【全国百强校】江苏省南通中学2015-2016学年高一10月月考数学试题(原卷版)
【全国百强校】江苏省南通中学2015-2016学年高一10月月考数学试题解析(解析版)
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应的位置上．） 1．设{}{}|12,|03A x x B x x =-<<=<<，则A B =__________________【答案】（—1，3） 【解析】 试题分析：{|13}AB x x =-<<．考点：集合的运算．2．设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2}，B={2,3,4}，则(∁uA)∩B = 【答案】{3，4} 【解析】试题分析：{3,4,5}U C A =，(){3,4}U C A B =．考点：集合的运算．3．已知函数(){}22,1,2,3f x x x x =+∈-，则()f x 的值域是 ▲ ． 【答案】{3,8}考点：函数的值域．4．已知函数3()1f x ax bx =++，且(2)f -=3，则(2)f = 【答案】－1 【解析】试题分析：设3()()1g x f x ax bx =-=+，则()g x 是奇函数，(2)(2)1312g f -=--=-=，所以(2)(2)2g g =--=-，即(2)12f -=-，(2)1f =-．考点：函数的奇偶性．5．某班共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 【答案】12考点：集合的运算．6．若()2241f x x =+，则()f x 的解析式为 ▲ ． 【答案】2()1f x x =+ 【解析】试题分析：因为22(2)41(2)1f x x x =+=+，所以2()1f x x =+． 考点：7．下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是 ▲ ．【答案】D 【解析】试题分析：只有D 中对每个x 只有唯一的y 与它对应，因此它是函数的图象． 考点：函数的概念．8．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[1,2]-，则(1)y f x =+的值域为 ▲ 【答案】[1,2]- 【解析】试题分析：函数()y f x =的图象向左平移一个单位得(1)y f x =+的图象，因此它们的值域相同．9．如果二次函数y =3x 2+2(a －1)x +b 在区间(,1]-∞上是减函数，那么a 的取值范围是 ▲ ．【答案】a ≤－2考点：二次函数的性质．【名师点晴】二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的单调性： 当0a >时，在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增；当当0a <时，在(,]2ba-∞-上递增，在[,)2ba-+∞上递减． 10．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出满足不等式[()][()]f g x g f x >解集是 【答案】{2} 【解析】试题分析：((1))(3)1f g f ==，((1))(1)3g f g ==，((2))(2)3f g f ==，((2))(3)1g f g ==，((3))(1)1f g f ==，((3))(1)3g f g ==，只有2x =是不等式[()][()]f g x g f x >的解．考点：函数的定义．11．设函数f （x ）＝22(2)2(2)x x x x ⎧≥⎨⎩-，＜，，若()f a a >，则实数a 的取值范围是【答案】a >2或0<a <2 【解析】试题分析：当2a ≥时，2()2f a a a =->，解得2a >，当2a <时，()2f a a a =>，解得02a <<，综上有2a >或02a <<12．函数y的定义域是 ▲ ．【答案】{}01x x x <≠-且考点：函数的定义域．【名师点晴】函数定义域的求法：通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。
江苏省扬州中学2015-2016学年高一(上)10月月考数学试卷(解析版)
2015-2016学年江苏省扬州中学高一（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0，1，4}，则a=．2．已知集合M+{x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N=．3．函数f（x）=的定义域为．4．已知f（x）=2x2+bx+1是定义域在R上的偶函数，则b=．5．函数的值域为．6．已知函数f（x+1）=2x2﹣4x，则函数f（2）=．7．函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=3对称．则a=．8．函数f（x）=的单调增区间为．9．函数f（x）=的最大值为．10．不等式（|x|﹣1）（x﹣2）＞0的解集是．11．已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是．12．设函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R），且在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为．13．若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m﹣2）＜3的解集为．14．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知集合A={|a+1|，3，5}，B={2a+1，a2+2a，a2+2a﹣1}，当A∩B={2，3}时，求A∪B．16．已知A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集为实数集R．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．17．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．18．已知二次函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若函数在区间[3，+∞）上是单调增函数，求m的取值范围；（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的解析式．19．设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．20．定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．2015-2016学年江苏省扬州中学高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0，1，4}，则a=4．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由已知中集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0，1，4}，可得：a∈A，再由集合元素的互异性，可得答案．【解答】解：∵集合A={1，4}，B={0，1，a}，A∪B={0，1，4}，∴a∈A，即a=1，或a=4，由集合元素的互异性可得：a=1不满足条件，故a=4，故答案为：4【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．2．已知集合M+{x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，则M∩N={x|﹣1＜x＜1}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|﹣2＜x＜1}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜1}，故答案为：{x|﹣1＜x＜1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．函数f（x）=的定义域为（﹣∞，）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】要使函数有意义只要满足8﹣12x＞0即可．【解答】解：要使函数有意义，须满足8﹣12x＞0，解得x＜，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，属基础题．4．已知f（x）=2x2+bx+1是定义域在R上的偶函数，则b=0．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性的定义，f（x）是偶函数，可得f（﹣x）=f（x），代入解析式得到结果．【解答】解：由已知函数f（x）是偶函数，所以有f（﹣x）=f（x），即：（﹣x）2+b（﹣x）+1=x2+bx+1，即：2bx=0，因为x∈R时，此等式恒成立，所以，b=0故答案为：0．【点评】本题考查函数奇偶性，以及代数恒等式成立的问题．本题在得到2bx=0时，是对于x∈R等式都成立．基本知识的考查．5．函数的值域为．【考点】函数的值域．【专题】计算题．【分析】令t=，则t≥0，则y=t﹣t2，结合二次函数的性质即可求解【解答】解：令t=，则t≥0y=t﹣t2=∴函数的值域为（﹣]故答案为：（﹣]【点评】本题主要考查了换元法求解函数的值域，其中二次函数性质的应用是求解的关键6．已知函数f（x+1）=2x2﹣4x，则函数f（2）=﹣2．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】解法一：x+1=2，可得x=1，代入f（x+1）=2x2﹣4x，可得答案；解法二：利用配凑法，求出函数f（x）的解析式，代入x=2，可得答案；解法三：利用换元法，求出函数f（x）的解析式，代入x=2，可得答案；【解答】解法一：∵函数f（x）满足：f（x+1）=2x2﹣4x，令x+1=2，则x=1，f（2）=2×1﹣4×1=﹣2．解法二：∵函数f（x）满足：f（x+1）=2x2﹣4x=2x2+4x+2﹣8（x+1）+6=2（x+1）2﹣8（x+1）+6，∴f（x）=2x2﹣8x+6，f（2）=2×22﹣4×2+6=﹣2．解法三：∵函数f（x）满足：f（x+1）=x2﹣2x仅t=x+1，则x=t﹣1则f（t）=2（t﹣1）2﹣4（t﹣1）=2t2﹣8t+6∴f（x）=2x2﹣8x+6，f（2）=2×22﹣4×2+6=﹣2．故答案为：﹣2【点评】本题考查的知识点是函数的值，函数的解析式，熟练掌握求函数解析式的各种方法是解答的关键．7．函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=3对称．则a=3．【考点】函数的图象与图象变化．【专题】计算题．【分析】由含绝对值符号函数对称性我们易得函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=a对称，又由函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=3对称，我们易得a的值．【解答】解：∵y=|x﹣a|的图象关于直线x=a对称，又∵y=|x﹣a|的图象关于直线x=3对称，故a=3；故答案：3．【点评】本题考查的知识点是含绝对值符号函数的对称性，熟练掌握是绝对值符号函数的对称性是解答本题的关键．8．函数f（x）=的单调增区间为[0，2]．【考点】复合函数的单调性；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据复合函数的单调性之间的关系求函数的单调区间．【解答】解：设t=g（x）=﹣x2+4x，则y=在定义域上单调递增，由t=g（x）=﹣x2+4x≥0，解得x2﹣4x≤0，即0≤x≤4，又函数由t=g（x）=﹣x2+4x的对称轴为x=2，抛物线开口向下，∴函数t=g（x）=﹣x2+4x的单调增区间为[0，2]，单调减区间为[2，4]．∴函数f（x）=的单调增区间为[0，2]．故答案为：[0，2]．【点评】本题主要考查复合函数的单调性的判断和应用，注意要先求函数的定义域．9．函数f（x）=的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】把解析式的分母进行配方，得出分母的范围，从而得到整个式子的范围，最大值得出．【解答】解：f（x）===，∵≥∴0＜≤，∴f（x）的最大值为，故答案为．【点评】此题为求复合函数的最值，利用配方法，反比例函数或取倒数，用函数图象一目了然．10．不等式（|x|﹣1）（x﹣2）＞0的解集是（﹣1，1）∪（2，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】不等式（|x|﹣1）（x﹣2）＞0可转化为或，根据“大于看两边，小于看中间”的原则，去掉绝对值符号，将问题转化为一个整式不等式组后，即可求了答案．【解答】解：∵（|x|﹣1）（x﹣2）＞0∴或即或解得﹣1＜x＜1，或x＞2∴不等式（|x|﹣1）（x﹣2）＞0的解集是（﹣1，1）∪（2，+∞）故答案为：（﹣1，1）∪（2，+∞）【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，其中根据“大于看两边，小于看中间”的原则，去掉绝对值符号，将原不等式转化为一个整式不等式，是解答本题的关键．11．已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是{a|a＞}．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】把函数f（x）解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数g（x）的和的形式，由函数g（x）在（﹣2，+∞）为增函数得出1﹣2a＜0，从而得到实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）==a+，结合复合函数的增减性，再根据f（x）在（﹣2，+∞）为增函数，可得g（x）=在（﹣2，+∞）为增函数，∴1﹣2a＜0，解得a＞，故答案为：{a|a＞}．【点评】本题考查利用函数的单调性求参数的范围，属于基础题．12．设函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R），且在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为[﹣1，0）∪（0，1]．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由f（﹣x）=﹣f（x），化简不等式得．再分x＞0和x＜0时两种情况加以讨论，利用函数的单调性和f（1）=0，分别解关于x的不等式得到x的取值范围．最后综合可得原不等式的解集．【解答】解：∵函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R），∴f（x）﹣f（﹣x）=f（x）+f（x）=2f（x），因此，不等式等价于，化简得或，①当x＞0时，由于在（0，+∞）上f（x）为增函数且f（1）=0，∴由不等式f（x）≤0=f（1），得0＜x≤1；②当x＜0时，﹣x＞0，不等式f（x）≥0化成﹣f（x）≤0，即f（﹣x）≤0=f（1），解之得﹣x≤1，即﹣1≤x＜0．综上所述，原不等式的解集为[﹣1，0）∪（0，1]．故答案为：[﹣1，0）∪（0，1]【点评】本题给出函数的单调性和奇偶性，求解关于x的不等式．着重考查了函数的简单性质及其应用、不等式的解法等知识，属于中档题．13．若定义在R上的函数对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣1成立，且当x＞0时，f（x）＞1，若f（4）=5，则不等式f（3m﹣2）＜3的解集为（﹣∞，）．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】根据题意证出f（0）=1，进而证出F（x）=f（x）﹣1为奇函数．利用函数单调性的定义，结合题中的条件证出F（x）=f（x）﹣1是R上的增函数，因此y=f（x）也是R上的增函数．由f（4）=5代入题中等式算出f（2）=3，将原不等式转化为f（3m﹣2）＜f（2），利用单调性即可求出原不等式的解集．【解答】解：由题意，可得令x1=x2=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）﹣1，可得f（0）=1，令x1=﹣x，x2=x，则f[（﹣x）+x]=f（﹣x）+f（x）﹣1=1，∴化简得：[f（x）﹣1]+[f（﹣x）﹣1]=0，∴记F（x）=f（x）﹣1，可得F（﹣x）=﹣F（x），即F（x）为奇函数．任取x1，x2∈R，且x1＞x2，则x1﹣x2＞0，F（x1）﹣F（x2）=F（x1）+F（﹣x2）=[f（x1）﹣1]+[f（﹣x2）﹣1]=[f（x1）+f（﹣x2）﹣2]=[f（x1﹣x2）﹣1]=F（x1﹣x2）∵当x＞0时f（x）＞1，可得x＞0时，F（x）=f（x）﹣1＞0，∴由x1﹣x2＞0，得F（x1﹣x2）＞0，即F（x1）＞F（x2）．∴F（x）=f（x）﹣1是R上的增函数，因此函数y=f（x）也是R上的增函数．∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且f（4）=5，∴f（4）=f（2）+f（2）﹣1=5，可得f（2）=3．因此，不等式f（3m﹣2）＜3化为f（3m﹣2）＜f（2），可得3m﹣2＜2，解之得m，即原不等式的解集为（﹣∞，）．【点评】本题给出抽象函数满足的条件，求解关于m的不等式．着重考查了函数的简单性质及其应用、不等式的解法等知识，属于中档题．14．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）．【考点】特称命题．【专题】函数的性质及应用．【分析】若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．【解答】解：由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．分情况讨论：（1）若x≤1时，f（x）=﹣x2+ax不是单调的，即对称轴在x=满足＜1，解得：a＜2（2）x≤1时，f（x）是单调的，此时a≥2，f（x）为单调递增．最大值为f（1）=a﹣1故当x＞1时，f（x）=ax﹣1为单调递增，最小值为f（1）=a﹣1，因此f（x）在R上单调增，不符条件．综合得：a＜2故实数a的取值范围是（﹣∞，2）故答案为：（﹣∞，2）【点评】本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数f（x）不是单调函数，是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15．已知集合A={|a+1|，3，5}，B={2a+1，a2+2a，a2+2a﹣1}，当A∩B={2，3}时，求A∪B．【考点】并集及其运算；交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】由题意推出|a+1|=2，求出a的值，验证A∩B={2，3}，求出A，B，然后求出A∪B．【解答】解：由A∩B={2，3}可得，2∈A，∴|a+1|=2，a=1或a=﹣3…当a=1时，此时B中有相同元素，不符合题意，应舍去当a=﹣3时，此时B={﹣5，3，2}，A={2，3，5}，A∩B={3，2}符合题意，所以a=﹣3，A∪B={﹣5，2，3，5}．…【点评】本题是中档题，考查集合的基本运算，集合中参数的取值问题的处理方法，考查计算能力．16．已知A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x＜a}，全集为实数集R．（1）求A∪B，（∁R A）∩B；（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．【专题】计算题；数形结合．【分析】（1）要求A∪B，就是求属于A或属于B的元素即可；要求（C R A）∩B，首先要求集合A的补集，然后再求与集合B的交集，因为A={x|3≤x＜7}，所以C R A={x|x＜3或x≥7}，找出C R A与集合B的公共解集即可；（2）由条件A∩C≠φ，在数轴上表示出集合C的解集，因为A∩C≠φ，所以a＞3即可．【解答】解：（1）∵A={x|3≤x＜7}，B={x|2＜x＜10}，∴A∪B={x|2＜x＜10}；∵A={x|3≤x＜7}，∴C R A={x|x＜3或x≥7}∴（C R A）∩B={x|x＜3或x≥7}∩{x|2≤x＜10}={x|2＜x＜3或7≤x＜10}（2）如图，∴当a＞3时，A∩C≠φ【点评】此题考查集合交、并、补的基本概念及混合运算的能力，数形结合的数学思想．17．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x（Ⅰ）求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x．又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0．于是x＜0时f（x）=x2+2x．所以f（x）=．（Ⅱ）作出函数f（x）=的图象如图：则由图象可知函数的单调递增区间为[﹣1，1]要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上单调递增，（画出图象得2分）结合f（x）的图象知，所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用二次函数图象和性质是解决本题的关键．18．已知二次函数f（x）=x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若函数在区间[3，+∞）上是单调增函数，求m的取值范围；（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的解析式．【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）结合二次函数的图象和性质，分析对称轴和区间[3，+∞）的关系，可得m的取值范围；（2）用对称轴和区间[﹣1，1]的关系进行分类讨论，求出函数的最小值g（m）．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣mx+m﹣1=（x﹣）2﹣+m﹣1，对称轴为x=．若函数在区间[3，+∞）上是单调增函数，则≤3，解得：m≤6；（2）①若＜﹣1，即m＜﹣2，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递增，所以最小值g（m）=f（﹣1）=2m．②若﹣1≤≤1，即﹣2≤m≤2，此时当x=时，函数f（x）最小，最小值g（m）=f（）=﹣+m﹣1．③若＞1，即m＞2，此时函数f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，所以最小值g（m）=f（1）=0．综上g（m）=．【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，综合性较强，要求熟练掌握二次函数性质和应用．19．设a为实数，函数f（x）=x|x﹣a|．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当0≤x≤1时，求f（x）的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）讨论a=0时与a≠0时的奇偶性，然后定义定义进行证明即可；（2）讨论当a≤0和a＞0时，求出函数f（x）=x|x﹣a|的表达式，即可求出在区间[0，1]上的最大值．【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．当a=0时f（x）=x|x﹣a|=x|x|，为奇函数．当a≠0时，f（x）=x|x﹣a|，f（1）=|1﹣a|，f（﹣1）=﹣|1+a|，f（﹣x）≠f（x）且f（﹣x）≠﹣f（x），∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．（2）若a≤0，则函数f（x）=x|x﹣a|在0≤x≤1上为增函数，∴函数f（x）的最大值为f（1）=|1﹣a|=1﹣a，若a＞0，由题意可得f（x）=，由于a＞0且0≤x≤1，结合函数f（x）的图象可知，由，当，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）的最大值为f（1）=a﹣1；当，即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，∴f（x）的最大值为f（）=；当，即时，f（x）在[0，]上递增，在[，a]上递减，在[a，1]上递增，∴f（x）的最大值为f（1）=1﹣a．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，以及分段函数的最值的求法，考查学生的运算能力．20．定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2（1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）当a=﹣1时，函数表达式为f（x）=1+x﹣x2，可得f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，它的值域为（﹣∞，1），从而|f（x）|的取值范围是[0，+∞），因此不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函数．（2）函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，即﹣3≤f（x）≤3在[1，4]上恒成立，代入函数表达式并化简整理，得﹣﹣≤a≤﹣在[1，4]上恒成立，接下来利用换元法结合二次函数在闭区间上最值的求法，得到（﹣﹣）max=﹣，（﹣）min=﹣，所以，实数a的取值范围是[﹣，﹣]．【解答】解：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=1+x﹣x2=﹣（x﹣）2+∴f（x）在（﹣∞，0）上是单调增函数，f（x）＜f（0）=1∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（﹣∞，1）因此|f（x）|的取值范围是[0，+∞）∴不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（﹣∞，0）上的有界函数．（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，则|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即﹣3≤f（x）≤3∴﹣3≤ax2+x+1≤3∴≤a ≤，即﹣﹣≤a ≤﹣在[1，4]上恒成立，∴（﹣﹣）max ≤a ≤（﹣）min ，令t=，则t ∈[，1]设g （t ）=﹣4t 2﹣t=﹣4（t+）2+，则当t=时，g （t ）的最大值为﹣再设h （t ）=2t 2﹣t=2（t ﹣）2﹣，则当t=时，h （t ）的最小值为﹣∴（﹣﹣）max =﹣，（﹣）min =﹣所以，实数a 的取值范围是[﹣，﹣]．【点评】本题以一个特定的二次函数在闭区间上有界的问题为例，考查了函数单调性的性质和二次函数在闭区间上值域等知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中变量分离和换元法求值域的思想，并学会运用．。
【全国百强校】江苏省南通中学2018届高三10月月考数学试题(含附加题)
南通中学高三年级第一次阶段性考试数 学 试 卷考试内容：数学Ⅰ以目前一轮已复习的函数和三角函数为主，数学Ⅱ为选修4－2，选修4－4， 《立体几何与空间向量》及《计数原理》．命题人： 南通中学高三数学备课组数学Ⅰ（必做题 共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷横线上）1．已知集合{}|21A x x =-<<，集合{}1,0,1B =-，则集合A B ⋂= ▲ ．{}1,0-2．命题“若a b <，则22a b <”的否命题是 ▲ ．若a b ≥，则22a b ≥3．幂函数()y f x =的图像过点(2,2)，则(4)f = ▲ ．24．如图所示的算法流程图，若输出y 的值为12，则输入x 的值为▲ ．2-5．已知α、R β∈，则“αβ>”是“cos cos αβ>” 成立的▲ 条件．（填“充分且必要”、“ 充分不必要”、“必要不充 分”、“既不充分又不必要”之一） 既不充分又不必要6．记函数21()1log f x x=-定义域为D ，在区间(4,4)-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ▲ ．147．若将函数()f x 的图像向左平移1个单位长度后得到()g x 的图像，则称()g x 为()f x 的单位间隔函数，那么()sin2f x x π=的单位间隔函数是 ▲ ．()cos2g x x π=8．已知函数3()2f x x x =+，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆C ：22()2x y a +-=的圆心，则Y（第4题）结束输入xx ≥0y ←2x输出yN开始y ←log 2(－x)实数a 的值是 ▲ ．2a =-9．在ABC ∆中，3AB =，2AC =，23BAC π∠=，则AB BC ⋅的值为 ▲ .12- 10．设命题p ：幂函数22a a y x --=在(0,)+∞上单调递减；命题q ： 212a x x=-+在(0,3)上有解．若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则实数a 的取值范围为 ▲ ．【解析】若p 正确，则220a a --<，所以p ：12a -<<；若q 正确，则y a =与212y x x=-+的图像在区间(0,3)上有交点，所以q ：1a ≤．p q ∧为假，p q ∨为真，∴p 、q 一真一假，所以121a a -<<⎧⎨>⎩或121a ora a ≤-≥⎧⎨≤⎩，从而a 的取值范围为(,1](1,2)-∞-⋃． 11．已知实数x 、y 满足约束条件240x y x y ππ+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎩，则cos()x y +的取值范围是 ▲ ． 【解析】设x y t +=，则y x t =-+，则3[,]44t ππ∈，所以cos()x y +取值范围是22[,]22-．12．已知函数3()1f x x x =--+，若对任意实数x 都有2()()2f x a f ax -+<，则实数a 的取值范围是▲ ．【解析】构造函数3()()1g x f x x x =-=--，函数()g x 为奇函数且在(,)-∞+∞上递减，2()()2f x a f ax -+<即2[()1][()1]0f x a f ax --+-<，即2()()0g x a g ax -+<，即2()g x a -<()()g ax g ax -=-，所以2x a ax ->-即20x ax a +->恒成立，所以240a a ∆=+<，所以 40a -<<，故实数a 的取值范围是(4,0)-．13．在数列{}n a 中，312a =，115a =-，且任意连续三项的和均为11，设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则使得90n S ≤成立的最大整数n = ▲ ．【解析】由题意得12123nn n n n n a a a a a a +++++++=++，则3n n a a +=，该数列为周期数列，周期为3，11332a a ⨯+=25a ==-，又12311a a a ++=，则14a =，当24n =时，81188n S =⨯=，而 25264(5)1a a +=+-=-，2688(1)8790S =+-=<，279990S =>，所以，使得90n S ≤成立的最大整数为26n =．14．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()0f x >，/()f x 为()f x 的导函数，且/2()()3()f x x f x f x <⋅<对(0,)x ∈+∞恒成立，则(2)(4)f f 的取值范围是 ▲ ． 【解析】因为/2()()3()f x x f x f x <⋅<，所以/2()()0f x x f x -⋅<，/3()()0f x x f x -⋅>，又0x >，所以/[2()()]0x f x x f x ⋅-⋅<，2/[3()()]0x f x x f x -⋅>．设2()()x F x f x =，则2///222()()[2()()]()0()()xf x x f x x f x x f x F x f x f x -⋅-⋅==<，所以()F x 在(0,)+∞上为 减函数，所以(2)(4)F F >即2224(2)(4)f f >，故(2)1(4)4f f <； 设3()()x G x f x =，则23/2//223()()[3()()]()0()()x f x x f x x f x x f x G x f x f x ⋅-⋅-⋅==>，()G x 在(0,)+∞上为 增函数，所以(2)(4)G G <即3324(2)(4)f f <，即(2)1(4)8f f >，因此，(2)(4)f f 的取值范围是11(,)84． 二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱BC 上一点．（Ⅰ）若AB AC =，D 为棱BC 的中点，求证：平面1ADC ⊥平面11BCC B ； （Ⅱ）若1A B ∥平面1ADC ，求BDDC的值．【解析】（Ⅰ）因为ABAC =，D 为棱BC 的中点，所以AD BC ⊥．因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1BB ⊥平面ABC ．因为AD ⊂平面ABC ，所以1BB AD ⊥．因为1BC BB B ⋂=，BC ⊂平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ，又因为AD ⊂平面1ADC ，所以平面（第15题图）ABCDA 1B 1C 11ADC ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）连结1AC 交1AC 于O ，连OD ，所以O 为1AC 中点．因为1A B ∥平面1ADC ，1A B ⊂平面1A BC ，平面1ADC ⋂平面1A BC OD =，则1A B ∥OD ．因为O 为1AC 中点，所以D 为BC 中点，所以1BDDC=． 16．（本小题满分14分）已知函数()sin 22f x x =+，2()()23cos 3g x f x x =+-．（Ⅰ）若圆心角为θ，半径为2的扇形的弧长为l ，且()2g θ=，(0,)θπ∈，求l ； （Ⅱ）若函数()g x 的最大值与2()25p x ax x =-+（02x ≤≤）的最小值相等，求实数a ．【解析】（Ⅰ）因为()2sin(2)23g x x π=++，所以()22sin(2)23g πθθ=++=，即sin(2)03πθ+=，而(0,)θπ∈，所以72333πππθ<+<，因此，3πθ=或56πθ=，所以223l πθ==或53l π=；（Ⅱ）显然()2sin(2)23g x x π=++的最大值为4．对于函数2()25p x ax x =-+（02x ≤≤）． 当0a =时，1()5p x ≤≤，不符合题意；当0a ≠时，因为(0)54p =≠，所以()p x 的最小值为1min (2),()p p a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 若(2)414p a =+=，则34a =，此时14[0,2]3a =∈，不符合题意； 若11()54p a a =-+=，则1a =，此时11[0,2]a=∈，符合题意．综上，实数a 的值为1．17．（本小题满分14分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB 为4米，它所占水平地面的长AC 为8米．该广告画最高点E 到地面的距离为232米，最低点D 到地面距离6米．假设某人眼睛到脚底的距离MN 为32米，他竖直站在此电梯上观看DE 视角为θ． （Ⅰ）设此人到直线EC 的距离为x 米，试用含x 的表达式表示tan θ； （Ⅱ）此人到直线EC 的距离为多少米时，视角θ最大？【解析】（Ⅰ）作MG CE ⊥交于点G ，作NH AC ⊥交于H ，则CH GM x ==．在Rt BAC ∆中，因为4AB =，8AC =，所以1tan 2BCA ∠=，所以tan 2x NH CH BCA =⋅∠=，所以32x MH MN NH +=+=．因为MH GC =，所以 922x DG DC GC DC MH =-=-=-，EG EC GC EC MH =-=-=102x-，在Rt DGM ∆中，922tan x DG DMG GM x -∠==，在Rt EGM ∆中，102tan x EG EMG GM x-∠==，所以 tan tan tan tan tan()1tan tan EMG DMG EMD EMG DMG EMG DMG θ∠-∠=∠=∠-∠=+∠⋅∠9102229102221x xx x x x x x---=--+⋅222529180xx x =-+（08x <≤）；（Ⅱ）由08x <≤得50x >，1800x>，所以22222tan 180529180529x x x x xθ==-++- 2222311802529x x≤=⋅-，当且仅当1805x x =即6x =时取“=”，又因为tan y θ=在区间(0,)2π上递增，所以当6x =米，tan θ取得最大值2231，此时视角θ取得最大值． 答：此人到直线EC 的距离为6米时，视角θ最大．18．（本小题满分16分）椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值；（Ⅲ）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出12k k +的取值范围．【解析】（Ⅰ）∵2a =，又1c =，∴223b a b =-=，∴椭圆方程为22143x y+=；（Ⅱ）直线l ：1y x =-+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221431x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消y 得得27880x x --=， 解得14627x -=，24627x +=，有1287x x +=，1287x x ⋅=-，1212123344y y k k x x --⋅=⋅-- 121212*********()41444()162x x x x x x x x x x x x ----+++=⋅==---++； （Ⅲ）1︒ 当直线AB 的斜率不存在时，不妨设3(1,)2A 、3(1,)2B -，则13312412k -==-，23332412k +==-， 则122k k +=；2︒ 当直线AB 的斜率存在时，设其为k ，则直线AB ：(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消y 得2222(43)8(412)0k x k x k +-+-=，有2122843k x x k +=+，212241243k x x k -⋅=+， 则12121212121212121233332(53)()8(3)44444()16y y kx k kx k kx x k x x k k k x x x x x x x x -------+++++=+=+=-----++ 222222222241282(53)8(3)72(1)43432412836(1)4164343k k k k k k k k k k k k k -⋅-+⋅+++++===-+-⋅+++．综上，12k k +是定值．19．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b ，其中{}n a 的公差不为0．设n S 是数列{}n a的前n 项和．若1a 、2a 、5a 是数列{}n b 的前3项，且416S =． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若数列41n n S a t ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为等差数列，求实数t ； （Ⅲ）构造数列1a ，1b ，2a ，1b ，2b ，3a ，1b ，2b ，3b ，…，k a ，1b ，2b ，3b ，…，k b ，…， 若该数列前n 项和956n T =，求n 的值．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠），由1a 、2a 、5a 是数列{}n b 的前3项，且416S =得21111()(4)4(41)4162a d a a d a d ⎧+=⋅+⎪⎨⋅-+⋅=⎪⎩，因为0d ≠，所以112a d =⎧⎨=⎩，故{}n a 的通项公式为1(1)21n a a n d n =+-=-；而111b a ==，223b a ==，所以等比数列{}n b 的公比3q =，{}n b 的通项公式为1113n n n b b q--==；（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n S n =，因为数列41n n S a t ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为等差数列，所以可设41n n S an b a t -=++，a ，b R ∈， 所以241(21)()n n t an b -=-++即2(24)(2)(1)10a n at a b n b t -+-++-+=对n N *∈总成立，不 妨设24A a =-，2B at a b =-+，(1)1C b t =-+，则20An Bn C ++=对n N *∈总成立，取1n =，2，3得0420930A B C A B c A B c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得000A B C =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即24020(1)10a at ab b t -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩，解得0t =或2t =．令41n n n S c a t -=+． 1︒当0t =时，4121n n n S c n a t-==++，因为12n n c c +-=，所以{}n a 为等差数列；2︒当2t =时，4121n n n S c n a t-==-+，因为12n n c c +-=，所以{}n a 为等差数列．综上，0t =或2t =．另解：由（Ⅰ）知2n S n =，因为数列41n n S a t ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为等差数列，所以1141S a t -+，2241S a t -+，3341S a t -+必成等差数列，所以3212134141412S S S a t a t a t ---⨯=++++，即153352315t t t⨯=++++，解得0t =或2t =．令41n n n S c a t-=+．1︒当0t =时，4121n n n S c n a t-==++，因为12n n c c +-=，所以{}n a 为等差数列；2︒当2t =时，4121n n n S c n a t-==-+，因为12n n c c +-=，所以{}n a 为等差数列．综上，0t =或2t =．（Ⅲ）设从1a 到k a 各项的和为S ，则121121231231()[()()()]k k S a a a b b b b b b b b b b -=+++++++++++++++因为112211211311333(31)132i i i i b b b -----+++=++++==--，所以112()b b b +++ 1231231()()k b b b b b b b -++++++++211131[(1333)]()222k k k k --=++++-=-，因此2213131()2224k k k S k k k --=+-=-+． 当7k =时，592956S =<，当8k =时，1700956S =>，所以592956592364n T -=-=，可设k a 后面有m 项，则2111333(31)3642m m-++++=-=，所以3729m =，6m =，因此 7(123456)634n =+++++++=，即n 的值为34．20．（本小题满分16分）设a ，b R ∈，函数a x a e x f x --=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e ．（Ⅰ）求实数a 、b 的值；（Ⅱ）求证：函数)(x f y =存在极小值；（Ⅲ）若),21[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--xmx x e x 成立，求实数m 的取值范围．【解析】（Ⅰ）∵/()x af x e x =-，∴/(1)f e a =-，由题设得1(1)()0e a e e e a b -=-⎧⎨---+=⎩，∴10a b =⎧⎨=⎩；（Ⅱ）由（Ⅰ）得()ln 1x f x e x =--，∴/1()xf x e x =-(0)x >，∴//21(())0x f x e x=+>，∴ 函数/()f x 在(0,)+∞是增函数，∵/1()202f e =-<，/(1)10f e =->，且函数/()f x 图像在(0,)+∞上不间断，∴01(,1)2x ∃∈，使得0()0f x '=，结合函数()f x '在(0,)+∞是增函数有x 0(0,)x 0x 0(,)x +∞） /()f x - 0 + ()f x 递减极小值0()f x递增∴函数()f x 存在极小值0()f x ；（Ⅲ）),21[+∞∈∃x ，使得不等式ln 0x e mx x x--≤成立，即),21[+∞∈∃x ，使得不等式ln x m e x x ≥- 成立……（*），令()ln x h x e x x =-，1[,)2x ∈+∞，则/()ln 1()x h x e x f x =--=，∴结合（Ⅱ）得0min 00[()]()ln 1x h x f x e x '==--，其中01(,1)2x ∈，满足0()0f x '=，即010xe x -=， ∴001x e x =，00ln x x =-，∴0min 0000011[()]ln 112110xh x e x x x x x '=--=+->⋅-=>， ∴1[,)2x ∈+∞，()0h x '>，∴()h x 在1[,)2+∞内单调递增，∴12min 1[()]()2h x h e ==-12111ln ln 2222e =+，结合（*）有121ln 22m e ≥+，即实数m 的取值范围为121[ln 2,)2e ++∞．数学Ⅱ（附加题 共40分）21．［选做题］B ．（选修4－2：矩阵与变换）（本小题满分10分）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M=232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的一个特征向量． （Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）求矩阵M 的特征值．【解析】（Ⅰ）设23⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵M=232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦属于特征值λ的一个特征向量，则232a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦23⎡⎤⎢⎥⎣⎦λ=23⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即 262123a λλ+=⎧⎨=⎩，解得41a λ=⎧⎨=⎩，故实数a 的值为1； （Ⅱ）矩阵M 的特征多项式为12()(1)(2)6032f λλλλλ--==---=--，所以14λ=，21λ=-，故矩阵M 的特征值为4和1-．C ．（选修4－4：极坐标系与参数方程）（本小题满分10分）已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=ty tx 4231（t 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4cos(22πθρ-=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长度.【解析】（Ⅰ）直线l :⎩⎨⎧-=+-=ty t x 4231（t 为参数），消去t 得)1(342+-=-x y ，即4320x y +-=， 曲线C ：)4cos(22πθρ-=，即θθρsin 2cos 2+=，又22x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，22cos 2sin ρρθρθ=+，故曲线C ：22220x y x y +--=；（Ⅱ）方法1：设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由224320220x y x y x y +-=+--=⎧⎨⎩得4525x y ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩或2565x y ⎧⎪⎪⎨=-=⎪⎪⎩，所以224226()()25555AB =++--=.方法2：曲线C ：22220x y x y +--=即圆C ：22(1)(1)2x y -+-=，圆心(1,1)C 到直线l ：4320x y +-=的距离1d =，所以2222AB r d =-=；方法3：由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=t y t x 4231（t 为参数）得直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=--=//542531t y t x （/t 为参数），代入曲线C ：22220x y x y +--=，消去x 、y 得/2/430t t ++=，所以A 、B 对应的参数分别为/13t =-，/21t =-，由参数/t 的几何意义知，//12|||3(1)|2AB t t =-=---=. ［必做题］22．（本小题满分10分）在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，底面ABFE 为直角梯形，ABF ∠为直角，AE ∥BF ，112AB BF ==，平面ABCD ⊥平面ABFE ．（Ⅰ）求证：BD CE ⊥；（Ⅱ）若AE AB =，求二面角C EF B --的余弦值．【解析】（Ⅰ）∵底面ABFE 为直角梯形，AE ∥BF ，90EAB ︒∠=，∴AE AB ⊥，BF AB ⊥，∵平面ABCD ⊥平面ABFE ，平面ABCD ⋂平面ABFE AB =，所以AE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面ABCD ，所以BF BC ⊥．以BA 、BF 、BC 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设AE t =（0t >且2t ≠），则(0,0,0)B ，(0,0,1)C ，(1,0,1)D ，(1,,0)E t ，(1,0,1)DB =--，(1,,1)EC t =--，显然0DB EC ⋅=，所以DB EC ⊥，即BD CE ⊥；xyz（Ⅱ）由（Ⅰ）知(0,0,1)BC =是平面BEF 的一个法向量，设(,,)n x y z =是平面CEF 的法向量，∵1AE AB ==，∴(1,1,0)E ，(0,2,0)F ，(1,1,1)CE =-，(0,2,1)CF =-，由0CE n ⋅=得0x y z +-=， 由0CF n ⋅=得20y z -=，令2z =得1x =，1y =，故(1,1,2)n =是平面CEF 的一个法向量，所以6cos ,3||||n BC n BC n BC ⋅<>==⋅，即二面角C EF B --的余弦值为63．23．（本小题满分10分）请阅读：在等式2cos 22cos 1x x =-（x R ∈）的两边对x 求导得(sin 2)2x -⋅4cos (sin )x x =⋅-，化简后得等式sin 22sin cos x x x =．请类比上述方法，试由等式012211(1)n n n n nn n n n n x C C x C x C x C x --+=+++++（x R ∈，n N *∈且2n ≥）． （Ⅰ）证明：112[(1)1]nn kk nk n x k C x--=⋅+-=⋅⋅∑（注：121nin i aa a a ==+++∑）；（Ⅱ）求2122232101010101012310C C C C ⋅+⋅+⋅++⋅．【解析】（Ⅰ）证明：在等式012211(1)nn n nn n n n n n x C C x C x C x C x --+=+⋅+⋅++⋅+⋅中两边对x 求导得112321(1)23n nn n n n n n x C C x C x n C x --+=+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅，移项得112321(1)23n n n n n nnn x C C x C x n C x--⋅+-=⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅，即112[(1)1]nn kk n k n x k C x --=⋅+-=⋅⋅∑；（Ⅱ）由（Ⅰ）得112321(1)23n nn n n n n n x C C x C x n C x --⋅+=+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅，两边同时乘以x 得112233(1)23n nn n n n n n x x C x C x C x n C x -⋅+⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅，两边再求导得2112223221[(1)(1)(1)]23n n nn n n n n n n x x x C C x C x n C x ---⋅-⋅+⋅++=+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅， 令1x =，10n =，可得9812223210101010101029022310C C C C ⨯+⨯=+⋅+⋅+++⋅，即2122232109881010101012310102902110228160C C C C ⋅+⋅+⋅++⋅=⨯+⨯=⨯=． 另法：证得11kk n n kC nC --=，211kkk n n n k C k kC k nC --=⋅=⋅， 所以01299999101021031010S C C C C =+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅，80999101010910S C C C =⋅⋅+⋅⋅++， 所以019999921011()1102S C C C =⨯+++=⨯，因此8110228160S =⨯=．。
精品：【全国百强校】江苏省南通中学2015-2016学年高一下学期期中考试理数试题(解析版)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1．若34z i =-（i 是虚数单位），则||z = ▲ ． 【答案】5 【解析】试题分析：35z =-=. 考点：复数的运算，复数的模．2．已知复数z 满足i z i 34)21(+=+（i 是虚数单位），则z = ▲ ． 【答案】2﹣i考点：复数的运算．3． 用反证法证明命题“若ab N b a ,,∈能被2整除，则b a ,中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是 ▲ ．【答案】b a ,都不能被2整除． 【解析】试题分析：反设时只把结论否定，“b a ,中至少有一个能被2整除”的否定是“b a ,都不能被2整除”． 考点：反证法．【名师点睛】1．当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，直接用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．2．用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须否定结论；(2)必须从否定结论进行推理；(3)推导出的矛盾必须是明显的．4．用数学归纳法证明不等式“2n>n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值自然数n 0应取为 ▲ ．【答案】5考点：数学归纳法【名师点睛】数学归纳法证明中的两个基本步骤,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”.5．已知平面α的法向量(1,2,-2)，平面β的法向量(-2,-4,k )，若//αβ，则k 值是 ▲ ． 【答案】4 【解析】 试题分析：由题意24122k--==-，解得4k =． 考点：向量平行与平面平行．6．三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是 ▲ ．(填写序号) 【答案】② 【解析】试题分析：小前提是特殊的对象，题中②正方形相对于长方形是特殊对象，因此②是小前提． 考点：演绎推理．7．若空间直角坐标系中点()()2,5,1,1,4,2,C(3,3,)A B m n -----+-在同一条直线上，则m n += ▲ ． 【答案】 -10 【解析】试题分析：(3,1,1)AB =--，(1,2,1)AC m n =++，因为点,,A B C 共线，所以,AB AC 共线，则121311m n ++==--，解得7,3m n =-=-，所以10m n +=-． 考点：点共线与向量共线．8. 已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c三向量共面，则实数λ＝▲ ．【答案】657考点：空间向量基本定理．9．已知),,3(),,1,1(t t b t t t a =--=，则b a -的最小值 ▲ ．【答案】【解析】试题分析：(2,12,0)a b t t -=---，则(2a b -=--=，显然当0t =时，a b -取得最小值为考点：空间向量的模． 10. 利用数学归纳法证明不等式()*11111,122n n N n n n n +++>>∈+++的过程中，用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果为 ▲ ． 【答案】11212(1)k k -++ 【解析】试题分析：n k =时，不等式为1111122k k k k +++>+++，1n k =+时，不等式为111111(1)1(1)2221222k k k k k +++++>++++++，两式相减后，左边为11111212212122k k k k k +-=-+++++． 考点：数学归纳法．【名师点睛】用数学归纳法证题的关键是第二步由n=k 到n=k+1的过渡,要设法将待证式与归纳假设建立联系,即借助于已经学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形,把n=k+1时的表达式拼凑出归纳假设的形式,再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明.11．集合{1,2,3,,}(3)n n ≥中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为n T ，如：222231121323[6(123)]112T =⨯+⨯+⨯=-++=；2222241121314232434[10(1234)]352T =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-+++=；22222251121314153545[15(12345)]852T =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=-++++=则8T = ▲ ．（写出计算结果） 【答案】546考点：归纳推理．12．已知复数z 满足等式|1||2|z z i -=+（i 是虚数单位），则|1|z i --的最小值是 ▲ ．【解析】试题分析：∵|1||2|z z i -=+，∴复数z 的对应点的轨迹是2430x y ++=．∴|1|z i --的最小值即为点(1,1)到直线2430x y ++=的距离d ==考点：复数的几何意义．13．如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第7个数是 ▲ ．【答案】2010 【解析】试题分析：前62行的数字共有12621953+++=，第63行从右向左依次为1954，1955， (2016)那么从左向右第7个数为2010．考点：归纳推理．【名师点睛】1．归纳推理:由某类事物的 部分对象 具有某些特征,推出该类事物的 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由 个别事实 概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.2．归纳是依据特殊现象推断出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围. 3.归纳的前提是特殊的情况,所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的.特别提醒:归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学的发现很有用.14. 设点C 在线段AB 上（端点除外），若C 分AB 的比CB AC =λ，则得分点C 的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ11B AC B A C y y y x x x ，对于函数)0()(2>=x x x f 图像上任意两点),(2a a A ，),(2b b B ，线段AB 必在弧线AB 上方．由图象中的点C 在点C′（点C′在函数y=x2图像上）正上方，有不等式22211⎪⎭⎫⎝⎛++>++λλλλb a b a 成立．对于函数x y ln =的图象上任意两点)ln ,(a a A ，)ln ,(b b B ，类比上述不等式可以得到的不等式是(正确的) ▲ ．【答案】λλ+<+1ln1.．考点：类比推理． 【名师点睛】1．类比推理:由 两类对象 具有某些类似特征和其中 一类对象 的某些已知特征,推出 另一类对象 也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比),简言之,类比推理是由 特殊 到 特殊 的推理. 2.类比推理是由特殊到特殊的推理,其命题有其特点和求解规律,可以从以下几个方面考虑类比:类比定义、类比性质、类比方法、类比结构. 3.类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似性或一致性.(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想).二、解答题：本大题共6小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）已知z 是复数，iz i z -+22、均为实数（i 是虚数单位），且复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限， (1)求复数z(2) 求实数a 的取值范围．【答案】（1）z ＝4－2i ；（2）(2,6)．考点：复数的概念，复数的几何意义． 【名师点睛】复数的概念形如a+b i(a ,b ∈R )的数叫做复数,其中a ,b 分别是它的 实部 和 虚部 .若 b=0 ,则a+b i 为实数;若b ≠0 ,则a+b i 为虚数;若 a=0且b ≠0 ,则a+b i 为纯虚数.16、（本小题满分14分）阅读材料：根据两角和与差的正弦公式，有：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+…①，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-…②，由①+②得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=…③，令A αβ+=，B αβ-=，有2A B α+=，2A Bβ-=，代入③得sin sin 2sincos22A B A BA B +-+=． （1）利用上述结论，试求sin15sin 75︒︒+的值；（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos cos 2sinsin22A B A BA B +--=-.【答案】（1（2）见解析． 【解析】试题分析：（1）在已知结论中令15,75A B =︒=︒代入可得；（2）根据结论，取余弦公式cos()αβ+和cos()αβ-，相减并换元（令A αβ+=，B αβ-=）可得．试题解析:（1）15751575sin15sin 752sin cos 22︒︒︒︒︒︒+-+==；-------------------------7分 （2）因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-……①，cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+……②， 由①-②得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-……③， 令A αβ+=，B αβ-=，有2A B α+=，2A B β-=，代入③得cos cos 2sin sin 22A B A Bαβ+--=-.-------------------------14分 考点：创新题，类比推理．17．（本小题满分14分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB ==，点M 、N 分别在线段PA 、BD 上，13BN BD =．（1）若13PM PA =，求证：MN ⊥AD ；（2）若二面角M BD A --的大小为4π，求线段MN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2．NDABCPM(2) 解：因为M 在PA 上，可设PM →＝λPA →，得M(λ，0，1－λ)． 所以BM →＝(λ，－1，1－λ)，BD →＝(0，－2，0)． 设平面MBD 的法向量n ＝(x ，y ，z)，由00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＝0，λx －y ＋（1－λ）z ＝0，其中一组解为x ＝λ－1，y ＝0，z ＝λ，所以可取n ＝(λ－1，0，λ)． 因为平面ABD 的法向量为OP →＝(0，0，1)，所以cos π4＝n OPn OP ⋅，即22＝λ（λ－1）2＋λ2，解得λ＝12， 从而M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，0，所以MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝226．-------------------------14分 考点：用空间向量法证垂直、求二面角．18. （本小题满分16分）如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝4，CB ＝4，CC 1＝22，∠ACB ＝90°，点M 在线段A 1B 1上.(1)若A 1M ＝3MB 1，求异面直线AM和A 1C 所成角的余弦值； (2)若直线AM 与平面ABC 1所成角为30°，试确定点M 的位置. 【答案】（1）3939；（2）线段A 1B 1的中点．(1)因为A 1M ＝3MB 1，所以M (1,3,22). 所以CA 1→＝(4,0,22)， AM →＝(－3,3,22).所以cos 〈CA 1→，AM →〉＝CA 1→·AM →|CA 1→||AM →|＝－424·26＝－3939.所以异面直线AM 和A 1C 所成角的余弦值为3939.-------------------------8分 (2)由A (4,0,0)，B (0,4,0)，C 1(0,0,22)， 知AB →＝(－4,4,0)，AC 1→＝(－4,0,22). 设平面ABC 1的法向量为n ＝(a ，b ，c )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC 1→＝0，得⎩⎨⎧－4a ＋4b ＝0，－4a ＋22c ＝0，令a ＝1，则b ＝1，c ＝2，所以平面ABC 1的一个法向量为n ＝(1,1，2). 因为点M 在线段A 1B 1上，所以可设M (x,4－x,22)， 所以AM →＝(x －4,4－x,22).因为直线AM 与平面ABC 1所成角为30°，方法二 (选基底法)由题意得CC 1⊥CA ，CA ⊥CB ，CC 1⊥CB ，取CA →，CB →，CC 1→作为一组基底，则有|CA →|＝|CB →|＝4，|CC 1→|＝22，且CA →·CB →＝CB →·CC 1→＝CA →·CC 1→＝0.(1)由A 1M →＝3MB 1→，则A 1M →＝34A 1B 1→＝34AB →＝34CB →－34CA →， ∴AM →＝AA 1→＋A 1M →＝CC 1→＋34CB →－34CA →， 且|AM →|＝26，A 1C →＝－CC 1→－CA →，且|A 1C →|＝26，∴AM →·A 1C →＝4，∴cos〈AM →，A 1C →〉＝426·26＝3939. 即异面直线AM 与A 1C 所成角的余弦值为3939. (2)设A 1M ＝λA 1B 1，则AM →＝CC 1→＋λCB →－λCA →.又AB →＝CB →－CA →，AC 1→＝CC 1→－CA →，设面ABC 1的法向量为n ＝xCA →＋yCB →＋zCC 1→，则n ·AC 1→＝8z －16x ＝0，n ·AB →＝16y －16x ＝0，不妨取x ＝y ＝1，z ＝2，则n ＝CA →＋CB →＋2CC 1→且|n |＝8，|AM →|＝32λ2＋8，AM →·n ＝16，又AM 与面ABC 1所成的角为30°，则应有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AM →·n |AM →|·n ＝16832λ2＋8＝12， 得λ＝12，即M 为A 1B 1的中点. 考点：用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角．【名师点睛】1.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1,l 2的方向向量分别为m 1,m 2,则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ= |cos <m 1,m 2>| .(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ,n ,则直线l 与平面α所成的角θ满足sin θ= |cos <m ,n >| .(3)求二面角的大小如图①,AB ,CD 是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ= <错误！未找到引用源。
江苏省南通中学2016届高三上学期10月阶段考试数学文试卷 Word版含答案
江苏省南通高级中学2015—2016学年度第一学期阶段考试高三（文科）数学试卷 2015.10一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。
1．命题“2,210x R x x ∃∈-+≤”的否定形式为 ▲ ．2,210x R x x ∀∈-+> 2．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3A =，集合{}3,5B =，则()U A B ð= ▲ ．{}2 3．已知向量m =（1，2）与向量n =（x ，22x -）平行，则x = ▲ ．12x =4．已知函数()()sin cos 2f x f x x π'=+，则()4f π= ▲ ．05．函数lgsin y x =的定义域为 ▲ ．(2,2)2k k k Z πππ+∈．6．已知tan 3α=，则sin cos αα= ▲ ．222sin cos tan 3sin cos sin cos tan 110αααααααα===++ 7．已知函数2log log )(32+-=x b x a x f ，若1()42016f =，则(2016)f 的值为 0 8．若将函数x x f ωsin )(=的图象向右平移6π个单位得到)34sin()(πω-=x x f 的图象，则|ω|的最小值为 ▲ _4 由ππωπωk x x 234)6(+-=-，所以Z k k ∈-=,128ω，4||min =ω 9．函数y =log a （2－ax ）在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是 ▲ ．21<<a 10．函数23(0)1xy x x x =<++的值域是[)3,0-．11．在△ABC 中，a ,b ,c 分别为三个内角A ,B ,C 所对的边，设向量(,),(,)m b c c a n b c a =--=+ ，若m n ⊥ ,则角A 的大小为__▲___．A=3π12．在ABC ∆中，O 为中线AM 上的一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值为▲ ．答案:2- 如图，设x AO =，则x OM -=2， 所以)(OC OB OA +⋅OM OA OM OA ⋅⋅-=⋅=222)1(242)2(222--=-=--x x x x x ，故当1=x 时，OM mOA nOB =+取最小值-2.13．下列说法：①当101ln 2ln x x x x>≠+≥且时，有；②ABC 中，A B >是sin sin A B >成立的充要条件；③函数x y a =的图象可以由函数2x y a =（其中01a a >≠且）平移得到；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称.其中正确的命题的序号为 ▲ ．②③14．已知三次函数32()()32a b f x x x cx d a b =+++<在R 上单调递增，则a b cb a++-的最小值为 ▲ ．3由题意2()f x ax bx c '=++≥0在R 上恒成立，则0a >，△24b ac =-≤0．∴22a b c a ab ac b a ab a ++++=--≥2222111()441b b a ab b a a b ab a a++++=-- 令(1)b t t a =>，a b c b a++-≥222111(2)1(13)194(16)1414141t t t t t t t t t +++-+===-++----≥3．（当且仅当4t =，即44b a c ==时取“=”）二、解答题：本大题共6小题，共90分。
江苏省南通市高一上学期10月月考数学试题
江苏省南通市高一上学期10月月考数学试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·衡水开学考) 满足{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5}的集合A的个数为（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 7个2. （2分） (2016高一上·平罗期中) 下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A . f（x）=x，g（x）=（） 2B . f（x）=x2 ， g（x）=（x+1）2C . f（x）=1，g（x）=x0D . f（x）=|x|，g（x）=3. （2分）不等式4x2+4x+1≤0的解集为（）A . φB . RC .D .4. （2分）已知函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，4]，则函数f（x）的定义域为（）A . （﹣3，7]B . [﹣3，7]C . （0，]D . [0，）5. （2分） (2019高二上·遵义期中) 函数的图象是A .B .C .D .6. （2分） (2019高一上·荆州期中) 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ ”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（）.A . 若且，则B . 若，则C . 若，则D . 若且，则7. （2分）若的定义域为A，g（x）＝f（x−1）－f（x）的定义域为B，那么（）A . A∪B＝BB . A BC . A⊆BD . A∩B＝8. （2分）设函数，且恒成立，则对，下面不等式恒成立的是（）A .B .C .D .9. （2分）已知f（x）=（m﹣1）x2+3mx+3为偶函数，则f（x）在区间（﹣4，2）上为（）A . 增函数B . 减函数C . 先递增再递减D . 先递减再递增10. （2分）已知y=f （x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x），那么不等式f（x）＜0的解集是（）A . {x|x＜﹣1或0＜x＜1}B . {x|﹣1＜x＜0或x＞1}C . {x|﹣1＜x＜1}D . {x|x＜﹣1，或x＞1}11. （2分） (2016高一上·思南期中) 偶函数f（x）在（0，+∞）上的解析式是f（x）=x（1+x），则在（﹣∞，0）上的函数解析式是（）A . f（x）=﹣x（1﹣x）B . f（x）=x（1+x）C . f（x）=﹣x（1+x）D . f（x）=x（x﹣1）12. （2分） (2017高二下·宜春期末) 二次函数y=f（x）满足f（x+3）=f（3﹣x），x∈R且f（x）=0有两个实根x1 ， x2 ，则x1+x2=（）A . 6B . ﹣6C . .3D . ﹣3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·乌鲁木齐期中) 已知集合满足，则集合的个数为________.14. （1分）已知函数f（x）=,则f[f（-2）]=________ ，f（x）的最小值是________.15. （1分）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q=________16. （1分）如果函数f（x）=（a﹣3）x2+（a﹣3）x+1的图象在x轴的上方（不含在x轴上），则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共3题；共30分)17. （10分）设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B⊆A.（1）求实数m的取值范围；（2）当x∈N时，求集合A的子集的个数．18. （10分） (2016高一上·万全期中) 已知函数 =f（2x）（1）用定义证明函数g（x）在（﹣∞，0）上为减函数．（2）求g（x）在（﹣∞，﹣1]上的最小值．19. （10分） (2018高一下·应县期末) 已知函数（1）若的值域为，求实数的取值范围；（2）若，解关于的不等式 .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共3题；共30分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、。
江苏省南通中学2015-2016学年高一3月月考数学试题(教师版) 含答案
江苏省南通中学20152016学年下学期第一次月考高一数学试题2016．3（试卷满分 160分，考试时间 120分钟)一、填空题（本大题共14小题,每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写 在答．卷．相应位置上．．．．．．）1．计算:sin 21cos39cos 21sin 39︒︒︒︒+= ▲ ．2．求值:sin15cos15︒︒= ▲ ．3．在ABC ∆中，若222sin sin 1sin A BC +=，则ABC ∆的形状一定是▲ ．4．ABC ∆的内角A ，B ,C 的对边分别为a ,b ，c ，若2223bc a bc +-=,则角A = ▲ ．5．ABC ∆中，若tan 2B =，tan 3C =，则角A = ▲ ．6．在ABC ∆中，内角A ,B ，C 的对边依次为a ，b ,c ,若3a =，3b =3A π=,则角B =▲ ．7．如图，一勘探队员朝一座山行进,在前后A ，B 两处观察山顶C 的仰角分别是30︒和45︒，两个观察点A 、B 之间的距离是200米，则此山CD 的高度约为 ▲米． （取62sin15︒-=3 1.732=，结果四舍五入取整数）．8．已知数列ln 3，ln 7,ln11，ln15，…，则2ln 5ln 3+是该数列第 ▲ 项．9．等差数列{}na 中，15a=，23a =，则数列{}n a 前n 项和n S 取最大值时的n 的值为A B CD▲ ．10．等差数列{}na 的前n 项和2213nSn n =-,则数列{}||n a 的前10项和等于▲ ．11．已知{}na 是等差数列，616a=，128a =-,记数列{}n a 的第n 项到第5n +项的和为n T ,则||nT 取得最小值时的n 的值为 ▲ ．12．在凸四边形ABCD 中,角60A C ︒==，2AD BC ==,且AB CD ≠，则四边形ABCD 面积为▲ ．13．已知数列{}na 的前n 项和为nS ，且13a =,123n n n a S -=+（n N *∈且2n ≥），则数列{}n a 的通项公式为na = ▲ ．14．数列{}na 的前n 项和123n a aa a ++++可简记为1ni i a =∑．已知数列{}n a 满足11a =，且111n n a a n +=++, n N ∈,则201520161()k k k a a =-=∑▲ ．二、解答题:（本大题共6小题，15—17每题14分，18—20每题16分，共计90分．请在答．卷．指定区域内作答．．．．．．．,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．已知20παβ<<<,且135cos =α，54)cos(=-βα.（Ⅰ)求cos()4πα+的值；（Ⅱ）求sin()αβ-的值。
江苏省南通中学2015-2016学年高一下学期开学考试数学试题 含答案
寒假开学高一数学练习一、填空题1. 已知集合M ＝｛1，m ＋2,m 2＋4}，且5∈M ,则m 的值为____________．1或32.如果错误!＝错误!，那么tan α＝____________． 23.已知角α（0≤α≤2π）的终边过点错误!，则α＝____________．错误!4。
设向量a 、b 满足｜a ｜＝25，b ＝（2,1）,且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为____________．(－4,－2)5. 设常数a∈R ，集合A ＝｛x|（x －1）（x －a)≥0}，B ＝｛x ｜x≥a－1｝．若A∪B＝R ,则a 的取值范围为______________．（－∞，2］解析：当a≤1时，A ＝{x ｜x≤a 或x≥1}，显然符合A∪B＝R ；当a 〉1时，A ＝{x|x≤1或x ≥a ｝，则a －1≤1，∴ a ≤2。
∴ 1<a ≤2。
综上，a ≤2.6。
已知函数f （x ）＝sin(x ＋θ）＋错误!cos(x ＋θ)错误!是偶函数,则θ的值为________．错误!解析：据已知可得f （x)＝2sin 错误!，若函数为偶函数，则必有θ＋错误!＝k π＋错误!（k∈Z ）,又由于θ∈错误!,故有θ＋错误!＝错误!，解得θ＝错误!，经代入检验符合题意．7。
函数y ＝错误!的值域为____________．错误!8.函数2tan 2cos sin )(x x c x bx x a x f +-+= 若3)2(=-f ,则=)2(f 5 9. 已知a 2x ＝错误!－1，则错误!的值为____________．2错误!－110. 已知函数f （x ）对任意的实数满足:f(x ＋3）＝－错误!,且当－3≤x 〈－1时,f(x)＝－(x ＋2)2，当－1≤x 〈3时,f(x)＝x 。
则f （1)＋f(2)＋f （3）＋…＋f （2 016）＝________．336解析:∵ 对任意x∈R ,都有f （x ＋3)＝－错误!，∴ f （x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－错误!＝－错误!＝f(x ），∴ f(x)是以6为周期的周期函数．∵ 当－3≤x〈－1时，f （x ）＝－（x ＋2)2,当－1≤x<3时，f(x)＝x ，∴ f(1)＝1，f(2）＝2,f （3)＝f （－3)＝－1，f （4)＝f(－2)＝0,f(5）＝f （－1）＝－1，f （6）＝f （0）＝0.∴ f （1)＋f(2）＋…＋f （6）＝1，∴ f(1)＋f(2）＋…＋f(6）＝f （7)＋f （8）＋…＋f(12）＝…＝f(2 011）＋f(2 012）＋…＋f （2 016)＝1，∴ f （1）＋f(2）＋…＋f(2 016)＝1×2 0166＝336.11。
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江苏省南通中学2015-2016学年高一10月月考
数学试题
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应的位置上．）
1．设{}{}|12,|03A x x B x x =-<<=<<，则A B =__________________
2．设集合U={1,2,3,4,5}，A={1,2}，B={2,3,4}，则(∁uA)∩B =
3．已知函数(){}22,1,2,3f x x x x =+∈-，则()f x 的值域是 ▲ ．
4．已知函数3()1f x ax bx =++，且(2)f -=3，则(2)f =
5．某班共50人，其中21人喜爱篮球运动，18人喜爱乒乓球运动，20人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为
6．若()2241f x x =+，则()f x 的解析式为 ▲ ．
7．下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是 ▲ ．
8．定义在R 上的函数()y f x =的值域为[1,2]-，则(1)y f x =+的值域为 ▲
9．如果二次函数y =3x 2+2(a －1)x +b 在区间(,1]-∞上是减函数，那么a 的取值范围是 ▲ ．
10．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出
满足不等式[()][()]f g x g f x >解集是
11．设函数f （x ）＝22(2)2(2)x x x x ⎧≥⎨⎩-，＜，
，若()f a a >，则实数a 的取值范围是
12．函数y
的定义域是 ▲ ．
13．定义在区间[]2,2-上的奇函数()f x ,它在(]0,2上的图象是一条如图所示线段(不含点()0,1), 则不等式()()f x f x x -->的解集为 ▲ ．
14．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数m 满足对任意 ()x M M D ∈⊆，均有x m D +∈，且()()f x m f x +≥，则称()f x 为M 上的m 高调函数．如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当x ≥0时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的8高调函数，那么实数a 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知集合A ={x |0562<++x x }，B ={x |−1≤x <1},
（1）求A B ；
（2）若全集U={}5<x x ，求)(B A C U ⋃；
（3）若{}a x x C <=，且B C B =，求a 的取值范围．
16．已知集合A ={a-2,2a 2+5a,10}，且-3∈A ，求实数a 的值
17．求函数23y x =-的值域。
18．某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品，每年可售出该产品1000吨，若将该产品每吨的价格上涨x %，则每年的销售数量将减少mx %，其中m 为正常数.
（1）当2
1=m 时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售的总金额最大？ （2）如果涨价能使销售总金额增加，求m 的取值范围. 19．已知函数21()1f x x =
+.
（1）求证:函数()f x 在](,0-∞上是增函数.
（2）求函数21()1f x x
=+在[]3,2-上的最大值与最小值. 20．已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=且(0)1f =．
（1）求()f x 的解析式；
（2）当[1,1]x ∈-时，不等式：()2f x x m >+恒成立，求实数m 的范围．
（3）设[]()(2),1,1g t f t a t =+∈-，求
()g t 的最大值；
：。