n+1=a n2+na n+α，首项a1=3．（1）当n∈N∗时，a n≥2n恒成立，求α的取值范围；（2）若α=−2，求证：1a1−2+1a2−2+...+1a n−2<2．21. 已知抛物线C1:y2=4x和C2:x2=2py(p>0)的焦点分别为F1，F2，C1，C2交于O，A两点（O为坐标原点），且F1F2⊥OA．（1）求抛物线C2的方程；（2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，点P坐标为(−1, −1)，求△PMN面积的最小值．2014年安徽省高考数学仿真信息卷（二）（理科）答案1. C2. D3. C4. A5. A6. B7. B8. C9. C10. B11. y=ex12. 313. −1≤a≤114. 2+2√215. ①③④⑤16. 解：(1)∵ b2+c2=a2+bc，即b2+c2−a2=bc，∴ cosA=b2+c2−a22bc =12，又A∈(0, π)，∴ A=π3；(2)∵ cosB=√63，B∈(0, π)，∴ sinB=√1−cos2B=√33，由正弦定理asinA =bsinB，得a=bsinAsinB=3，∵ b2+c2=a2+bc，即4+c2=9+2c，整理得：c2−2c−5=0，解得：c=1±√6，∵ c>0，∴ c=√6+1，则S△ABC=12bcsinA=3√2+√32．17. 解：（1）∵ f(x)=x2−x，g(x)=lnx−2x，∴ ℎ(x)=f(x)+g(x)=x2−3x+lnx，∴ ℎ′(x)=2x−3+1x =2x2−3x+1x，x>0．由ℎ′(x)>0，得x>1或0<x<12，∴ 函数ℎ(x)的单调增区间为(0, 12)，(1, +∞)．（2）F(x)=f(x)+ag(x)=x2−(2a+1)x+alnx，F′(x)=2x−1−2a+a x=2x2−(2a+1)x+ax=(2x−1)(x−a)x=0．当a≤1时，x∈[1, e]，F′(x)≥0，F(x)单调增，F(x)min=−2a．当1<a<e时，x∈(1, a)，F′(x)<0，F(x)单调减；x∈(a, e)，F′(x)>0，F(x)单调增，F(x)min=F(a)=−a2−a+alna．当a≥e时，x∈[1, e]，F′(x)≤0，F(x)单调减，F(x)min=F(e)=e2−(2a+1)e+a．综上，F(x)min={−a2+alna，1<a<ee2−(2a+1)e+a，a≥e．18. （1）证明：∵ BC 是圆O 的直径，∴ CD ⊥BD ，∵ AB ⊥圆O 所在的平面，∴ AB ⊥CD ，且AB ∩BD =B ， ∴ CD ⊥平面ABD ，又∵ BF ⊥AD ，且AD ∩CD =D ， ∴ BF ⊥平面ACD ．（2）如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， ∵ AB =BC =2，∠CBD =45∘，∴ B(0, −1, 0)，E(0, 0, 1)，D(1, 0, 0)，A(0, −1, 2)， ∵ BF ⊥AD ，∴ DF =BD 2AD =√63=13AD ，∴ DF →=13DA →，∴ 点F(23,−13,23)，设平面BEF 与平面BCD 所成锐角二面角为θ， 则cosθ=S △BCD S △BEF=13√23=√22． ∴ 平面BEF 与平面BCD 所成锐角二面角的余弦值为√22．19. 解：记第i 名工人选择的项目属于基础设施类、民生类和产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i =1，2，3．由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立， 且P(A i )=3060=12，P(B i )=2060=13，P(C i )=1060=16．(I)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P =A 33P(A 1B 2C 3)=6×12×13×16=16；(II)记第i 名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件D i ，i =1，2，3． D 1，D 2，D 3相互独立，且P(D i )=P(A i +C i )=P(A i )+P(C i )=30+1060=23∴ ξ∼B(3, 23)，即P(X =k)=C 3k ⋅(23)k (13)3−k (k =0, 1, 2, 3)∴ ξ的分布列是∴ Eξ=0×127+1×29+2×49+3×827=2．20. 解：（1）当n =1时，a 1=3≥2×1=2成立，得α∈R ， 当n =2时，a 2=12+α≥2×2，得α≥−8，而当α≥−8时，若a n ≥2n ，则a n+1=a n 2+na n +α≥(2n)2+n ×2n −8=2(n +1)+2n(3n −1)−10≥2(n +1)，∴ α的取值范围是[−8, +∞)； （2）当α=−2时，1a1−2=1，1a 2−2=110−2=18， 当n ≥2时，由a n+1=a n 2+na n +α得，a n+1−2≥na n −4≥2(a n −2)>0，∴ a n −2≥2n−2(a 2−2)>2n−1，∴ 1a n−2<(12)n−1，∴ 1a1−2+1a2−2+...+1a n−2<1+12+(12)2+...+(12)n−1=2−(12)n−1<2．21. 解：（1）由已知得：F 1(1, 0)，F 2(0,p 2)，∴ F 1F 2→=(−1, p 2)，… 联立{y 2=4x x 2=2py ，解得{x =0y =0，或{x =√16p 23y =√32p 3， 即O(0, 0)，A(√16p 23, √32p 3)，∴ OA →=(√16p 23,√32p 3)，…∵ F 1F 2⊥OA ，∴ F 1F 2→⋅OA →=0，即−√16p 23+p2√32p 3=0，解得p =2，∴ C 2的方程为x 2=4y ．… （2）设过O 的直线方程为y =kx ，(k <0)，联立{y =kx y 2=4x ，得M(4k 2, 4k )，联立{y =kx x 2=4y，得N(4k, 4k 2)，…P(−1, −1)在直线y =x 上，设点M 到直线y =x 的距离为d 1，点N 到直线y =x 的距离为d 2， 则S △PMN =12⋅|OP|•(|d 1|+|d 2|)… =12×√2×(|4k 2−4k |√22√2)=2(|1k −1k 2|+|k −k 2|)=2(−1k −k +1k 2+k 2)…≥2(2√(−1k )⋅(−k)+2√1k 2⋅k 2)=8，当且仅当k =−1时，“=”成立，即当过原点直线为y =−x 时，…△PMN面积取得最小值8．…。
高三数学 专题9.1 直线的方程(讲+练)(原卷版+解析版)
专题9.1 直线的方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 知识点二 直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ.(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 .知识点三 直线方程的五种形式考点一 直线的倾斜角与斜率【典例1】（山西平遥中学2019届模拟）(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__________．【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】(1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3. (2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， 所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【方法技巧】直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2和⎝⎛⎭⎫π2，π三种情况讨论．当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．【变式1】（湖南浏阳一中2019届模拟）直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π【答案】B【解析】因为a 2＋1≠0，所以直线的斜截式方程为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1，所以斜率k ＝－1a 2＋1，即tan α＝－1a 2＋1，所以－1≤tan α<0，解得3π4≤α<π，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B. 考点二 直线方程的求法【典例2】（ 北京师范大学实验中学2019届模拟）根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010， 则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1.又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 【方法技巧】求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：设出所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数，再把参数的值代入所设直线方程即可．【变式2】（河北正定中学2019届模拟）过点P (3，1)，且比直线l ：x ＋3y －1＝0的倾斜角小30°的直线方程为__________．【答案】 3x ＋y －4＝0【解析】直线l ：x ＋3y －1＝0的斜率为－33，所以其倾斜角为150°，则所求直线的倾斜角为120°，因此所求直线的斜率k ＝－ 3.又直线过点P (3，1)，所以所求直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x＋y －4＝0.考点三 直线方程的综合应用【典例3】（ 辽宁阜新实验中学2019届模拟）(1)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．(2)已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．故当四边形的面积最小时，实数a 的值为12.(2)依题意知直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 可得A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， 所以S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋－9k ＋4－k ≥ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k4－k ＝12×(12＋12) ＝12， 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．故△ABO 的面积的最小值为12， 此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 【方法技巧】(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．【变式3】（吉林长春市实验中学2019届模拟）当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为__________．【答案】24【解析】因为2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2kk 2＋2，所以两直线kx －y＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积为12×1×2k k 2＋2＝1k ＋2k≤122，故三角形面积的最大值为24.考点四 综合考查【典例4】（黑龙江哈尔滨市第六中学2019届质检）若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )A ．－12 B.－12或－2 C.12或2D ．－2【答案】D【解析】∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝15，∴2sin θ cos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.【变式4】（江苏扬州中学2019届模拟）已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋152723．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 24．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝014．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π416．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5 C.52D. 5 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12 D.12- 2．（2019·浙江高三学业考试）直线210x y +-=经过点（ ）A.（1，0）B.（0，1）C.11,22⎛⎫⎪⎝⎭D.11,2⎛⎫⎪⎝⎭专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°【答案】A【解析】由直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0可得直线l 的斜率为k ＝－33，设直线l 的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－33，所以α＝150°.故选A. 2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋272【答案】B【解析】设z ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，则z 的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方．因为y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以y 1′＝2cos 2x 1.因为函数y 2＝x 2＋3的斜率为1，所以令y 1′＝2cos 2x 1＝1，解得x 1＝π6，则y 1＝0，即函数在⎝⎛⎭⎫π6，0处的切线和直线y 2＝x 2＋3平行，则最短距离为d ＝⎪⎪⎪⎪π6＋32.所以(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪π6＋322＝＋272.故选B.3．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2【答案】D【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.故选D.4．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)【答案】A【解析】因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距为－C B＞0，所以直线不经过第三象限． 6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 【答案】B【解析】易知直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a .因为k MA ＝3－－－2－0＝－52， k MB ＝2－－3－0＝43， 由图可知－a ＞－52且－a ＜43，所以a ∈⎝⎛⎭⎫－43，52. 7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．【答案】y ＝23x 【解析】直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3,2)，则直线l ：y ＝23x . 8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．【答案】y ＝－53x 或x －y ＋8＝0 【解析】当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0.9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．【答案】16【解析】根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，可得ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时，等号成立．故ab 的最小值为16.10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程．(1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【解析】(1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a .①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)，所以直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0. ②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a ＝1.又点(3,4)在直线上，所以3a ＋4a＝1，所以a ＝7.所以直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0.(2)由题意可知所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )【答案】B【解析】由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】D【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12. 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0【答案】C【解析】因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.14．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)【答案】C【解析】令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]． 15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】D【解析】由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D.16．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx－y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5C.52D. 5 【答案】C【解析】由题意可知动直线x ＋my ＝0过定点A (0,0)．动直线mx －y －m ＋3＝0⇒m (x －1)＋3－y ＝0，因此直线过定点B (1,3)．当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P (0,3)，S △P AB ＝12×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．当|P A |＝|PB |时，△P AB 的面积取得最大值．由2|P A |＝|AB |＝12＋32＝10，解得|P A |＝ 5.所以S △P AB ＝12|P A |2＝52.综上可得，△P AB 的面积最大值是52. 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．【答案】4x －3y －4＝0【解析】由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12， 所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即4x －3y －4＝0.18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．【答案】(3＋3)x －2y －3－3＝0【解析】由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16. 【解析】(1)由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．【解析】(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 经过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y 2＝1， 即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12， 则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12D.12- 【答案】B【解析】由26y x =-+可知斜率2k =-，本题选B 。
(安徽专用)2014年高考数学总复习 直线和圆的方程会考专题专练
高中数学会考直线和圆的方程专题训练一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1、直线30x y -+=的倾斜角是A 、300B 、450C 、600D 、9002、直线123=-yx 的斜率是A 、32 B 、32-C 、23 D 、23-3、若直线ax+by+c=0在第一、二、四象限，则有A 、ac>0,bc>0B 、ac>0,bc<0C 、ac<0,bc>0D 、ac<0,bc<04、平行直线121-=x y 与012=+-y x 之间的距离等于A 、552 B 、553 C 、52 D 、53 5、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是A 、⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y xB 、⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥--≤-+0623063201232y x y x y xC 、⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--≤-+0623063201232y x y x y xD 、⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥-+0623063201232y x y x y x6、圆k k y kx y x 那么实数与两坐标轴无公共点，)0(022222>=++-+的取值范围A 、20<<kB 、21<<kC 、10<<kD 、2>k7、设△ABC 的一个顶点是A （3，－1），∠B ，∠C 的平分线方程分别是x=0，y=x ，则直线BC 的方程是A 、y=3x+5B 、y=2x+3C 、y=2x+5D 、252+-=x y 8、过圆C ：422=+y x 上两点A （)1,3及B （1，3）所作的两条切线的夹角是A 、65π B 、3π C 、2π D 、6π9、从直线l ：03=+-y x 上的点向圆1)2()2(22=+++y x 引切线，则切线长的最小值为A 、223 B 、214 C 、423 D 、1223- 10、已知),(),,(222111y x P y x P 分别是直线l 上和直线l 外的点，若直线l 的方程是0),(=y x f ，则方程0),(),(),(2211=--y x f y x f y x f 表示A 、与l 重合的直线B 、过P 2且与l 平行的直线C 、过P 1且与l 垂直的直线D 、不过P 2但与l 平行的直线11、M （),00y x 为圆)0(222>=+a a y x 内异于圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系为A 、相切B 、相交C 、相离D 、相切或相交12、曲线()2412≤-+=x x y 与直线()42+-=x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是A 、⎥⎦⎤⎝⎛43125， B 、⎪⎭⎫⎝⎛43125， C 、⎪⎭⎫⎝⎛4331，D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛1250，二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a ＝___________.14、参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=++=λλλλ1121y x （λ为参数），则它的普通方程为________________________．15、如果实数的最大值那么满足等式xyy x y x ,3)2(,22=+- ． 16、已知集合A ＝｛(x,y)｜13--x y ＝2,x 、y ∈R ｝，B ＝｛(x,y)｜4x+ay ＝16,x 、y ∈R ｝，若A ∩B ＝φ，则实数a 的值为 ．三、解答题：（本大题共4小题，共36分）17、等腰三角形ABC 的顶点)0,2(),0,1(的坐标为底边一端点B A -，求另一端点C 的轨迹方程.P的距离恰好为4，求直线l的方18、直线l在x轴与y轴上的截距相等，且到点()43，程.19、若过点()10，A 和B ()m B ，4并且与x 轴相切的圆有且只有一个，求实数m 的值和这个圆的方程。
数学_2014年安徽省某校高考数学三模试卷(文科)(含答案)
2014年安徽省某校高考数学三模试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分）1. 设集合A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|−4≤x ≤0}，则A ∩∁R B =( ) A R B {x ∈R|X ≠0} C {x|0<x ≤2} D ⌀2. 若复数z 满足(1+i)z =i ，则复数z 的虚部为（ ） A 12B 12i C 1 D i3. 命题“∀x >0，x 2+3x +2≥0”的否定是（ ）A ∃x ≤0，x 2+3x +2≥0B ∃x ≤0，x 2+3x +2<0C ∃x >0，x 2+3x +2≥0D ∃x >0，x 2+3x +2<04. 各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2a 5a 8=8，则log 2a 4+log 2a 6=( ) A 1 B 2 C 3 D 45. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A 众数B 平均数C 中位数D 标准差6.执行如图所示的框图，若输入如下四个函数：①f(x)=sinx ； ②f(x)=sin(cosx)； ③f(x)=2|x|； ④f(x)=x 2+2x +1 则输出的函数是（ ）A f(x)=sinxB f(x)=sin(cosx)C f(x)=2|x|D f(x)=x 2+2x +17. 已知圆x 2+y 2−2y −5=0关于直线ax +by +c −1=0(b >0, c >0)对称，则4b+1c 的最小值为（ ）A 9B 8C 4D 28. 已知a =log 23，b =ln2，c =5−12，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A a >c >b B a >b >c C b >a >c D b >c >a9. 双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F(c, 0)，以原点为圆心，c 为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A ，若此圆在A 点处切线的斜率为√33，则双曲线C 的离心率为（ ）A √3+1B √6C 2√3D √210. 将正偶数2，4，6，8，…按表的方式进行排列，记a ij 表示第i 行第j 列的数，若a ij =2014，则i +j 的值为（ ）二、填空题（共5小题，每小题5分） 11. 若cos(α+π6)−sinα=3√35，则cos(α+π3)=________．12. 某几何体的三视图如图所示单位：cm)，则该几何体的体积为________13. 已知两个单位向量a →，b →的夹角为60∘，c →=ta →+(1−t)b →．若b →⋅c →=0，则t =________． 14. 设实数x ，y 满足{x −y −2≤0x +2y −5≥0y −2≤0，则目标函数z =2x +y 取得最大值时的最优解为________．15. 如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P(x, y)的轨迹方程是y =f(x)，则对函数y =f(x)有下列判断： ①函数y =f(x)是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f(x +2)=f(x −2)； ③函数y =f(x)在区间[2, 3]上单调递减； ④函数y =f(x)在区间[4, 6]上是减函数． 其中判断正确的序号是________．三、解答题（共6小题，共75分，解答时需要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）16. 为了分析我校市二模文科数学的成绩，现抽样统计了20位同学的数学成绩，形成了如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间是：[80, 90),[90, 100),[100, 110),[110, 120),[120, 130] （1）求图中a 的值；（2）根据直方图，估计这20位学生数学成绩的平均分；（3）若从成绩在[110, 120),[120, 130]的同学中随机抽取两位同学，求他们的数学成绩之差超过10分的概率．17. △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosA =1213，△ABC 面积为30．(I)求AB →⋅AC →；(II)若c −b =1时，求边a 的值．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC =45∘，AD =AC =1，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，PO =2，M 为PD 中点 （1）证明：PB // 平面ACM ； （2）证明：AD ⊥平面PAC ； （3）求多面体PMABC 的体积．19. 已知函数f(x)=e x +ax 2−e 2x ．（1）若曲线y =f(x)在点（2, f(2)）处的切线平行于x 轴，求函数f(x)的单调区间； （2）若x >0时，总有f(x)>−e 2x ，求实数a 的取值范围．20. 已知各项均为正数的数列{a n }，其前n 项和为S n ，且满足4S n =(a n +1)2 （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足：b 1=3，b n+1=ab n ，记c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ． 21. 已知椭圆C 的方程式x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，离心率为√33，且经过点(√62, 1)．（1）求椭圆C 的方程；（2）圆O 的方程是x 2+y 2=a 2+b 2，过圆O 上任意一点P 作椭圆C 的两条切线，若切线的斜率都存在，分别记为k 1，k 2，求k 1×k 2的值．2014年安徽省某校高考数学三模试卷（文科）答案1. C2. A3. D4. B5. D6. B7. A8. B9. A 10. C 11. 35 12.184313. 2 14. (4, 2) 15. ①②④ 16. 解：（1）由各组数据的累积频率为1： ∴ (2a +0.02+0.03+0.04)×10=1， ∴ a =0.005．（2）由85×0.05+95×0.4+105×0.3+115×0.2+125×0.5=103， 估计这20位同学的平均分为103分，（3）记成绩在[110, 120)的4位同学分别为：a 1，a 2，a 3，a 4， 记成绩在[120, 130]的1位同学为：b ， 则从5人中任取2人，共计10种可能：(a 1，a 2)，(a 1,a 3)，(a 1,a 4)，(a 1,b)，(a 2,a 3)(a 2，a 4)，(a 2,b)，(a 3,a 4)，(a 3,b)，(a 4,b)，成绩相差超过10分的结果有4种， 故P =2517. 解：(1)∵ cosA =1213，∴ sinA =√1−cos 2A =513．∵ S △ABC =12bcsinA =30， ∴ bc =156．∴ AB →⋅AC →=bccosA =156×1213=144．(2)由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b −c)2+2bc −2bccosA =25， ∴ a =5．18. （1）证明：连接BD，MO，由题O为BD中点，又M为PD中点∴ MO // PB，又∵ PB⊄面MAC，MO⊂面MAC，∴ PB // 面MAC（2）证明：∵ AD=AC，∠ADC=45∘，∴ ∠DAC=90∘，∴ DA⊥AC又PO⊥面ABCD，∴ PO⊥AD又PO∩AC=O，∴ AD⊥面PAC（3）解：∵ M为PD中点，∴ V M−ADC=12V P−DAC=14V P−ABCD，∴ V PMABC=34V P−ABCD=1219. 解：（1）由f(x)=e x+ax2−e2x，得：f′(x)=e x+2ax−e2，即y=f(x)在点（2, f(2)）处的切线斜率k=4a=0，此时f(x)=e x−e2x，f′(x)=e x−e2．由f′(x)=0，得x=2．当x∈(−∞, 2)时，f′(x)<0，f(x)在(−∞, 2)上单调递减；当x∈(2, +∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2, +∞)上单调递增．（2）由f(x)>−e2x得：a>−e xx2．设g(x)=−e xx2，x>0．则g′(x)=e x(2−x)x2．∴ 当0<x<2时，g′(x)>0，g(x)在(0, 2)上单调递增；当x>2时，g′(x)<0，g(x)在(2, +∞)上单调递减．∴ g(x)≤g(2)=−e24．∴ a的取值范围为(−e24,+∞)．20. （1）∵ 4S n=(a n+1)2当n≥2时，4S n−1=(a n−1+1)2两式相减得：(a n+a n−1)(a n−a n−1−2)=0又a n>0故a n−a n−1=2，∴ {a n}是以2为公差的等差数列又a1=1，∴ a n=2n−1．（2）∵ b n+1=a b n =2b n −1，∴ b n+1−1=2(b n −1)又b 1−1=2≠0，∴ {b n −1}是以2为公比的等比数列， ∴ b n −1=2n ， ∴ b n =2n +1，故c n =a n b n =(2n −1)2n +(2n −1)记A n =1×2+3×22+⋯+(2n −1)2n ，① 2A n =1×22+3×23+...+(2n −1)⋅2n+1，②①-②，得：−A n =2+22+23+...+2n −(2n −1)⋅2n+1 =2(1−2n )1−2−(2n −1)⋅2n+1，由错位相减得：A n =(2n −3)2n+1+6，∴ T n =(2n −3)2n+1+n 2+6．21. 解：（1）∵ 椭圆离心率为√33，且经过点(√62, 1)， ∴ {a 2−b 2a 2=1332a 2+1b 2=1，∴ a =√3，b =√2， ∴ 椭圆C 的方程为x 23+y 22=1；（2）设P(x 0, y 0)，过点P 的切线方程为y −y 0=k(x −x 0)，代入椭圆方程，可得(2+3k 2)x 2+6k(y 0−kx 0)x +3(kx 0−y 0)2−6=0， ∵ 直线与椭圆相切，∴ △=[6k(y 0−kx 0)]2−4(2+3k 2)[3(kx 0−y 0)2−6]=0，∴ (3−x 02)k 2+2x 0y 0k +2−y 02=0 ∴ k 1×k 2=2−y 023−x 02，∵ 点P 在圆O 上，∴ x 02+y 02=5，即y 02=5−x 02， ∴ k 1×k 2=x 02−33−x2=−1．。
数学_2014年安徽省高考数学模拟试卷(二)(文科)(含答案)
2014年安徽省高考数学模拟试卷（二）（文科）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知集合M ={3, 6, 9}，M ∪N =M ，则集合N 不可能为（ ） A ⌀ B M C {3, 9} D {2, 9}2. 若z 1=3x +yi 与z 2=(2−x)+(2+y)i(x, y ∈R)互为共轭复数，则复平面内z 2对应的点在（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 3. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的渐近线经过点(2, 1)，则双曲线的离心率为（ ）A √52B √2C √3D √5 4. 设a =1og 39π，b =1og 416π，c =1og 525π，则（ ） A a >b >c B c >b >a C b >c >a D b >a >c 5. 如图程序框图中，若输出S =32+√3，则p 的值为（ ）A 3B 4C 5D 66. 在如图所示的可行域下，下列目标函数中，仅能在点B 处取得最小值的是（ ）A z =x −yB z =x +yC z =x −2yD z =2x −y7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m+3−S m+2=8(S m −S m−1)(m >1, m ∈N)，且a 6+4a 1=S 22，则a 1=( ) A 16 B 14 C 4 D 28. 已知函数f(x)={√x +a(x ≥0)2−x+a +2(x <0)，若方程f(x)=4有且仅有一个解，则实数a 的取值范围为（ ）A (0, 3)B [0, 3]C (1, 4)D [1, 4]9. 在△ABC 中，若b =2√2，tanB =2√2，sinB =2√2sinC ，则a =( ) A 73 B B 、3 C 3或73 D 2或7310. 已知函数f(x)=x 4+ax 2+bx +c(c <0)，若函数是偶函数，且f （f(0)）=c 4+c ，则函数f(x)的零点个数为（ ） A 4 B 3 C 2 D 0二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11. 若a →=(1, 2x)，b →=(4, −x)，则“a →与b →的夹角为锐角”是“0≤x <√2”的________条件．（从充分性和必要性两个方面作答）12. 不等式4x−5⋅2x+4<0的解集为________．13. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是________．14. 已知圆M的方程为(x−1)2+(y−1)2=4，设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，则四边形PAMB面积的最小值为________．15. 等差数列{a n}的公差d不为0，S n是其前n项和，给出下列命题：①若d>0，且S3=S8，则S5和S6都是{S n}中的最小项；②给定n，对于一切k∈N+(k<n)，都有a n−k+a n+k=2a n；③若d<0，则{S n}中一定有最大的项；④存在k∈N+，使a k−a k+1和a k−a k−1同号；⑤S2013>3(S1342−S671)．其中正确命题的序号为________．三、解答题（共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 已知函数f(x)=asinxcosx+sin(π2−2x)，若f(π8)=√2．求：（1）f(x)的最小正周期和最小值；（2）f(π24−x)的单调递增区间．17. 等比数列{a n}中，a2=4，a3⋅a4=128．（1）求数列{a n}中的通项公式；（2）设b n=na2n−1，求数列{b n}的前n项的S n．18. 已知函数f(x)=ax2+x+blnx在x=1与x=2处取极值．（1）求a，b的值；（2）求函数f(x)在区间[1e, e2]的最小值．19. 性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）（1）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？（2）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025%的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（精确到0.001）（3）从（1）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．20. 如图，△ABO 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，OD ⊥平面ABO ，BC // OD ，且OD =2BC =2OA =2，E 是AD 中点， （1）求证：CE // 平面ABO ；（2）求三棱锥E −ABC 的体积V E−ABC ． 21. 已知椭圆x 2p2+y 23=1的左焦点在抛物线C:y 2=2px(p >0)的准线上，F 为抛物线的焦点．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 过点F 交抛物线于不同的两点A 、B ，交y 轴于点M ，且MA →=aAF →，MB →=bBF →，则对任意的直线l ，a +b 是否为定值？若是，求出a +b 的值；否则，请说明理由．2014年安徽省高考数学模拟试卷（二）（文科）答案1. D2. A3. A4. A5. B6. C7. C8. D9. B 10. C11. 既不充分也不必要 12. {x|0<x <2} 13. 12√3 14. 2√5 15. ①②③16. 解：（1）f(x)=a2sin2x +cos2x ， ∵ f(π8)=√24a +√22=√2，解得a =2，∴ f(x)=√2(√22sin2x +√22cos2x)=√2sin(2x +π4)，∴ T=2π2=π，f(x)min=−√2．（2）f(π24−x)=√2sin[2(π24−x)+π4]=−√2sin(2x−π3)，由π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，k∈Z，得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，k∈Z，∴ 函数的单调增区间为[5π12+kπ, 11π12+kπ]．17. 解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵ a2=4，a3⋅a4=128．∴ {a1q=4⋅，解得{a1=2q=2，∴ a n=2n．（2）b n=na2n−1=n22n−1．∴ 数列{b n}的前n项的S n=12+223+325+...+n22n−1，1 4S n=123+225+...+n−122n−1+n22n+1，∴ 34S n=12+123+125+...+122n−1−n22n+1=12(1−14n)1−14−n22n+1=23−23×4n−n22n−1，∴ S n=89−16+12n9⋅22n+1．18. 解：（1）f′(x)=2ax+bx +1，由{2a+b+1=04a+b2+1=0⇒{a=−16b=−23，（2）f(x)=−16x2+x−23lnx，f′(x)=−(x−1)(x−2)3x，∴ 函数f(x)在区间[1e, 1]递减，在(1, 2]递增，在(2, e2]递减，又f(1)=56>0，f(e2)=−43−e46+e2<0，故f(x)在区间[1e , e2]的最小值是f(e2)=−43−e46+e2．19. 解：（1）抽样比为660=110，则样本中喜爱的观从有40×110=4名；不喜爱的观众有6−4=2名．（2）假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，k2=140×(60×20−40×20)280×60×100×40=224192≈1.167<5.024；∴ 不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关．（3）记喜爱乐嘉的4名男性观众为a ，b ，c ，d ，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1，2；则基本事件分别为：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, 1)，(a, 2)， (b, c)，(b, d)，(b, 1)，(b, 2)， (c, d)，(c, 1)，(c, 2)， (d, 1)，(d, 2)， (1, 2)．其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个， 故其概率为P(A)=615=0.4．20. 解：（1）如图所示，取OA 的中点F ，连接BF ，EF ， ∵ E 是AD 的中点，∴ EF // OD ，且EF =12OD ，又BC // OD ，且OD =2BC =2OA =2， ∴ EF // BC ，且EF =BC ， ∴ 四边形EFBC 是平行四边形，∴ EC // FB ，又E ⊄平面ABO ，FB ⊂平面ABO ， ∴ EC // 平面ABO ．（2）如图，作AH ⊥BF 于H ，由（1）知，BC ⊥平面ABO ，BC ⊂平面EFBC ， ∴ 平面EFBC ⊥平面ABO ， ∴ AH ⊥平面EFBC ，∵ OD =2BC =2OA =2， ∴ BC =1．OF =AF =12，CE =BF =√1+14=√52，由AH AF=OBBF ，得AH =√55． ∴ V E−ABC =13×12×1×√52×√55=112．21. 解：（1）椭圆x 2p 2+y 23=1的左焦点为(−√p 2−3, 0)，抛物线C:y 2=2px(p >0)的准线x =−p2，∴ −√p 2−3=−p2，∴ p =2，∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x ；（2）由已知得直线l 的斜率一定存在，所以设l:y =k(x −1)，l 与y 轴交于M(0, −k)， 设直线l 交抛物线于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线l 代入抛物线方程，可得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0 ∴ x 1+x 2=2+4k 2，x 1x 2=1∵ MA →=aAF →，∴ (x 1, y 1+k)=(1−x 1, −y 1)，∴ a =x11−x 1，同理b =x21−x 2，∴ a +b =x 11−x 1+x21−x 2=−1，∴ 对任意的直线l ，a +b 为定值−1．。
【5年高考3年模拟】(新课标专用)2014高考数学一轮复习 试题分类汇编 直线、平面平行的判定和性质
8.4直线、平面平行的判定和性质考点直线、平面平行的判定和性质1.(2013广东,8,5分)设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β答案 B2.(2013福建,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(2)若M为PA的中点,求证:DM∥平面PBC;(3)求三棱锥D-PBC的体积.解析解法一:(1)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E.由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3,在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理得BE=3,从而AB=6.又由PD⊥平面ABCD得,PD⊥AD,从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°,得PD=4.正视图如图所示:(2)取PB中点N,连结MN,CN.在△PAB中,∵M是PA的中点,∴MN∥AB,MN=AB=3,又CD∥AB,CD=3,∴MN∥CD,MN=CD,∴四边形MNCD为平行四边形,∴DM∥CN.又DM⊄平面PBC,CN⊂平面PBC,∴DM∥平面PBC.(3)V D-PBC=V P-DBC=S△DBC·PD,又S△DBC=6,PD=4,所以V D-PBC=8.解法二:(1)同解法一.(2)取AB的中点E,连结ME,DE.在梯形ABC D中,BE∥CD,且BE=CD,∴四边形BCDE为平行四边形,∴DE∥BC,又DE⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,∴DE∥平面PBC.又在△PAB中,ME∥PB,ME⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,∴ME∥平面PBC,又DE∩ME=E,∴平面DME∥平面PBC.又DM⊂平面DME,∴DM∥平面PBC.(3)同解法一.3.(2013陕西,18,12分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABC D是正方形,O是底面中心,A1O⊥底面ABCD,A B=AA1=.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.解析(1)由题设知,BB1 DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形, ∴BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1,∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1 B1C1 BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形, ∴A1B∥D1C.又A1B⊄平面C D1B1,∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B=B,∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD,∴A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高. 又∵AO=AC=1,AA1=,∴A1O==1.又∵S△ABD=××=1,∴=S△ABD×A1O=1.。