河北省邯郸市2014年高三第二次模拟考试数学(理)试卷

河北省邯郸市2014年高三第二次模拟考试数学（理）试卷2014.4第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的.1．已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-≤<，则AB =A. {0}B. {0,1}C. {1,0}-D. {1,0,1}- 2．复数z 满足()(2)5z i i --=，则z =A.22i --B. 22i -+C. 22i -D. 22i + 3.下列说法不正确．．．的是 A.命题“对x R ∀∈,都有20x ≥”的否定为“0x R ∃∈,使得200x <” B.“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件；C. “若tan α≠，则3πα≠” 是真命题D. 甲、乙两位学生参与数学模拟考试,设命题p 是“甲考试及格”,q 是“乙考试及格”,则命题“至少有一位学生不及格”可表示为()()p q ⌝∧⌝4.函数(4) 0()(4) <0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-⎩，若()()f a f a <-，则a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(4,0)-D ．(0,4)5．如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出y 的值为4，则输入x 的值可能为A ．6B ．-7C ．-8D ．76．过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于,A B 两点，若8AB =，则直线AB 的倾斜角为A ．566ππ或B ．344ππ或C ．233ππ或D ．2π7.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 A ．54 B ．27 C ．18 D ．98．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列{}n a 的前n 项积为n T ，若21512m T -=，则m 的值为 A ．4B ．5C ．6D ．79.已知函数()2sin()f x x ϕ=+，且(0)1f =，(0)0f '<，则函数()3y f x π=-图象的一条对称轴的方程为A ． 0x =B ． 6x π=C ． 23x π=D ． 2x π= 10. 某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是A ．24B ．36C ．40D ．4411. 已知三棱锥A BCD -中,2,2AB AC BD CD BC AD =====, 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为A ．4πB ．8πC ．16πD 12.若函数2()ln 2,(01)x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点，则m 的取值范围 A ．(1,3)- B ．(3,1)- C ．(3,)+∞ D ．(,1)-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知1=a ,)3,1(=b ,()a a b⊥-,则=b a ,cos _________________.14.若实数x ，y 满足条件04(3)(3)0x y x y x y ≤+≤⎧⎨--≤⎩，则2z x y =+的最大值为_______.15.已知数列{}n a 的前5项为18,10,6,4,3，据此可写出数列{}n a 的一个通项公式为____.16.已知F 是双曲线的右焦点12222=-by a x 的右焦点,点B A ,分别在其两条渐进线上，且满足2=，0=⋅（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为____________.三、解答题：本大题共6小题，共70分17. (本小题满分12分)已知函数23()2cos 2f x x x =+-S CBAMN（I ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值 （II ）在ABC ∆中,A B C ∠∠∠、、所对的边分别是,,a b c ，2,a =1()2f A =-，求ABC ∆周长L 的最大值. 18. (本小题满分12分)从天气网查询到邯郸历史天气统计 (2011-01-01到2014-03-01)资料如下：自2011-01-01到2014-03-01，邯郸共出现：多云507天，晴356天，雨194天，雪36天，阴33天，其它2天，合计天数为：1128天。

本市朱先生在雨雪天的情况下，分别以21的概率乘公交或打出租的方式上班（每天一次，且交通方式仅选一种），每天交通费用相应为2元或40元；在非雨雪天的情况下，他以90%的概率骑自行车上班，每天交通费用0元；另外以10%的概率打出租上班，每天交通费用20元。

（以频率代替概率，保留两位小数. 参考数据：1150.20564≈ ） （I ）求他某天打出租上班的概率；（II ）将他每天上班所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望。

19. (本小题满分12分)如图,在三棱锥S ABC -中, SA ABC ⊥底面，点B 为以AC 为直径的圆上任意一动点,且AB SA =,点M 是SB 的中点,SC AN ⊥且交SC 于点N . （I ）求证: SC ⊥面AMN（II ）当=AB BC 时，求二面角N MA C --的余弦值.20. (本小题满分12分) 已知12F F 、为椭圆E 的左右焦点，点3(1,)2P 为其上一点，且有12||||4PF PF += （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）过1F 的直线1l 与椭圆E 交于A B 、两点，过2F 与1l 平行的直线2l 与椭圆E 交于C D 、两点，求四边形ABCD 的面积ABCD S 的最大值.21. (本小题满分12分)已知函数22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++.（I ）当1a=-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（II ）设函数()()2g x f x x =--，（ⅰ）若函数()g x 有且仅有一个零点时，求a 的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若2ex e -<<，()g x m ≤，求m 的取值范围。

22. (本小题满分10分)已知，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直AB 的一条弦，垂足为E ，弦AG 交CD 于F （I ）求证：E F G B 、、、四点共圆；（II ）若24GF FA ==，求线段AC 的长.23. (本小题满分10分)已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线的参数方程为121122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数），点A的极坐标为)4π，设直线与圆C 交于点,P Q 。

（I ）写出圆C 的直角坐标方程； （II ）求||||AP AQ ⋅的值.24. (本小题满分10分)已知函数a x x x f -+-=1)( （I ）当2a =时，解不等式4)(≥x f .（II ）若不等式a x f 2)( 恒成立，求实数a 的取值范围.邯郸市2014届高三第二次模拟考试理科数学答案一、选择题1—5 CDDAC 6--10 BCBAD 11--12 BA二、填空题 13、12, 14、 7, 15、 122n -+, 16、三、解答题17.解：(Ⅰ)23()2cos 2f x x x =+-1cos 23222x x +=+- =sin(2)16x π+- ……………………2分所以()f x 最小正周期22T ππ== ……………………4分70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦()f x ∴最大值为0. ……………………6分(Ⅱ) 由1()2f A =-得1sin(2)62A π+= 又132666A πππ<+<5266A ππ∴+=3A π∴=……………………8分解法一：由余弦定理得,222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-22223()()()3()44b c b c b c bc b c ++=+-≥+-= ………………10分即4b c +≤=,6a b c ∴++≤ （当且仅当2b c ==时取等号）所以6L =………………12分 解法二：由正弦定理得2sin sin sin3b cB Cπ==，即,b B c C ==，所以sin )b c B C +=+ ……………………8分2sin()]4sin()36B B B ππ=+-=+ ……………………10分 2503666B B ππππ<<∴<+<1sin()126B π∴<+≤（当且仅当3B C π==时取最大值） 4b c ∴+≤， ∴6a b c ++≤所以6L =……………12分18. 解:（Ⅰ）设A 表示事件“雨雪天”， B 表示事件“非雨雪天”， C 表示事件“打出租上班”，()()()()()()B C P A C P A P BC P AC P C P +=+= …………………………2分18.01.08.05.020.0%10112836194121112836194=⨯+⨯≈⨯⎪⎭⎫⎝⎛+-+⨯+=……4分（Ⅱ）X 的可能取值为0，2，20，40 ………………6分()0=X P 72.09.08.0%901128361941=⨯≈⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=()2=X P 10.05.020.021112836194=⨯≈⨯+=()20=X P 08.01..08.0%101128361941=⨯≈⨯⎪⎭⎫⎝⎛+-=()40=X P 10.05.020.021112836194=⨯≈⨯+=…………10分∴X 的分布列为()80.510.04008.02010.0272.00=⨯+⨯+⨯+⨯=X E （元）…………12分19. 解:(Ⅰ)证明:SA ABC ⊥底面,BC SA ∴⊥,又易知BC AB ⊥xyBC SAB ∴⊥平面BC AM ∴⊥ ……………………2分又AD SA = ,M 是SD 的中点, AM SB ∴⊥,AM SBC ∴⊥平面AM SC ∴⊥， ……………………4分又已知SC AN ⊥,⊥∴SC 平面AMN . ………………6分(Ⅱ) 解法一:如图,以A 为坐标原点,AB 为x 轴，AS 为z 轴,建立空间直角坐标系xyz A -,由于AB SA =, 可设1A B S A ==()()()()0,0,0,1,0,01,1,0,0,0,1A B C S 11(,0,22M11(,0,),(1,1,0)22AM AC ∴==………………8分设平面ACM 的一个法向量(,,)n x y z =则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00AM n n 即011022x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得(1,1,1)n =- ………………10分 由（1）可知CS AMN 为面的法向量， 易求(1,1,1)CS =-- 1cos ,3||||CS n CS n CS n ⋅∴==∴ 二面角N MA C --的余弦值是13. …………12分 20. 解：（I ）设椭圆E 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>由已知12||||4PF PF +=得24a =，∴2a = (2)分 又点3(1,)2P 在椭圆上，∴219144b+= ∴b =椭圆E 的标准方程为22143x y += ……………………4分 （II ）由题意可知，四边形ABCD 为平行四边形 ∴ABCD S =4OAB S ∆设直线AB 的方程为1x my =-，且1122((A x y B x y ,)、,)由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my +--=∴12122269,3434m y y y y m m +==-++ ……………………6分 OAB S ∆=1OF A S ∆+1OF B S ∆=12112||||OF y y ⋅-=1212||y y -=12= …………………………8分 令21m t +=，则1t ≥ OAB S ∆==，……… 10分 又1()9g t t t=+在[1,)+∞上单调递增∴()(1)10g t g ≥= ∴OAB S ∆的最大值为32所以ABCD S 的最大值为6. ………………………………12分 21.解：（Ⅰ）当1a=-时，22()(2)ln 2f x x x x x =-⋅-+，定义域(0,)+∞()(22)ln (2)2f x x x x x '=-⋅+--.……………………1分(1)3f '∴=-，又(1)1f =，()f x 在(1,(1))f 处的切线方程340x y +-= …………………………2分（Ⅱ）（ⅰ）令()()2g x f x x =--=0则22(2)ln 22x x x ax x -⋅++=+ 即1(2)ln x xa x--⋅=…………………………4分令1(2)ln ()x xh x x--⋅=，则2221122ln 12ln ()x x x h x x x x x ---'=--+=令()12ln t x x x =--22()1x t x x x--'=--=， ()0t x '<，()t x 在(0,)+∞上是减函数…………………6分又(1)(1)0t h '==，所以当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max ()(1)1h x h ∴==，所以当函数()g x 有且仅有一个零点时1a = …………………8分（ⅱ）当1a=，22()(2)ln g x x x x x x =-⋅+-，若2e x e -<<，()g x m ≤，只需证明max ()g x m ≤，()(1)(32ln )g x x x '=-⋅+，令()0g x '= 得321x x e -==或 ………………10分又2e x e -<<，∴函数()g x 在322(,)e e --上单调递增，在32(,1)e -上单调递减，在(1,)e 上单调递增又333221()22g e e e ---=-+ ， 2()23g e e e =-333322213()2222()()22g e e e e e e e g e ----=-+<<<-=即32()()g eg e -<2max ()()23g x g e e e ==- 223m e e ∴≥- ………………12分22.解：（I ）如图，连结GB ，由AB 为圆O 的直径可知90AGB ∠= 又CD AB ⊥，所以90AGB BEF ∠=∠=又2,6AF AG ==，所以12AE AB ⋅=因为在Rt ABC ∆中，2AC AE AB =⋅所以AC = ……………………10分23.解：（I ）由2cos ρθ=，得22cos ρρθ= 222x y ρ=+，cos x ρθ= ……………………2分222x y x ∴+=即22(1)1x y -+=即圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= ……………………4分 （II ）由点A的极坐标)4π得点A 直角坐标为11(,)22……………6分将1211y 22x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(1)1x y -+=消去,x y整理得2102t -=， ……………………8分 设12t t 、为方程2102t --=的两个根，则1212t t =- 所以||||AP AQ ⋅=121||2t t =. ……………………10分 24解：（Ⅰ）由4)(≥x f 得，⎩⎨⎧≥-≤4231x x ，或⎩⎨⎧≥<<4121x ，或⎩⎨⎧≥-≥4322x x …………2分 解得：27,21≥-≤x x 或原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2721x x x ，或 …………4分 （Ⅱ）由不等式的性质得：1)(-≥a x f ， …………6分要使不等式a x f 2)(≥恒成立，则a a 21≥- ……………………8分解得：1-≤a 或31≤a 所以实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-31, ……………………10分。