2014泉州高三5月质检理科数学试题及答案(高清扫描版)
2014-2015年福建省泉州市高三上学期数学期末试卷(理科)与解析
2014-2015学年福建省泉州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．（5分）设向量=（1，2），=（﹣2，1），则下列结论中不正确的是（）A．|﹣|=|+|B．（﹣）⊥（+）C．||=||D．∥3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6B．n＜6C．n≤6D．n≤84．（5分）若用m，n表示两条不同的直线，用α表示一个平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n5．（5分）已知直线l1：（m﹣1）x+y+2=0，l2：8x+（m+1）y+（m﹣1）=0，则“m=3”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）已知m，n是满足m+n=1，且使+取得最小值的正实数．若曲线y=a x ﹣m+n（a＞0且a≠1）恒过定点M，则点M的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）8．（5分）在平面直角坐标系中，以点C（﹣1，3）为圆心的圆与双曲线r：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线相切，与另一条渐近线相交A，B两点，若劣弧所对的圆心角为120°，则该双曲线的离心率e等于（）A．或B．或C．或D．9．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，如果分别以下列各选项所给的内容作为已知条件，那么其中不能确定BD长度的选项是（）A．AC=4，∠ABD=45°，∠ACD=30°B．AB=2，CD=2，∠ABD=45°，∠ACD=30°C．AB=2，CD=2，AC=4，∠ACD=30°D．CD=2，∠ABD=45°，∠ACD=30°10．（5分）已知集合P={（x，y）||x|+|y|≤4}，Q={（x，y）|（x﹣a）2+（y ﹣b）2≤2，a，b∈R}．若Q⊆P，则2a+3b的最大值为（）A．4B．6C．8D．12二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知i为虚数单位，则复数的化简结果为．12．（4分）已知sin（+θ）=，θ∈（，2π），则sin2θ．13．（4分）一个四棱柱的三视图如图所示，则其表面积为．14．（4分）设f（x）=2x+1，f1（x）=f（x），f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N*．若f n （x）的图象经过点（a n，1）则a n=．15．（4分）已知函数f（x）=，若对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，则实数k的取值范围是．三、解答题（共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{}是首项与公差都为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+2，试求数列{b n}的前n项和T n．17．（13分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cosx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若f（A）=且a=b，试求角B的大小．18．（13分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D是AC的中点，A1D与AC1交于点E，F在线段AC1上，且AF=2FC1，AA1=1，AB=2，AC=1，∠BAC=60°．（Ⅰ）求证：BC⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求证：B1F∥平面A1BD；（Ⅲ）求直线BC与平面A1BD所成的角的正弦值．19．（13分）已知：椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，短半轴长为；斜率为的动直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴，y轴相交于P，Q两点（如图所示）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）试探究是否为定值？若是定值，试求出该定值；若不是定值，请说明理由．20．（14分）已知：函数f（x）=，g（x）=；直线l1：x=a，l2：x=b（0＜a ＜b）．（Ⅰ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）（x＞0），试求h（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数f（x）的图象与直线l1，l2，x轴所围成图形的面积为S1；函数g（x）的图象与直线l1，l2，x轴所围成图形的面积为S2；①若a+b=2，试判断S1、S2的大小，并加以证明；②证明：对于任意的b∈（1，+∞），总存在唯一的a∈（，1），使得S1=S2．【选修4-2】矩阵与交换21．（7分）已知矩阵A=的一个特征值λ=2，其对应的一个特征向量=．（Ⅰ）试求矩阵A﹣1；（Ⅱ）求曲线2x﹣y+1=0经过A﹣1所对应的变换作用下得到的曲线方程．【选修4-4】坐标系与参数方程22．（7分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负数半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，求线段AB的中点坐标．【选修4-5】不等式选讲23．已知函数f（x）=3+2的最大值为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）解关于x的不等式|x﹣1|+|x+3|≥M2．2014-2015学年福建省泉州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【解答】解：由x2﹣2x≤0，得0≤x≤2，∴B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，则∁R B={x|x＜0或x＞2}，又A={x|﹣1≤x≤1}，∴A∩（∁R B）={x|﹣1≤x＜0}=[﹣1，0）．故选：A．2．（5分）设向量=（1，2），=（﹣2，1），则下列结论中不正确的是（）A．|﹣|=|+|B．（﹣）⊥（+）C．||=||D．∥【解答】解：由已知﹣=（3，1），+=（﹣1，3），所以|﹣|=|+|=；故A正确；并且3×（﹣1）+1×3=0，所以（﹣）⊥（+）正确；||==||，故C正确；故选：D．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6B．n＜6C．n≤6D．n≤8【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2满足条件，S=，n=4满足条件，S==，n=6满足条件，S==，n=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤6，故选：C．4．（5分）若用m，n表示两条不同的直线，用α表示一个平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n【解答】解：对于A，若m∥n，n⊂α，则直线m⊂α或者m∥α；故A错误；对于B，若m∥α，n⊂α，直线m与n可能平行或者异面；故B错误；对于C，若m⊥n，n⊂α，直线m与α可能平行或者斜交；故C错误；对于D，m⊥α，n⊂α，则m⊥n，由线面垂直的性质可知，D正确．故选：D．5．（5分）已知直线l1：（m﹣1）x+y+2=0，l2：8x+（m+1）y+（m﹣1）=0，则“m=3”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线平行，则（m﹣1）（m﹣1）﹣8=0，即即m2﹣9=0，解得m=﹣3或m=3，当m=3时，两直线方程为2x+y+2=0，8x+4y+2=0满足直线平行，当m=﹣3时，两直线方程为﹣4x+y+2=0，8x﹣2y﹣4=0，此时两直线重合，m≠﹣3，故m=3，则“m=3”是“l1∥l2”的充要条件，故选：C．6．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，∴函数f（x﹣1）在（﹣∞，0）上是增函数，∵函数f（x）的图象，是由函数f（x﹣1）的图象像左平移一个单位得到，∴选项B符合故选：B．7．（5分）已知m，n是满足m+n=1，且使+取得最小值的正实数．若曲线y=a x ﹣m+n（a＞0且a≠1）恒过定点M，则点M的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：∵m+n=1，∴+=（m+n）（+）=1+4+≥5=9，当且仅当，即n2=4m2，即n=2m，由m+n=1，得3m=1，解得n=，m=，取等号，曲线y=a x﹣m+n（a＞0且a≠1）恒过定点M（m，1+n），即（，），故选：A．8．（5分）在平面直角坐标系中，以点C（﹣1，3）为圆心的圆与双曲线r：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线相切，与另一条渐近线相交A，B两点，若劣弧所对的圆心角为120°，则该双曲线的离心率e等于（）A．或B．或C．或D．【解答】解：设圆的半径为r，双曲线的渐近线方程为y=x，设C到渐近线bx﹣ay=0的距离为圆的半径r，C到渐近线bx+ay=0的距离为d，则由劣弧所对的圆心角为120°，即有rcos60°=d，即r=2d，由点到直线的距离公式可得=2•，即为3a+b=2|3a﹣b|，即有3a+b=6a﹣2b或3a+b=2b﹣6a，即a=b或b=9a，即c=a或c=a，即有e==或．故选：B．9．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，如果分别以下列各选项所给的内容作为已知条件，那么其中不能确定BD长度的选项是（）A．AC=4，∠ABD=45°，∠ACD=30°B．AB=2，CD=2，∠ABD=45°，∠ACD=30°C．AB=2，CD=2，AC=4，∠ACD=30°D．CD=2，∠ABD=45°，∠ACD=30°【解答】解：对于A，设AC∩BD=O，由∠ABD=45°，∠ACD=30°，结合正弦定理可得OD与OC，OB与OA的比例关系，再由AC=4可求BD的长；对于B、C，由已知结合三角形全等的条件可确定梯形ABCD，梯形确定，则BD 长度确定；对于D，CD的长度一定，∠ABD、∠ACD的大小一定，但AC、BD的长度可以变化，只要保证变化过程中满足AB∥CD，四边形ABCD就是梯形，∴BD长度不能确定．故选：D．10．（5分）已知集合P={（x，y）||x|+|y|≤4}，Q={（x，y）|（x﹣a）2+（y ﹣b）2≤2，a，b∈R}．若Q⊆P，则2a+3b的最大值为（）A．4B．6C．8D．12【解答】解：∵集合P={（x，y）||x|+|y|≤4}，Q={（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤2，a，b∈R}，Q⊆P，∴数对（a，b）满足|a|+|b|≤2，∴圆心可行域为{（a，b）||a|+|b|≤2}画出圆心的可行域如图所示正方形ABCD所表示的区域，包含边界，设目标函数z=2a+3b，则当目标函数过点A（0，2）时，z有最大值，最大值为2×0+3×2=6故选：B．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知i为虚数单位，则复数的化简结果为1﹣i．【解答】解：=．故答案为：1﹣i．12．（4分）已知sin（+θ）=，θ∈（，2π），则sin2θ﹣．【解答】解：∵sin（+θ）=c osθ=，又∵θ∈（，2π），∴sinθ=﹣=﹣，∴sin2θ=2sinθcosθ=2×=﹣，故答案为：﹣．13．（4分）一个四棱柱的三视图如图所示，则其表面积为16+8．【解答】解：根据几何体的三视图，得，该几何体是如图所示的四棱柱；底面ABCD是边长为2的正方形，且棱A1D1在底面ABCD内的射影是BC，∴该四棱柱的表面积为2S 正方形ABCD+2+2=2×22+2×2×2+2×2×=16+8．故答案为：16+8．14．（4分）设f（x）=2x+1，f1（x）=f（x），f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N*．若f n （x）的图象经过点（a n，1）则a n=21﹣n﹣1．（x）=f（f n（x）），n∈N*．【解答】解：∵f（x）=2x+1，f1（x）=f（x），f n+1∴f1（x）=2x+1，2a1+1=1，解得a1=0，图象经过点（0，1）；f2（x）=f（f1（x））=2（2x+1）+1=4x+3，由4a2+3=1，解得，图象经过点（﹣，1）；f3（x）=f（f2（x））=2（4x+3）+1=8x+7，由8a3+7=1，解得a3=﹣，图象经过点（﹣，1）；…，∴a1=0=﹣，a2=﹣=﹣，a3=﹣=﹣，…，可得a n=﹣=21﹣n﹣1．故答案为：21﹣n﹣1．15．（4分）已知函数f（x）=，若对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，]∪[1，+∞）．【解答】解：y=f（x）﹣|x﹣1|=，在直角坐标系中，画出函数y=f（x）﹣|x﹣1|和y=|x﹣k|的图象，①当k=1时，它们都过（1，0），当x＜1时，y=|x﹣1|=1﹣x，y=f（x）﹣|x﹣1|=﹣2x2+3x﹣1，由1﹣x﹣（﹣2x2+3x﹣1）=2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2＞0，则有x≤1时，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，x＞1由图象可得f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立；②当k=时，它们都过（，0），当x＞，y=|x﹣|=x﹣，由于x＞1时，f（x）＜0，只要考虑＜x＜1，y=f（x）﹣|x﹣1|=﹣2x2+3x﹣1，由x﹣﹣（﹣2x2+3x﹣1）=2x2﹣2x+=2（x﹣）2＞0，则有＜x＜1，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，x＞1或x＜时，由图象可得，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，则k=1，时，对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立；③当k＞1或k＜时，由图象平移可得，对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立．综上可得，k的取值范围为k≥1或k≤．故答案为：（﹣∞，]∪[1，+∞）．三、解答题（共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{}是首项与公差都为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+2，试求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{}是首项和公差都为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，∴，当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1，n=1时上式成立，∴a n=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n﹣1，∴b n=a n+2=2n﹣1+22n﹣1，∴T n=（1+2）+（3+23）+…+（2n﹣1+22n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（2+23+25+…+22n﹣1）=n2+=．17．（13分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cosx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若f（A）=且a=b，试求角B的大小．【解答】解：（1）f（x）=sin（x﹣）+cosx=sinx+cosx=sin（x+），则函数f（x）的最小正周期T=，由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，解得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，即函数的单调递增区间为[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z．（2）∵若f（A）=，∴sin（A+）=，∵0＜A＜π，则＜A+＜，∴A+=，解得A=，∵a=b，∴，即sinB=1，则B=．18．（13分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D是AC的中点，A1D与AC1交于点E，F在线段AC1上，且AF=2FC1，AA1=1，AB=2，AC=1，∠BAC=60°．（Ⅰ）求证：BC⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求证：B1F∥平面A1BD；（Ⅲ）求直线BC与平面A1BD所成的角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵CC1⊥平面ABC，BC⊆平面ABC，∴BC⊥CC1，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴|BC|2=|AB|2+|AC|2﹣2|AB||AC|cos∠BAC=3，则|AB|2=|BC|2+|AC|2，∴∠BAC=90°，BC⊥AC，又∵AC⊆平面AA1CC1，CC1⊆平面AA1CC1，AC∩CC1=C，∴BC⊥平面AA1CC1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知CC1⊥CA，CC1⊥CB，AC⊥CB，如图，以C为原点，分别以CA，CC1，CB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则有A（1，0，0），B（0，0，），A1（1，1，0），B1（0，1，），C1（0，1，0），D（，0，0），设F（x，y，0），则=（x﹣1，y，0），1=（﹣x，1﹣y，0），∵AF=2FC1，∴，解得，即F（，，0），=（﹣，，），若令，可解得m=1，n=，∴存在m=1，n=，使得，∴向量与，共面，又∵B1，F⊄平面A1BD，∴B1F∥平面A1BD．（Ⅲ）=（﹣，0，），=（，1，0），=（0，0，），设平面A1BD的一个法向量m=（x，y，z），直线BC与平面A1BD所成的角为θ，由得，整理得，令x=2，得平面A1BD的一个法向量m=（2，﹣，1），所以sinθ=||=||=．故直线BC与与平面A1BD所成的角的正弦值为．19．（13分）已知：椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，短半轴长为；斜率为的动直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴，y轴相交于P，Q两点（如图所示）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）试探究是否为定值？若是定值，试求出该定值；若不是定值，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得b=，所以a2﹣c2=3，①，又，得，a=2c．②由①②得a=2．所以椭圆C的方程为（Ⅱ）①当直线l过原点时，由椭圆得对称性，可知，|AP|=|BQ|，即以下给出具体证明过程：由（Ⅰ）得，故设直线l的方程为：y=令y=0，得x=，故P（）；令x=0，得y=n，故Q（0，n）故PQ中点横坐标为联立方程组消去y，得3x2+2nx+2n2﹣6=0令△=12n2﹣12（2n2﹣6）＞0，得当时，直线l与椭圆C相交于A，B设A（x1，y1），B（x2，y2）则，所以线段AB的中点横坐标为又因为线段PQ的中点的横坐标为所以综合①②可知，为定值，且定值为120．（14分）已知：函数f（x）=，g（x）=；直线l1：x=a，l2：x=b（0＜a ＜b）．（Ⅰ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）（x＞0），试求h（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数f（x）的图象与直线l1，l2，x轴所围成图形的面积为S1；函数g（x）的图象与直线l1，l2，x轴所围成图形的面积为S2；①若a+b=2，试判断S1、S2的大小，并加以证明；②证明：对于任意的b∈（1，+∞），总存在唯一的a∈（，1），使得S1=S2．【解答】解：（Ⅰ）∵h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣，∴h′（x）=﹣+，∵x＞0，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜2，令h′（x）＜0，解得：x＞2，∴h（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减；（Ⅱ）∵0＜a＜b，∴S1=dx=lnx=lnb﹣lna，S2=dx=（﹣）=﹣，S1﹣S2=lnb﹣lna+﹣，①∵a+b=2，0＜a＜b，∴b=2﹣a，0＜a＜1，且S1﹣S2=ln（2﹣a）﹣lna+﹣，令t（a）=ln（2﹣a）﹣lna+﹣，（0＜a＜1），则t′（a）=﹣++=，∵0＜a≤1时，t′（a）≥0，∴t（a）在区间（0，1]上单调递增，∴当0＜a＜1时，t（a）＜t（1）=0，从而S1＜S2；②证明：令m（x）=﹣lnx﹣+lnb+，（x∈（，1）），则m′（x）=﹣+=，m（1）=lnb+﹣1，m（）=2lnb﹣b+，当x∈（，1）时，m′（x）=≥0，∴m（x）在（，1）单调递增，…①，令p（x）=lnx+﹣1，（x≥1），则p′（x）=≥0，∴p（x）在区间[1，+∞）单调递增，∴当b＞1时，m（1）=lnb+﹣1=p（b）＞p（1）=0，…②，令q（x）=2lnx﹣x+，（x≥1），则q′（x）=﹣1﹣=﹣≤0，∴q（x）在区间[1，+∞）单调递减，∴m（）=2lnb﹣b+=q（b）＜q（1）=0，…③，由①②③得：函数m（x）在区间（，1）内有且只有一个零点，即存在唯一的x∈（，1），使得m（x）=0，综上，对于任意的b∈（1，+∞），总存在唯一的a∈（，1），使得S1=S2．【选修4-2】矩阵与交换21．（7分）已知矩阵A=的一个特征值λ=2，其对应的一个特征向量=．（Ⅰ）试求矩阵A﹣1；（Ⅱ）求曲线2x﹣y+1=0经过A﹣1所对应的变换作用下得到的曲线方程．【解答】解：（Ⅰ）∵A=的与特征值λ=2对应的一个特征向量为量=，∴=2，解得，所以．∵detA==2，∴．（Ⅱ）矩阵A﹣1对应的变换为，整理，得…（*）将（*）代入2x﹣y+1=0，得2（3x′﹣y′）﹣2x′+1=0，化简，得4x′﹣2y′+1=0．故所求的曲线方程为：4x﹣2y+1=0．【选修4-4】坐标系与参数方程22．（7分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负数半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，求线段AB的中点坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线ρ=4cosθ对应的普通方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），直角坐标方程为x﹣y﹣4=0，圆心C（2，0）到直线l的距离d==＜2，∴直线l与C相交，过圆心C（2，0）与直线l垂直的直线l′：x+y﹣2=0，与x﹣y﹣4=0联立，解方程组得AB中点的坐标为（，﹣）．【选修4-5】不等式选讲23．已知函数f （x ）=3+2的最大值为M ．（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）解关于x 的不等式|x ﹣1|+|x +3|≥M 2．【解答】解：（Ⅰ）由柯西不等式，可得（3+2）2≤（9+4）（x ﹣1+2﹣x ）=13， 则有3+2≤，当且仅当x=时，等号成立，即有M=；（Ⅱ）不等式|x ﹣1|+|x +3|≥M 2．即为|x ﹣1|+|x +3|≥13． ①当x ≤﹣3时，原不等式可化为﹣2﹣2x ≥13，解得x ≤﹣，则有x ≤﹣；②当﹣3＜x ＜1时，原不等式可化为1﹣x +x +3≥13，此时不等式无解；③当x ≥1时，原不等式可化为x ﹣1+x +3≥13，解得x ≥，则有x ≥．综上可得，原不等式的解集为{x |x ≤﹣或x ≥}．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域(0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义 函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
2014年高考理科数学福建卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于（ ）A .23i --B .23i -+C .23i -D .23i + 2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是（ ）A .圆柱B .圆锥C .四面体D .三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,312S =,则6a 等于（ ）A .8B .10C .12D .144.若函数log (0,1)a y x a a =≠＞且的图象如下图所示,则下列函数图象正确的是（ ）A .B .C .D .5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S 的值等于（ ） A .18 B .20 C .21D .406.直线l ：1y kx =+与圆O ：221x y +=相交于A ,B 两点,则“1k =”是“OAB △的面积为12”的 （ ）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件7.已知函数21,0,()cos ,0,x x f x x x ⎧+=⎨⎩＞≤则下列结论正确的是（ ）A .()f x 是偶函数B .()f x 是增函数C .()f x 是周期函数D .()f x 的值域为[1,)-+∞8.在下列向量组中,可以把向量(3,2)=a 表示出来的是（ ）A .1(0,0)=e ,2(1,2)=eB .1(1,2)=-e ,2(5,2)=-eC .1(3,5)=e ,2(6,10)=eD .1(2,3)=-e ,2(2,3)=-e9.设P ,Q 分别为圆22(6)2x y +-=和椭圆22110xy +=上的点,则P ,Q 两点间的最大距离是（ ）A.BC.7D.10.用a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1)(1)a b ++的展开式1a b ab +++表示出来,如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）A .234555(1)(1)(1)a a a a a b c +++++++B .523455(1)(1)(1)a b b b b b c +++++++C .523455(1)(1)(1)a b b b b b c +++++++D .552345(1)(1)(1)a b c c c c c +++++++第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.若变量x ,y 满足约束条件10,280,0,x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≥则3z x y =+的最小值为________.12.在ABC △中,60A =,4AC =,BC =,则ABC △的面积等于________. 13.要制作一个容器为34m ,高为1m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20 元,侧面造价是每平方米10 元,则该容器的最低总造价是________（单位：元）. 14.如图,在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.15.若集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =,且下列四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是________.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若π02α＜＜,且sin α,求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）17.（本小题满分13分）在平面四边形ABCD 中,1AB BD CD ===,AB BD ⊥,CD BD ⊥.将ABD △沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD ,如图. （Ⅰ）求证：AB CD ⊥；（Ⅱ）若M 为AD 中点,求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（Ⅰ）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50 元,其余3个均为10 元,求： （ⅰ）顾客所获的奖励额为60 元的概率； （ⅱ）顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（Ⅱ）商场对奖励总额的预算是60 000 元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10 元和50 元的两种球组成,或标有面值20 元和40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的两条渐近线分别为1l ：2y x =,2l ：2y x =-.（Ⅰ）求双曲线E 的离心率；（Ⅱ）如图,O 为坐标原点,动直线l 分别交直线1l ,2l 于A ,B 两点（A ,B 分别在第一、四象限）,且OAB △的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在,求出双曲线E 的方程；若不存在,说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ,曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的极值； （Ⅱ）证明：当0x ＞时,2e x x ＜；（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c ＜.21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵12112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求矩阵A ；（Ⅱ）求矩阵1A -的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为2,4,x a t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）,圆C 的参数方程为4cos ,4sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （Ⅰ）求直线l 和圆C 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a .（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若p ,q ,r 是正实数,且满足p q r a ++=,求证：2223p q r ++≥.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）答案解析2.【答案】A【解析】因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选A.【提示】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状即可. 【考点】三视图还原实物图 3.【答案】C【解析】因为313(31)323321222S a d d ⨯-⨯=+=⨯+=，所以2d =，所以61(61)25212a a d =+-=+⨯=，故选C.【提示】由等差数列的性质和已知可得2a ，进而可得公差，可得6a . 【考点】等差数列的前n 项和【提示】由题意可得3a =，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可. 【考点】对数函数的图像与性质 5.【答案】B【解析】该程序框图为循环结构，由01S n ==，得10213112S n =+==++=，，判断315S =≥不成立，执行第二次循环，23229213S n +=+==+=，，判断915S =≥不成立，执行第三次循环，392320314S n +=+==+=，，判断2015S =≥成立，输出20S =.故选B.【提示】根据程序框图将01S n ==，代入执行第一次运算，不满足则进行第二次循环，以此类推，计算满足条件的S 值，可得答案. 【考点】带有循环结构的程序框图【提示】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 7.【答案】D【解析】由题意，可得函数图象如下：所以()f x 不是偶函数，不是增函数，不是周期函数，其值域为[1,)-+∞.故选D. 【提示】由三角函数和二次函数的性质，将函数图像画出，即可分别对各个选项判断.【考点】函数的奇偶性，单调性，周期性，值域 8.【答案】B【解析】根据12e e αλμ=+，选项A ：(3,2)(00)(1,2)λμ=+,，则322μμ==， ，无解，故选项A 不能.选项B ：(3,2)(1,2)(5,2)λμ=-+-，则35222λμλμ=-+=-， ，解得，21λμ==，，故选项B 能.选项C ：(3,2)(3,5)(6,10)λμ=+，则3362510λμλμ=+=+， ，无解，故选项C 不能.选项D ：(3,2)(2,3)(2,3)λμ=-+-，则322233λμλμ=-=-+，，无解，故选项D 不能. 故选：B.【提示】根据向里的坐标运算，12e e αλμ=+，计算判别即可. 【考点】平面向量的基本定理及其意义【提示】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P ，Q 两点间的最大距离.【考点】椭圆的简单性质，圆的标准方程 10.【答案】A【解析】本题可分三步：第一步，可取0，1，2，3，4，5个红球，有23451a a a a a +++++种取法；第二步，取0或5个篮球，有1＋b 5种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有5(1)c +种取法.所以共有234555()()(111)a a a a a b c +++++++种取法.故选A.【提示】根据“1a b ab +++”表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）则表示把红球和蓝球都取出来，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决.【考点】归纳推理，进行简单的合情推理第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】1【解析】由线性约束条件画出可行域如下图阴影部分所示.由线性目标函数3z x y =+，得3y x z =-+，可知其过)(0,1A 时z 取最小值，故min 3011z ⨯+==.故答案为1.【提示】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值 【考点】简单线性规划 1sin 2bc A =⨯【提示】利用三角形中的正弦定理求出角B ，再利用三角形的面积公式求出ABC △的面积 【考点】正弦定理 480160xx +=160元.【提示】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a b ，，成本为y ，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求. 【考点】棱柱，棱锥，棱台的侧面积和表面积 14.【答案】22e【解析】根据题意e xy =与ln y x =互为反函数，图象关于y x =对称，所以两个阴影部分的面积相等.联立e y =与e xy =得1x =，所以阴影部分的面积11002(e e )2(e e )|[(2e )()e 01]2x x S dx x =-=-==---⎰，由几何概型可知所求概率为22e .故答案为22e . 【提示】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率 【考点】几何概型 15.【答案】6【解析】根据题意可分四种情况：（1）若①正确，则1124a b c d ==≠=，，，，符合条件的有序数组有0个； （2）若②正确，则1124a b c d ≠≠≠=，，，，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；（3）若③正确，则1124a b c d ≠===，，，，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)； （4）若④正确，则1124a b c d ≠=≠≠，，，，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2).所以共有6个. 故答案为6.【提示】利用集合的相等关系，结合①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的，即可得出结论. 【考点】集合的相等 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）1()2f α=（Ⅱ）()f x 的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【解析】（Ⅰ）因为π02α<<，sin α=cos α=所以11()22222f α=+-= 所以()f x 的单调递增区间为π,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .【提示】（Ⅰ）利用同角三角函数关系求得cos α的值，分别代入函数解析式即可求得()f a 的值（Ⅱ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间.【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法 17.【答案】（Ⅰ）∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，AB ⊂平面ABD ，AB BD ⊥，∴AB ⊥平面BCD . 又CD ⊂平面BCD ， ∴AB CD ⊥.（Ⅱ）过点B 在平面BCD 内作BE BD ⊥，如图：由（Ⅰ）知AB ⊥平面BCD∴AB BE AB BD⊥⊥，.为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为),1,00,1,00,0,1()(D A，，则(1,1,0BC=，10,BM⎛= ，(0,1,AD=设平面MBC的法向量(,,)n x y=，则0,0,n BCn BM⎧=⎪⎨=⎪⎩，即MBC的一个法向量1,1()1,n=-，则||6sin,3||||n ADn ADn ADθ===【提示】（Ⅰ）利用面面垂直的性质定理即可得出.（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系.设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式||sin|cos,||||n ADn ADn ADθ==即可得出.【考点】直线与平面所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.【提示】（Ⅰ）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出(60)P X=，(20)P X=，画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望.（Ⅱ）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到(10,10,50,50)，(20,20,20,40)两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决.【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列19.【答案】（Ⅰ）因为双曲线E的渐近线分别为2y x=，2y x=-，所以2ba=，所以2=，故c=，从而双曲线E的离心率ce==4a a|||8OC AB=，因此48a a=，解得12|||y y-得数学试卷第13页（共21页）数学试卷第14页（共21页）数学试卷第15页（共21页）数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）2222m m k --+21kx m y =+-=得，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为1416x y-=. 【提示】（Ⅰ）依题意，可知2ba=，易知c =，从而可求双曲线E 的离心率. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=，设直线l 与x 轴相交于点C ，分l x⊥轴与直线l 不与x 轴垂直讨论，当l x ⊥轴时，易求双曲线E 的方程为221416x y -=，当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y kx m =+，与双曲线E 的方程联立，利用由12|1||82|OAB S OC y y -=△=可证得：双曲线E 的方程为，221416x y -=从而可得答案.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题20.【答案】（Ⅰ）由()e x f x ax =-，得()e xf x a '=-.又(0)11f a '=-=-，得2a =.所以()e 2()e 2x xf x x f x '=-=-，.令()0f x '=，得ln2x =当ln2x <时，()0()f x f x '<，单调递减； 当ln2x >时，()0()f x f x '>，单调递增.所以当ln2x =时，()f x 取得极小值，且极小值为ln 2(ln 2)e 2ln 22ln 4()f f x =-=-，无极大值.（Ⅱ）令2()e x g x x =-，则()e 2xg x x '=-.由（Ⅰ）得()()(ln 2)0g x f x f '=≥>，故()g x 在R 上单调递增，又(0)10g =>，因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2e x x <. （Ⅲ）①若1c ≥，则e e x x c ≤.又由（Ⅱ）知，当0x >时，2e x x <. 所以当0x >时，2e x x c <.取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <.②若01c <<，令11k c=>，要使不等式2e x x c <成立，只要2e x kx >成立.而要使2e x kx >成立，则只要2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+成立.令()2ln ln h x x x k =--，则22()1x h x x x-'=-=. 所以当2x >时，()0()h x h x '>，在(2,)+∞内单调递增. 取01616x k =>，所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+.易知ln ln 250k k k k >>>，，.所以0()0h x >.即存在016x c=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2e x x c <.综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2e x x c <.【提示】（Ⅰ）由题意可知点A 的横坐标为0，先求出()f x 的导函数()f x ，则曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为(0)f ，由(0)1f =-可求得a 的值.再利用求极值的步骤求解即可.（Ⅱ）常对此类问题构造新函数2()e x g x x =-，只需()0g x >在0(,)x +∞上恒成立即可，利用导数得到()g x 的单调性，从而得证.（Ⅲ）根据c 的值与1的大小关系分类进行证明.当1c ≥时，可直接根据（Ⅱ）中的结论得证；当01c <<时，证明的关键是找出0x ，先将不等式转化为21e x x c>，利用对数的性质，进一步转化为21ln 2ln ln x x x k c ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，即可构造函数()2ln ln h x x x k =--，然后利用导数研究其单调性，在该函数的增区间内找出一个值x 0，使0()0h x >即可得证.也可结合（Ⅱ）的结论，合理利用2e x x >将2x 中的一个x 赋值，利用不等式的传递性来解决问题. 【考点】导数在最大值，最小值问题中的应用，利用导数研究函数的单调性21.1-的逆矩阵，且1||221130A -=⨯-⨯=≠()0f λ=，得矩阵1A -的特征值为11λ=或23λ=，所以111⎛⎫= ⎪-⎝⎭ξ是矩阵1A -的属于特征值11λ=的一个特征向量，211⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ是矩阵1A -的属于特征值23λ=的一个特征向量.【提示】（Ⅰ）先求得1||A -的值，利用求逆矩阵的公式便可求得A .（Ⅱ）结合1A -的特征多项式，解方程，从而求得1A -的特征值. 【考点】特征向量的定义22.【答案】（Ⅰ）2216x y +=【提示】（Ⅰ）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程.（Ⅱ）求出圆心到直线的距离d ，利用直线和圆的位置关系，得d r ≤，从而求得a 的范围. 【考点】圆的参数方程，直线的参数方程23.【答案】（Ⅰ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知3p q r ++=，又因为p q r ，，是正数，所以22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即2223p q r ++≥.【提示】（Ⅰ）由绝对值不等式||||||a b a b +≥-，当且仅当0ab ≤，取等号.（Ⅱ）利用柯西不等式2222222()()()a b c m n s am bn cs ++++≥++，结合所给式子特点，合理赋值，可证得结果.【考点】二维形式的柯西不等式，绝对值不等式的解法数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。
【2014泉州市5月质检】福建省泉州市2014届高三5月高质量检测数学理高清扫描版含答
泉州市2014届普通中学高中毕业班质量检测理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A 9. B 10．C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11、i -； 12、16； 13、65； 14、200； 15、4.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查组合数公式、概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）依题意，得0.6a b c ++=，即0.10.20.6a a a ++++=，解得0.1a =，…2分 所以0.2,0.3b c ==.………………3分故该队员射击一次，击中目标靶的环数ξ的分布列为:60.170.280.390.36100.048.04E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………6分（Ⅱ）记事件A ：“该队员进行一次射击，击中9环”，事件B ：“该队员进行一次射击，击中10环”，则事件“该队员进行一次射击，击中9环以上（包括9环）”为A B +.………7分因为A 与B 互斥，且()0.36,()0.04P A P B ==，所以()()()0.4P A B P A P B +=+=. …………8分所以，该射击队员在10次的射击中，击中9环以上（含9环）的次数为k 的概率1010()0.40.6(0,1,2,,10)k k k P X k C k -==⨯⨯=L . ………………10分当1k ≥,*k ∈N 时，101011101100.40.6()2(11)(1)0.40.63k k k k k k C P X k k P X k C k ----+⨯⨯=-===-⨯⨯. 令()1(1)P X k P X k =>=-，解得225k <. ………………12分 所以当14k ≤≤时，(1)()P X k P X k =-<=；当510k ≤≤时，(1)()P X k P X k =->=.综上，可知当4k =时，()P X k =取得最大值.………………13分17．本小题主要考查平面向量、三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等．满分13分．解：（Ⅰ）()sin 222sin(2)3f x x x x π=⋅==-m n ， ………………2分 由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z .……3分 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .………………4分 （Ⅱ）由()02A f =，得2sin()03A π-=， 因为0A π<<，所以3A π=.…………5分 （ⅰ）由正弦定理，知cos cos sin a B b A c C +=可化为2sin cos sin cos sin A B B A C +=，……6分故2sin()sin A B C +=，………………7分又因为A B C π+=-，所以2sin()sin C C π-=即2sin sin C C =， 因为sin 0C ≠，所以sin 1C =，又由于0C π<<，所以2C π=，………………8分 所以()6B A C ππ=-+=.………………9分 （ⅱ）AB AC λ+u u u r u u u r==10分又3AB AC ==u u u r u u u r ，3A π=， 所以AB AC λ+u u u r u u u r===12分 故当12λ=-时，()g AB AC λλ=+u u u r uu u r ………………13分 另解：记AB AC AP λ+=u u u r u u u r u u u r ，则P 是过B 且与AC 平行的直线l 上的动点，()||g AP λ=，…………12分所以()g λ的最小值即点A 到直线l …………13分 18．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）因为(4,0)A 为椭圆G 的一个长轴端点，所以可设椭圆G 的方程为222116x y b+=，………………1分 因为当直线l 垂直x 轴时，6BC =，所以椭圆G 过点(2,3)，……2分所以249116b+=，解得212b =. ………………3分 故所求椭圆的方程为2211612x y +=.………………4分 （Ⅱ）方法1：设直线l 的方程为2x my =+，联立方程组2223448x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，得22(34)12360m y my ++-=，……5分 设1122(,),(,)B x y C x y ，则1221234,m m y y +=-+……①1223634y m y ⋅=-+.……② …………6分 又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+u u u r u u u r ，且AC BF P ,………………7分故2112(4)(2)0x y x y --+=,即2112(2)(4)0my y my y --+=,即122y y =-.………③ …………9分 由①②③得22212183434m m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭++，所以245m =.…………11分 当245m =时，0∆>，所以m =，…………12分 所以直线l的方程为25x y =±+,即5100x --=或5100x +-=.…………13分方法2：①当直线l 的斜率不存在时，AC 与BF 不平行；………………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2),3448.y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=，…………6分设1122(,),(,)B x y C x y ，则12221634x k x k=++，…………① 2221164834x k k x -=+⋅…………② …………7分 又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+u u u r u u u r ，且AC BF P ， ………………8分故2112(4)(2)0x y x y --+=，即2112(4)(2)(2)(2)0k x x k x x ---+-=，即1226x x +=…………③ …………9分 由①③得2122228183481834k x k k x k ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 代入②得2222228188181648343434k k k k k k-+-=+++………………11分 化简，得254k =， 当254k =时，0∆>，故2k =±，…………12分 所以直线l的方程为5100x --=或5100x +-=.……13分19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分13分.解：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，又PA AB ⊥Q ，PA AD A =I ，∴AB ⊥平面PAD ，…………2分又Q PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥………………3分（Ⅱ）Q 点E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点,连结PE ，EF ，则,PE AD EF AB ⊥P ， 又由（Ⅰ）知AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，又,AD PE ⊂平面PAD ，∴,EF AD EF PE ⊥⊥，………………4分 如图，以点E 为坐标原点，分别以,,AD EF EP 所在直线为为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.由题设可知： PA PD AB AD ===，故不妨设2AB =，则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(0,2,0),A D B C F P --(1,2,PB =u u u r，(1,2,PC =-u u u r，………………5分Q AB ⊥平面PAD ， ∴平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)AB =u u u r，…………6分设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，,PB PC ⊥⊥n n u u u r u u u rQ ，∴00PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u ru u u r，即2020x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得020x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 令2z =，得y =∴平面PBC的一个法向量为2)=n .………………7分设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为θ,则cos cos ,7AB AB AB θ⋅=<>====n n nu u u ru u u r u u u r∴平面PAD 与平面PBC所成锐二面角的余弦值为7……………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）已证得PE EF ⊥，则截面PEF ∆为直角三角形.111,22PEF PAD S EF EP AD EP S ∆∆=⋅=⋅== 2.EF EP ∴⋅=………………9分设PEF ∆的内切圆半径为,r 则1()12PEF S PE EF FP r ∆=++⋅=2r PE EF PF ∴==++≤=1,==………………10分∴当且仅当EF EP =时，PEF ∆有最大内切圆，其半径 1.r =此时EF EP ==2.PF =………………11分12PAB PCD S S PA AB ∆∆==⋅==11222PBC S BC PF ∆=⋅==1PAD S ∆=，2 2.ABCD S AD EF =⋅==设PEF ∆的内切圆圆心O 到侧面PAB 、侧面PCD 的距离为d ， 则1111()3333P ABCD PAD PBC ABCD PAB PCD ABCD V r S S S d S d S EP S -∆∆∆∆∆=⋅+++⋅+⋅=⋅， 即()2PAD PBC ABCD PAB ABCD r S S S d S EP S ∆∆∆∆⋅+++⋅=⋅，所以(1)12+=解得1.d r =>=………………12分 ∴在四棱锥P ABCD -的内部放入球心O 在截面PEF 中的球，其最大半径R 是1,该最大半径的球只能与四棱锥P ABCD -的三个面相切. ………13分20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）当23a =且1x >-时，22()ln(1)3f x x x =+-，214443(23)(21)'()133(1)3(1)x x x x f x x x x x --++-=-==-+++，…………2分令'()0f x >，因为1x >-，所以(23)(21)0x x +-<，解得112x -<<， 所以函数()f x 的递增区间为1(1,)2-.…………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x =+， 不等式()11f x x ≤+-即ln 1110x x +-++≤， …………5分令1t x =+，则0t >，此时不等式ln 1110x x +-++≤等价于不等式ln 10(0)t t t -+≤>. 令()ln 1t t t ϕ=-+，则11'()1tt t tϕ-=-=. …………7分 令'()0t ϕ=，得1t =.(),'()t t ϕϕ随t 的变化情况如下表由表可知，当0t >时，()(1)0t ϕϕ≤=即ln 10t t -+≤.所以()11f x x ≤+-成立. …………9分 （Ⅲ）当1x >-时，2()ln(1)f x x ax =+-，1'()21f x ax x =-+，所以直线l 的斜率'(0)1k f ==，又(0)0f =，所以直线l 的方程为y x =.令2()ln 1g x x ax x =+--，则命题“函数()y f x =的图象上存在点在直线l 的上方”可等价转化为命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞U ，使得()0g x >.”……10分当1x >-时，2()ln(1)g x x ax x =+--,1'()211g x ax x =--+， 当1x <-时，2()ln(1)g x x ax x =----,1'()211g x ax x =--+，所以，对(,1)(1,)x ∈-∞--+∞U ，都有212(1)2(21)2'()11ax x ax a xa g x x x -++--+==++. ……11分令'()0g x =，解得0x =或212a x a+=-.①当0a >时，211a +-<-，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：又因为(1)ln ,(0)0224g a g a a a--=+-=，所以，为使命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞U ，使得()0g x >.”成立，只需111(1)ln 0224g a a a a --=+->. 令12t a =，则111(1)ln 222g t t a t--=+-，令11()ln (0)22h t t t t t =-+>，因为2111'()022h t t t =++>，所以()h t 在(0,)+∞上为增函数，又注意到(1)0h =， 所以当且仅当112t a =>，即102a <<时，()0h t >， 故关于a 的不等式11ln024a a a +->的解集为102a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；…………13分 ②当0a ≤时，因为存在1x e =--使得2(1)2(1)0g e e a e --=+-+>恒成立，所以，总存在点(1,e --21(1))a e -+在直线l 的上方. 综合①②，可知a 的取值范围为12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. …………14分 21．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换解：(Ⅰ)由题意，可知存在实数(0)λλ≠，使得10200k k m λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………1分即0k kmk λ=⎧⎨=⎩， ………2分又因为0k ≠，所以10m λ=⎧⎨=⎩， ………3分所以0m =，特征向量0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭相应的特征值为1. …………4分(Ⅱ)因为1=-B ，所以11223--⎛⎫=⎪-⎝⎭B ， …………6分故1121014230226---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A . …………7分（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)将12,l l 的方程化为普通方程，得1:l y x =，2l ：220x y -+=，2分联立方程组220y xx y =⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以A 的坐标为(2,2)，………3分故点A 的极坐标)4π. …………4分（Ⅱ）将曲线C 的方程化为普通方程得228x y +=，…………5分所以曲线C 是圆心为(0,0)O ，半径为A (2,2)在曲线C 上.因为1OA k =，所以曲线C 过点A 的切线l 的斜率1l k =-， 所以l 的方程为40x y +-=，……6分故l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=. …………7分（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）由已知得()2max326t t m m +--≤-………………1分因为323(2)5t t t t +--≤+--=（当且仅当2t ≥时取等号）………3分 所以265m m -≥，解得15m ≤≤，所以实数m 的取值范围是1 5.m ≤≤………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知5λ=，所以3455x y z ++=.由柯西不等式， 可得()()()222222234534525x y zx y z ++++≥++=, …5分所以22212x y z ++≥， 当且仅当345x y z ==即321,,1052x y z ===时等号成立. ………6分故222x y z ++的最小值为1.2………………7分。
福建省泉州七中2014届高三质检理科数学试题(一)Word版
福建省泉州七中2014届高三质检理科数学试题（一）参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x的标准差：s 中x 为样本平均数；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．独立性检验临界值表()20P K x ≥0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD. 34,p p2.如图所示的程序框图，若输出的S 是30，则①可以为（ ）A ．2?n ≤B ．3?n ≤C ．4?n ≤D ．5?n ≤3．若变量y x ,满足约束条件2010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则实数2z x y =+ ( )A.有最小值，有最大值B. 有最小值，无最大值C.无最小值，有最大值 D .无最小值，无最大值4．为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了60名高中生，()2第题则由以上数据，根据临界值表，以下说法正确的是（ ）A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B. 有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关5.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=， 则1012333log log log a a a +++=（ ）A. 12B. 10C. 31og 5+D. 32og 5+6.已知()24f x x x =++-的最小值为n ， 则2()n x x-的展开式中常数项为（ ）A. 160-B. 20- C . 20 D. 160 7.已知正方体1111ABCD A B C D -中，线段11B A ，11B C 上（不包括端点）各有一点P ，Q ，且11B P B Q =，下列说法中，不正确的是（ ）A. A 、C 、P 、Q 四点共面；B. 直线PQ 与平面11BCC B 所成的角为定值；C.32PAC ππ<∠<； D.设二面角P AC B --的大小为θ，则tan θ的最小值8.已知点()1,0A ,若曲线Γ上存在四个点B ,C ,D ,E ,使得ABC ∆和ADE ∆都是正三角形，则称曲线Γ为“黄金曲线”，给定下列四条曲线：①2430x y +=；②2214x y +=；③2212x y +=；④2213x y -=。
福建省泉州五中2014届高三5月模拟数学(理)试卷
一.选择题(每题5分,共50分)1.在复平面内,复数521iz i =-的虚部为( )A.1B.1-C.iD.i -2.已知x R ∈,则“1x ≥”是“11x ≤”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.某程序框图如右图所示,若输出的S=57,则判断框内为( ) A.6>k B.5>k C.4>k D.3>k4.等比数列{}n a 的各项均为正数,且56386a a a a +=,则3132310log log log a a a +++=( )A.6B.5C.4D.2+log 3 55.要得到函数cos(2)3y x π=-的图象,只需将函数sin(2)y x =的图象( )A.左移12π个单位 B.右移12π个单位 C.左移512π个单位 D.右移512π个单位6.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形,则该几何体的侧面积为( )4++ C.+ D.4+7.已知(1)f x +为R 上的奇函数,且1x >时,()3x f x =,则3(log 2)f 的值为( )A.92-B.94-C.92 D.948.安排6名歌手演出顺序时,要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面,则不同排法的种数共有( )种。
A.180B.240C.360D. 4809.已知2F ,1F 是双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的上、下焦点,点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心,1||OF 为半径的圆上,则双曲线的离心率为( )A.3B. 3C.2D. 210.已知函数()()2ln 1f x a x x =+-,在区间()1,0-内任取两个实数,p q ,且p q ≠,若不等式()()111f p f q p q +-+>-恒成立,则实数a 的取值范围为( )A.[)6,+∞B.[4,)+∞C.1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D.[1,)+∞二． 填空题(每题4分,共20分)BD 11.设变量,x y 满足约束条件0020x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩,则目标函数2z x y =+的最大值为 __12.已知点P 是边长为2的正三角形ABC ∆的边BC 上的动点,则()AP AB AC ⋅+的值为____________.13.已知实数[],0,2a b ∈,则函数2()f x x ax b =++在实数集R 上有两个零点的概率为___________________.14.已知数列{}n a 是正项等差数列,若12323123n n a a a na C n++++=++++,则数列{}n C 也为等差数列.类比上述结论,已知数列{}n b 是正项等比数列,若n d = ,则数列{n d }也为等比数列.15.3[0,],sin cos 104x x x ax π∀∈--+≥恒成立,则实数a 的取值范围为_____________。
2014-2015年福建省泉州市高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
2014-2015学年福建省泉州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．（5分）设向量=（1，2），=（﹣2，1），则下列结论中不正确的是（）A．|﹣|=|+|B．（﹣）⊥（+）C．||=||D．∥3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6B．n＜6C．n≤6D．n≤84．（5分）若用m，n表示两条不同的直线，用α表示一个平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n5．（5分）已知直线l1：（m﹣1）x+y+2=0，l2：8x+（m+1）y+（m﹣1）=0，则“m=3”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）已知m，n是满足m+n=1，且使+取得最小值的正实数．若曲线y=a x ﹣m+n（a＞0且a≠1）恒过定点M，则点M的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）8．（5分）在平面直角坐标系中，以点C（﹣1，3）为圆心的圆与双曲线r：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线相切，与另一条渐近线相交A，B两点，若劣弧所对的圆心角为120°，则该双曲线的离心率e等于（）A．或B．或C．或D．9．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，如果分别以下列各选项所给的内容作为已知条件，那么其中不能确定BD长度的选项是（）A．AC=4，∠ABD=45°，∠ACD=30°B．AB=2，CD=2，∠ABD=45°，∠ACD=30°C．AB=2，CD=2，AC=4，∠ACD=30°D．CD=2，∠ABD=45°，∠ACD=30°10．（5分）已知集合P={（x，y）||x|+|y|≤4}，Q={（x，y）|（x﹣a）2+（y ﹣b）2≤2，a，b∈R}．若Q⊆P，则2a+3b的最大值为（）A．4B．6C．8D．12二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知i为虚数单位，则复数的化简结果为．12．（4分）已知sin（+θ）=，θ∈（，2π），则sin2θ．13．（4分）一个四棱柱的三视图如图所示，则其表面积为．14．（4分）设f（x）=2x+1，f1（x）=f（x），f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N*．若f n （x）的图象经过点（a n，1）则a n=．15．（4分）已知函数f（x）=，若对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，则实数k的取值范围是．三、解答题（共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{}是首项与公差都为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+2，试求数列{b n}的前n项和T n．17．（13分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cosx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若f（A）=且a=b，试求角B的大小．18．（13分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D是AC的中点，A1D与AC1交于点E，F在线段AC1上，且AF=2FC1，AA1=1，AB=2，AC=1，∠BAC=60°．（Ⅰ）求证：BC⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求证：B1F∥平面A1BD；（Ⅲ）求直线BC与平面A1BD所成的角的正弦值．19．（13分）已知：椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，短半轴长为；斜率为的动直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴，y轴相交于P，Q两点（如图所示）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）试探究是否为定值？若是定值，试求出该定值；若不是定值，请说明理由．20．（14分）已知：函数f（x）=，g（x）=；直线l1：x=a，l2：x=b（0＜a ＜b）．（Ⅰ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）（x＞0），试求h（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数f（x）的图象与直线l1，l2，x轴所围成图形的面积为S1；函数g（x）的图象与直线l1，l2，x轴所围成图形的面积为S2；①若a+b=2，试判断S1、S2的大小，并加以证明；②证明：对于任意的b∈（1，+∞），总存在唯一的a∈（，1），使得S1=S2．【选修4-2】矩阵与交换21．（7分）已知矩阵A=的一个特征值λ=2，其对应的一个特征向量=．（Ⅰ）试求矩阵A﹣1；（Ⅱ）求曲线2x﹣y+1=0经过A﹣1所对应的变换作用下得到的曲线方程．【选修4-4】坐标系与参数方程22．（7分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负数半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，求线段AB的中点坐标．【选修4-5】不等式选讲23．已知函数f（x）=3+2的最大值为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）解关于x的不等式|x﹣1|+|x+3|≥M2．2014-2015学年福建省泉州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，0]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【解答】解：由x2﹣2x≤0，得0≤x≤2，∴B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，则∁R B={x|x＜0或x＞2}，又A={x|﹣1≤x≤1}，∴A∩（∁R B）={x|﹣1≤x＜0}=[﹣1，0）．故选：A．2．（5分）设向量=（1，2），=（﹣2，1），则下列结论中不正确的是（）A．|﹣|=|+|B．（﹣）⊥（+）C．||=||D．∥【解答】解：由已知﹣=（3，1），+=（﹣1，3），所以|﹣|=|+|=；故A正确；并且3×（﹣1）+1×3=0，所以（﹣）⊥（+）正确；||==||，故C正确；故选：D．3．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A．n=6B．n＜6C．n≤6D．n≤8【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2满足条件，S=，n=4满足条件，S==，n=6满足条件，S==，n=8由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框中填写的内容可以是n≤6，故选：C．4．（5分）若用m，n表示两条不同的直线，用α表示一个平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n【解答】解：对于A，若m∥n，n⊂α，则直线m⊂α或者m∥α；故A错误；对于B，若m∥α，n⊂α，直线m与n可能平行或者异面；故B错误；对于C，若m⊥n，n⊂α，直线m与α可能平行或者斜交；故C错误；对于D，m⊥α，n⊂α，则m⊥n，由线面垂直的性质可知，D正确．故选：D．5．（5分）已知直线l1：（m﹣1）x+y+2=0，l2：8x+（m+1）y+（m﹣1）=0，则“m=3”是“l1∥l2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线平行，则（m﹣1）（m﹣1）﹣8=0，即即m2﹣9=0，解得m=﹣3或m=3，当m=3时，两直线方程为2x+y+2=0，8x+4y+2=0满足直线平行，当m=﹣3时，两直线方程为﹣4x+y+2=0，8x﹣2y﹣4=0，此时两直线重合，m≠﹣3，故m=3，则“m=3”是“l1∥l2”的充要条件，故选：C．6．（5分）已知函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则函数f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x﹣1）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，∴函数f（x﹣1）在（﹣∞，0）上是增函数，∵函数f（x）的图象，是由函数f（x﹣1）的图象像左平移一个单位得到，∴选项B符合故选：B．7．（5分）已知m，n是满足m+n=1，且使+取得最小值的正实数．若曲线y=a x ﹣m+n（a＞0且a≠1）恒过定点M，则点M的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：∵m+n=1，∴+=（m+n）（+）=1+4+≥5=9，当且仅当，即n2=4m2，即n=2m，由m+n=1，得3m=1，解得n=，m=，取等号，曲线y=a x﹣m+n（a＞0且a≠1）恒过定点M（m，1+n），即（，），故选：A．8．（5分）在平面直角坐标系中，以点C（﹣1，3）为圆心的圆与双曲线r：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线相切，与另一条渐近线相交A，B两点，若劣弧所对的圆心角为120°，则该双曲线的离心率e等于（）A．或B．或C．或D．【解答】解：设圆的半径为r，双曲线的渐近线方程为y=x，设C到渐近线bx﹣ay=0的距离为圆的半径r，C到渐近线bx+ay=0的距离为d，则由劣弧所对的圆心角为120°，即有rcos60°=d，即r=2d，由点到直线的距离公式可得=2•，即为3a+b=2|3a﹣b|，即有3a+b=6a﹣2b或3a+b=2b﹣6a，即a=b或b=9a，即c=a或c=a，即有e==或．故选：B．9．（5分）在梯形ABCD中，AB∥CD，如果分别以下列各选项所给的内容作为已知条件，那么其中不能确定BD长度的选项是（）A．AC=4，∠ABD=45°，∠ACD=30°B．AB=2，CD=2，∠ABD=45°，∠ACD=30°C．AB=2，CD=2，AC=4，∠ACD=30°D．CD=2，∠ABD=45°，∠ACD=30°【解答】解：对于A，设AC∩BD=O，由∠ABD=45°，∠ACD=30°，结合正弦定理可得OD与OC，OB与OA的比例关系，再由AC=4可求BD的长；对于B、C，由已知结合三角形全等的条件可确定梯形ABCD，梯形确定，则BD 长度确定；对于D，CD的长度一定，∠ABD、∠ACD的大小一定，但AC、BD的长度可以变化，只要保证变化过程中满足AB∥CD，四边形ABCD就是梯形，∴BD长度不能确定．故选：D．10．（5分）已知集合P={（x，y）||x|+|y|≤4}，Q={（x，y）|（x﹣a）2+（y ﹣b）2≤2，a，b∈R}．若Q⊆P，则2a+3b的最大值为（）A．4B．6C．8D．12【解答】解：∵集合P={（x，y）||x|+|y|≤4}，Q={（x，y）|（x﹣a）2+（y﹣b）2≤2，a，b∈R}，Q⊆P，∴数对（a，b）满足|a|+|b|≤2，∴圆心可行域为{（a，b）||a|+|b|≤2}画出圆心的可行域如图所示正方形ABCD所表示的区域，包含边界，设目标函数z=2a+3b，则当目标函数过点A（0，2）时，z有最大值，最大值为2×0+3×2=6故选：B．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知i为虚数单位，则复数的化简结果为1﹣i．【解答】解：=．故答案为：1﹣i．12．（4分）已知sin（+θ）=，θ∈（，2π），则sin2θ﹣．【解答】解：∵sin（+θ）=cosθ=，又∵θ∈（，2π），∴sinθ=﹣=﹣，∴s in2θ=2sinθcosθ=2×=﹣，故答案为：﹣．13．（4分）一个四棱柱的三视图如图所示，则其表面积为16+8．【解答】解：根据几何体的三视图，得，该几何体是如图所示的四棱柱；底面ABCD是边长为2的正方形，且棱A 1D1在底面ABCD内的射影是BC，∴该四棱柱的表面积为2S 正方形ABCD+2+2=2×22+2×2×2+2×2×=16+8．故答案为：16+8．14．（4分）设f（x）=2x+1，f1（x）=f（x），f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N*．若f n （x）的图象经过点（a n，1）则a n=21﹣n﹣1．（x）=f（f n（x）），n∈N*．【解答】解：∵f（x）=2x+1，f1（x）=f（x），f n+1∴f1（x）=2x+1，2a1+1=1，解得a1=0，图象经过点（0，1）；f2（x）=f（f1（x））=2（2x+1）+1=4x+3，由4a2+3=1，解得，图象经过点（﹣，1）；f3（x）=f（f2（x））=2（4x+3）+1=8x+7，由8a3+7=1，解得a3=﹣，图象经过点（﹣，1）；…，∴a1=0=﹣，a2=﹣=﹣，a3=﹣=﹣，…，可得a n=﹣=21﹣n﹣1．故答案为：21﹣n﹣1．15．（4分）已知函数f（x）=，若对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，]∪[1，+∞）．【解答】解：y=f（x）﹣|x﹣1|=，在直角坐标系中，画出函数y=f（x）﹣|x﹣1|和y=|x﹣k|的图象，①当k=1时，它们都过（1，0），当x＜1时，y=|x﹣1|=1﹣x，y=f（x）﹣|x﹣1|=﹣2x2+3x﹣1，由1﹣x﹣（﹣2x2+3x﹣1）=2x2﹣4x+2=2（x﹣1）2＞0，则有x≤1时，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，x＞1由图象可得f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立；②当k=时，它们都过（，0），当x＞，y=|x﹣|=x﹣，由于x＞1时，f（x）＜0，只要考虑＜x＜1，y=f（x）﹣|x﹣1|=﹣2x2+3x﹣1，由x﹣﹣（﹣2x2+3x﹣1）=2x2﹣2x+=2（x﹣）2＞0，则有＜x＜1，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，x＞1或x＜时，由图象可得，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立，则k=1，时，对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立；③当k＞1或k＜时，由图象平移可得，对任意x∈R，f（x）﹣|x﹣k|﹣|x﹣1|≤0恒成立．综上可得，k的取值范围为k≥1或k≤．故答案为：（﹣∞，]∪[1，+∞）．三、解答题（共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{}是首项与公差都为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+2，试求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{}是首项和公差都为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，∴，当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1，n=1时上式成立，∴a n=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n=2n﹣1，∴b n=a n+2=2n﹣1+22n﹣1，∴T n=（1+2）+（3+23）+…+（2n﹣1+22n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（2+23+25+…+22n﹣1）=n2+=．17．（13分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cosx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若f（A）=且a=b，试求角B的大小．【解答】解：（1）f（x）=sin（x﹣）+cosx=sinx+cosx=sin（x+），则函数f（x）的最小正周期T=，由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，解得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，即函数的单调递增区间为[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z．（2）∵若f（A）=，∴sin（A+）=，∵0＜A＜π，则＜A+＜，∴A+=，解得A=，∵a=b，∴，即sinB=1，则B=．18．（13分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D是AC的中点，A1D与AC1交于点E，F在线段AC1上，且AF=2FC1，AA1=1，AB=2，AC=1，∠BAC=60°．（Ⅰ）求证：BC⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求证：B1F∥平面A1BD；（Ⅲ）求直线BC与平面A1BD所成的角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵CC1⊥平面ABC，BC⊆平面ABC，∴BC⊥CC1，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴|BC|2=|AB|2+|AC|2﹣2|AB||AC|cos∠BAC=3，则|AB|2=|BC|2+|AC|2，∴∠BAC=90°，BC⊥AC，又∵AC⊆平面AA1CC1，CC1⊆平面AA1CC1，AC∩CC1=C，∴BC⊥平面AA1CC1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知CC1⊥CA，CC1⊥CB，AC⊥CB，如图，以C为原点，分别以CA，CC1，CB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，则有A（1，0，0），B（0，0，），A1（1，1，0），B1（0，1，），C1（0，1，0），D（，0，0），设F（x，y，0），则=（x﹣1，y，0），1=（﹣x，1﹣y，0），∵AF=2FC1，∴，解得，即F（，，0），=（﹣，，），若令，可解得m=1，n=，∴存在m=1，n=，使得，∴向量与，共面，又∵B1，F⊄平面A1BD，∴B1F∥平面A1BD．（Ⅲ）=（﹣，0，），=（，1，0），=（0，0，），设平面A1BD的一个法向量m=（x，y，z），直线BC与平面A1BD所成的角为θ，由得，整理得，令x=2，得平面A1BD的一个法向量m=（2，﹣，1），所以sinθ=||=||=．故直线BC与与平面A1BD所成的角的正弦值为．19．（13分）已知：椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，短半轴长为；斜率为的动直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴，y轴相交于P，Q两点（如图所示）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）试探究是否为定值？若是定值，试求出该定值；若不是定值，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得b=，所以a2﹣c2=3，①，又，得，a=2c．②由①②得a=2．所以椭圆C的方程为（Ⅱ）①当直线l过原点时，由椭圆得对称性，可知，|AP|=|BQ|，即以下给出具体证明过程：由（Ⅰ）得，故设直线l的方程为：y=令y=0，得x=，故P（）；令x=0，得y=n，故Q（0，n）故PQ中点横坐标为联立方程组消去y，得3x2+2nx+2n2﹣6=0令△=12n2﹣12（2n2﹣6）＞0，得当时，直线l与椭圆C相交于A，B设A（x1，y1），B（x2，y2）则，所以线段AB的中点横坐标为又因为线段PQ的中点的横坐标为所以综合①②可知，为定值，且定值为120．（14分）已知：函数f（x）=，g（x）=；直线l1：x=a，l2：x=b（0＜a ＜b）．（Ⅰ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）（x＞0），试求h（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数f（x）的图象与直线l1，l2，x轴所围成图形的面积为S1；函数g（x）的图象与直线l1，l2，x轴所围成图形的面积为S2；①若a+b=2，试判断S1、S2的大小，并加以证明；②证明：对于任意的b∈（1，+∞），总存在唯一的a∈（，1），使得S1=S2．【解答】解：（Ⅰ）∵h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣，∴h′（x）=﹣+，∵x＞0，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜2，令h′（x）＜0，解得：x＞2，∴h（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减；（Ⅱ）∵0＜a＜b，∴S1=dx=lnx=lnb﹣lna，S2=dx=（﹣）=﹣，S1﹣S2=lnb﹣lna+﹣，①∵a+b=2，0＜a＜b，∴b=2﹣a，0＜a＜1，且S1﹣S2=ln（2﹣a）﹣lna+﹣，令t（a）=ln（2﹣a）﹣lna+﹣，（0＜a＜1），则t′（a）=﹣++=，∵0＜a≤1时，t′（a）≥0，∴t（a）在区间（0，1]上单调递增，∴当0＜a＜1时，t（a）＜t（1）=0，从而S1＜S2；②证明：令m（x）=﹣lnx﹣+lnb+，（x∈（，1）），则m′（x）=﹣+=，m（1）=lnb+﹣1，m（）=2lnb﹣b+，当x∈（，1）时，m′（x）=≥0，∴m（x）在（，1）单调递增，…①，令p（x）=lnx+﹣1，（x≥1），则p′（x）=≥0，∴p（x）在区间[1，+∞）单调递增，∴当b＞1时，m（1）=lnb+﹣1=p（b）＞p（1）=0，…②，令q（x）=2lnx﹣x+，（x≥1），则q′（x）=﹣1﹣=﹣≤0，∴q（x）在区间[1，+∞）单调递减，∴m（）=2lnb﹣b+=q（b）＜q（1）=0，…③，由①②③得：函数m（x）在区间（，1）内有且只有一个零点，即存在唯一的x∈（，1），使得m（x）=0，综上，对于任意的b∈（1，+∞），总存在唯一的a∈（，1），使得S1=S2．【选修4-2】矩阵与交换21．（7分）已知矩阵A=的一个特征值λ=2，其对应的一个特征向量=．（Ⅰ）试求矩阵A﹣1；（Ⅱ）求曲线2x﹣y+1=0经过A﹣1所对应的变换作用下得到的曲线方程．【解答】解：（Ⅰ）∵A=的与特征值λ=2对应的一个特征向量为量=，∴=2，解得，所以．∵detA==2，∴．（Ⅱ）矩阵A﹣1对应的变换为，整理，得…（*）将（*）代入2x﹣y+1=0，得2（3x′﹣y′）﹣2x′+1=0，化简，得4x′﹣2y′+1=0．故所求的曲线方程为：4x﹣2y+1=0．【选修4-4】坐标系与参数方程22．（7分）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负数半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，求线段AB的中点坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线ρ=4cosθ对应的普通方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），直角坐标方程为x﹣y﹣4=0，圆心C（2，0）到直线l的距离d==＜2，∴直线l与C相交，过圆心C（2，0）与直线l垂直的直线l′：x+y﹣2=0，与x﹣y﹣4=0联立，解方程组得AB中点的坐标为（，﹣）．【选修4-5】不等式选讲23．已知函数f （x ）=3+2的最大值为M ．（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）解关于x 的不等式|x ﹣1|+|x +3|≥M 2． 【解答】解：（Ⅰ）由柯西不等式，可得（3+2）2≤（9+4）（x ﹣1+2﹣x ）=13， 则有3+2≤，当且仅当x=时，等号成立，即有M=；（Ⅱ）不等式|x ﹣1|+|x +3|≥M 2．即为|x ﹣1|+|x +3|≥13． ①当x ≤﹣3时，原不等式可化为﹣2﹣2x ≥13，解得x ≤﹣，则有x ≤﹣；②当﹣3＜x ＜1时，原不等式可化为1﹣x +x +3≥13，此时不等式无解； ③当x ≥1时，原不等式可化为x ﹣1+x +3≥13，解得x ≥，则有x≥．综上可得，原不等式的解集为{x |x≤﹣或x ≥}．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②0b x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2014年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．4．（5分）（2014•福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）．B．．．=5．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）6．（5分）（2014•福建）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（），d=的面积为×=的面积为，则S=××==的面积为7．（5分）（2014•福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）8．（5分）（2014•福建）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）．=（0，0），=（1，2）=（﹣1，2），=（5，﹣2）=（3，5），=（6，10）=（2，﹣3），=（﹣2，3），计算判别即可．解：根据列出方程解方程是关键，9．（5分）（2014•福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，5+，半径为=≤，5=610．（5分）（2014•福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的1+c c+二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置11．（4分）（2014•福建）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1．12．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于2．BC=2，=故答案为：13．（4分）（2014•福建）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）214．（4分）（2014•福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．（）．故答案为：15．（4分）（2014•福建）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6．三、解答题：本大题共4小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（13分）（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．＜=，，（）﹣．）﹣sin2x+2x+T=﹣2x+≤+≤，﹣]17．（13分）（2014•福建）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．即可得出．M．=，，．的法向量，则=|==．|=18．（13分）（2014•福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．，元的概率为=P×+60×=40，=19．（13分）（2014•福建）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．）依题意，可知c=的方程为=1的方程为﹣=1|OC|的方程为﹣=1=2ae==的方程为﹣|OC|a的方程为﹣=1的方程为﹣（﹣，，同理得，|OC||﹣|=8的方程为﹣=1在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x．x）时，恒有xx，当时，有21．（7分）（2014•福建）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．A==，﹣，，所以=对应的一个特征向量为．五、选修4-4：极坐标与参数方程22．（7分）（2014•福建）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．的参数方程为．，即22六、选修4-5：不等式选讲23．（2014•福建）已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．。
福建省泉州市2014届高三高考适应性测试卷数学理科试题9
福建省泉州市2014届高三高考适应性测试卷数学理科试题9一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数ii z -+=1)2(2（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．两个非零向量，的夹角为θ，则“0>⋅”是“θ为锐角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知角α2的顶点在原点, 始边与x 轴非负半轴重合, 终边过⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21, )[πα2,02∈则=αtan （ ）A. 3-B.3C.33 D. 33±4．设()sin()f x A x ωϕ=+ )0,0(>>ωA ， 若当1=x 时，)(x f 取得最大值，则（ ）A ．)1(+x f 一定是偶函数B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(-x f 一定是奇函数5．阅读如图所示的程序框图，运算相应程序，若输入的1m =，则输出m 应为（ ）A ．B ． 2C ． 3D ． 46．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是（ ）A ．4 cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 37．若实数,x y 满足约束条件24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，目标函数z tx y =+有最小值6，则的值可以为（ ） A ．3 B ．3- C ．1 D ．1-（第5题图）8．双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的两个焦点为12,F F ，若双曲线上存在一点P ，满足122PF PF =， 则双曲线离心率的取值范围为A ．]3,1(B ．)3,1(C ．),3(+∞D ．),3[+∞9．已知点()()()0000167n O ,,A ,,A ,,点()1212n A ,A ,,A n ,n -∈≥N 是线段0n A A 的n 等分点，则011+n n OA OA OA OA -+++等于（ ）A ．5nB ．10nC ．()51n +D ．()101n + 10．设点P 在曲线xy e =上，点Q 在曲线11(0)y x x=->上，则||PQ 的最小值为（ ）A 1)e -B 1)e -C D第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．已知1t >，若()2121d tx x t +=⎰，则t =______________．12.若()5234501234512x a a x a x a x a x a x +=+++++，则3____.a = 13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且792,18a S =-=，则11S = ▲ ,14．在ABC ∆中，若︒=∠120A ，1-=⋅AC AB ，则||BC 的最小值是 ▲ ,15.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等． 设：由曲线24x y =和直线4x =，0y =所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为1Γ；由同时满足0x ≥，2216x y +≤， 22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 构成的平面图形,绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为2Γ.根据祖暅原理等知识，通过考察2Γ可以得到1Γ的体积为______________,15．观察下列等式：12133+=； 781011123333+++=； 16171920222339333333+++++=； …则当m n <且,m n ∈N 表示最后结果.313232313333n n m m ++--++++= （最后结果用,m n 表示最后结果）． （选择、填空题10、15题是否够难？）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本题满分13分）某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10﹪，可能损失10﹪，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为21，41，41；如果投资乙项目，一年后可能获利20﹪，也可能损失20﹪，这两种情况发生的概率分别为）（和1 =+βαβα.(1)如果10万元投资甲项目，用ξ表示投资收益（收益=回收资金－投资资金）， 求ξ的概率分布及ξE ；（2）若10万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围.17．（本题满分13分）如图，四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABEF ，四边形ABEF 是梯形90EFA FAB ∠=∠=︒，EF FA ==1=AD ，点M 是DF 的中点，223=CM . （Ⅰ）求证：//BF 平面AMC ； （Ⅱ）求二面角B AC E --的余弦值.18．（本题满分13分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积； （2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．19．(本小题满分13分)2:2E y px =，在抛物线上任意画一个点S ，度量点S（Ⅰ）拖动点S ，发现当4S x =时，4S y =，试求抛物线E 的方程；（Ⅱ）设抛物线E 的顶点为A ，焦点为F ，构造直线SF 交抛物线E 于不同两点S 、T ，构造直线AS 、AT 分别交准线于M 、N 两点，构造直线MT 、NS ．经观察得：沿着抛物线E ，无论怎样拖动点S ，恒有MT //NS .请你证明这一结论．（Ⅲ）为进一步研究该抛物线E 的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点F ”改变为其它“定点(),0G g ()0g ≠”，其余条件不变，发现“MT 与NS 不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“MT //NS ”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数1()2(1)(0)x a f x a e a a x+=⋅+-+>． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立，求a 的取值范围．(20题是否太简单了一些，提一下建议)21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换已知点A(1,0), B(2,2), C(3,0),矩阵M 表示变换”顺时针旋转45︒”. (Ⅰ)写出矩阵M 及其逆矩阵1M -;(Ⅱ)请写出ABC ∆在矩阵1M -对应的变换作用下所得111A B C ∆的面积.当。