函数微分讲议

则复合函数 y = f [ϕ ( x) ] 的微分为
d y = y′ x dx = f ′(u ) ϕ ′( x ) dx
du
d y = f ′(u ) du
微分形式不变
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高等数学
主讲人： 苏本堂
若y=f(u), u=ϕ(x), 则dy=f ′(u)du. 例3 y=sin(2x+1), 求dy. 解 把2x+1看成中间变量u, 则 dy=d(sin u) =cos udu =cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)⋅2dx =2cos(2x+1)dx. 在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例4. 例 解: , 求 dy.
2 + C (1) d( 1 ) = xdx x 2
(2) d(
1 sin ω t ω
+ C ) = cos ω t d t
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
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四、微分在近似计算中的应用
1.函数的近似计算 ∆ y = f ′( x0 )∆x + o(∆ x) 当 ∆ x 很小时, 得近似等式:
则称函数 y = f ( x) 在点 x0 可微, 而 A∆ x 称为 f ( x) 在
点 x0 的微分, 记作 d y 或 d f , 即 d y = A∆ x
定理: 函数 y = f ( x) 在点 x0 可微的充要条件是
且 A = f ′( x0 ) , 即 y = f ( x) 在点 x0 处可导，
定理 : 函数 y = f ( x) 在点 x0 可微的充要条件是
y = f ( x) 在点 x0 处可导, 且 A = f ′( x0 ) , 即 d y = f ′( x0 )∆x
“充分性” 已知 y = f ( x) 在点 x0 的可导, 则 ∆y lim = f ′( x0 ) ∆x → 0 ∆ x ∆y ∴ = f ′( x0 ) + α ( lim α = 0 ) ∆x → 0 ∆x
d(xµ)=µ xµ−1dx d(sin x)=cos xdx d(cos x)=−sin xdx d(tan x)=sec2xdx d(cot x)=−csc2xdx d(sec x)=sec x tan xdx d(csc x)=−csc x cot xdx d(a x)=ax ln adx d(e x)=exdx
∴ 当 x 很小时, (1 + x)α ≈ 1 + α x
( 2) sin x ≈ x ( 4) tan x ≈ x
(3) e x ≈ 1 + x (5) ln(1 + x) ≈ x
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例7. 求 sin 29� 的近似值 . 解: 设 f ( x) = sin x ,
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2、 微分的四则运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
1. d(u ± v) = du ± dv
3. d(u v ) = vdu + udv
3. 复合函数的微分 y = f (u ) , u = ϕ ( x) 分别可微 ,
2. d(Cu ) = Cdu (C 为常数) u vdu − udv 4. d( ) = ( v ≠ 0) v v2
δ y f ′( x) ≈ ⋅δ x 相对误差限约为 y f ( x)
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例10. 设测得圆钢截面的直径 D = 60.0 mm, 测量D 的
π 2 绝对误差限 δ D = 0.05 mm , 欲利用公式 A = D 计算 4
2) x 与 x0 靠近 .
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特别当 x0 = 0 , x 很小时, f ( x) ≈ f (0) + f ′(0)x 常用近似公式: ( x 很小)
(1) (1 + x)α ≈ 1 + α x
α f ( x ) = ( 1 + x ) 证明: 令
得 f (0) = 1, f ′(0) = α
d (loga x) = 1 dx x ln a d (ln x) = 1 dx x d (arcsin x) = 1 dx 1− x 2 d (arccos x) = − 1 dx 1− x 2 d (arctan x) = 1 2 dx 1+ x d (arc cot x) = − 1 2 dx 1+ x
因此每只球需用铜约为 8.9 × 0.13 = 1.16 ( g )
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2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,
A − a 称为a 的绝对误差
A− a a 称为a 的相对误差
若 A−a ≤δA
δ A 称为测量 A 的绝对误差限
δA a 称为测量 A 的相对误差限
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§2.5函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
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一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 x0 变到 x0 + ∆ x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A = x 2 , 当 x 在 x0 取 得增量 ∆ x 时, 面积的增量为 2 ( ∆ x ) x0 ∆x 2 2 ∆ x ∆A = ( x + ∆x) − x
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y=f(x)在点x0可微⇔∆y=Α∆x+o(∆x). dy= f ′(x0)∆x .
例1 求函数y=x2在x=1和x=3处的微分. 解 函数y=x2在x=1处的微分为 dy=(x2)′|x=1∆x=2∆x; 函数y=x2在x=3处的微分为 dy=(x2)′|x=3∆x=6∆x. 例2 求函数 y=x3当x=2, ∆x =0.02时的微分. 解 先求函数在任意点x 的微分,
0
= 2 x0 ∆x + (∆x) 2
故
关于△x 的 ∆x → 0 时为 x0 线性主部 高阶无穷小 ∆A ≈ 2 x0 ∆ x 称为函数在 x0 的微分
2 A = x0
x0 ∆x
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定义: 若函数 y = f ( x) 在点 x0 的增量可表示为
∆ y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = A∆ x + o(∆x) ( A 为不依赖于△x 的常数)
dy是过点(x0, f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量. 当|∆x|很小时, |∆y−dy|比|∆x|小得多. 因此, 在点M的邻近, 我们可以用切线段来近似代 替曲线段. 记 ∆y = ∆x = dx 称 ∆x 为 自变量的微分, 记作 dx dy = f ′( x) 导数也叫作微商 则有 d y = f ′( x) dx 从而 dx
�
35 = 243
解:
5
(1 + x)α ≈ 1 + α x
1 5
245
= (243 + 2) 2 1 = 3 (1 + )5 243 1 2 ) ≈ 3 (1 + ⋅ 5 243
= 3.0048
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例9. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需
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误差传递公式 : 若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为 δ x , 按公式 y = f ( x) 计算 y 值时的误差
∆ y ≈ d y = f ′( x) ⋅ ∆x ≤ f ′( x) ⋅ δ x
故 y 的绝对误差限约为 δ y ≈ f ′( x) ⋅ δ x
3 ( 铜的密度 : 8 . 9 g cm ) 用铜多少克 . 3 解: 已知球体体积为 V = 4 π R 3
镀铜体积为 V 在 R = 1, ∆ R = 0.01 时体积的增量 ∆V ,
∆V ≈ dV R = 1
∆R = 0.01
= 4π R ∆R R = 1
∆R = 0.01
2
≈ 0.13 (cm3 )
故 ∆ y = f ′( x0 )∆ x + α ∆ x = f ′( x0 )∆ x + o(∆ x) � � �� � ( f ′( x0 ) ≠ 0 时) 线性主部 即 d y = f ′( x0 )∆ x
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注:
∆ y = f ′( x0 )∆ x + o(∆ x) d y = f ′( x0 )∆x
d y
1 = 1 + e
x
2 2
=
⋅e
d
x
2 2
l n (1 + e
x
2
d ( x
2
). =
1 +
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例5. 设 y sin x − cos( x − y ) = 0 , 求 d y. 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 d( y sin x) − d(cos( x − y )) = 0 sin x d y + y cos x dx + sin( x − y ) (dx − d y ) = 0 y cos x + sin( x − y ) dy = dx sin( x − y ) − sin x 例6. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: