离心率专项练习
高中数学专题 双曲线中的离心率问题(含答案解析)
高中数学专题 双曲线中的离心率问题限时：120 分钟满分：150 分一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b=1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()A.2B.63C.22D.32.若双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为()A.2B.233C.223D.4333.已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.2334.如图，双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.235.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+∞C.(1,3]D.1,26.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+27.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+∞8.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2a2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是()A.3B.22C.145D.5210.双曲线x 2-y 2a2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为()．A.324B.2C.32D.211.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45，则C 的离心率可能为()A.53B.32C.52D.13312.已知F 1、F 2是双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且AF2=13F2B，则该双曲线的离心率为().A.62B.2C.3D.5三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=22x，则其离心率是.14.已知双曲线方程为C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，左焦点F关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.15.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F c,0，直线l:x=c与双曲线C交于A,B两点，与双曲线C的渐近线交于D,E两点，若DE=2AB，则双曲线C的离心率是．16.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ≥3AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．18.已知椭圆C1:x2a21+y2b21=1a1>b1>0与双曲线C2:x2a22-y2b22=1a2>0,b2>0，有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且F1F2=4PF2，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，求e2-e1的取值范围.19.已知双曲线T：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)离心率为e，圆O：x2+y2=R2R>0．(1)若e=2，双曲线T的右焦点为F2,0，求双曲线方程；(2)若圆O过双曲线T的右焦点F，圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求b2a2的值；(3)若R=1，不垂直于x轴的直线l：y=kx+m与圆O相切，且l与双曲线T交于点A，B时总有∠AOB=π2，求离心率e的取值范围．20.已知点P是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，PF1=(2+3)PF2，∠F1PF2=60°．(1)求双曲线的离心率；(2)设R、r分别是△F1PF2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．21.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线C左支上一点，AF2-AF1=2b．(1)求双曲线C的离心率；(2)设点A关于x轴的对称点为B，D为双曲线C右支上一点，直线AD,BD与x轴交点的横坐标分别为x1,x2，且x1x2=1，求双曲线C的方程．22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且k AB⋅k OM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.高中数学专题 双曲线中的离心率问题答案解析限时：120 分钟满分：150 分一、单选题：本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设F 1、F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b=1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A 、B 两点，若△ABF 1为正三角形，则C 的离心率为()A.2B.63C.22D.3【解析】设AF 2 =t ，因为AB ⊥x 轴，则点A 、B 关于x 轴对称，则F 2为线段AB 的中点，因为△ABF 1为等边三角形，则∠AF 1F 2=30°，所以，AF 1 =2AF 2 =2t ，所以，AF 1 -AF 2 =AF 2 =t =2a =2，则AF 1 =2AF 2 =2t =4，所以，2c =F 1F 2 =AF 12-AF 2 2=42-22=23，则c =3，因此，该双曲线C 的离心率为e =ca= 3.故选：D .2.若双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线被圆x 2+y -2 2=4所截得的弦长为23，则C的离心率为()A.2B.233C.223D.433【解析】双曲线C 的渐近线方程为y =±a b x ，直线y =±ab x 被圆x 2+y -2 2=4所得截得的弦长为23，则圆心0,2 到直线y =±ab x 的距离为d =22-3 2=1，由点到直线的距离公式可得d =21+ab2=1，解得a 2b 2=3，则b 2a2=13，因此，双曲线C 的离心率为e =ca =1+b a2=1+13=233.故选：B .3.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 、B 两点在双曲线的左、右两支上，且OA+OB =0，AF ⋅FB =0，3BF =FC ，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.103B.102C.52D.233【解析】设双曲线的左焦点为F ，连接AF ,BF ,CF ，因为AF ⋅FB =0，所以AF ⊥FB ，因为OA +OB =0，所以OA =OB ，因为OF =OF ，所以四边形AFBF 为矩形，设BF =t (t >0)，则FC =3t ，BF =2a +t ,CF =2a +3t ，在Rt △CBF 中，BC 2+BF 2=CF 2，所以4t 2+2a +t 2=2a +3t 2，化简得t 2-at =0，解得t =a ，在Rt △BFF 中，BF 2+BF 2=FF 2，所以t 2+2a +t 2=4c 2，所以a 2+9a 2=4c 2，所以10a 2=4c 2，得10a =2c ，所以离心率e =c a =102，故选：B4.如图，双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1与双曲线的两条渐近线分别交于P ,Q 两点．若P 是F 1Q 的中点，且F 1Q ⋅F 2Q=0，则此双曲线的离心率为()A.3B.2C.22D.23【解析】因为F 1Q ⋅F 2Q =0，则QF 1⊥QF 2，所以△F 1F 2Q 是直角三角形，又因为O 是F 1F 2的中点，所以OQ 是直角△F 1F 2Q 斜边中线，因此F 1O =OQ ，而点P 是线段F 1Q 的中点，所以△F 1OQ 是等腰三角形，因此∠F 1OP =∠POQ ，由双曲线渐近线的对称性可知中：∠F 1OP =∠F 2OQ ，于是有：∠F 1OP =∠POQ =∠F 2OQ =π3，因为双曲线渐近线的方程为：y =±b ax ，因此有：ba=tan π3⇒b a =3⇒b 2=3a 2⇒c 2-a 2=3a 2⇒c =2a ⇒e =2，故选：B .5.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在C 上存在点P (不是顶点)，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，则C 的离心率的取值范围为()A.2,2B.3,+∞C.(1,3]D.1,2【解析】设PF 1与y 轴交于Q 点，连接QF 2，则QF 1=QF 2,∴∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，因为∠PF 2F 1=3∠PF 1F ，故P 点在双曲线右支上，且∠PF 2Q =∠PQF 2=2∠PF 1F 2，故|PQ |=|PF 2|，而|PF 1|-|PF 2|=2a ，故|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，在Rt △QOF 1中，|QF 1|>|OF 1|，即2a >c ，故e =ca<2，由∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，且三角形内角和为180°，故∠PF 1F 2<180°4=45°，则cos ∠PF 1F 2=|OF 1||QF 1|>cos45°，即c2a>22，即e =c a >2，所以C 的离心率的取值范围为2,2 ，故选：A6.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F 1､F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ，F 1M⊥F 2M ，则双曲线C 的离心率为()A.6+32B.6+3C.2+2D.5+2【解析】由于F 1F 2 =3MN ，所以x M =-2c ×13×12=-c 3，则-c32a2+y 2Mb 2=1，解得y M =b 3ac 2-9a 2，由于F 1M ⊥F 2M ，所以2c 3，b 3ac 2-9a 2 ⋅-4c 3，b3a c 2-9a 2 =0，整理得c 4-18a 2c 2+9a 4=0，两边除以a 4得e 4-18e 2+9=0，由于e >1，e 2>1，故解得e =6+ 3.故选：B7.已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上下焦点分别为F 1,F 2，点M 在C 的下支上，过点M 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D ，若MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，则C 的离心率的取值范围为()A.1,53B.53,2C.1,2D.53,+∞【解析】如图，过点F 2作渐近线的垂线，垂足为E ，设|F 1F 2|=2c ，则点F 2到渐近线y =±abx 的距离EF 2 =bca 2+b2=b .由双曲线的定义可得MF 1 -MF 2 =2a ，故MF 1 =MF 2 +2a ，所以MD +MF 1 =|MD |+MF 2 +2a ≥EF 2 +2a =b +2a ，即MD +MF 1 的最小值为2a +b ，因为MD >F 1F 2 -MF 1 恒成立，所以|MD |+MF 1 >F 1F 2 恒成立，即2a +b >2c 恒成立，所以，b >2c -2a ，即b 2>4c 2+4a 2-8ac ，即c 2-a 2>4c 2+4a 2-8ac ，所以，3c 2+5a 2-8ac <0，即3e 2-8e +5<0，解得1<e <53.故选：A .8.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过A 的直线l 与C 的右支交于点B ，若线段AB 的中点在圆O :x 2+y 2=a 2上，且OB =7OA ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.3【解析】设线段AB 的中点为E ，双曲线的右顶点为D ，左右焦点为F 1,F 2，连接DE ,DB ，因为线段AB 的中点E 在圆O :x 2+y 2=a 2上，所以DE ⊥AB ，所以△ADE ≌△BDE ，所以AD =BD =2a ，因为OB =7OA ，所以OB =7a ，在△ODB 中，由余弦定理得cos ∠ODB =OD2+DB 2-OB 22OD ⋅DB =a 2+4a 2-7a 24a 2=-12，因为∠ODB ∈0,π ，所以∠ODB =2π3，所以∠BDF 2=π3，过B 作BF ⊥x 轴于F ，则BF =3a ,DF =a ，所以B 2a ,3a ，所以4a 2a 2-3a 2b 2=1，得a 2=b 2，所以a 2=c 2-a 2，2a 2=c 2，所以c =2a ，所以离心率e =ca=2，故选：A二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为e 1，双曲线y 2b 2-x 2a2=1的离心率为e 2，则e 1+e 2的值不可能是()A.3B.22C.145D.52【解析】∵e 1+e 2 2=e 21+e 22+2e 1e 2=a 2+b 2a 2+a 2+b 2b 2+2×a 2+b 2a×a 2+b 2b=2+b 2a 2+a 2b2+2a 4+b 4+2a 2b 2a 2b 2=2+b 2a 2+a 2b 2+2a 2b 2+b 2a 2+2≥2+2+22+2=8，当且仅当b 2a 2=a 2b2即a =b 时取等号，所以e 1+e 2≥22.故选：CD .10.双曲线x 2-y 2a2=1的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为()．A.324B.2C.32D.2【解析】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是y -2=k (x -2)，由x 2-y 2a2=1y -2=k (x -2) 得(a 2-k 2)x 2+4k (k -1)x -4(k -1)2-a 2=0，显然a 2-k 2=0时，所得直线只有一条，不满足题意，所以k ≠±a ，由Δ=0得16k 2(k -1)2+4(a 2-k 2)[4(k -1)2+a 2]=0，整理为3k 2-8k +4+a 2=0，由题意此方程有两不等实根，所以Δ1=64-12(4+a 2)>0，a 2<43，则c 2=1+a 2<73(c 为双曲线的半焦距)，e =c 1=c <213，即1<e <213，k =±a 代入方程3k 2-8k +4+a 2=0，得a =±1，此时e =2，综上，e 的范围是1,2 ∪2,213.故选：AC 11.已知双曲线C :x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切，且与C 交于M ,N 两点，若cos ∠F 1NF 2=45，则C 的离心率可能为()A.53B.32C.52D.133【解析】当点M ,N 同时在双曲线C 的左支上时，设切点为P ，则OP ⊥MN ，OP =a ,OF 1 =c ,PF 1 =c 2-a 2=b .作F 2Q ∥OP 交MN 于点Q ，则F 2Q ⊥MN ，而O 为F 1F 2的中点，则P 为QF 1的中点，故F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ -QF 1 =8a 3-2b ，所以NF 2 =NF 1 +2a =8a 3-2b +2a =10a 3，则2a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+232=133.当点M ,N 在双曲线的两支上时，仍有F 2Q =2OP =2a ,QF 1 =2PF 1 =2b ，因为cos ∠F 1NF 2=45，∠F 1NF 2为锐角，故sin ∠F 1NF 2=35所以NF 2 =F 2Qsin ∠F 1NF 2=10a 3,NQ =NF 2 cos ∠F 1NF 2=8a3，NF 1 =NQ +QF 1 =8a 3+2b ，所以NF 2 =NF 1 -2a =8a 3+2b -2a =10a 3，则4a =3b ，故双曲线C 的离心率e =ca =1+b 2a2=1+432=53，故选：AD12.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2=13F 2B ，则该双曲线的离心率为().A.62B.2C.3D.5【解析】当AF 2 =13F 2B时，设∠F 2OA =α，则∠AOB =2α，设a =1，如图，双曲线的渐近线方程为y =±b a x ，即tan α=b a ，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=ba ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即有t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=4b ，tan α=b a =b ，tan2α=4ba=4b ，代入得tan2α=2tan α1-tan 2α=2b 1-b 2=4b ，即2=4-4b 2，解得b =22，则e =c a =a 2+b 2=1+12=62，A 正确；当F 2A =13F 2B 时，设∠F 2OA =α，∠AOB =β，设a =1，如图，则∠F 2OB =α+β，∠F 1OB =π-(α+β)，在Rt △OAF 2中，tan α=|AF 2||OA |=b a ，设|AF 2|=bt ,|OA |=at ，又|AF 2|2+|OA |2=|OF 2|2，则(bt )2+(at )2=c 2，又双曲线中c 2=a 2+b 2，即t =1，于是|OA |=a =1，|OF 2|=c =e ，|AF 2|=b ，|BF 2|=3b ，则|AB |=2b ，tan α=b a =b ，tan β=2ba=2b ，而tan ∠F 1OB =tan [π-(α+β)]=-tan (α+β)=tan α，即tan (α+β)=tan α+tan β1-tan α⋅tan β=-tan α，因此b +2b1-b ⋅2b=-b ，即3=2b 2-1，解得b =2，则e =c a =a 2+b 2=3，C 正确.故选：AC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =22x ，则其离心率是.【解析】由题意知ba=22，又因为在双曲线中，c 2=a 2+b 2，所以e 2=c 2a 2=1+b 2a2=32，故e =62(负舍)14.已知双曲线方程为C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左焦点F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为.【解析】如图：设F 关于渐近线y =bax 对称的点A 在渐近线y =-b a x 上，FA 的中点B 在渐近线y =bax 上，则∠FOB =∠BOA ，又∠FOB =∠AOx ，所以∠FOB =∠BOA =∠AOx =60°，所以tan60°=ba=3，所以e =c a =a 2+b 2a 2=1+b a2=1+3=2.15.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为Fc ,0 ，直线l :x =c 与双曲线C 交于A ,B 两点，与双曲线C 的渐近线交于D ,E 两点，若DE =2AB ，则双曲线C 的离心率是．【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为：y =±ba x ，∵直线l :x =c ，∴AB 为双曲线的通径，则由x =cx 2a2-y2b 2=1得x =cy =±b 2a，则AB =2b 2a，由x=cy=±bax得x=cy=±bca，则DE =2bca，由DE=2AB得：2bca=4b2a即c=2b，所以a=c2-b2=3b，所以离心率e=ca=23316.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，双曲线的左顶点为A，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若AQ≥3AP，则该双曲线的离心率的取值范围是.【解析】依题意可得，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，不妨设双曲线的这条渐近线方程为y=ba x，由y=baxx2+y2=c2，得：x=ay=b或x=-ay=-b，所以Q(a,b),P(-a,-b)，双曲线的左顶点为A，则A(-a,0)，所以AQ=(a+a)2+b2=4a2+b2，AP=(-a+a)2+b2=b，因为AQ≥3AP，所以4a2+b2≥3b，化简得a2≥2b2，所以a2≥2(c2-a2)，所以e2=a2c2≤32，所以e ≤62，又e>1，所以e∈1,62.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当PF12PF2取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围．【解析】双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点，∴PF1-PF2=2a,PF1=2a+PF2，∴PF12PF2=2a+PF22PF2=4a2PF2+4a+PF2≥8a，当且仅当4a2PF2=PF2，即PF2=2a时取等号，∴PF1=2a+PF2=4a，∵PF 1 -PF 2 =2a <2c ，PF 1 +PF 2 =6a ≥2c ⇒e =ca≤3，∴e ∈1,3 ，故双曲线的离心率e 的取值范围为：1,3 ..18.已知椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 ，有相同的左、右焦点F 1，F 2，若点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，且F 1F 2 =4PF 2 ，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，求e 2-e 1的取值范围.【解析】设PF 1 =m ，PF 2 =n ，F 1F 2 =2c ，由椭圆的定义可得m +n =2a 1，由双曲线的定义可得m -n =2a 1，解得m =a 1+a 2，n =a 1-a 2，由F 1F 2 =4PF 1 ，可得n =12c ，即a 1-a 2=12c ，由e 1=c a 1，e 2=c a 2，可得1e 1-1e 2=12，由0<e 1<1，可得1e 1>1，可得1e 2>12，即1<e 2<2，则e 2-e 1=e 2-2e 22+e 2=e 222+e 2，设2+e 2=t 3<t <4 ，则e 222+e 2=t -2 2t =t +4t-4，由于函数f t =t +4t -4在3，4 上递增，所以f t ∈13，1 ，即e 2-e 1的取值范围为13，1.19.已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a 2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【解析】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，则c =2，ca =2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，则OA=c，∠AOF=45°，则A22c,22c，代入双曲线方程x2a2-y2b2=1，可得b2a2-a2b2=2，令x=b2a2x>0，则x-1x=2，解得x=1+2，即b2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l：y=kx+m与圆O相切，且R=1，则圆心到直线l距离为mk2+1=1，化简得m2=k2+1，①又∠AOB=π2，设A x1,y1,B x2,y2，则k OA⋅k OB=-1，即y1x1⋅y2x2=-1，则k2x1x2+km x1+x2+m2x1x2=-1，②联立y=kx+mx2a2-y2b2=1得b2-a2k2x2-2a2kmx-a2m2-a2b2=0，则x1+x2=2a2kmb2-a2k2，x1x2=-a2m2+b2b2-a2k2，③联立①②③，得k2+1a2+a2b2-b2=0，则a2+a2b2-b2=0，又c2=a2+b2，则c2a2=c2-a2+2=b2+2>2，则e=ca>2，即离心率e的取值范围为2,+∞.20.已知点P 是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上一点，F 1、F 2是双曲线的左、右焦点，PF 1=(2+3) PF 2 ，∠F 1PF 2=60°．(1)求双曲线的离心率；(2)设R 、r 分别是△F 1PF 2的外接圆半径和内切圆半径，求Rr．【解析】(1)由P 为双曲线的右支上一点，可得|PF 1|-|PF 2|=2a ，又PF 1=(2+3) PF 2 ，可得PF 1 =(3+1)a ，PF 2 =(3-1)a ，在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2=60°，由余弦定理可得4c 2=(4+23)a 2+(4-23)a 2-2(3+1)(3-1)a 2⋅12=8a 2-2a 2=6a 2，即c =62a ，可得e =c a =62；(2)由2R =2csin60°=6a32=22a ，即R =2a ；因为S △PF 1F 2=12PF 1⋅ PF 2 ⋅sin60°=12(3+1)(3-1)a 2⋅32=32a 2，又S △PF 1F 2=12PF 1+ PF 2 +2c r =12(23a +6a )r ，所以r =323+6a =2-22a ，所以R r =222-2=2+22．21.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线C 左支上一点，AF 2 -AF 1 =2b ．(1)求双曲线C 的离心率；(2)设点A 关于x 轴的对称点为B ，D 为双曲线C 右支上一点，直线AD ,BD 与x 轴交点的横坐标分别为x 1,x 2，且x 1x 2 =1，求双曲线C 的方程．【解析】(1)由于A 为双曲线C 左支上一点，由双曲线的定义可知AF 2 -AF 1 =2a =2b ，所以2a 2=b 2=c 2-a 2．整理，得3a 2=c 2，所以ca=3，所以双曲线C 的离心率为3．(2)由(1)可设双曲线C 的标准方程为x 2a 2-y 22a2=1．设A x3,y3，B x3,-y3，D x4,y4．直线AD的方程为y-y3=y3-y4x3-x4x-x3．令y=0，则x1=-x3y4-x4y3y3-y4．直线BD的方程为y+y3=-y3-y4x3-x4x-x3，令y=0，则x2=x3y4+x4y3y3+y4．所以x1x2=-x3y4-x4y3y3-y4⋅x3y4+x4y3y3+y4=x23y24-x24y23y23-y24．因为A x3,y3，D x4,y4满足方程x2a2-y22a2=1，所以x23=a2+y232，x24=a2+y242,所以x1x2=x23y24-x24y23y23-y24=a2+y232y24-a2+y242y23y23-y24=a2=1,所以双曲线C的方程为x2-y22=1．22.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若直线l与双曲线C交于A,B两点，线段AB的中点为M，且k AB⋅k OM=34(O为坐标原点).(1)求双曲线C的离心率；(2)若直线l不经过双曲线C的右顶点N2,0，且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标.【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2，则Mx1+x22,y1+y22，由题意得x21a2-y21b2=1,x22a2-y22b2=1,所以x21-x22a2-y21-y22 b2=0，y21-y22x21-x22=b2a2,y1-y2x1-x2∙y1+y22x1+x22=b2a2,k AB=y1-y2x1-x2,k OM=y1+y22x1+x22，∴k AB⋅k OM=b2a2，即b2a2=34，a2=43b2,c2=a2+b2=73b2,e2=c2a2=74，∴e=72；(2)因为双曲线的右顶点N 2,0 ，所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 23=1，因为k AB ⋅k OM =34，所以直线l 的斜率一定存在，并且k ≠±32(如果k =±32，则k OM =±32,AB ⎳OM ，这不可能)，设直线l 的方程为y =kx +m ，联立方程y =kx +m x 24-y 23=1 得：3-4k 2 x 2-8kmx -4m 2-12=03-4k 2≠0 ，所以Δ=64k 2m 2-43-4k 2-4m 2-12 >0，即m 2-4k 2+3>0，所以x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1⋅x 2=-4m 2-123-4k 2.因为以AB 为直径的圆经过点N ，所以NA ⊥NB ，所以NA ⋅NB =0，又因为NA =x 1-2,y 1 ,NB =x 2-2,y 2 ，所以NA ⋅NB =x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=x 1x 2-2x 1+x 2 +4+y 1y 2=0，又因为y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，所以NA ⋅NB =k 2+1 x 1x 2+km -2 x 1+x 2 +m 2+4=0，即k 2+1 ×-4m 2-123-4k 2+km -2 ×8km 3-4k 2+m 2+4=0，化简得m 2+16km +28k 2=0，即m +14k m +2k =0，解得m =-14k 或m =-2k ，且均满足m 2-4k 2+3>0，当m =-2k 时，y =kx -2k =k x -2 ，因为直线l 不过定点N 2,0 ，故舍去；当m =-14k 时，y =kx -14k =k x -14 ，所以直线l 恒过定点E 14,0 ；综上，e =72，直线l 恒过定点E 14,0 .·15·。
2024年高考数学专题16 妙解离心率问题(12大题型)(练习)(原卷版)
专题16 妙解离心率问题目录01顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 (2)02焦点三角形顶角范围与离心率 (2)03共焦点的椭圆与双曲线问题 (3)04椭圆与双曲线的4a通径体 (4)05椭圆与双曲线的4a直角体 (5)06椭圆与双曲线的等腰三角形问题 (6)07双曲线的4a底边等腰三角形 (7)08焦点到渐近线距离为b (8)09焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 (9)10以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 (10)11渐近线平行线与面积问题 (11)12数形结合转化长度角度 (11)01顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题1．（2024·安徽宣城·高三统考期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ^，设ABF a Ð=，且,124p p a æöÎç÷èø，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12,23æöç÷èøB ．C ．D ．23ö÷÷ø2．（2024·河北唐山·高三统考期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ^，设ABF a Ð=，且,64p p a éùÎêúëû，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．ùúûB ．1ùúûC ．D ．3．（2024·江西南昌·高三南昌十中校考期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，若AF BF ^，设ABF a Ð=，且,43p p a æöÎç÷èø，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．1ö÷÷øB ．ö÷÷øC ．D ．4．（2024·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF FB ^，设ABF q Ð=，且(,)124p pq Î，则双曲线C 离心率的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．(12)，C ．(2,)+¥D ．)+¥02焦点三角形顶角范围与离心率5．（2024·河南南阳·高三郑州一中阶段练习）已知1(,0)F c -，2(,0)F c 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且212PF PF c ×=uuu r uuu u r，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．1[3D ．6．（2024·黑龙江·校联考）已知0a b >>，1F ，2F ，是双曲线22122:1x y C a b -=的两个焦点，若点Р为椭圆22222:1x y C a b +=上的动点，当P 为椭圆的短轴端点时，12F PF Ð取最小值，则椭圆2C 离心率的取值范围为（ ）A．æçèB．ö÷÷øC．æççèD．ö÷÷ø7．（2024·贵州·高三凯里一中校考期末）已知椭圆2222:1x y C a b+=，0a b >>，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C 上存在点()()000,0P x y x ³使得1260PF F oÐ=，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A．ö÷÷øB．æçèC ．1,12éö÷êëøD ．10,2æùçúèû8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C 上存在点00(,)P x y （00x ³）使得1230PF F Ð=°，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．10,2æöç÷èøB．æççèC ．1,12éö÷êëøD．ö÷÷ø03共焦点的椭圆与双曲线问题9．（2024·安徽·校联考）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F D 是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则1e 与2e 满足的关系是（）A ．12112e e +=B ．12112e e -=C ．122e e +=D ．212e e -=10．（多选题）（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知椭圆1C ：2222111x y a b +=()110a b >>与双曲线2C ：2222221x y a b -=（20a >，20b >）有公共焦点1F ，2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，若12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形，1C ，2C 的离心率分别为1e 和2e ，则（ ）A ．22221122a b a b -=+B ．12112e e +=C ．212e e -=D ．111,32e æöÎç÷èø11．（2024·湖北孝感·高三统考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F 、2F ，M 是它们的一个交点，且121cos 4F MF Ð=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则121e e 的最大值为 ．12．（2024·江苏苏州·高三江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,,,F F P Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且260QF P Ð=o ，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221231e e +等于 ．13．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F 、2F ，P 是它们的一个交点，1260F PF Ð=o ，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则2212e e +的最小值是 .04椭圆与双曲线的4a 通径体14．（2024·河南·高三统考阶段练习）已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>的离心率为35，左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，若212NF F F =，则11MF NF =（ ）A ．25B ．35C ．12D ．2315．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为1F ，2F (如图)，过2F 的直线交E 于P ，Q 两点，且1PF x ^轴，2213PF F Q =，则E 的离心率为（ ）AB ．12CD16．（2024·云南·校联考模拟预测）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F （如图），过2F 的直线交E 于P ，Q 两点，且1PF x ^轴，229PF F Q =，则E 的离心率为（）A B ．12C D 17．（2024·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F （如图），过2F 的直线交E 于P ，Q 两点，且1PF x ^轴，223PF F Q =，则E 的离心率为（ ）A B ．12C D05椭圆与双曲线的4a 直角体18．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆C 的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 的直线交C 于A ，B 两点，若1123AF F B =，且22AF BF ^，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C D 19．（2024·重庆·校联考）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于P ，Q 两点，若2222PF PF QF =×uuu u r uuu u r uuuu r，且2PQF V 的周长为12a ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D ．20．（2024·广西桂林·高三统考期末）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，113AF BF =，若23cos 5AF B Ð=，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B ．23C D 21．（2024·湖南·校联考）已知A ，B ，C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，直线AB 经过原点O ，AC 经过右焦F ，若BF AC ^，且3AF CF =，则该双曲线的离心率为A B ．52C D ．2322．（2024·湖北·高三开学考试）已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ^且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（ ）A ．53B C D ．9423．（2024·山东聊城·统考）已知A ，B ，C 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的三点，直线AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF AC ^，且32CF FA =uuu r uuu r，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．32D06椭圆与双曲线的等腰三角形问题24．（2024·江西上饶·高三阶段练习）已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支相交于,P Q 两点，若1PQ PF ^，且1PF PQ =，则双曲线的离心率e =A B ．1C D 125．（2024·北京海淀·校考模拟预测）双曲线C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线C 的右支在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，且△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C 1D 126．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，连接2AF ，2BF ，在2ABF △中，2AB BF =，231cos 32ABF Ð=，则双曲线的离心率为（ ）A ．2BC D07双曲线的4a 底边等腰三角形27．（2024·四川成都·石室中学校考）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F l 与双曲线的左，右两支分别交于M ，N 两点，以2F 为圆心的圆过M ，N ，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D 28．（2024·江西九江·统考）设双曲线()2222100x y C a b a b -=：＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线分别交双曲线左、右两支于点P ，Q ，点M 为线段PQ 的中点，若P ，Q ，F 1都在以M 为圆心的圆上，且10PQ MF ×=uuu r uuuu r，则双曲线C 的离心率为（ ）A B ．C D ．29．（2024·安徽合肥·校联考模拟预测）设双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线l 与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过2F ，且222MN MF MN =×uuuu r uuuu r uuuu r，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D 30．（2024·河北石家庄·统考）已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ^，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为A B ．2C D 131．（2024·山东烟台·统考）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A在C 的右支上，1AF 与C 交于点B ，若220F A F B ×=uuu u r uuu u r，且22F A F B =uuu u r uuu u r ，则C 的离心率为（ ）A B C D08焦点到渐近线距离为b32．（2024·四川泸州·高三统考期末）已知F 1，F 2为双曲线C ：2222x y a b-＝1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点，过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，且与C 的右支交于点Q ，若1//OQ PF （O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ）A B C ．2D ．333．（2024·安徽滁州·高三统考期末）设F 1，F 2分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过F 2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若|HF 1|=3|HF 2|，则双曲线的离心率为（ ）34．（2024·辽宁葫芦岛·统考）设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝3|OP |，则C 的离心率为（ ）A B ．2C D 35．（2024·广西玉林·统考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的焦点在1F ，过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ､N 两点(点1F 位于点M 与点N 之间)，且13MN F N =uuuu r uuuu r，又过点1F 作1F P OM ^于P (点O 为坐标原点)，且||||ON OP =，则双曲线E 的离心率e =（ ）A B C D09焦点到渐近线垂线构造的直角三角形36．（2024·安徽宣城·统考）设F 是双曲线22221(0)x y b a a b -=>>的一个焦点，过F 作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于,P Q 两点．若2FP FQ =uuu r uuu r，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D ．537．（2024·浙江台州·高三台州一中校考阶段练习）如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为H ，交另一条渐近线于点A ，已知O 为原点，且4||3AH a =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D 38．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过其右焦点F作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间．已知O 为原点，且5||3OA a =，则双曲线离心率为（ ）339．（2024·四川巴中·统考模拟预测）已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >），过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，A ，B 两点分别在一、四象限，若513AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．1312B C D10以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题40．（2024·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考开学考试）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =uuu r uuu r，120F B F B ×=uuu r uuur，则C 的离心率为（ ）A ．2B C 1+D 141．（2024·江苏徐州·统考模拟预测）已知F 是双曲线22221x y a b -=的左焦点，圆2222:O x y a b +=+与双曲线在第一象限的交点为P ，若PF 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）A B ．2C D 42．（2024·山东烟台·统考）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为3p 的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于点A 、B ，若()112OA OB OF =+uuu v uuu v uuuv ，则该双曲线的离心率为A ．2BC ．2D 43．（2024·甘肃兰州·校联考）(2017·兰州模拟)已知F 1，F 2为双曲线22221x y a b -=(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ |＝2|QF 1|，则该双曲线的离心率为( )A B ．2C D 44．（2024·福建莆田·统考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆与C 的渐近线在第一象限的交点为P ，且122PF PF b -=.设C 的离心率为e ，则2e =（ ）A B C D11渐近线平行线与面积问题45．（2024·安徽芜湖·统考）设M 为双曲线()222:1016x y D a a -=>上任意一点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点．若ABM V 的面积为4，则双曲线D 的离心率为（ ）A B ．2C D 46．（2024·浙江·校联考模拟预测）过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的任意一点P ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点M ，N ，若214OM ON b ׳uuuu v uuu v ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．ö+¥÷÷øB ．æççèC ．ö+¥÷÷øD ．æççè47．（2024·福建·）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过双曲线C 上任意一点P 分别作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为,,A B 8||||9PA PB ×=，12F F 等于3212x x æö-ç÷èø展开式的常数项，则双曲线C 的离心率为A ．3B ．3CD ．12数形结合转化长度角度48．（2024·山东泰安·统考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 在第一象限存在点M ，使得112=MF F F ，直线1F M 与y 轴交于点A ，且2F A 是21MF F Ð的角平分线，则椭圆C 的离心率为 .49．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，P 为椭圆上一点，直线AP 与直线x a =交于点M ，PFB Ð的角平分线与直线x a =交于点N ，若PF AB ^，MAB △的面积是NFB V 面积的6倍，则椭圆C 的离心率是 .50．（2024·四川凉山·高三统考期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别为1F 、2F ，若过()1,0F c -的直线与圆2222c x y æö+=ç÷èø相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF 垂直于x 轴，则椭圆的离心率为 ．。
高中压轴选择题离心率专项
高中数学压轴选择题离心率专项一．选择题（共50小题）1．椭圆核心在x 轴上，A 为该椭圆右极点，P 在椭圆上一点，∠OPA=90°，那么该椭圆的离心率e 的范围是（ ）A ．[12，1）B ．（√22，1）C ．[12，√63）D ．（0，√22）2．过椭圆x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左核心F 作斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点．假设向量xx →+xx →与向量x →=（3，﹣1）共线，那么该椭圆的离心率为（ ） A ．√33 B ．√63C ．√34D ．√233．设椭圆C ：x 2x 2+x 2x 2=1（a ＞b ＞0）的左、右核心别离为F 1、F 2，其焦距为2c ，点Q （c ，x2）在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且|PF 1|+|PQ|＜5|F 1F 2|恒成立，那么椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．（15，√22）B ．（14，√22）C ．（13，√22）D ．（25，√22）4．已知椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(x＞x＞0)，点A （c ，b ），右核心F （c ，0），椭圆上存在一点M ，使得xx →⋅xx →=xx →⋅xx →，且xx →+xx →=xxx →(x ∈x )，那么该椭圆的离心率为（ ） A ．√22 B ．√32 C ．√33 D ．√235．已知点A 为椭圆E ：x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左极点，B ，C 两点在椭圆E 上，假设四边形OABC为平行四边形，O 为坐标系原点，∠OAB=30°，那么椭圆E 的离心率为（ ）A ．2√23B ．√22C ．12D ．√246．已知椭圆x 2x 2+x2x2=1（a ＞b ＞0）的左极点和上极点别离为A ，B ，左、右核心别离是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 知足PF 1⊥PF 2，那么椭圆的离心率为（ ）A ．√5−12B ．√3−12C ．√53 D ．√327．已知F 1，F 2是椭圆x：x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)的左、右核心，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，那么x 2+x 2x（其中e 为椭圆C 的离心率）的最小值为（ ）A ．√6B ．3√64 C ．√5 D ．3√54 8．已知双曲线x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右核心别离是F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，假设|PF 1|=|F 1F 2|，且3|PF 2|=2|QF 2|，那么该双曲线的离心率为（ ） A ．75 B ．43 C ．2 D ．1039．己知O 为坐标原点，双曲线x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线别离为l 1，l 2，右核心为F ，以OF 为直径作圆交l 1于异于原点O 的点A ，假设点B 在l 2上，且xx →=2xx →，那么双曲线的离心率等于（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2D ．310．设双曲线x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的右核心为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，假设xx→=λxx →+u xx →（λ，μ∈R ），λ2+u 2=58，那么双曲线的离心率为（ ）A ．2√33B ．3√55C ．3√22D ．9811．设A 、B 别离为双曲线C ：x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右极点，P ，Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP 、BQ 的斜率别离为m 、n ，那么2x x +x x +12|xx |+ln|m|+ln|n|取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．√6 D ．√6212．已知椭圆x 1：x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)和圆x 2：x 2+x 2=x 2，假设椭圆C 1上存在点P ，过点P 作圆C 2的两条切线PA ，PB （A ，B 为对应的切点），且知足∠xxx =x3，那么椭圆最圆的时离心率e=（ ） A ．√33B ．√24C ．√32D ．√3413．设双曲线C ：x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的左右核心别离为F 1，F 2，假设在曲线C 的右支上存在点P ，使得△PF 1F 2的内切圆半径为a ，圆心记为M ，又△PF 1F 2的重心为G ，知足MG ∥F 1F 2，那么双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2D ．√514．已知第一象限内的点M既在双曲线C1：x2x2﹣x2x2=1（a＞0，b＞0）上，又在抛物线C2：y2=2px上，设C1的左，右核心别离为F1、F2，假设C2的核心为F2，且△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形，那么双曲线的离心率为（）A．√2B．√3C．1+√2D．2+√315．已知E，F为双曲线x：x2x2−x2x2=1(0＜x＜x)的左右核心，抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的核心F，且与双曲线交于A、B不同两点，假设5|AF|=4|BE|，那么双曲线的离心率为（）A．4+√7B．4−√3C．4+√3D．4−√716．设A为椭圆x2x2+x2x2=1（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右核心，且AF⊥BF．假设∠ABF∈[x4，5x12]，那么该椭圆离心率的取值范围是（）A．(0，√22]B．[√22，1)C．[0，√63] D．[√22，√63]17．已知椭圆x2x2+x2x2=1（a＞b＞0）的左极点和上极点别离为A、B，左、右核心别离是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P知足PF1⊥PF2，那么椭圆的离心率的平方为（）A．√32B．√3−12C．3+√52D．3−√5218．已知双曲线x2x2−x2x2=1，（a，b＞0）的左、右核心别离为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，直线AF2与双曲线的另一个交点为C，假设S△ABC=3S△xxx2，那么双曲线的离心率为（）A．√2B．√3C．2 D．√519．已知A，B别离为椭圆C：x2x2+x2x2=1（a＞b＞0）的左、右极点，不同两点P，Q在椭圆C上，且关于x轴对称，设直线AP，BQ的斜率别离为m，n，那么当2xx+xx+12xx+ln|m|+ln|n|取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．√33B．√23C．12D．√2220．设椭圆C：x2x2+x2x2=1（a＞b＞0）和圆x2+y2=b2，假设椭圆C上存在点P，使得过点P引圆O 的两条切线，切点别离为A、B，知足∠APB=60°，那么椭圆的离心率e的取值范围是（）A．0＜e≤√32B．12≤e＜1 C．√32＜e＜1 D．√32≤e＜121．已知椭圆和双曲线有一起的核心F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=x3，记椭圆和双曲线的离心率别离为e1，e2，那么当1x1x2取最大值时，e1，e2的值别离是（）A．√22，√62B．12，√52C．√33，√6D．√24，√322．如下图，A，B，C是双曲线x2x2−x2x2=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB通过原点O，AC通过右核心F，假设BF⊥AC且|BF|=|CF|，那么该双曲线的离心率是（）A．√102B．√10 C．32D．323．过双曲线x2x2﹣x2x2=1（b＞0，a＞0）的左核心F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=x24的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，假设xx→=12（xx→+xx→），那么双曲线的离心率为（）A．√102B．√105C．√10 D．√224．已知点P是双曲线x2x2−x2x2=1(x＞0，x＞0)左支上除极点外的一点，F1，F2别离是双曲线的左、右核心，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，双曲线离心率为e，那么xxx x2xxx x2=（）A．x−1x+1B．x+1x−1C．x2+1x2−1D．x2−1x2+125．设F是双曲线x2x2−x2x2=1(x＞0，x＞0)的右核心，双曲线两条渐近线别离为l1，l2，过F作直线l1的垂线，别离交l1，l2于A、B两点，且向量xx→与xx→同向．假设|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，那么双曲线离心率e的大小为（）A ．√52B ．√62C ．√72D ．226．已知点P 为双曲线x 2x 2−x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的右支上一点，F 1、F 2为双曲线的左、右核心，使 (xx →+xx 2→)⋅x 2x →=0（O 为坐标原点），且|xx 1→|=√3|xx 2→|，那么双曲线离心率为（ ）A ．√6+12B ．√6+1C ．√3+12D ．√3+127．已知椭圆x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)的左核心F 1，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点Q 在椭圆的右准线上，假设xx →=2x 1x →，x 1x →=x (x 1x →|x 1x →|+x 1x →|x 1x →|)(x＞0)那么椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．√32C ．√5−12D ．√5+1428．设双曲线的﹣个核心为F ，虚轴的一个端点为B ，若是直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．√3+12D ．√5+1229．已知双曲线E 的离心率为e ，左、右两核心别离为F 1、F 2，抛物线C 以F 2为极点，F 1为核心，点P 为抛物线与双曲线右支上的一个交点，假设a|PF 2|+c|PF 1|=8a 2，那么e 的值为（ ） A ．√3 B ．3C ．√2D ．√630．已知双曲线x 2x 2−x 2x2=1（a ＞b ＞0）的半焦距为c ，直线l 的方程为bx+ay ﹣ab=0，假设原点O 到直线l 的距离为√34x ，那么双曲线的离心率为（ ）A ．2√33或2B ．2√33C ．√2或2√33D ．231．若是以原点为圆心的圆通过双曲线x 2x 2−x 2x2=1(x＞0，x＞0)的极点，而且被直线x =x 2x （c 为双曲线的半焦距）分为弧长为3：1的两段弧，那么该双曲线的离心等于…（ ）A ．2B ．√3C ．√2D ．√6232．过双曲线M ：x 2﹣x2x2=1的左极点A 作斜率为1的直线l ，假设l 与双曲线M 的两条渐近线别离相交于点B ，C ，且|AB|=|BC|，那么双曲线M 的离心率是（ ）A ．√10B ．√5C ．√103D ．√5233．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共核心，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2=x3，那么椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A ．4√33B ．2√33C ．3D ．234．已知椭圆C ：x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左、右极点别离为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切，那么C 的离心率为（ ） A ．√63 B ．√33 C ．√23 D ．1335．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左核心，A ，B 别离为C 的左，右极点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．假设直线BM 通过OE 的中点，那么C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3436．已知椭圆C ：x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)的左核心F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，假设|AB|=10，|AF|=6，xxx∠xxx =45，那么C 的离心率为（ ）A ．35B ．57C ．45D ．6737．设双曲线C 的中心为点O ，假设有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2别离是这对直线与双曲线C 的交点，那么该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．(2√33，2] B ．[2√33，2) C ．(2√33，+∞) D ．[2√33，+∞)38．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左核心为在以AB 为直径的圆内，那么该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A ．（0，√2） B ．（1，√2） C ．（√22，1） D ．（√2，+∞）39．设圆锥曲线r 的两个核心别离为F 1，F 2，假设曲线r 上存在点P 知足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2，那么曲线r 的离心率等于（ ）A ．12或32B ．23或2C ．12或2D ．23或3240．椭圆x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)的右核心为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 知足线段AP 的垂直平分线过点F ，那么椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．（0，√22] B ．（0，12] C ．[√2−1，1） D ．[12，1） 41．曲线x 210−x +x 26−x =1(x＜6)与曲线x 25−x +x 29−x=1(5＜x＜9)的（ ）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．核心相同D ．准线相同 42．已知双曲线x：x 2x 2−x 2x2=1(x＞0，x＞0)的右核心为F ，过F 且斜率为√3的直线交C 于A 、B 两点，假设xx→=4xx →，那么C 的离心率为（ ）A ．65B ．75C ．58D ．9543．双曲线x 2x 2−x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的两个核心为F 1、F 2，假设P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|，那么双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．（1，3）B ．（1，3]C ．（3，+∞）D ．[3，+∞]44．设△ABC 是等腰三角形，∠ABC=120°，那么以A ，B 为核心且过点C 的双曲线的离心率为（ ）A ．1+√22 B ．1+√32C ．1+√2D ．1+√3 45．双曲线x 2x 2−x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的右支上存在一点，它到右核心及左准线的距离相等，那么双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1，√2] B ．[√2，+∞) C ．(1，√2+1] D ．[√2+1，+∞)46．从椭圆x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左核心F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP （O 是坐标原点），那么该椭圆的离心率是（ ）A ．√24 B ．12C ．√22D ．√3247．已知双曲线x 2x 2−x 2x2=1(x＞0，x＞0)的右核心为F ，假设过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，那么此双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．（1，2] B ．（1，2） C ．[2，+∞） D ．（2，+∞）48．设F 1、F 2别离是椭圆x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)的左、右核心，P 是其右准线上纵坐标为√3x（c 为半焦距）的点，且|F 1F 2|=|F 2P|，那么椭圆的离心率是（ ）A ．√3−12B ．12C ．√5−12D ．√2249．设F 1，F 2别离是双曲线x 2x 2−x2x2=1的左、右核心．假设双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，那么双曲线离心率为（ ）A ．√52B ．√102C ．√152D ．√550．已知双曲线x 2x 2−x 2x2=1(x＞0，x＞0)的左、右核心别离为F 1，F 2，P 是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|•|PF 2|=4ab ，那么双曲线的离心率是（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2 D ．3高中压轴选择题离心率专项参考答案与试题解析一．选择题（共50小题）1．椭圆核心在x 轴上，A 为该椭圆右极点，P 在椭圆上一点，∠OPA=90°，那么该椭圆的离心率e 的范围是（ ）A ．[12，1）B ．（√22，1）C ．[12，√63）D ．（0，√22）【分析】可设椭圆的标准方程为：x 2x 2+x2x2=1（a ＞b ＞0）．设P （x ，y ），由于∠OPA=90°，可得点P 在以OA 为直径的圆上．该圆为：(x −x 2)2+x 2=(x2)2，化为x 2﹣ax+y 2=0．与椭圆的方程联立可得：（b 2﹣a 2）x 2+a 3x ﹣a 2b 2=0，取得x =xx 2x 2，由于0＜x ＜a ，可得0＜xx 2x 2＜x ，解出即可．【解答】解：可设椭圆的标准方程为：x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）．设P （x ，y ），∵∠OPA=90°，∴点P 在以OA 为直径的圆上． 该圆为：(x −x 2)2+x 2=(x2)2，化为x 2﹣ax+y 2=0． 联立{x 2−xx +x 2=0x 2x 2+x 2x 2=1化为（b 2﹣a 2）x 2+a 3x ﹣a 2b 2=0，解得x =xx 2x 2，∵0＜x ＜a ，∴0＜xx 2x 2＜x ，化为c 2＞b 2=a 2﹣c 2，∴x 2＞12，又1＞e ＞0． 解得√22＜x＜1．∴该椭圆的离心率e 的范围是(√22，1)． 应选：B ．【点评】此题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．2．过椭圆x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左核心F 作斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点．假设向量xx →+xx →与向量x →=（3，﹣1）共线，那么该椭圆的离心率为（ ） A ．√33 B ．√63 C ．√34 D ．√23 【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．F （﹣c ，0）．直线l 的方程为：y=x+c ，与椭圆方程联立化为：（a 2+b 2）x 2+2ca 2x+a 2c 2﹣a 2b 2=0，依照向量xx→+xx →与向量x →=（3，﹣1）共线，及其根与系数的关系即可得出．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．F （﹣c ，0）．直线l 的方程为：y=x+c ，联立{x =x +xx 2x 2+x 2x 2=1，化为：（a 2+b 2）x 2+2ca 2x+a 2c 2﹣a 2b 2=0，∴x 1+x 2=−2xx 2x 2+x 2，y 1+y 2=x 1+x 2+2c=2xx 2x 2+x 2，∴向量xx →+xx →=（−2xx 2x 2+x 2，2xx 2x 2+x 2），∵向量xx→+xx →与向量x →=（3，﹣1）共线， ∴﹣−2xx 2x 2+x 2﹣3×2xx 2x 2+x 2=0，∴a 2=3b 2，∴x =x x =√1−x 2x 2=√63．应选：B ．【点评】此题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量共线定理、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．设椭圆C ：x 2x 2+x 2x 2=1（a ＞b ＞0）的左、右核心别离为F 1、F 2，其焦距为2c ，点Q （c ，x2）在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且|PF 1|+|PQ|＜5|F 1F 2|恒成立，那么椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．（15，√22）B ．（14，√22）C ．（13，√22）D ．（25，√22）【分析】点Q （c ，x 2）在椭圆的内部，x 2x ＞x2，|PF 1|+|PQ|=2a ﹣|PF 2|+|PQ|，由﹣|QF 2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF 2|≤|QF 2|，且|QF 2|=x 2，要|PF 1|+|PQ|＜5|F 1F 2|恒成立，即2a ﹣|PF 2|+|PQ|≤2a+x2＜5×2c ．【解答】解：∵点Q （c ，x 2）在椭圆的内部，∴x 2x ＞x2，⇒2b 2＞a 2⇒a 2＞2c 2．x x ＜√22|PF 1|+|PQ|=2a ﹣|PF 2|+|PQ|又因为﹣|QF 2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF 2|≤|QF 2|，且|QF 2|=x2，要|PF 1|+|PQ|＜5|F 1F 2|恒成立，即2a ﹣|PF 2|+|PQ|≤2a+x2＜5×2c5x 2＜10x ，x x ＞14，那么椭圆离心率的取值范围是（14，√22）． 应选：B【点评】此题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键，属于难题．4．已知椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(x＞x＞0)，点A （c ，b ），右核心F （c ，0），椭圆上存在一点M ，使得xx →⋅xx →=xx →⋅xx →，且xx →+xx →=xxx →(x ∈x )，那么该椭圆的离心率为（ ）A ．√22B ．√32C ．√33D ．√23【分析】设M （x ，y ），由xx →⋅xx →=xx →⋅xx →⇒cx+by=c 2，…①，由xx→+xx →=xxx →(x ∈x )，cy ﹣bx=bc…②由①②得x=x 2x −2x 2x x 2，y=2xx 2x 2，…③把③代入椭圆x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)得a 4c 2+4c 6=a 6⇒2c 3=b 3+bc 2，c 3﹣b 3=bc 2﹣c 3，⇒（c ﹣b ）（b 2+bc+2c 2）=0⇒b=c ．【解答】解：设M （x ，y ），∵xx →⋅xx →=xx →⋅xx →∴xx →⋅(xx →−xx )→=0，⇒xx→⋅xx →=0 ⇒即OA ⊥MF ⇒cx+by=c 2，…①.xx→+xx →=(x +x，x )，因为xx →+xx →=xxx →(x ∈x )，xx →+xx →与xx →共线，cy ﹣bx=bc…②由①②得x=x 2x −2x 2x x 2，y=2xx 2x 2，…③把③代入椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(x＞x＞0)得a 4c 2+4c 6=a 6⇒2c 3=b 3+bc 2，c 3﹣b 3=bc 2﹣c 3，⇒（c ﹣b ）（b 2+bc+2c 2）=0⇒b=c ⇒a=√2x ，椭圆的离心率e=x x =√22．应选：A【点评】此题考查了向量与圆锥曲线的综合应用，及向量的线性运算、转化思想，属于难题．5．已知点A 为椭圆E ：x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左极点，B ，C 两点在椭圆E 上，假设四边形OABC为平行四边形，O 为坐标系原点，∠OAB=30°，那么椭圆E 的离心率为（ ） A ．2√23 B ．√22 C ．12D ．√24【分析】如下图，四边形OABC 为平行四边形，∠OAB=30°，直线OC 的方程为：y=√33x ，联立{x =√33x x 2x 2+x 2x 2=1，解得：x C ．同理联立{x =√33(x +x )x 2x 2+x 2x 2=1，解得x B ．依照|OA|=|CB|=a ，即x C ﹣x B =a 化简即可得出．【解答】解：如下图，四边形OABC 为平行四边形，∠OAB=30°， ∴直线OC 的方程为：y=√33x ，联立{x =√33x x 2x 2+x 2x2=1，解得：x C =√3xx √22． 同理联立{x =√33(x +x )x 2x 2+x 2x 2=1，化为：（a 2+3b 2）x 2+2a 3x+a 4﹣3a 2b 2=0．解得x B =a −2x 3x 2+3x 2=3xx 2−x 3x 2+3x 2．∵|OA|=|CB|=a ，∴√3xx√22﹣3xx 2−x 3x 2+3x 2=a ．化为：a=3b ．∴椭圆的离心率e=x x=√1−x 2x 2=2√23．应选：A ．【点评】此题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．已知椭圆x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左极点和上极点别离为A ，B ，左、右核心别离是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 知足PF 1⊥PF 2，那么椭圆的离心率为（ ） A ．√5−12B ．√3−12C ．√53 D ．√32【分析】由题意可求得AB 的方程，设出P 点坐标，代入AB 得方程，由PF 1⊥PF 2，得xx 1→•xx 2→=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案． 【解答】解：依题意，作图如下∵A （﹣a ，0），B （0，b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），∴直线AB 的方程为：x −x +xx =1，整理得：bx ﹣ay+ab=0，设直线AB 上的点P （x ，y ） 则bx=ay ﹣ab ，∴x=xx y ﹣a ，∵PF 1⊥PF 2，∴xx 1→•xx 2→=（﹣c ﹣x ，﹣y ）•（c ﹣x ，﹣y ）=x 2+y 2﹣c 2=（xx）2+y 2﹣c 2，令f （y ）=（x x ）2+y 2﹣c 2，则f′（y ）=2（x x y ﹣a ）×xx+2y ，∴由f′（y ）=0得：y=x 2x x 2+x 2，于是x=﹣xx 2x 2+x 2，∴xx 1→•xx 2→=（﹣xx 2x 2+x 2）2+（x 2x x 2+x2）2﹣c 2=0， 整理得：x 2x 2x 2+x 2=c 2，又b 2=a 2﹣c 2，e 2=x 2x2，∴e 4﹣3e 2+1=0，∴e 2=3±√52，又椭圆的离心率e ∈（0，1），∴e 2=3−√52=（√5−12）2，∴椭圆的离心率为e=√5−12．应选A ．【点评】此题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题．7．已知F 1，F 2是椭圆x：x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)的左、右核心，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，那么x 2+x 2x（其中e 为椭圆C 的离心率）的最小值为（ ）A ．√6B ．3√64 C ．√5 D ．3√54【分析】如下图，由 切线的性质可得：OQ ⊥PF 2．又点O 为线段F 1F 2的中点，利用三角形中位线定理可得：OQ ∥PF 1，PF 1⊥PF 2．再利用椭圆的概念、勾股定理可得（2b ）2+（2a ﹣2b ）2=（2c）2，化为：b=2x3．c2=a2﹣b2=59x2．代入x2+x2x，利用大体不等式的性质即可得出．【解答】解：如下图，由切线的性质可得：OQ⊥PF2．又点O为线段F1F2的中点，Q为线段PF2的中点，∴OQ∥PF1，∴PF1⊥PF2．∴|PF1|=2|OQ|=2b，|PF2|=2a﹣2b．在Rt△PF1F2中，（2b）2+（2a﹣2b）2=（2c）2，化为：b2+（a﹣b）2=c2=a2﹣b2，化为：b=2x 3．∴c2=a2﹣b2=x2−(2x3)2=59x2．∴x2+x2x=x2+x2x2x=x4+59x2x2×2x3=9x2+56x≥2√9x2⋅56x=√5，当且仅当a2=59时取等号．∴x2+x2x（其中e为椭圆C的离心率）的最小值为√5．应选：C．【点评】此题考查了椭圆的概念标准方程与几何性质、三角形中位线定理、勾股定理、大体不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8．已知双曲线x2x2﹣x2x2=1（a＞0，b＞0）的左、右核心别离是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，假设|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，那么该双曲线的离心率为（）A．75B．43C．2 D．103【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，依照双曲线的第二概念即可求出Q到l的距离为32x．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有x−x2x−x12x=25，如此即可求得d=5x−5x2x6，依照已知条件及双曲线的概念能够求出|PF2|=2c﹣2a，因此依照双曲线的第二概念即可取得2x−2x5x−5x2x6=xx，进一步可整理成5(xx)2−12(xx)+7=0，如此解关于xx的方程即可．【解答】解：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，别离交l于P1，Q1；∵|xx2||xx1|=|xx2||xx1|，3|PF2|=2|QF2|；∴x|xx1|=23，|xx1|=32x；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，那么：|xx2||xx|=x−x2x−x12x=25；∴解得d=5x−5x2x6；∵依照双曲线的概念，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a；∴依照双曲线的第二概念，2x−2x5x−5x2x6=xx；整理成：5(xx)2−12(x x)+7=0；∴解得xx=75，或xx=1（舍去）；即该双曲线的离心率为75．应选A．【点评】考查双曲线的第二概念，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、核心的概念，和对双曲线的概念的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系．9．己知O 为坐标原点，双曲线x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线别离为l 1，l 2，右核心为F ，以OF 为直径作圆交l 1于异于原点O 的点A ，假设点B 在l 2上，且xx →=2xx →，那么双曲线的离心率等于（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2D ．3【分析】求出双曲线的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出A ，B 的坐标，结合点B 在渐近线y=﹣xxx 上，成立方程关系进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程l 1，y=x x x ，l 2，y=﹣xx x ，F （c ，0），圆的方程为（x ﹣x 2）2+y 2=x 24，将y=x x x 代入（x ﹣x 2）2+y 2=x 24，得（x ﹣x 2）2+（x x x ）2=x 24，即x 2x 2x 2=cx ，那么x=0或x=x 2x ，当x=x 2x 时，y ═x x •x 2x =xx x ，即A （x 2x ，xx x）， 设B （m ，n ），那么n=﹣xx•m，则xx →=（m ﹣x 2x ，n ﹣xx x ），xx →=（x 2x ﹣c ，xxx），∵xx→=2xx →， ∴（m ﹣x 2x ，n ﹣xx x ）=2（x 2x ﹣c ，xxx ）则m ﹣x 2x =2（x 2x ﹣c ），n ﹣xx x =2•xx x ，即m=3x 2x ﹣2c ，n=3xx x ，即3xx x =﹣x x •（3x 2x ﹣2c ）=﹣3xx x +2xx x ，即6xx x =2xx x ，则c 2=3a 2， 则xx=√3， 应选：B ．【点评】此题要紧考查双曲线离心率的计算，依照条件成立方程组关系，求出交点坐标，转化为a ，c 的关系是解决此题的关键．考查学生的计算能力．10．设双曲线x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的右核心为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，假设xx →=λxx →+u xx →（λ，μ∈R ），λ2+u 2=58，那么双曲线的离心率为（ ）A ．2√33B ．3√55C ．3√22D ．98【分析】由方程可得渐近线，可得A ，B ，P 的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=xx，解之可得λμ的值，由λ2+u 2=58，可得a ，c 的关系，由离心率的概念可得．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±xxx ，设核心F （c ，0），那么当x=c 时，y ═±x x •c=±xxx，即A （c ，xx x ），B （c ，﹣xx x ），P （c ，x 2x ），因为xx→=λxx →+μxx →， 因此（c ，x 2x ）=（（λ+μ）c ，（λ﹣μ）xx x），因此λ+μ=1，λ﹣μ=xx，解得：λ=x +x 2x ，μ=x −x2x ，∵λ2+u 2=58，∴（x +x 2x ）2+（x −x 2x ）2=58，即2x 2+2x 24x 2=58，即c 2=4b 2． 则c 2=4（c 2﹣a 2）， 则3c 2=4a 2．√3c=2a ，则e=2√3=2√33，应选：A ．【点评】此题要紧考查双曲线离心率的计算，依照交点坐标，结合平面向量的数量积公式是解决此题的关键．11．设A 、B 别离为双曲线C ：x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右极点，P ，Q 是双曲线C 上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP 、BQ 的斜率别离为m 、n ，那么2x x +x x +12|xx |+ln|m|+ln|n|取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．√6 D ．√62【分析】设P （x 0，y 0），那么Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2（x 02x 2﹣1）．A （﹣a ，0），B （a ，0），利用斜率计算公式取得：mn=﹣x 2x 2，那么2x x +x x +12|xx |+ln|m|+ln|n|=2x x +x x +x 22x 2+ln x 2x 2=f （xx），令x x =t ＞0，那么f （t ）=2x +t+12t 2﹣2lnt ．利用导数研究其单调性，求得最小值点，再由离心率公式即可得出．【解答】解：设P （x 0，y 0），那么Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2（x 02x2﹣1），即有x 02x 02−x 2=x 2x 2，由双曲线的方程可得A （﹣a ，0），B （a ，0），则m=x 0x 0+x ，n=x 0x −x 0，∴mn=x 02x 2−x 02=﹣x 2x2，∴2x x +x x +12|xx |+ln|m|+ln|n| =2x x +x x +x 22x 2+ln x 2x 2 =f （x x ），令x x =t ＞0，那么 f （t ）=2x +t+12t 2﹣2lnt ． f′（t ）=﹣2x 2+1+t ﹣2x =(x +1)(x 2−2)x 2，可知：当t=√2时，函数f （t ）取得最小值 f （√2）=2√2+√2+12×2﹣2ln √2=2√2+1﹣ln2．∴xx =√2． ∴e=x x =√1+(x x )2=√1+12=√62． 应选：D ．【点评】此题考查了双曲线的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12．已知椭圆x 1：x 2x 2+x 2x2=1(x＞x＞0)和圆x 2：x 2+x 2=x 2，假设椭圆C 1上存在点P ，过点P 作圆C 2的两条切线PA ，PB （A ，B 为对应的切点），且知足∠xxx =x3，那么椭圆最圆的时离心率e=（ ）A．√33B．√24C．√32D．√34【分析】连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，可得∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，cos∠AOP=x|xx|=12，可得b＜|OP|≤a，可得椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，∴cos∠AOP=x|xx|=12，∴|OP|=2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，由a2=b2+c2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即e≥√32，又0＜e＜1，∴√32≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是√32≤e＜1．∴椭圆最圆的时离心率e=√3 2．应选：C．【点评】此题考查了椭圆的标准方程及其性质、四点共圆的性质、直角三角形的边角关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13．设双曲线C：x2x2﹣x2x2=1（a＞0，b＞0）的左右核心别离为F1，F2，假设在曲线C的右支上存在点P，使得△PF1F2的内切圆半径为a，圆心记为M，又△PF1F2的重心为G，知足MG∥F1F2，那么双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．2 D．√5【分析】设P（s，t）（s，t＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），运用三角形的重心坐标，求得内心的坐标，可得t=3a，再结合双曲线的概念和等积法，求得|PF2|=2c﹣a，再由双曲线的离心率公式和第二概念，可得s=2a，将P的坐标代入双曲线的方程，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可取得所求值．【解答】解：设P（s，t）（s，t＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0），可得重心G（x−x+x3，x3）即（x3，x3），设△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点N，与边PF1的切点为K，与边PF2上的切点为Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与N的横坐标相同．由双曲线的概念，|PF1|﹣|PF2|=2a．①由圆的切线性质|PF1|﹣PF2|=|FIK|﹣|F2Q|=|F1N|﹣|F2N|=2a，∵|F1N|+|F2N|=|F1F2|=2c，∴|F2N|=c﹣a，|ON|=a，即有M（a，a），由MG∥F1F2，则△PF1F2的重心为G（x3，a），即t=3a，由△PF1F2的面积为12•2c•3a=12a（|PF1|+|PF2|+2c），可得|PF1|+|PF2|=4c②由①②可得|PF2|=2c﹣a，由右准线方程x=x2x，双曲线的第二概念可得e=xx=|xx2|x−x2x，解得s=2a，即有P （2a ，3a ），代入双曲线的方程可得 4x 2x 2﹣9x 2x 2=1，可得b=√3a ， c=√x 2+x 2=2a ，即e=xx =2．应选：C ．【点评】此题考查双曲线的概念、方程和性质，主若是离心率和准线方程，运用概念法是解题的关键，同时考查内心和重心的坐标的求法，考查化简整理的运算能力，属于难题．14．已知第一象限内的点M 既在双曲线C 1：x 2x 2﹣x 2x2=1（a ＞0，b ＞0）上，又在抛物线C 2：y 2=2px上，设C 1的左，右核心别离为F 1、F 2，假设C 2的核心为F 2，且△MF 1F 2是以MF 1为底边的等腰三角形，那么双曲线的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．1+√2D ．2+√3【分析】依照条件取得抛物线和双曲线的核心相同，依照双曲线和抛物线的概念取得△MF 1F 2为等腰直角三角形，利用概念成立方程进行求解即可．【解答】解∵设C 1的左，右核心别离为F 1、F 2，假设C 2的核心为F 2， ∴抛物线的准线方程为x=﹣c ，若△MF 1F 2是以MF 1为底边的等腰三角形， 由于点M 也在抛物线上， ∴过M 作MA 垂直准线x=﹣c 则MA=MF 2=F 1F 2，那么四边形AMF 2F 1为正方形， 则△MF 1F 2为等腰直角三角形， 则MF 2=F 1F 2=2c ，MF 1=√2MF 2=2√2c ， ∵MF 1﹣MF 2=2a ， ∴2√2c ﹣2c=2a ，那么（√2﹣1）c=a ，那么离心率e=x x =1√2−1=1+√2，应选：C【点评】此题要紧考查双曲线离心率的计算，依照双曲线和抛物线的概念取得△MF 1F 2为等腰直角三角形是解决此题的关键．考查学生的转化和推理能力．15．已知E ，F 为双曲线x：x 2x 2−x 2x 2=1(0＜x＜x )的左右核心，抛物线y 2=2px （p ＞0）与双曲线有公共的核心F ，且与双曲线交于A 、B 不同两点，假设5|AF|=4|BE|，那么双曲线的离心率为（ ）A ．4+√7B ．4−√3C ．4+√3D ．4−√7【分析】依照双曲线的概念求出|BE|=10a ，|BF|=8a ，结合抛物线的概念求出交点B 的纵坐标，结合直角三角形的边角关系成立方程进行求解即可．【解答】解：依照双曲线和抛物线的对称性得|BF|=|AF|=45|BE|，∵|BE|﹣|BF|=2a ， ∴|BE|﹣45|BE|=|BE|=2a，则|BE|=10a ，|BF|=8a ，∵抛物线y 2=2px （p ＞0）与双曲线有公共的核心F ， ∴x2=c ，且x=﹣c 是抛物线的准线， 则|BD|=|BF|=8a ，设B （x ，y ），那么由抛物线的性质得x+c=8a ，即x=8a ﹣c ， 代入抛物线方程y 2=2px=4cx 得y 2=4c （8a ﹣c ）， 则|DE|2=y 2=4c （8a ﹣c ）， 在直角三角形BDE 中， BE 2=DE 2+BD 2，即100a 2=64a 2+4c （8a ﹣c ）， 即36a 2﹣32ac+4c 2=0， 即c 2﹣8ac+9a 2=0， 解e 2﹣8e+9=0，得e=8±√64−362=4±√7，∵0＜a ＜b ，∴e=x x =√1+x 2x 2＞√2，∴e=4+√7， 应选：A【点评】此题要紧考查双曲线离心率的计算，依照抛物线和双曲线的概念成立方程关系，求出a ，c 的关系是解决此题的关键．综合性较强，有必然的难度．16．设A 为椭圆x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）上一点，点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右核心，且AF ⊥BF ．假设∠ABF ∈[x 4，5x12]，那么该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0，√22]B ．[√22，1)C ．[0，√63]D ．[√22，√63]【分析】设左核心为：N ．连接AF ，AN ，AF ，BF ，可得：四边形AFNB 为矩形．根据椭圆的概念：|AF|+|AN|=2a ．∠ABF=α，可得∠ANF=α．可得2a=2ccosα+2csinα，e=1xxxx +xxxx =1√2xxx (x +x 4)，依照α的取值范围即可得出．【解答】解：设左核心为：N ．连接AF ，AN ，AF ，BF ，可得：四边形AFNB 为矩形． 依照椭圆的概念：|AF|+|AN|=2a ． ∠ABF=α，那么：∠ANF=α． ∴2a=2ccosα+2csinα ∴e=2x 2x =1xxxx +xxxx =1√2xxx (x +x 4)， α=∠ABF ∈[x 4，5x 12]，∴(x +x 4)∈[x 2，2x3]，∴xxx (x +x4)∈[√32，1]．∴e ∈[√22，√63]．应选：D ．【点评】此题考查了椭圆的概念标准方程及其性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17．已知椭圆x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左极点和上极点别离为A 、B ，左、右核心别离是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 知足PF 1⊥PF 2，那么椭圆的离心率的平方为（ ）A ．√32 B ．√3−12C ．3+√52D ．3−√52【分析】由题意可求得AB 的方程，设出P 点坐标，代入AB 得方程，由PF 1⊥PF2，得xx 1→•xx 2→=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案．【解答】解：依题意，作图如下：A （﹣a ，0），B （0，b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），∴直线AB 的方程为：椭圆x 2x 2+x 2x2=1整理得：bx ﹣ay+ab=0，设直线AB 上的点P （x ，y ） 则bx=ay ﹣ab ，∴x=xx y ﹣a ，∵PF 1⊥PF 2，∴xx 1→•xx 2→=（﹣c ﹣x ，﹣y ）•（c ﹣x ，﹣y ）=x 2+y 2﹣c 2=（x x）2+y 2﹣c 2，令f （y ）=（xx ）2+y 2﹣c 2，则f′（y ）=2（x x y ﹣a ）×xx+2y ，∴由f′（y ）=0得：y=x 2x x 2+x ，于是x=﹣xx 2x 2+x 2，∴xx 1→=（﹣xx 2x 2+x 2）2+（x 2x x 2+x ）2﹣c 2=0，整理得：x 2x 2x 2+x 2=c 2，又b 2=a 2﹣c 2，e 2=x 2x2，∴e 4﹣3e 2+1=0，∴e 2=3±√52，又椭圆的离心率e ∈（0，1）， ∴e 2=3−√52．椭圆的离心率的平方3−√52，应选D ．【点评】此题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题．18．已知双曲线x 2x 2−x 2x 2=1，（a ，b ＞0）的左、右核心别离为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，直线AF 2与双曲线的另一个交点为C ，假设S △ABC =3S △xxx 2，那么双曲线的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2D ．√5【分析】如下图，S △ABC =3S △xxx 2，|AC|=3|F 2C|，求得A （﹣c ，x 2x），求得直线AF 2的方程，代入双曲线方程，运用韦达定明白得得x C ．依照xx 2→=4xx 2→，由向量的坐标运算，结合离心率公式和a ，b ，c 的关系，即可得出所求值． 【解答】解：如下图： ∵S △ABC =3S△xxx 2，∴|AC|=3|F 2C|．由x=﹣c ，代入双曲线的方程，可得y=±x 2x ，取A （﹣c ，x 2x ），直线AF 2的方程为：y ﹣0=x 2x−0−x −x （x ﹣c ）， 化为：y=﹣x 22xx （x ﹣c ），代入双曲线x 2x 2−x 2x2=1，（a ，b ＞0），可得：（4c 2﹣b 2）x 2+2cb 2x ﹣b 2c 2﹣4a 2c 2=0，∴x C ×（﹣c ）=﹣x 2x 2+4x 2x 24x 2−x 2，解得x C =x 2x +4x 2x4x 2−x 2．∵xx 2→=4xx 2→，∴c ﹣（﹣c ）=4（c ﹣x 2x +4x 2x4x 2−x 2），化为：5a 2=c 2，解得e=xx =√5．应选：D ．【点评】此题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．已知A ，B 别离为椭圆C ：x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）的左、右极点，不同两点P ，Q 在椭圆C上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率别离为m ，n ，那么当2x x +x x +12xx+ln|m|+ln|n|取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ） A ．√33B ．√23C ．12D ．√22【分析】设P （x 0，y 0），那么Q （x 0，﹣y 0），y 02=x 2(x 2−x 02)x 2．A （﹣a ，0），B （a ，0），利用斜率计算公式确信：mn=x 2x 2，2x x +x x +12xx +ln|m|+ln|n|=2x x +x x +x 22x 2+ln x 2x 2=x (x x )，令x x=t＞1，那么f （t ）=2x +t+12x 2﹣2lnt ．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P （x 0，y 0），那么Q （x 0，﹣y 0），x 02=x 2(x 2−x 02)x 2． A （﹣a ，0），B （a ，0），则m=x 0x +x 0，n=x 0x −x 0，∴mn=x 02x 2−x 02=x 2x2，∴2x x +x x +12xx +xx |x |+xx |x |=2x x +x x +x 22x2+xx x 2x 2=x (x x )，令x x =t ＞1，那么f （t ）=2x +x +12x 2﹣2lnt ． f′（t ）=−2x 2+1+t ﹣2x =(x +1)(x 2−2)x 2，可知：当t=√2时，函数f （t ）取得最小值x (√2)=2√2+√2+12×(√2)2﹣2ln √2=2√2+1﹣ln2．∴xx=√2． ∴x =√1−(x x )2=√22．应选：D ．【点评】此题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．设椭圆C ：x 2x 2+x 2x2=1（a ＞b ＞0）和圆x 2+y 2=b 2，假设椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O的两条切线，切点别离为A 、B ，知足∠APB=60°，那么椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．0＜e ≤√32 B ．12≤e ＜1 C ．√32＜e ＜1 D ．√32≤e ＜1【分析】由题意可知：由椭圆C ：x 2x 2+x 2x 2=1（a ＞b ＞0）核心在x 轴上，由图可知：O 、P 、A 、B四点共圆，∠APB=60°，那么∠APO=∠BPO=30°，cos ∠AOP=x 丨xx丨=12，|OP|=2b ，因此b ＜|OP|≤a ，即2b ≤a ，由a 2=b 2+c 2，可得3a 2≤4c 2，e ≥√32，又0＜e ＜1，即可求得椭圆的离心率e 的取值范围．【解答】解：由椭圆C：x2x2+x2x2=1（a＞b＞0）核心在x轴上，连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，∴cos∠AOP=x丨xx丨=12，∴|OP|=x12=2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，由a2=b2+c2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即x2x2≥34，∴e≥√32，又0＜e＜1，∴√32≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是√32≤e＜1．应选D．【点评】此题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于难题．21．已知椭圆和双曲线有一起的核心F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=x3，记椭圆和双曲线的离心率别离为e1，e2，那么当1x1x2取最大值时，e1，e2的值别离是（）A．√22，√62B．12，√52C．√33，√6D．√24，√3【分析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程别离为：x2x2+x2x2=1（a＞b＞0），c=√x2−x2，x2x12−x2x12=1，c=√x12+x12．设|PF1|=m，|PF2|=n．m＞n．利用概念可得：m+n=2a，m﹣n=2a1，解得m，n．利用余弦定理可得：xxxx3=x2+x2−(2x)22xx=12，化简整理可得：1x12+3x22=4，再利用大体不等式的性质即可得出．【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程别离为：x2x2+x2x2=1（a＞b＞0），c=√x2−x2，x2x12−x2x12=1，c=√x12+x12．设|PF1|=m，|PF2|=n．m＞n．则m+n=2a，m﹣n=2a1，∴m=a+a1，n=a﹣a1．xxxx3=x2+x2−(2x)22xx=12，化为：(x+x1)2+(x−x1)2﹣4c2=（a+a1）（a﹣a1）．∴x2+3x12﹣4c2=0，∴1x12+3x22=4，∴4≥2√1x12×3x22，化为：1x1x2≤2√3，当且仅当e1=√22，e2=√62时取等号．应选：A．【点评】此题考查了椭圆与双曲线的概念标准方程及其性质、余弦定理、大体不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
椭圆离心率专题
椭圆离心率专题1．从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e 为2．F 1，F 2分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，以1OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点A 、B ，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为3．若椭圆上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为4．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是5．椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，椭圆的离心率是6．椭圆2222x y a b+＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．7．直线x －2y ＋2＝0经过椭圆2222x y +＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________．8．已知椭圆12222=+by a x （a >0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。
9．以1F 、2F 为焦点的椭圆2222x y a b +＝１（0a b >>）上一动点P ，当12F PF ∠最大时12PF F ∠的正切值为2，则此椭圆离心率e 的大小为 。
10．对于椭圆22221(0,x y a b c a b +=>>=，定义c e a=为椭圆的离心率，椭圆离心率的取值范围是(0,1)e ∈，离心率越大椭圆越“扁”，离心率越小则椭圆越“圆”．若两椭圆的离心率相等，我们称两椭圆相似．已知椭圆2214x y m +=与椭圆2219x y m +=相似，则m 的值为11．如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB AB ⊥时,其离心此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e 等于12．以等腰直角△ABC 的两个顶点作为焦点，且经过另一顶点的椭圆的离心率为 .13．直线022=-+y x 经过椭圆)(12222o b a by ax >>=+的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．14．已知正方形ABCD 的四个顶点在椭圆）（0122>>=+b a b ya x 上，AB ∥x 轴，AD 过左焦点F ，则该椭圆的离心率为 ． 15．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．16．已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为17．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 满足a ≤，离心率为e ，则2e 的最大值是_______．19．若椭圆221x my +=_______________.20．已知P 是以1F ,2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点,若021=⋅PF PF ,21tan 21=∠F PF ,则此椭圆的离心率为____________.23．如图椭圆12222=+by a x (a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B , F 为右焦点, 过F 作平行与AB 的直线交椭圆于C 、D 两点. 作平行四边形OCED, E 恰在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；参考答案1．D【解析】由题意得：0tan 60a b==，∴b a =，∴2213b a =，∴22213a c a -=，即2113e -=，∴223e =，∴e =。
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题(含答案解析)
2023年高考数学复习---离心率问题专项练习题（含答案解析）一、单选题1．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a −=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a −，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．2⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．)+∞【答案】C 【解析】设双曲线左焦点为1F ，因为点P 在双曲线左支上，所以有12PF PF a −=， 即12PF PF a =+.由已知得，存在点P ，使得7PA PF +=，即172PA PF a +=−，显然720a −>，所以72a <.又11PA PF AF +≥=P 位于图中1P 位置时，等号成立，72a −，又221c a =+，72a −，整理可得，214240a a −+≥，解得2a ≤或12a ≥（舍去）， 所以02a <≤，则204a <≤，则2114a ≥，所以2222211514c a a a a +==+≥，所以c e a ===. 故选：C.2．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【解析】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b −=>>的下焦点，不妨设()0,F c −，所以过Fy x c =−，所以),0B . 因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y ca y x b⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：a .所以离心率c e a ====.故选：C3．（2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，22NF =，则椭圆C 的离心率为（ ） AB ．12CD【答案】C【解析】依题意作图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分，∴四边形12MF NF 是矩形，其中12π2F MF ∠=，12NF MF =， 设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=，整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，x a =由22NF =，得23MN MF =，即(32a c =，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得37e =． 故选：C ．4．（2022春·江苏南通·高三期末）如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，若直线AC 与BD 的斜率之积为14−，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B C D ．34【答案】C【解析】设内层椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由离心率相同可知，外层椭圆的方程为22221()()x y ma mb +=，如图，设切线AC 的方程为1()y k x ma =−， 则1222()()()()y k x ma bx ay ab =−⎧⎨+=⎩， 消去y 得22223224222111()20b a k x ma k x m a k a b +−+−=由Δ0=，得2212211b k a m =⋅−，设切线BD 的方程为2y k x mb =+， 联立2222()()()y k x mb bx ay ab =+⎧⎨+=⎩，消去y 得222222222222()20b b a k x ma k x m a b a b +++−=，由Δ0=得22222(1)b k m a=⋅−，422124,b k k a∴⋅=又直线AC 与BD 的斜率之积为14−，2214b a ∴=2,,a b c ∴=e ∴故选：C5．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，A ，B 分别为C 的左右顶点，222:()(0)G x y m m m +−=>e 与y 轴的一个交点为D ，直线AD ，BG 的交点为M ，且MF x ⊥轴，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A【解析】解法一：由题意可知(,0),(,0),(0,2),(0,),(,0)A a B a D m G m F c −−， 故直线AD 的方程为2020()m y m x a −−=−−，即22my x m a=+， 直线BG 的方程为00m y m x a −−=−，即my x m a=+−， 联立直线AD ，BG 的方程，解得3M ax =−.又MF x ⊥轴，所以,33ac a c −=−=，所以C 的离心13c e a ==， 故选：A.解法二：设O 为坐标原点，由题意知(,0),(,0),(0,),(,0),(0,2),//A a B a G m F c D m MF OD −−， 故OAD FAM ，所以||||||||MF AF OD OA =，即2MF a c m a−=，解得2()m a c MF a −=. 又OGB FMB ，所以||||||||MF BF OG OB =，即MF a cm a+= ， 解得()||m a c MF a +=，则()()2m a c m a c a a+−=，得3a c =，所以C 的离心率13c e a == 故选：A.6．（2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，若AN NM MB ==，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A ．12 BCD【答案】C【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ， ∵AN NM MB ==，∴()1,0M x −，10,2y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则112,2y B x ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，得211222x x y y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，由22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +−+−+=， 即2121221212y y y y b x x x x a−+⋅=−−+， 其中121212y y x x −=−，且11112121113122232y yy y y x x x x x +−===−+，解得：111y x =， 故111121121111122222y y y y y y x x x x x x −+===−=−+−−， 故221122b a ⎛⎫⋅−=− ⎪⎝⎭，解得2214b a =， 故22214a c a −=，∴e =故选：C7．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 过坐标原点并交椭圆于,P Q 两点（P 在第一象限），点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．12 BCD【答案】D【解析】依题意，设()()()()1111221,,,,,,2,0P x y Q x y B x y A x −−，直线,(),PQ QB QA BP 的斜率一定存在,分别为123,,k k k ， 直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线,则PQ PB ⊥,则131k k =−, 则()()112111101233y y k k x x x −−===−−，∴3213k k =−，∵2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减得22221212220x x y y a b −−+=， ∴2121221212y y y y b x x x x a +−⋅=−+−，即2232b k k a=−， ∴2213b a −=−，∴2213b a =，∴22222213c b e a a ==−=，∴椭圆的离心率e =， 故选:D ．8．（2022春·浙江金华·高三期末）设O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的两个焦点，12,l l 为双曲线的两条渐近线，1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ，若2OA OB AB +=，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的渐近线方程为：0bx ay ±=，不妨令12:0,:0l bx ay l bx ay +=−=，因为直线1F A 垂直1l ，则111F A l k k ⋅=−，故1F A ak b=，又1(,0)F c −，1OF c = 则点1(,0)F c −到直线1:0l bx ay +=的距离为1AFb =，所以OA a ===，1F A a k b=，又1(,0)F c −，可知直线1F A 的方程为：()ay x c b =+，与2l 联立方程组可得：()ay x c bb y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则()b a x x c a b =+ ，解得22222a cx b a abc y b a ⎧=⎪⎪−⎨⎪=⎪−⎩，故22222,a c abc B b a b a ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭, 由||||2||OA OB AB +=,则222||ac OB b a ==−, Rt OAB 中，由勾股定理可得:()()()()224222244222222222222224a c a b a a ca b AB OB OA a bababa −−=−=−==−−−,故2222||ba AB b a =−；又||||2||OA OB AB +=,则2222224ac ba a b a b a +=−−，即2222241c ab b a b a +=−−，因为1F A 的延长线交2l 于B ，此时B 点的纵坐标大于0，即220abcb a>−，故220b a −>，所以2222b a b a −=− ，所以2222241c ab b a b a +=−−化简得2224b a c ab −+=.则224b ab =，故2b a =，则c e a ===故选：B.9．（2022春·广东广州·高三校考期中）已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，P 为双曲线的渐近线上一点，满足1260F PF ∠=︒，12OP F （O 为坐标原点），则该双曲线的离心率是（ ）A B C D 【答案】A【解析】由题可知，()1,0F c −，()2,0F c ， 根据对称性，不妨设P 为渐近线b y x a =上一点，坐标为,b m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，0m >，因为12OP F =2c ，则222212b m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故m ，故)P，在12PF F △中，1260F PF ∠=︒，由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠， 即222224))))c c c =+++−+122−，即22224424c a c b =++则22c =4422498c c a c =−， 即22485a c c =，即2285a c =，即2285c a =，所以c e a ==故选：A.10．（2022春·江苏·高三校联考阶段练习）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（ ）A B C ．23D ．13【答案】A【解析】令1213,2,,2aAF m AF a m BF m ==−=−则 则212BF a m =+， 又22,Rt AF AB ABF ⊥中，222196(2),245a a m a a m m ⎛⎫+=+−∴=⎪⎝⎭， 1264,55a aAF AF ∴==， 12Rt AF F 中，22223616524252525a a a c =+=，所以，离心率e =故选：A. 二、多选题11．（2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知双曲线2221(0)4x y b b −=>右焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，点()4,0F −，若ABF △为锐角三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．双曲线过点()2,0−B ．直线30x y −=与双曲线有两个公共点C ．双曲线的一条渐近线2b y x =D．双曲线的离心率取值范围为⎛ ⎝⎭【答案】ACD【解析】A 选项：将点()2,0−代入双曲线，得到2222014b−=，符合，所以双曲线过()2,0−点，故A 选项正确；D 选项：因为ABF △是锐角三角形，所以14AFF π∠<，则212tan tan 144b AFFc π∠=<=+，即282b c <+.因为双曲线22214x y b−=中2a =，所以22224b c a c =−=−，所以2482c c −<+，解得11c <c a <.因为1c e a =>，则1e <<，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝⎭，D 选项正确；C 选项：双曲线的一条渐近线为2b y x =，则斜率为2b ，22241444b c c −==−，又2c c a =<则221144b c =−−=4，所以2942b <<，即2b <故C 选项正确，B 选项：联立2221(0)430x y b b x y ⎧−=>⎪⎨⎪−=⎩，得()222314x x b −=，即()2224360b x b −−=，则()2260316b b ∆−=+，由C 选项得，6b <，此时Δ0<，故B 选项错误. 故选：ACD.12．（2022春·江苏常州·高三统考阶段练习）如图，椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点，且椭圆2C 的右顶点为椭圆1C 的中心，设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ，半焦距分别为1c 和2c ，离心率分别为1e 和2e ，则以下结论中正确的是（ ）A ．2121e e =−B ．1221a c a c >C ．1221a c a c +=+D ．122122a c a c −>−【答案】ACD【解析】由题知1222112,,a a a c a c =⎧⎨−=−⎩①②，由②两边同时加21c c +得1221a c a c +=+，故C 正确； 将①代入②得21222a c a c −=−， 两边同时除以2a 得：112212211222222c c ca a c a a −=−=−=−，即2121e e =−，故A 正确； 由②得11222222c a a c a c c =−+=+>，③③式两边同乘以2a 得1222122c a a c a c >=，故B 错误；由③式得122c c −<−，故两边同加1a 得21111222a c a c c a =−<−−，故D 正确. 故选：ACD13．（2022·浙江·模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，且AB ⊥BF ，则C 的离心率为（ ）A ．BF AFB ．22||||AB AFC ．2||AF BF AB ⋅ D【答案】ABD 【解析】由题意知，(,0)A a −，(0,)B b ，(c,0)F ，则(,)AB a b =，(,)BF c b =−， ∵ AB BF ⊥，∴0AB BF ⋅=，即：20ac b −=， ① 又∵ 222b a c =−，②∴由①②得：220c ac a +−=，即：210e e +−=， 又∵ 01e <<，∴e =，故D 项正确；∴c =，∴222222)b a c a =−=−=，∴||||BF aeAF a c=====+，故A 项正确；∴2222222||||()a AB a b e AF a c +====+，故B 项正确；∴222()||||()1||a aAF BF a c a e AB a b ⋅+==≠+，故C 项错误； 故选：ABD.14．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）如图，P是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n −=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论不正确的是（ ）A ．12,PF m a PF m a =+=−B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2b nθ=【答案】ACD【解析】依题意，121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得12,PF a m PF a m =+=-，A 不正确；令12||2F F c =，由余弦定理得：22222222212122212||||||()()42cos 2||||2()()PF PF F F a m a m c a m c PF PF a m a m a m θ+−++−−+−===+−−，当60θ=︒时，22234a m c +=，即22()3()4a m c c+=，因此2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2222a m c +=，即22()()2a m c c+=，有2212112e e +=，而221201e e <<<，则有22222222121122()22e e e e e e +<+=，解得22122e e >+，C 不正确； 22222222222222222221()2()()cos ()()1()n a m c a c c m b n b n a m a c c m b n bθ−+−−−−−====−−+−++， 22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222θθθθθθθθθ−−=−==++，于是得22221()1tan 21tan 1()2n b n bθθ−−=++，解得22tan()2n b θ=，而tan 0,02n b θ>>，因此tan 2nbθ=，D 不正确. 故选：ACD15．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，过点2F 的直线与双曲线的右支交于AB 、两点，记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F 的内切圆2I 的半径为2r ，若212r r a =，则（ ）A ．1I 、2I 在直线x a =上B ．双曲线的离心率2e =C ．1ABF 内切圆半径最小值是32aD ．12r r +的取值范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC 【解析】对A ：过1I 分别作1AF 、2AF 、12F F 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则1122,,AD AE F D F F F E F F ===，∵122AF AF a −=，则()()112122AD DF AE EF F F F F a +−+=−=， 又∵12122F F F F F F c =+=，则11FF OF OF a c =+=+， ∴OF a =，即1I 在直线x a =上， 同理可得：2I 在直线x a =上， A 正确； 对B ：∵2212121221，A B I F I F F I F I F F ∠∠∠∠==，则1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==， ∴122π2I F I ∠=， 又∵1222I F F F F FI F=，则2122I F I F F F =，即2212()r r c a a =−=，∴2c a =，故离心率为2ce a==，B 正确； 对C ：∵2e =，则2,c a b =，∴()22,0F a，双曲线的渐近线方程为y =，则直线AB 的倾斜角π2π,33θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设AB 直线方程为2x my a =+，()()1122,,,,m A x y B x y ⎛∈ ⎝⎭，联立方程2222213x my ax y a a=+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去x 得：()222311290m y may a −++=，∴2121222129,3131ma a y y y y m m +=−=−−，则()2121226113a m y y AB y m +−==−=−， 设1ABF 内切圆半径为r ，其周长()()()1112122242L AF BF AB AF AF BF BF AF BF AB a AB =++=−+−+++=+()2221211641313a m a a m m +=+=−−，根据1ABF 的面积可得：1212112222Lr c y y a y y =⨯⨯−=−，则122431316213a y y m r a a L m −−==≥−，C 正确； 对D ：由题意不妨设12I F F ∠α=，ππ,32θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∵2παθ+=，则πππ,243θα−⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，令tan t α⎡=∈⎣，∴12tan r FF at α==，22πtan 2a r FF t α⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，121r r a t t ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又∵1y t t=+在⎡⎣上单调递增，∴1212r r a t a t ⎡⎫⎛⎫+=+∈⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭，D 错误； 故选：ABC.16．（2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中）已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ） A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E 的渐近线方程为y =【答案】BD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以21π2PF F ∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知222221PF ca b−=，所以22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 错误；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BD ．三、填空题17．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线2222:1x yC a b−=上，点H 在直线x a =上，且满足122340HP HF HF ++=.若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，则双曲线C 的离心率为_____________ 【答案】2【解析】设直线PH 交x 轴于点Q ，如图，设12PF F △的外接圆半径为R ，由122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，有12211222sin 2sin PF PF OH OP R R PF F R PF F λ⎛⎫=+⋅+ ⎪∠∠⎝⎭，故12122PF PF PH R PF PF λ⎛⎫⎪=⋅+ ⎪⎝⎭，所以直线PH 过12PF F △的内心， 设12PF F △的内切圆圆心为I ，内切圆圆I 分别切1PF 、2PF 、12F F 于点M 、N 、T ，由切线长定理可得11F M FT =，22F N F T =，PM PN =， 所以，()()1212122PF PF PM F M PN F N FT F T a −=+−+=−=， 结合图形可得()()22T T T x c c x x a +−−==，所以，T x a =， 故12PF F △的内心的横坐标为a ，因为点H 在直线x a =上，所以点H 为12PF F △的内心.由122340HP HF HF ++=可得()()122340PH PF PH PF PH −+−+−=， 所以，12934PH PF PF =+，记12934777PH PF PF =+，设123477PG PF PF =+，则()()214377PG PF PF PG −=−，所以，2134F G GF =， 所以，点G 在直线12F F 上，又因为12PH F F Q =，故点G 与点Q 重合，且有12934777PH PF PF PQ =+=，由角平分线的性质可知点Q 到直线1PF 、2PF 的距离相等， 故12112243PF Q PF QS PF FQ S PF F Q===△△，同理可得1212PH PF PF HQ FQ F Q ==，令23PF m =，则14PF m =，且1212121272PH PF PF PF PF HQFQ F QFQ F Q +====+， 故12122FQ F Q F F m +==. 则双曲线C 的离心率12122243F F c me a PF PF m m====−−.故答案为：2.18．（2022·河南·模拟预测）已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ，M 是它们的一个交点，且12π4F MF ∠=，记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ，则12e e 的最小值是___________.【解析】不妨设M 为第一象限的点．如图，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，则根据椭圆及双曲线的定义知1212MF MF a +=，1222MF MF a −=， 所以112MF a a =+，212MF a a =−， 设122=F F c 在12MF F △中，12π4∠=F MF ， 由余弦定理得，()()()()22212121212π42cos4=++−−+−c a a a a a a a a ，化简得((22212224a a c +=，124=()1201,1e e <<>，所以124=≥所以12e e12=2212==e e 等号成立， 所以12e e．19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于916−，则椭圆的离心率为______．【解析】设内层椭圆方程为22221x y a b +=()0a b >>，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=()1m >.所以A 点坐标为(),0ma −，B 点坐标为()0,mb ，设切线AC 的方程为()1y k x ma =+，切线BD 的方程为2y k x mb =+，联立直线AC 的方程与内层椭圆方程()222211x y a b y k x ma ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，()2222322242211120k ab x ma k x m k a a b +++−=，因为直线AC 与椭圆相切，所以()()()23222222422111Δ240ma k k a b m k a a b =−+−=，整理可得，2212211b k a m =⋅−.同理，联立直线BD 的方程与内层椭圆方程222221x y a b y k x mb⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可推出()222221b k m a =−，所以()224222122224111b b b k k m a m a a=⋅⨯−=−.因为12916k k =−，所以22916b a =，则222222c a b e a a −==227116b a =−=，所以e =.20．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）双曲线 22221(00)x y a b a b−=>>，的左顶点为A ， 右焦点()0F c ，， 若直线x c =与该双曲线交于B C 、两点，ABC 为等腰直角三角形， 则该双曲线离心率为__________ 【答案】2【解析】联立 22222221x cx y a b c a b =⎧⎪⎪−=⎨⎪=+⎪⎩， 可得2b y a =±， 则22b BC a =，因为点 B C 、关于x 轴对称， 且F 为线段BC 的中点， 则AB AC =.又因为 ABC 为等腰直角三角形， 所以，2BC AF =， 即()222b c a a=+， 即 ()222a c abc a +==−， 所以，a c a =−， 可得2c a =，因此， 该双曲线的离心率为 2ce a==． 故答案为：221．（2022·上海崇明·统考一模）已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点，当12π6F PF ∠=时，双曲线2Γ的离心率等于______.【答案】2【解析】设椭圆1Γ标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，椭圆离心率为1e ，设双曲线2Γ标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，双曲线离心率为2e ，由题可知：121e e ⋅=．设1PF m =，2PF n =，则122222,2,π42cos ,6m n a m n a c m n mn ⎧⎪+=⎪−=⎨⎪⎪=+−⋅⎩①②③， 由①②得，12m a a =+，12n a a =−，代入③整理得，((22212422c a a =+，两边同时除以2c得，124=即(22242e =即(42222420e e −+=，解得222(2e =，即2e=2故答案为：222．（2022·广东广州·统考一模）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12O O =面分别与球1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于__________.【答案】13【解析】设12O O EF D ⋂=，由22112112O D O F O D O E O D O D ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得21O D O D =所以42,33DE DF ====， 所以4222,133c c =+==， 设直线EF 与圆锥的母线相交于点A ， 圆锥的母线与球相切于,B C 两点，如图所示， 则,AB AE AC AF ==，两式相加得2AB AC AE AF a c a c a +=+=−++=，即2BC a =， 过2O 作21O G O B ⊥，垂直为G ， 则四边形2BGO C 为矩形，所以26a BC ===，3a =，所以椭圆的离心率为13c a=. 故答案为：13。
离心率专题
离心率专题1.已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.2.已知椭圆+=1（a＞b＞0）在左焦点为F1（-c，0），有顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT（O为坐标原点）的斜率为-，则该椭圆的离心率的值为（）A. B. C. D.3.已知两点F1（-1，0），F（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差数列中项，则动点P 所形成的轨迹的离心率是（）A. B.2 C. D.4. 已知椭圆若在椭圆C1上存在点P使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）A.[，1）B.[，1）C.（0，]D.（0，]6.已知直线x=2a 与双曲线-=1（a＞0，b＞0）相交A，B两点，O为坐标原点，若△AOB是正三角形，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.7.已知、是双曲线（，）的左右两个焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知双曲线C ：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F和A（0，b）的连线与C的一条渐近线相交于点P ，且=2，则双曲线C的离心率为（）A.3B.C.4D.29.已知双曲线C的左右焦点为F1，F2，P双曲线右支上任意一点，若以F1为圆心，以|F1F2|为半径的圆与以P为圆心，|PF2|为半径的圆相切，则C的离心率为（）A. B.2 C.4 D.10.以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是（）A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1高二数学补充材料（圆锥曲线2），共3页11.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.12.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若△F1AB是顶角A为120°的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A.5-2B.C.D.13.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.14.已知椭圆C1和双曲线C2焦点相同，且离心率互为倒数，F1，F2它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，则椭圆C1的离心率为（）A. B. C. D.15.椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a ∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A.[，1]B.[，]C.[，1）D.[，]16.直角三角形ABC中，A=90°，B=60°，B，C为双曲线E的两个焦点，点A在双曲线E上，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.17.已知椭圆+=1（a＞b＞0）短轴的两个端点为A、B，点C为椭圆上异于A、B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为-，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.18.设双曲线的渐近线方程是y=±3x，则其离心率是（）A.或B.C.D.或19.设F1、F2分别为椭圆+=1的左、右焦点，c =，若直线x =上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（）A.（0，]B.（0，]C.[，1）D.[，1）20.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率为（）高中数学试卷第2页，共3页高二数学补充材料（圆锥曲线2），共3页A. B. C. D.21.已知F 是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A.（1，2）B.（2，1+）C.（，1） D.（1+，+∞） 22.设F 1（-c ，0）、F 2（c ，0）是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D.23.已知F 1（-c ，0），F 2（c ，0）是椭圆=1（a ＞b ＞0）的左右两个焦点，P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D.24.在R t △ABC 中，AB=AC=1，若一个椭圆通过A 、B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点F 在AB 上，则这个椭圆的离心率为（ ） A. B. C.D. 25.已知F 1，F 2分别为双曲线C ：-=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，过F 1的直线l与双曲线C 的左右两支分别交于A ，B 两点，若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C.2 D.26.已知点F 是双曲线的右焦点，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A.（1，2）B.（1，3）C.（1，1+）D.（2，1+）27.如图，已知双曲线-=1（a ＞0，b ＞0）上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为是双曲线的右焦点，且满足 AF⊥BF，设∠ABF=α，α∈[，]，则该双曲线离心率e的取值范围为 ______ ．28.已知直线y =kx （＜k ＜）与双曲线-=1（a ＞0，b ＞0） 交于不同的两点P ，Q ，若点P ，Q 在x 轴上的射影恰好为该双曲线的两个焦点，则该双曲线离心率e 的取值范围为 ______ ．29.双曲线C ：的右焦点为F ，其右支上总有点P ，使得|OM|=|PF|（M 为PF 的中点，O 为坐标原点），则C 的离心率的取值范围是 ______ ．30.已知A （1，2），B （-1，2），动点P 满足，若双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 ______ ．。
高中压轴选择题离心率专项
高中数学压轴选择题离心率专项一．选择题（共50小题）1．椭圆焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e 的范围是（ ） A ．[12，1） B ．（22，1） C ．[12，63） D ．（0，22）2．过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点．若向量OA →+OB →与向量a →=（3，﹣1）共线，则该椭圆的离心率为（ ） A ．33B ．63C ．34D ．233．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，其焦距为2c ，点Q （c ，a2）在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且|PF 1|+|PQ |＜5|F 1F 2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．（15，22） B ．（14，22） C ．（13，22） D ．（25，22）4．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，点A （c ，b ），右焦点F （c ，0），椭圆上存在一点M ，使得OM →⋅OA →=OF →⋅OA →，且OM →+OF →=tOA →(t ∈R )，则该椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．32C ．33D ．235．已知点A 为椭圆E ：x 2a +y 2b=1（a ＞b ＞0）的左顶点，B ，C 两点在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，O 为坐标系原点，∠OAB=30°，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．2 23B ．22 C ．12D ．246．已知椭圆x 2a 2+y2b2=1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率为（ ） A ．5−12B ． 3−12C ． 53D ．327．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则a 2+e 2b（其中e为椭圆C 的离心率）的最小值为（ ） A ． 6 B ．3 64C ． 5D ．3 548．已知双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若|PF 1|=|F 1F 2|，且3|PF 2|=2|QF 2|，则该双曲线的离心率为（ ） A ．75B ．43C ．2D ．1039．己知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别为l 1，l 2，右焦点为F ，以OF 为直径作圆交l 1于异于原点O 的点A ，若点B 在l 2上，且AB →=2FA →，则双曲线的离心率等于（ ） A ． 2 B ． 3 C ．2D ．310．设双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →=λOA →+u OB →（λ，μ∈R ），λ2+u 2=58，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 33B ．3 55C ．3 22D ．9811．设A 、B 分别为双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右顶点，P ，Q是双曲线C 上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP 、BQ 的斜率分别为m 、n ，则2b a +a b +12|mn |+ln |m |+ln |n |取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A ． 2B ． 3C ． 6D ．6212．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)和圆C 2：x 2+y 2=b 2，若椭圆C 1上存在点P ，过点P 作圆C 2的两条切线PA ，PB （A ，B 为对应的切点），且满足∠APB =π3，则椭圆最圆的时离心率e=（ ） A ．33B ．24C ．32D ．3413．设双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，若在曲线C 的右支上存在点P ，使得△PF 1F 2的内切圆半径为a ，圆心记为M ，又△PF 1F 2的重心为G ，满足MG ∥F 1F 2，则双曲线C 的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．2D ． 514．已知第一象限内的点M 既在双曲线C 1：x 2a ﹣y 2b =1（a ＞0，b ＞0）上，又在抛物线C 2：y 2=2px 上，设C 1的左，右焦点分别为F 1、F 2，若C 2的焦点为F 2，且△MF 1F 2是以MF 1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．1+ 2D ．2+ 315．已知E ，F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(0＜a ＜b )的左右焦点，抛物线y 2=2px （p＞0）与双曲线有公共的焦点F ，且与双曲线交于A 、B 不同两点，若5|AF |=4|BE |，则双曲线的离心率为（ ）A ．4+ 7B ．4− 3C ．4+ 3D ．4− 716．设A 为椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）上一点，点A 关于原点的对称点为B ，F为椭圆的右焦点，且AF ⊥BF ．若∠ABF ∈[π4，5π12]，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0， 22] B ．[ 22，1) C ．[0， 63] D ．[ 22， 63]17．已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为（ ） A ．32B ． 3−12C ．3+ 52D ．3− 5218．已知双曲线x 2a −y 2b =1，（a ，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，直线AF 2与双曲线的另一个交点为C ，若S △ABC =3S△BCF 2，则双曲线的离心率为（）A ． 2B ． 3C ．2D ． 519．已知A ，B 分别为椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，不同两点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当2b a+ab +12mn+ln |m |+ln |n |取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．33B ． 23C ．12D ．2220．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）和圆x 2+y 2=b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，满足∠APB=60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．0＜e ≤32B ．12≤e ＜1 C ．32＜e ＜1 D ．32≤e ＜121．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当1e 1e 2取最大值时，e 1，e 2的值分别是（ ） A ．22，62B ．12，52C ．33， 6D ．24， 322．如图所示，A ，B ，C 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上的三个点，AB 经过原点O ，AC 经过右焦点F ，若BF ⊥AC 且|BF |=|CF |，则该双曲线的离心率是（ ）A ．102B ． 10C ．32D ．323．过双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（b ＞0，a ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0），作圆x 2+y 2=a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →=12（OF →+OP →），则双曲线的离心率为（ ）A ．102B ．105C ． 10D ． 224．已知点P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)左支上除顶点外的一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，双曲线离心率为e ，则tana2tanβ2=（ ） A ．e−1e +1B ．e +1e−1C ．e 2+1e 2−1D ．e 2−1e 2+125．设F 是双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A 、B 两点，且向量BF →与FA →同向．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，则双曲线离心率e 的大小为（ ） A ．52B ．62C ．72D ．226．已知点P 为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右支上一点，F 1、F 2为双曲线的左、右焦点，使(OP →+OF 2→)⋅F 2P →=0（O 为坐标原点），且|PF 1→|= 3|PF 2→|，则双曲线离心率为（ ） A ．6+12B ． 6+1C ．3+12D ． 3+127．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，点Q 在椭圆的右准线上，若PQ →=2F 1O →，F 1Q →=λ(F 1P →|F 1P →|+F 1O →|F 1O →|)(λ＞0)则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．32C ．5−12D ．5+1428．设双曲线的﹣个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．3+12D ．5+1229．已知双曲线E 的离心率为e ，左、右两焦点分别为F 1、F 2，抛物线C 以F 2为顶点，F 1为焦点，点P 为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a |PF 2|+c |PF 1|=8a 2，则e 的值为（ ）A ． 3B ．3C ． 2D ． 630．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的半焦距为c ，直线l 的方程为bx +ay﹣ab=0，若原点O 到直线l 的距离为 34c ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 33或2 B ．2 33C ． 2或2 33D ．231．如果以原点为圆心的圆经过双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的顶点，并且被直线x =a 2c （c 为双曲线的半焦距）分为弧长为3：1的两段弧，则该双曲线的离心等于…（ ） A ．2B ． 3C ． 2D ．6232．过双曲线M ：x 2﹣y 2b 2=1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B ，C ，且|AB |=|BC |，则双曲线M 的离心率是（ ） A ． 10 B ． 5 C ．103D ．5233．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2=π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A ．4 33B ．2 33C ．3D ．234．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab=0相切，则C 的离心率为（ ） A ．63B ． 33C ． 23D ．1335．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．3436．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若|AB |=10，|AF |=6，cos∠ABF =45，则C 的离心率为（ ）575737．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(2 33，2]B ．[2 33，2)C ．(2 33，+∞)D ．[2 33，+∞)38．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点为在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A ．（0， 2）B ．（1， 2）C ．（22，1） D ．（ 2，+∞）39．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2，则曲线r 的离心率等于（ ） A ．12或32B ．23或2C ．12或2 D ．23或3240．椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．（0， 22] B ．（0，12] C ．[ 2−1，1） D ．[12，1） 41．曲线x 210−m+y 26−m=1(m ＜6)与曲线x 25−m+y 29−m=1(5＜m ＜9)的（ ）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．焦点相同D ．准线相同42．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为 3的直线交C 于A 、B 两点，若AF →=4FB →，则C 的离心率为（ ）558543．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．（1，3） B ．（1，3] C ．（3，+∞） D ．[3，+∞]44．设△ABC 是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ） A ．1+ 22B ．1+ 32C ．1+ 2D ．1+ 345．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1， 2]B ．[ 2，+∞)C ．(1， 2+1]D ．[ 2+1，+∞)46．从椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） A ．24B ．12C ．22D ．3247．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．（1，2]B ．（1，2）C ．[2，+∞）D ．（2，+∞）48．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为 3c （c 为半焦距）的点，且|F 1F 2|=|F 2P |，则椭圆的离心率是（ ） A ．3−12B ．12C ． 5−12D ．2249．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90°，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为（ ） A ．52B ． 102C ．152D ． 550．已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是准线上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=4ab，则双曲线的离心率是（）A．2B．3C．2 D．3高中压轴选择题离心率专项参考答案与试题解析一．选择题（共50小题）1．椭圆焦点在x 轴上，A 为该椭圆右顶点，P 在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e 的范围是（ ） A ．[12，1） B ．（22，1） C ．[12， 63） D ．（0，22）【分析】可设椭圆的标准方程为：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）．设P （x ，y ），由于∠OPA=90°，可得点P 在以OA 为直径的圆上．该圆为：(x −a 2)2+y 2=(a2)2，化为x 2﹣ax +y 2=0．与椭圆的方程联立可得：（b 2﹣a 2）x 2+a 3x ﹣a 2b 2=0，得到x =ab2c2，由于0＜x ＜a ，可得0＜ab2c2＜a ，解出即可．【解答】解：可设椭圆的标准方程为：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）． 设P （x ，y ），∵∠OPA=90°，∴点P 在以OA 为直径的圆上． 该圆为：(x −a2)2+y 2=(a2)2，化为x 2﹣ax +y 2=0．联立 x 2−ax +y 2=0x 2a 2+y 2b2=1化为（b 2﹣a 2）x 2+a 3x ﹣a 2b 2=0，解得x =ab22，∵0＜x ＜a ，∴0＜ab2c2＜a ，化为c 2＞b 2=a 2﹣c 2， ∴e 2＞12，又1＞e ＞0． 解得22＜e ＜1．∴该椭圆的离心率e 的范围是( 22，1)． 故选：B ．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．2．过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 作斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点．若向量OA →+OB →与向量a →=（3，﹣1）共线，则该椭圆的离心率为（ ） A ．33B ．63C ．34D ．23【分析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．F （﹣c ，0）．直线l 的方程为：y=x +c ，与椭圆方程联立化为：（a 2+b 2）x 2+2ca 2x +a 2c 2﹣a 2b 2=0，根据向量OA →+OB →与向量a →=（3，﹣1）共线，及其根与系数的关系即可得出． 【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．F （﹣c ，0）．直线l 的方程为：y=x +c ，联立 y =x +cx 2a 2+y 2b2=1，化为：（a 2+b 2）x 2+2ca 2x +a 2c 2﹣a 2b 2=0，∴x 1+x 2=−2ca 2a 2+b 2，y 1+y 2=x 1+x 2+2c=2c b 2a 2+b 2，∴向量OA →+OB →=（−2ca 2a 2+b 2，2cb 2a 2+b 2），∵向量OA →+OB →与向量a →=（3，﹣1）共线， ∴﹣−2c a 2a 2+b 2﹣3×2cb 2a 2+b 2=0，∴a 2=3b 2，∴e =c a = 1−b 2a 2= 63．故选：B ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量共线定理、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，其焦距为2c ，点Q （c ，a2）在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且|PF 1|+|PQ |＜5|F 1F 2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．（15，22） B ．（14，22） C ．（13，22） D ．（25，22）【分析】点Q （c ，a2）在椭圆的内部，b 2a＞a2，|PF 1|+|PQ |=2a ﹣|PF 2|+|PQ |，由﹣|QF 2|+|PQ |≤|PQ |﹣|PF 2|≤|QF 2|，且|QF 2|=a 2，要|PF 1|+|PQ |＜5|F 1F 2|恒成立，即2a ﹣|PF 2|+|PQ |≤2a +a2＜5×2c ．【解答】解：∵点Q （c ，a2）在椭圆的内部，∴b 2a＞a2，⇒2b 2＞a 2⇒a 2＞2c 2．ca ＜ 22|PF 1|+|PQ |=2a ﹣|PF 2|+|PQ |又因为﹣|QF 2|+|PQ |≤|PQ |﹣|PF 2|≤|QF 2|，且|QF 2|=a2，要|PF 1|+|PQ |＜5|F 1F 2|恒成立，即2a ﹣|PF 2|+|PQ |≤2a +a2＜5×2c5a 2＜10c ，c a＞14，则椭圆离心率的取值范围是（14，22）．故选：B【点评】本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键，属于难题．4．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，点A （c ，b ），右焦点F （c ，0），椭圆上存在一点M ，使得OM →⋅OA →=OF →⋅OA →，且OM →+OF →=tOA →(t ∈R )，则该椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．32C ．33D ．23【分析】设M （x ，y ），由OM →⋅OA →=OF →⋅OA →⇒cx +by=c 2，…①，由OM →+OF →=tOA →(t ∈R )，cy ﹣bx=bc…② 由①②得x=a 2c−2b 2ca ，y=2b c 2a ，…③把③代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)得a 4c 2+4c 6=a 6⇒2c 3=b 3+bc 2，c 3﹣b 3=bc 2﹣c 3，⇒（c ﹣b ）（b 2+bc +2c 2）=0⇒b=c ．【解答】解：设M （x ，y ），∵OM →⋅OA →=OF →⋅OA →∴OA →⋅(OM →−OF )→=0，⇒OA →⋅FM →=0⇒即OA ⊥MF ⇒cx +by=c 2，…①.OM →+OF →=(x +c ，y )，因为OM →+OF →=tOA →(t ∈R )，OM →+OF →与OA →共线，cy ﹣bx=bc…② 由①②得x=a 2c−2b 2c a 2，y=2b c 2a 2，…③把③代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)得a 4c 2+4c 6=a 6⇒2c 3=b 3+bc 2，c 3﹣b 3=bc 2﹣c 3， ⇒（c ﹣b ）（b 2+bc +2c 2）=0⇒b=c ⇒a= 2c ，椭圆的离心率e=c a=22．故选：A【点评】本题考查了向量与圆锥曲线的综合应用，及向量的线性运算、转化思想，属于难题．5．已知点A 为椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左顶点，B ，C 两点在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，O 为坐标系原点，∠OAB=30°，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．2 23B ．22C ．12D ．24【分析】如图所示，四边形OABC 为平行四边形，∠OAB=30°，直线OC 的方程为：y=33x ，联立 y =33xx 2a 2+y 2b 2=1，解得：x C ．同理联立 y =33(x +a )x 2a 2+y 2b 2=1，解得x B ．根据|OA |=|CB |=a ，即x C ﹣x B =a 化简即可得出．【解答】解：如图所示，四边形OABC 为平行四边形，∠OAB=30°， ∴直线OC 的方程为：y=33x ，联立 y =33xx 2a 2+y 2b2=1，解得：x C =3ab a 2+3b 2．同理联立 y =33(x +a )x 2a 2+y 2b 2=1，化为：（a 2+3b 2）x 2+2a 3x +a 4﹣3a 2b 2=0．解得x B =a −2a 3a 2+3b 2=3ab 2−a 3a 2+3b2．∵|OA |=|CB |=a ， ∴3aba 2+3b 2﹣3ab 2−a 3a 2+3b 2=a ．化为：a=3b ．∴椭圆的离心率e=ca = 1−b 2a 2=2 23．故选：A ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率为（ ） A ．5−12B ． 3−12C ． 53D ．32【分析】由题意可求得AB 的方程，设出P 点坐标，代入AB 得方程，由PF 1⊥PF 2，得PF 1→•PF 2→=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案． 【解答】解：依题意，作图如下∵A （﹣a ，0），B （0，b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），∴直线AB 的方程为：x−a+y b=1，整理得：bx ﹣ay +ab=0，设直线AB 上的点P （x ，y ） 则bx=ay ﹣ab ， ∴x=ab y ﹣a ，∵PF 1⊥PF 2，∴PF 1→•PF 2→=（﹣c ﹣x ，﹣y ）•（c ﹣x ，﹣y ）=x 2+y 2﹣c 2 =（ab ）2+y 2﹣c 2，令f （y ）=（ab）2+y 2﹣c 2，则f ′（y ）=2（a by ﹣a ）×ab +2y ，∴由f ′（y ）=0得：y=a 2ba 2+b 2，于是x=﹣a b 2a 2+b 2，∴PF 1→•PF 2→=（﹣a b 2a +b ）2+（a 2ba +b ）2﹣c 2=0，整理得：a 2b 2a 2+b 2=c 2，又b 2=a 2﹣c 2，e 2=c 2a2，∴e 4﹣3e 2+1=0， ∴e 2=3± 52，又椭圆的离心率e ∈（0，1）， ∴e 2=3− 52=（5−12）2，∴椭圆的离心率为e= 5−12．故选A ．【点评】本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题．7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则a 2+e 2b（其中e为椭圆C 的离心率）的最小值为（ ） A ． 6 B ．3 64C ． 5D ．3 54【分析】如图所示，由切线的性质可得：OQ ⊥PF 2．又点O 为线段F 1F 2的中点，利用三角形中位线定理可得：OQ ∥PF 1，PF 1⊥PF 2．再利用椭圆的定义、勾股定理可得（2b ）2+（2a ﹣2b ）2=（2c ）2，化为：b=2a 3．c 2=a 2﹣b 2=59a 2．代入a 2+e 2b，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，由切线的性质可得：OQ ⊥PF 2． 又点O 为线段F 1F 2的中点，Q 为线段PF 2的中点， ∴OQ ∥PF 1，∴PF 1⊥PF 2．∴|PF 1|=2|OQ |=2b ，|PF 2|=2a ﹣2b ．在Rt △PF 1F 2中，（2b ）2+（2a ﹣2b ）2=（2c ）2， 化为：b 2+（a ﹣b ）2=c 2=a 2﹣b 2， 化为：b=2a 3．∴c 2=a 2﹣b 2=a 2−(2a 3)2=59a 2．∴a 2+e 2b =a 2+c 2a 2b =a 4+59a 2a 2×2a =9a 2+56a ≥2 9a 2⋅56a = 5，当且仅当a 2=59时取等号．∴a 2+e 2b（其中e 为椭圆C 的离心率）的最小值为 5．故选：C ．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程与几何性质、三角形中位线定理、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8．已知双曲线x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若|PF 1|=|F 1F 2|，且3|PF 2|=2|QF 2|，则该双曲线的离心率为（ ） A ．75B ．43C ．2D ．103【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线l ，设P 到l 的距离为d ，根据双曲线的第二定义即可求出Q 到l 的距离为32d ．过Q 作l 的垂线QQ 1，而过P 作QQ 1的垂线PM ，交x 轴于N ，在△PMQ 中有c−a 2c−d12d =25，这样即可求得d=5c −5a 2c6，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF 2|=2c ﹣2a ，所以根据双曲线的第二定义即可得到2c−2a 5c−5a 2c6=ca ，进一步可整理成5(c a )2−12(ca )+7=0，这样解关于c a 的方程即可．【解答】解：如图，l 为该双曲线的右准线，设P 到右准线的距离为d ； 过P 作PP 1⊥l ，QQ 1⊥l ，分别交l 于P 1，Q 1；∵|PF 2||PP 1|=|QF 2||QQ 1|，3|PF 2|=2|QF 2|；∴d |QQ 1|=23，|QQ 1|=32d ；过P 作PM ⊥QQ 1，垂直为M ，交x 轴于N ，则：|NF 2||MQ |=c−a 2c −d12d =25；∴解得d=5c−5a 2c6；∵根据双曲线的定义，|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，∴|PF 2|=2c ﹣2a ； ∴根据双曲线的第二定义，2c−2a5c−5a 2c 6=c a；整理成：5(c a )2−12(c a)+7=0； ∴解得c a=75，或c a=1（舍去）；即该双曲线的离心率为75． 故选A ．【点评】考查双曲线的第二定义，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、焦点的概念，以及对双曲线的定义的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系．9．己知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2﹣y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别为l 1，l 2，右焦点为F ，以OF 为直径作圆交l 1于异于原点O 的点A ，若点B 在l 2上，且AB →=2FA →，则双曲线的离心率等于（ ） A ． 2 B ． 3 C ．2D ．3【分析】求出双曲线的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出A ，B 的坐标，结合点B 在渐近线y=﹣bax 上，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程l 1，y=b ax ，l 2，y=﹣bax ，F （c ，0），圆的方程为（x ﹣c2）2+y 2=c 24，将y=b ax 代入（x ﹣c2）2+y 2=c 24，得（x ﹣c2）2+（bax ）2=c 24，即c 2a 2x 2=cx ，则x=0或x=a 2c ，当x=a 2c 时，y ═b a •a 2c =abc ，即A （a 2c ，abc ）， 设B （m ，n ），则n=﹣ba •m ， 则AB →=（m ﹣a 2c，n ﹣ab c），FA →=（a 2c﹣c ，ab c），∵AB →=2FA →， ∴（m ﹣a 2c，n ﹣ab c）=2（a 2c﹣c ，ab c）则m ﹣a 2c=2（a 2c﹣c ），n ﹣ab c=2•abc，即m=3a 2c﹣2c ，n=3ab c，即3abc =﹣ba •（3a 2c﹣2c ）=﹣3ab c+2bc a，即6ab c =2bc a，则c 2=3a 2， 则ca= 3，故选：B ．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件建立方程组关系，求出交点坐标，转化为a ，c 的关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．10．设双曲线x 2a ﹣y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →=λOA →+u OB →（λ，μ∈R ），λ2+u 2=58，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 33 B ．3 55C ．3 22D ．98【分析】由方程可得渐近线，可得A ，B ，P 的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=b c，解之可得λμ的值，由λ2+u 2=58，可得a ，c 的关系，由离心率的定义可得．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±bax ，设焦点F （c ，0）， 则当x=c 时，y ═±ba •c=±bca，即A （c ，bc a），B （c ，﹣bc a），P （c ，b 2a），因为OP →=λOA →+μOB →， 所以（c ，b 2a）=（（λ+μ）c ，（λ﹣μ）bc a），所以λ+μ=1，λ﹣μ=b c， 解得：λ=c +b 2c，μ=c−b 2c，∵λ2+u 2=58， ∴（c +b 2c）2+（c −b 2c）2=58，即2c 2+2b 24c 2=58，即c 2=4b 2． 则c 2=4（c 2﹣a 2）， 则3c 2=4a 2．3c=2a ，则e=3=2 33，故选：A ．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据交点坐标，结合平面向量的数量积公式是解决本题的关键．11．设A 、B 分别为双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右顶点，P ，Q是双曲线C 上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP 、BQ 的斜率分别为m 、n ，则2b a +a b +12|mn |+ln |m |+ln |n |取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ）A ． 2B ． 3C ． 6D ．62【分析】设P （x 0，y 0），则Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2（x 02a 2﹣1）．A （﹣a ，0），B （a ，0），利用斜率计算公式得到：mn=﹣b 2a ，则2b a +ab +12|mn |+ln |m |+ln |n |=2b a +a b +a 22b 2+ln b 2a 2=f （ab ），令ab =t ＞0，则f （t ）=2t +t +12t2﹣2lnt ．利用导数研究其单调性，求得最小值点，再由离心率公式即可得出． 【解答】解：设P （x 0，y 0），则Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2（x 02a﹣1），即有y 02x 02−a 2=b 2a 2，由双曲线的方程可得A （﹣a ，0），B （a ，0）， 则m=y 0x 0+a ，n=y 0a−x 0，∴mn=y 02a 2−x 02=﹣b 2a2，∴2b a +ab +12|mn |+ln |m |+ln |n |=2b a +a b +a 22b 2+ln b 2a2 =f （a b ），令a b=t ＞0，则 f （t ）=2t+t +12t 2﹣2lnt ． f ′（t ）=﹣2t 2+1+t ﹣2t=(t +1)(t 2−2)t 2，可知：当t= 2时，函数f （t ）取得最小值 f （ 2）=2 2+ 2+12×2﹣2ln 2=2 2+1﹣ln2．∴a b= 2．∴e=c a= 1+(b a )2= 1+12= 62．故选：D ．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12．已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)和圆C 2：x 2+y 2=b 2，若椭圆C 1上存在点P ，过点P 作圆C 2的两条切线PA ，PB （A ，B 为对应的切点），且满足∠APB =π3，则椭圆最圆的时离心率e=（ ） A ．33B ．24C ．32D ．34【分析】连接OA ，OB ，OP ，依题意，O 、P 、A 、B 四点共圆，可得∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP 中，∠AOP=60°，cos ∠AOP=b |OP |=12，可得b ＜|OP |≤a ，可得椭圆C 的离心率的取值范围．【解答】解：连接OA ，OB ，OP ，依题意，O 、P 、A 、B 四点共圆， ∵∠APB=60°， ∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP 中，∠AOP=60°， ∴cos ∠AOP=b |OP |=12，∴|OP |=2b ， ∴b ＜|OP |≤a ， ∴2b ≤a ， ∴4b 2≤a 2，由a 2=b 2+c 2，即4（a 2﹣c 2）≤a 2， ∴3a 2≤4c 2， 即e ≥ 32，又0＜e ＜1，∴32≤e ＜1，∴椭圆C 的离心率的取值范围是 32≤e ＜1．∴椭圆最圆的时离心率e= 32．故选：C ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、四点共圆的性质、直角三角形的边角关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13．设双曲线C ：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，若在曲线C 的右支上存在点P ，使得△PF 1F 2的内切圆半径为a ，圆心记为M ，又△PF 1F 2的重心为G ，满足MG ∥F 1F 2，则双曲线C 的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．2D ． 5【分析】设P （s ，t ）（s ，t ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），运用三角形的重心坐标，求得内心的坐标，可得t=3a ，再结合双曲线的定义和等积法，求得|PF 2|=2c﹣a ，再由双曲线的离心率公式和第二定义，可得s=2a ，将P 的坐标代入双曲线的方程，运用a ，b ，c 的关系和离心率公式，即可得到所求值． 【解答】解：设P （s ，t ）（s ，t ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 可得重心G （s−c +c 3，t3）即（s3，t3），设△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点N ，与边PF 1的切点为K ， 与边PF 2上的切点为Q ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标与N 的横坐标相同． 由双曲线的定义，|PF 1|﹣|PF 2|=2a ．①由圆的切线性质|PF 1|﹣PF 2|=|F I K |﹣|F 2Q |=|F 1N |﹣|F 2N |=2a ， ∵|F 1N |+|F 2N |=|F 1F 2|=2c ，∴|F 2N |=c ﹣a ，|ON |=a ， 即有M （a ，a ）， 由MG ∥F 1F 2，则△PF 1F 2的重心为G （s3，a ），即t=3a ，由△PF 1F 2的面积为12•2c•3a=12a （|PF 1|+|PF 2|+2c ），可得|PF 1|+|PF 2|=4c ② 由①②可得|PF 2|=2c ﹣a ， 由右准线方程x=a 2c，双曲线的第二定义可得e=c a =|PF 2|s−a 2，解得s=2a ，即有P （2a ，3a ），代入双曲线的方程可得4a 2a 2﹣9a 2b2=1，可得b= 3a ，c= a 2+b 2=2a ，即e=c a=2． 故选：C ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率和准线方程，运用定义法是解题的关键，同时考查内心和重心的坐标的求法，考查化简整理的运算能力，属于难题．14．已知第一象限内的点M 既在双曲线C 1：x 2a 2﹣y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上，又在抛物线C 2：y 2=2px 上，设C 1的左，右焦点分别为F 1、F 2，若C 2的焦点为F 2，且△MF 1F 2是以MF 1为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．1+ 2D ．2+ 3【分析】根据条件得到抛物线和双曲线的焦点相同，根据双曲线和抛物线的定义得到△MF 1F 2为等腰直角三角形，利用定义建立方程进行求解即可． 【解答】解∵设C 1的左，右焦点分别为F 1、F 2，若C 2的焦点为F 2， ∴抛物线的准线方程为x=﹣c ，若△MF 1F 2是以MF 1为底边的等腰三角形， 由于点M 也在抛物线上， ∴过M 作MA 垂直准线x=﹣c 则MA=MF 2=F 1F 2，则四边形AMF 2F 1为正方形， 则△MF 1F 2为等腰直角三角形， 则MF 2=F 1F 2=2c ，MF 1= 2MF 2=2 2c ， ∵MF 1﹣MF 2=2a ， ∴2 2c ﹣2c=2a ， 则（ 2﹣1）c=a ， 则离心率e=ca =1 2−1=1+ 2，故选：C【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据双曲线和抛物线的定义得到△MF 1F 2为等腰直角三角形是解决本题的关键．考查学生的转化和推理能力．15．已知E ，F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(0＜a ＜b )的左右焦点，抛物线y 2=2px （p＞0）与双曲线有公共的焦点F ，且与双曲线交于A 、B 不同两点，若5|AF |=4|BE |，则双曲线的离心率为（ ）A ．4+ 7B ．4− 3C ．4+ 3D ．4− 7【分析】根据双曲线的定义求出|BE |=10a ，|BF |=8a ，结合抛物线的定义求出交点B 的纵坐标，结合直角三角形的边角关系建立方程进行求解即可． 【解答】解：根据双曲线和抛物线的对称性得|BF |=|AF |=45|BE |，∵|BE |﹣|BF |=2a ， ∴|BE |﹣45|BE |=|BE |=2a ，则|BE |=10a ，|BF |=8a ，∵抛物线y 2=2px （p ＞0）与双曲线有公共的焦点F ， ∴p2=c ，且x=﹣c 是抛物线的准线，则|BD |=|BF |=8a ，设B（x，y），则由抛物线的性质得x+c=8a，即x=8a﹣c，代入抛物线方程y2=2px=4cx得y2=4c（8a﹣c），则|DE|2=y2=4c（8a﹣c），在直角三角形BDE中，BE2=DE2+BD2，即100a2=64a2+4c（8a﹣c），即36a2﹣32ac+4c2=0，即c2﹣8ac+9a2=0，解e2﹣8e+9=0，得e=8±64−362=4±7，∵0＜a＜b，∴e=ca=1+b2a2＞2，∴e=4+7，故选：A【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据抛物线和双曲线的定义建立方程关系，求出a，c的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．16．设A为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF．若∠ABF∈[π4，5π12]，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．(0，22] B．[22，1) C．[0，63] D．[22，63]【分析】设左焦点为：N．连接AF，AN，AF，BF，可得：四边形AFNB为矩形．根据椭圆的定义：|AF |+|AN |=2a ．∠ABF=α，可得∠ANF=α．可得2a=2ccosα+2csinα，e=1sinα+cosα=12sin (α+π4)，根据α的取值范围即可得出．【解答】解：设左焦点为：N ．连接AF ，AN ，AF ，BF ，可得：四边形AFNB 为矩形．根据椭圆的定义：|AF |+|AN |=2a ． ∠ABF=α，则：∠ANF=α． ∴2a=2ccosα+2csinα ∴e=2c2a =1sinα+cosα=2sin (α+π4)，α=∠ABF ∈[π4，5π12]，∴(α+π4)∈[π2，2π3]， ∴sin (α+π4)∈[ 32，1]． ∴e ∈[ 22， 63]． 故选：D ．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17．已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的左顶点和上顶点分别为A 、B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，在线段AB 上有且只有一个点P 满足PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的平方为（ ） A ．32B ． 3−12C ．3+ 52D ．3− 52【分析】由题意可求得AB 的方程，设出P 点坐标，代入AB 得方程，由PF 1⊥PF 2，得PF 1→•PF 2→=0，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案．【解答】解：依题意，作图如下：A （﹣a ，0），B （0，b ），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），∴直线AB 的方程为：椭圆x 2a 2+y 2b2=1整理得：bx ﹣ay +ab=0，设直线AB 上的点P （x ，y ） 则bx=ay ﹣ab ， ∴x=ab y ﹣a ，∵PF 1⊥PF 2，∴PF 1→•PF 2→=（﹣c ﹣x ，﹣y ）•（c ﹣x ，﹣y ）=x 2+y 2﹣c 2 =（ab ）2+y 2﹣c 2，令f （y ）=（ab）2+y 2﹣c 2，则f ′（y ）=2（a by ﹣a ）×a b+2y ，∴由f ′（y ）=0得：y=a 2b a 2+b ，于是x=﹣a b 2a 2+b 2，∴PF 1→=（﹣ab 2a 2+b 2）2+（a 2ba 2+b ）2﹣c 2=0，整理得：a 2b 2a 2+b 2=c 2，又b 2=a 2﹣c 2，e 2=c 2a2， ∴e 4﹣3e 2+1=0， ∴e 2=3± 52，又椭圆的离心率e ∈（0，1）， ∴e 2=3− 52．椭圆的离心率的平方3− 52，故选D ．【点评】本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题．18．已知双曲线x 2a −y 2b =1，（a ，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，直线AF 2与双曲线的另一个交点为C ，若S △ABC =3S△BCF 2，则双曲线的离心率为（）A ． 2B ． 3C ．2D ． 5【分析】如图所示，S △ABC =3S △BCF 2，|AC |=3|F 2C |，求得A （﹣c ，b 2a），求得直线AF 2的方程，代入双曲线方程，运用韦达定理解得x C ．根据AF 2→=4CF 2→，由向量的坐标运算，结合离心率公式和a ，b ，c 的关系，即可得出所求值． 【解答】解：如图所示： ∵S △ABC =3S△BCF 2，∴|AC |=3|F 2C |．由x=﹣c ，代入双曲线的方程，可得y=±b 2a，取A （﹣c ，b 2a ），直线AF 2的方程为：y ﹣0=b 2a−0−c−c（x ﹣c ），化为：y=﹣b 22ac（x ﹣c ），代入双曲线x 2a 2−y 2b2=1，（a ，b ＞0），可得：（4c 2﹣b 2）x 2+2cb 2x ﹣b 2c 2﹣4a 2c 2=0， ∴x C ×（﹣c ）=﹣b 2c 2+4a 2c 24c 2−b 2，解得x C =b 2c +4a 2c 4c 2−b 2．∵AF 2→=4CF 2→， ∴c ﹣（﹣c ）=4（c ﹣b 2c +4a 2c 4c 2−b 2），化为：5a 2=c 2， 解得e=ca = 5．故选：D ．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．已知A ，B 分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，不同两点P ，Q 在椭圆C 上，且关于x 轴对称，设直线AP ，BQ 的斜率分别为m ，n ，则当2b a+ab +12mn+ln |m |+ln |n |取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．33B ． 23C ．12D ．22【分析】设P （x 0，y 0），则Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2(a 2−x 02)a 2．A （﹣a ，0），B （a ，0），利用斜率计算公式肯定：mn=b 2a 2，2b a +ab +12mn +ln |m |+ln |n |=2ba+a b +a 22b 2+ln b 2a 2=f (ab )，令a b =t ＞1，则f （t ）=2t +t +12t 2﹣2lnt ．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：设P （x 0，y 0），则Q （x 0，﹣y 0），y 02=b 2(a 2−x 02)a 2．A （﹣a ，0），B （a ，0）， 则m=y 0a +x 0，n=y 0a−x 0，∴mn=y 02a 2−x 02=b 2a2，∴2ba +ab +12mn +ln |m |+ln |n |=2ba +ab +a 22b2+ln b 2a 2=f (ab )，令a b=t ＞1，则f （t ）=2t+t +12t 2﹣2lnt ．f ′（t ）=−2t2+1+t ﹣2t =(t +1)(t 2−2)t 2，可知：当t= 2时，函数f （t ）取得最小值f ( 2)=2 2+ 2+12×( 2)2﹣2ln 2=2 2+1﹣ln2． ∴ab= 2．∴e = 1−(b a)2=22．故选：D ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）和圆x 2+y 2=b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，满足∠APB=60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．0＜e ≤32B ．12≤e ＜1 C ．32＜e ＜1 D ．32≤e ＜1【分析】由题意可知：由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）焦点在x 轴上，由图可知：O 、P 、A 、B 四点共圆，∠APB=60°，则∠APO=∠BPO=30°，cos ∠AOP=b丨OP 丨=12，|OP|=2b，因此b＜|OP|≤a，即2b≤a，由a2=b2+c2，可得3a2≤4c2，e≥3 2，又0＜e＜1，即可求得椭圆的离心率e的取值范围．【解答】解：由椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，∵∠APB=60°，∠APO=∠BPO=30°，在直角三角形OAP中，∠AOP=60°，∴cos∠AOP=b丨OP丨=1 2，∴|OP|=b12=2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，由a2=b2+c2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即c2a2≥3 4，∴e≥32，又0＜e＜1，∴32≤e＜1，∴椭圆C的离心率的取值范围是32≤e＜1．故选D．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于难题．21．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当1e 1e 2取最大值时，e 1，e 2的值分别是（ ） A ．22，62B ．12，52C ．33， 6D ．24， 3【分析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），c= a 2−b 2，x 2a 12−y 2b12=1，c= a 12+b 12．设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．m ＞n ．利用定义可得：m +n=2a ，m ﹣n=2a 1，解得m ，n ．利用余弦定理可得：cos π3=m 2+n 2−(2c )22mn =12，化简整理可得：1e 12+3e22=4，再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0），c= a 2−b 2，x 2a 12−y 2b12=1，c= a 12+b 12． 设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．m ＞n ． 则m +n=2a ，m ﹣n=2a 1， ∴m=a +a 1，n=a ﹣a 1．cos π3=m 2+n 2−(2c )22mn =12，。
离心率题型专练
1．点P 是双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与圆22222:C x y a b +=+的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，其中1F ，2F 分别为双曲线1C 的左右焦点，则双曲线1C 的离心率为（ ） A.31+ B.312+ C.512+ D.51- 【答案】A.【解析】试题分析：由题意可知，圆222222:C x y a b c +=+=，画出如下示意图，从而可知1290F PF ∠=，又∵12212PF F PF F ∠=∠，∴1230PF F ∠=，2160PF F ∠=， ∴123231cPF PF c c a e a-=-=⇒==+. .考点：双曲线的性质.2．已知点,,P A B 在双曲线12222=-by a x 上，直线AB 过坐标原点，且直线PA 、PB 的斜率之积为31，则双曲线的离心率为（ ） A.332 B.315 C.2 D.210【答案】A 【解析】试题分析：因为直线AB 过原点，且在双曲线上，所以,A B 两点关于原点对称，则可设111122,,,,,A x y Bx y P x y ，所以2121PAy y k x x ，2121PB y y k x x ，由题意得222121212221212113PA PBy y y y y y k k x x x x x x ，又由2211221x y a b ，2222221x y a b ，相减得2222212122x x y y a b ，即222212222113y y b a x x ，2213b a ，所以2222242333a c ab eaa a .故正确答案为A. 考点：1.直线与双曲线；2.双曲线的离心率.3．设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是A ．21 B ． 22 C ．23 D ．41【答案】A【解析】试题分析：如下图所示设21F PF ∆的内切圆半径为r ，根据内心的性质，有111||2IPF S PF r ∆=⋅，221||2IPF S PF r ∆=⋅，12121||2PF F S F F r ∆=⋅． 12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆+=，即1212111||||2||222PF r PF r F F r ⋅+⋅=⨯⋅1211||||2||PF PF F F ∴+=故椭圆的离心率1212||212||||2F F c c e a a PF PF ====+，所以正确选项为A ． 考点：①三角形内切圆的性质；②椭圆的定义和性质．4．已知0a b >>，12,e e 分别为圆锥曲线22221x y a b +=和22221x y a b -=的离心率，则12lg lg e e +的值为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．不确定【答案】B 【解析】试题分析：由题意，,0>>b a ab a e a b a e 222221,+=-=，1)(1421<-=a b e e12lg lg e e +)lg(21e e =01lg =<，所以选C.考点：圆锥曲线的性质及对数的运算.5．过椭圆22221x y a b+=)0(>>b a 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为（ ）． A.25 B.33 C.21 D.31【答案】B 【解析】试题分析：由题意得点P 的坐标为),(),(22ab c a b c ---或，因为02160=∠PF F所以322=ab c ，即)(332222c a b ac -==，所以03232=-+e e 解得333-==e e 或（舍去），答案为B 考点：椭圆的简单性质6．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A.0,2⎛⎝⎭ B.⎛ ⎝⎭C.[,1)2D.[2 【答案】A【解析】试题分析：如图所示，若椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，由于自椭圆长轴端点（顶点）所做圆的切线形成的角最小，所以045APO ∠>,0sin sin 45APO ∠>，即2b a >，所以22212b e a =-<，选A .考点：1.椭圆的几何意义；2.直线与圆的位置关系.7．已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若BF AF ⊥，设α=∠ABF ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A 、]13,22[- B 、)1,22[ C 、]23,22[ D 、]36,33[ 【答案】A 【解析】 试题分析：：∵B 和A 关于原点对称 ∴B 也在椭圆上 设左焦点为F ′根据椭圆定义：a F A AF 2||||='+又∵=||AF ||BF ∴+||AF ||BF a 2= ①o 是ABF Rt ∆的斜边中点，∴c AB 2||=又αsin 2||c AF = ②αcos 2||a BF = ③②③代入①αsin 2c +αcos 2a a 2= ∴)4sin(21cos sin 1πααα+=+=a c即)4sin(21πα+=e⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,6ππα∴125π24ππα≤+≤,1)4sin(426≤+≤+πα 所以1322-≤≤e . 考点：椭圆的性质．8F ，过F 作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A 、210B 、5C 、2D 、5 【答案】D 【解析】试题分析：设双曲线的右焦点为F ',||,||,||b EF a OE c OF =∴== 因为E 为PF 的中点， ∴a F P b PF 2||,2||='=， ∵a F P PF 2||||='- ∴a b 2=，所以，5122=+=ab e .考点：双曲线的性质和应用.9．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是（ ）A B D 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得：A 点坐标为（a ，0），直线AB 的方程为0=-+a y x ，双曲线的渐进线的方程为x a by ±=，联立方程可的B 、C 两点的坐标分别为),(2b a ab b a a ++，),(2ba abb a a ---，由12AB BC =得ab 2=，所以离心率5)2(222222=+=+==aa a ab a ac e ，答案选 C. 考点：10．已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为H ,若2F H 的中点M 在双曲线C 上,则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 【答案】A【解析】试题分析：由题意得双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的一条渐近线方程是x aby =，则H F 2方程为)(0c x b a y --=-代入渐近线方程x aby =可得),(2c ab c a ，故H F 2的中点)2,2(2c ab c a c M +中点在双曲线上，所以,144)(2222222=-+cb b a ac a c 所以222=a c ，所以2=ac，所以双曲线C 的离心率2. 考点：双曲线的标准方程及简单性质的应用.11．从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，那么此椭圆的离心率为（ ） A.B.C. D.【答案】D 【解析】试题分析：结合图形，得出a 、b 之间的关系，再根据a 2=b 2+c 2推导出a 、c 之间的关系，根据e=求解即可．解：∵从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，∴tan60°==，∴a 2=3b 2=3（a 2﹣c 2）⇒2a 2=3c 2⇒=，∴e==．故选D点评：本题考查椭圆的离心率．12．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率e等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据由题设条件可知，|F1F2|=2c，由此可以求出双曲线的离心率e．解：由题意可知，|F1F2|=2c，∵∠，∴，∴4a2c2=b4=（c2﹣a2）2=c4﹣2a2c2+a4，整理得e4﹣6e2+1=0，解得或（舍去）故选C．点评：本题考查双曲线的离心率，解题要注意时双曲线的离心率大于1．13．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线2212x ym+=的离心率为（）A．22B3 C．223．226【答案】C【解析】试题分析：由2，m，8构成一个等比数列，可得m＝4或m＝－4当m＝4时，2212x ym+=表示椭圆，其中a＝2，b2，故c2离心率为e＝22 ca=当m ＝－4时，2212x y m +=表示双曲线，其中a，b ＝2，故c离心率为e＝ca=考点：等比数列，椭圆与双曲线的离心率14．从一块短轴长为b 2的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[]224,3b b ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,35C.⎥⎦⎤ ⎝⎛35,0D.⎥⎦⎤⎝⎛23,0【答案】B【解析】试题分析：设椭圆的标准方程为2222x y a b+=1，在第一象限内取点（x ，y ），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜2π）， 则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab ，由已知得：3b 2≤2ab≤4b 2，3b≤2a≤4b ，平方得：9b 2≤4a 2≤16b 2， 即，9（a 2-c 2）≤4a 2≤16（a 2-c 2），整理得5a 2≤9c 2且12 a 2 ≥16 c 2，∴32c a ≤≤，即e ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,35，故选B. 考点：椭圆的基本性质，离心率.15．已知二次曲线224x y m+=1，则当[]1,2--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是 （ ） A．22 B．[22 C．,22 D．22【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知：二次曲线为双曲线，且m b a -==22,4，所以m c -=42，因为[]1,2--∈m ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-==26,2524m a c e ，所以选C ． 考点：双曲线性质的应用．16．已知双曲线方程224312x y -=，则双曲线的离心率为（ ）A.73B.3【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线方程224312x y -=，即22134x y -=，则2a b ==，c ==3c e a ===.故正确答案为B. 考点：双曲线方程、离心率.17．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线方程是y =，则双曲线的离心率是( )B.322 【答案】D【解析】试题分析：由题意b a =，∴22)14(be a=+= ，∴2e =，故选：D ． 考点：双曲线的简单性质．18．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．16 B ．13C．6 D．3【答案】D【解析】试题分析：∵线段1PF 的中点在y 轴上设P 的横坐标为x ，()0,1c F -，∴c x x c =⇒=+-0； ∴P 与2F 的横坐标相等，∴x PF ⊥2轴，考点：椭圆的性质.19．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 （ ） A ．45 B ．2 C ．2 D ．35【答案】D【解析】试题分析：由已知得，在12PF F ∆中，212PF F F ==2c ，由双曲线定义得，122PF a c =+，过点2F 作21F M PF ⊥，垂足为M ，则在2Rt PF M ∆中有222()(2)(2)a c a c ++=，化简得2252ac 3c 0a +-=，23e 2e 50--=，得5e 3=．考点：1、双曲线的标准方程；2、双曲线的简单几何性质．20．已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ,则当12PF F 的面积等于2a 时，双曲线的离心率为 （ ） A ．2 B ．3 C ．26D ．2 【答案】A【解析】试题分析：设c F F x PF x PF 2,,212211===，由于三角形21F PF 为直角三角形，()22222142c c x x ==+∴由双曲线的定义得a x x 221=-，两边平方得222212142a x x x x =+-，得()22212a c x x -=，由三角形的面积得22121a x x =，得2212a x x =，222a a c =-∴，即222a c =，离心率222===a c a c e ，故答案为A ．考点：双曲线的性质．21．．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点A 作与实轴垂直的直线，交两渐近线于M ,N 两点，F 为该双曲线的右焦点，若△FMN 的内切圆恰好是222x y a +=，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B 【答案】A 【解析】试题分析：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为0=±ay bx ，直线ax -=与渐近线的交点()()b a N b a M ---,,,，由于()0,c F ，()22b c a FN ++=，根据FON ∆面积公式得()bc a b c a ⋅=⋅++⋅212122，()bb c a ac e 22++==∴，1222222222-+=-+=∴e ee a c ac c e 化简得0233=--e e ，解得2=e 考点：双曲线的离心率．22．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）B.1223【答案】C【解析】试题分析：直线220x y -+=与两坐标轴的交点为()()0120，，， ，而椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点一定在x轴上，所以，1,2b c a ==⇒===，所以5c e a ===故选C.考点：椭圆的标准方程与简单几何性质.23．已知2221x a b2y ＋＝（a ＞b ＞0），M ，N 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为1k ，2k （1k 2k ≠0），若｜1k ｜＋｜2k ｜的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．2D ．3试题分析：设()ααsin ,cos b a P ()()aa b k a a b k a N a M +=-=∴-ααααcos sin ,cos sin 0,,0,21则 =+∴21k k ()()()()aba b a b b a a b a a b 2sin 2cos 1cos 1cos 1sin cos 1sin cos sin cos sin ≥=+--++=++-ααααααααααα，由题意可得：12=ab所以23=e . 考点：椭圆的性质. 24．双曲线12222=-b x a y 与抛物线y x 82=有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直实 轴的弦长为332，则双曲线的离心率等于 （ ） A.2 B.332 C.223 D.3 【答案】B【解析】试题分析：在双曲线12222=-bx a y 中，令22b a y +=，得到a b x 2=，所以双曲线上过点f 且垂直轴的弦长为2a b 2∴2ab 2=332又因为抛物线y x 82=的焦点为(0,2) 所以a²+b²=4两式联立，得到3a =，得b=1，所以离心率e=332，故选B. 考点：圆锥曲线性质.25．双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A C试题分析：设)0,(),0,(21c F c F -，易求M 坐标为),(2a b c M ，在三角形21F MF 中，3330tan tan 212021===∠F F MF F MF 即3322222=-=ac a c ac b ，由a c e =得3=e ，答案选B.考点：双曲线的性质26．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点为M ，若点M 在以AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为A ．),23(+∞B ．)23,1( C ．),2(+∞ D ．)2,1( 【答案】C 【解析】将222a c b -=，并化简整理，得0222<-+c ac a ，两边都除以2a ，整理得022>--e e ，解之得2>e （舍负）故选：C . 考点：双曲线的简单性质 .27．椭圆)320(112222<<=+b by x 与渐近线为02=±y x 的双曲线有相同的焦点21,F F ,P 为它们的一个公共点,且 9021=∠PF F ,则椭圆的离心率为（ )（A ）6（B)6 （C ）6 （D)6【答案】C【解析】试题分析：解：设F 1F 2=2c ，在双曲线中，=，a 2+b 2=c 2，得a 2=．不妨设p 在第一象限，则由椭圆的定义得PF 1+PF 2=，由双曲线的定义得PF 1-PF 2=2a=又∠F1PF2=90°∴PF 12+PF 22=4c 2∴48+=8c 2，解c=，∴e===．故选C考点：椭圆及其性质．28．如图所示，已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为 （A ）324 （B ）233 （C ）305 （D ）52【答案】B 【解析】试题分析：双曲线22221(x y a b a b -=>>的渐近线方程为x aby ±=，∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，∴2222212b a abab a bk OA-=-=，∴直线l 的方程为)(222c x b a aby --=，与x a b y ±=联立，可得2232b a abc y --=或222ba abcy +=， ∵FB AF 2=， ∴)32(222222b a abc b a abc -⋅=+，∴c=2b ，考点：双曲线的简单性质.29．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 是抛物线28y x =的焦点，两曲线的一个公共点为P ，且||5PF =，则双曲线的离心率为A ．2 D ．3【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点为()()0,2,0,21F F -，且两曲线的一个公共点为P 在y 轴右侧，因为||5PF =，因此可设点()62,3P ,所以71=PF ,所以221=-=PF PF a ， 所以双曲线的离心率为2==ace ． 考点：双曲线、抛物线的定义及性质．30．对于任意给定的实数m ，直线03=+-m y x 与双曲线0(12222>=-a by a x ，)0>b 最多有一个交点则，双曲线的离心率等于A ．2B ．2C ．3D ．10 【答案】D【解析】试题分析：由条件可得：双曲线的渐近线方程为x aby ±=，又因为直线03=+-m y x 与双曲线0(12222>=-a by a x ，)0>b 最多有一个交点，所以直线03=+-m y x 与渐近线方程x aby ±=平行，所以3=a b ，所以双曲线的离心率1010===a a a c e ． 考点：双曲线的性质．31．已知椭圆C 的上、下顶点分别为1B 、2B ，左、右焦点分别为1F 、2F ，若四边形1122B F B F 是正方形，则此椭圆的离心率e 等于A ．13 B ．12C ．22D ．32【答案】C【解析】试题分析：设椭圆的方程为：()012222>>=+b a by a x ，则由题意可得c b =，所以椭圆的离心率22==a c e ． 考点：椭圆的离心率．32．过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】试题分析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,∵ 过点M （1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得2221202a b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ , 2222,,2c a b c a b b e a ∴=∴=-=∴== .故选A. 考点：直线与圆锥曲线的综合问题 33．设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．5C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：将双曲线的渐进线方程x aby =代如抛物线方程y=x 2+1中化简得02=+-b ax bx ，由只有一公共点可知0422=-=∆b a 即224b a =，所以，答案选D.考点：1.双曲线的渐进线方程；2.直线与抛物线的位置关系 34．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.12 B. 23 C.34 D.45【答案】C 【解析】试题分析：∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF 2|=|F 2F 1|∵P 为直线32ax =上一点332()224a c c c e a ∴-=⇒==,故选C ．考点：椭圆的几何性质．35．已知抛物线24y x =的准线与双曲线2221x y a-=()0a ＞交于,A B 两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB ∆为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） 36 【答案】B 【解析】试题分析：抛物线24y x =的准线为1x =-，它与双曲线2221x y a-=()0a ＞交于,A B两点，则坐标为211,1a ⎛-- ⎝，抛物线的焦点(1,0)F ，因为FAB ∆为直角三角形，2112a -=，从而有5a =65c =，因此6ce a == B. 考点：圆锥曲线的性质.36．已知F 2、F 1是双曲线22y a -22x b=1(a>0，b>0)的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ．3 BC ．2 D【答案】C 【解析】试题分析：设2F 关于渐近线的对称点为P ，P F 2的中点为M ，连接1,PF OM ，则1//PF OM21PF PF ⊥∴，又c F F 221= ，c PF =1，点2F 到渐近线的距离b ba bc d =+=22()()22222b c c +=∴，即224a c =，2=e考点：双曲线性质的应用.37．已知双曲线22221x y a b-=，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为1：2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）【答案】B 【解析】试题分析：由题意知圆的圆心()0,a 半径a r =∴圆的方程()222a y a x =+-，渐近线方程x aby =即0=-ay bx 渐近线分弧长为1：2，劣弧所对角为32π由余弦定理得弦长2222332cos 2a a a a a l =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-+=πa l 3=∴，圆心()0,a 到直线0=-ay bx 的距离22322aa d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=222aba ab =+∴化简得223b a =3323422222==+===∴a b a a c a c e 考点：双曲线性质的综合应用.38．斜率为2的直线l 过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A.)2,(-∞B.)3,1(C.)5,1(D.),5(+∞ 【答案】D【解析】试题分析：如图,要使斜率为2的直线l 过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需2>ab即可,从而有5442222222>⇔>-⇔>ac a a c a b 所以有离心率5>e ,故选D.考点：双曲线的离心率.39．已知抛物线22y px =（0p >）的焦点F 为双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为（ ） 2 B.123 D.13【答案】B 【解析】试题分析：抛物线22y px =（0p >）的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，它也是双曲线22221x y a b -=（0,0a b >>）的一个焦点，所以有2pc =①，由两曲线交点的直线恰过点F ，可知它们在第一象限的交点为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，此点也在双曲线上，故有222214p p a b -=②，由①②消去p ，得222241c c a b-=，即422460c a c a -+=，即42610e e -+=，因为1e >，所以12e =+选择B ，求离心率的值关键是寻找到关于,,a b c 的等式，然后转化到e 的方程，从而解出e .考点：圆锥曲线的性质40．如图，已知椭圆221:111x C y +=，双曲线22222:1y x C a b-=(a ＞0，b ＞0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（ ）A 、5B 175214【答案】C 【解析】试题分析：由已知，|OA|＝a 11设OA 所在渐近线的方程为y ＝kx(k ＞0)，于是A 点坐标可表示为A(x 0，kx 0)(x 0＞0) 于是20111k x +，即A(221111,11k k k ++)，进而AB 的一个三分点坐标为221111,3131k k k ++)该点在椭圆C 1上，有222119(1)111119(1)k k k ++=+，即2211119(1)k k +=+，得k ＝2 即b a ＝2，于是225c a b a +，所以离心率5c e a=，选C考点：圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.。
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离心率专项练习
1、 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是_____________． 【解析】本题考查椭圆、双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单几何性质，考查转
化与化归思想、数形结合思想、函数与方程思想以及运算求解能力．设双曲线方程为x 2
a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)①，点A 的坐标为(x 0，y 0)． 由题意得a 2＋b 2＝3＝c 2②，则|OA |＝c ＝3，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x 20＋y 20＝3，x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62
． 2、 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和
A 2
B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线
C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．
【解析】本题主要考查双曲线的离心率、直线与曲线的位置关系、不等式的性质．设双曲线的焦点在x 轴上，则由题意知该双曲线的一条渐近线的斜率k (k >0)必须满足
33<k ≤3，易知k ＝b a ，所以13<⎝⎛⎭⎫b a 2≤3，43<1＋⎝⎛⎭⎫b a 2≤4，即有233
< 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2≤2.又双曲
线的离心率为e ＝c a ＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，所以233<e ≤2． 3、 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为____________．
【解析】本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力．
法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a
＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33
. 法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2
a
，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a
，变形可得3(a 2－c 2)＝
2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 4、 从椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是____________．
【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本
思想．由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝
⎛⎭⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a ＝22，即该椭圆的离心率是22
. 5、 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45
，则C 的离心率为___________． 【解析】本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力．由余弦定理得，|AF |＝6，所以2a ＝6＋8＝14，又
2c ＝10，所以e ＝1014＝57
. 6、 如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交
于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|
＝|F 1F 2|，则C 的离心率是___________．
【解析】不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，两渐近线为y ＝±b a
x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2
)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因
此有k MN ＝b 1－a 2－0a 21－a 2
－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62. 7、 设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2
上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为____________．
【解析】由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2(32a －c )＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34
. 8、 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，
O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是____________．。