广东省揭阳一中2014-2015学年高一下学期第一次阶段考试数学(文)试题
广东省揭阳一中高一数学下学期第一次段考题 理
揭阳一中-第二期第一次阶段考试试题高一级数学科试题一、选择题：（本大题共有10小题，每小题5分，共50分） 1．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是 （ ）A ．21 B ．23 C ．1 D ．－12．直线l 与两直线y ＝1和x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为 M （1，－1），则直线l 的斜率为 （ ） A ．23B ．32 C ．－23D ． －32 3．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）A ．4B C D 4．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥B ．324k ≤≤C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 5．点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是 （ ）A ．－1<a <1B ． 0<a <1C ．–1<a <51 D ．－51<a <1 6．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为（ ）A ．(x －3)2+(y +1)2=4B ．(x －1)2+(y －1)2=4C ．(x +3)2+(y －1)2=4D ．(x +1)2+(y +1)2=4 7．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．随a 值变化而变化8、设集合)}0()1()1(|),{(},4|),{(22222>≤-+-=≤+=r r y x y x N y x y x M 当N N M =⋂时，r 的取值范围是 （ ）A 、]12,0[-B 、]1,0[C 、]22,0(-D 、)2,0(9．已知半径为1的动圆与定圆22(5)(7)16x y -++=相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A ．22(5)(7)25x y -++=B ．22(5)(7)3x y -++= 或22(5)(7)15x y -++=图7C ．22(5)(7)9x y -++=D ．22(5)(7)25x y -++= 或22(5)(7)9x y -++=10．已知定义在实数集上的偶函数()x f y =在区间（0，+∞）上是增函数，那么⎪⎭⎫⎝⎛=31πf y ，()1223+=x f y 和⎪⎭⎫⎝⎛=41log 23f y 之间的大小关系为 ( ) A. y 1 < y 3 < y 2 B. y 1 <y 2< y 3 C. y 3 <y 1 <y 2 D. y 3 <y 2 <y 1 二、填空题：（本大题共有4个小题，每小题5分，共11、与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是 12、圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是 13、若直线y x b =+与曲线x =b 的值为 14、在正三棱锥P —ABC 中，D 为PA 的中点，O 为△ABC 的中心，给出下列四个结论： ①OD∥平面PBC ； ②OD⊥PA；③OD⊥BC； ④PA=2OD. 其中正确结论的序号是 ．k k s s 55u u三、解答题：（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（12分）求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 16. （12分）已知函数xx a b y 22++=(a 、b 是常数且a >0，a ≠1)在区间[－23，0]上有y max =3，y min =25，试求a 和b 的值. 17. （14分）如图,四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为正方形， PD ⊥底面ABCD ，PD =AD . 求证：（1）平面PAC ⊥平面PBD ；（2）求PC 与平面PBD 所成的角； 18．（14分）一束光线l 自A （－3，3）发出，射到x 轴上，被x 轴反射到⊙C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上． （1）求反射线通过圆心C 时，光线l 的方程； （2）求在x 轴上，反射点M 的范围．19（14分）已知圆C ：x 2+y 2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 4分）如图7,.已知圆O ：221x y +=和定点A (2,1)，由圆O 外一点(,)P a b 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PQ PA =．(1) 求实数a 、b 间满足的等量关系；(2) 求线段PQ 长的最小值；(3) 若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的方程．）．已知圆22:-4-14450,C x y x y ++=及点(-2,3 )Q ．（1）(,1) P a a +在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；k k s s 55u u （2）若M 为圆C 上任一点，求||MQ 的最大值和最小值； （3）若实数,m n 满足22-4-14450m n m n ++=,求-3=+2n K m 的最大值和最小值．揭阳一中-第二期第一次阶段考试试题高一级数学科试题答案一、选择题：1-5． CDDCD 6-10. BCCDA 二、填空题：11．080247=-+y x 或070247=++y x ；12．113．1-﹤1b ≤或b =；14．③④； 三、解答题：15. 解 ①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y=kx, 将（-5，2）代入y=kx 中，得k=-52，此时，直线方程为y=-52x, 即2x+5y=0.②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为ay a x+2=1， 将（-5，2）代入所设方程， 解得a=-21，此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0. 16. 解：令u =x 2+2x =(x +1)2－1 x ∈[－23，0] ∴当x =－1时，u min =－1 当x =0时，u max =0 .233222223225310)2222531)10110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+<<⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>--b a b a b a a b a b a b a a b a b a 或综上得解得时当解得时当 k k s s 55u u 17. 解.(1)∵PD ⊥底面ABCD ，∴AC ⊥PD ，又∵底面ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，而PD 与BD 交于点D ， ∴AC ⊥平面PBD ， 又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD .（2）记AC 与BD 相交于O ，连结PO ，由（1）知，AC ⊥平面PBD ，∴PC 在平面PBD 内的射影是PO ，∴∠CPO 就是PC 与平面PBD 所成的角， k k s s 55u u∵PD =AD ,∴在Rt △PDC 中，PC =2CD ，而在正方形ABCD 中，OC =21AC =22 CD ，∴在Rt △POC 中，有∠CPO =30°.即PC 与平面PBD 所成的角为30°.18. 解： ⊙C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1（Ⅰ）C 关于x 轴的对称点C ′(2，－2)，过A ，C ′的方程：x ＋y ＝0为光线l 的方程． （Ⅱ）A 关于x 轴的对称点A ′(－3，－3)，设过A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)，当该直线与⊙C 相切时，有341133222=⇒=+-+-k k k k 或43=k k k s s 55u u∴过A ′，⊙C 的两条切线为)3(433),3(343+=++=+x y x y 令y ＝0，得1,4321=-=x xk k s s 55u u∴反射点M 在x 轴上的活动范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,4319. 解 假设存在直线l 满足题设条件，设l 的方程为y=x+m,圆C 化为（x-1）2+(y+2)2=9,圆心C （1，-2）， 则AB 中点N 是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的交点即N ⎪⎭⎫⎝⎛-+-21,21m m , 以AB 为直径的圆经过原点， ∴|AN|=|ON|，又CN ⊥AB ，|CN|=221m++，∴|AN|=2)3(92m +-.又|ON|=22)21()21(-++-m m ， 由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.∴存在直线l ，其方程为y=x-4或y=x+1.解：（1）连,OP Q 为切点，PQ OQ ⊥，由勾股定理有222PQ OP OQ =-.又由已知PQ PA =，故22PQ PA =.即：22222()1(2)(1)a b a b +-=-+-.化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：230a b +-=. （2）由230a b +-=，得23b a =-+.PQ ==故当65a =时，minPQ =即线段PQ解法2：由(1)知，点P 在直线l ：2x + y －3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离.∴ | PQ |min = | 2×2 + 1－3 |2 2 + 1 2= 255 . （3）设圆P 的半径为R ，圆P 与圆O 有公共点，圆O 的半径为1，1 1.R OP R ∴-≤≤+即1R OP ≥-且1R OP ≤+.而OP ===故当65a =时，minOP =此时, 3235b a =-+=，min 1R.得半径取最小值时圆P 的方程为22263()()1)55x y -+-=．解法2： 圆P 与圆O 有公共点，圆P 半径最小时为与圆O 外切（取小者）的情形，而这时半径的最小值为圆心O 到直线l 的距离减去1，圆心P 为过原点与l 垂直的直线l ’ 与l 的交点P 0.r = 32 2 + 12－1 = 355 －1. 又 l ’：x －2y = 0,解方程组20,230x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得6,535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.即P 0( 65 ,35).∴ 所求圆方程为22263()()1)55x y -+-=.：（1）∵ 点P （a ，a +1）在圆上，∴ 045)1(144)1(22=++--++a a a a ， ∴ 4=a , P （4,5），∴ 102)35()24(||22=-++=PQ , K PQ ＝314253=---，（2）∵ 圆心坐标C 为（2,7）， ∴ 24)37()22(||22=-++=QC ，∴ 262224||max =+=MQ ，222224min ||=-=MQ 。
2015年广东省揭阳市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．82．（5分）已知复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0）的离心率为（）A．B．C．2D．5．（5分）已知＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），若⊥，则tanα的值为（）A．﹣2B．2C．D．6．（5分）已知函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y＝4x B．y＝log4x C．y＝2x D．y＝（）x 7．（5分）某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查．则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为（）A．8B．12C．20D．308．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为（）A．14B．5C．3D．79．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β10．（5分）对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝．则下列各式中恒成立的个数为（）①min{a，b}+max{a，b}＝a+b②min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b③（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b④（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b．A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为．12．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3，∠B＝2∠A，cos A＝，则b＝．13．（5分）已知函数f（x）＝x3对应的曲线在点（a k，f（a k））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（a k+1，0），若a1＝1，则＝．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）＝2被圆ρ＝4截得的弦长为．【几何证明选讲选做题】15．如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE＝1，AB＝3，CF＝4，则BC边的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若f（α）＝，α∈（0，），求cos2α的值．17．（12分）如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图．（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）18．（14分）如图5，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB＝，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD＝l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n＝na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝12．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+．20．（14分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．21．（14分）已知函数f（x）＝ax，g（x）＝lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x），当a＝1时，求函数F（x）的极值；（2）若函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：＜ln（n+1）．2015年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：∵A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，∴A∪B＝{3，4，5，6，7，8}，故则A∪B中元素的个数为6个，故选：B．2．（5分）已知复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数z＝（﹣8﹣7i）（﹣3i）＝24i﹣21，则z在复平面内对应的点（﹣21，24）位于第二象限．故选：B．3．（5分）“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但a2＞b2不成立，若a＝﹣1，b＝0，满足a2＞b2，但a＞b不成立，故“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，故选：D．4．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0）的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0）的b＝2a，c＝＝a，即有e＝＝．故选：A．5．（5分）已知＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），若⊥，则tanα的值为（）A．﹣2B．2C．D．【解答】解：∵＝（sinα，cosα），＝（﹣2，1），⊥，∴＝﹣2sinα+cosα＝0，∴cosα＝2sinα，∴tanα＝＝．故选：C．6．（5分）已知函数y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y＝4x B．y＝log4x C．y＝2x D．y＝（）x 【解答】解：∵y＝log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），∴，解得a＝4．∴y＝log4x，则x＝4y，把x，y互换得到函数y＝log4x的反函数为y＝4x．故选：A．7．（5分）某单位200名职工的年龄分布情况如图示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查．则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为（）A．8B．12C．20D．30【解答】解：由图表关系知，若抽取40名职工，则应从40﹣50岁的职工中抽取的人数为40×30%＝12，故选：B．8．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为（）A．14B．5C．3D．7【解答】解：画出满足条件表示的平面区域，如图示：∴平面区域的面积是×4×＝7，故选：D．9．（5分）设l、m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A．若m∥l，m∥α，则l∥αB．若m⊥α，l⊥m，则l∥αC．若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥mD．若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β【解答】解：对于A，若m∥l，m∥α，则l可能在α内，故A错误；对于B，若m⊥α，l⊥m，则l可能在α内，故B错误；对于C，若α∥β，l⊥α，得到l⊥β，结合m∥β，得到l⊥m；故C正确；对于D，若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α与β可能相交；故D错误；故选：C．10．（5分）对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝．则下列各式中恒成立的个数为（）①min{a，b}+max{a，b}＝a+b②min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b③（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b④（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b．A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵对任意的a、b∈R，定义：min{a，b}＝；max{a，b}＝，∴min{a，b}取a，b中的最小值，max{a，b}取a，b的最大值．∴min{a，b}，max{a，b}分别取出a，b中的一个最大值与一个最小值，∴min{a，b}+max{a，b}＝a+b，（min{a，b}）•（max{a，b}）＝a•b，故①③成立；若a≤b，则有：min{a，b}﹣max{a，b}＝a﹣b，若a＞b，则min{a，b}﹣max{a，b}＝b﹣a≠a﹣b，故③不一定成立；若a≤b，且b≠0，则有：（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝a÷b，若a＞b，且a≠0，（min{a，b}）÷（max{a，b}）＝b÷a≠a÷b．故④不一定成立．故选：B．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．（5分）不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为{x|﹣2＜x＜5}．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣10＜0可化为（x﹣5）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜5；∴该不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．12．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝3，∠B＝2∠A，cos A＝，则b＝2．【解答】解：△ABC中，由cos A＝，∠B＝2∠A，可得sin A＝，sin B＝sin2A ＝2sin A cos A＝2××＝．再由正弦定理可得＝，即＝，求得b＝2，故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）＝x3对应的曲线在点（a k，f（a k））（k∈N*）处的切线与x轴的交点为（a k+1，0），若a1＝1，则＝3．【解答】解：由f'（x）＝3x2得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令y＝0得，故数列{a n}是首项a1＝1，公比的等比数列，又＝，所以．故答案为：3．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，直线ρsin（θ+）＝2被圆ρ＝4截得的弦长为4．【解答】解：∵ρsin（θ+）＝2，∴ρsinθ+ρcosθ＝2，化成直角坐标方程为：x+y﹣2＝0，圆ρ＝4化成直角坐标方程为x2+y2＝16，圆心到直线的距离为：∴截得的弦长为：2×＝．故答案为：．【几何证明选讲选做题】15．如图，BE、CF分别为钝角△ABC的两条高，已知AE＝1，AB＝3，CF＝4，则BC边的长为．【解答】解：依题意，AE＝1，AB＝3，得，因△BEA∽△CF A得，所以AF＝2，AC＝6，所以EC＝7，所以．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）若f（α）＝，α∈（0，），求cos2α的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π，由得ω＝2；（2）由：得∵，∴，∴∴＝＝∴．17．（12分）如图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI）的趋势图．（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）【解答】解：（1）根据图中数据，列出频率分布表如下；根据频率分布表，画出频率分布直方图，如下；（2）由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为2+5+7+5＝19，﹣﹣﹣（9分）∴此人到达当天空气质量优良的概率：；﹣﹣﹣（11分）∴可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%．﹣﹣﹣（12分）18．（14分）如图5，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB＝，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD＝l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．【解答】（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，又E、F分别是AC、AD的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面ABC又EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．（2）证明：∵CD∥EF，CD⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CD∥平面BEF，又CD⊂平面BCD，且平面BEF∩平面BCD＝l，∴CD∥l．（2）解法1：由（1）知EF∥CD，∴△AEF～△ACD．∴，∴，∴＝．解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，由（1）知EF⊥平面ABC，∴V＝V F+V F﹣BCD＝＝﹣EBC．19．（14分）已知S n为数列{a n}的前n项和，S n＝na n﹣3n（n﹣1）（n∈N*），且a2＝12．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求证：++…+．【解答】（1）解：由S n＝na n﹣3n（n﹣1），得a1+a2＝2a2﹣3×2×（2﹣1），即a1＝a2﹣6，∵a2＝12，∴a1＝12﹣6＝6；（2）解：由S n＝na n﹣3n（n﹣1），得S n﹣1＝（n﹣1）a n﹣1﹣3（n﹣1）（n﹣2）（n≥2），两式作差得：a n＝na n﹣（n﹣1）a n﹣1﹣6n+6，即a n﹣a n﹣1＝6（n≥2）．∴数列{a n}是以6为首项，以6为公差的等差数列，∴a n＝6+6（n﹣1）＝6n；（3）证明：，则，∴++…+＝＝．20．（14分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）解法1：∵点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，∴设点P（m，m）（m＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵抛物线C的准线为，由|PF|＝5结合抛物线的定义得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又点P在抛物线C上，∴m2＝2pm（m＞0）⇒m＝2p．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由①②联立解得p＝2，∴所求抛物线C的方程式为x2＝4y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）[解法2：∵点P是直线y＝x与抛物线C在第一象限的交点，∴设点P（m，m）（m＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵抛物线C的焦点为，由|PF|＝5得，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又点P在抛物线C上，∴m2＝2pm（m＞0）⇒m＝2p．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由①②联立解得p＝2，∴所求抛物线C的方程式为x2＝4y．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）]（2）解法1：由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又设点，由直线l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l 与抛物线C相切，由得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴直线l的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）令y＝﹣1得，∴Q点的坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵点N在以MQ为直径的圆上，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）要使方程（*）对x0恒成立，必须有解得n＝1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴在坐标平面内存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）[解法2：设点M（x0，y0），由l：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点M知，直线l与抛物线相切，由得，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴直线l的方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）令y＝﹣1得，∴Q点的坐标为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴以MQ为直径的圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③﹣﹣﹣﹣（10分）分别令x0＝2和x0＝﹣2，由点M在抛物线C上得y0＝1，将x0，y0的值分别代入③得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④（y﹣1）（y+1）+（x+2）x＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣⑤④⑤联立解得或，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴在坐标平面内若存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），将（0，1）的坐标代入③式得，左边＝＝2（1﹣y0）+2（y0﹣1）＝0＝右边，将（0，﹣1）的坐标代入③式得，左边＝不恒等于0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴在坐标平面内是存在点N，使得以MQ为直径的圆恒过点N，点N坐标为为（0，1）．﹣﹣（14分）21．（14分）已知函数f（x）＝ax，g（x）＝lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）＝f（x）﹣g（x），当a＝1时，求函数F（x）的极值；（2）若函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）在区间（0，1）上为减函数，求a的取值范围；（3）证明：＜ln（n+1）．【解答】解：（1）∵当a＝1时，函数F（x）＝x﹣lnx，（x＞0）∴，令F'（x）＝0得x＝1，当x∈（0，1）时F'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，F'（x）＞0，即函数F（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴函数F（x）在x＝1处有极小值，＝1﹣ln1＝1．∴F（x）极小（2）解法1：∵函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）＝a sin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数∴在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，设，则，当x∈（0，1）时，sin（x﹣1）＜0，cos（x﹣1）＞0∴H'（x）＜0在（0，1）上恒成立，即函数H（x）在（0，1）上单调递减，∴当x∈（0，1）时，H（x）＞H（1）＝1，∴a≤1．解法2：∵函数G（x）＝f（sin（x﹣1））﹣g（x）＝a sin（x﹣1）﹣lnx在区间（0，1）上为减函数∴对∀x∈（0，1），（*）恒成立，∵x∈（0，1），∴cos（x﹣1）＞0，当a≤0时，（*）式显然成立；当a＞0时，（*）式⇔在（0，1）上恒成立，设h（x）＝x cos（x﹣1），易知h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）＝1，∴⇒0＜a≤1，综上得a∈（﹣∞，1]．（3）由（2）知，当a＝1时，G（x）＝sin（x﹣1）﹣lnx＞G（1）＝0，⇒sin（x ﹣1）＞lnx，（**）∵对∀k∈N*有，在（**）式中令得，∴＝，即．第21页（共21页）。
广东省揭阳一中2014-2015学年高一下学期第一次阶段考试语文试卷 Word版含答案
资料概述与简介 广东省揭阳一中2014-2015学年高一下学期第一次阶段考试语文试卷 说明：1.本试题共8页，150分。
时间为150分钟。
2.所有答案用黑色水笔或钢笔写在答题卷上。
一、本大题4小题，每题3分，共12分。
1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是（） A．喧闹/煊赫业绩/污渍纤维/纤夫 B．效仿/发酵空旷/粗犷殉情徇私 。
当年国语课本定位极为明确： ①吸收现代文明 ②从而博纳多种价值和宽容各种思想 ③继承传统价值 ④不以强横的标准答案来桎梏学生 ⑤以母语教育为本A.⑤③①④②B.⑤①③②④C.④②⑤①③D.④⑤①③② 本大题小题，共分。
缦立远视，而望幸焉。
盘盘焉，囷囷焉 11.下面各项是对这首诗的赏析，理解有误的一项是（）。
（3分） 首句“丹阳郭里送行舟”，交代了送别的地点——丹阳的内外城之间，友人出行的方式 ——由水路乘船。
B.“一别心知两地秋”中，“秋”字表面写时令，实际上表达人的情绪，巧妙运用拆字法， 以“心”上“秋”说明愁绪。
C.“日晚”句写望中所见之景，指诗人独立江边遥望朋友去处不愿离去，直到很晚，暗示 思念时间之久，见出友情之深。
D. 诗人抒写他给韦参军送行以及送走之后的情景，感情真挚深厚，造语清丽流畅，读之余 味无穷。
12.诗中“寒鸦飞尽水悠悠”是怎样将诗人的感情表达得含蓄动人的？（4分） 【乙】阅读下面这首宋词，回答问题。
(10分) 鹧鸪天苏轼 林断山明竹隐墙，乱蝉衰草小池塘。
翻空白鸟时时见，照水红蕖细细香。
村舍外，古城旁，杖藜徐步转斜阳。
殷勤昨夜三更雨，又得浮生一日凉。
注：这首词为苏轼贬谪黄州时所作。
13.词的上片，从哪些角度来描写景物？写出了景物的什么特点？ (6分) 14.下片刻画出词人怎样的形象？蕴含了词人什么样的思想情感？(4分) 15．补写出下列古诗词中的空缺部分。
（12分，每空1分） （1），蓝田日暖玉生烟。
（2），百年多病独登台。
【数学】广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次阶段考试(文)
广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二下学期第一次阶段考试文科数学试题一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．设全集U 是实数集R ，集合A ＝{y |y ＝3x ，x >0}，B ＝{x |y ＝2x －x 2}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0≤x ≤1}C ．{x | 1＜x ＜2}D ．{x | 1＜x ≤2}2．命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是（ ）A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1 3．如图所示的框图输出结果为（ ）A ．1023B ．1024C ．511D ．2047 4．函数f (x )=(x 2–2x )e x 的图像大致是（ ）A. B. C. D.5．设222,2,2x yx yM N P ++===0x y <<），则,,M N P 的大小关系为（ ） A ．M N P << B ．N P M << C ．P M N << D ．P N M <<6．观察各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，……，可以得出的一般结论是（ ）A ．2)23()2()1(n n n n n =-+⋅⋅⋅+++++ B ．2)12()23()2()1(-=-+⋅⋅⋅+++++n n n n n C ．2)13()2()1(n n n n n =-+⋅⋅⋅+++++ D ．2)12()13()2()1(-=-+⋅⋅⋅+++++n n n n nA ．B ．C ．D ．9．若关于x 的方程330x x m -+=在[02]，上有实根，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．[22]-， Ｂ．[02]， Ｃ．[20]-， Ｄ．(2)(2)-∞-+∞，，10．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，()f x ''是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数3231()122f x x x x =-++，则)20142013()20142()20141(f f f +⋅⋅⋅++＝（ ） A ．1 B ．2 C ．2013 D ．2014二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上). 11．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i )·(1＋i )＝bi ，则a ＋bi ＝________. 12．若函数在处取极值，则__________13．已知双曲线2213y x -=与抛物线22(0)y px p =>有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为M ，若||5MF =，则点M 的横坐标为 .14．记等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，利用倒序求和的方法得：1()2n n n a a S +=；类似地，记等比数列{}n b 的前n 项的积为n T ，且*0()n b n N >∈，试类比等差数列求和的方法，将n T 表示成首项1b 、末项n b 与项数n 的一个关系式，即n T = .三、解答题 (本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本小题满分12分）已知函数(x)f 22cos 2sin 4cos x x x =+-。
2014年广东省揭阳市高考数学一模试卷(文科)
2014年广东省揭阳市高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.若复数z满足：iz=3+4i，则z=( )A.-3-4iB.4+3iC.4-3iD.-4+3i【答案】C【解析】试题分析：由iz=2+4i，利用复数代数形式的除法运算可得结果．由iz=3+4i，得z===4-3i，故选：C．2.设函数f(x)=的定义域为M，则∁R M=( )A.(-∞，1)B.(1，+∞)C.(-∞，1]D.[1，+∞)【答案】D【解析】试题分析：根据函数成立的条件，求出函数的定义域，然后根据补集的定义即可得到结论．要使函数f(x)=有意义，则1-x＞0，即x＜1，∴函数的定义域M=(-∞，1)，则∁R M=[1，+∞)，故选：D．3.设平面α、β，直线a、b，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：根据面面平行的判断定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断．根据面面平行的判定定理可知，当a，b不相交时，α∥β不成立，∴充分性不成立．若α∥β，则必有a∥β，b∥β，∴必要性成立．∴“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．4.下列函数是偶函数，且在[0，1]上单调递增的是( )A.y=sin(x+)B.y=1-2cos22xC.y=-x2D.y=|sin(π+x)|【答案】D【解析】试题分析：利用正弦函数与余弦函数的单调性与奇偶性，对A、B、C、D四个选项逐一分析即可．A：∵y=f(x)=sin(x+)=cosx，满足f(-x)=f(x)，是偶函数，且在区间[0，π]上单调递减，∵[0，1]⊂[0，π]，∴y=sin(x+)在[0，1]上单调递减，故A错误；B：y=1-2cos22x=-cos4x，当x∈[0，1]时，4x∈[0，4]，4＞π，∴y=1-2cos22x在[0，1]上不单调，故B错误；C：y=-x2在[0，1]上单调递减，故C错误；D：y=g(x)=|sin(π+x)|=|-sinx|=|sinx|，g(-x)=|sin(-x)|=|sinx|=g(x)，∴y=|sin(π+x)|为偶函数，且在[0，]上单调递增，∵[0，1]⊂[0，]，∴y=|sin(π+x)|为偶函数，在[0，1]上单调递增，即D正确；故选：D．5.如图所示的程序框图，能使输入的x值与输出的y值相等的所有x值分别为( )A.1、2、3B.0、1C.0、1、3D.0、1、2、3、4【答案】C【解析】试题分析：算法的功能是求分段函数y=的值，分段求得输入的x值与输出的y值相等的x值，可得答案．由程序框图知，算法的功能是求分段函数y=的值，输入的x值与输出的y值相等，则当x≤2时，x=1或0；当2＜x≤5时，2x-3=x⇒x=3；当x＞5时，=x无解．综上x的值可能是0，1，3．故选：C．6.一简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( )A.16-πB.12-4πC.12-2πD.12-π【答案】D【解析】试题分析：根据三视图可判断几何体是长方体中挖去一个半径为1的圆柱，由三视图的数据可得长方体的长、宽、高及圆柱的高，代入公式计算．由三视图知：几何体是长方体中挖去一个半径为1的圆柱，且圆柱与长方体的高都是1，长方体的长为2+1+1=4，宽为0.5+2+0.5=3，∴几何体的体积V=V长方体-V圆柱=4×3×1-π×12×1=12-π．故选：D．7.已知向量、满足||=1，||=，且(3-2)，则与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，求出角的大小即可．(3-2)，可得(3-2)，即=0，⇒==，cos==，∴=．故选：A．8.若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是( )A.[0，4]B.[4，6]C.[2，4]D.[2，6]【答案】D【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点(2，0)时，直线y=的截距最小，此时z最小，最小值为z=2，经过点(2，2)时，直线y=的截距最大，此时z最大，最大值为z=6，即z的取值范围是[2，6]．故选：D9.以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为120°，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：先根据双曲线对称性可推断出四边形为菱形利用一个内角为120°推断出=，进而利用a，b和c关系求得a和c的关系式，即双曲线的离心率．根据双曲线对称性可推断出四边形为菱形，∵内角为120°，∴=平方得：=又∵c2=a2+b2，所以1-=求得=，故选D10.从[0，10]中任取一个数x，从[0，6]中任取一个数y，则使|x-5|+|y-3|≤4的概率为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：作出不等式对应的平面区域，利用几何概型的概率公式即可得到结论结论．不等式|x-5|+|y-3|≤4对应的平面区域是图中阴影部分：∵0≤x≤10，0≤y≤6，∴根据几何概型的概率公式可得所求的概率为阴影，故选：A二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若点(a，27)在函数y=3x的图象上，则tan的值为．【答案】【解析】试题分析：根据点与曲线的关系求出a的值，然后代入即可得到三角值．∵点(a，27)在函数y=3x的图象上，∴3a=27=33，即a=3．则tan=tan，故答案为：12.根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km/h～120km/h，则该时段内过往的这100辆机动车中属非正常行驶的有辆，图中的x值为．【答案】15;0.0175【解析】试题分析：利用频率等于纵坐标乘以组距求出正常行驶的频率；利用所有的频率和为1，求出非正常行驶的频率；利用频数等于频率乘以样本容量求出这100辆汽车中非正常行驶的汽车的辆数．利用频数除组距得到x的值．由直方图可知，x的值=[1-(0.0025+0.0100+0.0050+0.0150)×20]÷20=0.0175，因此正常行驶在60km/h～120km/h的频率为20×(0.0100+0.0150+0.0175)=0.85，非正常行驶的频率有1-0.85=0.15；所以这100辆汽车中非正常行驶的汽车有100×0.15=15(辆)，故答案为：15；0.0175．13.设曲线y=x n+1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+…+a99的值为．【答案】-2【解析】试题分析：由曲线y=x n+1(n∈N*)，知y′=(n+1)x n，故f′(1)=n+1，所以曲线y=x n+1(n∈N*)在(1，1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1)，该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，故a n=lgn-lg(n+1)，由此能求出a1+a2+…+a99．∵曲线y=x n+1(n∈N*)，∴y′=(n+1)x n，∴f′(1)=n+1，∴曲线y=x n+1(n∈N*)在(1，1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1)，该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，∵a n=lgx n，∴a n=lgn-lg(n+1)，∴a1+a2+…+a99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+(lg3-lg4)+(lg4-lg5)+(lg5-lg6)+…+(lg99-lg100 )=lg1-lg100=-2．故答案为：-2．14.已知直线l：(t为参数且t∈R)与曲线C：(α是参数且α∈[0，2π))，则直线l与曲线C的交点坐标为．【答案】(1，3)【解析】15.如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC的长为．【答案】【解析】试题分析：连接OD、BD，由题目中条件：“DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点”可得三角形BOD是等边三角形，再在直角三角形OCD中，可得OD的长，最后根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得BC的长．连接OD、BD，．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知函数f(x)=+2sinx．(1)求函数f(x)的定义域和最小正周期；(2)若f(α)=2，α∈[0，π]，求f(α+)的值．【答案】(1)∵sinx≠0解得x≠kπ(k∈Z)，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ(k∈Z)}∵f(x)=+2sinx=2cosx+2sinx=2sin(+x)∴f(x)的最小正周期T==2π(2)∵f(α)=2，∴cosα+sinα=1，∴(cosα+sinα)2=1，即2sinαcosα=0，∵α∈[0，π]，且sinα≠0，∴α=∴f(α+)=2sin(+α+)=2sin=【解析】(1)由sinx≠0，即可求得f(x)的定义域，利用三角恒等变换可求得f(x)=2sin(+x)，从而可求其最小正周期；(2)由f(α)=2，α∈[0，π]，可求得α=，于是可求得f(α+)的值．17.如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率．【答案】(1)在2月1日至2月12日这12天中，只有5日、8日共2天的空气质量优良，∴此人到达当日空气质量优良的概率．(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”．“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”．其概率为，“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”．其概率为，∴此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为．P=．【解析】(1)由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；(2)用列举法写出此人在该市停留两天的空气质量指数的所有情况，查出仅有一天是重度污染的情况，然后直接利用古典概型概率计算公式得到答案．18.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱SA⊥底面ABCD，过A作AE垂直SB 交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面AEH交SC于K点，P是SA上的动点，且AB=1，SA=2．(1)试证明不论点P在何位置，都有DB⊥PC；(2)求PB+PH的最小值；(3)设平面AEKH与平面ABCD的交线为l，求证：BD∥l．【答案】(1)证明：∵底面ABCD是正方形∴DB⊥AC，∵SA⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴DB⊥SA，又SA∩AC=A∴BD⊥平面SAC，∵不论点P在何位置都有PC⊂平面SAC，∴DB⊥PC．(2)将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如图示，则当B、P、H三点共线时，PB+PH取最小值，这时，PB+PH的最小值即线段BH的长，设∠HAD=α，则∠BAH=π-α，在rt△AHD中，∵，∴，在三角形BAH中，有余弦定理得：BH2=AB2+AH2-2AB•AH cos(π-α)=，∴(．(3)连结EH，∵AB=AD，SA=SA，∴R t△SAB≌R t△SAD，∴SB=SD，又∵AE⊥SB，AH⊥SD，∴AE=AH，∴R t△SEA≌R t△SAH，∴SE=SH，∴，∴EH∥BD又∵EH⊂面AEKH，BD⊈面AEKH，∴BD∥面AEKH．∵平面AEKH∩平面ABCD=l，∴BD∥l【解析】对于(1)既然不论点P在SA上何位置，都有DB⊥PC，那应该有BD⊥面SAC；对于(2)需要将PB+PH的表达式用函数表示出来对于(3)利用线面平行的性质定理和判定定理19.已知曲线C的方程为：ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0，a为常数)．(1)判断曲线C的形状；(2)设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B(A、B不同于原点O)，试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；(3)设直线l：y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=|ON|，求曲线C的方程．【答案】(1)将曲线C的方程化为可知曲线C是以点(a，)为圆心，以为半径的圆．(2)△AOB的面积S为定值．证明如下：在曲线C的方程中令y=0得ax(x-2a)=0，得点A(2a，0)，在曲线C的方程中令x=0得y(ay-4)=0，得点B(0，)，∴S=|OA||OB|=|2a|||=4(为定值)(3)∵圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，∴圆心(a，)在MN的垂直平分线上，∴=，∴a=±2，当a=-2时，圆心坐标为(-2，-1)，圆的半径为，圆心到直线l：y=-2x+4的距离d==＞，直线l与圆C相离，不合题意舍去，∴a=2，这时曲线C的方程为x2+y2-4x-2y=0．【解析】(1)把方程化为圆的标准方程，可得结论；(2)求出A，B的坐标，即可得出△AOB的面积S为定值；(3)由圆C过坐标原点，且|OM|=|ON|，可得圆心(a，)在MN的垂直平分线上，从而求出a，再判断a=-2不合题意即可．20.已知正项数列{a n}满足：a n2-(n2+n-1)a n-(n2+n)=0(n∈N+)，数列{b n}的前n项和为S n，且满足b1=1，2S n=1+b n(n∈N+)．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，求证：T2n＜1．【答案】(1)∵a n2-(n2+n-1)a n-(n2+n)=0，∴[a n-(n2+n)](a n+1)=0．∵{a n}是正项数列，∴．∵2S n=1+b n，∴当n≥2时，2S n-1=1+b n-1，两式相减得b n=-b n-1，∴数列{b n}是首项为1，公比-1的等比数列，∴，(2)证明：∵c n==(-1)n-1•，∴c2n-1+c2n====，∴T2n=(c1+c2)+(c3+c4)+…+(c2n-1+c2n)==1-＜1．【解析】(1)由已知条件推导出[a n-(n2+n)](a n+1)=0，由此能求出；由2S n=1+b n，得b n=-b n-1，由此能求出．(2)由c n=(-1)n-1•，推导出c2n-1+c2n=，由此利用裂项求和法能证明T2n=1-＜1．21.已知函数f(x)=alnx+1，g(x)=x2+-1，(a，b∈R)．(1)若曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，求b的值；(2)当a＞0时，若对∀x∈R(1，e)，f(x)＞x恒成立，求实数a的取值范围；(3)设p(x)=f(x)+g(x)，在(1)的条件下，证明当a≤0时，对任意两个不相等的正数x1，x2，有＞p()．【答案】(1)∵g'(x)=2x-，由曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，得g'(1)=2-b=0，解得b=2；(2)令h(x)=f(x)-x=alnx+1-x，则h'(x)=，当a≥e时，h'(x)＞0，函数h(x)在(1，e)上是增函数，有h(x)＞h(1)=0，即f(x)＞x；当1＜a＜e时，∵函数h(x)在(1，a)上递增，在(a，e)上递减，对∀x∈(1，e)，f(x)＞x恒成立，只需h(e)≥0，即a≥e-1，∴e-1≤a＜e．当a≤1时，函数h(x)在(1，e)上递减，对∀x∈(1，e)，要使f(x)＞x恒成立，只需h(e)≥0，而h(e)=a+1-e＜0，不合题意；综上得对∀x∈(1，e)，f(x)＞x恒成立，a≥e-1．(3)由p(x)=x2++alnx，得=+()+=++aln，p()=++aln，由得2＞⇒＞①，又+2x1x2＞4x1x2，∴＞，②∵，∴ln＜ln，∵a≤0，∴aln≥aln，③由①、②、③得++aln＞++aln，即＞p()．【解析】(1)由曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，得g'(1)=2，可得b的方程，解出即可；(2)令h(x)=f(x)-x=alnx+1-x，则对∀x∈R(1，e)，f(x)＞x恒成立，有h(x)min＞0，求导数h'(x)=，分a≥e，1＜a＜e，a≤1三种情况进行讨论，结合单调性可得最小值，从而得a的不等式，解出可得；(3)易得p(x)=x2++alnx，表示出=++aln，p()=++aln，分别利用不等式可证明＞①，＞，②aln≥aln，③由三式可得结论；。
广东省揭阳市第一中学高一数学下学期期中试题 文
揭阳一中2014-2015学年度第二学期期中考试高一数学（文）科试题一．选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确的）1.错误!未找到引用源。
的值为（）A.错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
2.半径为1cm，圆心角为错误!未找到引用源。
的角所对的弧长为（）cmA．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
3．若向量错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
，则实数错误!未找到引用源。
( )A．错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
u u u r 4.在错误!未找到引用源。
中，错误!未找到引用源。
若点D满足错误!未找到引用源。
，则AD （）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
5．已知函数错误!未找到引用源。
的图象与函数错误!未找到引用源。
的图象关于直线错误!未找到引用源。
对称，则错误!未找到引用源。
的值为（）A．9 B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
6. 直线错误!未找到引用源。
与圆错误!未找到引用源。
相交于错误!未找到引用源。
、错误!未找到引用源。
两点，且弦错误!未找到引用源。
的长为错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
7．若错误!未找到引用源。
的值为（）A. 错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
8.如图，在程序框图中，若输入错误!未找到引用源。
，则输出错误!未找到引用源。
的值是（）A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
广东省揭阳一中2014年春学期高一第一次阶段考试数学试卷(有答案)
广东省揭阳一中2014年春学期高一第一次阶段考试数学试卷，有答案一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.若直线的倾斜角为120︒，则直线的斜率为（ ）A ． D ．-2．已知直线a //平面α，直线b ⊂平面α，则（）． A ．a //b B ．a 与b 异面 C ．a 与b 相交 D ．a 与b 无公共点3．已知222125log 5,log 7,log 7a b ===则 （ ） A ．3a b - B ．3a b - C ．3a b D ．3a b4．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 （ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离5.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）A ．120︒B ．150︒C ．180︒D ．240︒6．设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m β⊥的是（ ）A ．,m αβα⊥⊂B ．,m ααβ⊥⊥C ．,m n n β⊥⊂D ．//,m n n β⊥7．过点(1,1)P 的直线,将圆形区域{}22(,)|4x y x y +≤分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（ ）A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-= 8．已知直线l 过定点(1,2)P -，且与以(2,3)A --，(4,5)B -为端点的线段（包含端点）有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．[]1,5-B ．()1,5-C ．(][)15,-∞-+∞ ，D ．()1(5,)-∞-+∞ ，9．直线y x b =+与曲线x =1个公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．b =．11b -<≤或b =C ．11b -≤≤D ．11b -≤≤ 或b =10 ．若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的斜率的取值范围是 ( )A.[2]B.22⎡+⎣ D.[0,)+∞ 二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷上）11. 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 ．12．无论m 为何值，直线l ：（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过一定点P ，则点P 的坐标为 ．13.光线从A (1，0) 出发经y 轴反射后到达圆2266170x y x y +--+=所走过的最短路程为 ．14. 已知圆221:1C x y +=与圆()()222:241C x y -+-=，过动点(),P a b 分别作圆1C 、圆2C 的切线PM 、(PN M 、N 分别为切点），若PM PN =,则22a b +最小值是 ．三、解答题：（本大题共6题，满分80分） 15．(本小题满分12分)已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0 ．（1）求直线l 的方程； （2）求直线l 关于原点O 对称的直线方程。
2014-2015学年广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中联考高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2014-2015学年广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0}B．{﹣3，﹣4}C．{﹣1，﹣2}D．∅2．（5分）已知点P（cosα，tanα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3 D．y=log2x4．（5分）已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）下列函数中，周期为π，且在[，]上为增函数的是（）A．y=sin（x+）B．y=cos（x﹣） C．y=﹣sin（2x﹣π）D．y=cos（2x+π）6．（5分）如图，在△ABC中，=2，记=，=，则=（）A． B． C． D．7．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．（5分）若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值是（）A．8 B．2 C．4 D．79．（5分）若0≤x≤2，则f（x）=的最大值（）A．B．2 C．D．10．（5分）定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数：①y=x3﹣x2+x﹣2；②y=2x﹣（sinx+cosx）；③y=e x+1；④f（x）=其中是“Z函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，a=2，b=3，C=60°，则△ABC的面积为．12．（5分）若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为．13．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是．一、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）几何证明选讲选做题14．（5分）如图，已知点D在圆O直径AB的延长线上，过D作圆O的切线，切点为C．若CD=，BD=1，则圆O的面积为．一、坐标系与参数方程选做题15．在直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（t为参数）；以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系ρOθ，则曲线l的极坐标方程为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（sinθ，﹣）与=（1，cosθ）（Ⅰ）若与互相垂直，求tanθ的值（Ⅱ）若||=||，求sin（+2θ）的值．17．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．18．（14分）已知f（x）=sin4x﹣cos4x+2sinxcosx+a（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）把y=f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式；（Ⅲ）y=g（x）在[0，]上最大值与最小值之和为3，求a的值．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE；（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；（Ⅲ）若V P=2V Q﹣ABCD，试求的值．﹣BCDE20．（14分）已知函数m（x）=x3﹣﹣3ax（1）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在（﹣∞，+∞）不单调，求实数a的取值范围；（3）判断过点可作曲线f（x）=m（x）+﹣3x多少条切线，并说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=lnx+﹣kx，其中常数k∈R．（1）求f（x）的单调增区间与单调减区间；（2）若f（x）存在极值且有唯一零点x0，求k的取值范围及不超过的最大整数m．2014-2015学年广东省揭阳一中、潮州金山中学、广大附中联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁U A）∩B=（）A．{0}B．{﹣3，﹣4}C．{﹣1，﹣2}D．∅【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴C U A={﹣3，﹣4}，∴（C U A）∩B={﹣3，﹣4}．故选：B．2．（5分）已知点P（cosα，tanα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：点P（cosα，tanα）在第三象限，所以，cosα＜0角α的终边在第二、三象限．ta nα＜0角α的终边在第二、四象限．∴角α的终边在第二象限．故选：B．3．（5分）下列四个函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．y=x﹣1 B．y=tanx C．y=x3 D．y=log2x【解答】解：y=x﹣1非奇非偶函数，故排除A；y=tanx为奇函数，但在定义域内不单调，故排除B；y=log2x单调递增，但为非奇非偶函数，故排除D；令f（x）=x3，定义域为R，关于原点对称，且f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，又f（x）在定义域R上递增，故选：C．4．（5分）已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵f（x）=，f（1）=f（﹣1），∴a=1﹣（﹣1）=2．故选：A．5．（5分）下列函数中，周期为π，且在[，]上为增函数的是（）A．y=sin（x+）B．y=cos（x﹣） C．y=﹣sin（2x﹣π）D．y=cos（2x+π）【解答】解：∵函数的周期为π，∴排除A，B．∵y=﹣sin（2x﹣π）=sin2x，∴在[，]上不是单调函数．y=cos（2x+π）=﹣cos2x，满足在[，]上为增函数，故选：D．6．（5分）如图，在△ABC中，=2，记=，=，则=（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，得；=﹣=﹣，==（﹣），∴=+=+（﹣）=+．故选：A．7．（5分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．故选：B．8．（5分）若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值是（）A．8 B．2 C．4 D．7【解答】解：由题意作出其平面区域，令z=2x+y，化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，则解得，x=3，y=1；则2x+y的最大值是为6+1=7，故选：D．9．（5分）若0≤x≤2，则f（x）=的最大值（）A．B．2 C．D．【解答】解：∵0≤x≤2，∴f（x）===，∴当x=时，函数f（x）取得最大值为=，故选：D．10．（5分）定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数：①y=x3﹣x2+x﹣2；②y=2x﹣（sinx+cosx）；③y=e x+1；④f（x）=其中是“Z函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=﹣x3﹣x2+x﹣2；y'=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，则函数在定义域上单调递增．②y=2x﹣（sinx+cosx）；y'=2﹣（cosx﹣sinx）=2+sin（x﹣）＞0，函数单调递增，满足条件．③y=e x+1为增函数，满足条件．④f（x）=，当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．故选：C．二．填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，a=2，b=3，C=60°，则△ABC的面积为．【解答】解：△ABC的面积S===．故答案为：．12．（5分）若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为﹣．【解答】解：由于sin（﹣θ）=，则cos（+θ）=sin（﹣θ）=，则有cos（+2θ）=cos2（+θ）=2cos2（+θ）﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故答案为：﹣．13．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是[3，+∞）．【解答】解：当∀x1∈[﹣1，2]时，由f（x）=x2﹣2x得，对称轴是x=1，f（1）=﹣1是函数的最小值，且f（﹣1）=3是函数的最大值，∴f（x1）=[﹣1，3]，又∵任意的x1∈[﹣1，2]，都存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），∴当x2∈[﹣1，2]时，g（x2）⊇[﹣1，3]．∵a＞0，g（x）=ax+2是增函数，∴，解得a≥3．综上所述实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．一、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）几何证明选讲选做题14．（5分）如图，已知点D在圆O直径AB的延长线上，过D作圆O的切线，切点为C．若CD=，BD=1，则圆O的面积为π．【解答】解：∵点D在圆O直径AB的延长线上，过D作圆O的切线，切点为C．CD=，BD=1，∴CD2=BD•DA，解得DA===3，∴AB=3﹣1=2，∴圆O的面积S==π．故答案为：π．一、坐标系与参数方程选做题15．在直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（t为参数）；以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系ρOθ，则曲线l的极坐标方程为ρ（sinθ﹣cosθ）=3．【解答】解：由（t为参数），得y=x+3，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入并整理得ρ（sinθ﹣cosθ）=3．即曲线l的极坐标方程是ρ（sinθ﹣cosθ）=3．故答案为：ρ（sinθ﹣cosθ）=3．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知向量=（sinθ，﹣）与=（1，cosθ）（Ⅰ）若与互相垂直，求tanθ的值（Ⅱ）若||=||，求sin（+2θ）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵=（sinθ，﹣）与=（1，cosθ），且与互相垂直，∴=，∴（Ⅱ）∵，∴，∴，∴，，∴17．（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．18．（14分）已知f（x）=sin4x﹣cos4x+2sinxcosx+a（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）把y=f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式；（Ⅲ）y=g（x）在[0，]上最大值与最小值之和为3，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵==．∴f（x）的最小正周期．（Ⅱ）．所以函数．（Ⅲ）∵∴，即，∴2a+3=3即a=0．19．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PD，∠BAD=60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBE；（Ⅱ）若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；（Ⅲ）若V P=2V Q﹣ABCD，试求的值．﹣BCDE【解答】（Ⅰ）证明：因为E是AD的中点，PA=PD，所以AD⊥PE．…（1分）因为底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，所以AB=BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE．…（2分）因为PE∩BE=E，所以AD⊥平面PBE．…（4分）（Ⅱ）证明：连接AC交BD于点O，连接OQ．…（5分）因为O是AC中点，Q是PC的中点，所以OQ为△PAC中位线．所以OQ∥PA．…（7分）因为PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ．…（8分）所以PA∥平面BDQ．…（9分）（Ⅲ）解：设四棱锥P﹣BCDE，Q﹣ABCD的高分别为h1，h2，=S BCDE h1，V Q﹣ABCD=S ABCD h2．…（10分）所以V P﹣BCDE=2V Q﹣ABCD，且底面积S BCDE=S ABCD．…（12分）因为V P﹣BCDE所以，…（13分）因为，所以．…（14分）20．（14分）已知函数m（x）=x3﹣﹣3ax（1）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）=m（x）﹣h（x）在（﹣∞，+∞）不单调，求实数a的取值范围；（3）判断过点可作曲线f（x）=m（x）+﹣3x多少条切线，并说明理由．【解答】解：（1）∵函数m（x）=x3﹣﹣3ax，∴f（x）=m（x）﹣h（x）=x3﹣（1+a）x2+3ax，∴f′（x）=3x2﹣2（a+1）x+3a，∵f′（1）=0，∴3+3a﹣2（a+1）=0∴a=﹣1，∴f′（x）=3（x﹣1）（x+1），显然在x=1附近f′（x）符号不同，∴x=1是函数f（x）的一个极值点，∴a=﹣1即为所求；（2）∵m（x）=x3﹣﹣3ax，∴∴f（x）=m（x）﹣h（x）=x3﹣（1+a）x2+3ax，若函数f（x）在R上不单调，则f′（x）=3x2﹣2（a+1）x+3a=0应有二不等根，∴△=12（a+1）2﹣36a＞0∴a2﹣a+1＞0恒成立，∴实数a的取值范围为R；（3）∵m（x）=x3﹣x2，∴f（x）=m（x）+x2﹣3x=x3﹣3x，∴f'（x）=3（x2﹣1），设切点M（x0，y0），则M的纵坐标，又，∴切线的斜率为，得，设g（x0）=，∴g'（x0）=由g'（x0）=0，得x0=0或x0=1，∴g（x0）在（﹣∞，0），（1，+∞）上为增函数，在（0，1）上为减函数，∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+m+3的极大值点为x0=0，极小值点为x0=1，∵∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+有三个零点，∴方程2x03﹣3x02+=0有三个实根，∴过点可作曲线y=f（x）的三条切线．21．（14分）已知函数f （x ）=lnx +﹣kx ，其中常数k ∈R ．（1）求f （x ）的单调增区间与单调减区间；（2）若f （x ）存在极值且有唯一零点x 0，求k的取值范围及不超过的最大整数m ．【解答】解：（1）①当k ≤2时，，则函数f （x ）为增函数．②当k ＞2时，，其中x ，f′（x ），f （x ）的取值变化情况如下表：综合①②知当k ≤2时，f （x ）的增区间为（0，+∞），无减区间； 当k ＞2时，f （x ）的增区间为与，减区间为．（2）由（1）知当k ≤2时，f （x ）无极值， 当k ＞2时，知f （x ）的极大值，f （x ）的极小值f （x 2）＜f （x 1）＜0，故f （x ）在（0，x 2）上无零点．，又，故函数f（x）有唯一零点x0，且x0∈（x2，2k）．又，记g（k）=（k＞2），，则g（k）=ln2﹣2＜0，从而f（k）＜0，，故k的取值范围是（2，+∞）且不超过的最大整数m=1．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东省揭阳一中2014-2015学年高一下学期第一次阶段考试
数学（文）科试卷
一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1．)120sin(︒-的值为 （ ）
A
21 B 23 C 2
1
- D 23-
2．平行线0943=-+y x 和026=++my x 的距离是（ ）
A
57 B 58 C 2 D 5
11
3．5lg 38lg +的值为 （ ）
A 3-
B 1-
C 1
D 3
4．过点(1,1)P 的直线被圆42
2
=+y x 截得的弦取得最小值，则该直线的方程为（ ）
A 20x y +-=
B 10y -=
C 0x y -=
D 340x y +-=
7．.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A 120︒ B 150︒ C 180︒ D 240︒
8．不论m 取何值，直线012=++-m y mx 恒过定点 （ ） A )21,1( B )1,2(- C )1,2(- D )2
1,1(--
9．已知直线l 过定点(1,2)P -，且与以(2,3)A --，(4,5)B -为端点的线段（包含端点）有交
点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A []1,5-
B ()1,5-
C (][)15,-∞-+∞，
D ()1(5,)-∞-+∞，
N M
D
C B
A
P
10．与圆22
(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 （ ） A 2条 B 3条 C 4条 D 6条
二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷上） 11． 点)3,2,1(P 关于xoy 平面的对称点的坐标是 ．
12．已知角β的终边在直线x y 3-=上，且︒≤≤︒-180180β，则β= 。
13．已知点)0,0(O ，)1,1(A ，直线01:=+-y x l 且点P 在直线l 上，则||||PO PA +的最小值为 。
14． 直线y x b =+
与曲线x =2个公共点，则b 的取值范围是 三、解答题：（本大题共6题，满分80分）
15． (本小题满分12分)已知集合}012|{2
≤--=x x x A ，}03|{ x x B -=，
求B A ，B C R ，B C A R 。
17．(本小题满分14分)在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，ABCD PD 底面⊥，M 、N 分别是PA 、BC 的中点。
⑴求证：平面PAC ⊥平面PBD ⑵求证：MN ∥平面PCD
18．（本小题满分14分）已知1
22
1)(-+
=x x f 。
⑴证明：)(x f 在+R 上为减函数； ⑵证明：)(x f 为奇函数。
19．(本小题满分14分)圆82
2=+y x 内有一点(1,2)P -，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦， ⑴当α＝135０
时，求AB ;
⑵若72=AB ，求出直线AB 的方程;
20．(本小题满分14分)已知半径为5的动圆C 的圆心在直线010:=+-y x l 上。
⑴若动圆C 过点),0,5(-求圆C 的方程；
⑵是否存在正实数r ，使得动圆C 满足与圆2
2
2
:r y x O =+相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出r ：若不存在，请说明理由。
2014-2015学年度第二学期第一次阶段考试
所以}43|{≤≤-=x x B A 6分
又}03|{≥-≤=x x x B C R 或 9分 所以}340|{-=≤≤=x x x B C A R 或 12 16解：⑴因为5
1sin cos =
-x x 所以25
1
cos sin 21)cos (sin 2=-=-x x x x 2分 所以25
24
cos sin 2=
x x 3分
所以4
3
cos sin tan ==
x x x 12分 17证明：⑴∵面ABCD 为正方形
∴AC ⊥BD 1分 ∵PD ⊥面ABCD AC ⊂面ABCD
∴PD ⊥AC 3分 又PD AD=D 4分 ∴AC ⊥面PBD 5分 又AC ⊂面PAC 6分 ∴平面PAC ⊥平面PBD 7分
⑵取PD 的中点E ，连接ME 、CE 9分 ∵E 、M 、N 分别为PD 、PA 、BC 的中点 ∴ME ∥
21AD CN ∥2
1AD ∴ME ∥CN ∴四边形MECN 为平行四边形 11分
∴MN ∥CE 12分 有MN ⊄面PCD CE ⊂面PCD
∴MN ∥面PCD 14分 18证明：⑴设2121,x x R x x 且+∈，则 1分 1
22
122
)()(2121--
-=
-x x
x f x f
)
12)(12()
22(22112---=x x x x 3分
因为210x x 所以21
22
1x x
所以02212 x x - 0121 -x 0122 -x
6分 所以0)()(21 x f x f -
所以)(x f 在+
R 上为减函数 7分
⑵由012≠-x 得0≠x
所以)(x f 的定义域为}0|{≠x x 9分
因为121
21221)(-+=--=x
x x x f 11分 所以)(2
11
21212)(x f x f x
x x x
-=-+=-+=--- 13分 所以)(x f 为奇函数 14分
⑵因为72=AB 所以圆心到直线的距离为178=-=
d 7分
当直线AB 的斜率不存在时，1-=x 此时1=d 符合题意 9分 当直线AB 的斜率存在时，可设方程为)1(2+=-x k y 即02=++-k y kx
所以11|
2|2
=++=
k k d 解得43
-=k
此时直线的方程为)1(4
3
2+-=-x y 即0543=-+y x 13
分
综合上述，直线AB 的方程为1-=x 或0543=-+y x 14分
20解：⑴由题意，可设动圆C 的方程为25)()(2
2=-+-b y a x 则 ⎩⎨
⎧=-+--=+-25
)0()5(0
102
2b a b a 解得⎩⎨
⎧=-=010b a 或⎩⎨⎧=--=5
5
b a
所以动圆C 的方程为25)10(2
2
=++y x 或25)5()5(2
2
=-++y x 6分 ⑵圆O 到直线的距离252
10==
d 8分
因为两圆相外切 所以 5||+=r CO 10分 当d r 5+时 动圆C 中不存在与圆O 相切的圆 11分 当d r =+5即555-=r 时，动圆C 中仅有一个圆与圆O 相切 12分 当d r 5+即555- r 时，动圆C 中仅有两个个圆与圆O 相切 13分 综合上述，当555-=r 时，动圆C 满足与圆O 相外切的圆有且仅有一个 14分。