2020年11月1日四川省绵阳市高2021届高2018级高三一诊考试文科数学试题及参考答案
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(文科)
【答案】
数列 满足 ，
可得 ＝ ，即 为等差数列，
＝ ， ＝ ，可得公差 ，
则 ＝ ＝ ；
数列 的前 项和 ，
可得 ＝ ＝ ＝ ；
时， ＝ ＝ ＝ ，
则 ＝ ， ；
，
则前 项和 ＝
．
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
（1）由题意可得 ＝ ，即 为等差数列，由等差数列的通项公式可得公差 ，进而得到所求通项公式；由数列的递推式： ＝ ， 时， ＝ ，化简可得所求通项公式；
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出原函数的导函数，得到 ，再求出 ，利用直线方程的点斜式求切线 ，取 ＝ 求解 在 轴上的截距．
【解答】
由 ＝ ，得 ，
∴ ＝ ，又 ＝ 时， ＝ ，
∴ 在点（ ）处的切线方程为 ＝ ，
取 ＝ ，得在 轴上截距 ＝ ＝ ．
故选： ．
10.某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为定价发愁．进一步调研了解到如下信息；该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为 元，每桶水的进价是 元，销售单价与日均销售量的关系如表：
【答案】
【考点】
解三角形
【解析】
先根据已知条件在 中求出 ，再在直角 中利用正切即可求出结论．
【解答】
如图由题上条件可得线 平行于东西方向
， ＝ ， ＝ ； ＝ ；
∴ ＝ ； ＝ ；
在 中， ．
如图
平面 ，在直角 中， ＝ ＝ ．
若函数 ＝ 有且仅有一个零点，则实数 的取值范围为________ 或________ ．
【考点】
对数值大小的比较
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(文科)
2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知A ＝{x ∈N ∗|x ≤3}，B ＝{x|x 2−4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A.{1, 2, 3} B.{1, 2} C.(0, 3] D.(3, 4]2. 若b <a <0，则下列结论不正确的是（ ） A.1a <1bB.ab >a 2C.|a|+|b|>|a +b|D.√a 3>√b 33. 下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ）A.f(x)＝x 2B.f(x)=√xC.f(x)＝ln|x|D.f(x)＝e 2x4. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝2，S 3＝3，则a 6＝（ ） A.4 B.5 C.10 D.155. 已知函数f(x)=2x 2x −1，若f(−m)＝2，则f(m)＝（ ） A.−2 B.−1C.0D.126. 已知命题p ：函数y =2sinx +sinx,x ∈(0,π)的最小值为2√2；命题q ：若向量a →，b →，满足a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →．下列正确的是（ ）A.￢p ∧qB.p ∨qC.p ∧￢qD.￢p ∧￢q7. 若a =(13)0.6，b ＝3−0.8，c ＝ln3，则a ，b ，c 的大小关系（ ） A.b >c >a B.c >a >bC.c >b >aD.a >c >b8. 已知x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −y +1≥0x +y −1≥0 ，则z ＝2x +y 的最小值为（ ）A.4B.2C.1D.139. 设函数f(x)＝ae x −lnx （其中常数a ≠0）的图象在点（1, f(1)）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（ ） A.1 B.2 C.ae −1 D.1−2ae10. 某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为定价发愁．进一步调研了解到如下信息；该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？（）A.每桶8.5元 B.每桶9.5元 C.每桶10.5元 D.每桶11.5元11. 函数f(x)=sin(ωx +π6)(ω>0)在(−π2,π2)上单调递增，且图象关于x ＝−π对称，则ω的值为（ ） A.23 B.53C.2D.8312. 在△ABC 中，角A 为π3，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，已知AD =2√3，且λAB →=AD →−13AC →(λ∈R)，则AB →在AD →方向上的投影是（ ） A.1B.32C.3D.3√32二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．已知函数f(x)的定义域为R ，且满足f(x)＝f(x +2)，当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，则f(7)＝________．已知向量a →=(−2, 2)，向量b →的模为1，且|a →−2b →|＝2，则a →与b →的夹角为________．2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，状军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升机以72√2千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西60∘的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75∘的方向上，仰角为30∘，则直升机飞行的高度为________（结果保留根号）．若函数f(x)＝x 2+x +1−ae x 有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为________<1或________>3e ． 三、填空题：共70分．已知函数f(x)＝(cosx −sinx)2−2sin 2x ．（1）求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；（2）若f(x 0)＝−1，且x 0∈(−π,−π2)，求x 0的值．已知数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，且a1＝1，a4＝7，数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2．（1）求数列{a n}{b n}的通项公式；（2）设c n=2a n+log2b n，求数列{c n}的前n项和T n．已知△ABC中三个内角A，B，C满足√2cosB=sin(A+C)+1．（1）求sinB；（2）若C−A=π2，b是角B的对边，b=√3，求△ABC的面积．已知函数f(x)=13x3+12(1−a)x2−ax+2(a∈R)．（1）当a＝1时，求函数f(x)的极值；（2）是否存在实数a，使得函数f(x)在区间[1, 2]上的最大值是2，若存在，求出a的值；不存在，请说明理由已知函数f(x)＝e x−ax2，a∈R，x∈(0, +∞)．（1）若f(x)存在极小值，求实数a的取值范围；（2）若f(x)的极大值为M，求证：1<M<e2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=cosα+√3sinα,y=sinα−√3cosα（α为参数），以坐标原点0为极点，x的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos(θ−π6)=3．（1）求曲线C的普通方程与极坐标方程；（2）设射线OM:θ=π3与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)＝|x−m|+|x+1|−5(m∈R)．（1）当m＝2时，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≥−2，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020年四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】先求出集合A，解一元二次不等式x2−4x≤0解出集合B，从而求出A∩B．【解答】由题意得：A＝{x∈N∗|x≤3}＝{1, 2, 3}，B＝{x|x2−4x≤0}＝{x|0≤x≤4}，∴所以A∩B＝{1, 2, 3}，2.【答案】C【考点】不等式的概念【解析】利用不等式的基本性质、特殊值法即可得出．【解答】∵b<a<0，∴1a <1b，ab>a2，由函数y=√x3在R上单调递增，可得：√b3<√a3．设a＝−2，b＝−1时，|a|+|b|＝|a+b|与C矛盾．因此只有C错误．3.【答案】D【考点】函数单调性的性质与判断【解析】分别结合函数的定义域及函数的单调性分别对选项进行判断即可．【解答】由f(x)=√x的定义域为[0, +∞)，不符合题意，C：函数的定义域x≠0，不符合题意，A:y＝x2在(−∞, 0]单调递减，在[0, +∞)单调递增，不符合题意，4.【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a6．【解答】由题意得{a3=a1+2d=2S3=3a1+3×22d=3，解得a1＝0，d＝1，∴a6＝a1+5d＝5．5.【答案】B【考点】函数的求值求函数的值【解析】推导出f(−x)+f(x)＝1，由此利用f(−m)＝2，能求出f(m)的值．【解答】∵f(x)=2x2x−1，∴f(−x)+f(x)=2−x2−x−1+2x2x−1=11−2x+2x2x−1=1，∵f(−m)＝2，∴f(m)＝−1．6.【答案】D【考点】复合命题及其真假判断【解析】由基本不等式成立的条件知，可求得函数y=2sinx+sinx,x∈(0,π)的最小值不为2√2，可判断命题p的真假；由向量的数量积没有约去律，可判断命题q的真假，再由复合命题真假表判断正误即可．【解答】由题意得：命题p：函数y=2sinx+sinx,x∈(0,π)，由基本不等式成立的条件，y≥2√2sinx⋅sinx=2√2，知等号取不到，所以p命题是假的；命题q：若向量a→，b→，满足a→⋅b→=b→⋅c→，∴b→⋅(a→−c→)=0，b→，a→−c→有可能是零向量或者b→⊥(a→−c→)，所以q是错误的．∴￢p∧q，p∨q，p∧￢q，是假命题，￢p∧￢q为真命题；7.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】由指数函数y=(13)x在R上单调递减，可得a，b大小关系，再利用对数函数的单调性可得：c＝ln3∈(1, 2)，即可得出大小关系．【解答】由指数函数y =(13)x 在R 上单调递减，又a =(13)0.6，b ＝3−0.8=(13)0.8， ∴ 1>a >b ． c ＝ln3∈(1, 2) ∴ c >a >b ． 8.【答案】 C【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数z ＝2x +y 的几何意义，利用数形结合即可的得到结论． 【解答】先根据x ，y 满足线性约束条件{2x −y ≤0x −y +1≥0x +y −1≥0画出可行域，平移直线0＝2x +y ，当直线z ＝2x +y 过点B(0, 1)时，z 取最小值为1． 9.【答案】 A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】求出原函数的导函数，得到f′(1)，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式求切线l ，取x ＝0求解l 在y 轴上的截距． 【解答】由f(x)＝ae x −lnx ，得f′(x)=ae x −1x ，∴ f′(1)＝ae −1，又x ＝1时，f(1)＝ae ，∴ f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为y −(ae)＝(ae −1)(x −1)， 取x ＝0，得在y 轴上截距y ＝(ae −1)(0−1)+ae ＝1． 故选：A ． 10.【答案】 D【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】根据表格可知：销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶．设每桶水的价格为(6+x)元，公司日利润y 元，则y ＝(6+x −5)(480−40x)−200，整理后利用二次函数求最值． 【解答】根据表格可知：销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶． 设每桶水的价格为(6+x)元，公司日利润y 元， 则：y ＝(6+x −5)(480−40x)−200，＝−40x 2+440x +280(0<x <13)， ∵ −40<0，∴ 当x ＝5.5时函数y 有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大， 11.【答案】 A【考点】正弦函数的图象 【解析】根据函数递增，求出x 的范围，根据题意，求出ω的范围，再根据图象关于x ＝−π对称，确定出ω． 【解答】要使函数f(x)=sin(wx +π6)(w >0)的递增，则−π2+2kπ≤ωx +π6≤π2+2kπ(k ∈Z)，化简得：−2π3ω+2kπω≤x ≤π3ω+2kπω(k ∈Z)，已知在(−π2,π2)单增，所以{−2π3ω≤−π2π3ω≥π2，故0≤ω≤23，又因为图象关于x ＝−π对称，ωx +π6=π2+kπ(k ∈Z)，所以ω=−13−k ， 因为ω>0，此时k ＝−1，所以ω=23， 12.【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据B ，C ，D 三点共线求出λ，建系计算B ，C 两点坐标，得出AB ，再计算投影即可． 【解答】由λAB →=AD →−13AC →可得：AD →=λAB →+13AC →，∵ B ，C ，D 三点共线，故λ+13=1，即λ=23． ∴ AD →=23AB →+13AC →．以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系如图所示，则D(3, √3)，设B(m, 0)，C(n, √3n)，由AD →=23AB →+13AC →得：{3=23m +13n√3=√33n，解得m ＝3，n ＝3． 故B(3, 0)，∴ AB →在AD →上的投影为|AB|cos30∘=3√32．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．【答案】 e【考点】 函数的求值 求函数的值 【解析】求出周期T ＝2，利用当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ，f(7)＝f(1)，能求出结果． 【解答】因为f(x)＝f(x +2)，周期T ＝2， 当x ∈[0, 2]时，f(x)＝e x ， ∴ f(7)＝f(1)＝e ． 故答案为：e ． 【答案】 π4【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】由题意利用两个平面向量的数量积的定义，求得a →与b →的夹角的余弦值，可得a →与b →的夹角． 【解答】由已知得：|a →|＝2√2，|b →|＝1，|a →−2b →|＝2，a →2−4a →⋅b →+4b →2＝4，∴ 设a →与b →的夹角为θ，θ∈[0, π]，a →⋅b →=2＝2√2⋅1⋅cosθ，∴ cosθ=√22，θ=π4，【答案】72√33【考点】 解三角形 【解析】先根据已知条件在△ABC 中求出BC ，再在直角△BD 1 C 中利用正切即可求出结论． 【解答】如图由题上条件可得线AC 平行于东西方向 ，∠ABD ＝60∘，∠CBD ＝75∘；AC ＝72√2； ∴ ∠ABC ＝135∘；∠BAC ＝30∘；在△ABC 中，BCsin∠BAC =ACsin∠ABC ⇒BCsin30=72√2sin135⇒BC =72√2×12√22=72．如图D 1C ⊥平面ABC ，在直角△BD 1 C 中，tan∠D 1 BC =D 1C BC=ℎBC ⇒ℎ＝BC ⋅tan∠D 1 BC ＝72×tan∠30∘=72√33．【答案】0<a,a【考点】函数零点的判定定理【解析】先令函数等于零，剥离参数，求交点．【解答】当x∈(0, 1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增（1）当x∈(1, +∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减（2）且g(0)＝1，g(1)=3e，g(x)>0，大致图象如图：可知0<a<1或a>3e．故答案为：0<a<1或a>3e．三、填空题：共70分．【答案】函数f(x)＝(cosx−sinx)2−2sin2x＝1−2sinxcosx−2⋅1−cos2x2＝cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4)，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，又函数y＝cosx的单调减区间为[2kπ, 2kπ+π]，k∈Z；令2kπ≤2x+π4≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z；所以f(x)的单调递减区间为[kπ−π8, kπ+3π8]，k∈Z；若f(x0)＝−1，则√2cos(2x0+π4)＝−1，即cos(2x0+π4)=−√22，再由x0∈(−π,−π2)，可得2x0+π4∈(−7π4, −3π4)；所以2x0+π4=−5π4，解得x0=−3π4．【考点】三角函数中的恒等变换应用三角函数的周期性及其求法【解析】（1）化函数f(x)余弦型函数，根据余弦函数的图象与性质求出f(x)的最小正周期和单调减区间；（2）由三角函数值求角，要注意角的取值范围．【解答】函数f(x)＝(cosx−sinx)2−2sin2x＝1−2sinxcosx−2⋅1−cos2x2＝cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4)，所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，又函数y＝cosx的单调减区间为[2kπ, 2kπ+π]，k∈Z；令2kπ≤2x+π4≤2kπ+π，k∈Z；解得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z；所以f(x)的单调递减区间为[kπ−π8, kπ+3π8]，k∈Z；若f(x0)＝−1，则√2cos(2x0+π4)＝−1，即cos(2x0+π4)=−√22，再由x0∈(−π,−π2)，可得2x0+π4∈(−7π4, −3π4)；所以2x0+π4=−5π4，解得x0=−3π4．【答案】数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，可得a n+2−a n+1＝a n+1−a n，即{a n}为等差数列，a1＝1，a4＝7，可得公差d=a4−a14−1=2，则a n＝1+2(n−1)＝2n−1；数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2，可得b1＝S1＝4−2＝2；n≥2时，b n＝S n−S n−1＝2n+1−2−2n+2＝2n，则b n＝2n，n∈N∗；c n=2a n+log2b n=22n−1+n，则前n项和T n＝(2+8+...+22n−1)+(1+2+...+n)=2(1−4n)1−4+12n(n+1)=23(4n−1)+12(n2+n)．【考点】数列递推式数列的求和【解析】（1）由题意可得a n+2−a n+1＝a n+1−a n，即{a n}为等差数列，由等差数列的通项公式可得公差d，进而得到所求通项公式；由数列的递推式：b1＝S1，n≥2时，b n＝S n−S n−1，化简可得所求通项公式；（2）求得c n=2a n+log2b n=22n−1+n，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】数列{a n}满足a n+2+a n=2a n+1,n∈N∗，可得a n+2−a n+1＝a n+1−a n，即{a n}为等差数列，a1＝1，a4＝7，可得公差d=a4−a14−1=2，则a n＝1+2(n−1)＝2n−1；数列{b n}的前n项和S n=2n+1−2，可得b1＝S1＝4−2＝2；n≥2时，b n＝S n−S n−1＝2n+1−2−2n+2＝2n，则b n＝2n，n∈N∗；c n=2a n+log2b n=22n−1+n，则前n项和T n＝(2+8+...+22n−1)+(1+2+...+n)=2(1−4n)1−4+12n(n+1)=23(4n−1)+12(n2+n)．【答案】∵√2cosB=sin(A+C)+1．sin(A+C)＝sinB，∴√2cosB＝sinB+1，又sin2B+cos2B＝1，化为：3sin2B+2sinB−1＝0，1>sinB>0．联立解得sinB=13．C−A=π2，又A+B+C＝π，可得：2A=π2−B，C为钝角．∴sin2A＝cosB．又b=√3，∴asinA =csinC=√313=3√3，∴a＝3√3sinA，c＝3√3sinC，B为锐角，∴cosB=2√23．∴△ABC的面积S=12acsinB=12×3√3sinA×3√3sinC×13=92sinAsin(π2+A)=9 2sinAcosA=94sin2A=94cosB=94×2√23=3√22．∴∴△ABC的面积S为3√22．【考点】正弦定理（1）由√2cosB=sin(A+C)+1．sin(A+C)＝sinB，√2cosB＝sinB+1，又sin2B+ cos2B＝1，化简解出．（2）C−A=π2，又A+B+C＝π，可得：2A=π2−B，C为钝角．可得sin2A＝cosB．又b=√3，利用正弦定理可得：a＝3√3sinA，c＝3√3sinC，代入△ABC的面积S=12acsinB，进而得出结论．【解答】∵√2cosB=sin(A+C)+1．sin(A+C)＝sinB，∴√2cosB＝sinB+1，又sin2B+cos2B＝1，化为：3sin2B+2sinB−1＝0，1>sinB>0．联立解得sinB=13．C−A=π2，又A+B+C＝π，可得：2A=π2−B，C为钝角．∴sin2A＝cosB．又b=√3，∴asinA =csinC=√313=3√3，∴a＝3√3sinA，c＝3√3sinC，B为锐角，∴cosB=2√23．∴△ABC的面积S=12acsinB=12×3√3sinA×3√3sinC×13=92sinAsin(π2+A)=9 2sinAcosA=94sin2A=94cosB=94×2√23=3√22．∴∴△ABC的面积S为3√22．【答案】f′(x)＝(x−a)(x+1)，当a≤1时，f(x)在[1, 2]单调递增，∴f(x)f(2)=203−4a=2，解得a=76()．当1<a<2时，f(x)在[1, a)上单调递减, 在(a, 2]上单调递增，∴f(x)最大值为f或f(1)，由f(1)=176−3a2=2,a=59()，由f(2)=2a=76．当a≥2时，f(x)在[1, 2]单调递减，∴f(x)f(1)=176−3a2=2，解得a=59()．综上所述：a=76．利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的极值【解析】（1）对f(x)求导，分析f(x)的增减性，从而确定极值；（2）分析函数在[1, 2]上的增减性，确定出取得最值的点，从而求出a值【解答】f′(x)＝(x−a)(x+1)，当a≤1时，f(x)在[1, 2]单调递增，∴f(x)f(2)=203−4a=2，解得a=76()．当1<a<2时，f(x)在[1, a)上单调递减, 在(a, 2]上单调递增，∴f(x)最大值为f或f(1)，由f(1)=176−3a2=2,a=59()，由f(2)=2a=76．当a≥2时，f(x)在[1, 2]单调递减，∴f(x)f(1)=176−3a2=2，解得a=59()．综上所述：a=76．【答案】f(x)＝e x−ax2，x∈(0, +∞)．∴f′(x)＝e x−2ax＝2x(e x2x−a)，设g(x)=e x2x，x∈(0, +∞)，则f′(x)＝2x•[g(x)−a]，且g′(x)=e x(x−1)2x2，∵x∈(0, +∞)，e x>0，2x2>0，当x∈(1, +∞)时，且g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(0, 1)时，且g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)min＝g(1)=12e，其大致图象如图所示，结合图象可知，①当a≤12e时，f′(x)≥0在(0, +∞)上单调递增，没有极值，不符合题意，②当a>12e时，直线y＝a与y＝g(x)有2个不同的交点，设其横坐标分别为x1，x2，且0<x1<1<x2，当0<x<x1或x>x2时，g(x)>a，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x1<x<x2时，g(x)<a，f′(x)<0，f(x)单调递减，故函数f(x)在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，综上可得，a的范围(12e,+∞)，结合（1），若f(x)的极大值为M，则a>12e，M＝f(x1)=e x1−ax12，因为a=e x12x1，所以M=e x1−x1e x12=e x1(1−12x1)，令ℎ(x)=e x(1−12x)，x∈(0, 1)，则ℎ′(x)$${\{}$ ${= \, }$\${dfrac\{1\}\{2\}\{e\}}$^${\{x\}(1\, -\, x)}$<}$0在x∈（0，1）时恒成立，即h（x）在（0，1）上单调递减，又${h(0)}$＝${1}$，${h(1) = \dfrac{1}{2}e}$，故${h(x) \in (1,\dfrac{1}{2}e)}$，即${1【考点】利用导数研究函数的极值【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系讨论函数的单调性，进而可求出满足题意的a的范围，（2）结合（1）的讨论可知M＝f(x1)=e x1−ax12，构造函数，结合函数的单调性可求M的取值范围，即可证明．【解答】f(x)＝e x−ax2，x∈(0, +∞)．∴f′(x)＝e x−2ax＝2x(e x2x−a)，设g(x)=e x2x，x∈(0, +∞)，则f′(x)＝2x•[g(x)−a]，且g′(x)=e x(x−1)2x2，∵x∈(0, +∞)，e x>0，2x2>0，当x∈(1, +∞)时，且g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(0, 1)时，且g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)min＝g(1)=12e，其大致图象如图所示，结合图象可知，①当a ≤12e 时，f′(x)≥0在(0, +∞)上单调递增，没有极值，不符合题意，②当a >12e 时，直线y ＝a 与y ＝g(x)有2个不同的交点，设其横坐标分别为x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2，当0<x <x 1或x >x 2时，g(x)>a ，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x 1<x <x 2时，g(x)<a ，f′(x)<0，f(x)单调递减，故函数f(x)在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，综上可得，a 的范围(12e,+∞)，结合（1），若f(x)的极大值为M ，则a >12e ，M ＝f(x 1)=e x 1−ax 12，因为a =e x 12x 1， 所以M =e x 1−x 1e x 12=e x 1(1−12x 1)， 令ℎ(x)=e x (1−12x)，x ∈(0, 1)，则ℎ′(x)$${\{}$ ${= \, }$\${dfrac\{1\}\{2\}\{e\}}$^${\{x\}(1\, -\, x)}$<}$0在x ∈（0，1）时恒成立，即h （x ）在（0，1）上单调递减，又${h(0)}$＝${1}$，${h(1) = \dfrac{1}{2}e}$，故${h(x) \in (1,\dfrac{1}{2}e)}$，即${1（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】由{x =cosα+√3sinαy =sinα−√3cosα，两边平方作和得， x 2+y 2=(cosα+√3sinα)2+(sinα−√3cosα)2=4，∴ 曲线C 的普通方程为x 2+y 2＝4．∵ x 2+y 2＝ρ2，∴ ρ2＝4，则ρ＝2；把θ=π3代入ρcos(θ−π6)=3，可得ρcos(π3−π6)=3，解得ρ=2√3．即B 点的极径为ρB =2√3．由（1）得ρA ＝2，∴ |AB|＝|ρA −ρB |=2√3−2．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】（1）把{x =cosα+√3sinαy =sinα−√3cosα两式平方相加可得曲线C 的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化可得极坐标方程；（2）把θ=π3代入ρcos(θ−π6)=3，求得B 点的极径，由（1）得A 点的极径，则|AB|可求．【解答】由{x =cosα+√3sinαy =sinα−√3cosα，两边平方作和得， x 2+y 2=(cosα+√3sinα)2+(sinα−√3cosα)2=4，∴ 曲线C 的普通方程为x 2+y 2＝4．∵ x 2+y 2＝ρ2，∴ ρ2＝4，则ρ＝2；把θ=π3代入ρcos(θ−π6)=3，可得ρcos(π3−π6)=3，解得ρ=2√3．即B 点的极径为ρB =2√3．由（1）得ρA ＝2，∴ |AB|＝|ρA −ρB |=2√3−2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当m ＝2时，f(x)＝|x −2|+|x +1|−5，当x ≤−1，f(x)＝−(x −2)−(x +1)−5≥0，解得x ≤−2；当−1<x <2，f(x)＝−(x −2)+x +1−5≥0，无解；当x ≥2时，f(x)＝x −2+x +1−5≥0，解得x ≥3；综上，不等式的解集为(−∞, −2]∪[3, +∞)．由f(x)＝|x −m|+|x +1|−5≥|(x −m)−(x +1)|−5＝|m +1|−5≥−2， 所以|m +1|≥3，即m ≥2或者m ≤−4．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）利用分类讨论思想解绝对值不等式；（2）由绝对值不等式的性质，求出m 的范围．【解答】当m ＝2时，f(x)＝|x −2|+|x +1|−5，当x ≤−1，f(x)＝−(x −2)−(x +1)−5≥0，解得x ≤−2；当−1<x <2，f(x)＝−(x −2)+x +1−5≥0，无解；当x ≥2时，f(x)＝x −2+x +1−5≥0，解得x ≥3；综上，不等式的解集为(−∞, −2]∪[3, +∞)．由f(x)＝|x −m|+|x +1|−5≥|(x −m)−(x +1)|−5＝|m +1|−5≥−2， 所以|m +1|≥3，即m ≥2或者m ≤−4．。
2020级绵阳一诊文科数学参考答案
绵阳市高中2020级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
BADAB CDACB DD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．5 14．31 15．(2)(1)，，-∞-+∞ 16．10.5三、解答题：本大题共6小题，共70分。
17．解：（1）2()2cos f x x x =-cos2122x x +=-1sin(2)62x π=--………4分 令3222262≤≤k x k πππππ+-+(k ∈Z )，……………………………………………6分 解得536≤≤k x k ππππ++(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递减区间为5[]36，k k ππππ++(k ∈Z )．…………………………8分 （2）由()1f x =-，得1sin(2)62x π-=-， ∵[0]，x π∈，∴112[]666，x πππ-∈-．………………………………………………9分 ∴71126666，，x ππππ-=-，……………………………………………………………11分 解得203x ππ=，，． …………………………………………………………………12分 18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．∵123894154，，a a a a a a ++=+= ∴1113315215412a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，， ………………………………………………………………3分 解得132.a d =⎧⎨=⎩， ……………………………………………………………………………4分 ∴32121n a (n )n =+-=+．……………………………………………………………6分 （2）∵1111()(21)(23)22123n c n n n n ==-++++， …………………………………8分 ∴12111n c c c +++1111111()235572123n n =-+-++-++…………………………10分 111()2323n =-+． ………………………………………………12分19．解：（1）∵cos (1cos )a B b A ⋅=+，由正弦定理，得sin cos sin (1cos )A B B A ⋅=+，………………………………………2分即sin cos cos sin sin A B A B B ⋅-⋅=，∴sin sin A B B -=（）， …………………………………………………………………4分 ∴A B B -=或A B B π-+=（）（舍），即2A B =．…………………………………6分（2）由锐角△ABC ，可得02B π<<，022A B π<=<，032C B ππ<=-<． 即64B ππ<<，cos B <<．………………………………………………9分 ∵cos (1cos )a B b A =+∴cos 2(1cos2)a B B =+． …………………………………………………………10分 ∴4cos a B =．………………………………………………………………………11分∴a ∈． …………………………………………………………………12分20．解：（1）由题意得2()(4)4(4)()f x x k x k x x k '=-++=--． ……………………1分当1k =时，由()0f x '>，得1x <或4x >．由()0f x '<，得14x <<． ……………………………………………………………3分∴函数()f x 在(1，4)上单调递减，在(-∞，1)和(4，+∞)上单调递增． ……………5分∴函数()f x 的极大值为(1)0f =，极小值为9(4)2f =-．……………………………6分 （2）当k ≤0或k ≥3时，函数()f x 在(0，3)上为单调函数，最多只有一个零点． 当03k <<时，函数()f x 在(0，k )上单调递增，在(k ，3)上单调递减． …………9分 要使函数()f x 在(0，3)上有两个零点，则需满足：03k <<且()0(0)0(3)0f k f f >⎧⎪<⎨⎪<⎩，，， 解得1319k <<．……………………………………………12分 21．解：（1）由题意得1()22f x x m x '=+-，∴122x x +≥． …………………………………………………………2分 ①当m ≤2时，不等式()0f x '≥恒成立，∴函数f (x )在区间(0)+∞，上单调递增． …………………………………………3分②当m >2时，由()0f x '>，解得0<x 或x ．函数f (x )的单调增区间为(0，)+∞，单调减区间为．………………………………………5分 综上，当m ≤2时，函数f (x )的增区间为(0)+∞，，无递减区间；当m >2时，函数f (x )的增区间为(0，)+∞．函数f (x )的减区间为． ……………………………6分 （2）当1[)2x ∈+∞，时，由f (1)=0，要使得()0f x ≥恒成立， ∴(1)0f '=． 又1()22f x x m x'=+-， ∴1(1)2+02f m '=-=，解得52m =． ……………………………………………8分 下证：当52m =时，()0f x ≥恒成立，此时2153()ln 222f x x x x =+-+． 215451(41)(1)()2=2222x x x x f x x x x x-+--'=+-=． ………………………………9分 ∵1[)2x ∈+∞，， ∴由()0f x '>，解得x >1．由()0f x '<解得0<x <1．∴()(1)0f x f =≥． …………………………………………………………………11分 综上，52m =． ……………………………………………………………………12分 22．解：（1）由题意得圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=．直线l 60y -+=．…………………………………………………4分∵圆心C 到直线l 的距离3d =>， ∴直线l 和圆C 相离．…………………………………………………………………5分（2）设[)33cos 3sin )(02)（，，P θθθπ+∈．=，∴|2cos()26πθ++=cos()16πθ+=-．………………………………7分 ∴6πθ+=π，则56πθ=， …………………………………………………………8分 ∴3(3)2，P ， …………………………………………………………………9分∴CA CP ⋅=． ……………………………………………………………10分 23．解：（1）11()222f x x x x =+++++ ≥11(2)()22x x x +-+++=3122x ++ ………………………………3分 ≥32．(当且仅当12x =-时，取等) ……………………………………4分 ∴函数f (x )的最小值为32． …………………………………………………………5分 （2）∵f (a )＋f (b )＋f (c )＝18，∴3a b c ++=．………………………………………………………………………6分由111()()a b c a b c ++++111a a b b c c b c a c a b=++++++++ ()()()3a b c a c b b a a c b c=++++++≥9， 得1113a b c++≥． ……………………………………………………………………8分 ∵2()a b c ++222222a b c ab bc ac =+++++2223()≤a b c ++，∴2233a b c ++≥． …………………………………………………………………9分 ∴22111()()9≥a b c a b c ， ∴2221119≥a b c a b c++++． ………………………………………………………10分。
《精编》四川省绵阳市高三数学第一次诊断性考试试题 文(含解析)新人教A版.doc
四川省绵阳市高考数学一模试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕设集合A={2，3，4}，B={0，1，2}，那么A∩B等于〔〕A．{0} B．{0，1，2，3，4} C．{2} D．∅考点：交集及其运算．专题：阅读型．分析：集合A与集合B都是含有三个元素的集合，且有一个公共元素2，所以A∩B可求．解答：解：因为集合A={2，3，4}，B={0，1，2}，所以A∩B={2}．应选C．点评：此题考查了交集及其运算，两个集合的交集是有两个集合的公共元素组成的集合，是根底题．2．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕命题P：“∀x∈R，cosx≥1”，那么￢p是〔〕A．∃x∈R，cos≥1B．∀x∈R，cos＜1 C．∃x∈R，cosx＜1 D．∀x∈R，cosx＞1 考点：特称命题；命题的否认．专题：计算题．分析：利用全称命题：∀x∈M，p〔x〕；的否认是特称命题∃x∈M，p〔x〕直接得到结果．解答：解：因为全称命题：∀x∈M，p〔x〕；的否认是特称命题∃x∈M，p〔x〕．所以命题P：“∀x∈R，cosx≥1”，那么￢p是∃x∈R，cosx＜1．应选C．点评：此题考查命题的否认，全称命题：∀x∈M，p〔x〕；与特称命题∃x∈M，p〔x〕互为命题的否认．3．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕数列{a n}为等差数列，且a6+a8=，那么tan〔a5+a9〕的值为〔〕A．B．﹣C．±D．﹣考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得，a5+a9=a6+a8=，然后求解正切函数值即可解答：解：由等差数列的性质可得，a5+a9=a6+a8=，∴tan〔a5+a9〕=tan=应选B点评：此题主要考查了等差数列的性质及特殊角的正切函数值的求解，属于根底试题4．〔5分〕〔2021•湖南〕如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，那么〔〕A．++=0 B．﹣+=0 C．+﹣=0 D．﹣﹣=0考点：向量加减混合运算及其几何意义．分析：模相等、方向相同的向量为相等向量，得出图中的相等向量，再由向量加法法那么得选项．解答：解：由图可知=，==在△DBE中，++=0，即++=0．应选项为A．点评：考查向量相等的定义及向量加法的三角形法那么．5．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕己知f〔x〕=xsinx，那么f′〔π〕=〔〕A．O B．﹣1 C．πD．﹣π考点：导数的乘法与除法法那么．专题：导数的概念及应用．分析：先对函数f〔x〕求导，进而可求出f′〔π〕的值．解答：解：∵f′〔x〕=sinx+xcosx，∴f′〔π〕=sinπ+πcosπ=﹣π．应选D．点评：此题考查导数的值，正确求导是解决问题的关键．6．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕函数f〔x〕=e x﹣x﹣2的零点所在的区间为〔〕A．〔﹣1，0〕B．〔1，2〕C．〔0，1〕D．〔2，3〕考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：将选项中各区间两端点值代入f〔x〕，满足f〔a〕•f〔b〕＜0〔a，b为区间两端点〕的为答案．解答：解：因为f〔1〕=e﹣3＜0，f〔2〕=e2﹣e﹣2＞0，所以零点在区间〔1，2〕上，应选：B．点评：此题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．7．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕设，那么〔〕A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：利用幂函数的性质比较两个正数a，b的大小，然后推出a，b，c的大小即可．解答：解：因为y=是增函数，所以所以c＜a＜b应选B点评：此题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算，考查计算推理能力，是根底题．8．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕函数f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕〔A＞0，w＞0，|φ|＜〕，其导数f′〔x〕的局部图象如以以下列图所示，那么函数f〔x〕的解析式为：〔〕A ．f 〔x 〕=sin 〔2x+〕 B ．f 〔x 〕=2in 〔2x+〕 C ．f 〔x 〕=sin 〔2x ﹣〕 D ．f 〔x 〕=2in 〔2x ﹣〕考点： 由y=Asin 〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式． 专题： 计算题． 分析： 通过导函数的图象求出Aω=2，T ，利用周期公式求出ω，通过函数图象经过的特殊点，求出φ，得到函数的解析式． 解答：解：由函数的图象可得Aω=2，T=4×=π，所以ω=2，A=1， 由导函数的图象，可知函数的图象经过〔﹣〕，所以0=sin 〔﹣φ〕，所以φ=， 所以函数的解析式为：f 〔x 〕=sin 〔2x+〕．应选A ． 点评： 此题是中档题，考查三角函数以及导函数的图象的应用，考查学生的视图能力、分析问题解决问题的能力，计算能力． 9．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕定义在R 上的奇函数f 〔x 〕是〔﹣∞，0]上的增函数，且f 〔1〕=2，f 〔﹣2〕=﹣4，设P={x|f 〔x+t 〕﹣4＜0}，Q={x|f 〔x 〕＜﹣2}．假设“x∈P 〞是“x∈Q 〞的充分不必要条件，那么实数t 的取值范围是〔 〕〔 〕 A ． t ≤﹣1 B ． t ＞﹣1 C ． t ≥3 D ． t ＞3 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 计算题． 分析： 根据定义在R 上的奇函数f 〔x 〕是〔﹣∞，0]上的增函数，且f 〔1〕=2，f 〔﹣2〕=﹣4，可以画出f 〔x 〕的图象，然后再求出P 和Q 集合，根据“x∈P 〞是“x∈Q 〞的充分不必要条件可得P ⊆Q ，从而求出t 的范围；解答：解：∵定义在R上的奇函数f〔x〕是〔﹣∞，0]上的增函数，且f〔1〕=2，f〔﹣2〕=﹣4，可得f〔﹣1〕=﹣2，f〔2〕=4，画出f〔x〕的图象：∵P={x|f〔x+t〕﹣4＜0}，Q={x|f〔x〕＜﹣2}，解得P={x|x＜2﹣t}，Q={x|x＜﹣1}，∵“x∈P〞是“x∈Q〞的充分不必要条件，∴P⊆Q，∴2﹣t＜﹣1，解得t＞3，当t=3，可得P=Q，不满足“x∈P〞是“x∈Q〞的充分不必要条件，∴t＞3，应选D；点评：此题主要考查奇函数的定义及其应用，考查的知识点比较全面，利用了数形结合的方法，是一道中档题；10．〔5分〕〔2021•四川〕某企业生产甲、乙两种产品．生产每吨甲产品要用A原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是〔〕A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元考点：简单线性规划的应用．专题：应用题；压轴题．分析：先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．解答：解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，那么该企业可获得利润为z=5x+3y，且联立解得由图可知，最优解为P〔3，4〕，∴z的最大值为z=5×3+3×4=27〔万元〕．应选D．点评：在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤复原到现实问题中．11．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕偶函数f〔x〕在区间[0，+∞〕上满足f′〔x〕＞0，那么满足f〔x2﹣2x〕＜f〔x〕的X的取值范围是〔〕A．〔1，3〕B．〔﹣∞，﹣3〕∪〔3，+∞〕C．〔﹣3，3〕D．〔﹣3，1〕考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：根据导数符号可判断函数的单调性，再利用条件偶函数可把f〔x2﹣2x〕＜f〔x〕转化为x2﹣2x与x间不等式，从而得到x的取值范围．解答：解：因为函数f〔x〕为偶函数，所以f〔x2﹣2x〕＜f〔x〕等价于f〔|x2﹣2x|〕＜f 〔|x|〕．又函数f〔x〕在区间[0，+∞〕上满足f′〔x〕＞0，所以函数f〔x〕在区间[0，+∞〕上单调递增．所以|x2﹣2x|＜|x|，两边平方并化简得x2〔x﹣1〕〔x﹣3〕＜0，解得1＜x＜3．应选A．点评：此题为函数奇偶性、单调性及导数的综合题，考查了相关的根底知识及分析问题、解决问题的能力．解决此题的关键是去掉符号“f〞，转化为自变量间的不等关系．12．〔5分〕〔2021•绵阳一模〕定义在R上的函数f〔x〕满足f〔1〕=1，f〔1﹣x〕=1﹣f〔x〕，2f〔x〕=f〔4x〕，且当0≤x1＜x2≤1时，f〔x1〕≤f〔x2〕，那么f〔〕等于〔〕A．B．C．D．考点：函数的值．专题：计算题．分析：先求出f〔〕，然后根据条件求出f，，最后根据函数的单调性，以及两边夹的性质可求出所求．解答：解：∵f〔1〕=1，f〔1﹣x〕=1﹣f〔x〕令x=得f〔〕+f〔〕=1即f〔〕=∵2f〔x〕=f〔4x〕∴f〔x〕=f〔4x〕在f〔x〕=f〔4x〕中，令x=可得f〔〕==在f〔1﹣x〕+f〔x〕=1中，令x=可得f〔〕+f〔〕=1即f〔〕=同理可求f〔〕=，f〔〕=1﹣f〔〕==，f〔〕=1﹣f〔〕==，f〔〕=1﹣f〔〕===，f〔〕=1﹣=∵当0≤x1≤x2≤1时，f〔x1〕≤f〔x2〕，∴==∴f=应选B点评：此题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.13．〔4分〕〔2021•绵阳一模〕∥，那么x= ﹣4 ．考点：平行向量与共线向量．分析：用两向量共线坐标形式的充要条件公式：坐标交叉相乘相等．解答：解：∵，∴2×〔﹣6〕=3x∴x=﹣4故答案为﹣4点评：考查两向量共线坐标形式的充要条件公式．14．〔4分〕〔2021•绵阳一模〕偶函数f〔x〕=〔n∈Z〕在〔0，+∞〕上是增函数，那么n= 2 ．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：结合幂函数在〔0，+∞〕上的单调性与指数的关系，我们可以求出n的取值范围为1，2，3，结合幂函数的奇偶性讨论后，可得答案．解答：解：假设幂函数f〔x〕=〔n∈Z〕在〔0，+∞〕上是增函数，那么＞0，即4n﹣n2＞0，又∵n∈Z∴n∈{1，2，3}又∵n=1，或n=3时=，此时幂函数f〔x〕为非奇非偶函数n=2时=2，幂函数f〔x〕=x2为偶函数满足要求故答案为：2点评：此题考查的知识点是幂函数的奇偶性和单调性及幂函数解析式的求法，幂函数是新课标的新增内容，此题是求幂函数解析式的经典例题，从单调性入手进行解答是解答此题的关键．15．〔4分〕〔2021•绵阳一模〕{a n}是递增数列，且对于任意的n∈N*，a n=n2+λn恒成立，那么实数λ的取值范围是〔﹣3，+∞〕．考点：数列与函数的综合．专计算题．题：分析：由对于任意的n∈N*，a n=n2+λn恒成立，知a n+1﹣a n=〔n+1〕2+λ〔n+1〕﹣n2﹣λn=2n+1+λ，由{a n}是递增数列，知a n+1﹣a n＞a2﹣a1=3+λ＞0，由此能求出实数λ的取值范围．解答：解：∵对于任意的n∈N*，a n=n2+λn恒成立，a n+1﹣a n=〔n+1〕2+λ〔n+1〕﹣n2﹣λn=2n+1+λ，∵{a n}是递增数列，∴a n+1﹣a n＞0，又a n+1﹣a n=〔n+1〕2+λ〔n+1〕﹣n2﹣λn=2n+1+λ∴当n=1时，a n+1﹣a n最小，∴a n+1﹣a n＞a2﹣a1=3+λ＞0，∴λ＞﹣3．故答案为：〔﹣3，+∞〕．点评：此题考查实数的取值范围的求法，具体涉及到数列的性质，解题时要认真审题，注意函数思想的灵活运用，是根底题．16．〔4分〕〔2021•绵阳一模〕设所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合M．给出以下命题：①所有奇数都属于M．②假设偶数2k属于M，那么k∈M．③假设a∈M，b∈M，那么ab∈M．④把所有不属于M的正整数从小到大依次排成一个数列，那么它的前n项和S n∈M．其中正确命题的序号是①③．〔写出所有正确命题的序号〕考点：命题的真假判断与应用．分析：根据中集合M的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们分别推证①③正确，举反例推翻②④可得答案．解答：解：∵所有可表示为两整数的平方差的整数组成集合M．设奇数2k+1 〔k∈Z〕那么：2k+1=〔k+1〕2﹣k2，故①所有奇数都属于M正确；由12=42﹣22得，12∈M，但6∉M，故②假设偶数2k属于M，那么k∈M错误；∵a∈M，b∈M，设a=m2﹣n2，b=p2﹣q2，那么ab=〔m2﹣n2〕〔p2﹣q2〕=〔mp〕2+〔nq〕2﹣〔mq〕2﹣〔pn〕2=〔mp+nq〕2﹣〔mq+np〕2∈M，故③正确；当n=1时，S n即为第一个不属于M的正整数，此时S n∉M，故④错误；故答案为：①③点评：此题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握集合M的元素的特征是解答的关键．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解容许写出文说明、证明过程或演算步骤. 17．〔12分〕〔2021•绵阳一模〕设向量=〔cos2x，1〕，=〔1，sin2x〕，x∈R，函数f 〔x〕=•．〔I 〕求函数f〔x〕的最小正周期及对称轴方程；〔II〕当x∈[0，]时，求函数f〔x〕的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；数量积的坐标表达式；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的求值．分析：〔Ⅰ〕通过向量的数量积，利用两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求出函数f〔x〕的最小正周期及对称轴方程．〔Ⅱ〕通过x的范围求出2x+的范围，利用正弦函数的值域，求解函数的值域即可．解答：解：〔Ⅰ〕f 〔x〕=•=〔cos2x，1〕•〔1，sin2x〕=sin2x+cos2x=2 sin〔2x+〕，…〔6分〕∴最小正周期T=，令2x+=k，k∈Z，解得x=，k∈Z，即f 〔x〕的对称轴方程为x=，k∈Z．…〔8分〕〔Ⅱ〕当x∈[0，]时，即0≤x≤，可得≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f 〔x〕取得最大值f 〔〕=2；当2x+=，即x=时，f 〔x〕取得最小值f 〔〕=﹣1．即f 〔x〕的值域为[﹣1，2]．…〔12分〕点评：此题以向量为依托，考查三角函数的两角和的正弦函数的应用，函数的周期，值域的求法，考查计算能力．18．〔12分〕〔2021•绵阳一模〕数列{a n}是等比数列且a3=，a6=2．〔I〕求数列{a n}的通项公式；〔II〕假设数列{a n}满足b n=3log2a n，且数列{b n}的前“项和为T n，问当n为何值时，T n取最小值，并求出该最小值．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：〔I〕由中数列{a n}是等比数列且a3=，a6=2．求出数列的公比，易得数列的通项〔II〕根据〔I〕及b n=3log2a n，可得数列{b n}的通项公式，进而结合二次函数的性质，及n∈N+，可求出当n为何值时，T n取最小值．解答：解：〔Ⅰ〕设公比为q，由a6=2，a3=，得a1q5=2，a1q2=，两式相除得q3=8，解得q=2，a1=，∴a n=×2n﹣1=2n﹣5〔Ⅱ〕b n=3log2a n=3log2〔2n﹣5〕=3n﹣15，∴T n=，又∵n∈N+当n=4或5时，T n取得最小值，最小值为﹣30点评：此题考查的知识点是数列求和，等比数列的通项公式，其中分别求出数列{a n}和{b n}的通项公式是解答的关键．19．〔12分〕〔2021•绵阳一模〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c假设asinA=〔a﹣b〕sinB+csinC．〔I 〕求角C的值；〔II〕假设△ABC的面积为，求a，b的值．考点：解三角形．专题：计算题；解三角形．分析：〔Ⅰ〕把结合正弦定理整理可得a2+b2﹣c2=ab，然后利用余弦定理CosC=可求cosC，结合C 的范围可求C〔Ⅱ〕由三角形的面积公式可得，结合c=2，及由〔Ⅰ〕a2+b2﹣4=ab，可求a+b，联立方程可求a，b解答：解：〔Ⅰ〕∵asinA=〔a﹣b〕sinB+csinC，由正弦定理，得a2=〔a﹣b〕b+c2，即a2+b2﹣c2=ab．①由余弦定理得CosC==，结合0＜C＜π，得C=．…〔6分〕〔Ⅱ〕∵△ABC的面积为，即，化简得ab=4，①又c=2，由〔Ⅰ〕知，a2+b2﹣4=ab，∴〔a+b〕2=3ab+4=16，得a+b=4，②由①②得a=b=2．…〔12分〕点评：此题主要考查了三角形的正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的综合应用，属于知识的综合应用20．〔12分〕〔2021•绵阳一模〕己知二次函数y=f〔x〕的图象过点〔1，﹣4〕，且不等式f 〔x〕＜0的解集是〔O，5〕．〔I 〕求函数f〔x〕的解析式；〔II〕设g〔x〕=x3﹣〔4k﹣10〕x+5，假设函数h〔x〕=2f〔x〕+g〔x〕在[﹣4，﹣2]上单调递增，在[﹣2，0]上单调递减，求y=h〔x〕在[﹣3，1]上的最大值和最小值..考点：二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：〔1〕根据函数零点，方程根与不等式解集端点之间的关系，结合二次函数y=f〔x〕的图象过点〔1，﹣4〕，可求出函数f〔x〕的解析式；〔II〕由〔I〕可求出函数h〔x〕的解析式〔含参数k〕，进而由函数极大值点为﹣2，求出k值，结合导数法求最值的步骤，可得答案．解答：解：〔Ⅰ〕由y=f 〔x〕是二次函数，且f 〔x〕＜0的解集是〔0，5〕，可得f 〔x〕=0的两根为0，5，于是设二次函数f 〔x〕=ax〔x﹣5〕，代入点〔1，﹣4〕，得﹣4=a×1×〔1﹣5〕，解得a=1，∴f 〔x〕=x〔x﹣5〕．…〔4分〕〔Ⅱ〕h〔x〕=2f 〔x〕+g〔x〕=2x〔x﹣5〕+x3﹣〔4k﹣10〕x+5=x3+2x2﹣4kx+5，于是h′〔x〕=3x2+4x﹣4k，∵h〔x〕在[﹣4，﹣2]上单调递增，在[﹣2，0]上单调递减，∴x=﹣2是h〔x〕的极大值点，∴h′〔2〕=3×〔﹣2〕2+4×〔﹣2〕﹣4k=0，解得k=1．…〔6分〕∴h〔x〕=x3+2x2﹣4x+5，进而得h′〔x〕=3x2+4x﹣4．令h′〔x〕=3x2+4x﹣4=0，得x=﹣2，或x=．由下表：x 〔﹣3，﹣2〕﹣2〔﹣2，〕〔，1〕h′〔x〕 + 0 ﹣0 +h〔x〕↗极大↘极小↗可知：h〔﹣2〕=〔﹣2〕3+2×〔﹣2〕2﹣4×〔﹣2〕+5=13，h〔1〕=13+2×12﹣4×1+5=4，h〔﹣3〕=〔﹣3〕3+2×〔﹣3〕2﹣4×〔﹣3〕+5=8，h〔〕=〔〕3+2×〔〕2﹣4×+5=，∴h〔x〕的最大值为13，最小值为．…〔12分〕点评：此题考查的知识点是二次函数的性质，函数零点，方程根与不等式解集端点的关系，导数法求函数的极值与最值，其中求出函数h〔x〕的解析式是解答的关键．21．〔12分〕〔2021•绵阳一模〕设数列{a n}的前n项和为S n，且〔t﹣1〕S n=2ta n﹣t﹣1〔其中t为常数，t＞0，且t≠1〕．〔I〕求证：数列{a n}为等比数列；〔II〕假设数列{a n}的公比q=f〔t〕，数列{b n}满足b1=a1，bn+1=f〔b n〕，求数列{}的通项公式；〔III〕设t=，对〔II〕中的数列{a n}，在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1之间插入k个〔k∈N*〕后，得到一个新的数列：a1，，a2，，，a3，，，，a4…，记此数列为{c n}．求数列{c n}的前50项之和．考点：数列递推式；等比关系确实定；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：〔Ⅰ〕利用数列递推式，再写一式，两式相减，即可证得数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列；〔Ⅱ〕确定数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，可求数列{}的通项公式；〔III〕确定数列{c n}为：1，﹣1，，2，2，，﹣3，﹣3，﹣3，，…，再分组求和，即可求得数列{c n}的前50项之和．解答：〔Ⅰ〕证明：由题设知〔t﹣1〕S1=2ta1﹣t﹣1，解得a1=1，由〔t﹣1〕S n=2ta n﹣t﹣1，得〔t﹣1〕S n+1=2ta n+1﹣t﹣1，两式相减得〔t﹣1〕a n+1=2ta n+1﹣2ta n，∴〔常数〕．∴数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列．…〔4分〕〔Ⅱ〕解：∵q=f 〔t〕=，b1=a1=1，b n+1= f 〔b n〕=，∴=+1，∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴．…〔8分〕〔III〕解：当t=时，由〔I〕知a n=，于是数列{c n}为：1，﹣1，，2，2，，﹣3，﹣3，﹣3，，…设数列{a n}的第k项是数列{c n}的第m k项，即a k=，当k≥2时，m k=k+[1+2+3+…+〔k﹣1〕]=，∴m9=﹣45．设S n表示数列{c n}的前n项和，那么S45=[1+++…+]+[﹣1+〔﹣1〕2×2×2+〔﹣1〕3×3×3+…+〔﹣1〕8×8×8]．∵1+++…+==2﹣，﹣1+〔﹣1〕2×2×2+〔﹣1〕3×3×3+…+〔﹣1〕8×8×8=﹣1+22﹣32+42﹣52+62﹣72+82 =〔2+1〕〔2﹣1〕+〔4+3〕〔4﹣3〕+〔6+5〕〔6﹣5〕+〔8+7〕〔8﹣7〕=3+7+11+15=36．∴S45=2﹣+36=38﹣．∴S50=S45+〔c46+c47+c48+c49+c50〕=38﹣+5×〔﹣1〕9×9=﹣7．即数列{c n}的前50项之和为﹣7．…〔12分〕点评：此题考查等比数列与等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．22．〔14分〕〔2021•绵阳一模〕函数f〔x〕=lnx﹣ax+1在x=2处的切线斜率为﹣．〔I〕求实数a的值及函数f〔x〕的单调区间；〔II〕设g〔x〕=kx+1，对∀x∈〔0，+∞〕，f〔x〕≤g〔x〕恒成立，求实数k的取值范围；〔III〕设b n=，证明：b1+b2+…+b n＜1+ln2〔n∈N*，n≥2〕．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：〔Ⅰ〕求导数，利用函数f〔x〕=lnx﹣ax+1在x=2处的切线斜率为﹣，可确定a的值，利用导数的正负，可得函数f〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕∀x∈〔0，+∞〕，f 〔x〕≤g〔x〕，即lnx﹣〔k+1〕x≤0恒成立，构造函数h〔x〕=lnx﹣〔k+1〕x，利用h〔x〕max≤0，即可求得k的取值范围；〔Ⅲ〕先证明当n≥2时，有ln〔n+1〕＜n，再利用放缩法，裂项法，即可证得结论．解答：〔Ⅰ〕解：由：〔x＞0〕，∵函数f〔x〕=lnx﹣ax+1在x=2处的切线斜率为﹣．∴，∴a=1．∴，当x∈〔0，1〕时，f′〔x〕＞0，f 〔x〕为增函数，当x∈〔1，+∞〕时，f′〔x〕＜0，f 〔x〕为减函数，∴f 〔x〕的单调递增区间为〔0，1〕，单调递减区间为〔1，+∞〕．…〔5分〕〔Ⅱ〕解：∀x∈〔0，+∞〕，f 〔x〕≤g〔x〕，即lnx﹣〔k+1〕x≤0恒成立，设h〔x〕=lnx﹣〔k+1〕x，有．①当k+1≤0，即k≤﹣1时，h′〔x〕＞0，此时h〔1〕=ln1﹣〔k+1〕≥0与h〔x〕≤0矛盾．②当k+1＞0，即k＞﹣1时，令h′〔x〕=0，解得，∴，h′〔x〕＞0，h〔x〕为增函数，，h′〔x〕＜0，h〔x〕为减函数，∴h〔x〕max=h〔〕=ln﹣1≤0，即ln〔k+1〕≥﹣1，解得k≥．综合k＞﹣1，知k≥．∴综上所述，k的取值范围为[，+∞〕．…〔10分〕〔Ⅲ〕证明：由〔Ⅰ〕知f 〔x〕在〔0，1〕上是增函数，在〔1，+∞〕上是减函数，∴f 〔x〕≤f 〔1〕=0，∴lnx≤x﹣1．当n=1时，b1=ln〔1+1〕=ln2，当n≥2时，有ln〔n+1〕＜n，∵b n=＜=＜=，∴b1+b2+…+b n＜b1+〔〕+…+〔〕=ln2+〔1﹣〕＜1+ln2．…〔14分〕点评：此题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2021届四川省绵阳市高中高三第一次诊断性模拟考试数学(文)试题Word版含答案
2021届四川省绵阳市高中高三第一次诊断性模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,0,1,2}A =-，集合{|2}x B y y ==，则A B =（ ）A ． {0,1}B ．{1,2}C ． {0,1,2}D ．(0,)+∞2.已知向量(1,2)a =，(,1)b x =，若a b ⊥，则x =（ ）A ．2B ． -2C ．1D ．-13.若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ）A ． 2425-B ．725-C ．1625D ． 854.若,a b R ∈，且||a b >，则（ ）A ．a b <-B ．a b > C. 22a b < D ．11a b> 5.已知命题0:p x R ∃∈，使得0lg cos 0x >；命题:0q x ∀<，30x >，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝ C. ()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∨6. 古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其意为：有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一月织了九匹三丈，问每天比前一天多织多少吃布？已知1匹=40尺，1丈=10尺，若一月按30天算，则每天织布的增加量为（ ）A ．12尺B ．815尺 C. 1629尺 D ． 1631尺 7.若函数1,0()lg ,0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，则不等式()10f x +<的解集是（ ）A．1(,)10-∞ B．1(,0)(0,)10-∞ C.1(0,)10D．1(1,0)(,)10-+∞8.已知1x>，1y>，且1lg,,lg4x y成等比数列，则xy有（）A．最小值10 B．最小值10 C. 最大值10 D．最大值109.已知点,,A B C在函数()3sin()(0)3f x xπωω=+>的图像上，如图，若AB BC⊥，则ω=（）A．1 B．π C.12D．2π10.若函数1()lnf x x ax bx=---在定义域上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．(,0]-∞ B．1(,]4-∞ C. [0)+∞ D．[1)+∞11.“a b e>>”是“ln lna b b a>”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要12.设函数2()2xf x x x e=+-的极大值是x，则（）A．1(,1)2x∈ B．3(1,)2x∈ C.1()(,2)4f x∈ D．()(2,3)f x∈第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知变量,x y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y=+的最大值是．14.若函数3()(1)1f x x t x=+--的图像在点(1,(1))f--处的切线平行于x轴，则t=．15. 已知函数()34sin1f x x x=+-，若()5f a-=，则()f a=．16.已知矩形ABCD 的边长2AB =，4AD =，点,P Q 分别在边,BC CD 上，且3PAQ π∠=，则AP AQ的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的公差大于0，且47a =，26114,2,a a a a -分别是等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n b 的前n 项和n S ，若39n S >，求n 的取值范围.18. 已知函数2())4cos 3f x x x π=-+，将函数()f x 的图像向右平移6π个单位，再向下平移2个单位，得到函数()g x 的图像.（1）求()g x 的解析式；（2）求()g x 在2[,]63ππ上的单调递减区间及值域.19. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.（1）求222b c a +的值； （2）若2a =，当角A 最大时，求ABC ∆的面积.20. 已知函数32()f x x ax bx c =+++，曲线()y f x =在0x =处的切线是450x y +-=，且23x =是函数()f x 的一个极值点.（1）求实数,,a b c 的值；（2）若函数()f x 在区间(6,)m m -上存在最大值，求实数m 的取值范围.21.已知函数()xf x e ax a =-+()a R ∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的方程()ln f x x =有唯一解0x ，且0(,1)x n n ∈+，*n N ∈，求n 的值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21|||()f x x x m m R =+--∈.（1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；（2）若关于x 的不等式()|3|f x x ≥-的解集包含[3,4]，求m 的取值范围.2021届四川省绵阳市高中高三第一次诊断性模拟考试数学（文）试题参考答案一、选择题1-5:BABCD 6-10:CBBAD 11、12：AC二、填空题13.7 14.-2 15.-7 16.32-三、解答题17.解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d （0d >）,由47=a ，得137+=a d ，○1又∵2a ，612-a a ，14a 是等比数列{}n b 的前三项，∴261214(2)-=a a a a ，即2111(5)()(13)-=++d a a d a d ，化简得12=d a ，○2联立○1○2解得11=a ，2=d .∴12(1)21=+-=-n a n n .（II ）∵123==b a ，26129=-=b a a ，31427==b a 是等比数列{}n b 的前三项， ∴等比数列{}n b 的公比为3，首项为3.∴等比数列{}n b 的前n 项和3(13)3(31)132--==-n n n S . 由39>n S ，得3(31)392->n ，化简得327>n ， 解得3>n ，*∈n N .18.解：（I ）2())4cos 3π=-+f x x xcoscos 2sin )2(1cos 2)33ππ=-++x x x32cos 22cos 2222=-++x x x12cos 222=++x x sin(2)26π=++x ， 由题意得()sin 2()2266ππ⎡⎤=-++-⎢⎥⎣⎦g x x ， 化简得()sin(2)6π=-g x x . （II ）由263ππ≤≤x ，可得72666πππ≤-≤x .当72266πππ≤-≤x 即233ππ≤≤x 时，函数()g x 单调递减. ∴()g x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减区间为2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ∵()g x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴max ()()sin 132ππ===g x g . 又2711()sin sin()sin ()sin 36662662πππππππ==+=-=-<==g g ， ∴1()12-≤≤g x ， 即()g x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 19.解：（I ）∵2sin 3tan =c B a A ，∴2sin cos 3sin =c B A a A ，由正弦定理得22cos 3=cb A a ， 由余弦定理得2222232+-=b c a cb a bc，化简得2224+=b c a ， ∴2224+=b c a. （II ）因为2=a ，由（I ）知222416+==b c a ，且由余弦定理得2226cos 2+-==b c a A bc bc， 即6cos bc A =，且(0,)2A π∈. 根据重要不对等式有222b c bc +≥，即8bc ≥，当且仅当b c =时，“=”成立，∴63cos 84A ≥=. ∴当角A 取最大值时，3cos 4A =，8bc =.∴ABC ∆的面积11sin 22S bc A ==⨯=20.（I ）2'()32f x x ax b =++.∵曲线()y f x =在点0x =处的切线为450x y +-=，∴切点为(0,5),'(0)4f =-即4b =.①由(0)5f =，得5c =. ∵23x =是函数()f x 的一个极值点， ∴24244'()32+039333a f a b b =⨯+⨯+=+=.② 联立①②得2a =，4b =-.∴2a =，4b =-，5c =.（II ）由（I ）得32()245f x x x x =+-+，则2'()344(32)(2)f x x x x x =+-=-+当'()0f x >时，2x <-或23x >； 当'()0f x <时，223x -<<. ∴()f x 在2x =-处取得极大值即(2)13f -=.由3224513x x x +-+=得322480x x x +--=，∴2(2)(2)0x x +-=即2x =-或2x =.要使函数()f x 在区间(6,)m m -上存在最大值，则622m m -<-<≤，即22m -<≤.21.解：（I ）'()x f x e a =-.当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在R 上单调递增；当0a >时，由'()0f x >解得ln x a >；由'()0f x <解得ln x a <， 综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减.（II ）由已知可得方程ln 0x x e ax a -+-=有唯一解0x ，且0(,1)x n n ∈+，*n N ∈. 设()ln xh x x e ax a =-+-（0x >），即()0h x =由唯一解0x ，0(,1)x n n ∈+，*n N ∈. 由1'()x h x e a x =-+，令1()'()x g x h x e a x==-+， 则21'()0x g x e x =--<， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递减，即'()h x 在(0,)+∞上单调递减. 又0x →时，'()h x →+∞；x →+∞时，'()h x →-∞， 故存在0(0,)x ∈+∞使得0001'()0x h x e a x =-+=. 当0(0,)x x ∈时，'()0h x >，()h x 在0(0,)x 上单调递增， 0(,)x x ∈+∞时，'()0h x <，()h x ()h x 在0(0,)x 上单调递减. 又()0h x =有唯一解，则必有0000()ln 0xh x x e ax a =-+-= 由0000010,ln 0,x x e a x x e ax a ⎧-+=⎪⎨⎪-+-=⎩消去a 得000001ln (1)()0x x x e x e x -+--=. 令11()ln (1)()ln 21x x x x x x e x e x e xe xxϕ=-+--=-++-， 则211'()2x x x x e e xe x xϕ=-++- 2211(1)(1)()x x x x e x e x x -=+-=-+. 故当(0,1)x ∈时，'()0x ϕ<，()h x 在(0,1)上单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，'()0x ϕ>，()h x 在(1,)+∞上单调递增. 由(1)0e ϕ=-<，1(2)ln 202ϕ=-+>， 即存在0(1,2)x ∈，使得0()0x ϕ=即0()0h x =.又关于x 的方程()ln f x x =有唯一解0x ，且0(,1)x n n ∈+，*n N ∈， ∴0(1,2)x ∈.故1n =.22.解：（I ）将2t y =代入32x t =+，整理得30x -=， 所以直线l的普通方程为30x -=.由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入24cos ρρθ=，得2240x y x +-=，即曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.（II ）设A ，B 的参数分别为1t ，2t .将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得221(32)()422t t +-+=，化简得230t +-=，由韦达定理得12t t +=于是1222p t t t +==-. 设00(,)P x y，则0093(,2241(2x y ⎧=+-=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩则9(,44P -. 所以点P 到原点O2. 23. 解：（I ）当12x ≤-时，()21(1)2f x x x x =--+-=--，由()2f x ≥解得4x ≤-，综合得4x ≤-； 当112x -<<时，()(21)(1)3f x x x x =++-=， 由()2f x ≥解得23x ≥，综合得213x ≤<； 当1x ≥时，()(21)(1)2f x x x x =+--=+，由()2f x ≥解得0x ≥，综合得1x ≥.所以()2f x ≥的解集是2(,4][,)3-∞-+∞.（II ）∵()|21||||3|f x x x m x =+--≥-的解集包含[3,4]， ∴当[3,4]x ∈时，|21||||3|x x m x +--≥-恒成立原式可变为21||3x x m x +--≥-，即||4x m x -≤+，∴44x x m x --≤-≤+即424m x -≤≤+在[3,4]x ∈上恒成立， 显然当3x =时，24x +取得最小值10，即m 的取值范围是[4,10]-.。
四川省绵阳市2021届高三数学一诊模拟考试试题 文
绵阳市“一诊”模拟考试试题数 学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，共4页，总分值150分，考试时刻120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．选择题答案利用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请依照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．维持卡面清洁，不折叠，不破损。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项符合题目要求的.1.已知全集R U =,集合{}{})2sin(,)13ln(+==-==x y y B x y x A ，那么()=B A C UA ．⎪⎭⎫⎝⎛∞+，31 B ．⎥⎦⎤⎝⎛310， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311， D ．φ 2.假设角α的终边在直线x y 2-=上，且0sin >α，那么αcos 和αtan 的值别离为A ．2,55-B ．21,55--C ．2,552--D ．2,55--3.设b a ，为平面向量，那么”“b a b a ⋅=⋅是”“b a //的A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件 4.已知等差数列{}n a ，且410712a a a +=-，那么数列{}n a 的前13项之和为A ．24B ．39C ．52D ．1045．已知O 是坐标原点，点()11，-A ，假设点()y x M ,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，那么OM OA ⋅的取值范围是A ．[]01，- B ．[]20， C ．[]10， D ．[]21，- 6.在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ,点P 在AM 上且知足PM AP 2=,那么()=+⋅PC PB AP [来源:]A ．94B ．34C ．34-D ．94-7.已知函数()πϕωϕω<>>+=,0,0)sin()(A x A x f 的图象与直线()A b b y <<=0的三个相邻交点的横坐标别离是842、、，那么)(x f 的单调递增区间为 A.[]()Z k k k ∈+34,4 B.[]()Z k k k ∈+36,6 C.[]()Z k k k ∈+54,4D.[]()Z k k k ∈+56,68.已知函数()y f x =是概念在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x '<-成立（其中()()f x f x '是的导函数），假设3(3)a f =，(1)b f =，2211(log )(log )44c f =则,,a b c 的大小关系是 A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．a c b >>9.设概念在R 上的偶函数)(x f 知足)1()1(+=-x f x f ，且当[]1,0∈x 时，3)(x x f =，假设方程)0(02cos)(<=--a a x x f π无解，那么实数a 的取值范围是A ．()2,-∞-B ．(]2,-∞-C ．(]1,-∞-D ．()1,-∞-10. 已知正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 别离为边AB ,DA 上的点，假设45PCQ ︒∠=，那么APQ ∆面积的最大值是A ．22-B ．322-C ．18D ．14第 Ⅱ 卷（非选择题，共100分） 填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.11.化简求值：431(22)lg lg 254+-=________．12.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图，不含端点)，那么f(f(13))＝_______.13.已知πααα≤≤=-0,51cos sin ，那么=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ22sin ________． 14.已知实数0,0>>b a ，且1=ab ，那么b a b a ++22的最小值为________．15.设R x ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数，称函数[]x x f =)(为高斯函数，也叫取整函数.现有以下四个命题：①高斯函数为概念域为R 的奇函数；②[][]”“y x ≥是”“y x ≥的必要不充分条件；③设xx g ⎪⎭⎫⎝⎛=21)(，那么函数[])()(x g x f =的值域为{}1,0； ④方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2141x x 的解集是{}51<≤x x .其中真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）三、解答题:本大题共6小题，共75分.解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤。
2021届绵阳一诊 文数(含答案)
绵阳市高中2018级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DCDAA ADBBC CD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-1 14．6 15．916 16．3(0]4，−三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ．∵ 31232315S a a a a =++==，得25a =．又217a a a ⋅=，得222()5a d a a d −⋅=+， ………………………………………3分 即5(5)55d d −=+，解得d =2．∴ 2(2)22+1n a a n n =+−⨯=． ………………………………………………6分（2）由题意得2122(21)24(21)n a n n n n b a n n +=+=++=⨯++， ……………8分 12(321)2(444)2n n n n T ++=++++ 28(41)23n n n −=++． ………………………………………………………12分 18．解：（1）π()sin()6f x x x =⋅+1cos )2x x x =+23sin cos x x x =31cos2sin 222x x +=π)6x =+． ………………………………………………4分由πππ2π22π262k x k −++≤≤(k ∈Z )， 可得ππππ36k x k −+≤≤(k ∈Z )， 即当x ∈ππ[ππ]36，k k −+(k ∈Z )时，函数()f x 单调递增， 同理可得当x ∈π2π[ππ]63，k k ++(k ∈Z )时，函数()f x 单调递减， 又π[0]2，x ∈， ∴ 函数)(x f 在π[0]6，上单调递增，)(x f 在ππ[]62，上单调递减． ……………8分（2）由题意得πππ())])463g x x x −+=−． ∵ π02≤≤x ，∴ ππ2π2333≤≤x −−，∴ π)[1]3x −∈，∴ 3()[2g x ∈−． …………………………………………………………12分 19．解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得πsin sin sin cos()6C A A C =−， ∵ 0πA << ∴sin 0A ≠，∴ π1sin cos()sin 62C C C C =−=+，即sin C C ，得tan C =∵0πC <<，∴ π3C =． ……………………………………………………………………6分（2）由题意得sin B ==． 在△ABC 中， 由正弦定理得sin 8sin AB B AC C⋅==． …………………………8分π1sin sin()sin 32A B B B =+=+=，∴ AB 边上的高sin h AC A =⋅=． ………………………………………12分20．解：（1）当x =0时，f (x )=0；当x >0时，f (x )=-f (-x )=22()11[1]1x x x x −++−+=−−； 综上，所述22110()00110，，，，，．x x x f x x x x x ⎧+−>⎪⎪⎪==⎨⎪+⎪+<⎪⎩…………………………………………5分（2）不等式f (x 2)+2af (x )≥-1恒成立， 等价于221112(1)1≥x a x x x +−++−−， 整理得211()22(1)0≥x a x x x +−++−，令 t =1x x+， 即222(1)0≥t a t −+−恒成立， …………………………………………………8分 ∵ x >0，于是t ≥2，∴ t -1≥0，于是2a ≥221(1)211t t t t −=−−+−−−， 令m =t -1≥1，1()2g m m m=−++， …………………………………………10分 显然()g m 在区间[1)，+∞上单调递减， ∴ max ()(1)2g m g ==．∴ 2a ≥2，即a ≥1． …………………………………………………………12分21．解：（1）)32(323)(2a x x ax x x f −=−='． 当0=a 时，2()30≥f x x '=，函数)(x f 在)(∞+−∞，上单调递增． …………2分 当0>a 时，由()0f x '>，得0<x 或32a x >． 由0)(<'x f ，得320a x <<． ∴函数)(x f 在(0)，−∞和2()3，a +∞上单调递增，在2(0)3，a 上单调递减． 当0<a 时，同理可得函数)(x f 在2()3，a −∞和(0)，+∞上单调递增， 在2(0)3，a 上单调递减． ………………………………………………………6分（2）由（1）可知，函数)(x f 的两个极值为a f 4)0(=和324()4327a f a a =−+， 由方程m x f =)(有三个不等实根等价于3044427，a a a m a >⎧⎪⎨−+<<⎪⎩或⎪⎩⎪⎨⎧+−<<<.4274403a a m a a ，…………………………………8分 令m a a a g −+−=4274)(3． 由方程m x f =)(有三个不相等实根时，)3()32()6(∞+−−∞∈，，， a ． 则在)6(−−∞，上0)(>a g ，且在)3()32(∞+，， 上0)(<a g 均恒成立，∴(6)80≥g m −=−，且(3)80≤g m =−，∴8=m ． ………………………………………………………………………10分 此时0]42)2()[2(84)(223=+−−+−=−+−=−a x a x x a ax x m x f ．因为方程m x f =)(有三个不相等实根，∴042)2(2=+−−+a x a x 有两个异于2的不等实根，∴22(2)4(24)022(2)240，，a a a a ⎧∆=−−−+>⎪⎨+−−+≠⎪⎩解得)3()32()6(∞+−−∞∈，，，a ． 综上，所述8=m ． ……………………………………………………………12分22．解：（1）设点()A ρθ，为圆上任一点，则OA ρ=，π6AOM θ∠=−， 在Rt △AOM中，π)6ρθ=−.∴ 圆C的极坐标方程为π)6ρθ=−，(π3−≤θ≤2π3).…………………5分 （2）圆C 左上半圆弧OM 的三等分点对应的极角分别1π3θ=，2π2θ=. 代入圆C 的极坐标方程中， ∴ 圆C 左上半圆弧OM 的三等分点分别为1π(6)3，P ，2π)2，P ．………10分23．解：（1）由已知条件可得，34213()4222142，≥，，，，≤．xf x x xx⎧⎪⎪⎪=−−<<⎨⎪⎪−−⎪⎩……………………3分作出函数图象如右图．……………………………5分（2）由（1）的图象可得，实数m满足532122m−<−<(或172122m−<+<)，解得35 44m−<<，∴实数m的取值范围为35()44，−．…………………………………………10分。
四川省绵阳市2021届高三数学第一次诊断性考试试题 文（含解析）(1)
四川省绵阳市2021届高三第一次诊断性考试数学（文）试题（解析版）第I 卷（选择题，共50分）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的骨干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，专门是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在尽力表现. 一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的4个选项中，只有一个符合题目要求的. 【题文】一、已知集合{}{},02,0122=--=≤-∈=x x x B x Z x A 则=⋂B A ( ) A.Φ B.{}1- C.{}0 D.{}2 【知识点】集合运算. A1【答案解析】B 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，因此=⋂B A {}1-，应选B. 【思路点拨】化简集合A 、B,从而求得A B ⋂. 【题文】二、命题"12),,0(">+∞∈∀xx 的否定是( )A."12),,0("00≤+∞∉∃x x B."12),,0("00≤+∞∈∃x xC."12),,0("≤+∞∉∀xx D."12),,0("<+∞∈∀xx 【知识点】含量词的命题的否定. A3【答案解析】B 解析：命题"12),,0(">+∞∈∀xx 的否定是"12),,0("00≤+∞∈∃x x ，应选B.【思路点拨】依照含一个量词的全称命题的否定方式写出结论.【题文】3、设各项均不为0的数列{}n a 知足)1(21≥=+n a a n n ，假设5422a a a =，那么=3a ( ) A.2 B.2 C.22 D.4 【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由)1(21≥=+n a a n n 知数列{}n a 是以2为公比的等比数列，因为5422a a a =，因此34111122a q a q a q a ⋅=⇒=，因此=3a 4，应选D.【思路点拨】由已知条件确信数列{}n a 是等比数列，再依照5422a a a =求得1a ，进而求3a . 【题文】4、如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，那么=⋅DB AD ( )A.3B.3-C.3D.-3 【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】D 解析：因为,AD AB BD AB BD =+⊥,因此=⋅DB AD ()203AB BD DB AB DB BD DB BD +⋅=⋅+⋅=-=-,应选 D.【思路点拨】利用向量加法的三角形法那么，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】五、已知53)4cos(=-x π，那么=x 2sin ( )A.2518B.2524±C.257-D.257 【知识点】二倍角公式；诱导公式. C6 C2 【答案解析】C 解析：因为53)4cos(=-x π，因此 27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即7cos 2sin 2225x x π⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，应选C.【思路点拨】利用二倍角公式求得cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭值，再用诱导公式求得sin2x 值. 【题文】六、已知y x 、知足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0330101y x y x y x ，那么y x -2的最大值为( )A.1B.2C.3D.4 【知识点】简单的线性计划. E5【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，应选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解. 【题文】7、在()π2,0内，使sin cosx x ≥成立的x 取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡47,4ππ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,4ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,0π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ2,474,0【知识点】三角函数不等式的解法. C1【答案解析】A 解析：当(]0,x π∈时，不等式为sinx ≥cosx ，解得,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； 当(),2x ππ∈时，不等式为-sinx ≥cosx 即sinx+cosx ≤0,解得7,4x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 综上得7,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，应选A. 【思路点拨】依照含绝对值的不等式的解法，通过讨论x 的取值范围，去掉绝对值，然后利用单位圆及三角函数线，确信结论.【题文】八、已知)(x f 的概念在()+∞,0的函数，对任意两个不相等的正数21,x x ，都有0)()(212112<--x x x f x x f x ，记5log )5(log ,2.0)2.0(,2)2(22222.02.0f c f b f a ===，那么( ) A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a b c << 【知识点】函数的单调性. B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数21,x x ，都有0)()(212112<--x x x f x x f x ，即对任意两个不相等的正数21,x x ，都有21121212121212()()()()0x f x x f x f x f x x x x x x x x x --=<--，因此函数()()f x h x x =是()+∞,0上的减函数，因为20.220.22log 5<<，因此b>a>c,应选C.【思路点拨】构造函数()()f x h x x=，依照条件能够判定它是()+∞,0上的减函数，由此能够判定a,b,c 的大小关系.【题文】九、记函数212131)(23+-=x x x f 在()+∞,0的值域a x x g M ++=2)1()(,在()+∞∞-,的值域为N ，假设M N ⊆,那么实数a 的取值范围是( ) A.21≥a B.21≤a C.31≥a D.31≤a【知识点】函数的值域；集合关系. A1 B1【答案解析】C 解析：因为2()f x x x '=-，由()()()0,01,;f x x '>⇒∈-∞+∞由()()00,1f x x '<⇒∈，因此函数f(x)在（0,1）上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因此M=1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,又N=[),a +∞，因此假设M N ⊆,那么实数a 的取值范围是31≥a ，应选C. 【思路点拨】利用导数求出函数f(x)在()+∞,0的值域M ，再求出函数g(x)的值域N,进而利用M N ⊆求得a 范围.【题文】10、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=0)1,0(log 0,1)2sin()(x a a x x x x f a ，且π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，那么实数a 的取值范围是A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛55,0 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,55 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,33 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0 【知识点】函数的图像. B8【答案解析】A 解析：只需函数log ()(01),0a y x a x =-<<<与函数sin 1,02y x x π⎛⎫=-<⎪⎝⎭至少有3个交点，因此2log 52log a a a ->-=，因此2555a a ->⇒-<<，从而0,5a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，应选A. 【思路点拨】问题转化为函数log ()(01),0a y x a x =-<<<与函数sin 1,02y x x π⎛⎫=-<⎪⎝⎭至少有3个交点，由图像可知只需2log 52log a a a ->-=，解得a ⎛∈ ⎝⎭.第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题5小题，每题5分，共25分. 【题文】1一、假设1tan ,3α=-则ααααcos sin 2cos 2sin 3-+= . 【知识点】已知三角函数值求三角函数式的值. C7【答案解析】35- 解析：因为1tan ,3α=-因此ααααcos sin 2cos 2sin 3-+3sin 2cos 3tan 2123cos 2sin cos 22tan 151cos 3αααααααα++-+====-----.【思路点拨】把所求化成关于正切的式子求解.【题文】1二、已知向量)0,2(),2,1(==b a ，假设b a +λ与向量)2,1(-=c 共线，那么实数=λ . 【知识点】向量共线的意义. F1【答案解析】-1 解析：因为)0,2(),2,1(==b a ，因此b a +λ=()2,2λλ+，又b a +λ与)2,1(-=共线，因此()2221λλλ-+=⇒=-.【思路点拨】依照向量的坐标运算求得b a +λ的坐标，再由b a +λ与向量)2,1(-=c 共线得关于λ的方程，解此方程即可.【题文】13、已知函数)('x f 是函数)(x f 的导函数，)0('2sin )(xf x x f +=，那么=)2('πf .【知识点】导数及其运算. B11【答案解析】-2 解析：因为)0('2sin )(xf x x f +=，因此()cos 2(0)(0)cos02(0)(0)1f x x f f f f '''''=+⇒=+⇒=-，因此()cos 2f x x '=-因此=)2('πf -2.【思路点拨】先对函数)0('2sin )(xf x x f +=求导，取得(0)f '的值，进而求出()2f π'.【题文】14、已知函数1223)(--=x x x f ，那么=+⋯+++)1110()113()112()111(f f f f . 【知识点】函数性质求函数值. B1 【答案解析】15 解析：因为1223)(--=x x x f ，因此()()()31231121121x x f x x x ----==---， 因此()(1)3f x f x +-=，因此所求=310152⨯= 【思路点拨】能够发觉()(1)3f x f x +-=，因此采纳倒序相加法求解.【题文】1五、概念：若是函数)(x f y =在概念域内给定区间[]b a ,上存在)(00b x a x <<，知足ab a f b f x f --=)()()(0，那么称函数)(x f y =是[]b a ,上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点.例如x y =是[]2,2-上的平均值函数，0确实是它的均值点，假设函数1)(2--=mx x x f 是[]1,1-上的“平均值函数”，那么实数m 的取值范围是 .【知识点】函数中的新概念问题. B1【答案解析】(0，2) 解析：因为函数1)(2--=mx x x f 是[]1,1-上的“平均值函数”，因此存在0x )11(，-∈使21020m m mx x --=--得，1)1(10020+=⇒-=-x m m x x ， 又0x )11(，-∈因此实数m 的取值范围是)20(，∈m ．【思路点拨】依照平均值函数”的概念写出m 关于0x 的函数，求此函数在（-1，1）上的值域即可. 三、解答题：本大题共6小时，共75分，解许诺写出文字说明，证明进程和演算步骤.【题文】1六、（本小题总分值12分）已知向量)cos ,(cos ),cos ,(sin wx wx n wx wx m ==，其中0>w 函数12)(-⋅=n m x f 的最小正周期为π.（1）求w 的值. （2）求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ上的最大值. 【知识点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值. F2 C7 【答案解析】(1) 1=ω(2)213+ 解析：(1)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22-+⋅=x x x ωωω =)42sin(22cos 2sin πωωω+=+x x x ． ………………6分由题意知：π=T ，即πωπ=22，解得1=ω．……………………7分 (2) 由(Ⅰ)知)42sin(2)(π+=x x f ，∵6π≤x ≤4π，得127π≤42π+x ≤43π，又函数y =sin x 在[127π，43π]上是减函数，∴ )34sin(2127sin2)(max πππ+==x f …………………………10分 =213+．…………………………………………………12分 【思路点拨】由向量的坐标运算能够列出关系式，求出ϖ的值，再依照解析式在概念域内求出函数的最大值. 【题文】17、（本小题总分值12分）已知函数1)2(log )(2-+-=t t t f 的概念域为D（1）求D ；（2）假设函数222)(m mx x x g -+=在D 上存在最小值2，求实数m 的值. 【知识点】函数的概念域;二次函数的最值. B1 B5【答案解析】(1) )21[，=D (2) 1=m 解析：(1) 由题知⎩⎨⎧≥->-，，0102t t 解得21<≤t ，即)21[，=D ．……………3分(2) g (x )=x 2+2mx -m 2=222)(m m x -+，此二次函数对称轴为m x -=．……4分 ① 假设m -≥2，即m ≤-2时， g (x )在)21[，上单调递减，不存在最小值；②若21<-<m ，即12-<<-m 时， g (x )在)1[m -，上单调递减，]2(，m -上递增， 现在22)()(2min ≠-=-=m m g x g ，现在m 值不存在； ③m -≤1即m ≥-1时， g (x )在)21[，上单调递增，现在221)1()(2min =-+==m m g x g ，解得m =1． ………………11分 综上：1=m ． ………………………………………………12分【思路点拨】由解析式成立的条件能够取得函数的概念域，再依照二次函数的性质求出m.【题文】1八、（本小题总分值12分）在ABC ∆中，c b a ,,别离是内角C B A ,,的对边，AB=5,51=∠ABC COS . （1）假设BC=4,求ABC ∆的面积ABC S ∆； （2）假设D 是边AC 的中点，且27=BD ，求边BC 的长. 【知识点】同角三角函数关系；三角形面积公式;余弦定理. C2 C8 【答案解析】(I) 46ABC S ∆= (II) 4=CB . 解析：(1) 51cos 5=∠=ABC AB ，，4BC =，又(0,)ABC π∠∈， 因此562cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC ， ∴645624521sin 21=⨯⨯⨯=∠⋅⋅=∆ABC BC BA S ABC ．…………6分 (2) 以BC BA ，为邻边作如下图的平行四边形ABCE ， 如图，则51cos cos -=∠-=∠ABC BCE ，BE =2BD =7，CE =AB =5，BCDE在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 2222． 即)51(5225492-⨯⨯⨯-+=CB CB ，解得：4=CB ． ……………………………………10分【思路点拨】(1)利用同角三角函数关系求ABC ∠正弦值，再用三角形面积公式求得结论；（2）构造以BC BA ，为邻边作如下图的平行四边形ABCE ，在三角形BCE 中利用余弦定理求出边BC 长.【题文】1九、（本小题总分值12分）记公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为8533,,,9,a a a S S n =成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和n S ；（2）假设，⋯=+=3,2,1,2n a n c n n λ问是不是存在实数λ，使得数列{}n c 为单调递增数列？假设存在，请求出λ的取值范围，假设不存在，请说明理由.【知识点】等差数列及其前n 项和；等比数列；单调递增数列的条件. D1 D2 D3【答案解析】(1)1+=n a n ，2322n n S n =+；（2）存在实数λ，且3->λ. 解析：(1) 由832539a a a S ⋅==，，得：⎪⎩⎪⎨⎧+⋅+=+=⨯+，，)7()2()4(9223311211d a d a d a d a 解得：121==d a ，．∴ 1+=n a n ，n n n n S n 2322)12(2+=++=． …………………………………5分(2) 由题知=n c )1(2++n n λ． ………………………………………………6分 假设使}{n c 为单调递增数列，则=-+n n c c 1-+++)2()1(2n n λ)]1([2++n n λ =012>++λn 对一切n ∈N *恒成立， 即： 12-->n λ对一切n ∈N *恒成立， ………………………………… 10分 又12)(--=n n ϕ是单调递减的, ∴ 当1=n 时，max )(n ϕ=-3，∴ 3->λ． …………………………………………………………………12分【思路点拨】(1)依照已知条件可求出等差数列的首项与公差，从而求得n a 和n S ；（2）假设数列{}n c 为单调递增数列，那么=-+n n c c 1012>++λn 对一切n ∈N *恒成立，即： 12-->n λ对一切n ∈N *恒成立，由此得λ的取值范围.【题文】20、（本小题总分值13分）已知函数e ax e x f x (1)(--=为自然对数的底数），0>a （1）假设函数)(x f 恰有一个零点，证明：1-=a aea（2）假设0)(≥x f 对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值集合. 【知识点】导数的应用. B12【答案解析】(1)观点析；（2）a 的取值集合为{1}.解析：(1)证明： 由1)(--=ax e x f x ，得a e x f x -=')(．…………………………1分 由)(x f '>0，即a e x ->0，解得x >ln a ，同理由)(x f '<0解得x <ln a ， ∴ )(x f 在(-∞，ln a )上是减函数，在(ln a ，+∞)上是增函数， 于是)(x f 在a x ln =取得最小值．又∵ 函数)(x f 恰有一个零点，那么0)(ln )(min ==a f x f ， ………………… 4分 即01ln ln =--a a e a ．………………………………………………………… 5分化简得：1ln 1ln 01ln -=-==--a a a a a a a a a 于是，即，， ∴ 1-=a a e a ． ………………………………………………………………… 6分 (2)解：由(Ⅰ)知，)(x f 在a x ln =取得最小值)(ln a f ，由题意得)(ln a f ≥0，即1ln --a a a ≥0，……………………………………8分 令1ln )(--=a a a a h ，那么a a h ln )(-='， 由0)(>'a h 可得0<a <1，由0)(<'a h 可得a >1．∴ )(a h 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(max ==h a h ， ∴ 当0<a <1或a >1时，h (a )<0，∴ 要使得)(x f ≥0对任意x ∈R 恒成立，.1=a ∴a 的取值集合为{1}………13分【思路点拨】依照函数的导数可判定函数的单调性,由此得函数f(x)只有一个最小值，因为函数)(x f 恰有一个零点，因此此最小值是0，从而证得结论；（1）0)(≥x f 对任意R x ∈恒成立，即函数f(x)的最小值大于或等于0，由此得关于a 的不等式，再利用导数求得结论. 【题文】2一、（本小题总分值14分）已知函数),(ln 2)(2R b a x bx x a x f ∈+-=. （1）假设1==b a ，求)(x f 点())1(,1f 处的切线方程；（2）设0≤a ，求)(x f 的单调区间；（3）设0<a ，且对任意的)2()(,0f x f x ≤>，试比较)ln(a -与b 2-的大小 【知识点】导数的几何意义；导数的应用；数值大小的比较. B11 B12 E1【答案解析】(1) 2230x y --=；（2）当a =0，b ≤0时，函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，；当a =0，b >0时，函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b 1，+∞)；当0<a 时，函数)(x f 的单增区间是(0，a a b b 242--)，单减区间是(aab b 242--，+∞)．（3）ln()2a b -<-.解析：(1) 1==b a 时，x x x x f ln 21)(2+-=，xx x f 11)(+-='， ∴21)1(-=f ，1)1(='=f k ，…………………………………………2分 故)(x f 点()1(1f ，)处的切线方程是2230x y --=．……………3分(2)由()()∞+∈+-=，，0ln 22x x bx x a x f ，得x bx ax x f 1)(2+-='． (1)当0=a 时，xbxx f -='1)(． ①假设b ≤0，由0>x 知0)(>'x f 恒成立，即函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，．………5分 ②假设0>b ， 当bx 10<<时，0)(>'x f ；当b x 1>时，0)(<'x f ．即函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b1，+∞)．…………7分 (2) 当0<a 时，0)(='x f ，得012=+-bx ax ，由042>-=∆a b 得aa b b x a a b b x 24242221--=-+=，．显然，0021><x x ，，当20x x <<时，0)(>'x f ，函数)(x f 的单调递增， 当2x x >时，0)(<'x f ，函数)(x f 的单调递减，因此函数)(x f 的单调递增区间是(0，aab b 242--)，单调递减区间是(aa b b 242--，+∞)．……9分 综上所述：当a =0，b ≤0时，函数)(x f 的单调递增区间是)0(∞+，；当a =0，b >0时，函数)(x f 的单调递增区间是(0，b 1)，单调递减区间是(b1，+∞)； 当0<a 时，函数)(x f 的单增区间是(0，a a b b 242--)，单减区间是(aa b b 242--，+∞)． 10分 (3)由题意知函数)(x f 在2=x 处取得最大值．由(2)知，aa b b 242--是)(x f 的唯一的极大值点， 故aa b b 242--=2，整理得a b 412--=-． 于是ln()(2)ln()(14)ln()14a b a a a a ---=----=-++令()ln 14(0)g x x x x =+->，那么1()4g x x '=-． 令0)(='x g ，得14x =，当1(0)4x ∈，时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增； 当1()4x ∈+∞，时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减． 因此对任意0x >，)(x g ≤11()ln 044g =<，又0a ->， 故()0g a -<，即041)ln(<++-a a ，即ln()142a a b -<--=-，∴ ln()2a b -<-．……………………………………………………………14分【思路点拨】（1）利用导数的几何意义)(x f 点())1(,1f 处的切线方程；（2）通过讨论a,b 的取值条件，得概念域上函数f(x)的导函数大于0或小于0的x 范围，确实是函数f(x)的增区间或减区间；（3）因为对任意的)2()(,0f x f x ≤>，因此函数)(x f 在2=x 处取得最大值．由(2)知，0<a 时，a a b b 242--是)(x f 的唯一的极大值点，故aa b b 242--=2，整理得a b 412--=-．因此ln()(2)a b ---=ln()41a a -++，利用导数判定那个式子的符号即可.。