第五章 连续时间系统的复频域分析

2
(s )2 2
(1)
(s 1)e3s (s 1)2 4
(2) et cos (t 1) (t 2)
三、拉普拉斯变换性质
(s 1)e3s
(1)
(s 1)2 4
e-(t-3)[cos2(t-3) -sin2(t-3)](t-3)
(s 1) (s 1) 2 (s 1)2 4 (s 1)2 22
4
f (t) (4 4et 3tet ) (t)
四、拉普拉斯变换反变换
(1)
F (s)
s2
1 5s
6
(2)
s s2 2s 5
f (t) (et cos 2t 1 et sin 2t) (t)
2
四、拉普拉斯变换反变换
留数定理
留数计算：
假设sk是F(s)的一阶极点，则其留数为：
Re sk (s sk )F(s)est ssk
一、拉普拉斯变换及收敛域
例：求下面信号的LT的收敛区间
f (t ) e2t (t ) e2t (t )
有始信号收敛域的收敛轴由最右面极点决定，收敛域在收敛轴右面
二、常用函数拉普拉斯变换
L (t) 1
L{ (t)} 1
s
Lt (t)
1 s2
Re[s] > 0
L{et (t)} 1 s
L tet (t) 1
（2）
解：
f (t) cos(t) cos(3t) (t)
三、拉普拉斯变换性质
复频域微分与积分
Lt f t d F s
ds
L
f
t
t
s
F
s
d
s
三、拉普拉斯变换性质
例1：L[tet (t)]
(s
1
)2
例1：L[t (t )]
例2：L[et cost (t)]
s
L[cost ]
s2
s
(n
1)!
ds
n1
(s
sk
)
n
F
(s)e
st
ssk
f (t) ( 1 t 1 sin 2t) (t)
12 24
四、拉普拉斯变换反变换
极零点与极零图
H (s) N(s) D(s)
1、 H(s) 的极点和零点 关于实轴对称
极点：使H(s)等于无穷大的s平面上的点，即D(s)=0的根。 零点：使H(s)等于零的s平面上的点，即N(s)=0的根。 极零图：在s平面上将H(s)的极点和零点全部标出后的图。
单边LT的收敛区（ 0 ， + ） 收敛条件为> 0
s平面上的垂线Re(s)= 0称为收敛边界（或收敛轴） 收敛区间一定是一个开区间，不包含收敛轴，0可以为负。
单个脉冲信号（有限时间信号），收敛区间为整个s平面， ∈（ - ， + ）
阶跃信号(t)的收敛区间为 0 >0的整个右半平面，即∈ （ 0 ， + ） 单边指数信号eat(t)的收敛区间为0 >a 的右半平面，即∈ （ a ， + ）
(s )2
Re[s] > Re[s] > a
sint (t)
s2 2
cost (t)
s
s2 2
L{et
cos t
(t)}
(s
s )2
2
L{et
sin
t
(t)}
(s
)2
2
Re[s] > Re[s] >
二、常用函数拉普拉斯变换
例、求下列时间函数的拉普拉斯变换并注明收敛区。 （1） f (t) e2t [ (t） (t 2)]
一、拉普拉斯变换及收敛域 单边LT的收敛区（ 0 ， + ）
F(s) L f (t) f (t)estdt 0
f (t) L1F(s) 1
j
F
(s)est
ds
(t
)
2j j
二、常用函数拉普拉斯变换
三、拉普拉斯变换性质
四、拉普拉斯变换反变换
部分分式展开法（Haviside展开法） Ki (s si )F (s) |ssi
一、拉普拉斯变换及收敛域
双边
F (s) Ld f (t) f (t)estdt
f (t) L1d F(s) 1 jF(s)estds 2j j
单边
F(s) Lf (t) f (t)estdt 0
f (t) L1F(s) 1
j
F
(
s)est
ds
(t)
2j j
对于单边信号，单边与双边拉式变换结果相同 复频率：s= +jw——复平面，w是振荡频率， 控制衰减速度 复频谱：F(s)
假设sk是F(s)的n阶极点，则其留数为：
Re sk
1 d n1
(n
1)!
ds
n
1
(
s
sk
)
n
F
(s)e
st
ssk
四、拉普拉斯变换反变换
例:
1 F (s) 3s2 (s2 4)
s1=0（二重）
s2,3=j2
Re sk (s sk )F(s)est ssk
Re sk
1 d n1
四、拉普拉斯变换反变换
2、m<n, D(s)=0有重根（只需要记住2次重根形式）
(4)
S 4 S (S 1)2
K1 K21 s (s 1)
K22 (s 1)2
K1
s4 (s 1)2
s0 4
K 22
s4 s
s1 3
K 21
d [(s ds
1) 2
F (s)]
s 1
d ds
[
ห้องสมุดไป่ตู้
s
s
4]
s1
bmsm an s n
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
1、m<n, D(s)=0无重根
假设D(s)=0的根为s1，s2， …，sn，则可以将F(s)表示为：
n
F(s)
Ki
i1 s si
n
f (t) Kiesit (t) i 1
Ki (s si )F (s) |ssi
LT中：子信号为est = e t+jwt ，一对共轭复频率s= +j与s*= -j 的指数函数构成一个幅度按指数规律变化的正弦振荡 e t coswt
一、拉普拉斯变换及收敛域
对右边函数f(t)
若存在0 使f1(t)=f(t) e-t > 0
lim
t
f (t )et
0
f1(t)
f (t )et有界
e-t(cos2t-sin2t)(t)
(2) et cos (t 1) (t 2) et cos (t 2) (t 2)
cos (t 1) cos (t 2)
(s (s
1)e2(s1)
1)2 2
四、拉普拉斯变换反变换
一、部分分式展开法（Haviside展开法）
F(s)
N (s) D(s)
留数定理
Re sk (s sk )F(s)est ssk
极零点与极零图
五、拉普拉斯变换求系统响应
零输入响应
N
r zi Cieit
i 1
零状态响应 Rzs(s)=H(s)E(s) rzs(t)=L-1{Rzs(s)}
六、双边拉普拉斯变换
正变换（LT） 反变换（L-1T）
七、系统框图：直接、并联、级联形式