第1章 复数和复变函数PPT课件
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复数与复变函数第一章-复数与复变函数PPT课件
xrcosq, yrsinq,
q q 复数z=x+yi 可表示为 z r (c o s is in),称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiqcosqisin q,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
例1.3 将 z 122i化为三角表示式与指数表示式.
5
解： 显然, r = | z | = 1, 又
sin
5
cos
2
5
cos 3 ,
10
cos
5
sin
2
5
sin 3
10
.
因此 zcos3isin3ei130
10
10
当 z 0时, ArgzArgz. 当 z reiq 时, z reiq .
共轭复数的几何性质
一对共轭复数z和 z 在 复平面的位置是关于 实轴对称的.
由此引出方根的概念。
二、复数的乘幂与方根
2. 复数的方根 复数求方根是复数乘幂的逆运算。
定义 设 z是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 wn z的 复数 w ，称为把复数 z开 n 次方，或者称为求复数 z的 n 次方根，记作 wn z 或 wz1/n. 复数 z的 n 次方根一般是多值的。
二、复数的乘幂与方根
有时, 在进行说明后, 把主辐的角是定辐角义主为值满, 单足位是弧
>> x=sym('x','real');y=sy
0q2 的辐角, 这时上式仍然>成> 立x=3. ;y=4;z=x+y*i;
当z=0时, Argz没有意义, 即零>>向th量eta没=a有ng确le(z定)
q q 复数z=x+yi 可表示为 z r (c o s is in),称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiqcosqisin q,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
例1.3 将 z 122i化为三角表示式与指数表示式.
5
解： 显然, r = | z | = 1, 又
sin
5
cos
2
5
cos 3 ,
10
cos
5
sin
2
5
sin 3
10
.
因此 zcos3isin3ei130
10
10
当 z 0时, ArgzArgz. 当 z reiq 时, z reiq .
共轭复数的几何性质
一对共轭复数z和 z 在 复平面的位置是关于 实轴对称的.
由此引出方根的概念。
二、复数的乘幂与方根
2. 复数的方根 复数求方根是复数乘幂的逆运算。
定义 设 z是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 wn z的 复数 w ，称为把复数 z开 n 次方，或者称为求复数 z的 n 次方根，记作 wn z 或 wz1/n. 复数 z的 n 次方根一般是多值的。
二、复数的乘幂与方根
有时, 在进行说明后, 把主辐的角是定辐角义主为值满, 单足位是弧
>> x=sym('x','real');y=sy
0q2 的辐角, 这时上式仍然>成> 立x=3. ;y=4;z=x+y*i;
当z=0时, Argz没有意义, 即零>>向th量eta没=a有ng确le(z定)
复数及复变函数.ppt
对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.
例如，设 z1 1, z2 i, 则 z1 z2 i,
Argz1 2n, (n 0, 1, 2,),
A故Arrgg3(zz21z22)2(m2πm2n),2kπ(m, (k02,k01,,,1只2,,须2),k,),m n 1.
1. 两复数的和:
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 ).
2. 两复数的积:
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i( x2 y1 x1 y2 ).
3. 两复数的商:
z1 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
.
9
三、复数的共轭运算
6
2.复数: 对于任意两实数 x, y, 我们称 z x yi
或 z x iy 为复数. 其中 x, y 分别称为z 的实部和虚部, 记作 x Re(z), y Im( z). 当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数; 当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数x.
y z x iy
y
(x, y)
面上的点( x, y) 表示.
o
x
x
14
2. 复数的模(或绝对值) 复数 z x iy 可以用复平面上的向量OP 表示,
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x2 y2 . 显然下列各式成立 x z, y z,
y
y
r
o
Pz x iy
x
x
复变函数与积分变换
教材:《复变函数与积分变换》
朱传喜 刘二根 主编 ,江西高校出版社
参考教材：1. 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室 编著,高等教育出版社 2. 《复变函数与拉普拉斯变换》,金忆丹编著,浙江大学出版 社 3. 《复变函数与积分变换》,马柏林等编 复旦大学出版社
《复数与复变函数》PPT课件
例1 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还
是无界的,单连通的还是多连通的.
(1) Re(z2 ) 1; (2) arg z ; (3) 1 3;
3
z
(4) z 1 z 1 4; (5) z 1 z 1 1.
解 (1)当 z x iy 时,
Re(z2 ) x2 y2, Re(z2 ) 1 x2 y2 1, 无界的单连通域(如图).
y z
z
o
x
有界！
17
1.2.2 区域与Jordan曲线
定义1.5 区域: 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它
为一个区域.
(1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何 两点都可以用完全属于D的一条
D
z2
z1
•
•
折线连结起来.
D加上D的边界称为闭域。记为D＝D+D
18
说明
不包含边界！
第一章 复数与复变函数
• 第一节 复数 • 第二节 复平面上的点集 • 第三节 复变函数 • 第四节 复球面与无穷远点
1
第一节 复数
• 1 复数域
形如 z x iy y x 的数，称为复数。其中实数 和
分别称为复数的实部和虚部，常记为
x Re z, y Im z
全体复数并引进四则运算后称为复数域
32
(3) 0 z 1 i 2,
以 (1 i) 为圆心, 2为半径 的去心圆盘, 是多连通域. (4) arg( z i) ,
4 以 i 为端点, 斜率为1的半射线 (不包括端点i ), 不是区域.
33
(5) 0 arg z i , zi 4
当 z x iy 时,
zi zi
复数及复变函数.ppt
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由此得 :
z1
z2 z1 z2 z1 (三角不等式)
z2
z2 z1 z2 z1
o
x
8 October 2020 © 2009, Henan Polytechnic University
99
第一章复数及复变函数
2. 几何形式（向量表示）
z x iy 点P( x，y) OP { x, y}
可用向量OP表示z x iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；
以正实轴 为始边, 以向量OP为终边的角的
弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y
(z)
模 ：| z || OP | r
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2
(z1z2 ) z1z2
(2) z z (4)z z 2 Re(z)
( z1 ) z1
z z 2i Im(z)
z2 z2
(3)z z
（R（e z））2 （Im（z））2
记作θ0=argz.
z=0时，辐角不确定（不定义）
计算
argz(z≠0) 的公式
arg
z
arctan y x
2
arctan
y x
x 0, y R
x 0, y 0
x 0, y 0 x 0, y 0
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CH1 复数及复变函数
1、复数及其代数运算 2、复数的表示方法 3、复数的乘幂与方根 4、区域 5、复变函数 6、复变函数的极限与连续性
第一章-复数与复变函数PPT优秀课件
• 乘法
z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 1 y 2 y 1 x 2 )
• 除法
z1x1x2y1y2iy1x2x1y2
z 2021/62 /3
x2 2y2 2
x2 2y2 2
(z20 )
16
2. 复平面
一个复数 zxiy 本质上由一对 有序实数 (x, y) 唯一确定。可对应
2021/6/3
10
• 从20世纪30年代开始，我国数学家在单复 变和多复变函数方面，做过许多重要工作： 在四五十年代，华罗庚教授在调和分析、 复分析、微分方程等研究中，有广泛深入 的影响。在70年代，杨乐、张广厚教授在 单复变函数的值的分布和渐进值理论中得 到了首创性的重要成果。从80年代起，我 国数学工作者在数学的各领域中开展了富 有成果的研究工作。这些都受到国际数学 界的重视。建议大家多读一些数学史资料。
科的发展做出了贡献。
2021/6/3
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8
• 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很 多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上 有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应 有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复 变函数来解决的。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，
就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他 在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面 的问题上也做出了贡献。
（2） |z1z2| |z1| |z2|
（3） ||z1| |z2| ||z1 z2|
z z （4）点 1 与点 2 的距离为
d (z 1 ,z2 ) |z 1 z2|(x 1 x 2 )2 (y 1 y 2 )2
2021/6/3
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第一章复数与复变函数精品PPT课件
注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数.
一、复数的概念
z x iy, i 1 为虚单位，x, y R
记 x Re z z的实部, y Im z z的虚部
z x iy
z的共轭复数
注意 : 复数不能比较大小.
9
二、复数的几种表示方法
2i
5 z z , arg z arg z 不包含z为负实轴及原点
x2 y1 x1 y2 x22 y22
(z2 0).
17
4. 共轭复数的运算
1
z1 z2
z1 z2 ；
z1z2
z1
z2
；
z1 z2
z1 z2
2 z z
3 zz Re z2 Im z2 z 2 z2
4 z z 2 Re z Re z z z
2
z z 2i Im z Im z z z
z2
0
z1z2 z2 z2
x1 x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x22
x1 y2 y22
r1 e i12 r2
即 z1 z1 ,
z2
z2
Arg
z1 z2
Arg z1
Arg z2
（指集合相等）
16
2、复数的四则运算 设 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 则
,
z在I , IV 象限 x0
0
r
•z
x
arctan
y x
,
z在II、III 象限
, y 0, x 0
12
其中 arctan y .
2
x2
复变函数与积分变换第1章复数与复变函数精品PPT课件
（5）乘法对于加法的分配律 z1(z2z3)z1z2z1z3 复数运算的其它结果：
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
（1）z0z, 0z0 （2） z1z, z11
z
（3）若 z1z2 0，则 z 1 与 z 2 至少有一个为零， 反之亦然.
共轭复数的运算性质：
（1） z z
（2） z1z2 z1z2
（3） z1z2 z1z2
Argz
并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方
向取值为负.
4.复数的三角表示式
称 zr(coissin )
为复数 z的三角表示式.
5.复数的指数表示式
称 z rei为复数 z的指数表示式.
例3 求 Arg2(2i)和 Arg3 (4i). 解
A 2 r2 i) g a (2 r 2 g i) 2 (k
25
25
zz(16 8i)1 ( 6 8i)64 25252525 125
1.1.3 复数的各种表示、模与辐角
1.复数的几何表示
由复数 zxiy的定义可知，复数是由一对 有序实数 (x, y) 惟一确定的，于是可建立全 体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一一
对应关系，即可以用横坐标为 x，纵坐标
所以
rz (1)2( 3)22
设 argz,
则
tant 3 3
1
又因为 z1i 3 位于第II象限，
所以 argz 2 ,
于是
3
z 1i
3 2(cos2isin2)
i 2
2e 3
3
3
1.1.4. 复数的幂与根
1. 复数的乘幂
设 n为正整数，n个非零相同复数 z的乘积，
称为 的 z次幂n，记为 ，z即n
6
数学物理方法课件-1 复数与复变函数
sin z sinx iy
sin x cosiy cosx sin iy
sin x ey e y cos x ey e y
2
2i
sin2 x ey e y 2 cos2 x ey e y 2
4
4
1 sin 2 x e2 y 2 e2 y cos2 x e2y 2 e2y 2
所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为 方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。
§1.2 复变函数
1. 定义
zz0
邻域
以复数 z0 为圆心，以任意小实数 为半径
作一圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域.
内点
z0 和它的邻域都属于 E， 则 z0 为 E 的内点。
(2) 极坐标
x cos y sin
z x iy cos i sin 复数的极坐标表示
模 幅角, Argz x2 y2
arctg( y / x)
由于三角函数的周期性，复数的幅角不唯一，且 彼此相差2π的整数倍.
)
,
lim
zz0
g(z)
g ( z0 ),则
lim [ f (z) g(z)]
zz0
f (z0) g(z0)
lim
zz0
f (z)g(z)
f
(z0 )g(z0 )
lim f (z) f (z0 ) zz0 g(z) g(z0 )
(g(z0 ) 0)
§1.4 可导与可微
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数与复数运算 1. 复数的基本概念
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例1: 1) (1+i)-(3-2i)
2)(2-3i)(4+5i)
三.性质: 1. 加,乘法:满足结合,交换,分配律;
2.共轭复数性质:
(1)( z1 z2 ) z1 z2 (2)( z1 z2 ) z1 z2
(3)
z1 z2
z1 z2
(z2
0)
(4) zz x 2 y 2 [Re z]2 [Im z]2
-------纯虚数0i
⒊相等: 设 z1x1iy1 与 z2x2iy2是两个复数,如果
x1x2,y1y2 则称 z1, z2与相等
注: z=0当且仅当x=y=0
⒋共轭复数:
z=x+iy是一复数,称x-iy为z的共轭复数,记为 z
可知: z z
注:复数不能比较大小(实数除外)
理解： 有关习题：
二.四则运算:
二.主要内容
1.复数和复变函数 2.解析函数 3.复变函数的积分 4.级数 5.留数及其应用 6.保形映射 7.傅里叶变换 8.拉普拉斯变换
有关应用
(4学时)
(8学时) (6学时) (6学时) (8学时) (2学时) (8学时) (6学时)
三、学习方法
要学好这门课程，需要做到以下几点：
1.树立快乐复变的理念. 宽松,和谐的氛围,愉悦地学习心情
2.代数表示式: z=x+iy
3.三角表示式: zr(coissin )
4指数表示式: z rei
三.复数的模与辐角 1.模: 复数z≠0所对应向量的长度,记为|z|. 2.辐角:
图1.1
一个复数集合就是一个平面点集. 某些特殊的平面可用复数所满足的某种关系式表示. 例 {z:Imz≥0} 为上半平面;
{z:0≤Rez≤1,0≤Imz≤1}为以0,1,1+i,i为顶点的正 方形 .
二.复数表示方法种类:
1.向量表示:将复数的实部与虚部分别看着向量的水平 分量与铅直分量.(如图)
2.养成预复习,做练习的习惯. 做练习题是学好数学的关键,练习是学习 数学的专利.
3.掌握把本课内容与高数内容联系起来的方法. 其内容是实变函数在复数领域内的推广,掌 握它们间的相似处与不同点.
攻城不怕坚, 读书不怕难, 科学有险阻, 只要肯登攀.
___叶剑英
第一章 复数和复变函数
§1.1 复 数
设 z1 x 1 i1 y ,z2 x 2 i2 y 1.加.减法: z 1 z 2 (x 1 x 2 ) i(y 1 y 2 )
2.乘法:
z1z2(x1iy 1)(x2iy2)
(x1x2y1y2)i(x1y2x2y1)
特别: zzx2y2|z|2
模:
| z| x2 y2
3.除法: z1 z1 z2 z2 z2 z2
z zz 2 z zz 2 0
( z z )(1 zz ) 0
z z 2 iy 0 , z z
zz 1, | z |2 1
即
x2 y2 1
反之成立
证毕 。
*例4.设z1, z2 为任意复数,证明 |z 1 z 2 |2 |z 1 |2 |z 2 |2 2 R z 1 z e 2 )(
§1.2 复平面及复数的三角表示
一. 复平面
1.复数的几何表示 复数 zxiy是由一对有序实数 (x, y) 惟一确定的,
于是建立全体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一
一对应关系,即用横坐标为 x,纵坐标为 y 的点 P(x, y)
表示复数 zxiy
2.定义:当平面上的点被用来代表复 数时,称该平面为复(数)平面.
___M.希尔
绪论
一、本课程的特点
本课程是工程数学系列课程之一。 1.复变函数 主要内容是讨论复数之间的依赖关系,
其主要研究对象是解析函数.是实变函数微积 分的推广与发展.广泛应用于自然科学众多领 域.
2.积分变换 是通过积分运算,把一个函数变成 另一个函数,也是在实变函数微积分的基础 上发展起来的.广泛应用于自然科学和工程 技术领域中.
(5) Re z 1 (z z ), Im z 1 ( z z )
2
2i
(6)z为实数 z z， 为纯虚数 z z， 且z 0.
理解 有关习题：
例2.求下列复数的实部和虚部,共轭复数及模
1)z 1 ; 1 2i
2)z i12 4i21 2i.
分析: 1)式为除法,按除法法则,分子,分母同乘分母复数的共轭复数.
一、复数的概念
1.复数:
形如z=x+iy的数 (x,y∈R);
虚数单位: I
( i 1 );
实部: x 记为: Rez=x ;
虚部: y 记为: Imz=y.
2.特例: 当y=0时,
x=0 , x=0,y=0,
z=x+i0=x------实数 z=0+iy=iy-------纯虚数 z=0+i0=0-------实数0
x2 y2 1
时,
z 1 z2
是实数
分析:
先证 z 是实数 ，
1 z2
由复数性质，知 z为实数 ，则z z，
由此推。出
例3.设z=x+iy,y≠0,z≠±i,证明:当且仅当
x2 y2 1
时,
z 1 z2
是实数
证明:
要证
z 是实数
1 z2
证z 1 z2
1
z z
2
1
z z
2
z (1 z 2 ) z (1 z 2 )
2)由 i2 1 推出.
例2.求下列复数的实部和虚部,共轭复数及模
1) z 1 ; 1 2i
2) z i12 4i 21 2i.
解 : (1)
z 1 1 2i 1 2i 1 2 i 1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5 5
Re z 1 ; Im z 2
5
5
z 1 2i 55
| z | 1 2 2 2 5 , 5 5 5
解:
2)z i12 4i21 2i (i2 )6 4(i2 )10i 2i (1)6 4(1)10i 2i 1 2i
Rez 1;Imz 2
z 1 2i
| z | 12 (2)2 5,
例3.设z=x+iy,y≠0,z≠±i,证明:当且仅当
复变函数与积分变换
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总体பைடு நூலகம்述
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2
名言
历史使人聪明, 诗歌使人机智, 数学使人精细, 哲学使人深邃, 道德使人严肃， 逻辑修辞使人善辩。
——培根
有史以来,人们的文化在某些方 面单单以他们的数学知识以及处理 数学的能力来衡量.
2)(2-3i)(4+5i)
三.性质: 1. 加,乘法:满足结合,交换,分配律;
2.共轭复数性质:
(1)( z1 z2 ) z1 z2 (2)( z1 z2 ) z1 z2
(3)
z1 z2
z1 z2
(z2
0)
(4) zz x 2 y 2 [Re z]2 [Im z]2
-------纯虚数0i
⒊相等: 设 z1x1iy1 与 z2x2iy2是两个复数,如果
x1x2,y1y2 则称 z1, z2与相等
注: z=0当且仅当x=y=0
⒋共轭复数:
z=x+iy是一复数,称x-iy为z的共轭复数,记为 z
可知: z z
注:复数不能比较大小(实数除外)
理解： 有关习题：
二.四则运算:
二.主要内容
1.复数和复变函数 2.解析函数 3.复变函数的积分 4.级数 5.留数及其应用 6.保形映射 7.傅里叶变换 8.拉普拉斯变换
有关应用
(4学时)
(8学时) (6学时) (6学时) (8学时) (2学时) (8学时) (6学时)
三、学习方法
要学好这门课程，需要做到以下几点：
1.树立快乐复变的理念. 宽松,和谐的氛围,愉悦地学习心情
2.代数表示式: z=x+iy
3.三角表示式: zr(coissin )
4指数表示式: z rei
三.复数的模与辐角 1.模: 复数z≠0所对应向量的长度,记为|z|. 2.辐角:
图1.1
一个复数集合就是一个平面点集. 某些特殊的平面可用复数所满足的某种关系式表示. 例 {z:Imz≥0} 为上半平面;
{z:0≤Rez≤1,0≤Imz≤1}为以0,1,1+i,i为顶点的正 方形 .
二.复数表示方法种类:
1.向量表示:将复数的实部与虚部分别看着向量的水平 分量与铅直分量.(如图)
2.养成预复习,做练习的习惯. 做练习题是学好数学的关键,练习是学习 数学的专利.
3.掌握把本课内容与高数内容联系起来的方法. 其内容是实变函数在复数领域内的推广,掌 握它们间的相似处与不同点.
攻城不怕坚, 读书不怕难, 科学有险阻, 只要肯登攀.
___叶剑英
第一章 复数和复变函数
§1.1 复 数
设 z1 x 1 i1 y ,z2 x 2 i2 y 1.加.减法: z 1 z 2 (x 1 x 2 ) i(y 1 y 2 )
2.乘法:
z1z2(x1iy 1)(x2iy2)
(x1x2y1y2)i(x1y2x2y1)
特别: zzx2y2|z|2
模:
| z| x2 y2
3.除法: z1 z1 z2 z2 z2 z2
z zz 2 z zz 2 0
( z z )(1 zz ) 0
z z 2 iy 0 , z z
zz 1, | z |2 1
即
x2 y2 1
反之成立
证毕 。
*例4.设z1, z2 为任意复数,证明 |z 1 z 2 |2 |z 1 |2 |z 2 |2 2 R z 1 z e 2 )(
§1.2 复平面及复数的三角表示
一. 复平面
1.复数的几何表示 复数 zxiy是由一对有序实数 (x, y) 惟一确定的,
于是建立全体复数和 x O y 平面上的全部点之间的一
一对应关系,即用横坐标为 x,纵坐标为 y 的点 P(x, y)
表示复数 zxiy
2.定义:当平面上的点被用来代表复 数时,称该平面为复(数)平面.
___M.希尔
绪论
一、本课程的特点
本课程是工程数学系列课程之一。 1.复变函数 主要内容是讨论复数之间的依赖关系,
其主要研究对象是解析函数.是实变函数微积 分的推广与发展.广泛应用于自然科学众多领 域.
2.积分变换 是通过积分运算,把一个函数变成 另一个函数,也是在实变函数微积分的基础 上发展起来的.广泛应用于自然科学和工程 技术领域中.
(5) Re z 1 (z z ), Im z 1 ( z z )
2
2i
(6)z为实数 z z， 为纯虚数 z z， 且z 0.
理解 有关习题：
例2.求下列复数的实部和虚部,共轭复数及模
1)z 1 ; 1 2i
2)z i12 4i21 2i.
分析: 1)式为除法,按除法法则,分子,分母同乘分母复数的共轭复数.
一、复数的概念
1.复数:
形如z=x+iy的数 (x,y∈R);
虚数单位: I
( i 1 );
实部: x 记为: Rez=x ;
虚部: y 记为: Imz=y.
2.特例: 当y=0时,
x=0 , x=0,y=0,
z=x+i0=x------实数 z=0+iy=iy-------纯虚数 z=0+i0=0-------实数0
x2 y2 1
时,
z 1 z2
是实数
分析:
先证 z 是实数 ，
1 z2
由复数性质，知 z为实数 ，则z z，
由此推。出
例3.设z=x+iy,y≠0,z≠±i,证明:当且仅当
x2 y2 1
时,
z 1 z2
是实数
证明:
要证
z 是实数
1 z2
证z 1 z2
1
z z
2
1
z z
2
z (1 z 2 ) z (1 z 2 )
2)由 i2 1 推出.
例2.求下列复数的实部和虚部,共轭复数及模
1) z 1 ; 1 2i
2) z i12 4i 21 2i.
解 : (1)
z 1 1 2i 1 2i 1 2 i 1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5 5
Re z 1 ; Im z 2
5
5
z 1 2i 55
| z | 1 2 2 2 5 , 5 5 5
解:
2)z i12 4i21 2i (i2 )6 4(i2 )10i 2i (1)6 4(1)10i 2i 1 2i
Rez 1;Imz 2
z 1 2i
| z | 12 (2)2 5,
例3.设z=x+iy,y≠0,z≠±i,证明:当且仅当
复变函数与积分变换
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2
名言
历史使人聪明, 诗歌使人机智, 数学使人精细, 哲学使人深邃, 道德使人严肃， 逻辑修辞使人善辩。
——培根
有史以来,人们的文化在某些方 面单单以他们的数学知识以及处理 数学的能力来衡量.