初中数学 2015届中考数学总复习 二次函数经典试题及答案

二次函数 y=ax +bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论： ①4ac﹣b ＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），
2
2
其中正确结论的个数是（
）
A． 4 个
答案 <<
B ．3 个
C2个
D． 1 个
B
2
解：∵ 抛物线和 x 轴有两个交点，
∴ b ﹣4ac＞0， ∴ 4ac﹣b ＜0，∴ ①正确；
答案 <<
2
2
） D． 向下平移 2 个
C 向上平移 2 个单位
A 解：将抛物线 y=x 平移得到抛物线 y=（x+2） ，则这个平移过程正确的是向左平移了 2 个单位，
2
2
难度：
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将抛物线 y=（x﹣1） +3 向左平移 1 个单位，得到的抛物线与 y 轴的交点坐标是（ A． （0，2）
某种商品每件进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元（20≤x≤30，且 x 为整数）出售， 可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为 元．
答案 <<
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解：设最大利润为 w 元，
2
25
则 w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25） +25，
∵ 20≤x≤30， ∴ 当 x=25 时，二次函数有最大值 25，
答案 <<
y=﹣ （x+6） +4 解：由题意可得出：y=a（x+6） +4， 将（﹣12，0）代入得出，0=a（﹣12+6） +4，
2 2
2
解得：a=﹣ ，
∴ 选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是：y=﹣ （x+6） +4．
2
故答案为：y=﹣ （x+6） +4．
2

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2 2
即 m（am+b）+b＜a，∴ ④正确； 即正确的有 3 个，
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如图是二次函数 y=ax +bx+c 的图象的一部分，对称轴是直线 x=1． ①b ＞4ac；
2
2
②4a﹣2b+c＜0； ③不等式 ax +bx+c＞0 的解集是 x≥3.5；
2
④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则 y1＜y2． 上述 4 个判断中，正确的是（ ）
2
难度：
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请写出一个以直线 x=﹣2 为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式，这条抛物线的 表达式可以是 等 ．
答案 <<
y=﹣（x+2）
2
解：根据题意得： y=﹣（x+2） ．（答案不唯一）．
2
2
如图，抛物线 y=ax +2x+c 经过点 A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式；
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如图是二次函数 y=ax +bx+c 图象的一部分，且过点 A（3，0），二次函数图象的对称轴是 x=1，下 列结论正确的是（ ）
2
A． b ＞4ac
答案 <<
2
B．ac＞0
C．a﹣b+c＞0
D． 4a+2b+c＜0
A
2
解：∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，
2
∴ b ﹣4ac＞0，即 b ＞4ac，所以 A 选项正确； ∵ 抛物线开口向下， ∴ a＜0， ∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， ∴ c＞0， ∴ ac＜0，所以 B 选项错误； ∵ 抛物线过点 A（3，0），二次函数图象的对称轴是 x=1， ∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴ a﹣b+c=0，所以 C 选项错误； ∵ 当 x=2 时，y＞0， ∴ 4a+2b+c＞0，所以 D 选项错误． 二次函数 y=ax +bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式 1﹣a﹣b 的值为（ A． ﹣3
2 2 2
所以水面宽度增加到
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如图的一座拱桥，当水面宽 AB 为 12m 时，桥洞顶部离水面 4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水 平方向 为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 A 为坐标原点时的抛物线解析式是 y=﹣ （x﹣6） 2 +4，则选取点 B 为坐标原点时的抛物线解析式是 ．
抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐 标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式 y=ax +2，其中 a 可通过代入 A 点坐标（﹣2，0）， 到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为 y=﹣0.5x +2， 当水面下降 1 米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当 y=﹣1 时， 对应的抛物线上两点之间的距离， 也就是直线 y=﹣1 与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把 y=﹣1 代入抛物线解析式得出： ﹣1=﹣0.5x +2， 解得：x= ， 米，
∴ 三月份的研发资金为 y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x） ．
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如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽 4 米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2 米，水面下降 1 米时，水面的宽度为 米．
答案 <<
解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则 通过画图可得知 O 为原点，
答案 <<
解：（1）∵ 如图，二次函数的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0）和 B（1，0）两点，
∴ 对称轴是 x=
=﹣1．
又点 C（0，3），点 C、D 是二次函数图象上的一对对称点， ∴ D（﹣2，3）； （2）设二次函数的解析式为 y=ax +b x+c（a≠0，a、b、c 常数），
2
根据题意得
（2）抛物线的顶点为点 D，对称轴与 x 轴交于点 E，连接 BD，求 BD 的长．
注：抛物线 y=ax +bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣
2
，
）．
答案 <<
解：（1）∵ 抛物线 y=ax +2x+c 经过点 A（0，3），B（﹣1，0），
2
∴ 将 A 与 B 坐标代入得：
，
解得：
，
2
则抛物线解析式为 y=﹣x +2x+3；
2
A． ①②④
答案 <<
B③④
C．①③④
D． ①②
A ∴ a＜0，
解：①∵ 二次函数的图象开口向下，
∵ 二次函数的图象交 y 轴的正半轴于一点， ∴ c＞0，
∵ 对称轴是直线 x= ，
∴﹣
= ，
∴ b=﹣a＞0， ∴ abc＜0．
故①正确； ②∵ 由①中知 b=﹣a， ∴ a+b=0， 故②正确； ③把 x=2 代入 y=ax +bx+c 得：y=4a+2b+c，
2
∵ 抛物线经过点（2，0）， ∴ 当 x=2 时，y=0，即 4a+2b+c=0． 故③错误；
④∵ （3，y1），
又∵ 当 x＞ 时，y 随 x 的增大而减小， ＜3， ∴ y1＜y2． 故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④．
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A． ①②
答案 <<
B．①④
C．①③④
D． ②③④
B
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解：①∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，
∴ b ﹣4ac＞0， ∴ b ＞4ac，故①正确；
2
②x=﹣2 时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时 y 的正负，即 4a﹣2b+c 可能大于 0，可能等 于 0，也可能小于 0，故②错误； ③如果设 ax +bx+c=0 的两根为 α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式 ax +bx+c＞0 的解集是 x
2
∵ 对称轴是直线 x=﹣1，和 x 轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间， ∴ 抛物线和 x 轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴ 把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0， ∴ 4a+c＞2b，∴ ②错误； ∵ 把（1，0）代入抛 物线得：y=a+b+c＜0， ∴ 2a+2b+2c＜0， ∵ b=2a， ∴ 3b+2c＜0，∴ ③正确； ∵ 抛物线的对称轴是直线 x=﹣1， ∴ y=a﹣b+c 的值最大， 即把 x=m（m≠﹣1）代入得：y=am +bm+c＜a﹣b+c， ∴ am +bm+b＜a，
如果将抛物线 y=x 向右平移 1 个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ A． y=x ﹣1
答案 <<
2
2
）
B．y=x +1
2
C．y=（x﹣1）
2
D． y=（x+1）
2
C 解：抛物线 y=x 的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移 1 个单位得到点的坐标 为（1，0）， 所以所得的抛物线的表达式为 y=（x﹣1） ．
2
）
A． c＞﹣1