2021年中考数学总复习检测卷：第四单元 三角形

第四单元限时检测卷(时间：120分钟分值：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．等腰三角形的顶角为50°，则底角的度数为()A．50°B．65°C．80°D．130°2．(2017重庆)若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为()A．3∶2 B．3∶5C．9∶4 D．4∶93．若一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边的长度不可能为()A．4 B．3C．5 D．74．如图1，∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝6，则DF等于()图1A．5 B．4C．3 D．25．(2017大连)如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为()A．2a B．2 2aC．3a D．4 3 3a6．如图3，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，连接AD，AE，则下列结论中不一定成立的是()图3A．AD∥BE，AD＝BE B．∠ABE＝∠DEFC．ED⊥AC D．△ADE为等边三角形二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．一个角的度数为30°，它的余角的度数为__________．8．如图4，直线l1∥l2∥l3，等边三角形ABC的顶点B，C分别在直线l2，l3上，若边BC与直线l3的夹角∠1＝25°，则边AB与直线l1的夹角∠2＝__________.图49．(2017鸡西)如图5，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件________________，使得△ABC≌△DEF.10．如图6，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，ED 垂直平分AC交AB于点E，则ED的长为__________．图611．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远(如图7)，则折断后的竹子高度为__________尺．(1丈＝10尺)图712．如图8，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，CD 为AB边上的高，点P为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP 为等腰三角形时，BP的长度为__________．图8三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．(本题共2小题，每小题6分)(1)计算：2sin 30°－2cos 60°＋tan 45°.(2)如图9，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝8，AB＝10，求cos∠BCD的值．图914．如图10，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD＝AE，AB ＝AC，∠DAB＝∠CAE，求证：△ABC∽△ADE.图1015．如图11，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F.图11求证：DE＝BF.16．(2017哈尔滨)已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE，BD交于点O.AE与DC交于点M，BD与AC交于点N.(1)如图12，求证：AE＝BD；图12(2)如图13，若AC＝DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图13中四对全等的直角三角形．图1317．如图14，△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作直角三角形ADC．图14(1)求证：FE＝FD；(2)若∠CAD＝∠CAB＝24°，求∠EDF的度数．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图15，某种三角形台历放置在水平桌面上，其左视图如图16，点O是台历支架OA，OB的交点，同时又是台历顶端连接日历的螺旋线圈所在圆的圆心，现测得OA＝OB＝14 cm，CA＝CB＝4 cm，∠ACB＝120°，台历顶端螺旋连接线圈所在圆的半径为0.6 cm.图15 图16(1)求点O到直线AB的距离；(2)求∠AOB的大小；(3)若台历纸的下端点D离支架底端B的距离为2 cm，求此时某月的日历从台历支架正面翻到背面点D所经历的路径长．(参考数据：sin 14.33°≈0.25，cos 14.33°≈0.97，tan 14.33°≈0.26，46≈6.78，π取3.14，所有结果精确到0.01)19．如图17，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，CE⊥BD 于E，AB＝EC．图17(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)若∠EDC＝65°，求∠ECB的度数；(3)若AD＝3，AB＝4，求DC的长．20．如图18，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，且D，E分别是AB，AC的中点．延长BC至点F，使CF＝CE.图18(1)求∠ABC的度数；(2)求证：BE＝FE；(3)若AB＝2，求△CEF的面积．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．图19是一辆自行车的侧面图，图20是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66 cm，车座B到地面的距离BE为90 cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33 cm，车架中立管BC的长为60 cm，后轮切地面l于点D．(可以使用科学计算器)(1)后轴轴心A与中轴轴心C所在的直线AC与地面l是否平行？请说明理由．(2)求sin ∠ACB；(3)如果希望车座B到地面的距离B′E′为93.8 cm，车架中立管BC拉长的长度BB′应是多少？图19 图2022．将两块全等的三角板如图21摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°.(1)将图21中的△A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图22，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；(2)在图22中，若AP1＝a，则CQ等于多少？(3)将图22中的△A1B1C绕点C顺时针旋转到△A2B2C(如图23)，点P2是A2C与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在什么样的数量关系？图21 图22图23六、(本大题共12分)23．定义：有两条边长的比值为12的直角三角形叫“潜力三角形”．如图24，在△ABC中，∠B＝90°，D是AB的中点，E是CD的中点，DF∥AE交BC于点F.(1)设“潜力三角形”较短直角边长为a，斜边长为c，则ca＝__________；(2)若∠AED＝∠DCB，求证：△BDF是“潜力三角形”；(3)若△BDF是“潜力三角形”，且BF＝1，求线段AC的长．图24第四单元限时检测卷1．B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D7.60°8.35°9．AB＝DE(答案不唯一)10.311.4.212.4 3或6 213．解：(1)原式＝2×12－2×12＋1＝1－1＋1＝1.(2)∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°.∴∠B＋∠BCD＝90°，∠B＋∠A＝90°. ∴∠BCD＝∠A.∵AB＝10，AC＝8，∴cos∠BCD＝cos A＝ACAB＝810＝45.14．证明：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，即∠DAE＝∠BAC.∵AD＝AE，AB＝AC，∴ADAB＝AEAC.∴△ABC∽△ADE.15．证明：∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACD.∵DE⊥AC，∠ABC＝90°∴DE＝BD，∠EDC＝∠BDC.∵BF∥DE，∴∠EDC＝∠BFD.∴∠BDC＝∠BFD.∴BD＝BF.∴DE＝BF.16．(1)证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD.∴∠BCD＝∠ACE.∴△ACE≌△BCD.∴AE＝BD.(2)解：△ACB与△DCE，△EMC与△BNC，△AON与△DOM，△AOB与△DOE.【提示】∵AC＝DC，∴AC＝DC＝EC＝CB，△ACB≌△DCE；由(1)可知∠AEC＝∠BDC，∠EAC＝∠DBC，∴∠DOM＝90°.∵∠AEC＝∠CAE＝∠CBD，∴△EMC≌△BNC.∴CM＝CN.∴DM＝AN，△AON≌△DOM.∵DE＝AB，AO＝DO，∴△AOB≌△DOE.17．(1)证明：∵E，F分别是BC，AC的中点，∴FE＝12AB.∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，∴FD＝12AC.∵AB＝AC，∴FE＝FD.(2)解：∵E，F分别是BC，AC的中点，∴FE∥AB.∴∠EFC＝∠BAC＝24°.∵F 是AC 的中点，∠ADC ＝90°，∴FD ＝AF .∴∠ADF ＝∠CAD ＝24°.∴∠DFC ＝48°.∴∠EFD ＝72°.∵FE ＝FD ，∴∠FED ＝∠EDF ＝54°.18．解：(1)如图1，连接AB ，OC ，延长OC 交AB 于点D ，图1 ∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OD 是AB 的垂直平分线．又CA ＝CB ，∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝∠BCD ＝60°.∴AD ＝4×sin 60°＝2 3.∴OD ＝142－(2 3)2＝184＝2 46≈13.56.即点O 到直线AB 的距离为13.56 cm.(2)∵OD ⊥AB ，OD ＝13.56 cm ，OA ＝14 cm ，∴cos ∠AOD ＝OD OA ＝13.5614≈0.97.∴∠AOD ≈14.33°. ∴∠AOB ＝2∠AOD ≈28.66°.(3)∵∠AOB ≈28.66°，∴日历从台历正面翻到背面所经历的角的大小为360°－28.66°≈331.34°.∵OB ＝14 cm ，BD ＝2 cm ，∴OD ＝12 cm.∴日历从台历正面翻到背面所经历的路径长约为331.34×3.14×12180≈69.36(cm)．19．(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC.∵∠A＝∠CEB＝90°，AB＝EC，∴△ABD≌△ECB. (2)解：∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC.∴∠BCD＝∠EDC＝65°.∵∠DCE＝90°－65°＝25°，∴∠ECB＝40°.(3)解：∵△ABD≌△ECB，∴CE＝AB＝4，BE＝AD＝3.∴BD＝BC＝42＋32＝5.∴DE＝2.∴DC＝22＋42＝2 5.20．(1)解：∵BE⊥AC于E，E是AC的中点，∴AB＝BC. ∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．∴∠ABC＝60°.(2)证明：∵CF＝CE，∴∠F＝∠CEF.∵∠ACB＝60°＝∠F＋∠CEF，∴∠F＝30°.∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，∴∠EBC＝30°.∴∠F＝∠EBC.∴BE＝FE.(3)解：如图2，过E点作EG⊥BC，图2∵BE⊥AC，∠EBC＝30°，AB＝BC＝2，∴BE＝3，CE＝1＝CF.在△BEC中，EG＝BE·sin 30°＝3 2，∴S △CEF ＝12×1×32＝34.21．解：(1)AC ∥l .理由如下：如图3，连接AD .图3∵直线l 切⊙A 于点D ，∴AD ⊥l .又CF ⊥l .∴AD ∥CF .又AD ＝33 cm ＝CF ，∴四边形ADFC 为平行四边形．即AC ∥l .(2)∵AC ∥l ， ∴∠BHC ＝∠BEF ＝90°.又BH ＝BE －HE ＝BE －CF ＝90－33＝57(cm)，BC ＝60 cm ，∴sin ∠ACB ＝BH BC ＝5760＝1920.(3)如图3所示，B ′E ′＝93.8 cm ，设B ′E ′与AC 交于点H ′，则有B ′H ′∥BH ，∴△B ′H ′C ∽△BHC .∴B ′H ′BH ＝B ′C BC ，即93.8－3357＝B ′C 60.∴B ′C ＝64 cm.∴BB ′＝B ′C －BC ＝64－60＝4(cm)．∴车架中立管BC 拉长的长度BB ′应是4 cm.22．(1)证明：∵∠BCP 1＝45°，∠B 1CA 1＝90°，∴∠B 1CQ ＝45°.又B 1C ＝BC ，∠B 1＝∠B ， ∴△B 1CQ ≌△BCP 1.∴CQ ＝CP 1.(2)解：如图4，过点P 1作P 1D ⊥AC 于D ，图4∵∠A ＝30°，∴P 1D ＝12AP 1.∵∠P 1CD ＝45°，∴P 1D CP 1＝sin 45°＝22. ∴CP 1＝2P 1D ＝22AP 1.又AP 1＝a ，CQ ＝CP 1，∴CQ ＝22a .(3)解：当∠P 1CP 2＝∠P 1AC ＝30°时，由于∠CP 1P 2＝∠AP 1C ，则△AP 1C ∽△CP 1P 2，∴将△A 1B 1C 绕点C 顺时针旋转30°到△A 2B 2C 时，有△AP 1C ∽△CP 1P 2.这时P 1P 2CP 1＝CP 1AP 1＝22，∴CP 1＝2P 1P 2. 23．(1)解：2或5；【提示】分两种情况：①当直角边与斜边的比值为12，即a c ＝12时，c a ＝2；②当两条直角边的比值为12时，设较长直角边长为b ，则a b ＝12，b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a .∴c a ＝ 5. (2)证明：延长AE 交BC 于G ，如图5所示，图5∵DF ∥AE ，D 是AB 的中点，∴∠AED ＝∠CDF ，BF ＝GF .∵∠AED ＝∠DCB ，∴∠CDF ＝∠DCB .∴DF ＝CF . ∵DF ∥AE ，E 是CD 的中点，∴CG ＝GF .∴BF ＝GF ＝CG .∴DF ＝CF ＝2BF .∴BF DF ＝12.又∠B ＝90°，∴△BDF 是“潜力三角形”．(3)解：分四种情况：①当BF BD ＝12时，∵BF ＝1，∴GF ＝CG ＝BF ＝1，BD ＝2.∴AB ＝2BD ＝4，BC ＝3.∴AC ＝AB 2＋BC 2＝42＋32＝5.②当DF BF ＝2时，DF ＝2BF ＝2，∴BD ＝DF 2－BF 2＝22－12＝ 3.∴AB ＝2BD ＝2 3.∵BC ＝3，∠B ＝90°，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝(2 3)2＋32＝21.③当BD BF ＝12时，BD ＝12BF ＝12，∴AB ＝2BD ＝1.∵BC ＝3，∠B ＝90°， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝12＋32＝10.④当BD DF ＝12时，设BD ＝x ，则DF ＝2x ，由勾股定理得(2x )2－x 2＝12，解得x ＝33.∴AB ＝2BD ＝2 33.∵BC ＝3，∠B ＝90°，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 332＋32＝933. 综上所述：若△BDF 是“潜力三角形”，且BF ＝1，线段AC 的长为5或21或10或933.赠送励志修身名言警句可怕的敌人，就是没有坚强的信念。