圆锥曲线的离心率专题习题含答案
(完整版)圆锥曲线离心率专题历年真题
1．（福建卷）已知双曲线12222=-by a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2]C.[2,+∞)D.(2,+∞)2．（湖南卷）过双曲线M:2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )3．（辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．（全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )325．(陕西卷)已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为A.2B. 3C.263D.2336. (全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A （B ）12（C ）2 （D 1 7. （广东卷）若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=( )（Ｂ）32（Ｃ）83（Ｄ）238.（福建卷）已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+9．[全国]设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ）A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45 10．（ 福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．33B ．32 C ．22 D ．2311．（ 重庆理）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ）A ．43B ．53C ．2D ．7312.（福建卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.(]1,3 C.(3,+∞)D.[)3,+∞13.（江西卷 7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1) B ．1(0,]2C ．(0,2D ．,1)2 14.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．(25)，D ．(215.（陕西卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABC D16.（天津卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y +=17.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ． 18.（全国一15）在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．19、（全国2理11）设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。
专题06 圆锥曲线离心率及范围问题(解析版)
专题6 圆锥曲线离心率及范围问题离心率在圆锥曲线问题中有着重要应用，它的变化会直接导致曲线类型和形状的变化，同时它又是圆锥曲线统一定义中的三要素之一．有关求解圆锥曲线离心率的试题在历年高考试卷中均有出现．关于圆锥曲线离心率（范围）问题处理的主体思想是：建立关于一个,,a b c的方程（或不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式．一般建立方程有两种办法：○1利用圆锥曲线的定义解决；○2利用题中的几何关系来解决问题。
另外，不能忽略了圆锥曲线离心率的自身限制条件(椭圆、双曲线离心率的取值范围不一致)，否则很容易产生增根或者扩大所求离心率的取值范围．一、圆锥曲线的离心率方法1：利用定义法求离心率知识储备：椭圆和双曲线的第一定义。
方法技巧：一般情况题中出现圆锥曲线上的点与焦点联系在一起时，尽量转化为定义去考虑，会更简单！例1.（2015年浙江15题）椭圆22221x ya b+=（0a b>>）的右焦点(),0F c关于直线by xc=的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．法一：（当时网上的主流解法）大家上网看到的基本上就是这种解法，此方法入手很容易，但是后期的运算量会很大，并且此题高次方程的因式分解要求很高（对大部分学生来说高次方程分解本来就是一个盲区）。
【解析】设左焦点为1F ，由F 关于直线by x c=的对称点Q 在椭圆上， 得到OM QF ⊥且M 为QF 中点，又O 为F 1F 的中点，所以OM 为中位线，且1F Q QF ⊥。
由点到线的距离公式计算得到:,bc MF a=再由tan b FOM c ∠=得到：2c OM a =. 所以2,bcQF a=212c QF a =, 据椭圆定义：12QF QF a +=得到：2222bc c a a a+=，化简得： b c =，即22e =．通过比较我们发现法二（定义法）计算过程更加简洁，不易出错。
我在给学生讲题的时候学生经常会问我，哪个时候用定义法，其实大家只要看到有曲线上的点和焦点有联系时，就可以往定义法多思考一些。
圆锥曲线综合压轴之离心率问题,含参考答案
离心率问题1.椭圆离心率)(,112222222c b a a b a c a ce =-<-===2.双曲线离心率)(,112222222c b a ab ac ace =+>+===3.常用二级结论：设圆锥曲线C 的焦点F 在x 轴上，过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，若0)(B F F A >=λλ ，则|11|12+-+=λλk e ，设直线倾斜角为θ，则有|11||cos |+-=λλθe .特别地，对于抛物线有|11||cos |+-=λλθ 经典举例例1：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆上一点，线段AF 1的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，若B F 3B A 2=，则椭圆C 的离心率为（）A ．31B ．33C ．32D ．36解：如上左图，B F 3B A 2 =得A 、F 2、B 共线，B F 3B F F A 222=+得B F 2F A 22 =，设BF 2=m ，则AF 2=2m ,，AB=3m ,故BF 1=3m ,BF 1+BF 2=4m ，得AF 1=2m ，AF 1=AF 2,故A 为上顶点或下顶点.如上右图，作BD ⊥x 轴得BD=2b，DF 2=2c 即B(2,23bc -)，代入椭圆方程得33=a c ，选B点评：画出草图，利用向量关系、垂直平分线、椭圆的性质得到点A 处于特殊位置，利用相似得到点B 坐标，进而得到离心率.例2：已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为△PF 1F 2的内心和重心，当IG ⊥x 轴时，椭圆的离心率为（）A ．31B ．21C ．23D ．36解：设P(x 0,y 0)，重心G(3,300y x )，同时021212212)(y c r F F PF PF ⋅⋅=++得c a cy r +=0得I(ca cy x +00,3)，在PDI 中，PD 2+DI 2=PI 2，即有200200202)()31()()(c a cy y x x c a cy c a +-+-=++-得1)(49220220=+-b y c a x 又1220220=+b y a x 得22)(49c a a -=得31=a c ，故选A 点评：明显此题对同学们的基本功底有一定的要求，例如重心坐标公式、三角形内切圆半径的求解.例3：已知椭圆C 1：)0(111212212>>=+b a b y a x 与双曲线C 2：)00(122222222>>=-b a b y a x ，有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线在第一象限的交点，且21F F 在P F 1 上的投影等于|P F 1|，e 1，e 2分别是椭圆C 1和双曲线C 2的离心率，则9e 12+e 22的最小值是（）A ．4B ．6C ．8D ．16解：21F F 在P F 1 上的投影等于|P F 1 |，可知PF 1⊥PF 2于是2212221F F PF PF =+即有222214PF PF c =+，同时2211212,2PF PF a PF PF a =-=+两边同时平方得,4PF PF 2PF PF ,4PF PF 2PF PF 2221222121212221a a =⋅-+=⋅++两式相加得2112221=+e e ，于是8)9210(21910(2111)(9(2192221212222212122222122212221=⋅+≥++=++=+e e e e e e e e e e e e e e ，当且仅当222121229e e e e =即123e e =时成立，故选C例4：已知F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，以原点为圆心，|OF 1|为半径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若PF 1与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围为（）A ．),5(+∞B ．)5,1(C ．),15(+∞D ．)15,1(解：如图，设双曲线方程为12222=-b y a x ，圆的方程为222c y x =+，联立得P(cb c c b a 222,+-),PF 1与双曲线右支有交点，则a b k PF <1,即有a b ccc b a c b <++-222，整理可得2>a b ，故5>e ，选A. 精选好题1．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点，△PF 1F 2是以F 1P为底边的等腰三角形，且32312ππ<∠<F PF 则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．（1，2）B ．)213,1(+C ．)2213(，+D ．)213(∞++2．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若3AB >，则双曲线的离心率取值范围是（）A ．332,1(B ．31(，C ．),3[+∞D ．),332[+∞3．设O 为坐标原点，F 1，F 2为双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点，l 1，l 2为双曲线的两条渐近线，F 1A 垂直l 1于A ，F 1A 的延长线交l 2于B ，若|OA |+|OB |＝2|AB |，则双曲线的离心率为（）A ．6B ．5C ．26D ．254．已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F 1P ＞F 2P ，线段F 1P 的垂直平分线过F 2.若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2221e e +的最小值为（）A ．6B ．3C ．6D ．35．已知双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，若以OF （O 为坐标原点）为直径的圆被双曲线C 的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C 的虚轴长，则双曲线C 的离心率为（）A ．25B ．2C ．45D ．26．已知F 1、F 2分别是双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 1向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P ，直线F 2P 与y 轴交于点Q （P ，Q 在轴同侧），连接QF 1，若△PQF 1的内切圆圆心恰好落在以F 1F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A ．3B ．2C ．5D ．27．已知双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），过点F 1的直线l （斜率存在）交双曲线C 的渐近线于A ，B 两点，若|F 2A |＝|F 2B |，2F BF F AF 58S S 2121c =+∆∆＝（2121F BF F AF S S ∆∆、表示△AF 1F 2，△BF 1F 2的面积），则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．26C ．5D ．3158．已知双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），若双曲线不存在以点（2a ，a ）为中点的弦，则双曲线离心率e 的取值范围是（）A ．(1，]332B ．]332,25[C ．),332[+∞D ．]25[∞+，9．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FB FA =⋅→→，|FB |≤|FA |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．35,22[B ．)1,35[C.]13,22[- D.)1,13[-10．已知直线y ＝kx （k ≠0）与双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．511．如图，α，β，γ是由直线l 引出的三个不重合的半平面，其中二面角α﹣l ﹣β大小为60°，γ在二面角α﹣l ﹣β内绕直线l 旋转，圆C 在γ内，且圆C 在α，β内的射影分别为椭圆C 1，C 2．记椭圆C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则e 12+e 22的取值范围是（）A ．)43,31[B ．)45,31[C ．)43,21[D ．45,21[12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为△PF 1F 2的内心和重心，当IG ⊥x 轴时，椭圆的离心率为（）A ．31B ．21C ．23D ．3613．椭圆的焦点)0,22(F 1-，)0,22(F 2长轴长为2a ，在椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，对于直线y ＝a ，在圆x 2+（y ﹣1）2＝2上始终存在两点M ，N 使得直线上有点Q ，满足∠MQN ＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．)1,322[B ．)1,22[C ．322,22[D ．322,0(14.过双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）右焦点F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点，，若→→=PF 2QP ，0FQ QP =⋅→→，则C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．7D ．1015．已知双曲线E ：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0），斜率为81-的直线与E 的左右两支分别交于A ，B 两点，点P的坐标为（﹣1，2），直线AP 交E 于另一点C ，直线BP 交E 于另一点D ．若直线CD 的斜率为81-，则E 的离心率为（）A ．26B ．23C ．25D ．2516．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点为A ，B ．P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当ba+ln |m |+ln |n |取得最小值时，椭圆C 的离心率为（）A ．51B ．22C ．54D ．2317．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点为A ，B ．P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当b a（3﹣mn 32）+mn2+3（ln |m |+ln |n |）取得最小值时，椭圆C 的离心率为（）A ．51B ．22C ．54D ．2318．设F 1，F 2为双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P （x 0，2a ）为双曲线上的一点，若△PF 1F 2的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为（）A ．26B ．25C ．6D ．519．过双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且→→=FM 3FN ，若OM⊥FN ，则C 的离心率为（）A ．2B ．7C ．3D ．1020．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆上一点，线段AF 1的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，若→→=B 3F AB 2则椭圆C 的离心率为（）A ．31B ．33C ．32D ．3621．已知O 为坐标原点，A ，B 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点，抛物线E ：y 2＝2px （p＞0）与椭圆C 在第一象限交于点P ，点P 在x 轴上的投影为P ’，且有→→→⋅|OP'|OP'OP ＝c （其中c 2＝a 2﹣b 2），AP 的连线与y 轴交于点M ，BM 与PP '的交点N 恰为PP '的中点，则椭圆C 的离心率为（）A ．23B ．22C ．32D ．3122．已知点P （x 0，y 0）（x 0≠±a ）在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO⊥PM （O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．（0，33）B ．（33，1）C ．（22，1）D ．（0，22）23．已知椭圆与双曲线有公共焦点，F 1，F 2，F 1为左焦点，F 2为右焦点，P 点为它们在第一象限的一个交点，且∠F 1PF 2＝4π，设e 1，e 2分别为椭圆双曲线离心率，则2111e e +的最大值为（）A ．2B ．22C ．32D ．4224．已知F 1，F 2是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若E 上存在不同两点A ，B ，使得→→=BF 3A F 21则该椭圆的离心率的取值范围为（）A ．（3﹣1，1）B ．（0，3﹣1）C ．（2﹣3，1）D ．（0，2﹣3）25．点A 是椭圆1222=+y ax （a ＞1）的上顶点，B 、C 是该椭圆的另外两点，且△ABC 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，若满足条件的△ABC 只有一个，则椭圆的离心率e 的范围是（）A ．33≤e ＜1B ．0＜e ≤33C ．0＜e ≤36D ．36≤e ＜126．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，P 是椭圆C 上一点，若I 是△PF 1F 2的内心，且满足→→→→=++0IP 4IF 3IF 221则C 的离心率e 的值是（）A ．92B ．72C ．21D ．54参考答案1.D2.A3.B4.C5.A6.C7.D8.B9.A10.D11.C12.A13.A 14.C15.C16.D17.A18.A19.B20.B21.D22.C23.B24.C 25.C26.D。
圆锥曲线中的离心率的问题(含解析)
圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一 、求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。
常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．53C ．52D例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：2221x y 相切，双曲线M 离心率的值为（ ）A BCD ．3例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．15 B ．21 C ．53D ．73例6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．263C ．3D ．2题型二、求离心率的范围求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。
圆锥曲线小题 专题训练
圆锥曲线小题训练一、求离心率的值1.椭圆C:x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1、F 2,过F 2垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为A. 12B.32C.13D.33【答案】D由题意得，2×b 2a =2a －b 2a ，又b 2a2=1－e 2即可求得. 2.已知抛物线y 2=8x 与双曲线x 2m －y 2＝1交于A ，B 两点，且抛物线的准线与x 轴交于点D,点F 为物线的焦点.若△ADF 为等腰直角三角形，则双线的离心率是A. 2B. 2C.1D.22【答案】D3已知双曲线C 1：x 2m + y 2m －10＝1与双曲线C 2：x 2－y 24=1有相同的渐近线，则双曲线C 1的离心率为A. 5B.5C.54D.52【答案】A4.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0),点F 为左焦点,点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A,B 两点，且AB 的中点为M （1，12）,则椭圆的离心率为 A.22 B.12 C. 14 D.32【答案】A 提示：点差法，中点坐标代入即可求.5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点,I 为△PF 1F 2的内心，PI 交x 轴于Q 点,若｜F 1Q ｜=｜PF 2｜且PI :IQ=2:1,则双曲线的离心率e 的值为 . 【答案】32提示：三角形内心的性质，PF 1:PF 1=PI :IQ （可用△PF 1I 与△QF 1I 面积比来证明）6.设双曲线C:x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2,直线x=a 与C 的渐近线的一个交点记为P,若|PF 2|，|PF 1|, |F 1F 2|成等比数列，则C 的离心率为 A.4－ 3 B.2+ 3 C.4－ 5 D.2+5【答案】D7.设双曲线C:x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线的夹角为α，且cosα=13，则C 的离心率为 A.52 B.62 C.72 D.2【答案】B8.双曲线C:y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点（2，2），则该双曲线离心率为 A.62 B. 2 C. 3 D.3【答案】C9.已知双曲线E:x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)焦距为2c ，圆C 1:(x －c)2+y 2=r 2与圆C 2:x 2+(y －m )2=4r 2(m ∊R)外切，且E 的两条渐近线恰为两圆的公切线，则E 的离心率为 A.62 B. 2 C. 5 D.32【答案】A 提示：m 2+c 2=(3r)2结合点到直线的距离可求.10.已知点M 在以A ，B 为焦点的椭圆上，点C 为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件，MA→+MB→=2MC →，|MA →|=2|MB →|=2|MC →|则该椭圆的离心率为 .【答案】63 提示：画图可得C 为坐标原点，所以M 的横坐标为c 2，|MB |=|MC |=n=2a 3，|MA |=m =4a 3，设BC 中点为D ，则△MBD 中cos ∠MBD=c 2n ，在△MAB中，利用余弦定理可得a ，c 关系，进而求得离心率.二、求离心率的取值范围1.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0),若双曲线上存在点P,使的a sin∠PF 1F 2=c sin∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 A. (1,2+1) B.(2,+∞)C.( 2 ,2+1) D. (2+1,+∞)【答案】C设点P 在双曲线右支非x 轴上.由正弦定理可得|PF 2|sin∠PF 1F 2=|PF 1|sin∠PF 2F 1为方便运算,设| PF 1 | =m , | PF 2 |=n,则m sin∠PF 1F 2=n sin∠PF 2F 1，所以m n =c a ，又m -n=2a ，所以n=2a 2c -a ，m =2ac c -a，又sin∠PF 1F 2≠0，所以P 、F 1、F 2不共线，所以m +n ＞2c ，2a 2c -a +2ac c -a＞2c 而b ＞a ＞0，可解的答案C.2.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F,过F 作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于P,Q 两点,点P 在第一象限,点Q 在第四象限，则该双曲线离心率的取值范围为 A. (2,2) B.(1,2) C.(1,3) D.(2,2)【答案】B由已知，得－b a ＞-1,即b a ＜1，所以b 2≤c 2即c 2－a 2＜a 2,故1＜e ＜2.【怎么解】正确理解题目中给出的条件，将条件“点P 在第一象限,点，Q 在第四象限”转化为－b a ＞-1.3.设抛物线M ：x 2=4py (p >0)的焦点为F,其准线与双曲线N ：x 2a 2－y 2＝1的两个交点分別是A 、B ，若存在抛物线M 使得△FAB 是等边三角形，则双曲线N 的离心率的取值范围是 A. (1,233) B.(233,+∞) C.(72,+∞) D.(1,+∞)【答案】C抛物线的焦点坐标为F(p ，0)，准线方程为y=－p ，把y=－p 代入双曲线方程，可得A ，B 的坐标，其绝对值即是三角形边长的一班，所以tan∠FAO=－p |x |=3整理得到关于p 的方程，该方程有解，就可求得e 的范围.4.F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，若双曲线上存在点P 满足PF1→·PF 2→=－a 2，则双曲线的离心率的取值范围为 A.[3,+∞) B.[2,+∞) C.(1,3] D.(1,2]【答案】B 提示：设点P(x 0,y 0)则PF1→·PF 2→=(x 0+c)(x 0－c)+y 02=x 02－c 2+y 02=－a 2，x 02+y 02=c 2－a 2=b 2即点P 在一原点为圆心，半径为b 的圆上，有题意，该圆和双曲线相交，所以b 2>a 2，即可求解.三、其他问题1、已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点，若∠KPF 的平分线与x 轴交于(m ,0) ,则m 的最大值为A.3－2 2B.23－3C.2－ 3D.2－2【答案】A 提示：三角形角平分线的性质，及过抛物线准线与x 轴的交点的与抛物线相切的直线的斜率为±12.已知抛物线y 2=4x ,过焦点F 的直线与此抛物线交于A,B 两点，公共点A 在第一象限,过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为A',直线A'F 的斜率为－ 3 ,则△AA'F 的面积为 A.4 3 B.3 3 C.2 3 D. 3【答案】A 提示：△AA'F 是正三角形，且边长等于2p=4.3.已知抛物线C:y 2 =2px (p >0)的焦点为F,准线为l ，l 与x 轴的交点为P,点A 在抛物线C 上,过点A 作AA'⊥l ，垂足为A'，若四边形AA'PF 的面积为14,且cos ∠FAA'=35 ，则抛物线C 的方程为A.y 2 =xB.y 2 =2xC.y 2 =4xD.y 2 =8x【答案】C4.设双曲线C:x 28－y 2m =1的左右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与双曲线C 交于M,N 两点,其中M 在左支上,N 在右支上，若∠F 2MN= F 2NM ，则｜MN ｜ =A.8B.4C.8 2D.42【答案】C [命题意图]本题考查双曲线的定义与方程,考查推理论证能力以及数形结合思想. 提示：由∠F 2MN= F 2NM,可知，|F 2M|=｜F 2N ｜.由双曲线定义可知，｜MF2｜-｜MF1｜2a,｜NF1｜－｜NF2｜=2a,两式相加得,｜NF1｜-｜MF1｜=|MN｜=4a=82.5.设椭圆C: x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1, F2, 离心率为3，以F1F2为直径的圆与C在第一象限的交点为P,则直线PF1的斜率为A.13 B.12 C.33 D.32【答案】B6.已知点P(－43, 0),圆x2+y2=16 上两点A, B满足PB=2PA,则|AB|=【答案】4 提示：根据OA=OB=PA=AB=12PB，所以点B恰好是（0,4）.7.设点P为直线l：x+y－4=0上的动点，点A（－2,0），B（2,0），则｜PA｜+｜PB｜的最小值A.210B.26C.2 5D.10【答案】A8.已知椭圆C1:x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－y2 9=1有公共焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则A.a 2=878 B.a 2=12 C.b 2=98 D.b 2=1 【答案】C9.“0<m <2”是“方程x 2m ＋y 22－m＝1表示椭圆”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C10.已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，点P 在该抛物线上，且点P 在y 轴上的投影为E ，则｜PF ｜－｜PE ｜的值为A.1B.2C.3D.4【答案】B。
(完整版)圆锥曲线离心率专题
圆锥曲线离心率专题训练1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]2．二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（）A．B．C．D．3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（）A．B．C．D．7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（，+∞）C．[，+∞）D．（，+∞）11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，）C．（2，]D．（，2]17．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）19．已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．20．双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．21．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．22．在椭圆上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（）A．B．C．D．23．椭圆+y2=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．24．椭圆（a＞b＞0）上存在点P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，C．D．25．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．26．设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．27．已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，1+）B．（1，）C．（﹣1，1+）D．（1，2）28．如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．29．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．30．已知P为椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△PF1F2为直角三角形的点P 有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，+∞）参考答案与试题解析1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]解：如图所示，下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．设椭圆上任意一点P（x0，y0），则，可得．∴|OP|2==+=≥b2，当且仅当x0=0时取等号．∴椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则c≥b，∴c2≥b2=a2﹣c2，化为，解得．又e＜1，∴．故选B．2．二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（）A．B．C．D．解：∵m∈[﹣2，﹣1]，∴该曲线为双曲线，a=2，b2=﹣m，∴c=离心率e==∵m∈[﹣2，﹣1]，∴∈[，]，∴e∈故选C3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）解：可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．联立化为（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，则，解得，∵0＜x＜a，∴，化为c2＞b2=a2﹣c2，∴，又1＞e＞0．解得．∴该椭圆的离心率e的范围是．故选：C．4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）解：∵双曲线的离心率e∈（1，2），∴双曲线标准方程为：﹣=1∴k＜0，∴1＜e2＜4，1＜＜4，﹣12＜k＜0，故答案选C5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选A．6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（）A．B．C．D．解：不防设椭圆方程：（a＞b＞0），再不妨设：B（0，b），三角形重心G（c，0），延长BG至D，使|GD|=，设D（x，y），则，，由，得：，解得：，．而D是椭圆的内接三角形一边AC的中点，所以，D点必在椭圆内部，则．把b2=a2﹣c2代入上式整理得：．即．又因为椭圆离心率e∈（0，1），所以，该椭圆离心率e的取值范围是．故选B．7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．解：椭圆x2+my2=1化为标准方程为①若1＞，即m＞1，，∴，∴，∴②若，即0＜m＜1，，∴，∴，∴∴实数m的取值范围是故选C．8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e1，双曲线的方程为﹣=1（m＞0，n＞0），|F1F2|=2c，∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF2|=|F1F2|=2c，∴|PF1|=2a﹣2c；①同理，在该双曲线中，|PF1|=2m+2c；②由①②可得a=m+2c．∵e2=∈（1，2），∴＜=＜1，又e1==，∴==+2∈（，3），故选C．9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，由已知得：3b2≤2ab≤4b2，∴3b≤2a≤4b，平方得：9b2≤4a2≤16b2，9（a2﹣c2）≤4a2≤16（a2﹣c2），5a2≤9c2且12a2≥16c2，∴≤≤即e∈故选B．10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为（）D．（，+∞）A．[2，+∞）B．（，+∞）C．[，+∞）解：BD==，∴a1=，c1=1，a2=，c2=x，∴e1=，e2=，e1e2=1但e1+e2中不能取“=”，∴e1+e2=+=+，令t=﹣1∈（0，﹣1），则e1+e2=（t+），t∈（0，﹣1），∴e1+e2∈（，+∞）∴e1+e2的取值范围为（，+∞）．故选B．11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：直线l的方程为，即bx﹣ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离d1=，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．d2=，s=d1+d2==．由S，即得•a≥2c2．于是得4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是e∈．故选A．12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，∴△P0F1F2中，∠F1P0F2≥60°，可得Rt△P0OF2中，∠OP0F2≥30°，所以P0O≤OF2，即b c，其中c=∴a2﹣c2≤3c2，可得a2≤4c2，即≥∵椭圆离心率e=，且a＞c＞0∴故选C13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．解：设f（x）=x3+2ax2+3bx+c，由抛物线的离心率为1，可知f（1）=1+2a+3b+c=0，故c=﹣1﹣2a﹣3b，所以f（x）=（x﹣1）[x2+（2a+1）x+（2a+3b+1）]的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，故g（x）=x2+（2a+1）x+（2a+3b+1），有两个分别属于（0，1），（1，+∞）的零点，故有g（0）＞0，g（1）＜0，即2a+3b+1＞0且4a+3b+3＜0，则a，b满足的可行域如图所示，由于，则P（﹣1，）而表示（a，b）到（0，0）的距离，且（0，0）到P（﹣1，）的距离为d=可确定的取值范围是（，+∞）．故答案为：A．14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解：设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，则，化为．∴|PA|2=x2+（y﹣b）2===f（y），∵椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），由二次函数的单调性可知：f（y）在（﹣b，b）单调递减，∴，化为c2≤b2=a2﹣c2，即2c2≤a2，∴．又e＞0．∴离心率的取值范围是．故选：C．15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．解：∵双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=x则tanα=∵，∴1＜tanα＜，即1＜＜∴1＜=＜3求得＜＜2故选B．16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，）C．（2，]D．（，2]解：根据内角平分线的性质可得=，再由双曲线的定义可得5PF2﹣PF2=2a，PF2=，由于PF2=≥c﹣a，∴≥c，≤．再由双曲线的离心率大于1可得，1＜e≤，故选A．17．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα…②|BF|=2ccosα…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin（α+）≤1∴≤e≤故选B18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：x0==由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则＞﹣a，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1），故选D．19．已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：圆x2+y2=4的圆心到直线l：y=kx+2的距离为d=∵直线l：y=kx+2被圆x2+y2=4截得的弦长为L，∴由垂径定理，得2，即，解之得d2≤∴≤，解之得k2∵直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，∴b=2且c==﹣，即a2=4+因此，椭圆的离心率e满足e2===∵k2，∴0＜≤，可得e2∈（0，]故选：B20．双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：直线l的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离.，．由，得．．于是得5≥2e2，即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得≤e2≤5．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是．故选D．21．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+=p；∴=．∴双曲线C2的离心率e===．故选：C．22．在椭圆上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（）A．B．C．D．解：由椭圆定义可知：|MF1|+|MF2|=2a，所以…①，在△MF1F2中，由余弦定理可知…②又，…③，由①②③可得：4c2=4a2﹣4b2﹣2|MF1|•|MF2|cosθ．所以|MF1|•|MF2|cosθ=0．所以c≥b，即c2≥b2=a2﹣c2，2c2≥a2，，所以e∈．故选B．23．椭圆+y2=1上存在一点P对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．[，1）C．（0，]D．[，1）解：∵椭圆方程为：+y2=0，∴b2=1，可得c2=a2﹣1，c=∴椭圆的离心率为e=又∵椭圆上一点P，使得角∠F1PF2=，∴设点P的坐标为（x0，y0），结合F1（﹣c，0），F2（c，0），可得=（﹣c﹣x0，﹣y0），=（c﹣x0，﹣y0），∴=+=0…①∵P（x0，y0）在椭圆+y2=1上，∴=1﹣，代入①可得+1﹣=0将c2=a2﹣1代入，得﹣a2﹣+2=0，所以=，∵﹣a≤x0≤a∴，即，解之得1＜a2≤2∴椭圆的离心率e==∈[，1）．24．如果椭圆（a＞b＞0）上存在点P，使P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．（0，解：设P（x，y），∵P到原点的距离等于该椭圆的焦距，∴x2+y2=4c2①∵P在椭圆上，∴②联立①②得，∵0≤x2≤a2∴∴∴∴e∈故选C25．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，此时a﹣c＜2c，解得a＜3c，所以离心率e当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）26．设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：A1（﹣a，0），A2（a，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（a﹣x，﹣y），∵，∴（a﹣x）（﹣x）+（﹣y）（﹣y）=0，y2=ax﹣x2＞0，∴0＜x＜a．代入=1，整理得（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，∵f（0）=﹣a2b2＜0，f（a）=0，如图：△=（a3）2﹣4×（b2﹣a2）×（﹣a2b2）=a2（a4﹣4a2b2+4b4）=a2（a2﹣2c2）2≥0，∴对称轴满足0＜﹣＜a，即0＜＜a，∴＜1，＞，又0＜＜1，∴＜＜1，故选D．27．已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，1+）B．（1，）C．（﹣1，1+）D．（1，2）：解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AF1E中，∠AEF＜45°，得|AF1|＜|EF1|∵|AF1|==，|EF1|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵双曲线的离心率e＞1∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选D．28．如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，设c为双曲线的半焦距（c=2），依题意，记，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得，．设双曲线的方程为，则离心率，由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得，①．②由①式得，③将③式代入②式，整理得，故由题设得，，解得，所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．故选A．29．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解：把x=c代入椭圆的方程可得，解得．取A，则B，∵∠OBF=∠AOF﹣∠OFB，，=∴tanα=tan∠OBF=====，∵，∴，∴．解得．故选A．30．已知P为椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△PF1F2为直角三角形的点P 有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，）B ．（，1）C．（1，）D．（，+∞）解：①当PF1⊥x轴时，由两个点P满足△PF1F2为直角三角形；同理当PF2⊥x轴时，由两个点P满足△PF1F2为直角三角形．∵使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个，∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴c＜b，∴c2＜b2=a2﹣c2，∴，又e ＞0，解得．故选A．21。
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题（含答案解析）离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。
一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：222c b a =+① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a −=② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。
从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。
圆锥曲线离心率专题 历年真题
圆锥曲线离心率专题历年真题1.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是？答案：D.(2,+∞)改写：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F。
过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此双曲线离心率的取值范围。
答案为D.(2,+∞)。
2.题目：过双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，则双曲线M的离心率是？答案：$\frac{10}{3}$改写：双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点为A。
作斜率为1的直线l过点A，与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，求双曲线M的离心率。
答案为$\frac{10}{3}$。
3.题目：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率答案：无法确定改写：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为哪些图形的离心率？答案无法确定。
4.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，则双曲线的离心率为？答案：$\frac{\sqrt{3}}{3}$改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，求双曲线的离心率。
答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
5.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，则双曲线的离心率为？答案：D.$\frac{3}{\sqrt{23}}$改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，求双曲线的离心率。