专题十六 黄金分割比
黄金分割公式和计算
黄金分割公式和计算嘿，说起黄金分割，这可是个相当有趣又神秘的数学概念呢！咱们先来讲讲黄金分割到底是啥。
简单说，就是把一条线段分成两部分，较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值。
这个比值约等于 0.618，这就是神奇的黄金分割比例。
那黄金分割公式是怎么来的呢？假设整条线段的长度是 a，较长部分的长度是 x，较短部分的长度就是 a - x 。
按照黄金分割的定义，就有 x / a = (a - x) / x 。
经过一番推导和计算，就能得出黄金分割的公式啦。
给您举个例子哈，比如说有一个长方形，咱想让它看起来符合黄金分割的美感。
假设这个长方形的长是 a，宽是 b ，要是满足 b / a =0.618 ，那这个长方形看起来就会特别舒服、顺眼。
我记得有一次去参观一个艺术展览，里面有好多画作和雕塑。
其中有一幅画，它的构图就巧妙地运用了黄金分割。
画面中主体部分的位置和大小，与整个画面的比例刚好接近黄金分割比例。
当时我就站在那幅画前，仔仔细细地观察，越看越觉得那种比例的安排简直太妙了。
整幅画的重心恰到好处，元素的分布既平衡又富有动感，让人的视线不自觉地就被吸引住，而且停留很久都不觉得腻。
再来说说在建筑中的黄金分割。
有些著名的建筑，比如古希腊的帕特农神庙，它的很多尺寸比例都接近黄金分割。
还有巴黎的埃菲尔铁塔，从某些角度去看，它的结构比例也蕴含着黄金分割的奥秘。
咱们在日常生活中也能发现黄金分割的影子。
比如拍照的时候，把主要的景物放在画面大约 0.618 的位置，拍出来的照片往往会更好看。
计算黄金分割也不难。
如果已知线段的长度是 10 厘米，要求出黄金分割点的位置，那就可以设较长部分的长度是 x 厘米，根据公式就有 x / 10 = (10 - x) / x ，通过解方程就能算出 x 的值啦。
总之，黄金分割这个概念虽然听起来有点神秘，但其实就在咱们身边，而且通过简单的公式和计算，咱们就能发现和运用它带来的美妙和神奇。
黄金比例中考知识点归纳
黄金比例中考知识点归纳黄金比例，也被称为黄金分割比例或黄金分割率，是一个在数学、艺术、建筑以及自然界中广泛存在的特殊比例。
它大约等于1.618，通常用希腊字母φ（Phi）表示。
黄金比例在中考数学中是一个重要的知识点，以下是对黄金比例的中考知识点归纳：1. 黄金比例的定义：将一条线段分割为两部分，使得整个线段与较长部分的比等于较长部分与较短部分的比，这个比值就是黄金比例。
2. 黄金比例的数学表达：设线段AB被点C分割成两部分AC和BC，若满足AB/AC = AC/BC = (AC + BC)/AB = φ，那么φ就是黄金比例。
3. 黄金比例的数值：黄金比例φ的数值约为1.6180339887...，可以通过公式(1 + √5) / 2来计算。
4. 黄金比例的几何构造：可以通过一个正方形的内切五边形来构造黄金比例，或者通过连续的正方形和等边三角形的叠加来构造。
5. 黄金比例的性质：黄金比例具有自相似性，即一个黄金矩形的长宽比是黄金比例时，其内部的矩形也满足这一比例。
6. 黄金比例在艺术和建筑中的应用：许多著名的艺术作品和建筑都采用了黄金比例，如达芬奇的《蒙娜丽莎》、帕台农神庙等。
7. 黄金比例在自然界中的体现：黄金比例在自然界中也广泛存在，如植物的螺旋排列、动物的体型比例等。
8. 黄金比例的计算方法：在中考数学中，可能会涉及到黄金比例的计算，包括黄金矩形的面积和周长的计算，以及通过黄金比例解决一些几何问题。
9. 黄金比例的证明：在数学证明中，黄金比例可以通过代数和几何方法进行证明，例如利用相似三角形的性质或勾股定理。
10. 黄金比例的拓展：黄金比例还可以拓展到黄金三角形、黄金螺旋等概念，这些在中考中可能作为拓展知识点出现。
结束语：黄金比例不仅是数学中的一个有趣现象，也是连接科学、艺术和自然的桥梁。
掌握黄金比例的相关知识，不仅有助于理解数学中的美，也能提高解决实际问题的能力。
黄金分割线段比例公式
黄金分割线段比例公式
黄金分割线段比例公式是一种数学概念，被广泛应用于艺术、建筑和设计等领域。
它是指当一条线段被分成两部分时，较长部分与整条线段的比例等于较短部分与较长部分的比例。
这个比例近似为1.618。
黄金分割线段比例公式的应用广泛而深入人心。
在建筑设计中，许多建筑师使用黄金分割比例来确定建筑物各个部分的尺寸和比例，以达到更加和谐和美观的效果。
在艺术领域，黄金分割比例也被广泛运用于绘画、雕塑和摄影等艺术作品中，帮助艺术家创造出更加吸引人的作品。
除了艺术和建筑领域，黄金分割比例还在设计和排版等领域发挥着重要作用。
在平面设计中，设计师可以使用黄金分割比例来确定文字和图片的位置和大小，以达到更好的视觉效果。
在排版设计中，黄金分割比例也可以帮助设计师确定页面的布局和字体大小，使整个设计更加平衡和美观。
黄金分割线段比例公式的应用不仅局限于艺术和设计领域，还可以在生活中的许多方面找到它的影子。
例如，黄金分割比例也被应用于金融领域，用于分析股票和市场的走势。
此外，黄金分割比例还可以用于生物学研究中，帮助科学家研究生物体的形态和结构。
黄金分割线段比例公式是一种非常重要且有广泛应用的数学概念。
它在艺术、建筑、设计和其他领域中都发挥着重要作用，帮助人们创造出更加美丽和和谐的作品。
无论是在艺术创作中，还是在生活中的各个方面，黄金分割比例都是一个有趣而有用的概念，值得我们深入了解和应用。
九年级数学黄金分割知识点
黄金分割（Golden Ratio）是指一个数与其倒数之和等于1的比例关系，即a与1/a的比值等于1、黄金分割在数学、艺术和自然科学中都有广泛应用。
下面是关于黄金分割的九年级数学知识点的详细介绍。
1.黄金分割的定义：黄金分割是指一个数与其倒数之和等于1的比例关系。
用数学符号表示为a+1/a=1、解这个方程可以得到黄金分割的值，约为1.6182.黄金分割的性质：-黄金分割具有对称性：即a+1/a=1，所以a的倒数也是它的黄金分割点。
-黄金分割点的平方等于黄金分割点加1，即a²=a+1-黄金分割点与1的比值等于黄金分割点减1与1的比值，即a/1=(a-1)/a。
-黄金分割点与1的差与黄金分割点的比值等于1与黄金分割点的比值，即a-1/a=1/a。
3.黄金分割的几何应用：-黄金矩形：在一个长宽比例为黄金分割的矩形中，可以将矩形不断分割为一个正方形和一个长宽比例仍为黄金分割的矩形。
这种分割方式可以无限进行下去。
-黄金三角形：在一个等腰三角形中，底边与等腰边的比例为黄金分割。
黄金三角形有一些独特的几何性质，如旋转、平移和缩放等操作都能保持黄金三角形的形状。
4.黄金分割的代数应用：-黄金分割的计算：利用黄金分割的定义，可以解出黄金分割的值。
这可以通过求解二次方程a²-a-1=0来实现。
-黄金比例的性质：黄金分割可以满足一些特殊的性质，如将一条线段分割为黄金分割点后，两个线段的比值等于原线段与较短线段的比值，也等于较长线段与原线段的比值。
这个比例具有稳定性，无论线段的长度如何变化，比值都保持不变。
-黄金分割的近似值：黄金分割可以用连分数或迭代法来逼近其值。
连分数是一种无限循环小数的表示方法，可以得到黄金分割的连分数表示为1+1/(1+1/(1+1/(1+...)))。
5.黄金分割的艺术应用：-黄金比例在绘画和建筑艺术中被广泛应用。
很多伟大的艺术家和建筑师使用黄金分割来构图和设计。
黄金分割可以使作品更加和谐、对称和美观。
黄金分割比
作用
美学
音乐
因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感， 在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞 台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。就连植物界也 有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多 科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方 和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵 地称它为"黄金分割"。
谢谢观看
举例
一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形。五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家 的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。 正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
由于五角星的顶角是36度，这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18。
定义
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现： 0.618/1=0.618 (1-0.618)/0.618=0.618
原理
让我们首先从一个数列开始，它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个 数列的名字叫做"菲波那契数列"，这些数被称为"菲波那契数"。特点是即除前两个数（数值为1）之外，每个数 都是它前面两个数之和。
黄金分割比
公元前4世纪建立起比例理论
常见的黄金分割率
常见的黄金分割率
黄金分割率是一种常见的比例关系，约等于1:0.618。
它通常用于艺术、音乐、建
筑等领域，以创造和谐、平衡和美感。
在数学中，黄金分割率可以用以下的公式来表示：
(√5 - 1) / 2 ≈ 0.618
因此，黄金分割率可以用分数表示为(5 - 1) / 2，或者小数表示为约等于0.618。
这个比例关系之所以被称为黄金分割，是因为它具有一些特殊的性质，使得它在许多领域中都表现出了优越的美学效果。
黄金分割率在很多领域都有应用，下面列举一些常见的例子：
1.艺术和设计：黄金分割率被广泛用于艺术和设计领域，如绘画、摄影、雕
塑和建筑设计等。
艺术家和设计师利用黄金分割率创造的和谐、平衡和美
感，使得作品更具吸引力和表现力。
2.音乐：黄金分割率在音乐中也有应用，如音符的排列、和弦的构造和乐曲
的结构等。
黄金分割率使得音乐作品更加和谐、动听。
3.建筑：黄金分割率在建筑设计中也有广泛应用，如窗户、门洞和柱子的比
例等。
利用黄金分割率可以创造出更加和谐、平衡和美观的建筑。
4.自然界：黄金分割率在自然界中也有很多应用，如植物的生长方式、花朵
的排列方式和动物的体态比例等。
这些自然现象中蕴含着黄金分割率的美
丽和和谐。
5.商业和品牌：黄金分割率在商业和品牌设计中也有应用，如广告、包装和
标志设计等。
利用黄金分割率可以创造出更具吸引力和记忆力的品牌形
象。
总之，黄金分割率是一种广泛应用于各个领域的比例关系，具有美学上的优越性和广泛应用价值。
黄金分割比的比例关系
黄金分割比的比例关系哎，今天咱们聊聊黄金分割比，听起来是不是有点高大上？但其实它就像一块美味的蛋糕，切得好，分得巧，大家都开心。
你知道吗，黄金分割比在数学上是个神奇的东西，通常用希腊字母“φ”（读作“phi”）来表示，大约是1.618。
这数字听着也挺玄乎，其实就是把一个东西分成两部分，长的一部分和短的一部分之比，跟整个东西的比值相同。
简单来说，就是美和和谐的代名词，真是太有意思了。
说到这里，很多人可能会想，这跟我有什么关系呢？其实大有关系！想想你身边的那些美丽的东西，比如说一幅画，一朵花，甚至一个人的脸，都是在潜移默化中遵循着这个黄金比例。
比如说，古希腊的帕台农神庙，听说设计师可是个讲究的人，特意让这座建筑的比例接近黄金分割。
走在那儿，感觉就像被美的光辉笼罩，真是心旷神怡啊。
再说说大自然，嘿，真是个魔法师。
你知道吗，很多花瓣的排列、树枝的生长，甚至人类的身体比例，都是在遵循这个黄金分割的法则。
比如，向日葵的种子排布，简直就像是在跳舞，优雅而有序。
这时候你可能会想，难道大自然也在跟我们说：看，黄金分割就是我的秘密武器！每当我看到这样的景象，心里总是忍不住感叹，大自然的创造力真是无与伦比。
再想想，咱们平时的生活中，谁说黄金分割比只能在艺术和建筑里找得到？看看你的手机，嘿，屏幕的比例也是经过精心设计的。
那种纤细而又不失大气的感觉，正是因为黄金比例的加持。
用起来，手感倍儿好，简直就像是在和设计师打招呼：“嘿，真不错啊！”哎，朋友们，咱们聊得这么开心，听说黄金分割比还有个“调皮”的地方。
它不仅仅是数字和比例，更是一种理念。
它教我们在生活中寻找平衡。
别老想着极端，生活需要点黄金分割的智慧。
就像做菜一样，盐放多了太咸，放少了又淡，正合适才好。
有人说，生活就是一场调味，调得好，吃得香，调得不好，哭都来不及。
有时候我在想，生活中的那些烦心事，其实也能用黄金分割比来解决。
比如，工作和休息的平衡，认真工作是必须的，但偶尔放松放松，享受一下生活，也是不能少的。
黄金分割的公式和计算
黄金分割的公式和计算嘿，说起黄金分割，这可是个挺有趣的数学概念。
咱们先来讲讲黄金分割的公式。
简单来说，黄金分割点是把一条线段分割为两部分，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值。
这个比值约为 0.618 。
如果设线段的全长为 1 ，较长段为 x ，那公式就是：x / 1 = ( 1 - x ) / x ，通过解方程就能得到 x 约等于 0.618 。
那在实际计算中怎么用呢？我给您举个例子哈。
比如说，有一幅画，您想把它的上下比例弄得好看，符合黄金分割。
假设这画的高度是 100 厘米，那按照黄金分割，上面部分大约就是 38.2 厘米，下面部分大约就是 61.8 厘米，这样看起来就会更舒服、更美观。
再比如说，建筑师在设计建筑的时候，也会用到黄金分割。
像有些高楼大厦，从整体的外观比例，到窗户的分布，都可能藏着黄金分割的影子。
我之前去参观过一个新建成的图书馆，那建筑的外观比例简直绝了。
从远处看，整个大楼的高度和宽度之间，就像是被一只神奇的手按照黄金分割的比例塑造出来的。
走近一看，每一层楼窗户的分布，还有大门和整个建筑立面的比例，都有着黄金分割的韵味。
当时我就感叹，这设计师真是把黄金分割运用得炉火纯青，让这栋建筑不仅仅是一个实用的场所，更是一件精美的艺术品。
还有啊，在摄影中也能用到黄金分割。
您拍照的时候，如果把主体放在画面大约 0.618 的位置，照片往往会更有吸引力。
有一次我和朋友出去旅游，看到一处特别美的风景，我就想拍下来。
一开始怎么拍都觉得差点意思，后来我突然想到黄金分割，调整了拍摄的构图，把那最吸引人的部分放在了画面的黄金分割点上，哇，拍出来的效果就是不一样，朋友看了都赞不绝口。
在日常生活中，咱们的衣服设计、家具的尺寸比例等等，都可能会用到黄金分割。
就连一些音乐的节奏和旋律，有时候也会遵循黄金分割的规律，给人一种特别和谐、美妙的感觉。
所以说啊，黄金分割这东西，虽然听起来有点神秘，但其实就在咱们身边，影响着咱们生活的方方面面。
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专题十六 黄金分割比
1、宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形，若一黄金矩形的长为2cm ，则其宽
为________cm ．
2、黄金比的近似值为___________，准确值为____________ 。
3、顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图1，
△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金三角形，已知AB=1，
则DE=____________________．
4、顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图2，
五边形ABCDE 的5条边相等，5个内角相等，则图中
共有黄金三角形的个数是（ ）
A ．25
B ．10
C ．15
D ．20
5、如图3，扇子的圆心角为x °，余下的扇形的圆心角
为y °，x 与y 的比通常按黄金比为设计，这样的扇
子外形较美观，若取黄金比为0.6，则x 为（ ）
A ．216
B ．135
C ．120
D ．108
6、从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．
某女老师上身长约61.80cm ，下身长约93.00cm ，她要穿约___________cm 的
图 1 图 2 图3
7、宽与长的比是2
15-的矩形叫黄金矩形．心理测试表明： 黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．
现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归
纳如下（如图4所示）：
第一步：作一个正方形ABCD ；
第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；
第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ；
第四步：过E 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ． 请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形．
8、如图5，在△ABC 中，点D 在边AB 上，且DB=DC=AC ，已知∠ACE=108°，BC=2．
（1）求∠B 的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比
（或者底边长与腰长的比）等于黄金比2
15-． ①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD 的长；
③在直线AB 或BC 上是否存在点P （点A 、B 除外），
使△PDC 是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P ，
简要说明画出点P 的方法（不要求证明）；若不存在，
说明理由．
图 4 图5。